CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"

Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI

CLASA A IX-A

________________________________________________________

Subiectul 1. Se consideră numerele naturale , şi notăm

(( ( ) ) ) ( )

Demonstraţi că există numere naturale astfel încât

( ) ( ) ( )

Cristinel Mortici, Târgovişte

Subiectul 2. Fie astfel încât este număr triunghiular. Arătaţi că există

astfel încât şirul ( ) definit pentru fiecare număr prin

cu şi are proprietatea că este număr triunghiular, pentru orice

(Prin număr triunghiular înţelegem orice număr natural de forma ( )

unde ).

* * *

Subiectul 3. Fie un triunghi, mijloacele laturilor respectiv şi punctele

de intersecţie ale simedianei din cu segmentele respectiv

Demonstraţi că unghiurile şi sunt congruente.

GM

Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.

__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"

Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI

CLASA A X-A

________________________________________________________

Subiectul 1. Determinaţi funcţiile ) ) care satisfac simultan proprietăţile:

a) ( ) √ ( ) oricare ar fi ).

b) ( ) oricare ar fi ).

* * *

Subiectul 2. Demonstraţi că pentru orice ( ) şi cu avem:

Cristinel Mortici, Târgovişte

Subiectul 3. Fie ( ) cu şi cu proprietatea că

( )( )

( )

Demonstraţi că numerele

|

| |

| |

|

sunt in progresie geometrică.

GM

Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.

__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"

Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI

CLASA A XI-A

________________________________________________________

Subiectul 1. Fie două numere reale ) fixate. Definim mulţimea

{ ( ) ( ) | { } }

Pentru fiecare notăm cu ( ) suma elementelor matricei . Determinaţi

( )

( )

Dorel Miheţ, Timişoara

Subiectul 2. Fie funcţiile ] cu proprietatea că ( ) ( ),

oricare ar fi şirul ( ) ] cu Demonstraţi că:

a) Pentru orice şir ( ) ] cu , avem ( ) ( )

b) Pentru orice există ( ) astfel încât | ( ) ( )| oricare ar fi ]

şi cu ( )

* * *

Subiectul 3. Fie ( ) cu Demonstraţi că ( ) ( )

GM

Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.

__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"

Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI

CLASA A XII-A

________________________________________________________

Subiectul 1. Fie { } un semigrup cu proprietatea că , , .

a) Demonstraţi că sau , pentru orice .

b) Demonstraţi că dacă în plus, este monoid, atunci , oricare ar fi .

Dorel Miheţ, Timişoara

Subiectul 2. Demonstraţi că următoarea limită există şi este finită:

( ∫ (

)

√

)

* * *

Subiectul 3. Determinaţi toate grupurile finite care satisfac simultan proprietăţile:

a) | | nu este divizibil cu

b) are exact | | subgrupuri ciclice.

GM

Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.

__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici