colegiul naţional „mircea cel bătrân”, râmnicu...

Colegiul Naţional „Mircea cel Bătrân”, Râmnicu-Vâlcea

Concursul Interjudeţean

„Mathematica – modus vivendi”

Ediţia a XIII-a, 26 martie 2016

CLASA a V-a

1. Să se determine numerele abc scrise în baza 10, așa încât 2 2016 0.abc bc ab

Prof. Florin Smeureanu, Râmnicu Vâlcea

2. Găsiți, în fiecare caz, numerele prime a, b, c, știind că verifică relația:

a) 79a b a c ; b) 589a b a c .

Prof. Leon Genoiu , Râmnicu-Vâlcea

3. Se consideră cifrele nenule a, b, c astfel încât ,a b ,b c c a sunt pătrate perfecte.

a. Demonstrați că există două din cele trei pătrate perfecte a căror diferență este divizibilă

cu 5.

b. Demonstrați că a b c nu este divizibil cu 5.

Prof. Daniela și Nicolae Stănică, Brăila

4. Fie mulțimile: 1 1A , 2 2,3A , 3 3,4,5,6A , 4 4,7,8,9,10A ,

5 5,11,12,13,14,15A ,...

a) Determinați mulțimea 6A .

b) Determinați mulțimea 50A .

c) Să se determine mulțimile care conțin elementul 2016.

Prof. Petre Ciobotaru, Râmnicu Vâlcea

Notă: Timp de lucru 2 ore.

Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte.





CLASA a VI-a

1. a. Scrieți numărul 2016 ca sumă de trei pătrate perfecte.

b. Se consideră cifrele

288 288

3,3,3,...,3,4,4,4,..., 4

cifre cifre

.

Se pot împărți cele 576 cifre în două grupe astfel încât suma cifrelor din fiecare grupă

să fie pătratul unui număr impar? Justificați răspunsul!

Prof. Elena Drăgan, Râmnicu- Vâlcea

2. Se consideră numerele raționale pozitive 22 1

2

xa

x

și

3 1

2

xb

x

.

a. Pentru 5

2x stabiliți care dintre numerele a și b este mai mare.

b. Arătați că pentru x N numărul a b este pătrat perfect.

c. Determinați valorile numărului x pentru care a și b sunt simultan numere naturale.

Prof. Dumitru Dobre, Râmnicu-Vâlcea

Student Dumitru Radu Deaconescu, Pitești

3. Pe laturile triunghiului OAB cu OA OB , se iau punctele C OA și D OB

astfel încât AC BD . Fie FB AE cu C FB și respectiv D AE , iar

FB AE I . Demonstrați că:

a. OAD OBC ;

b. OI este bisectoarea unghiului AOB ;

c. FAO EBO .

Prof. Leon Genoiu, Râmnicu Vâlcea

4. Se consideră un ABC cu D mijlocul lui AC , punctele E și F pe BD astfel încât

BE EF FD . Dacă AD AF , 1AB , iar perpendiculara din A pe BD

intersectează BC în I , atunci:

a. demonstrați că IDF este echilateral, știind că ID FD ;

b. determinați lungimea segmentului CE .

Prof. Florin Smeureanu, Râmnicu Vâlcea







CLASA a VII-a

1. Se consideră mulțimea 21| 3 2,A abc x x x N

abc

.

a. Calculați cardA.

b. Calculați suma elementelor mulțimii A.

Prof. Daniela și Nicolae Stănică, Brăila

2. Fie numerele naturale a și b cu 3a b .

Dacă 7 | 3a b și 3 | 288a b , găsiți valoarea maximă a produsului a b .

Prof. Elena Drăgan, Râmnicu-Vâlcea

3. În triunghiul ABC cu 090m A și 6

2

ABBC , fie D AB și E BC astfel

încât 1

2m ABC m ACD m AEC . Arătați că:

a. m ABC m ACB ;

b. 2 AD AB ;

c. CE EB ;

d. două dintre medianele triunghiului ABC sunt perpendiculare.

Prof. Leon Genoiu, Râmnicu-Vâlcea

4. Fie triunghiul ABC în care AD BC , D BC . Demonstrați că următoarele

propoziții sunt echivalente:

(p1) AB BD AC CD

(p2) AB BD AC CD

(p3) AB AC .

Prof. Constantin Bărăscu, Râmnicu Vâlcea







CLASA a VIII-a

1.a. Să se rezolve în numere naturale nenule ecuația: 2 2 22 13 5 4 2 12 38x y z xy xz yz .

Prof. univ. dr. Dumitru Acu, Sibiu

b. Dacă numerele naturale a, b, c îndeplinesc relația

2 2 22 2 2a b c a b a c b c , demonstrați că fiecare din numerele ab , bc ,

ac și ab ac bc sunt pătrate perfecte.

Prof. Elena Drăgan, Râmnicu-Vâlcea

2. Fie intervalul , 2I x x , unde x R

și n numărul de elemente numere întregi din

intervalul I, n N .

a. Dați un exemplu de 2016 numere din intervalul I.

b. Determinați x R

astfel încât 2n .

b. Demonstrați că 3n .

Prof.Constantin Bărăscu, Râmnicu- Vâlcea

3. Fie cubul ' ' ' 'ABCDABC D cu muchia de 6 cm. O dreaptă care trece prin punctul 'D taie

dreapta 'AB în punctul S . Dacă ' ' 030m D SB , atunci calculați distanța de la S la

dreapta ' 'AC .

Prof. Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila

4. Se consideră tetraedrul regulat VABC cu muchia de 6 cm. Dacă M VC , P VA ,

S VB astfel încât 4 , 3 , 2 , 2 6d S VAC d P VBC d M VBA cm,

atunci determinați perimetrul triunghiului SPM.

Prof. Daniela şi Nicolae Stănică, Brăila




Concursul Interjudeţean „Mathematica – modus vivendi”


BAREM CLASA a V-a

1. 2000 0 2016ab c bc abo ..................................................................................1p

5 8b c ..........................................................................................................................2p

1, 3b c .........................................................................................................................1p

0 1,2,3,...,9a a ...................................................................................................1p

113,213,313,...,913abc .............................................................................................2p

----------------------------

Total = 7 puncte

2. a. 79a b c ............................................................................................................1p

79= nr. prim 79a și 1b c ………….................................................................1p

din 1b c b și c au parități diferite, deci b=3 și c=2.................................................1p

b. 589a b c ...............................................................................................................1p

589=19 31........................................................................................................................1p

19a și , 2,29 , 29,2b c .................................................................................. 1p

31a și , 2,17 , 17,2b c ...................................................................................1p

----------------------------

Total = 7 puncte

3. a. 4,9,16a b , 4,9,16a c , 4,9,16c b ………………………………1p

a b , b c , c a sunt de forma 5 1M sau de forma 5 1M ...........................…......1p

Conform principiului cutiei există două dintre cele trei pătrate perfecte a căror diferență

este de forma 5M ..……..………………………………………………….………….... 1p

b. 2 1,2,4,6,7,8,9U a b c ...............................................................................2p

1,2,3,4U a b c …………………………………………………...…………....1p

a b c nu este divizibil cu 5 ..........................................................................................1p

----------------------------

Total = 7 puncte




BAREM CLASA a V-a

4. a. 6 6,16,17,18,19,20,21A ......................................................................................2p

b. Primul element al lui 50A este 50, iar al doilea este 49 50

1 12262

.........................1p

Ultimul element al lui 50A este 50 51

12752

.................................................................1p

50 50,1226,1227,...,1275A ...........................................................................................1p

c. Mulțimea 2016A conține elementul 2016 .......................................................................1p

Fie nA o altă mulțime care conține elementul 2016, de unde rezultă:

1 11 2016 62 63 1 4032 63 64 63

2 2

n n n nn

............................1p

----------------------------

Total = 7 puncte




BAREM CLASA a VI-a

1. a.

5 2

2 2 2 24 2 2 2 2 2 2 3 2 2

2016 2 3 7................................................................................................................1

2016 2 3 14 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 .........................1

p

p

b. Dacă 3 apare în prima grupă de x ori și 4 de y ori, atunci ele vor se vor găsi de 288-x

ori și respectiv de 288-y ori în a doua grupă......................................................................1p 23 4x y a și 23 288 4 288x y b , unde a și b sunt naturale impare..............1p

Adunăm cele două relații și obținem 2 22016 a b .......................................................1p 2a și 2b sunt de forma 2 2

4 41 2M a b M ...........................................................1p

Cum 2016 este multiplu al lui 4, rezultă că nu se pot împărți cele 576 cifre în două grupe

care să îndeplinească condițiile din enunț..........................................................................1p

---------------------------

Total = 7 puncte

2. a. 3a și 1

34

b , deci b a ……………………………………………………….2p

b. 23 2

222

2 2

x xx xa b x pp

x x

…………………………………………....…2p

c. dacă 2,a b N a b N x N x N ............................................................1p 2

22 12 | 2 1

2

xN x x

x

(1)……………………………………………………..0,5p

22 | 2 2 | 2 4x x x x x (2)

Din (1) și (2) 2 | 4 1x x (3) …………………………………………………….0,5p

2 | 2 2 | 4 8x x x x (4)

Din (3) și (4) 2 | 9 2 1,3,9 1,7x x x ……………………………..…0,5p

1 0x b (nu convine)

7 11, 38x a b ....................................................................................................0,5p

----------------------------

Total = 7 puncte




BAREM CLASA a VI-a

3. a. OAD OBC LUL OAD OBC …………………………………….…3p

b. AIC BID ULU IC ID

OIC OID LLL COI DOI OI bis AOB ……………………………..2p

c. FC ED (diferențe de segmente congruente)

ACF BDE LUL AF BE și FCO EDO LUL FO EO ......1p

FAO EBO LLL ......................................................................................................1p

----------------------------

Total = 7 puncte

4. a. Fie AI BD O .

AOD AOF IC OD OF ………………………………………………..…1p

IOD IOF CC ID IF ………………………………………………….….1p

ID FD IF IFD echilateral…………………………………………...…….1p

b. 0180m AFD m ADF a m AFB m EDC a ……………...…2p

1AFB CDE LUL AB CE …………………………………………………2p

----------------------------

Total = 7 puncte

O

A B

C D

F E

I

A

B C

I

F x

E O

D




BAREM CLASA a VII-a

1. a. 1 2abc x x ...........................................................................................1p

10 11,11 12,12 13,...,31 32abc .....................................................................2p

22cardA ............................................................................................................1p

b.1 1 1

, ,...,10 11 11 12 31 32

A

.........................................................................1p

1 1 1...

10 11 11 12 31 32S

………………………………….……………...1p

1 1 11

10 32 160S ……………………………………………………….……...1p

---------------------------

Total = 7 puncte

2. Din inegalitatea mediilor avem 3 3

32 2 3

a b a ba b a b

.

De aici deducem că produsul maxa b dacă 3 max 3 288a b a b …..........….1p

Din 3 288a b a și 3b au aceeași paritate 3 2a b ……………………………1p

Din 3 288 3 3 3a b a a b …………………………………………………..…1p

Dacă 3a b este divizibilă cu 2, 3 și 7, atunci 3 42 3 42 , 1a b a b k k ……...…1p

Adunăm relațiile și găsim 144 21 , 48 7a k b k …………………………………..1p

Cum max 1 165, 41b k a b ..........................................................................1p

6765a b .......................................................................................................................1p

Total = 7 puncte

3. a. Cu teorema lui Pitagora în

2

2

ABABC AC AC AB m CBA m ACB ……..…………1p

b. 2AD ACADC ABC UU AC AD AB

AC AB ........................................1p

Dar2

2 2

AB ABAC AD ....................................................................................1p

c.

0180

2

m EAB m ABE m AEB m AEC m ABE

m ABC m ABE m ABE

ACEisoscel AE CE .................................................................................1p

ACE CAE (au același complement) ACEisoscel CE AE ..............1p




BAREM CLASA a VII-a

d. Dacă D AB , atunci CD și AE mediane. Fie CD AE G , de unde rezultă

că G este centrul de greutate al ABC . Din proprietatea centrului de greutate se

calculează 3 6

,6 6

AB ABGD AG . Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora că

AGD este dreptunghic în G.........................................................................................1,5p

Dacă A DB construim CF mediană, unde F AB .

Cum CD CF CF AE .....................................................................................0,5p

----------------------------

Total = 7 puncte

4. (p1) (p2)

Din teorema lui Pitagora aplicată în triunghiurile ADB și ADC rezultă:

2 2 2 2AB BD AC CD AB BD AB BD AC CD AC CD ( )….....1p

Cum AB BD AC CD (1), rezultă AB BD AC CD (2)……………….……1p

(p2) (p3)

Folosind relația ( ) și AB BD AC CD rezultă AB BD AC CD ………….…1p

Adunând relațiile (1) și (2) obținem AB AC …………………………………...…….2p

(p3) (p1)

Dacă AB AC și AD BC , rezultă BD DC AB BD AC CD ……………..2p

----------------------------

Total = 7 puncte

A B

C

D

E

A DB

A B

C

D

E

D AB

A

B C D




BAREM CLASA a VIII-a

1.a. Ecuația se scrie 2 2 2

2 3 2 38x y x z y z ……………….……..…....1,5p

2 2 238 2 3 5 sau 2 2 238 1 1 6 ………………………………………………….0,5p

2, 2 3,3 2 5 2, 2 3,3 2 5x z x y y z x z x y y z ………………...…0,5p

1, 1, 1x y z ……………………………………………………………………….0,5p

b. Din relația dată în enunț rezultă că cele trei numere sunt ori toate numere pare, ori

două numere impare și unul număr par………………………………………...………0,5p

Relația se scrie 2 2 22 2 2ab ac bc a b c (1)……………………………………0,5p

La relația (1) adunăm 2 ,2 ,2ab bc ac și obținem

2

2

a b cab ac bc

și cum

2

a b cN

rezultă că ab ac bc pp .....................................................................1,5p

La relația (1) adunăm 2ab și obținem

2

2

a b cab

, dar 2

a b cN

, deci avem

ab pp …………………………………………………………………………………..1p

Analog

2

2

a b cac pp

și

2

2

b c abc pp

……………………………0,5p

---------------------------

Total = 7 puncte

2. a. 2 3 2016

, , ,...,2 2 2 2

x x x xI ...............................................................................................2p

b. Dacă, pentru orice x R

, avem evident 0 ,2x x

Cum 1

2 ,12

x N x

și atunci 1 1 1

, ,13 2 2

x

.................................................1p

Dacă 1 1

,3 2

x

, rezultă 1 1 2

, ,2 ,1 02 3 3

x x I Z

(Fals)....................1p

Dacă 1

,12

x

, rezultă 1

1, ,2 1,2 0,12

x x I Z

................................1p

c. Dacă 3 2 3 4n x , de unde 2 4

,1 1,3 3

x

...............................................1p

Dacă 2

,13

x

, rezultă 2 4

1, ,2 ,2 0,13 3

x x I Z

(Fals)..............0,5p

Dacă 4

1,3

x

, rezultă 4 8

, 1 ,2 2, 1,0,1,23 3

x x I Z

(Fals).........0,5p

---------------------------

Total = 7 puncte

Soluție alternativă clasa a VIII-a – problema 2

a. 2 3 2016

, , ,...,2 2 2 2

x x x xI ..............................................................................................2p

b. Dacă n=2 , pentru orice x pozitiv avem elementul 0 în interval ................................1p

Ca să avem încă un element natural, adică pe 1, este necesar și suficient ca 1 2 2x , de

unde 1

,12

x

……………………………………………………….………………2p

c. Dacă 1x , atunci intervalul , 2x x conține cel puțin numerele întregi -1, 0, 1, 2,

adică cel puțin 4 numere întregi......................................................................................1p

Rezultă că, pentru orice x R

intervalul , 2x x nu conține 3 numere intregi….….1p

---------------------------

Total =7 puncte

3. Cazul I

S se află “deasupra “ planului ' ' 'A BC

' ' ' ' 0120D AB echi m D B S și cum ' ' 0 ' '30m D SB D B S isoscel, de unde

reszultă ' ' ' 6 2B S B D cm………………………………………………………..….1p

Din ' 'A B S calculăm ' 6 5AS cm, iar din ' 'C B S calculăm ' 6 3C S cm………..1p

Verificăm cu reciproca teoremei lui Pitagora că ' 'AC S este dreptunghic în 'C …...…..1p

Cazul II

S se află “sub “ planului ABC

' ' ' 0120D AB echi m D AS și cum ' 0 '30m D SA D AS isoscel, de unde

resultă ' 6 2AS AD cm…………………………………………………………….1p

Fie ' ' ' '||SM A BC SM AA și ' 'M AB . Cu reciproca teoremei liniei mijlocii în

'SMB deducem SM=12 cm...............................................................................................1p

Construim ' 'MN AC și cu teorema celor trei perpendiculare rezultă ' 'SN AC ...........1p

Din 'MNA dreptunghic în N găsim 3 2MN cm, iar din MNS dreptunghic în M

găsim 9 2SN cm..........................................................................................................1p

----------------------------

Total = 7 puncte

S’

C’

D’

B’

A’

C

D A

S

B M

N




BAREM CLASA a VIII-a

4. Fie AO VBC înălțimea tetraedrului și || , ,PQ AO Q VO d P VBC PQ .

Din PQ VP

VPQ VAOAO VA

.................................................................................1,5p

Înălțimea tetraedrului este 2 6 cm................................................................................0,5p

Folosind relația din enunț, găsim 2VP .......................................................................0,5p

Analog găsim 3

2VS cm, iar 3VM cm........................................................................1p

Din VMS găsim 3 3

2MS cm.....................................................................................1p

Din VPS găsim 13

2PS cm, iar din VPM găsim 7PS ...................................2p

3 3 13 2 7 3 3 137

2 2 2MSPP

cm...........................................................0,5p

----------------------------

Total = 7 puncte

A

B

C

O

Q

V

P x

x M

S

colegiul naţional „mircea cel bătrân”, râmnicu...

Documents