dacă luăm câteva pătrate cu laturi egale cu unul din numerele şirului lui Fibonacci, şi lipim aceste pătrate, apoi trasăm linii asemenea în fiecare iese forma spiralei unei cochilii.

Chiar şi frumuseţea corpului uman e sub incidenţa seriei Fibonacci.

Acest sir, dezvaluit de Fibonacci in matematica, se refera la explicatiile metafizice ale codurilor din universul nostru. Aceste coduri sunt peste tot, de la zile de nastere si pana la zidurile Piramidelor. Impreuna, cele zece cifre se aduna, pentru a forma acest mesaj(se spune in cercurile ezoterice): " In secolul al XXI-lea, in aceste vremuri de evolutie, omenirea va cunoaste Iluminarea", deci Codul prevede ca, in aceasta era, omenirea isi va schimba perceptia. Tot ceea ce a incercat omul de-a lungul vremurilor isi va gasi, in sfarsit, o rezolvare. Aceasta rezolvare ar cuprinde toate principiile vietii, inclusiv modul in care relationam unii cu altii. Se spune ca aceste zece numere "sir dezordonat, simplu pana la absurd", ar reprezenta o anagrama numerica. Dand sirului de numere semnificatia lor numerologica, in total sunt zece numere, ni se dezvaluie ca lucrul acesta este semnificativ in sine, numarul 10 fiind un sfarsit in sine, este o revenire la centru, la unitate, la un nou inceput si la implinire de sine. Zece reprezinta un rezultat, o realizare, acest numar cuprinde si contine toate numerele precedente, reprezentand un ciclu, formand, la randul sau, inceputul unui nou ciclu, fiind principiul maret al tuturor ciclurilor naturale, ne putem gandi la cele zece degete, la copacul vietii si la izvorul tineretii.In spiritualitate, fiind considerat un ciclu fara sfarsit, se spune deasemenea, ca sirul lui Fibonacci, s-a dovedit a fi o cheie care-ar fi asemanata cu un trandafir cu cinci petale. Pentagrama trandafirului cu cinci petale este un simbol sacru extraordinar, acest

concept a fost initiat prin punerea laolalta a celor cinci elemente de baza: PAMANT, APA, FOC, AER si ETERUL CERESC.Cat priveste numarul de aur- sectiunea divina, un alt sir care mai este cunoscut si ca Phi, este un numar foarte cunoscut in arta, avandu-si originile fundamentale in natura, astfel incat, orice element din natura este proportional cu Phi. Daca inlocuim literele PHI cu numerele corespunzatoare, obtinem 781, a carei suma totala se reduce la 7. Adunand si cifrele 1618 vedem ca ne da tot 7, care este considerat a fi cel mai frumos numar din univers, insemnand numarul perfectiunii, numarul lui Dumnezeu. Sunt sapte zile in saptamana, sapte note muzicale , sapte minuni ale lumii, sapte centri energetici(chakre), sapte culori ale curcubeului, Noe a luat in arca sa sapte perechi din fiecare animal de pe pamant, Numarul 7 apare de 77 de ori in VT si este cheia catre NT, care se refera la cele sapte peceti, sapte ingeri, sapte biserici, sapte trambite, sapte semne, sapte chivoturi.

"Despre secretul piramidelor s-a scris enorm, observandu-se ca axul culoarului este centrat pe steaua polara din epoca respectiva cu mare exactitate: 4 minute a unghiului facut in raport cu steaua "Alfa" a Dragonului reprezentand nordul geografic, iar cele 4 unghiuri ale bazei sunt indreptate spre nord, est, sud si vest cu aceeasi corectitudine. Inaltimea piramidei inmultita cu un miliard reprezinta distanta Pamant-Soare (150 milioane Km). Perimetrul bazei impartit la inaltime da "2 Pi", dublul lui 3,14, ceea ce s-a putut verifica abia dupa 1670 de Leibnitz. Raportul intre apotema si baza triunghiurilor este " 1,618 " - numarul de aur.

Fibonacci (1170-1240) este considerat ca unul dintre cei mai mari matematicieni europeni ai Evului Mediu. S-a nascut in Pisa, oras italian faimos pentru turnul sau inclinat, care parca sta sa cada. Tatal sau a fost ofiter vamal in orasul din Africa de Nord numit Bougie, asa incat Fibonacci a crescut in mijlocul civilizatiei nord-africane, facand, insa, multe calatorii pe coastele Mediteranei.

Sirul lui Fibonacci este o secventa de numere in care fiecare numar se obtine din suma precedentelor doua din sir. Astfel, primele zece numere ale sirului lui Fibonacci sunt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Sirul Fibonacci in matematica, se refera la explicatiile metafizice ale codurilor din universul nostru. Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi, de fapt, sistemul de numarare al naturii, un mod de masurare al Dinivitatii. Aceste numere apar peste tot in natura, pornind de la aranjamentul frunzelor, de la sabloanele petalelor unei flori si ajungand la falangele mainii umane, de la zile de nastere si pana la zidurile Piramidelor. Se spune ca exista o legatura intre cresterea naturala a plantelor si numarul de aur: proportia tainica a acestui numar, reprezentata fie in triunghiul de aur (isoscel) al lui Pitagora, in elipsa de aur din traditia hindusa sau in spirala de aur care, prin sirul lui Fibonacci, se demonstreaza pastrand proportia de 1,618.

Mai gasim si alte lucruri in natura ca spirala generata de apa (vartejurile), miscarea curentilor de aer in spirala, cochilia melcilor, dispunerea petalelor de trandafir sau a frunzelor si semintelor din regnul vegetal, care pastreaza aceasta proportie perfecta

aratand ca in intreaga creatie se pastreaza aceasta proportie, probabil de aici i s-a tras si numele de “formula fericirii”. Aceasta demonstreaza existenta unui sfere de constiinta a armoniei si frumusetii existente in intregul universul si care il ghideaza.

Impreuna, cele zece cifre se aduna, pentru a forma acest mesaj (se spune in cercurile ezoterice): “In secolul al XXI-lea, in aceste vremuri de evolutie, omenirea va cunoaste Iluminarea”, deci Codul prevede ca, in aceasta era, omenirea isi va schimba perceptia. Tot ceea ce a incercat omul de-a lungul vremurilor isi va gasi, in sfarsit, o rezolvare. Aceasta rezolvare ar cuprinde toate principiile vietii, inclusiv modul in care relationam unii cu altii. Se spune ca aceste zece numere “sir dezordonat, simplu pana la absurd”, ar reprezenta o anagrama numerica. Dand sirului de numere semnificatia lor numerologica, in total sunt zece numere, ni se dezvaluie ca lucrul acesta este semnificativ, numarul 10 fiind un sfarsit in sine, este o revenire la centru, la unitate, la un nou inceput si la implinire de sine. Zece reprezinta un rezultat, o realizare, acest numar cuprinde si contine toate numerele precedente, reprezentand un ciclu, formand, la randul sau, inceputul unui nou ciclu, fiind principiul maret al tuturor ciclurilor naturale, ne putem gandi la cele zece degete, la copacul vietii si la izvorul tineretii.

In spiritualitate, fiind considerat un ciclu fara sfarsit, se spune deasemenea, ca sirul lui Fibonacci, s-a dovedit a fi o cheie care-ar fi asemanata cu un trandafir cu cinci petale. Pentagrama trandafirului cu cinci petale este un simbol sacru extraordinar, acest concept a fost initiat prin punerea laolalta a celor cinci elemente de baza: pamant, apa, foc, aer si eterul ceresc. Cifra cinci simbolizeaza centrul, armonia, echilibrul.

Numărul de aur este strans legat de şirul lui Fibonacci, în care fiecare termen este suma celor două anterioare (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…). Pe măsură ce înaintăm, raportul dintre doi termen succesivi ai şirului lui Fibonacci tinde spre Phi.

Numarul de aur – sectiunea divina, un alt sir care mai este cunoscut si ca Phi (1,618), este un numar foarte cunoscut in arta, avandu-si originile fundamentale in natura, astfel incat, orice element din natura este proportional cu Phi. Daca inlocuim literele PHI cu numerele corespunzatoare, obtinem 781, a carei suma totala se reduce la 7. Adunand si cifrele 1618 vedem ca ne da tot 7, care este considerat a fi cel mai frumos numar din univers, insemnand numarul perfectiunii, numarul lui Dumnezeu. Sunt sapte zile in saptamana, sapte note muzicale, sapte minuni ale lumii, sapte centri energetici(chakre), sapte culori ale curcubeului, Noe a luat in arca sa sapte perechi din fiecare animal de pe pamant; numarul 7 apare de 77 de ori in VT si este cheia catre NT, care se refera la cele sapte peceti, sapte ingeri, sapte biserici, sapte trambite, sapte semne, sapte chivoturi.

Despre secretul piramidelor s-a scris enorm, observandu-se ca axul culoarului este centrat pe steaua polara din epoca respectiva cu mare exactitate: 4 minute a unghiului facut in raport cu steaua “Alfa” a Dragonului reprezentand nordul geografic, iar cele 4 unghiuri ale bazei sunt indreptate spre nord, est, sud si vest cu aceeasi corectitudine. Inaltimea piramidei inmultita cu un miliard reprezinta distanta Pamant-Soare (150 milioane Km). Perimetrul bazei impartit la inaltime da “2 Pi”, dublul lui 3,14, ceea ce s-a putut verifica

abia dupa 1670 de Leibnitz. Raportul intre apotema si baza triunghiurilor este ” 1,618 ” – numarul de aur.

Asa cum Sectiunea de Aur este regasita in ansamblul si frumusetea naturii, poate fi de asemenea folosita pentru a atinge frumusetea si echilibrul in arta. Sectiunea de aur a fost folosita extensiv de Leonardo da Vinci. Observati cum toate dimensiunile cheie ale camerei si ale mesei in tabloul lui da Vinci, “Cina cea de Taina” se bazau pe Sectiunea de Aur, care era cunoscuta in perioada renascentista ca “Proportia Divina”.

In “Sacramentul Cinei cea de Taina”, Salvador Dali si-a inramat pictura intr-un dreptunghi de aur. Urmand tehnica lui da Vinci, Dali a pozitionat masa exact la sectiunea de aur a inaltimii picturii sale. A pozitionat cei doi discipoli langa partea lui Iisus, la sectiunile de aur a latimii compozitiei. In plus, ferestrele din fundal sunt formate din 12 pentagoane, care exprima relatiile phi in proportiile lor.

Numere celebre: ŞIRUL LUI FIBONACCI ŞI NUMĂRUL DE AUR

Secvenţa numerelor lui Fibonacci a fascinat de-a lungul istoriei pe foarte mulţi oameni de ştiinţă, matematicieni, fizicieni, biologi, şi continuă să o facă chiar şi în prezent. Numerele lui Fibonacci sunt considerate a fi modul de măsurare al Dinivităţii sau sistemul de numărare al naturii.

Dar cine a fost de fapt Fibonacci?

Leonardo Pisano Fibonacci sau Leonardo din Pisa (1170 – 1250), născut la Pisa,

Italia, este considerat cel mai mare matematician european din Evul Mediu. Tatăl său, Guglielmo Bonacci, lucra ca ofiţer vamal într-un oraş din nordul Africii, Bugia (astăzi Bejaia, un port mediteraneean în nord-estul Algeriei), astfel încât fiul său a primit o educaţie specifică acestei zone şi în acelasi timp a călătorit mult de-a lungul coastei mediteraneene. In călătoriile sale a întâlnit numeroşi comercianţi de la care a învăţat sistemul lor aritmetic, familiarizându-se astfel cu sistemul de numeraţie indo-arab.

Fibonacci şi-a terminat călătoriile în jurul anului 1200 după care s-a întors la Pisa, unde a început să scrie un număr semnificativ de texte ce au jucat un rol important în reactualizarea cunoştinţelor matematice ale antichităţii şi la care a adăugat propriile sale contribuţii. Trăind în epoca premergătoare tiparului, el şi-a scris de mână toate lucrările. Dintre acestea, există astăzi copii ale următoarelor: Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), şi Liber quadratorum (1225). Din păcate multe altele s-au pierdut, spre exemplu lucrarea Di minor guisa, care făcea referire la numerele iraţionale. Totuşi ceea ce l-a făcut faimos pe Fibonacci, nu au fost teoremele abstracte, ci aplicaţiile practice şi soluţiile găsite de el la diverse probleme matematice.

Liber abaci, publicată în 1202, este un tratat de aritmetică şi algebră care exprimă cunoştinţele acumulate de autor în timpul călătoriilor sale. Cartea, după care s-au făcut numeroase copii, a reliefat valoarea şi utilitatea sistemului numeric zecimal indo-arab (care utilizează cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0), contribuind la introducerea acestuia în Europa. Lucrarea descrie de asemenea regulile după care se efectuează operaţiile aritmetice elementare (adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea), oferind şi probleme pentru ilustrarea metodelor de calcul. In acelaşi timp ea studiază şi modul de rezolvare a ecuaţiilor liniare. Partea a doua a cărţii este o colecţie de probleme cu care se confruntau comercianţii arabi, probleme legate de preţul mărfurilor, calcularea profitului, conversia valutelor, probleme referitoare la progresiile aritmetice şi geometrice, precum şi multe alte probleme originare din China.

Una din problemele din partea a treia a tratatului Liber abaci, cunoscută ca problema iepurilor, a condus la introducerea numerelor şi a secvenţei Fibonacci, pentru care acesta este de fapt foarte cunoscut astăzi.

Pe scurt enunţul problemei este următorul: O persoană plasează o pereche de iepuri într-un spaţiu închis şi se întreabă câte perechi de iepuri vor exista la sfârşitul unui an de zile, dacă se presupune că în fiecare lună fiecare pereche naşte o alta, care din luna următoare devine fertilă. Problema este

însă idealizată, în sensul în care se consideră că nici un iepure nu moare, iar secvenţa numerică rezultată este:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Şirul astfel obţinut, în care fiecare termen este suma celor două numere precedente, s-a dovedit a fi extrem de util în rezolvarea anumitor probleme şi el apare în multe situaţii în matematică şi ştiinţă în general.

Din numeroasele probleme ce apar în secţiunea a treia a cărţii, se pot aminti câteva de genul:

1. Un păianjen urcă pe un perete un număr de paşi ziua şi coboară un alt număr fixat de paşi noaptea. In câte zile va urca păianjenul zidul?

2. Un copoi a cărui viteză creşte aritmetic aleargă după un iepure a cărui viteză creşte tot aritmetic. Ce distanţă parcurge câinele până când prinde iepurele?

3. Să se calculeze suma de bani de care vor dispune două persoane, în urma unor tranzacţii date, cunoscând creşterile şi descreşterile în valoarea monedelor folosite.In 1220 Fibonacci publică Practica geometriae, un compendiu de geometrie şi

trigonometrie, iar în 1225 lucrarea Flos, în care Fibonacci ajunge la soluţia uneia din ecuaţiile celebre la acea vreme 10x + 2x2 + x3 = 20, ecuaţie pe care Johannes din Palermo încerca de ceva vreme să o rezolve.

Liber quadratorum, scrisă în 1225, este însă cea mai impresionantă operă a lui Fibonacci. Cartea face o teorie a numerelor, o analiză a pătratelor perfecte, iar printre altele examinează diverse metode de a afla numerele pitagorice şi face referiri şi la radicalii de ordinul trei. Liber quadratorum îl clasează pe Fibonacci ca fiind cel mai mare matematician de până la Pierre de Fermat (1601 – 1665).

Şirul lui Fibonacci

Cel care a dat numele şirului ca fiind al lui Fibonacci şi ia găsit şi numeroase aplicaţii a fost matematicianul francez Edouard Lucas (1842 – 1891).

In matematică acest şir este o secvenţă de numere definită de următoarea relaţie de recurenţă:

Aceasta înseamnă că pornind de la două valori iniţiale, 0 şi 1, celelalte numere se obţin prin adunarea precedentelor două. Primele numere din serie sunt astfel următoarele:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811…

Totodată, se constată că dacă se face raportul a doi termeni consecutivi ai şirului (

), exceptându-l pe

primul, se obţine un alt şir care converge către un alt faimos număr, numărul de aur phi, .

Numărul de aur (Proporţia divină)

Istoria celebrului număr de aur, , se pierde în timpuri străvechi, paternitatea sa nefiind atribuită nimănui. Omul a utilizat instinctiv, poate dintr-un simţ al armoniei, acest număr în diverse realizări practice, în construcţii sau în artă. Notaţia simbolică a numărului , provine de la iniţiala sculptorului antic grec Fidias care a folosit proporţia de aur în sculpturile sale. Numărul de aur, denumire dată de Leonardo da Vinci (1452 – 1519), a apărut în încercarea matematicienilor de a împărţi un segment de dreaptă în medie şi extremă raţie, iar fascinaţia numărului consta de fapt în armonia şi echilibrul raportului pe care îl reprezintă, raport care se regăseşte şi în legea creşterilor organice.

Numărul de aur este un raportul care rezultă când un segment de dreaptă este împărţit în două părţi, astfel încât raportul dintre întregul segment şi segmentul mai mare să fie egal cu raportul dintre segmentul mai mare şi cel mai mic rezultat.

Algebric acest lucru se scrie: , ceea ce conduce la

o ecuaţie de gradul doi: a cărei soluţie pozitivă este numărul sau proporţia de aur:

Se mai constată că , iar .

Johannes Kepler (1571 – 1630), celebrul matematician şi astronom german, a fost cel care a arătat că numărul de aur este limita către care converge raportul a două numere Fibonacci consecutive:

.

Numerele Fibonacci în natură

Secvenţa Fibonacci apare în structurile biologice, cum ar fi dispunerea ramurilor copacilor, aşezarea frunzelor în jurul tulpinii plantelor, spiralele cochiliilor, aranjamentul unui con de brad, desfăşurarea ramurilor unei ferigi, aspectul unui ananas, etc. S-a avansat ideea că toate acestea pot fi în parte înţelese ca expresie a unor constrângeri algebrice specifice sistemelor libere. Se spune deseori că aranjamentele florale asemănătoare florii soarelui au 55 de spirale într-o direcţie şi 89 în cealaltă (55 şi 89 sunt numere adiacente din şirul Fibonacci), lucru valabil pentru inflorescenţele din stratul exterior şi care sunt cele mai vizibile.

De asemenea, numărul de petale al multor flori face parte din secvenţă.

a b

c

De exemplu crinii şi irişii au 3 petale, pintenul cocoşului are 5, nemţişorii au 8 petale, gălbenelele au 13, ochiul boului poate avea 21, în timp ce margaretele pot avea 34, 55 sau chiar 89 de petale.

Dacă se priveşte o plantă de sus în jos se observă că frunzele sale sunt astfel dispuse încât cele de deasupra nu le obturează pe cele de dedesubt. In acest fel fiecare frunză primeşte suficientă lumină solară şi permite apei de ploaie să alunece către tulpină şi să fie dirijată spre rădăcină – o altă armonie a naturii în concordanţă cu secvenţa lui Fibonacci.

Dreptunghiuri şi spirale Fibonacci

Pornind de la două mici pătrate alăturate, cu laturile egale cu unitatea 1, se poate desena deasupra lor un altul cu latura 2 (=1+1). In continuare se poate alipi un alt pătrat cu latura 3, iar dedesubt unul cu latura 5, ş.a.m.d. Se obţine astfel o dispunere a numerelor Fibonacci într-un set de pătrate şi dreptunghiuri, acestea din urmă având ca lungime a laturilor două numere Fibonacii consecutive. De fapt avem de a face cu dreptunghiuri de aur, raportul laturilor acestora fiind egal cu numărul phi.

In continuare, în fiecare pătrat se poate desena un sfert de cerc, dar astfel încât să se asigure continuitatea liniei, obţinându-se un fel de spirală, care reprezintă o bună aproximaţie a celor întâlnite în natură, în lumea vie (cochiliile melcilor, ale scoicilor, aranjamentul seminţelor sau al inflorescenţelor plantelor).

Cum laturile pătratelor iniţiale se află în raportul de aur, rezultă că spirala se depărtează de centrul său în raportul = 1,618 după fiecare sfert de “rotaţie”, astfel încât la fiecare rotaţie completă punctele spiralei se află faţă de centru la o distanţă de 4 = 1,6184 = 6,854 mai mare.

Fibonacci şi corpul uman

Dacă privim mâinile unui om, constatăm alte coincidenţe poate, ce ne amintesc de faimosul şir. Avem 2 mâini, cu 5 câte degete, fiecare având 3 falange separate prin două articulaţii. Coincidenţă sau nu, aspectul este interesant, cu atât mai mult cu cât dacă măsurăm lungimea oaselor degetelor, se pare că raportul dintre osul cel mai lung şi cel din mijloc, ca şi raportul dintre osul mijlociu şi cel mai scurt din vârf reprezintă proporţia

de aur phi. In medie, dimensiunile falangelor sunt: 2 cm, 3 cm, 5 cm, iar în continuare osul palmei are circa 8 cm (2, 3, 5, 8 sunt numere din secvenţa Fibonacci).

In acelaşi timp, faţa umană este caracterizată din punct de vedere estetic prin câteva dimensiuni principale: distanţa dintre ochi, distanţa dintre gură şi ochi, distanţa dintre nas şi ochi, dimensiunea gurii. In estetică se apreciază că faţa este cu atât mai plăcută ochiului cu cât aceste dimensiuni respectă mai bine secvenţa lui Fibonacci.

Numerele Fibonacci şi proporţia divină

Oamenii încearcă permanent să înţeleagă natura şi legile acesteia, să simtă ritmurile cosmice, să înţeleagă de fapt mai profund viaţa, pentru a ajunge la o armonie cu mediul înconjurător. Aplicaţiile numărului de aur, de fapt ale raportului ca atare, se regăsesc la punerea în proporţie a lucrărilor în arhitectură, pictură, sculptură, estetică şi artă în general, ceea ce confirmă interesul manifestat de-a lungul timpului pentru acest număr. Proporţia divină a condus la construirea Dreptunghiului de aur, în care raportul laturilor este egal cu numărul de aur. Acest tip de dreptunghi este considerat ca fiind deosebit de estetic şi ca urmare a fost şi este intens utilizat în arhitectură şi artă. Spre exemplu se consideră că faţa Giocondei lui da Vinci se încadrează într-un astfel de dreptunghi, iar în construcţia Parthenonului din Atena se regăsesc cel puţin două astfel de dreptunghiuri.

In ultimul timp s-a încercat o extindere a seriei numerelor de aur în spaţiul cu trei şi chiar mai multe dimensiuni. Astfel, din punct de vedere tridimensional se poate vorbi de volumul de aur, care defineşte un paralelipiped în care raportul dintre lungime şi înălţime este egal cu raportul dintre înălţime şi lăţime, acest raport , numindu-se

numărul de aur 3D. De fapt în acest

paralelipiped, armonia constă în faptul că înălţimea este medie geometrică între lungime şi lăţime, ceea ce confera structurii o unitate specială.

Numărul de aur este căutat în cele mai diverse şi neaşteptate situaţii, spre exemplu unii încearcă să găsească o explicaţie din acest punct de vedere chiar şi pentru factorul de conversie 1,609, foarte apropiat de phi, care apare la transformarea distanţelor din mile în kilometri.

In acelaşi timp numerele Fibonacci apar în numeroase probleme de ştiinţă, pornind de la fizica clasică, chimie, matematică, până la cele mai moderne domenii ale cunoaşterii (sinergetica, teoria fractalilor, teoria haosului, în calculatoarele neuronale şi automatele celulare), sunt utilizate în generatorii pseudoaleatori de numere, precum şi în diverse procedee şi metode de optimizare. Ele se regăsesc în analiza algoritmului lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun a două numere întregi, în rezolvarea problemei lui Hilbert, în teorema lui Zeckendorf, etc.

In muzică, numerele Fibonacci se utilizează deseori pentru realizarea acordajelor. Se crede că lucrarea Muzică pentru instrumente de coarde, percuţie şi celestă, a lui Bèla Bártok a fost structurată utilizând numerele Fibonacci.

Viitorul şi nevoia de cunoaştere şi înţelegere a oamenilor s-ar putea să confere acestor numere unice, noi aplicaţii şi interpretări, ajungând poate chiar şi pe terenul incert al fenomenelor paranormale.

PROPORŢIA DE AUR

Vă propun o incursiune în istoria numerelor şi a proporţiilor , în lumea artei şi în natură , având ca punct comun „ proporţia de aur „.Elementul comun ce uneşte ştiinţa , matematica , arta, natura, domenii care aparent nu pot fii relaţionate este „ numărul / proporţia de aur”. Două cantităţi a şi b se găsesc în proporţia de aur dacă a+b raportat la a este est egal cu a/ b. Valoarea numerică a acestui raport este ( aprox. , fiind un nr. iraţional ) 1,618 şi a fost numită „numărul de aur..”Deşi această proporţie este cunoscută încă din antichitate , abia în 1835 este denumită „ proporţie de aur” , de către matematicianul grec Martin Ohm (1792-1872), iar de la începutul secolului XX este simbolizată de litera grecească Phi ( ca un omagiu adus marelui sculptor grec Phidias, care a utilizat în sculpturile sale şi în construirea Partenonului dimensiuni aflate în proporţia de aur). În faimoasa lui carte Elemente , marele matematician grec al antichităţii , Euclid (320-270 î.e.n.) , ne-a transmis o sinteză a cunoştinţelor de geometrie elementară şi de aritmetică. Printre alte probleme interesante se găseşte şi următoarea:

Se dă un segment AB. Să se găsească poziţia punctului C pe acest segment, astfel încât raportul segmentelor AC şi CB să fie egal cu raportul segmentelor AB şi AC. De ce este interesantă problema ? Pentru că valoarea raportului este numărul 1,618 .În anul 1202 în Italia apare cartea Liber Abaci ( Cartea socotitului ), scrisă de Leonardo Pisano ( nimeni altul decât Fibonacci ), carte extrem de importantă pentru că introduce în Europa cifrele arabe. Fibonacci şi-a legat numele de un şir de numere pe care îl prezintă în carte ca soluţie a unei probleme practice legate de înmulţirea iepurilor. Plecând de la alăturarea numerelor 1 şi 1, şirul lui Fibonacci se obţine cu un algoritm simplu . Următorul număr din şir este suma numerelor consecutive anterioare : 1,1 ,2 ,3 , 5 , 8 , 13, 21 , 34 , 55, 89..........Această înşiruire nu ne spune mare lucru, e un exerciţiu simplu de adunare , dar dacă se face raportul între numere consecutive ( 2 /1=2 ; 3 / 2 =1,5; 5 /3= 1,67 ; ........... 55 / 34 = 1,618 ; 89 / 55 = 1,618.........) se observă că raportul ia aceeaşi valoare , tocmai numărul de aur! Mai există o ciudăţenie legată de acest şir: dacă facem raportul invers al numerelor consecutive din şir obţinem aceleaşi cifre după virgulă ca la raportul calculat anterior, adică 0,618! Opera matematică a lui Luca Pacioli (1445-1517), are marele merit de a fi adus în atenţia matematicienilor şi artiştilor vremii numărul de aur şi de a propune conexiuni între acest număr şi frumuseţea exprimată în picturi. Luca Pacioli l-a cunoscut pe Leonardo da Vinci la Milano, la curtea ducelui Ludovico Sforza, unde Leonardo era pictorul curţii , iar Pacioli fusese invitat să predea matematica. Cei doi au devenit foarte buni prieteni.. În această perioadă Luca Pacioli scrie lucrarea Divina proporţione , în care tratează reflectarea în artă şi arhitectură a raportului de aur , pe care îl numeşte pentru prima dată „proporţie divină „. Lucrarea este importantă şi pentru faptul că a stârnit interesul deosebit a lui Leonardo da Vinci, în picturile sale „ Mona Lisa” , „Madona între stânci” respectând raportul de aur. Un interes deosebit îl reprezintă desenul său din 1492 numit „ Omul Vitruvian”. Desenul este însoţit de notele lui da Vinci ( scrise de la stânga la dreapta , putând fi citite în oglindă ! ) unde face referiri la proporşiile ideale ale corpului uman , aşa cum sunt prezentate în opera arhitectului roman din antichitate Vitruvius.

În compoziţiile muzicale ale lui Debussy , Bela Bartok, Satie anumite instrumente muzicale intervin la intervale de timp ce respectă şirul lui Fibonacci, iar duratele anumitor părţi din lucrări se găsesc în proporţia de aur. Stradivarius a construit faimoasele viori , plasând orificiile de rezonanţă astfel âncât să respecte proporţia de aur. Matilda Ghyka este nepot al ultimului domnitor al Moldovei ( Grigore Ghica), reputat autor în domeniul esteticii. Este primul care realizează o sinteză explicativă privind prezenţa numărului de aur în mari opere de artă. Celebrul arhitect Le Corbusier a adus contribuţii importante la crearea unui stil arhitectural , utilizînd raportul de aur. . Considerând dimensiunile ideale ale

corpului uman ca etalon , el a stabilit o nouă scară de proporţii în arhitectură , bazată pe proporţia de aur . În secolul XX construcţia clădirii ce adăposteşte sediul Naţiunilor Unite din New York este în formă de L , dimensiunile fiind proporţia de aur. La celebra Universitate Politehnică de Stat din California se află în construcţie o clădire la proiectarea căreia arhitectul foloseşte în mod deliberat dimensiuni din şirul lui Fibonacci şi proporţia de aur. În natură dimensiunile cochiliilor melcilor marini, ramurile şi frunzele unor plante , seminţele de floarea soarelui , conurile de pin cresc în spirale cu dimensiuni ce respectă numerele din şirul lui Fibonacci. Înmulţirea familiilor de albine se face respectând aceste numere. În fizica modernă în domeniul cvasicristalelor şi al găurilor negre s-au identificat proprietăţi legate de proporţia de aur. Există adepţi înfocaţi ai proporţiei de aur care încearcă să o identifice pretutindeni , dar şi sceptici care încearcă să demonstreze că existenţa ei în natură este datorată doar coincidenţelor.

BIBLIOGRAFIE1. Paloma Petrescu, Viorica Pop , Ghid pentru cadrele didactice, proiect Phare 2004, Transdisciplinaritatea-o nouă abordare a situaţiilor problemă, Buc. 2007;2. Solomon Marcus, Din Gândirea matematică românească., Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică , Buc. 1975.