7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

1/34

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

2/34

CoordonatoriGabrielaL0ERIU f,aurentiu bREA

CONCURSIITIEMATEMATIC,,E:E}CT;ID..$00AIAU TASELE- Utr "DtnUUAIUFIRESCU.(r{R"0)F0c$al{r

SEunloadedustef5O

EDIN'RAAIDAIA$r,2012

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

3/34

Editua TAIDA IaliStr.VasileLupq nr. 70- 74,bl. P3,sc.3, et. 3, ap.12, Iati - 700309T el.l ax:.0232.2'l025O- 0748.234137ofr ce@editurataida.ro; ww.edituiatrida.ro

DescriereaCIP a Bibliotecii Nafionalea Rom6nieiConcu$ul de mateh4ti.:i "EUCLID" /CabrielaOloeriu. aurenliu ibrea/ la$i,TAIDA,2012p.42:16.5 23.5 mISBN: 97M0G51,1-137-71.TibreaLaure4ir51

CNeti redactiolsli:Redactor:prof. Lruren$u TibreeCorecturdSi ehnoredactarsprof. Lsure4iu Tibrea

www.editurataida.m

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

4/34

crrvANTlrxmr,Matematica ne pune din nou la incercare printr-o

noud editie a Concursului Euclid, pe unii in rolul decompetitori iar pe allii in calitate de.ata$ati acestui actprovocator - competilia minfilor agere. Astfel de manifesterine dau'Si unora gi celorlalfi momentede emolii qi satisfacliiale unor eforturi implinite. gi me refer aici in primul rdnd lamunca de pregitire qi lupta permanente pentrudescoperireacdilor de solulionare a problemelor dar $i laorganizarea unei activitefi de acest gen.

Desigur cd deslEqurareaacestui concurs in condiliidecente nu ar fi posibil6 IErd sprijinul important pe care l-arn primit la fiecareeditie de la Consiliul local gi primEriaMunicipiului Foc$ani. Inspectoratul Scolar Vrancea, prininspectorul de specialitate,prof. Daniela Sirghie a sprijinitdesfdgurareaacestui concurs. Tuturor factorilor implicati.intre acegria gi conducerea Ecolii. colegii di., catedru dematematicaSide la invdlemantul primar, le adresez,9i aici,sincere multumiri.

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

5/34

r. :r: :ar- iaa:t: . . . . l : laiUn rol special in cadrul acestui concurs ii revine d-

nei conf dr Elena Nechita, prorector al Universitdlii VasileAlecsandri din Baciu, cireia vreau si-i mul$umesc in moddeosebitpentru cd a acceptat sa ne facd. onoarea de a fipre9edinteleacestui concurs.

Doresc oaspelilor noitri se trdiascd momente desatisfaclie legate de participarca la aceasta noua edilie aConcursului Euclid.

. Prof. Laurenfiu TibreaMai,2Ol2

4

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

6/34

, , . :

CONCURSULINTERJUDETEAN DE MATEMATICA,,EUCLID"Focqatli, 29 '6'ai 2OtO, Editta a VI-a- subiecte ti bareEe- -

dETEKE{ploadedp Stf3o' reproduse cu acordut autoruIui

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

7/34

CLASA a u-aSublectul 1.

a) Sa se alle rdin egalitatea:1O8+257=42O-x.b) CAte numere cupinse intre 299 9i 505 se pot scriefolosinddoar cifie din multimea {2,3,4}?Subtectul 2.Cu numerele r $i g se formeaze egalitateax-u=8'

a) Cu cat este mai mare numdrul x decat numerul g?b) Este adevarat ce egalitatea Jc=V+8 este un raspunscorect pentru intrebarea de la punctul a)? Explicalic) Daca t

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

8/34

Solutli qi barem de cotectareSublectul l,a)(2d 365=42O-x(2d x .42O-365(1F,t x =5sb)/2P, sunt noud numere de forma 3 * ,r/2p, sunt 4oue numere de forma + +*Sublectul2.a)/rp, Cu 8, deoarece (-g exF,rimacu cat estemai mare ,r decat g.b)(2p) Deoarece y+8 este numdiul mai mare cu 8 decat y,numdrul y+8 este nurnriul x, deci este adevdrat ce egalitateax=y+8 estecorecte.c)ff.p, Ne folosim de egalitatea x = y + 8 .l lp) A=O gi x=0+8=8

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

9/34

' i , . r . r . t : , , : : ra;1. : |1r" . ; . , , ; |

(sfl x = l0 deoarece 10.este numd-rul 4e nqmere pare de la .tla 2Oty = 10 din acelasi moti-v.(in cele 20 de patreleb su4t toate numerele naturale, incependcu I Si erminand cu 2O). l : ' :'":

Noti: :ri .r ' ; r ; lLa fiecare din cele trei subiecte se acorda cate un punct din oflciu: "Orice alte rezolvare corccta se puncteaze corespunzator'. . : . : : . t , , , : r , ,r ., : ! i : :

'5 i i "_ ' i

' , r i , : : . . . . : . , : : ' . : ' : :"" :. , , : f ! . i i1 ' : i ' . : ' . '1 ' : : , ,

. ' : . : : , . . : . :

. i

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

10/34

..CLASA a tII-a

Subtectul 1.a) Calculali valoa-reaxpresiei:[2010 6 -t r .(2+ 3.4)] . lObl A-0ali pe x din egaltatea:2Or - l6x - 291= 152.

Subiectul 2.Numim descompunere bunl a lui S scrierea numdrului 5ca o suma de 2, 3, 4 sau 5 numere nenule astfel incat, termeniisumei citili de La st6nga Ia dreapta ori sunt egali, ori cel dinstanga este l1rai :naredecat cel din dreapta, ExemDle:5 = 2 + 1 + 1 +l $i 5 = 4 + I suntiescompuneribune.al Scrieti toatedescompunerile une ale nuedrului 5.b) Priviti Figara 1:coloane Descompunerile

'1 1 3 4 5 '+5=2+1+1+1

5=4+ 1le nu@im pereche, deoa.rece5=2+1+1+1se ob,rne adunaitd linie cu linienumbrul de pdtrate hagurate, iar:5=4+ Ise obFne adunand coloana cucoloana pabatele ba$urate. Aflal-perechea descompunerii bune:5=2+2+1.Figurcl 1 Doud d.escorryn nei bunepereche

Subtectul 3.In clasa a III-a sunt 21 de elevi. NurD5rul de b5ieti era ieride doua ori mai mare decat numdrul de fete. si asta s-aintamplat pentru ca [pseau Raluca,Biancagi Flavius.Cdti baiefiSicate fete sunt ir clasa a Itr-a?Timp de lucru: 2 oreSe acorde I p din oficiu pentru fiecar.esubiectSubiecte propuse de lect. dt. Conel Berceanu

vv4,7

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

11/34

Solutii li barem de corectareSubiectul l.a) Expresia se scrie succesiv /2p + 7p + Ip)i[335 11.14].0 = (335 154).10 181.10 1810b) Din egalitatea din enunt se obtin succesiv:(1p) 6x -29 =2Ol-152(1p) 6x -29 =49(ld 6x =78(t f l x=13/Ip, Pentru x=13 se faceproba:2Or (6 13 2e)= 2Or /.78291=2OI-49=152Sublectul 2a)l lp, 5=1+1+1+1+1(Ip) 5 = 2 +1+1+I(1p) 5 =2+2+1Ep, 5=3+1+t(1p) 5=4+1b) Figura + soluls,a 5= 3 +2lt 2p + 2pSubiectul 3/5p, leri:numaruldeete: H l^. ^.^

numarulde baieli: .----------.--- J ''-"= "(2p) Ieri eraj) 6 fete $i 12 b;ieti./2p) Inclasdsunt6+2=8 feteqi 12+l=13 bdieli .

Noti:La fiecare din cele trei subiecte se acorda cate un punct din oficiu.Orice alte rezolval'e corecta se puncteaza corespunzator.10

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

12/34

CLASA a IV.aSubiectul l.Aflati-l pe x din egalitatea:2+2.{3 + 4.Ir+2.(x _ t Ul}= SO.Sublectul 2.Tatel este cu 32 de arri mai 'nare decat fiul.varsta tatelui era de S ori mai mare decat a fiului.tat5l $i fiul in anul2010?

Tirnp de lucru: 2 oreSe acordi 1 p din oficiu pentru fiecate subiectSubiecte propuse de lect. dr. Corttel Berceatu

ln arul 1999Ce ve.rste auSubiectul3.- In cartea "pat - Fru:nos $i balauril" se spune ce Fat _fnjmos s-a luptaL cu balaurii ca_reaveau patru capete $i treipicioare, qi cu balauri cale aveau Irel capete $ patn_r picioare.Balaurii aveau in total 72 de capete qi 6a de picioare.a) SE se calculez valoarea expresiei:

-. (22'+6s) 7$l sa se explce ce anume din enunlul problemei reprezintavaloatea aflata.bl Daca Fat - Frumos taie cu pa]ogul sdu cete un picior de Iauecare oalaur care are palru picioare, allai numarul deptcLoare diate de Fat - Frutnos.

1l

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

13/34

Solufii gi barer de corectaresublectul 1./fp, Folosim metoda mersului invers:Din egalitatea din enunf oblinem succesrv:( ld 2.13+4.[1+2.(x 11)] ] 78Ud 3 +4.1r+2.|x-11) l=39(td a.11+2 x -Il l l= 36ltp) I +2.Ix -I \=9(1p) 2.@ r\=a(1p) x-rr=4(1p) x = 152+2.13+ 4.11+2.(1.51r l l | =2+2.13+4.I l+2.41(1p) =2+2.13+4.91:2+2-39 =2+78=80,deci sigu c= 15 este r1umSrul cerqt.

Subiectul 2f4p, Varstele din anul 1999:Fiul .---------{Tat5l:t' o t e o o/2p, Fiul avea n anul 1999:

32:4=8 (ani) ,iar tat5l 8xS =40 (ani)(1p) Dt'I 1999pene rn 2010 au hecut 11 ali./2p, in anul2OlO avem:8 +11= t9 (ani),v6rsta fiului;40 +11= 51 (ard),varsta tatdlui.

32 ani

t2

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

14/34

, . t , , l . . ' : r .

Subiectul 3a){3p, valoarea cerut5 este 20.{2p, Fiecaie balaur are 7 cap - picioare. Numarul toral de cap _plcroare lrrnctegat cu 72- 6A -]4O ,20 esre numirul de ba.lauri.b)f2d Dupa teierea picioarelor, fiecare balaur are cate 3 picioare,deci in total sunt 3x2O=60de picioare netdiate.(2p) Atr]IJci 72 60 =12 reprezinti numerul de picioare tdiatede Fat - Frumos.

!5oti:La fiecare din cele trei subiecte se acorde cate un punct din oficiu.Orice alte rezolvare corecta se puncteaza corespunzator.

l3

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

15/34

Subtectul l.CLASA a V-a

Pe planeta Sikiria ziua are 6 ore sikiriene, iaro ora sikiiiand are 120 de minute sikiiiene.In fiecare zi sikiriana activitatea Scohreincepe la ora indicate de ceasul din Fig,Lrra ei seincheie la ora indicata de ceasul din F'rg&ra2.a) Cate minute sikiriene dureaza activitatea$cohra?b) Ce fraclie te{ltrezi'Ite durata activiteliiscola.redin durata unei zile sikiriene?F)guB1:Stan

{limbile ceasului se invart in acelasi sens ca $icele pdmantene; Iimba mica indicd ora sikiriane,iar cea mare, minutele sikiriene.)Sublctul 2.

^) D^cap,2p+1,3p+2,4p+3 $i 6p+1 sunt numerenaturaleprihe, aflali valoaiea lui p.b) Fie n un num5r natural cu proprietatea ci cifra zecilornumS.rului n2este mpafe. Allali cifra unitd$lor numdrului n2.Sublsctul 3.Fie a > I Si n > 2OIO numere naturale. Se noteaza cu ssuma 1+a+a2+,. .+an.a) Sa se arate ca au loc egalite! e:

1i) a. s = s+an+l - l ;^ n+l 1{ i i ) s=* - ' .' a-7b) Calculali suma:

5 = (n+1).ao+ n.ol + {n -t l . a2 +. . .+I . an .Timp de lucru: 2 oreSe acordd I p din oficiu pentru frecaresubiectSubiectepropusede lect. dr. Cornol Berceanul4

FtgLta 2 Slop

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

16/34

tia::_::.Solutli gi barem de corectare

Subi6ctul 1.Notem minutul sikirian cu simbolul min_ s .1l P?) Cat Limp imba mica parcurge disranla dintre douaCtll,"rzruntuccesive, limba mare face un tur complet. Turulcomplet facut de limba mare dureaza deci l2Omin_s. prinurma.re,distanla dintre doue diviziuni succesiveeste patcursa delimba mare in timp de 20 min- s ./5p, Durata activiraUigcolare=(20min- s)+ 2x (120min- s)+ (2omio- s)= 28Omin- sb)llp) durata activitatii scolare - 28omin-s - 2aO- 7durata unei zi.le ikiriene 72Omin-s 720 l8Subiectul 2aJ Ep) p =2 ii p -3 nu sunt soluti i ;(ld p-5 estesolutie(11t1 dacap = p'nrn> 5, atunci p sescrie doar in una din formele:

( i ) p=sk+1(ii) p =sk+2(ii i) P =5k+3(i") P=5k+4, heIt . .Pp, Avem tabelul:Cazul Nu este prim numarul(r) 3p+ 2ta(ii) 2p+l:5(iii) 4p+3i5(i") 6p+I:5(7p) Corrcl\td^t p = 5 este unica solufie.

b) Fie n=...xV sciere^ zecimali a numirului z.{ Ip, Avem:g' e{O,l ,4,9.16,25,36,49,64,A\.(l Daca y < 3, atunci y2 este cifra unitefilor lui n, iar 2x =num6.r par sau 2x - 10 = num5r par este cifra zecilor, imposibi.l.

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

17/34

(7p) Dacd 4

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

18/34

CLASA a VI-aSubiectul 1.

Se consideri ecualiile:{A) x+A=2010;(B) x+g+z=2010.Allafi:a) num5rul de solulii (r.,g)din Nx N ale ecuaiiei (A);b) numdrul de solulii (x,y,z) din N " IC" N ale ecualiei (B).Sublectul 2.Fie dat un triunghi ABC cu proprietateaca ED llED, undepunctul E este mijlocul laturii [AB], iar D este punctul in carebisectoarea unghiului ABC taie latura [AB]Sa se arate cala) dreptele AC $i BD sunt perpendiculare;b) dreapta AI trece prin mijlocul laturii [Bq, unde I estepunctul de intersectie al dreptelor BD qi CE.Subiectul 3.AI n - lea num;r triunghiulai ln se defineste prinformulele:f t =1, respect iv tn=1+2+.. .+t t , pentnr n>2numdr natural (ia Figura 1 este reprezentat al 4 -lea num5r triunghiular).Sd se aiate ce:. n{n+ llal ln --:!:::!, orica-re r I n din N':Figura 1: At 4-tea bl 4144 -t34a =2O1O2;numdr tiunghiular c) odcaJe a-r i m > n din N", numdrultrapezoidal tm - tn este egal cu numd-rul

natural (m-nf(m+n+U.2Timp de lucru: 2 oreSe acorde 1 p din oficiu pentru fiecare subiectSubiectepropusede lct. ali. Cor'lel Berceanu

17

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

19/34

,:rii i ir.,:i'|l ra,arta:raa:ai

Subictul 1.a)Soluttt _li b.rem de coreqtare

f3p, Perechileordonate (0,2010); (1,2009); ...; (2010,0) sunttoate soluliile din N x ale ecuatiei (4frp, Numdrul lor este egal cu 20 11b)(7p) Propietatea de asociativitate a adunerii ne permite sascriem ecuatialB) in forma echivalente:(c) (x+g)+z=2OIO.{tpi A$adar, o solutie (x,y,z) din l{,(I{xN a ecualiei {B) se poatereprezentaprintr-o solulie (r(+g,z)din Nx a ecuatrieiC),pp) Muljimea soluliilor ecualiei (C)este:s = (o,2o1o),{1,2009),.., (2010,0)}.(Ipl - Soluliei (O.2OlOle ii corespund 1- solutii pentruecuafia(B), ezolvandecuafia ajutetoa.ret +A =O.- Solujiei (1,2009) S. ii corespund 2 - solulii pentiuecuatia (B), rezolvand ecualia ajutatoare i x + g = 1.

- Soluliei (2O1O,O)eS corespund 2011 - solulii pentr"uecuatia (B), rezolvand ecualia ajutetoa.re x +g = 2OlO .flp, Numarul de solufii ale ecuafiei (B)este egal cu;^^. - 20t1.20t2I i z+.. .1zuIt=----r- .

Subictul2d) (sp = (1 p -tlcwal ! 8 x(o,sp))tn{paA)= mlDEq = u' .mlBDEl= u' ,rr.IDEA)=2u";IDEI= [EA];m1nAo1=m1aotl = v" ;in LAED; 2u' +2v"=I8O';

c n(BDAI= u' +u' = 90".Concluzia:BDIAC.18

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

20/34

ep =p,5 p - frgan) + 7 x(O,'d)IABI= ACI;dreapta .BDeste mediatoareaaturii IAC];[1A]= IC] (deoarece BD);Bat = pet (coasecinla a congruenlelor:BAc =BeA si rqc =riA ).EIA = FiC (opusela var4;IEAI= IFCI (consecintaa congruenleiLErA= ^FrCl;e A1 i Feste mijlocul laturii [BC]

Obseruafie. Evident, feste centni de greutate al triungbiului ABCSubiectul 3a) (4p). t .2

- pentru n > 2 nuddr raatural ave]n:2tn= II +2 +.. .+ (n-1)+n]+ n+{a 1}+.. .+2 +U= [1+4]+ [2+ {n- 1)]+...+{n 1)+2l+ [n+ ]= n(n + 1),de unde rezulta concluzia.b) (3p) 3144.3145 1344 345 .^,^. ^^ r3t44-t t344 2 - 2 =+u.turuui

- 20102= 4O4O1OO- concluzia: t3144 t1344= 2OiQ2

m(m+ 1)_ a{n+ ) _(m-nl\m+n+I).222- deoaiece (m- 4l + Im- n + ll = 2m + 1=i'npar, unul dinnumerele naturale m - ft ei m +n + 1 este pa-r ai cel5lalt, impar.Note!La liecaredin cele tiei subiecte se acorde cateun punct din oficiu.Orice alte rezolvarecorecta sepuncteazacorespunzator.

cJ ep)

19

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

21/34

CLASA a VII,aSublectul 1.a) Transformar,in fraclie zecimalaperiodicesimple &aclia. . - 3orcDnaia -.7b) Este adevdrate afirmatia:"Cifrele ce urmeaza dupa virgula in scrierea ca

fraclie zecimala periodica simpld a fracliei I seoDFn o1n lrgura I asuell$ pornim de la cercul maicat cu cifra 3 $iurmdh sensul sagetilor;$ se citesc cifrele de pe sageli in ordinea

rh.r i f .Fi. .eaf^ra "tFiWd 1c) Pentru o sigeate:

Subtoctul 3.

explicagi cum se oblin cifrele zedrnafe x $i d plecand de la cifracunoscuta c e {1,2, 3, 4, 5, 6} .Subiectul 2.Fie dat un triunghi dreptunghic ABC care are ipotenuza BC =l. Punctul D este proieciia ortogonale a punctului A pe dreapta Bgiar punctele E Si F sunt mjjloacelecatetelor AE. respectiv [AC].a) Sa se arate cd triunghiul DEF este dieptunghic.b) Calculafi in functie de lungimea c = ,4'B distanlele de lapunctul B la mijloacele laturilor triunghiului DEa

c) fueta{i ce se poate consEui un biunghi cu segmentele Bl4 B,\r$i BP, unde M, IVSiP sunr mtloacele larurilor triunghiului DEF.Fie a > b doue numere naturale prime, cu proprietatea cec = a + .l nu se divide cu b. Fiecare din numereleI e,2.c,.. . ,(b-1) e se imparte cu rest la b. Sa se a.rate a sumacaturilor s divide cu d. (Se qtie ca: plry impfica plx sau plU,oricaie ar fi p, x, y din N, cu p = prim.)

Timp de lucru: 2 oreSe acorda I p din oficiu penrru fiecare subiectSubiectepropusede lGct. dr. Cornol Berceatru20

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

22/34

r:.firl..llSolutll ti barem de corectare

Subiectul 1.al (5p) rolgggutCg4qsq-q9!*p6r"tjrezecimala:33028t2l

Repetil ie

0,{42e571)2014L96056t4l40JC-aFLE]5049ulm7t? l

oeci.9 =o.r+28sztr.7'b) (2p) Afiimalia este adevarate. Scriereao,(428571l= O,42857 42A57 . .reprezinta parcurgerea cicuce (ftua sfarsit) a segeFlor din Fiqtra1.c) (2p) Din algoritmul de mai sus desprindem schema:ifri din scriereazecimali

2I

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

23/34

Deci, 70.c 7 x+d $i prin urmare,x =cdtul Si d = restul din imp64irea cu rest a numirului naturall0 c Ia numS-rul7.Subiectul 2Notamcu b lungimeasegmentuluiACal/tp, Laturile triunghiului DEF au lungimile:1 =ep.r b-DF si fc-DE.222pp) Folosind relalia de asem;nare a triunghiurilor sauleciproca eoremei ui Pitagora,deducemca are 1or elatiaDE ).DF.b) BM = DQ (O este mijlocul

segrnentului BE)AD=bc-44RD =:BD =:c2

BS=c2AB=c2SD=c2AC=bc2AF =:b2l1TN=r lSD+ AFI=:bpcz +11

1lBT =-lBS + BAI::c lcz +l l

(2p)

(2p)

1-c4

_., t+ 8c4+7c2 +1

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

24/34

-i.,a;ii

(2p) au=f,aa=].ue |n =f,tIBP =1

cc)Ud Dlrr BM < BP < B.iV Sr BN 2 < {BM + Bp 12 urtneazAconcluzia.Subtectul 3(7p) Observe$ ce b >2 -{2p, Au loc egalitit e:t .c=Wr+\,

2.c=bq2+12,(b- l l .c=fo6-1+16-1,unde qi,ri !f Si ri < b-l {i = t52,...,b lJ-6,5p, Numdrul de resturi nu este nul: daca.ri =0 (i

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

25/34

' 'a::laa , :a.ar 1 .r: ll:ar.flp., Prin adunarea membru cu membru se obline egalitatea:I t, b(b - Ilc = bO + lbb -112-2]und.eQ = qI + q2 +...+ qb_t,aP, cum

D-l- .a_Q,2avemcaalO.

NotiiLa {iecare din cele trei subiecte se acorde cate un punct din oficiu.Orice alta rezolvare corecta se puncteaza corespu;tor.

dhd bySte{50

24

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

26/34

.:.'.r.::.1PROBLEME PROPUSEPENTRU CLASELT II - vII

Clasa a II-a1. Afla termerul necunoscut:la+3OO\+462=842(m-4OOj+373=62a2. Distanla dintre doua localitati A qi B este de 31S km. Unmotocictst strabate p6na h prima oprire 98 km $i inca l2O kmpana la urmatoarea pauzd; apoi a mers continuu pana seara.$tiind ca a innoptat intr-o localirate care se alld la 20 l

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

27/34

5. Dace Radu ar mai lucra 45 probleme, ar avea cat Flavia,iar Flavia constata ca mai trebuie sa faca 26 probleme ca se-Fitermine tema de vacanla, de 100 probleme.Cate probleme a rezolvat fiecaJe copil?6. Adina are o suma de balli cu care se-Qi cumpere cele necesarepenku scoala. Daca cumpdra 3 caiete ii mai r5fian 3 lei rest, iardaca cump5ra 4 caiete Qiun pix cu gel i-a.r mai trebui 10 lei.Ca! lei avea Adina ii cali lei costd caietul?Prof. inu. pimar Daniela. Gauild

Clasa a III-al. Scriecifrele 9, 8, 7 una l6nge alta, astfel incat sa formezeun numer de trei cifre caie prin imperlirea la cel mai marenumar de o cifrd sa deacalul de lorma 6i qi restul6.2. Determinati toate numerele de trei cifre ca.re au cilrazecilor un numer par, iar cifra unitatilor este de trei ori mai mar.edecat cifra sutelor- Prof. iftu. pimar lamandei Mariral . Calculeaze:>

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

28/34

Chsa a fV-af . Alali cel mai Inic $i cel mai mare numeJ de formacu cifre diferi te$ti ind ce b+d=a+c+e.2. Despre numerele naturalea +2b + 4c=17 51, a+ b +2c=IO. a, b, q d se $tie cab)poate scrle ca suma a 4 termeri despre ca.rese qtie ce incepandcu a.ldoilea. iecare ermeneste dublul termenului precedent.4. Peste trei a-ni, tati_l gi frul vor avea impreuna 46 de alli.Cend fiul avea5 ani, tatal avea 29 de ani. pestecad ani tatel vaavea riplul v6rsrei luLui? Prof. Laurenliu librea

C?]cl l ]al i a+b+2c.

'1. Determinali numerele naturale a 9i b astJel ncat13.2a=2b +5.2, Rezolvali n N eciralia ab = n .(3c + 4b)3. Alla1i numerele naturale x qi y as11"1irr61, !I1!5J. + tJqi,x+g

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

29/34

.:.t,-r::a,-:aar:a,.: r:.r:.:.. .4, Aratati ca frac a 2ol2l+l este reductibila.2013!+5. Determinali iy stiind ca il: . nA+6x6, Intr-un rabel 13'13 sepot scrienumerele . 2. 3. .... 169astfel incat in fiecare coloa-na suma unor numere sa fie egala cusuma celorlalte numere din aceacoloana?7. Cate numere mai mici sau egale cu 2012 nu sunt divizibilenici cu 5, nici cu 13?8. Sd se arate ce nu exista ,c,y N astfel incat*2 *y2 =2ot1.9. Rezolvali n N ecualia a2 + b2 + c2 = I28 .Prof. Mariana Guzl

Glasa VI-a1. a) F1,e a, b, c numere intregi care satisfac urmatoarelecondi l i i :la l= lb+cl , la l= la+cl , lc l= la+al . Aretal i ced+b+c=O.b) Fie A c Z o mullime cu 201 1 elemente cuproprietatea ce, oricaJe ar fr xeA, atunci -x4. Aflal iprodusul elemenrelormull imi i A. Prof. Nelu Auigeanul. Fie a qi b numere naturale nenule. Demonstrafi canumerele 1 1o + 7b qi 1 a - 7b nu pot fi simultair patrate pedecte.2. Fie numdrul A=(n-9)(n+8)+578,nN. Sa sedemonstreze a dacd 17dividepe A, atunci $i 289 dividepe A.3. Daca p ei p2 +2 sunt numere naturale prime,demonstrali a 9i pJ 2 estenumarprim.4. Aflali numerele naturale ca.re au exact doi divizori proprii$tiind ca suma acestora reprezinte 25% din suma divizorilorimproprii.28

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

30/34

5. Rezolvali in mu1limea lumerelo! naturale nenule ecualia: ' :=*- ; r . unde tx.y) qi [x.y l reprezinrr i.m.m.d.c.u (",d l",vl'respectrv c.m,m.m.c. al numerelot naturale x si t/.6. Fie a si b numere naturale nen;le astfel -mcar4. l l 1b 2 3 r37Ar:Atalica @- b este divizibil cu 139.7, In triunghiul ABC cu mlA)=go', se consideri D mijloculIaturi i {BCl 9i Ec{AC) asrlel incar ae =? nC. gti ind ceAD L DE , determinali masurile unghiurilor triu"nghiului ,4AC8. Fie M Si ff mijloacele laturilor (Aq Si (Eg ale triunghiuluieBC Pe latura (Bg se ia punctul P Si se noteaza cu e intersecliadreptelor AP qi MN. Demonstrati AQ IQB daci Si numai daceAP este bisectoarea unghiului BAC. Prof. Gicuta Dochioiu

Clasa VII-a1. Fie petrahrl ABCD. Pe dreapta AC se considera punctele E$i 4 astfel incat E(AC), c{EF), [AE]= [cF']=[AB]. DacaSEnDC=lM\, gEaAD={N}, DFl-.\C,V{p}, areta! capunctele A, M, P sunt coliniare. Prof. Nelu Auigeamtl . a) Dace a,bez ast fe l ncat Sab+a-b=S, atunci

\a,bJcifrelor

b) Aratali ca exista o inlinitate de perechia,b eQ\Z pentm care(Sab a-ble Z.2. Numim numd-r,cubic_ n numar care are sumaegalacu suma cuburilor cilrelor sa]e.a) Cate numere de 4 cifte sunt "cubice"?b) Cate numere de n cifre (n N- ) sunt ,,cubice,'?29

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

31/34

. . . ' . i . : a:r :aala ' , - : '3. Aflali toate-nuinerele impaie de forma 6Ed careindepJinesc ondilia tlobc - cba - dd .4. Fie paralelogramulABCD cu tu(A)= 45' qi AB = AD.v6. Seconstmiesc in exteriorul seu petratele ADM,Vqi CDpe.a) ArataF ce (M,IV,P), respectiv (Iy,D,C), sunt formate dinpuncte coliniare.bl PD OM Qi AM ll PC, unde {o\ = CP^ DQ .c) Daca AB = n,Jd a N, allali valoarea midime a lui nStiind ce potgonul ABCQPN arc aiia exprimata printr-un numd_inatural, iar' 4 este format din 3 cifre diferite. ProJ Laurentiu Tibrea

dbTHffl.lw{oa&dbu$fefS030

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

32/34

' .: l ' r:: l

CUPRINSCuvant inainte 3Concursul lnterjudelean de Matematica,,Euclid,,,Focqari,29 mai 2010,Edi t iaa VI-a . . . . . . . . . . . . . . . . , .Clasa a II-a - subiecteClasa a II-a - bar-em

Probleme propuse pentm clasele II - \tI

567

252526Clasa a I l-a 27272A2931

4l

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

33/34

Editura TAIDA Iasist'. Vasile Lqtu. nr. 70 - 74, bt pS, sc.A, ei. S, ap. 12, Ia9. - TOOgOg'1e1./ Iax: 0232.27O2SO

www.edituratalda.ro

7/27/2019 Concursul.de.Matematica.euclid Clasele.2 7

34/34

i i