concursul interjudeŢean de matematicĂ „ traian lalescu ” edi ţia a xx-a

INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI TIMIŞCONSILIUL JUDEŢEAN TIMIŞ

CONSILIUL LOCAL AL MUNICIPIULUI LUGOJ

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ„TRAIAN LALESCU”

Ediţia a XX-a

DELEGAŢIIDELEGAŢIIREZULTATEREZULTATE

SPONSORISPONSORISUBIECTESUBIECTE

COLEGIUL NAŢIONAL „CORIOLAN BREDICEANU”

ORGANIZATORIORGANIZATORICOMISIE DE CONCURSCOMISIE DE CONCURS

TRAIAN LALESCUCine a fost Traian Lalescu?

Istoria ştiinţei româneşti înregistrează în strălucitele ei pagini numele unui mare matematician:Traian

Lalescu. Matematicianul Traian Lalescu este o figură remarcabilă în istoria matematicii din România. Dar cine a fost matematicianul Traian Lalescu? Istoria matematicii din ţara românească îl plasează pe

profesorul Traian Lalescu alături de Gheorghe Ţiţeica şi Dimitrie Pompei, în grupul întemeietorilor şcolii matematice române.

Desigur, matematica fusese cultivată atât în Muntenia, cât şi în Moldova şi Transilvania cu mult înainte si rezultate interesante fuseseră obţinute de matematicieni ca Spiru Haret, a cărui teză de doctorat, privind stabilirea miscării planetelor, mai este si astăzi citită. Dar înspre sfârşitul secolului XIX şi începutul secolului XX se operează o schimbare importantă, esenţiala:în Ţările Române, si mai apoi in România apar şcoli matematice originale. Pe aceasta linie se înscrie şi activitatea profesorului Traian Lalescu.

Familia Lalescu este originară din Banat, din comuna Cornea, judeţul Caraş-Severin. Tatăl profesorului se numea tot Traian, ca şi fiul său de altfel, după cum cerea tradiţia locului de origine al familiei. Fiu al unui funcţionar la Banca Naţionala a României ,matematicianul Lalescu s-a născut la Bucureşti în 24 iulie 1882.Nici tatăl său nu era însă un simplu funcţionar, de la el s-a păstrat o broşură tipărită la Bucureşti în anul 1876, lucrare în care analiza unele probleme economice ale agriculturii noastre; ca şi o altă lucrare, “Agenda băncilor populare si metodul de coeficient Lalescu”.Aceste titluri ne vădesc un om cu preocupări variate – trăsătură ce caracterizează şi pe matematician.

Tânărul Traian Lalescu şi-a făcut studiile primare la Bucureşti, după care a fost nevoit sa schimbe des oraşul şi şcoala, părinţii stabilindu-se în interes de serviciu, pe rând, la Craiova, Roman şi Iaşi, unde a urmat cursurile celebrului Liceu Internat. Cel care mai târziu a devenit vestitul matematician Lalescu a fost întotdeauna Premiantul I al clasei şi premiant de onoare al şcolii – ceea ce explică de ce este menţionat pe tabelul de onoare al Liceului cu atâta faimă de la Iaşi.

Încă din timpul şcolii, Traian Lalescu îşi descoperă adevărata vocaţie:matematica. El devine un asiduu colaborator la Gazeta Matematica. În 1900 se prezintă la concursul de admitere de Şcoala de poduri şi şosele din Bucureşti – actualul Institut Politehnic – reuşind primul. Dar la fel cum avea să facă ceva mai târziu cunoscutul matematician, Grigore C. Moisil, in 1903 se retrage definitive la Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti, secţia de matematici. În acelaşi timp, funcţionează ca profesor suplinitor de matematici la un liceu particular. În scurtă vreme îşi ia licenţa în matematici cu calificativul “foarte bine” şi obţine o bursă cu care pleacă la Paris, unde îşi ia din nou licenţa şi apoi doctoratul în matematici. Tot la Paris îşi ia diploma de inginer electrician.

TRAIAN LALESCUTeza de doctorat a lui Traian Lalescu trata un subiect foarte actual in acest moment, anume aşa-numitele ecuaţii integrale

de tip Volterra. Aşa după cum arată istoria matematicii, teza de doctorat a lui Lalescu constituie prima contribuţie românească importantă in domeniul ecuaţiilor integrale. Rezultatele lui Lalescu pot fi considerate clasice, fiind incluse în tratatele de renume mondial, dintre care unele se datorează chiar lui Volterra – creatorul teoriei tipului de ecuaţii care-i poarta numele. În ianuarie 1909, Traian Lalescu e numit profesor suplinitor la Facultatea de Ştiinţe a Universităţii din Bucureşti,lucrând şi în

învăţământul liceal până în 1912.De asemenea, el lucrează la Şcoala de poduri şi şosele, ca succesor al lui Spiru Haret. În timpul primului război mondial, Lalescu are o contribuţie însemnată în ceea ce priveşte apariţia, în timpul refugiului, la Iaşi ,

a Gazetei Matematice. În 1918, Lalescu pleacă cu alţi profesori la Paris, spre a sprijini cauza unităţii României. Acolo publică o teorema importantă

privind funcţiile periodice polinomiale, teoremă ce a format punctul de plecare a numeroase cercetări. În 1920, are un rol important în crearea unei şcoli politehnice la Timişoara, Lalescu fiind primul director(rector) al acestei

şcoli. Moartea îl surprinde în plină putere de creaţie, la vârsta de 47 de ani(1929). Traian Lalescu a fost un matematician de o originalitate rar întâlnita şi cu o putere de muncă prodigioasă. De la el au rămas

numeroase cursuri care deschideau drumuri noi în literatura noastră de specialitate:ecuaţii integrale, teoria maxwelliană a electromagnetismului, calculul vectorial şi tensorial, teoria relativităţii. Iată numai câteva din domeniile abordate cu succes de marele savant. Desigur, denumirile mai sus citate sunt pentru voi, copiii, necunoscute, dar mai târziu le veţi întâlni adeseori.

Traian Lalescu era interesat de idee, de eleganţa demonstraţiei, de sensurile profunde ale teoremelor întâlnite. El abordează cu succes toate domeniile noi ale matematicii contemporane, printre altele aducând contribuţii importante la studiul seriilor trigonometrice şi al ecuaţiei integrale. În acelaşi timp, Lalescu a format, atât la Bucureşti cât şi la Timişoara, numeroşi matematicieni care s-au afirmat apoi la succes.

Ca omagiu aduc memoriei lui Traian Lalescu, începând cu anul 1985 a fost organizat anual (mai puţin în anii 1989 si 1990) Concursul Interjudeţean „Traian Lalescu”.

La acest concurs participă cei mai buni cinci elevi din clasele V-XII, din judeţele Arad, Caraş-Severin, Hunedoara, şi Timiş, selectaţi în urma desfăşurării olimpiadei de matematică – etapa judeţeană. Concursul se organizează prin rotaţie în unul din judeţele participante.

Ediţia a XX-a, din acest an, se organizează în judeţul Timiş la Colegiul Naţional „Coriolan Brediceanu” din Lugoj, în perioada 24-26 martie 2006.

Concursul are loc sub patronajul Facultăţii de Matematică din cadrul Universităţii de Vest – Timişoara, în organizarea Inspectoratului Şcolar Judeţean Timiş,al Consiliului Judeţean Timiş, al Consiliului Local al Municipului Lugoj şi al Colegiului Naţional „Coriolan Brediceanu”.

Participă la acest concurs cei mai buni 5 elevi de nivel de clasă din fiecare judeţ şi un număr de invitaţi (elevi, cadre didactice, personalităţi), numărul total de participanţi fiind de aproximativ 250. Organizatorii acestui deosebit concurs vă urează mult succes!

Director al Colegiului Naţional „Coriolan Brediceanu”, Prof. Ing. Boldea Francisc

COLEGIUL NAŢIONAL “CORIOLAN BREDICEANU”

CO

NC

UR

SU

L I

NTERJU

DEŢEAN

AN

LA

LE

SCU

”

„TRAI

Ediţia a XX-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ“TRAIAN LALESCU”

Ediţia a XX-a

Preşedinte: Fiz. Dr. Sandu Golcea, Inspector Şcolar General - I.S.J. Timiş

Vicepreşedinţi: Prof. Zeno Blajovan - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. Timiş Prof. Petria-Elena Boldea - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. Timiş Prof. Ing. Boldea Francisc - director Colegiul Naţional „C.Brediceanu”

Membri:Prof. Orbulescu Mateşescu Petru Prof. Marius Lobază Prof. Neamţu Mihai Prof. Ioan Miclea Prof. Noemi Neamţu Prof. Dinu IonProf. Trandafir Bot Prof. Maria Ana Dobîndă Prof. Nicolae Seimeanu Prof. Ion Jinaru Prof. Ban Cornelia Prof. Gheorghe Ban Prof. Dumitru Ramona Prof. Petruţescu Petru Prof. Sima Aurelian Prof. Păun Popovici Prof. Drinovan Gheorghe Prof. Gheorghe FranţescuProf. Gheorghiţă Sebastian Prof. Giuca Ecaterina Prof. Dobîndă MarinetaProf. Ianculescu Doru Prof. Dumitru Florin Nistor Prof. Stoian CătălinIng. Torok Ladislau Prof. Bombescu Florin Prof. Teodora Ştefan

Secretar şef Nicolea Liliana Secretar Găvruţia Mihaela Bibliotecar Doina Taloi Laborant Mariana Liuba

Comitetul de organizare:

CO

NC

UR

SU

L I

NTERJU

DEŢEAN

AN

LA

LE

SCU

”

„TRAI

Ediţia a XX-a

COMISIE DE CONCURSCOMISIE DE CONCURSPreşedinte: Prof. Univ. Dr. Mihail Megan, prorector al Universităţii de Vest TimişoaraVicepreşedinte: Prof. Univ. Dr. Nicolae Suciu,prodecan al Facultăţii de Matematică şi InformaticăInvitat de onoare: Prof. Univ. Dr. Gilles Cassier, Universitatea Lyon I, Franţa Membri:

Prof. Univ. Dr. Radu ViorelConf. Univ. Dr. Gheorghe Silberberg Universitatea de Vest TimişoaraConf. Univ. Dr. Silviu BirăuaşLector Univ. Dr. Dorel Miheţ

Lector Univ. Dr. Gheorghe Eckstein Facultatea de Matematică şi InformaticăLector Univ. Dr. Dan ComănescuLector Univ. Drd. Mihai ChişAsistent univ. Drd. Radu MoleriuStudent Stoianov GeorgeStudent Florin Bătăran

Prof. Zeno Blajovan - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. TimişProf. Petria-Elena Boldea - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. TimişProf. Viorel Tudoran - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. AradProf. Maranda Linţ - Inspector şcolar de specialitate - I.S.J. HunedoaraProf. Paul Mihai Şuşoi - Inspector şcolar de specialitate-ISJ Caraş SeverinProf. Mihai Neamţu – Colegiul Naţional “C. D. Loga” Timişoara

DELEGAŢIIDELEGAŢII

Lugoj

Inspectoratul Scolar al Judetului Arad

Nume si prenume elev Scoala de provenienta Clasa Profesor antrenor

Neamtu Adriana Col.Nat. „M.Nicoara” V Potocean Octavia

Dance Bogdan Col.Nat. „E.G.Birta” V Neagu Antonela

Munteanu Mihai Sc. Gen. „A.Vlaicu” V Vlaicu Hergane Aurica

Jivan Andra Sc. Gen. „I. Slavici” V Pellegrini Lilla

Danciu Bogdan Col.Nat. „M.Nicoara” V Moraru Augustini

Bran Diana Col.Nat. „M.Nicoara” VI Potocean Mircea

Frent Simon Col.Nat. „M.Nicoara” VI Toader Maria

Visoan Laura Col.Nat. „M.Nicoara” VI Potocean Mircea

Oancea Stefan Col.Nat. „M.Nicoara” VI Toader Maria

Savulov Tulia Col.Nat. „M.Nicoara” VI Toader Maria

Varsandan Laura Sc. Gen.”I.Slavici” VII Muresan Aniko

Costea Filip Col.Nat. „M.Nicoara” VII Negrila Liliana

Tociu Laura Sc. Gen. Nr. 5 VII Iov Gheorghe

Ghita Vlad Col.Nat. „M.Nicoara” VII Negrila Liliana

Cadar Sorin Sc. Gen.”I.Slavici” VII Pellegrini Lilla

Micula Adina Sc. Gen. Nr. 5 VIII Schnakovszki Catalina

Munteanu Ioana Col.Nat. „E.G.Birta” VIII Neagu Antonela

Filip Laurian Col.Nat. „M.Nicoara” VIII Potocean Mircea

Novanc Andreea Sc. Gen. „A. Vlaicu” VIII Vlaicu Hergane Aurica

Giurgiu Rares Col.Nat. „M.Nicoara” VIII Potocean Mircea

LICEU

PROFESORI


DELEGAŢIIDELEGAŢIIInspectoratul Scolar al Judetului Arad

Nume si prenume elev Scoala de provenienta Clasa Profesor antrenor

GIMNAZIU

Baltean Radu Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia

Gavra Ioana Col.Nat. „M.Nicoara IX Toader Maria

Frent Ligia Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia

Horin Alexandru Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia

Demean Sebastian Col.Nat. „M.Nicoara IX Potocean Octavia

Barsa Mariela Col.Nat. „E.G.Birta” X Camenita Marcel

Lasc Anca Col.Nat. „M.Nicoara X Portal Wilhelm

Panda Cristian Col.Nat. „M.Nicoara X Doba Francisc

Papiu Alexandru Col.Nat. „M.Nicoara X Toader Maria

Bora Adrian Col.Nat. „M.Nicoara X Portal Wilhelm

Bogosel Beniamin Col.Nat. „E.G.Birta” XI Dumitrica Sorin

Ambrus Adrian Col.Nat. „E.G.Birta” XI Dumitrica Sorin

Bucur Gabriel Col.Nat. „M.Nicoara XI Potocean Octavia

Panda Corina Col.Nat. „M.Nicoara XI Potocean Octavia

Radac Andrei Gr. Sc. Ind. „M.Viteazul ” Ineu XI Jurca Dorina

Margea Andrei Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Mircea

Szepesi Robert Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Mircea

Crasnic Loriana Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Octavia

Totorean Alin Lic. Teor. „V. Goldis” XII Bocaniciu Eugen

Iernila Simona Col.Nat. „M.Nicoara XII Potocean Octavia

PROFESORI

Inspectoratul Scolar al Judetului Arad

GIMNAZIU

LICEU

Profesori corectori:Nr. crt Nume si prenume Scoala de provenienta

1. Cocos Adriana Sc. Gen. „A.Cotrus” 2. Potocean Octavia Col.Nat. „M.Nicoara” 3. Toader Maria Col.Nat. „M.Nicoara” 4. Doba Francisc Col.Nat. „M.Nicoara”

5. Dumitrica Sorin Col.Nat. „E.G.Birta”

6. Halmagean Eugen Lic. Arta „S.Dragoi” 7. Iov Gheorghe Sc. Gen. Nr. 5 8. Potocean Mircea Col.Nat. „M.Nicoara”

Profesori Invitati : Tudoran Viorel - Inspector Scolar de SpecialitatePortal Wilhelm - Director Colegiul National „Moise Nicoara”

Profesori insotitori :Tocoian Daniel - Director Adjunct Scoala Generala „Aron Cotrus”Moraru Augustini - Colegiul National „Moise Nicoara”

Inspector Scolar de SpecialitateProf. Viorel Tudoran


Nume ,Prenume Clasa Şcoala Profesor antreonr

Popa Andreea V Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş

Dragomir Adrian

Moţ Mihaela Ioana V Şc.cu cls.I-VIII Nr.6 Reşiţa Unţanu Georgela

Pascu Andra Diana V Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Reşiţa Drăghici Maria

Tabugan Cătălina V Lic.Teoretic Băile Herculane Golopenţa Marius

Florea Iuliana V Şc.cu cls.I-VIII Nr.8 Reşiţa Ţunea Ana

Semenescu Anca VI Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Humiţa Dorina

Petrea Alin VI Grp.Şc.Moldova Nouă Gâdea Vasilica

Uţă Robert VI Grp.Şc.Moldova Nouă Gâdea Vasilica

Enciu Sandra VI Lic.Teoretic „Diaconovici Tietz” Reşiţa

Vlăduceanu Cristina

Mânea Ela VI Lic.Teoretic Băile Herculane Haracicu Maria

Zanfir Cristian VII Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş

Dragomir Delia

Dincea Ion Cristian

VII Lic.Teoretic Băile Herculane Bolbotină Constantin

Simion Larisa VII Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Reşiţa Şandru Marius

Gaşpar Nicoleta VII Lic.Teoretic Băile Herculane Drăgan Vasile

Meşter Sergiu VII Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Reşiţa Şandru Marius

Milcu Roxana VIII Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Moatăr Lavinia

Vlad Adina VIII Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Moatăr Lavinia

Lupu Vlad VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.3 Oţelu Roşu Boldea Florică

Borlovan Călin VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.8 Caransebeş Ciocan Florin

Olariu Sebastian VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.8 Caransebeş Ciocan Florin

Stăniloiu Ovidiu VIII Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 Bocşa Todor V.

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Caraş-Severin

LICEU

PROFESORI



GIMNAZIU

PROFESORI

Nume ,Prenume Clasa Şcoala Profesor antrenor

Unguraş Dragoş IX Grp.Şc.Oţelu Roşu Dragomir Lucian

Gurgu Anton IX Lic.Ped.”C.D.Loga” Caransebeş Moatăr Lavinia

Dragomir Lucia IX Grp.Şc.Oţelu Roşu Dragomir Lucian

Popa Andreea IX Grp.Şc.Anina Neagoe Petrişor

Caraiman Gabriela IX Lic.Teoretic Băile Herculane Golopenţa Marius

Istodor Cosmin X Grp.Şc.Oţelu Roşu Dragomir Lucian

Popovici Doru X Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” Reşiţa Bădescu Ovidiu

Dochin Luminiţa X Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş

Moatăr Lavinia

Luţă Răzvan X Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Buzilă Mircea

Sava Bogdan X Grp.Şc.Moldova Nouă Murg Stana

Cucu Silviu XI Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” Reşiţa Bădescu Ovidiu

Frâncu Andreea XI Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Mihailovici Dana

Paraschivu Andreea XI Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Buzilă Mircea

Secheşan Claudiu XI Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa Mihailovici Dana

Hurduzeu Ovidiu XI Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş

Didraga Iacob

Chiş Andrei Vasile XII Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” Reşiţa Bădescu Ovidiu

Peia Oana XII Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş

Didraga Iacob

Andrei Corina XII Lic.Teoretic „Traian Doda” Caransebeş

Didraga Iacob

Bulacu Dan XII Lic.Teoretic „Eftimie Murgu” Bozovici

Găină Iosif

Pădureanu Claudia XII Grp.Şc.Moldova Nouă Scorţan Gheorghe



GIMNAZIU

LICEU

Profesori corectori:Prof.Moatăr Lavinia – Lic.Teoretic „Traian Doda” CaransebeşProf.Gâdea Vasilica - Grp.Şc.Moldova NouăProf.Şandru Marius - Şc.cu cls.I-VIII Nr.2 ReşiţaProf.Dragomir Delia - Lic.Teoretic „Traian Doda” CaransebeşProf.Bădescu Ovidiu - Lic.Teoretic.”Traian Lalescu” ReşiţaProf.Didraga Iacob - Lic.Teoretic „Traian Doda” CaransebeşProf.Dragomir Lucian - Grp.Şc.Oţelu RoşuProf.Buzilă Mircea - Lic.Teoretic.”Traian Vuia” Reşiţa

Profesori însoţitori:Prof.Chiş Vasile - Şc.cu cls.I-VIII Nr.9 ReşiţaProf.Iatan Rodica - Lic.Teoretic „Tata Oancea” Bocşa

Insp.Şcolar de Specialitate Prof.Drd.Paul Mihai Şuşoi


INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI HUNEDOARA DELEGAŢIIDELEGAŢIInumele şi prenumele unitatea şcolară clasa profesor

TATULEA MARIA C.N. I.C."BRĂTIANU" HAŢEG V STOICA ALINA

DINIŞ DIANA C.N. "DECEBAL" DEVA V LINŢ DORIN

ISAC ANDREI ŞC. GEN." I.G.DUCA" PETROŞANI V LĂUTARU ALEXANDRU

LĂZĂRESCU ALEXANDRA ŞC. GEN. "HOREA ,CLOŞCA ŞI CRIŞAN" BRAD V PAŞCU VOICHIŢA

NICULESCU VLAD ŞC. GEN. "I.G.DUCA" PETROŞANI V CHIFOR STELUŢA

IORDAN CRISTIAN C.N. "DECEBAL" DEVA V SZELL MARGARETA

GURALIUC ŞTEFAN C.N. "DECEBAL" DEVA VI PIŢU LUCIAN

HUSZAR OTILIA ŞC. GEN.NR.4 VULCAN VI OZUNU FELICIA

JUDUC ANDREI ŞC. GEN. CĂLAN VI DINIŞONI MANUELA

MONDA MARIUS ŞC. GEN. CĂLAN VI DINIŞONI MANUELA

MUSCALAGIU ANDREEA C.N. "EMANUIL GOJDU" HUNEDOARA VI GIURCA ILEANA

STERN VLAD EDUARD ŞC. GEN. NR 3 LUPENI VII TRUŢĂ GHEORGHE

IOVĂNESCU PETRU ŞC. GEN. "O. DENSUŞIANU" HAŢEG VII MICLOŞONI EUGENIA

OPREA MEDANA C.N. "DECEBAL" DEVA VII PIŢU LUCIAN

TĂNĂSESCU TIBERIU C.N. "DECEBAL" DEVA VII LINŢ DORIN

ENACHE MĂDĂLINA LIC.TEORETIC LUPENI VII STOI MARIA

MARIAN MIHAIL C.N. "DECEBAL" DEVA VII LINŢ DORIN

PLOSCAR LAVINIA C.N. "DECEBAL" DEVA VII LINŢ DORIN

TIMOFTE CHRISTIANA ŞC. GEN." I.G.DUCA" PETROŞANI VIII CHIFOR STELUŢA

GLINŢĂ ANDA ŞC. GEN. NR 2 LUPENI VIII VELCEA EMILIA

BENEA LICINIUS C.N. "DECEBAL" DEVA VIII GOLGOŢIU FLAVIA

ISZLAIY MARIA ŞC.GEN." A.STANCA" PETROŞANI VIII DEMETER MOHORA ŞTEFAN

LICEU

PROFESORI

INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI HUNEDOARA DELEGAŢIIDELEGAŢII

PROFESORI

GIMNAZIU

numele şi prenumele unitatea şcolară clasa profesor

POPA ANDREEA C.N. "DECEBAL" DEVA IX TOMA GHEORGHE

BACI SONIA C.N. "A.IANCU" BRAD IX NOVĂCESCU IOAN

ZOTA PATRICIA C.N. "A VLAICU" ORĂŞTIE IX TODORAN DANIEL

BELEU LIA LIC.TEORETIC LUPENI IX IANOŞI DANIEL

KOVACI ERIK C.N. I.C.BRĂTIANU HAŢEG IX NICOARĂ DANIEL

PĂCURAR LIDIA C.N. DECEBAL DEVA IX TOMA GHEORGHE

PALIŢĂ FLORIAN LIC. DE INFO. PETROŞANI X TOROAPĂ CONSTANTIN

ŞTEFAN LAVINIA C.N. "A. IANCU" BRAD X CIRCO STELIAN

GHERGAN OANA C.N. "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG X NICOARĂ ADRIANA

POPU ALEXANDRA LIC. TEOR."M. EMINESCU" PETROŞANI X LEPĂDATU IOAN

ALDEA MIHAELA C.N. "A.VLAICU" ORĂŞTIE X ŞERDEAN IOAN

OPRIŞA CIPRIAN C.N. "A. IANCU" BRAD XI IGHELSKY EUGEN

BABA MIHAI SEBASTIAN C.N. "T.LALESCU" HUNEDOARA XI BADE SIMION

LAKATOS EMIL C.N. "I.C.BRĂTIANU" HAŢEG XI NICOARĂ DANIEL

STOICUŢA FLAVIUS C.N." I.C.BRĂTIANU" HAŢEG XI NICOARĂ DANIEL

TEMNEANU AMALIA LIC TEOR. "M. EMINESCU" PETROŞANI XI TELECHE FLORICA

PASCU GABRIEL C.N. "I.DE HUNEDOARA" HUNEDOARA XII MARINESCU DAN ŞTEFAN

GROŞAN RALUCA LIC. TEOR".M. EMINESCU "PETROŞANI XII LEPĂDATU IOAN

INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI HUNEDOARA DELEGAŢIIDELEGAŢII

PROFESORI

GIMNAZIU

Profesori corectori:nr.crt. numele şi prenumele unitatea şcolară

1 MARINESCU DAN ŞTEFAN C.N."I.DE HUNEDOARA" HD.

2 LINŢ DORIN C.N."DECEBAL" DEVA

3 MONEA MIHAI C.N."DECEBAL" DEVA

4 ŞERDEAN IOAN C.N."A.VLAICU" ORĂŞTIE

5 NICOARĂ DANIEL C.N."I.C.BRĂTIANU" HAŢEG

6 STROE MARIAN C.T."EMANUIL GOJDU" HD.

7 GIURCA ILEANA C.T."EMANUIL GOJDU" HD.

8 TOMA GHEORGHE C.N."DECEBAL" DEVA

nr.crt. numele şi prenumele unitatea şcolară1 CHIFOR STELUŢA ŞC.GEN. „I.G.DUCA" PETROŞANI2 FĂRCAŞ VIOLETA ŞC.GEN. BAIA DE CRIŞ

Profesori însoţitori:

INSPECTOR SCOLAR DE SPECIALITATE

PROF. MARANDA LINŢ

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş DELEGAŢIIDELEGAŢII

LICEU

PROFESORI

NUMELE ŞI PRENUMELE cls PROFESOR ŞCOALANEAGOE SORIN V Lolea Angela Scoala cu cls.I-VIII 16ILCA SERBAN V Popa Adriana Sc. cls. I-VIII nr. 7PANAINTE RUXANDRA V Tache Mihaela Scoala cu cls.I-VIII nr.24RIVIS MARIO V Popoviciu Diana Lic. Teoretic LenauSTOIAN DIANA V Tănasie Alexandru Colegiul Naţional BănăţeanHARITON LEONARD VI Lobaza Daniela Scoala cu cls.I-VIII nr.24MOISE MIHAI VI NICOLICIOIU MIRELA ŞCOALA CU CLS. I -VIII NR.22SILBERBERG ALFRED VI BUŞE GABRIELA ŞCOALA CU CLS. I -VIII NR.22ILCA TUDOR VI Roman Vasile Sc. cls. I-VIII nr. 7LUPULESCU PATRICIA VI Giuca Ecaterina Liceul Teoretic BuziasBALACI ANDREI VII Bot Trandafir Colegiul Naţional ,, Iulia Haşdeu ’’DRĂGĂNESCU ALINA VII BUŞE GABRIELA ŞC. CU CLS. I -VIII NR.22PAVAL ROXANA VII Barbu Emanuela Scoala cls.I-VIII SacalazIACOB DIANA VII Bistran Ioan Sc. Cls. I-VIII NR. 13 TimisoaraSUGARIU CLAUDIU VII Mocanu Livia Col.Tehnic "I. Mincu"LASCU DIANA VIII MARTA ADRIAN ŞCOALA CU CLS. I -VIII NR.22ZAHARIE DAN VIII Seran Nicolae Scoala cu cls.I-VIII nr.24BOCIU ALEXANDRU VIII Bociu Cerasela Sc. Cls. I-VIII NR. 13 TimisoaraAVRAMESCU ANDREI VIII Jiroveanu Cristina Liceul Pedagogic"C.Sylva"LUPU ALEXANDRU VIII Dinu Ion Colegiul Naţional ,, C. Brediceanu’’

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş DELEGAŢIIDELEGAŢII

PROFESORI

GIMNAZIU

NUMELE ŞI PRENUMELE cls PROFESOR ŞCOALACHIŞAVU LAZĂR IX Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”KOVACS LAVINIA IX Nemes Adrian Colegiul National C.D. LogaVID ALEXANDRU IX Oprea Gabriela Liceul ,,Grigore Moisil”GHIŢĂ OANA IX Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”GIURCHIŢA DIANA IX Oprea Gabriela Liceul ,,Grigore Moisil”POPEŢ BOGDAN IX Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”PASCA LUCIAN X Neamtu Mihai Colegiul National C.D. LogaMOLDOVEAN BOGDAN X Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”CRAINIC OANA X Barta Tiberiu Colegiul National BanateanCIOBANU MARIUS X Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”LUNGU OANA X Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”DURA ALEXANDRU XI Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”POROBIC ISMET XI Cristescu Violeta Colegiul National C.D. LogaMICLEA MARIUS XI DINU IOAN C.N. "CORIOLAN BREDICEANU"TOADER ROXANA XI Oprea Gabriela Liceul ,,Grigore Moisil”ZĂVADĂ BOGDAN XI Ianculescu Doru Liceul ,,Grigore Moisil”GĂLĂŢAN ALIN XII Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”HEIDELBACHER CRISTOPHER XII Neamtu Mihai Colegiul National C.D. LogaBERCEA IOANA XII Georgescu George Liceul ,,Grigore Moisil”STĂNEI DANIEL XII Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”HRISTEA SERGIU XII Georgescu Ruxanda Liceul ,,Grigore Moisil”

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Timiş DELEGAŢIIDELEGAŢIIGIMNAZIU

LICEU

1 ROŞCA MONICA COLEGIUL TEHNIC "ION MINCU" TIMIŞOARA2 CHIŞAVU IONEL ŞCOALA CU CLS. I-VIII TORMAC

1 DOBÎNDĂ MARIA ANA LIC. TEORETIC „T.VUIA” FĂGET

2 SIMONESCU PETRU ŞC. CU CLS. I-VIII „S.TITEL” MARGINA

3 BOCIU CERASELA ŞC. CU CLS. I-VIII NR. 13 TIMIŞOARA

4 SEIMEANU NICOLAE COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN TIMIŞOARA

5 GEORGESCU GEORGE LICEUL „GRIGORE MOISIL” TIMIŞOARA

6 IANCULESCU DORU LICEUL „GRIGORE MOISIL” TIMIŞOARA

7 TACHE MARIAN LIC. TEORETIC „W.SHAKESPEARE” TIMIŞOARA

8 POŞTARU CĂLIN COL. ECONOMIC „F.S.NITTI” TIMIŞOARA

1 LOBAZĂ MARIUS COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN TIMIŞOARA2 SEIMEANU NICOLAE COLEGIUL NAŢIONAL BĂNĂŢEAN TIMIŞOARA

MEMBRI ÎN COMISIA DE ORGANIZARE

PROFESORI EVALUATORI

PROFESORI ÎNSOŢITORI:

INSPECTORI ŞCOLARI DE SPECIALITATE

PROF. ZENO BLAJOVAN PROF. PETRIA-ELENA BOLDEA

Au fost lângă noi şi le mulţumim:Consiliul Local al Municipiului LugojConsiliul Judeţean TimişInspectoratul Şcolar al Judeţului TimişCasa de Cultură a Municipiului Lugoj

S.C. Dacia Turism S. A.Clubul Rotary LugojPrimăria FăgetPower Distribution TimişoaraS.C. Rieker Romania S.R.LS.C. Lugomet S.A.S.C. Silcom S.A.S.C. A. Ardelean Company S.A.S.C. Eta2U S.A.

S.C. ANAXOR S.R.L.S.C. AEDLOB S.R.L.S.C. LECORON 2004 S.R.L.S.C. Titerlea Prod 99 S.R.L.S.C. SCHOLLER S.R.L.S.C. Agromec S.A. HonoriciS.C. Rolem S.R.L.S.C. Agache S.R.L.Caritas CiacovaS.C. MONDIAL S.A.

REZULTATEREZULTATE

VVI

VII

VIII

IX

X XIXII

Premii speciale

MENŢIUNI:

Clasa a V-aREZULTATEREZULTATE

Isac Andrei

HDNeagoe Sorin

TMIlca Serban

TM

Tatulea Maria HD

Neamtu Adriana AR

Rivis Mario TM

Danciu Bogdan AR

Lăzărescu Alexandra HD

Panainte Ruxandra TM

REZULTATEREZULTATE

MENŢIUNI:

Clasa a VI-a

Bran Diana

ARVisoan Laura

TMAR Ilca Tudor

Silberberg Alfred TM

Frent Simon AR

Guraliuc Ştefan HD

Hariton Leonard TM

Monda Marius HD

MENŢIUNI:

Clasa a VII-aREZULTATEREZULTATE

Balaci Andrei TM

Cadar Sorin AR

Sugariu Claudiu TM

Costea Filip AR

Drăgănescu Alina TM

Zanfir Cristian CS

Varsandan Laura

Iacob DianaTociu Laura

AR

TMAR

MENŢIUNI:

Clasa a VIII-aREZULTATEREZULTATE

Lascu Andrei AR

Vlad Adina CS

Zaharie Dan TM

Lupu Vlad CS

Avramescu Andrei TM

Munteanu Ioana AR

Milcu Roxana

CS

CS

Stăniloiu OvidiuLascu Diana

TM

MENŢIUNI:

Clasa a IX-aREZULTATEREZULTATE

Kovacs Lavinia TM

Frent Ligia AR

Ghiţă Oana TM

Păcurar Lidia HD

Zota Patricia HD

Giurchiţa DianaTMBăltean Radu

ARDemean Sebastian

AR

MENŢIUNI:

Clasa a X-aREZULTATEREZULTATE

Lasc Anca AR

Paliţă Florian HD

Popu Alexandra HD

Bora Adrian AR

Popovici Doru CS

Pasca Lucian

TM

TM

Aldea Mihaela

HDMoldovean Bogdan

MENŢIUNI:

Clasa a XI-aREZULTATEREZULTATE

Baba Mihai Sebastian HD

Miclea Marius TM

Ambrus Adrian AR

Bucur Gabriel AR

Radac Andrei AR

Bogosel Beniamin

AROprişa Ciprian

HDDura Alexandru

TM

MENŢIUNI:

Clasa a XII -aREZULTATEREZULTATE

Groşan Raluca HD

Chiş Andrei Vasile CS

Margea Andrei AR

Stănei Daniel TM

Szepesi Robert AR

Totorean Alin AR

Gălăţan Alin

Heidelbacher CristopherBercea Ioana

TM

TMTM

PREMII SPECIALEPREMII SPECIALE

BOGOŞEL BENIAMIN AR XI

TATULEA MARIA HD V

VID ALEXANDRU TM IX

OPRIŞA CIPRIAN HD XI

GĂLĂŢAN ALIN TM XII

BULACU DAN CS XII

Marele premiu

In memoriam prof.Andrei Dănilă

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢII

Clasa a V-a

Clasa a VI-a

Clasa a VII-a

Clasa a VIII-a

Clasa a IX-a

Clasa a X-a

Clasa a XI-a

Clasa a XII-a

1. Cate numere naturale verifica dubla inegalitate : 2006642n2005531 ?

Silviu Birăuaş 2. Se considera mulţimile

N n132A n4n si N n352B 2n1n .

Sa se arate ca : (a) 0BA ; (b) BA nu conţine nici un pătrat perfect.

Silviu Birăuaş

Clasa a V-a

3. Din localitatea A spre localitatea B pleacă o maşina cu o viteza de 60 km/h. In acelaşi timp, din localitatea C spre localitatea B pleacă o maşina cu o viteza de 52 km./h. Localitatea C se afla la o treime din a 5 - a parte din jumătatea drumului din A spre B. După 10 minute, din localitatea A spre localitatea B pleacă o a treia maşina cu o viteza egala cu

2

3 din viteza primei maşini.

Ştiind ca maşina care pleacă din C ajunge in 2 ore si 30 de minute in localitatea D, care se afla la 14 km după localitatea B, sa se arate ca masinile se intalnesc intr-un punct si sa se afle distanta acestui punct de localitatea A.

Radu Moleriu

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢII

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VI-a

1. a) Alegeţi convenabil semnele + sau – astfel ca rezultatul să fie 517: 109876543210 22222222222 b) Care este cel mai mic număr natural care poate fi obţinut în acest mod? (Justificaţi răspunsul)

*** 2. Doi călători au plecat în acelaşi moment din localităţile A şi B, fiecare deplasându-se spre localitatea celuilalt cu viteză constantă. Ei s-au întâlnit la ora 13 şi, continuându-şi drumul, primul a ajuns în B la ora 17, iar cel de-al doilea în A la ora 22. La ce oră au plecat cei doi în călătorie?

*** 3. În triunghiul ABC cu 90ˆ CABm , (AA’ şi (BB’ sunt bisectoarele unghiurilor CAB ˆ şi

CBA ˆ ACBBCA ',' . Ştiind că (A’B’ este bisectoarea unghiului CAA 'ˆ , se cere:

a) arătaţi că d(B’,AA’)=d(B’,AB)

b) aflaţi CABm ˆ (d(B’,AA’) înseamnă distanţa de la punctual B’ la dreapta AA’)

Dorel Miheţ 4. Se dă triunghiul ABC în care )ˆ()ˆ()ˆ( CmBmAm . Mediatoarea segmentului [AC]

intersectează [BC] în M. Fie A’ piciorul perpendicularei din A pe BC, )ˆ( CBAmu şi

)ˆ( BCAmv . Se ştie că vuMAAm )ˆ'( . a) arătaţi că triunghiul ABC este dreptunghic b) demonstraţi că M este mijlocul lui [BC]

c) dacă (AD este bisectoarea unghiului MAA ˆ' BCD , aflaţi )ˆ( DABm . Dorel Miheţ

soluţie

soluţie

soluţie

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VII-a

soluţie

enunţ3, 4


Subiecte selectate deGheorghe Silberberg

soluţie

enunţ1, 2

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a VIII-a

1. Să se determine numerele reale x pentru care expresia: E= 20062005...9321 xxxxxx este număr raţional

2. Fie nN. Considerând ecuaţia: 1212 nxx

i) Să se arate că această ecuaţie are o singură soluţie ce este număr raţional pozitiv.

ii) Să se determine partea întreagă a soluţiei.

iii) Să se arate că soluţia nu este naturală şi să se precizeze prima zecimală după virgulă în scrierea zecimală a acesteia. 3. Fie tetraedrul PABC. Notăm cu x,y şi z lungimile laturilor PA, PB şi PC. Notăm cu S aria

triunghiului ABC şi cu h lungimea înălţimii din P.

Să se arate că dreptele PA, PB şi PC sunt două câte două perpendiculare dacă şi numai

dacă:

2

222222 zxzyyxS

şi h=

222222 zxzyyx

xyz

.

4. Un tetraedru are toate înălţimile egale şi una dintre feţe triunghi echilateral. Să se arate că tetraedrul este regulat.

Subiecte selectate de Dan Comănescu.

soluţie

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a IX-a

soluţie

Subiecte selectate deGheorghe Silberberg

soluţie

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a X-a

1. Să se rezolve în R sistemul

yxz

xzy

zyx

543

543

543

2. Să se demonstreze 4,48log7log6log5log 7654

3. Fie nzzz ,...,, 21 C cu .1,1 nkzk

Să se demonstreze că există o alegere a semnelor + sau – pentru care 2...321 nzzzz

4. Un cub cu latura 2006 este împărţit în cubuleţe de latură 1. Se aleg la

întâmplare 2

20063 2 dintre aceste cubuleţe. Să se demonstreze că există un

triunghi dreptunghic având vârfurile în centrele unor cubuleţe alese şi catetele paralele cu muchiile cubului.

Subiecte selectate de Gheorghe Eckstein

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XI-a

1. Punctele X(5,4,0), Y(3,0,2) şi Z(1,8,4) sunt vârfuri ale unui cub. Determinaţi coordonatele centrului cubului.

*** 2. Fie m N şi funcţia F: 2M (C) 2M (C), F(x)= mx . Arataţi că F este surjectivă dacă şi numai dacă m=1.

Dorel Miheţ 3. Fie f : R R o funcţie pentru care există L>0 astfel ca R y,x,yxL)y(f)x(f

Arătaţi că f este surjectivă dacă şi numai dacă este continuă. Dorel Miheţ

4. Determinaţi toate funcţiile continue g : R R , cu proprietatea că .)bx(gb)ax(ga)x(gcaastfel1ba,)1,0(b,ax R

Viorel Radu

soluţie

soluţie

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIClasa a XII-a

1. Fie R1,0:f o functie integrabila Riemann.

Demonstrati ca sirul

2

11 22

1dx

xfa

k

n

kkn este convergent si calculati limita sa.

Silviu Birăuaş

2. Sa se studieze daca exista corpuri ,,K cu proprietatea ca grupurile ,K

si ,K* sunt izomorfe. ***

3. Fie ,G un grup finit care admite doar 2 subgrupuri proprii 21 H,H , unde

nHord,2Hord 21 , n – număr prim. Sa se determine Gord . Radu Moleriu

4. Fie n – numar natural impar si R1,0:f o funcţie continua cu proprietatea :

1

0

0dttf . Sa se arate ca 1,0x0 astfel ca 0x

0

n0xfdttf .

Radu Moleriu

soluţie

soluţie

soluţie

soluţie

SUBIECTE ŞI SOLUŢIISUBIECTE ŞI SOLUŢIIProblema 1 (total 10p) 1p oficiu Stabilirea numărului de termeni ai sumei A = 1+3+5+…+2005 ca fiind de 1003 … 2p Stabilirea numărului de termeni ai sumei B = 2+4+6+…+2006 ca fiind de 1003 … 2p B=A+1003 ……. 3p A<n<A+1003 ……1p n=1002 …..1p

Clasa a V-a

Problema 2 (total 10p) 1p oficiu

a) Dacă 7)( xAx ……2p Dacă 3)( yBy ……2p Finalizare …….. 1p b) Dacă x este pătrat perfect 9;6;5;4;1;0)( x …… 2p

Dacă 3;7)( xBAx …….1p Finalizare …….. 1p Problema 3 (total 10p) 1p oficiu

ABAC30

1 …….1p

CD = 130 km ….1p AB = 120 km ….1p AC = 4 km …. 1p Determinarea locului de întâlnire a maşinilor care pleacă din A: la 30 km de A …..3p Verificarea că a treia maşină se întâlneşte cu primele două tot la 30 km de A …….2p

enunţ


enunţ

a) Observă ca 1+2 1+2 2 +……+2 9 =2 10 -1 Deduce ca 2 10 este precedat de semnul + Repetă raţionamentul pentru 2 9 Obţine 517=+2 10 -2 9 +2 8 -2 7 -2 6 -2 5 -2 4 -2 3 -2 2 +2-1

b) Observa ca la orice alegere a semnelor se obtin doar numere impare

Obţine 1=2 10 -(2 9 +2 8 +2 7 +2 6 +2 5 +2 4 +2 3 +2 2 +2+1) Finalizare: 1 este cel mai mic număr căutat

1.

soluţie4

soluţie2

soluţie3

2

Notăm x timpul până la intilnire,

v 1 viteza primului călător,

v 2 viteza celui de-al doilea călător.

Până la momentul întâlnirii primul a parcurs x v 1 , iar cel de-al doilea x v 2

După întâlnire ei au parcurs 4 v 1 , respectiv 9 v 2

Observă că : 4 v 1 = x v 2 şi x v 1 =9 v 2

Deduce că : x

9 =

4

x şi obţine x=6

Oră de plecare: 13-6=7

B

B 9 v 2

x v 1

x v 2

4 v 1

A

A


enunţ

soluţie4

soluţie1

soluţie3


enunţ

a) ( BB ' bisectoarea A B C d(B ' ,AB)= d(B ' ,BC)

(A ' B ' bisectoarea C'AA d(B ' , A A ' )= d(B ' , A ' C)

Deduce d(B’,A’A)= d(B ' ,AB)

b) Deduce că (A B ' este bisectoarea "BA'A ( vezi figura)

Observă că m( 'AAB )=m( CA'A )=m( "BAC )

Deduce că m( CAB )=120°

B

A B ''

B '

C A '

3.

soluţie4

soluţie1

soluţie2

a) Arată că m( CAM )=m( BCA )=v

Obţine m( CA'A )=u Din Δ A’AC : u+v=90°

Din Δ ABC deduce m( CAB )=90° b) MA=MC, deci e suficient să arătăm că MA=MB

Deduce că Δ MAB este isoscel

c) Observă că m( BA'A )=m( CAM )=v

Deduce că ( AD este bisectoarea CAB , deci m( DAB )=45°

B

A

N

C A ' M D

u

v

v

4.


enunţ

soluţie3

soluţie1

soluţie2


enunţ

soluţie3, 4


enunţ

soluţie1, 2


enunţ

1. Start………….. 1 p Dacă S este mulţimea numerelor reale căutate, arată că: Q (-1;2)S……………….…….…..3p+2p=5 p Arată că SQ(-1; 2)………………………….………4 p

2. Start…………………………………………….……..1 p

i) Determină x =)12(2

1)12( 2

n

n…………………..1 p

Arată că este soluţie ……………………………………1 p Arată că este număr raţional pozitiv …………...……...1 p ii) Determină x = n……………………………...……3 p iii) Arată că soluţia nu este naturală ………….……..…1 p Dacă n este 1 atunci prima zecimală este 3 şi dacă n este mai mare decât 1 atunci, prima zecimală este 4 ……………………………..………2 p

soluţie3, 4

3. Start ………………………………….………….….…1 p

Dacă dreptele PA , PB şi PC sunt perpendiculare două câte două atunci 2

222222 xzzyyxS

h 222222 xzzyyx

xyz

…............…………5 p

Exprimă volumul 6

xyzV ……………….……… 0,5 p

Scrie volumul

3

, PABcdV PAB

……….……0,5 p

Arată că 2

xyPAB cu egalitate dacă PA PB.........1 p

Arată că d (c, (PAB) z cu egalitate dacă PC (PAB)…..1 p Deduce că PA , PB, PC sunt perpendiculare două câte două …. 1 p


enunţ

4. Start………………………………………………1 p Arată că ariile feţelor sunt egale ……… …….1,5 p Proiectează vârful opus triunghiului echilateral pe planul acestuia …………………………………1,5 p

Arată că proiecţia dusă este egal depărtată de laturile triunghiului echilateral …………………………1,5 p Deduce că proiecţia poate fi centrul cercului înscris

sau unul dintre centrele cercurilor exînscrise triunghiului echilateral ……………………………………...1,5 p Arată că proiecţia nu coincide cu un centru al unuia dintre cercurile exînscrise …………………… 1,5 p Bazându – se pe proprietăţile triunghiului echilateral deduce că tetraedrul este regulat ………………1,5 p

soluţie1, 2


enunţ

soluţie2

soluţie3, 4


enunţ

soluţie3, 4

soluţie1


enunţ

soluţie1

soluţie2


enunţ

Putem presupune că zyx sau zyx

În primul caz zxzyyxz 5543435 , de unde x=y=z ………3p În al doilea caz inegalităţile sunt pe dos şi rezultă x=y=z ………1p

Trebuie deci să avem 15

4

5

3543

xx

xxx , ecuaţie cu soluţia unică x=2(argumentare)

……….2p Deci unica soluţie este x=y=z=2

1,18log7log6log5log4

14,48log7log6log5log 76547654

1,12

3

4lg

8lg

7lg

8lg

6lg

7lg

5lg

6lg

4lg

5lg8log7log6log5log

4

1444

7654

Aplică inegalitatea mediilor ……4p Finalizare …… 3p Pentru n=1, inegalitatea este evidentă

Pentru n=2, vectorii 1OA şi 2OA sau 1OA şi 2OA (unde kA este imaginea lui kZ ) formează un

unghi obtuz sau drept deci 2cos2 21

2

2

2

1

2

21 OAOAOAOAOAOA ……….. 2p

Presupunem afirmaţia adevărată pentru 2n şi fie z1,z2,z3, ….,zn+1 numere complexe de modul1

Atunci doi dintre vectorii 332211 ,,,,, OAOAOAOAOAOA formează între ei un unghi de

măsură cel mult 60o …………….. 2p

Dacă oOAOAm 60, 21 atunci 121 zz şi aplicând ipoteza inducţiei matematice numerelor

z’1=z1-z2, z

’2=z3, …., z’

n=zn+1 putem allege semnele + sau – astfel ca:

2....... 1321''

2'1 nn zzzzzzz ………….3p

1.

3.

2.

soluţie4


Fie A1,A2,….,An

2

20063 2

n centrele celor n cubuleţe alese; pentru fiecare nk ,1 ,

Dk mulţimea dreptelor paralele cu muchiile cubului duse prin punctele Ai, pentru ki 1 . Dacă pentru un 1nk , Dk+1 conţine doar o dreaptă în plus faţă de Dk atunci două din cele trei drepte duse prin Ak+1 conţin punctele Ai, Aj cu ji ; kji , şi AiAjAk+1 e unul din triunghiurile căutate. În caz contrar |Dk+1|>=|Dk|+2 şi cum |D1|=3, Dn ar trebui s[ conţină cel puţin 3+2(n-1)=3*20062+1 drepte distincte, ceea ce este imposibil.

4.

enunţ

soluţie1, 2, 3


enunţ

Observăm că d(x,y) = 24 , d (y,z) = 72 , d(x,z) = 48 Notam cu l latura cubului.

Arartam ca l = 24

l > 24 nu se poate, deoarece x,y sunt varfuri .

Dacă , prin absurd , l < 24 , atunci diagonala cubului ar fi mai mica strict decat l

723 = d (y,z) , din nou imposibil ( y,z – varfuri).

Deci , l = 24

Rezulta ca diagonala cubului are lungimea l 3 = 72 = d(y,z) y,z determina o diagonala

centrul cubului are coordonatele 3,4,22

,2

,2

zyzyzy zzyyxx

Fie AM 2 (C). A²=O 2 , det A0

Ex. A=

1,1

1,1

Arătăm că dacă m 2 atunci X m A, X Fie m2 , X m=A X m2 - A²=O 2 X²=O 2 X m= O 2 A=O 2 ,contradicţie

1.

2.

soluţie3

soluţie4


enunţ

1) f surj f continuu Observăm că f este injectivă : f(x)=f(y) L L|x-y | 0 x=y, Deci f bijectivă.

Atunci relaţia |f(x)-f(y)| L|x-y | se retranscrie |f 1 (x)-f 1 (y) | L

1 |x-y |

De unde rezultă imediat că f 1 este continuă, deci şi f estecontinuă 2) f continuă f surjectivă.

f continuă şi injectivă f strict monotonă pp de exemplu că f crescătoare atunci x > y f(x)>f(y) f(x) L(x-y)+f(y), x,y, x>y

xlim f(x)=+

Din f(y) f(x)+L(y-x) y

lim f(y)=-

Deoarece f este continuă f are proprietatea lui Darboux f surjectiva

3.soluţie

1, 2

soluţie4

Aratam ca g e functie constanta ( evident, orice astfel de functie verifica). Fie x>0

Notăm )(sup],0[

ygMxy

, 0)(],,0[ MygxyA

0)(],,0[),(inf],0[

mygxyBygmxy

Arătăm că inf A=0. Notăm cu n=infA Mngnn nn )(,

g continuă g(n)=M (1) Deci, prin absurd, n>0, avem g(n)=ag(an)+bg(bn)<aM+bM=M Deci n=0, adică infA=0 g(0)=M (*) Arătăm că inf B=0. Notăm cu v=infB mvgvv nn )(,

g continuă g(v)=m (1) Deci, prin absurd, v>0, avem g(v)=ag(av)+bg(bv)>am+bm=m Deci v=0, adică infB=0 g(0)=m (**) (*),(**) m=M g constantă pe [0,x] g(x)=g(0) Pentru x<0, repetăm raţionamentul de mai sus pentru funcţia )( xgx

4.


enunţ

soluţie1, 2

soluţie3


enunţ

Oficiu………………………………………………………………………………1 p

Facem schimbarea de variabilă k

x

2 = u ………………………………………….. 2 p

pduufx

dx

fdxx

fk

k

kkkk2..............................................................)()

2()

2()

2(

2

112

1

2

1

2

1

2

1

a n =

n

k

k

k

n

n n

pduufduufduufduufduuf1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2.........)()(......)()()(

f integrabilă Riemann, atunci aplicaţia x 1

)(x

duuf este continuă ……………1 p

Deci

1

0

1

0

1

2

1

)()(lim)(lim duufduufduufx

xn

n

……………….…………………2 p

1.


enunţ

Oficiu……………………………………………………………………….1 p P.p f: (K,+) (K * ,1) izomorfism de grupuri f(0)=1………………...2 p Deoarece f este surjectivă, aK * a. î. f(a)=-1

11af1af0fa0faf 11 …………..…….2 p Din f(a)=-1 si f(-a)=-1 a=-a a(1+1)=0 1+1=0 1=-1 (*)…………………………………….. 2 p f(0)=f(1+1)=f(1)f(1)=(f(1)) 2 [f(1)] 2 = 1 ………………………………1 p

011f011f11f 2

……………………………………1 p f(1)=1 1010f1f contradictie …………………………………….…1 p

2.


enunţ

Oficiu ………………………………………………………………1 p x,eH1

1n2 y,...,y,eH ………………………………………………… 2 p

DEMONSTREAZĂ CĂ 21 Hxy,Hxy

DEDUCE CĂ Gxy …………………………………….…….. 3 p

Cum orice grup ciclic este comutativ

eeeyxyxxy2nn2n2n2n2

Deduce că ORD n2/G …………………………………… …….2 p

Din ipoteză )G(ORD/n2

PRIM-n

n/ORD(G)

(G) ORD2/

……………………2 p

3.


enunţ

Oficiu ………………………………………………………………1 p

Fie x

0

nxfdt)t(fxg continuă………………………………1 p

Presupunem 1,0pe0xg ……………………………………….1 p

g continuă xg > 0 sau g(x) < 0…………..…………………...1 p Caz I

g (x) > 0, x

0

dttf1,0x > nxf

Pt. x = 0 n0f < 0 f (0) < 0……………………………….1 p

f continuă >0 a.î ,0f < 0

Avem < 1 . In caz contrat 1,0f < 0

1

0

dt)t(f < 0…………….2 p

Deoarece 1

0

care.pt1,0x0dt)t(f f (x) >0………………1 p

Fie A = 0xf/1,0x şi s = inf A………………………… 1 p

f (s) 0 , s >0; Din g (s) > 0 s

0

dt)t(f > 0sf n

Dar f(t) < 0 t s,0 , deci s

0

dt)t(f <0 contradicţie ……………1 p

Caz II g (x) < 0 analog pt h (x) = - g(x) ………………………………….1 p

4.

Material conceput şi realizat de:

Marius Lobază

Florin Dumitru

Doru Ianculescu

Marineta Dobîndă

Ladislau Torok

Cătălin Stoian

Liliana Nicolea

concursul interjudeŢean de matematicĂ „ traian lalescu ” edi ţia a xx-a

Documents