2 2013.c a b

INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CĂLĂRAŞI

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALA – 9 FEBRUARIE 2013

Clasa a VIII-a

Problema 1. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: 1 2 3

1 .2 2

xx x

Gheorghe Fianu, Perișoru

b) 1 2 3Fie şi , , ,........ 2013;2013 .nn x x x x Să se determine mulțimea numerelor naturale n pentru

care este adevărată egalitatea 1 2 2 3 3 4 1 1 ........ 0.n n nx x x x x x x x x x

Lucian Ioniță, Călărași

Problema 2. Dacă 2 2, , , cu proprietatea 2013,a b c a b a b c b a c demonstrați că

Gheorghe Stoianovici, Călărași

Problema 3. Fie 0a și piramida patrulateră regulată SABCD în care muchia bazei are lungimea a și

lungimea înălțimii piramidei este 2 .a Daca M este mijlocul laturii [BC] și măsura unghiului dintre dreapta

SB și planul (SAC) este , aflați:

a) distanța de la punctul S la dreapta DM;

b) lungimea proiecției segmentului SM pe dreapta SD;

c) tg .

Sorin Furtună, Călărași și Stelică Pană, Chirnogi

Problema 4. Dacă [ABCD;A1B1C1D1] este un paralelipiped dreptunghic, O centrul feţei ABCD, Q centrul

feţei ADD1A1, măsura unghiului dintre planele (DA1C1) și (DA1B) atunci:

a) Demonstraţi că paralelipipedul dreptunghic este cub dacă şi numai dacă QC1 DA1 şi OA1 BD.

b) Dacă [ABCD;A1B1C1D1] este cub calculați sin .

Gheorghe Fianu, Perișoru

SUCCES!

Baremul de notare este: Problema 1. a) 4 puncte; b) 3 puncte; Problema 2. 7 puncte; Problema 3.

a) 3 puncte; b) 2 puncte; c) 2 puncte; Problema 4. a) 4 puncte; b) 3 puncte.

Str. Sloboziei, nr. 28, 910001 Mun. Călărași, Jud. Călărași

Tel: +40 0242 315 949

Fax: +40 0242 312 810 www.isj.cl.edu.ro

2 2013.c a b

INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CĂLĂRAŞI

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

ETAPA LOCALA – 9 FEBRUARIE 2013

Clasa a VIII-a

Problema 1. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: 1 2 3

1 .2 2

xx x

a) Ecuatia 2 1

22

xx

…………………………………………………………………………1p

2

112

3

2

12

2

1

2

12

2

3

2

1

2

12

2

3

2

1

2

12

2

322

2

12

xk

Zk

k

kx

x

kx

x

x

Zkx

xx

x

…………...……3p

b) 1 2 3Fie şi , , ,........ 2013;2013 ,nn x x x x să se determine mulțimea numerelor naturale n pentru

care este adevărată egalitatea 1 2 2 3 3 4 1 1 ........ 0.n n nx x x x x x x x x x

Soluție : condiție necesară .,2 Nppn ………………………………………………………………1p

p termeni din sumă sunt egali cu -2012 si p termeni sunt egali cu 2012 implică

np

nnn xxxxxxxxxx 2

11433221 20121........

np

nxxxx 222

3

2

2

2

1 20121..... . Deci NknNkkp 4,2 . Rezulta 4Mn …….…2p

Problema 2. Dacă 2 2, , , cu proprietatea 2013a b c a b a b c b a c atunci demonstrați

că

Soluție

2 2 2013a b c b a c 2 2 0a b c b c a …………………………………………………2p

2 2 2 2 0a b a c b c b a 2 2 0ab a b c a b 0ab a b c a b a b

0a b ab ac bc 0ab ac bc . ………………………………………………………………….3p

a b c bc 2a b c abc .

c a b ab 2c a b abc ………………………………………………………………………………2p

Problema 3. Fie 0a și piramida patrulateră regulată SABCD în care muchia bazei are lungimea a și

lungimea înălțimii piramidei este 2 .a Daca M este mijlocul laturii [BC] și măsura unghiului dintre dreapta

SB și planul (SAC) este , aflați:

a) distanța de la punctul S la dreapta DM;

b) lungimea proiecției segmentului SM pe dreapta SD;

c) tg .

2tg

4

OB

SO

Soluție

Desen ………………………………………………………………………………………………….1p

a) 5

2

aDM ................................................................ ………………………………………………….1p

5 şi din aria triunghiului scrisă în două moduri

10

aON DM DOM ON …………………...………1p

Din teorema celor trei perpendiculare 9 5

şi d10

aSN DM S,DM …………………………………1p

b) 3 2 3 2

şi 2 4

a aDS MT SD, T SD MT ………………………………………………………1p

17 5 2 şi S

2 4

a aMS T ……………………………………………………………………………………..1p

c) Dacă proiecția segmentului SB pe planul (SAC) este segmentul OB unde O AC BD rezultă

că m OSB ……………………………………………………………………………………..1p

Problema 4. Dacă [ABCD;A1B1C1D1] este un paralelipiped dreptunghic, O centrul feţei ABCD, Q centrul

feţei ADD1A1, măsura unghiului dintre planele (DA1C1) și (DA1B) atunci:

a) Demonstraţi că paralelipipedul dreptunghic este cub dacă şi numai dacă QC1 DA1 şi OA1 BD.

b) Dacă [ABCD;A1B1C1D1] este cub calculați sin .

a) Fie AB = a; BC = b ; AA1 = c;

In DA1C1, în care [C1Q] este şi mediană şi înălţime, avem [C1D] [C1A1]a2 + c

2 = a

2 + b

2;

b2 = c

2 ; b = c ; (1) ……………………………………………………………………………..…….2p

In DA1B, în care [A1O] este şi mediană şi înălţime, avem [A1D] [BA1]b2 + c

2 = a

2 + c

2;

b2 = a

2 ; b = a ; (2)……………………………………………………………………………...……1p

Din (1) şi (2) avem a = b = c ………………………………………………………………………………1p

b) Desen………………………………………………………………………………………………1p

Dacă [ABCD;A1B1C1D1], este cub,AB = a

Unghiul plan corespunzător diedrului (DA1C1; DA1B) este < (C1QB)

Fie C1QB isoscel de bază BC1; BC1= 2a ; BQ = QC1 = 2

6

2

32 aa

( ca înălţime într-un

tr.echilateral)…………………………………..…………………………………………………..1p

A(C1QB)=2

sin

2

11

'

1 BQCQBQCQQBC

sin =

2 2 2

36 6

2 2

a a

a a

……………1p