clasificarea metrica a conicelor

8/6/2019 Clasificarea metrica a conicelor

1/15

GEOMETRIE ALGEBRICACLASIFICAREA METRICA A CONICELOR

CHELBA VASILE MARIUS

MASTER II - CSIP

1. Ecuatia generala a conicelor

Definitie. Se numeste conica, sau curba de gradul doi, multimea C a punctelor M(x, y)din plan ale caror coordonate satisfac o ecuatie de forma:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,

unde toti coeficientii sunt reali si din primii trei coeficienti, cel putin unul este diferit de

0.

In continuare vom pune ecuatia conicei sub forma:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2b1x + 2b2y + c = 0,

pentru a ne usura munca n cele ce urmeaza.Denumirea de conica se explica prin faptul ca o asemenea curba rezulta din intersectia

unui con circular drept (considerat cu cele doua panze ale sale) cu un plan si deci poatefi: o elipsa, o hiperbola sau o parabola, asa cum vedem n figurile 1-3.

Figura 1. Prin intersectia cu un plan oblic obtinem o elipsa

Figura 2. Prin intersectia cu un plan paralel cu una din generatoareobtinem o parabola

Pentru clasificarea conicelor, putem presupune fara sa restrangem generalitatea caa11 = 0, sau chiar a11 > 0.Chiar daca a11 = 0 sau a11 < 0, prin schimbari de coordonate convenabile obtinem o

1


2/15

2 CHELBA VASILE MARIUS MASTER II - CSIP

Figura 3. Prin intersectia cu un plan paralel cu naltimea conului obtinemo hiperbola

ecuatie a conicei cu a11 > 0.Astfel daca a11 = 0 dar a22 = 0, facem schimbarea de coordonate:

x = y;

y = x.

obtinanda11y

2 + 2a12xy + a22x

2 + 2b1y + 2b2x

+ c = 0.

Daca a11 = 0 si a22 = 0, atunci a12 trebuie sa fie diferit de 0, permitandu-ne sa facemschimbarea de coordonate urmatoare:

x =

x

2+

y

2;

y = x2

+y

2.

ecuatia conicei devenind:

2a12x2 2a12y2 + 2(b1 + b2)x + 2(b2 b1)y + c = 0.

De asemenea, daca a11 < 0, nmultim cu 1 obtinand a11 > 0.In continuare formam un patrat perfect care sa contina toti termenii n x.

Astfel avem:a11x

2 + 2a12xy + 2b1x +a212a11

y2 +b21

a11+ 2

a12b1

a11y

a

212

a11y2 b

21

a112a12b1

a11y+a22y

2+2b2y+c = 0.

Grupand termenii, obtinem:a11x +

a12a11

y +b1a11

2+

a22 a

212

a11

y2 +

2b2 2 a12b1

a11

y + c b

21

a11= 0.

In ecuatia de mai sus facem schimbarea de coordonate urmatoare:

x = x +

a12

a11y +

b1

a11;

y = y.

obtinand:

a11x2 +

a22 a

212

a11

y2

+

2b2 2a12b1

a11

y + c b

21

a11= 0.

Schimbarea de coordonate de mai sus este metrica, asa cum vor fi toate transformarilepe care le vom face n continuare, determinantul matricei transformarii fiind 1.

1

a12

a110 1

= 1.


3/15

GEOMETRIE ALGEBRICA CLASIFICAREA METRICA A CONICELOR 3

2. Clasificarea metrica a conicelor

In continuare vom analiza coeficientii ecuatiei de mai sus distingand diferite cazuri.

I: a22 a2

12

a11= 0

In acest caz vom obtine o conica de gen parabolic, cazurile urmatoare oferind oimagine mai detaliata.

Ia: b2 a12b1a11

= 0

Daca si acest coeficient este 0 se obtine o conica degenerata cu ecuatia:

a11x2 + c b

21

a11= 0.

Subcazurile care urmeaza explicitand mai departe:

Iai: c b2

1

a11= 0

In acest caz obtinem doua drepte confundate:

d1 = d2 : x2 = 0

sau revenind asupra transformarii de coordonate:

d1 = d2 : x +a12

a11y +

b1

a11= 0

Iaii: c b2

1

a11> 0

Obtinem ecuatia:

a11x2 + c

b21

a11= 0

Aceasta ecuatie nu are nicio solutie n R2, nsa n C avem ecuatiile adoua drepte imaginare:

d1 :

a11x i

b

21

a11+ c = 0

d2 :

a11x + i

b

21

a11+ c = 0

Iaiii: c

b21

a11< 0

Aici obtinem doua drepte paralele :

d1 :

a11x

b21

a11 c = 0

d2 :

a11x +

b21

a11 c = 0

Ib: b2 a12b1a11

= 0In acest caz obtinem o parabola. Pentru a pune ecuatia parabolei n forma


4/15


standard, n cazul n care termenul liber este diferit de 0, vom face urmatoareaschimbare de coordonate:

x = x;

y = y + 2b2 2a12b1

a11 1

cb21

a11 .obtinand ecuatia:

a11x2 +

2b2 2a12b1

a11

y = 0.

Mai departe, notand:

p =1

a11

b2 a12b1

a11

avem:

x2

+ 2py = 0.

II: a22 a2

12

a11= 0

Notam a11a22 a212 = . Avem ecuatia:

a11x2 +

1

a11y

2+ 2

b2a11 a12b1

a11

y +

ca11 b21a11

= 0

apoi, nmultind cu a11:

a211

x2

+ y 2

+ 2 (b2a11 a12b1) y + ca11 b21 = 0.In continuare vom face discutia n functie de acest .

IIa: > 0

Acum vom forma un patrat care sa contina toti coeficientii n y.Astfel avem:

a211x2 + y

2+ 2

b2a11 a12b1

y +

b2a11 a12b1

2

b2a11 a12b1

2+ ca11b21 = 0.

si mai departe:

a211x2 +

y +

b2a11 a12b1

2

b2a11 a12b1

2+ ca11 b21 = 0

Vom face schimbarea de coordonate:

x = x;

y = y + b2a11 a12b1

.

si rezulta ecuatia:

a211x2 + y

2+

b2a11 a12b1

2+ ca11 b21

M

= 0

Vom continua discutia cazurilor n funct ie de parametrul M, care constituietermenul liber rezultat n urma schimbarilor de coordonate efectuate pana nacest moment.


5/15


IIai: M < 0

In acest caz obtinem o elipsa de ecuatie:

x2

a2+

y2

b2 1 = 0,

unde:a =

Ma11

si b =

M

.

IIaii: M = 0In aceste conditii avem un punct dublu x = y = 0.

IIaiii: M > 0

Obtinem o elipsa imaginara deoarece avem coeficientii lui x2 si y2,respectiv a211 si , mai mari decat 0, iar M > 0.

IIb: < 0

Din nou vom forma un patrat care sa contina toti coeficientii n y si obtinem:

a211x2()y2 + 2 a12b1 b2a11 y + a12b1 b2a11 2+a12b1 b2a11

2

+ca11b21 = 0.

mai departe:

a211x2

y + a12b1 b2a11

2+

a12b1 b2a11

2+ ca11 b21 = 0.

Vom face schimbarea de coordonate:

x = x;

y = y +a12b1 b2a11

.

si rezulta ecuatia:

a211

x2 ()y2 +

a12b1 b2a11

2+ ca11 b21

M

= 0

Vom continua discutia cazurilor n funct ie de parametrul M.IIbi: M = 0

Sub aceste conditii, conica obtinuta este o hiperbola.IIbii: M = 0

In acest caz avem doua drepte concurente:

d1 : a11x y = 0;

d2 : a11x +

y = 0;

3. Clasificarea conicelor cu ajutorul C++

Cu ajutorul celor prezentate mai sus, se poate implementa un program ntr-un limbajde programare oarecare, pentru a ne usura munca n ceea ce priveste gasirea schimbarilorde coordonate potrivite si a calculelor.Am implementat acest algoritm ntr-un program C++ care ne indica schimbarile de co-ordonate necesare, precum si cu ce conica avem de a face. In continuare prezint codul


6/15


explicat al programului:

#include

#include

#include

#include #include

using namespace std;

bool flag=true;

double a_11,a_12,a_22,b_1,b_2,c;

double aux;

void readCoefs();

void writeEq();

char sgn(double x);

bool toDouble(char* p, double& x);

void main()

{

Citim coeficientii ecuatiei conicei, permitandu-se doar introducerea de numere reale, cuajutorul functiei readCoefs(). Dupa citirea unor coeficienti valizi va fi afisata ecuatia,formatata corespunzator, prin intermediul functiei writeEq().

readCoefs();

writeEq();

cout


7/15


a_22=-a_11;

a_12=0;

aux=b_1;

b_1=b_1+b_2;

b_2=b_2-aux;

}}

else

{

cout


8/15


if (a_12/a_11!=0)

{

if (fabs(a_12/a_11)==1)

{

k+=sprintf_s(schv+k,300-k,"%c ",sgn(a_12/a_11));

k+=sprintf_s(schv+k,300-k," %s","y ");}

else

{

k+=sprintf_s(schv+k,300-k,"%c",sgn(a_12/a_11));

k+=sprintf_s(schv+k,300-k," %4.3f",fabs(a_12/a_11));

k+=sprintf_s(schv+k,300-k,"%s"," * y ");

}

}

if (b_1/a_11!=0)

{

k+=sprintf_s(schv+k,300-k,"%c",sgn(b_1/a_11));k+=sprintf_s(schv+k,300-k," %4.3f",fabs(b_1/a_11));

k+=sprintf_s(schv+k,300-k,"%s",";");

}

cout


9/15


printf_s("d1 : %4.3f * x - i * %4.3f = 0;\n",sqrt(a_11)

,sqrt(c-(b_1*b_1)/a_11));

printf_s("d2 : %4.3f * x + i * %4.3f = 0.\n\n",sqrt(a_11)

,sqrt(c-(b_1*b_1)/a_11));

}

else//c


10/15


11/15


}

}

cout


12/15


flag=false;

}

}

while (flag==false);

do{

flag=true;

couttmp;

if (!toDouble(tmp,b_1))

{

cout


13/15


void writeEq()

{

char eqtn[500];

int j=0;

if (a_11!=0)

{

if (fabs(a_11)==1)

{

if (sgn(a_11)==-)

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s","- ");

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s","x^2 ");

}

else

{

if (a_11


14/15


}

}

if (b_1!=0)

{

if (fabs(2*b_1)==1){

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%c",sgn(b_1));

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s"," x ");

}

else

{


j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j," %4.3f",fabs(2*b_1));

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s"," * x ");

}

}

if (b_2!=0)

{

if (fabs(2*b_2)==1)

{


j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s"," y ");

}

else

{


j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j," %4.3f",fabs(2*b_2));j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s"," * y ");

}

}

if (c!=0)

{

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%c",sgn(c));

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j," %4.3f",fabs(c));

}

j+=sprintf_s(eqtn+j,500-j,"%s"," = 0");

if (+==eqtn[0])

{

string delta=eqtn;

delta=delta.substr(2,strlen(eqtn));

cout


15/15


char sgn(double x)

{

if (x>0) return +;

return -;

}

bool toDouble(char* p, double& x)

{

std::istringstream ss(p);

ss>>x;

if (!ss) return false;

return(ss.rdbuf()->in_avail()==0);

}

clasificarea metrica a conicelor

Documents