CONCURSUL INTERJUDET,EAN DE MATEMATICA

”TRAIAN LALESCU”, 2012Clasa a V-a

1. Un numar de telefon are forma abc - def - ghij, unde fiecare litera reprezinta o cifradiferita. Cifrele din fiecare parte a numarului de telefon sunt scrise ın ordine crescatoare,adica a ă b ă c, d ă e ă f s

,i g ă h ă i ă j. In plus, d, e, f sunt cifre pare consecutive,

g, h, i, j sunt cifre impare consecutive, iar a ` b ` c “ 9.

Aflat,i numarul de telefon.

2. a) Aflat,i ultima cifra a numerelor:

12 ` 34 ` 56 ` 78 ` 910 ` 1112 ` 1314 ` 1516 ` 1718 ` 1920

s,i

2122 ` 2324 ` 2526 ` 2728 ` 2930 ` 3132 ` 3334 ` 3536 ` 3738 ` 3940.

b) Demonstrat,i ca numarul

n “ 12 ` 34 ` 56 ` ¨ ¨ ¨ ` 20092010 ` 20112012

este divizibil cu 10.

3. O comoara consta din noua saculet,i care cont

,in 20, 24, 26, 27, 32, 33, 39, 40 s

,i respectiv

42 de galbeni. Doi pirat,i, Will Turner s

,i capitanul Jack Sparrow, ıncearca tot

,i galbenii

(cu dint,ii!) s

,i constata ca tot

,i galbenii dint-unul din saculet

,i sunt fals

,i, iar tot

,i galbenii

din ceilalt,i saculet

,i sunt veritabili. Ei pun saculet

,ul cu galbenii fals

,i deoparte s

,i ımpart

saculet,ii ramas

,i astfel ıncat Jack sa primeasca de doua ori mai mult

,i galbeni decat Will.

Care este saculet,ul cu galbenii fals

,i s

,i cum s

,i-au ımpart

,it cei doi pirat

,i comoara?

Justificat,i de ce solut

,ia gasita este singura posibila.

4. a) Aflat,i cel mai mic numar abc (a ‰ 0, c ‰ 0) pentru care suma cifrelor numarului

n “ abc ` cba este impara.

b) Cate numere abc (a ‰ 0, c ‰ 0) au proprietatea ca suma cifrelor numarului n “abc ` cba este impara?

1

Clasa a VI-a

1. Aflat,i numerele de forma abc care verifica relat

,ia

abc “ 18 ¨ pa ` b ` cq.

2. Fie a, b, c numere rat,ionale pozitive. Aratat

,i ca:

a) Dacaa

b“

b

c“

c

a, atunci a “ b “ c.

b) Dacaa

b ` c“

b

c ` a“

c

a ` b, atunci a “ b “ c.

c) Dacaa2 ` b2

a ¨ b ` b ¨ c“

b2 ` c2

b ¨ c ` c ¨ a“

c2 ` a2

c ¨ a ` a ¨ b, atunci a “ b “ c.

3. In fiecare patrat al unei table 3ˆ3 sta cate un pitic. Doi pitici sunt mincinos,i. Mincinos

,ii

nu spun niciodata adevarul. Ceilalt,i 7 pitici spun ıntotdeauna adevarul. Fiecare pitic

este ıntrebat cat,i dintre piticii aflat

,i ın patratele vecine spun adevarul (patratele vecine

au o latura comuna). Raspunsurile date de pitici sunt aratate ın tabelul de mai jos:

A B C1 2 1 12 2 3 13 2 2 2

Vom desemna cu A1 piticul aflat pe linia 1 s,i coloana A, cu A2 desemnam piticul aflat

pe linia 2 s,i coloana A, etc.

a) Aratat,i ca cel put

,in unul dintre piticii B1, C1 s

,i C2 este mincinos.

b) Aratat,i ca cel put

,in unul dintre piticii A1, B2 s

,i C3 este mincinos.

c) Determinat,i pozit

,iile ocupate de piticii mincinos

,i.

4. Intr-o gramada sunt 2012 jetoane. Avem voie sa facem urmatoarea operat,ie:

– alegem o gramada care cont,ine cel put

,in trei jetoane;

– din gramada aleasa ındepartam un jeton;

– jetoanele ramase ın gramada aleasa le ımpart,im ın doua gramezi mai mici (avand

cel put,in cate un jeton).

Este posibil ca, dupa ce repetam aceasta operat,ie de un numar de ori, sa ajungem ca

toate gramezile sa cont,ina exact doua jetoane? Dar ca toate gramezile sa cont

,ina exact

trei jetoane? Justificat,i raspunsurile.

2

Clasa a VII-a

1. Fie ABC un triunghi, iar O un punct oarecare In plan. Daca M , N s,i P sunt simetricele

punctului O ın raport cu mijloacele laturilor rBCs, rCAs s,i rABs, aratat

,i ca dreptele AM ,

BN s,i CP sunt concurente.

2. Aratat,i ca:

a) numarul 24 ` 54 este prim;

b) 641 | p27 ¨ 5q2 s,i 641 | p27 ¨ 5q4 ´ 1

c) 641 | 232 ´ 1.

3. Fie ABC un triunghi, Ia centrul cercului exınscris corespunzator laturii rBCs, iar V PpABzpABq s

,i W P pACzpACq doua puncte pe prelungirile laturilor rABs, respectiv rACs.

Aratat,i ca

Ia P VW ô b ¨BV

AV` c ¨

CW

AW“ a.

4. O lista L de numere consta init,ial din numerele 24, 3 s

,i201

2. La fiecare pas se adauga

listei media aritmetica a doua sau patru dintre numerele aflate deja ın lista. Aratat,i ca

numerele 25,81

7s,i 102 nu pot face parte din lista.

3

Clasa a VIII-a

1. Fie n P N˚ s,i a1, a2, . . . , a2n´1, a2n numere reale pozitive. Aratat

,i ca:

a) a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2n `1

a1`

1

a2` ¨ ¨ ¨ `

1

a2ně 4n;

b) daca a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2n “ n, atunci

a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2n `1

a1`

1

a2` ¨ ¨ ¨ `

1

a2ně 5n.

2. Doi jucatori, A s,i B, scriu, alternativ, cifre distincte din mult

,imea t0, 1, . . . , 9u pe o tabla,

formand un numar din ce ın ce mai lung. Incepe jucatorul A. Primul jucator care scrieun numar divizibil cu 3 pierde.

Daca ambii jucatori ıs,i apara corect s

,ansele, care jucator va cas

,tiga?

3. Fie ABCDA1B1C 1D1 un cub, iar M P rAA1s s,i N P rBC 1s puncte cu proprietatea MN X

B1D ‰ H. Fie, de asemenea, A1, C1, D1

1s,i M1 proiect

,iile punctelor A, C, D1 s

,i respectiv

M pe planul pA1BC 1q. Aratat,i ca:

a) dreapta B1D este perpendiculara pe planele pACD1q s,i pA1BC 1q;

b) A1A1D1

1C 1C1B este un hexagon regulat;

c) AM ¨ A1A1 “ A1M1 ¨ AA1;

d)BC 1

BN“

AM

AA1` 1.

4. Fie ABCD, cu AD ∦ BC, un patrulater ınscris ıntr-un cerc C de centru O, M punctulde intersect

,ie al diagonalelor rACs s

,i rBDs, P centrul cercului C1 circumscris triunghiului

△MAD, Q centrul cercului C2 circumscris triunghiului △MBC, iar N al doilea punctde intersect

,ie al cercurilor C1 s

,i C2. Aratat, i ca:

a) MP K BC;

b) rOP s ” rNQs;

c) ON K MN .

4

Clasa a IX-a

1. Aratat,i ca pentru orice numar natural nenul n exista un numar natural avand n cifre,

toate impare, care se divide cu 5n.

2. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Notam cu Ea, Eb, Ec, Ed centrele cercurilor celornoua puncte corespunzatoare triunghiurilor BCD, CDA, DAB, respectiv ABC. Aratat

,i

ca dreptele AEa, BEb, CEc s, i DEd sunt concurente.

3. a) Aratat,i ca dintre toate triunghiurile ınscrise ıntr-un triunghi ascut

,itunghic dat perimetrul

minim ıl are triunghiul sau ortic.

b) Notam cu R, respectiv r raza cercului circumscris unui triunghi ascut,itunghic ABC,

respectiv raza cercului ınscris ın triunghiul determinat de picioarele bisectoarelorinterioare ale triunghiului ABC. Aratat

,i ca are loc inegalitatea

R ě 4r.

4. Fie a, b, c, d, e numere reale cu proprietatea ca

a ` b ` c ` d ` e “ 0

s,i

a3 ` b3 ` c3 ` d3 ` e3 “ 0.

Aratat,i ca

apa ` cqpa ` dqpa ` eq “ bpb ` cqpb ` dqpb ` eq.

5

Clasa a X-a

1. Fie a, b, c, α, β, γ P R, cu a2 ` b2 ` c2 ‰ 0 ‰ αβγ. Aratat,i ca ecuat

,ia

a ¨ 24αx ` b ¨ 3βx ` c ¨ 2012γx “ 0

are cel mult doua solut,ii reale.

2. Fie A o mult,ime infinita cu proprietatea ca pentru orice n P N˚ s

,i orice a1, a2, . . ., an P A

are loc inegalitatea|a1| ¨ |a2| ¨ . . . ¨ |an| ă 1.

Aratat,i ca exista o funct

,ie bijectiva f : N Ñ A.

3. Pe o tabla sunt scrise n numere naturale, unde n P N, n ě 2. La fiecare pas se s,terg doua

numere a s,i b, cu proprietatea ca nu se divid vreunul prin celalalt, care se ınlocuiesc cu

cel mai mare divizor comun s,i cu cel mai mic multiplu comun al lor. Aratat

,i ca dupa un

numar de pas,i, numerele de pe tabla nu se mai modifica. Aratat

,i ca numarul respectiv

de pas,i este cel mult pn ´ 1q!.

4. a) Aratat,i ca pentru orice dreapta d exista doua numere complexe α, β P C, cu |α| “ 1,

astfel ıncat pentru orice punct M din plan de afix zM are loc echivalent,a:

M P d ô zM “ α ¨ zM ` β.

b) Aratat,i ca doua drepte d1 s

,i d2 de ecuat

,ii d1 : z “ α1z ` β1 s

,i d2 : z “ α2z ` β2,

unde α1, α2, β1, β2 P C, cu |α1| “ |α2| “ 1, sunt perpendiculare daca s,i numai daca

α1 ` α2 “ 0.

c) Aratat,i ca daca dreapta d este data de ecuat

,ia d : z “ αz ` β, α, β P C, |α| “ 1,

distant,a unui punct M de afix zM fat

,a de dreapta d este

distpM, dq “1

2|αzM ` βzM |.

d) Aratat,i ca aria unui triunghi ABC cu varfurile de afixe zA, zB, zC este

ariarABCs “1

2|ImpzAzB ` zBzC ` zCzAq| .

6

Clasa a XI-a

1. Fie n P N, cu n ě 2, iar A, B P MnpCq doua matrice. Aratat,i ca:

a) daca matrice A este nilpotenta, atunci An “ On.

b) daca exista n`1 numere distincte t1, t2, . . . , tn`1 P C cu proprietatea ca matricea A`tiB este nilpotenta pentru orice i “ 1, n ` 1, atunci A s

,i B sunt matrice nilpotente.

2. a) Aratat,i ca s

,irul pxnqně1, dat de xn “

1

12`

1

22` ¨ ¨ ¨ `

1

n2este convergent.

b) Determinat,i probabilitatea ca doua numere naturale nenule din intervalul r1, ns sa

fie prime ıntre ele.

c) Daca L “ limnÑ8

ˆ

1

12`

1

22` ¨ ¨ ¨ `

1

n2

˙

, aratat,i ca probabilitatea ca doua numere

naturale nenule luate la ıntamplare sa fie prime ıntre ele este1

L.

3. Aratat,i ca daca o permutare σ P Sn se descompune ıntr-un produs de k cicluri disjuncte,

atunci signatura permutarii este

sgnpσq “ p´1qn´k.

4. Fie a, b, c numere reale oarecare, t P

ˆ

1

2012, 1 `

1

2017

˙

, iar s,irurile panqně0, pbnqně0,

pcnqně0 definite prin a0 “ a, b0 “ b, c0 “ c s,i

an`1 “ tbn ` p1 ´ tqcn, p@qn ě 0,

bn`1 “ tcn ` p1 ´ tqan, p@qn ě 0,

cn`1 “ tan ` p1 ´ tqbn, p@qn ě 0.

Aratat,i ca s

,irurile panqně0, pbnqně0, pcnqně0 sunt convergente s

,i determinat

,i limitele lor.

7

Clasa a XII-a

1. Fie F mult,imea funct

,iilor f : r0, 1s Ñ R derivabile cu derivata continua s

,i fp0q “ 0,

fp1q “ 1. Demonstrat,i ca:

ż

1

0

| f 1pxq ´ fpxq | dx ě1

e, p@q f P F

s,i1

eeste cel mai mare numar cu proprietatea de mai sus.

2. Calculat,i:

a) limxÑ0

1

x

ż x

0

p1 ` sin 2tq dt;

b)

ż

2π

0

1

2 ` cos xdx.

3. Fie M o mult,ime nevida s

,i F : M Ñ M o biject

,ie cu proprietatea

F pxq ‰ x, p@q x P M.

Pe M definim legea de compozit,ie ‹ : M ˆ M Ñ M , prin x ‹ y “ F pxq. Demonstrat

,i ca:

a) x ‹ z “ y ‹ z implica x “ y;

b) legea ”‹” nu este asociativa;

c) legea ”‹” nu are element neutru.

4. Fie pG, ¨q un grup cu patru elemente, G “ te, a, b, cu cu proprietatea x2 “ e, p@q x P G,unde e este elementul neutru.

a) Intocmit,i tabla operat

,iei ”¨” pe mult

,imea G.

b) Aratat,i ca grupul pG, ¨q nu este izomorf cu pZ4,`q.

c) Daca G1 este un grup cu patru elemente, atunci G1 „ G sau G1 „ Z4. Dat,i un

exemplu de grup izomorf cu G.

8