GHID DE PREDARE A MATEMATICII

CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE

Clasa a VII-a

Realizat de Alin Danciu, profesor Digitaliada, Nicoleta Duma, profesor Digitaliada, coordonat de Adina Roșca, expert

educațional

Textul și ilustrațiile din acest document începând cu pagina 2 sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței Attribution-NonCommercial-

ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. Ilustrațiile din acest

document reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta (pagina 1), ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și

orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior

expres al titularilor de drepturi.

2

CUPRINS

Algebră

MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE

Recapitulare ...................................................................................................................................................................................................... p. 6

OPERAŢII CU NUMERE RAȚIONALE

Recapitulare ...................................................................................................................................................................................................... p. 6

MULȚIMEA NUMERELOR REALE

Recapitulare ...................................................................................................................................................................................................... p. 6

OPERAŢII CU NUMERE REALE

Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical ............................................................................................................ Recapitulare ......................................................................................................................................................................................................

p. 7 p. 6

CALCULE CU NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE

Calcule cu numere reale reprezentate prin litere .............................................................................................................................................. Descompuneri în factori – factor comun............................................................................................................................................................ Descompuneri în factori – gruparea termenilor ................................................................................................................................................ Descompuneri în factori (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul prescurtat)............................................................................. Recapitulare ......................................................................................................................................................................................................

p. 8 p. 9 p. 10 p. 11 p. 6

ECUAȚII ȘI INECUAȚII ÎN MULȚIMEA NUMERELOR REALE. PROBLEME

Inecuații ............................................................................................................................................................................................................. Recapitulare ......................................................................................................................................................................................................

p.12 p. 6

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale.......................................................................................................

p.13

Geometrie PATRULATERE

Patrulaterul convex (definiție; desen); Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex ............................................................................... p. 14

Paralelogramul; Proprietăți ................................................................................................................................................................................ p. 18

Dreptunghiul ...................................................................................................................................................................................................... p. 25

Rombul .............................................................................................................................................................................................................. p. 28

Pătratul .............................................................................................................................................................................................................. p. 31

Trapezul; Clasificare; Trapezul isoscel; proprietăți ............................................................................................................................................ p. 34

Recapitulare ...................................................................................................................................................................................................... p. 6

ARII

Aria unui triunghi ............................................................................................................................................................................................... p. 38

Ariile patrulaterelor ............................................................................................................................................................................................ p. 39

3

ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

Teorema lui Thales (fără demonstraţie) ............................................................................................................................................................ p. 44

Triunghiuri asemenea; Teorema fundamentală a asemănării ........................................................................................................................... p. 46

RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

Proiecții ortogonale pe o dreaptă....................................................................................................................................................................... Teorema înălțimii ............................................................................................................................................................................................... Teorema catetei ................................................................................................................................................................................................ Teorema lui Pitagora.........................................................................................................................................................................................

p. 48 p. 51 p. 53 p. 55

CERCUL

Elemente în cerc. Coardă, arc, unghi la centru................................................................................................................................................. Poligoane regulate.............................................................................................................................................................................................

p. 58 p. 60

ANEXE

Anexa 1 ............................................................................................................................................................................................................. p. 4

Anexa 2 ............................................................................................................................................................................................................. p. 6

Anexa 3 ............................................................................................................................................................................................................. p. 64

Anexa 4 ............................................................................................................................................................................................................. p. 75

4

Anexa 1

Aplicații/Legendă/Recomandări

Aplicația Recomadări

Geogebra

1. Construcția patrulaterului 2. Paralelogramul; proprietăți 3. Dreptunghiul; proprietăți 4. Rombul; proprietăți 5. Pătratul; proprietăți 6. Teorema lui Thales 7. Teorema fundamentală a asemnănării 8. Ariile figurilor plane 9. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii 10. Teorema catetei 11. Teorema lui Pitagora 12. Teorema reciprocă a lui Pitagora 13. Relații metrice în triunghiul dreptunghic 14. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi ascuțit 15. Rezolvarea triunghiului dreptunghic 16. Cercul; definiţie, elemente în cerc; unghi la centru 17. Măsura arcelor; arce congruente; teoreme referitoare la coarde şi arce 18. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc; tangente dintr-un punct exterior la un cerc 19. Unghi înscris în cerc 20. Triunghi înscris în cerc; triunghi circumscris unui cerc 21. Poligoane regulate.

Pythagorea

1. Paralelogramul; proprietăți 2. Dreptunghiul; proprietăți 3. Rombul; proprietăți 4. Pătratul; proprietăți

Areas

1. Ariile figurilor plane

Factor Trinomial Practice

1. Descompuneri în factori – gruparea termenilor

Factoring Practice Binomial

1. Descompuneri în factori – factor comun

5

Negative Numbers

1. Inecuații în mulțimea numerelor reale

Math Test

1. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical 2. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere 3. Descompuneri în factori (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul) 4. Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale

6

Anexa 2

Instrumente pentru evaluarea cunostințelor/Recomandări

Aplicația recomadată Titlul lecției

1. Arii https://play.kahoot.it/#/k/d8504c82-5abf-4349-850f-7a467e46a860

1. Mulțimea numerelor raționale - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5b8683abbcc69d0019f7e786/digitaliada-vii-mulimea-numerelor-raionale 2. Operații cu numere raționale - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5b869822bcc69d0019f80499/digitaliada-vii-operaii-cu-numere-reale 3. Mulțimea numerelor reale - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5b8697faa09c840019c60340/digitaliada-vii-mulimea-numerelor-reale 4. Operații cu numere reale - Recapitulare https://quizizz.com/admin/quiz/5b8697c657ae5a00190224c5/digitaliada-vii-operaii-cu-numere-reale 5. Recapitulare numere reale https://quizizz.com/admin/quiz/5c26018a1e53c0001b7487f3/recapitulare-numere-reale 6. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere https://quizizz.com/admin/quiz/5c34f741baf1cf001b9cc7cf/numere-reale-reprezentate-prin-litere 7. Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor reale. Probleme. https://quizizz.com/admin/quiz/5c4a3bd9e11d53001bd92ee9/ecuaii-i-inecuaii 8. Teorema înălțimii, catetei, Pitagora https://quizizz.com/admin/quiz/5c364ae4baf1cf001b9f2dd4/teorema-inlimii-catetei-pitagora 9. Rapoarte constante în triunghiul dreptunghic. Arii https://quizizz.com/admin/quiz/5c4a1c0e06c949001c6053a5/rapoarte-constante-in-triunghiul-dreptunghic 10. Cercul https://quizizz.com/admin/quiz/5c497a933f95b2001a53186d/cercul 11. Recapitulare patrulatere, arii https://quizizz.com/admin/quiz/5bdafc3668c661001a5d5791/test-de-evaluare-patrulatere-arii

1. Mulţimea numerelor raţionale Q; Incluziunea NZQ; Reprezentarea numerelor raţionale pe axa numerelor https://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=mji1ota2mg9jyb

7

Algebră

OPERAȚII CU NUMERE REALE

Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical

Titlul lecţiei: Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoştinţelor Competențe generale și specifice: CG3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în efectuarea calculelor cu numere reale CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS1. Determinarea regulilor de calcul eficiente în efectuarea operaţiilor cu numere reale Reguli

Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

„Tests = Teste” „Roots, powers and exponents =

pătrate, puteri și exponenți” „Simplify square root = Scoaterea/

introducerea factorilor sub radical” „Start test = Începe testul”

8

CALCUL ALGEBRIC

Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

Titlul lecţiei: Calcule cu numere reale reprezentate prin litere Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoştinţelor Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a formulelor de calcul prescurtat CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule Reguli

Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

„Tests = Teste”

„Algebraic expressions = Expresii algebrice”

„Adding and subtracting expressions = Adunarea și scăderea expresiilor”

„Start test = Începe testul”

Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

„Tests = Teste” „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” „Multiplying out brackets (easy) =

Utilizarea parantezelor (ușor)” „Start test = Începe testul”

9

▪ Descompuneri în factori - factor comun

Titlul lecției: Descompuneri în factori - factor comun Aplicația recomandată: Factoring Practice Binomial Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice:

CG1-3. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule CG2-3. Utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a proprietăţilor acestora CG3-3. Aplicarea regulilor de calcul şi folosirea parantezelor în efectuarea operaţiilor cu numere reale

Utilizatorul trebuie să

introducă, de la tastatură,

forma descompusă a

expresiei date. Dacă

răspunsul este corect se

trece la un alt exercițiu,

dacă răspunsul introdus

este greșit, aplicația nu

trece la un alt exercițiu

până nu se introduce

răspunsul corect.

10

▪ Descompuneri în factori-gruparea termenilor

Titlul lecției: Descompuneri în factori – gruparea termenilor Aplicația recomandată: Factor Trinomial Practice Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice:

CG1-3. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule CG2-3. Utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a proprietăţilor acestora CG3-3. Aplicarea regulilor de calcul şi folosirea parantezelor în efectuarea operaţiilor cu numere reale

Utilizatorul trebuie să

introducă, de la tastatură,

forma descompusă a

expresiei date. Dacă

răspunsul este corect se

trece la un alt exercițiu,

dacă răspunsul introdus

este greșit, aplicația nu

trece la un alt exercițiu

până nu se introduce

răspunsul corect.

11

Descompuneri în factori (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul)

Titlul lecţiei: Descompuneri în factori (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul) Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de consolidare a cunoștințelor Competențe generale și specifice: CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a formulelor de calcul prescurtat CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CS1. Deducerea şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat pentru optimizarea unor calcule Reguli

Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

„Tests = Teste” „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” „Factoring (easy) = Descompuneri

(ușor)” „Start test = Începe testul”

Se accesează aplicaţia Math Tests

şi se selectează: „Tests = Teste” „Algebraic expressions = Expresii

algebrice” „Factoring (difficult) =

Descompuneri (dificil)” „Start test = Începe testul”

12

ECUAȚII ȘI INECUAȚII

Inecuații

Titlul lecției: Inecuații

Aplicația recomandată: Math Negative Numbers-Negative Number Inequalties Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice:

CG2-3. Utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a proprietăţilor acestora în rezolvarea unor ecuaţii şi inecuaţii CG4-3. Redactarea rezolvării ecuaţiilor şi a inecuaţiilor studiate în mulţimea numerelor reale CG5-3. Obţinerea unor inegalităţi echivalente prin operare în ambii membri

Utilizatorul trebuie să

rezolve inecuațiile

date și să aleagă

răspunsul corect.

Indiferent dacă

răspunsul este corect

sau greșit se trece la o

altă întrebare.

Exercițiul este

terminat în momentul

în care au fost date 10

răspunsuri corecte. La

sfârșit este afișat și

numărul de întrebări

la care s-a răspuns,

timpul și răsunsurile.

corecte.

13

ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

▪ Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale

Titlul lecţiei: Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale Aplicația recomandată: Math Tests Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice:

CG1-4. Identificarea unor corespondenţe între diferite reprezentări ale aceloraşi date CG2-4. Reprezentarea unor date sub formă de grafice, tabele sau diagrame statistice în vederea înregistrării, prelucrării şi prezentării acestora CG3-4. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin dependenţe funcţionale sau calculul probabilităţilor CG4-4. Caracterizarea şi descrierea unor elemente geometrice într-un sistem de axe ortogonale CG5-4. Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul elementelor de organizare a datelor CG6-4. Transpunerea unei relaţii dintr-o formă în alta

Reguli

Se accesează aplicaţia Math Tests şi se selectează:

„Tests = Teste” „Coordinate plane = Coordonate

carteziene” „Objects on coordinate plane =

Coordonatele carteziene ale obiectelor”

14

Geometrie

PATRULATERUL

Patrulaterul convex

Titlul lecției: Patrulaterul convex Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.5. Recunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în configuraţii geometrice date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.5. Identificarea patrulaterelor particulare, utilizând proprietăţi precizate CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.5. Utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor probleme CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.5. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor legate de patrulatere CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS 6.5. Interpretarea informaţiilor deduse din reprezentări geometrice în corelaţie cu anumite situaţii practice CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii CS 5.5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente, de măsuri de unghiuri şi arii Definiție: Poligonul cu patru laturi se numește patrulater. Definiție: Un patrulater se numește convex dacă oricare ar fi două puncte aflate în interiorul său, segmentul care le unește este inclus în interiorul patrulaterului. Exemplu: ABCD patrulater convex

Definiție: Un patrulater se numește concav dacă există două puncte aflate în interiorul său, astfel încât segmentul care le unește nu este inclus în interiorul patrulaterului. Exemple: ABCD și MNPQ patrulatere concave

15

Pași:

1. Poligon Se construiește un poligon cu 4 laturi

2. Salvare construcție

OBSERVAȚIE! Un patrulater se poate construi și folosind următorii pași:

1. Segment între două puncte Se construiesc pe rând cele 4 laturi

2. Salvare construcție

Teoremă: Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu 360

16

Exemplu:

( ) ( ) ( ) ( ) Definiție: Suma tuturor laturilor unui patrulater convex se numește perimetru.

Calculul perimetrului unui pologon folosind GeoGebra

1.

Poligon Se construiește poligonul.

2.

Distanță sau lungime Se măsoară lungimea unei laturi a poligonului. Se dă click în interiorul poligonului.

3. Salvare construcție

17

Fișa de lucru

1. Construiți în GeoGebra un patrulater convex, apoi calculați, folosind Geogebra, măsura unghiurilor sale, lungimile laturilor și perimetrul său. Verificați

prin calcul suma măsurilor și perimetrul.

18

PARALELOGRAMUL

Paralelogramul

Titlul lecției: Paralelogramul Aplicații recomandate: GeoGebra, Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite CS 1.1. Recunoașterea și descrierea paralelogramului în configurații geometrice date CS 1.2. Identificarea paralelogramelor utilizând proprietățiile precizate CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete CS 2.1. Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale paralelogramului în rezolvarea unor probleme CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.1. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de paralelogram CS 4.2. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri Definiție: Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele două câte două se numește paralelogram. Exemplu: ABCD paralelogram

‖ și ‖ TEOREMA 1: Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente două câte două.

Demonstrație:

[ ] [ ]

} ⇒ [ ] [ ] [ ] [ ]

19

TEOREMA 2: Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente două câte două.

Demonstrație:.

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

} ⇒

Congruența unghiurilor și se observă ușor din congruența și , sau se poate demonstra analog congruența .

TEOREMA 3: Într-un paralelogram, oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare (suma lor este egală cu 180). Demonstrație:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

} ( ( ) ( ))

( ) ( ) TEOREMA 4: Într-un paralelogram, punctul de intersecție al diagonalelor este mijlocul fiecărei diagonale.

Demonstrație:

[ ] [ ]

} ⇒ [ ] [ ] [ ] [ ]

OBSERVAȚIE: Construcția paralelogramului în GeoGebra se poate face folosind definiția sau proprietățile sale.

20

1. Folosind definiția

1. Segment între două puncte Se construiește un segment [AB] de lungime dorită. Se construiește un segmet [AD] de lungime dorită.

2. Paralelă Prin punctul B se construiește o paralelă la AD. Prin punctul D se construiește o paralelă la AB.

3.

Intersecție două obiecte Punctul de intersecție al celor două paralele se notează cu C.

4. Salvare construcție.

21

Teoremă reciprocă 1: Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt congruente două câte două, atunci patrulaterul este paralelogram.

[ ] [ ][ ] [ ]

}

Teoremă reciprocă 2: Dacă într-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente două câte două, atunci patrulaterul este paralelogram.

}

Teoremă reciprocă 3: Dacă într-un patrulater oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare, atunci patrulaterul este paralelogram.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) }

Teoremă reciprocă 4: Dacă într-un patrulater punctul de intersecție al diagonalelor este și mijlocul lor, atunci patrulaterul este paralelogram.

{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

}

TEOREMĂ 5: Dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt paralele și congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

[ ] [ ]

‖

}

O aplicație pentru a înțelege mai bine proprietățile patrulaterului și paralelogramului referitoare la unghiuri este ANGLES, stagiul 3. Problemele 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10, 13, 14.

22

Pentru a fixa mai bine proprietățile paralelogramului se poate folosi aplicația Pythagorea, capitolul Pararallelograms – Paralelograme.

1. Uniți cele patru puncte date pentru a obține un paralelogram

2. Construiți un paralelogram cu trei vârfuri date.

3. Construiți un paralelogram, dându-se o latură și centrul în punctul D.

4. Construiți un paralelogram, dându-se o latură și centrul în punctul D.

23

Fișa de lucru 1. Construiți pe caiet și apoi cu ajutorul aplicației GeoGebra următoarele paralelograme, respectând condițiile impuse în fiecare caz:

a) AB= 5 cm, BC= 3 cm și ( )

b) AC= 6 cm, BD= 9 cm și c) AB= 6 cm, BC= 4 cm și AC=5 cm

Indicații pentru desen în Geogebra pentru 1 a)

1. Semideraptă Se construiește o semidreaptă cu originea în A.

2. Cerc cu centru și rază Se construiește un cerc cu centru în A și de rază 5 cm.

3.

Intersecție două obiecte Punctul de intersecție al semidreptei cu cercul se notează cu B.

Unghi de mărime dată

Se construiește unghiul ABA’ cu măsura de 60.

4. Cerc cu centru și rază Se construiește un cerc cu centru în B și de rază 4 cm.

Intersecție două obiecte Punctul de intersecție al laturii unghiului ABA’ cu cercul se notează cu C.

Paralelă Se construiește paralela prin A la BC. Se construiește paralela prin C la AB.

Intersecție două obiecte Punctul de intersecție al celor două paralele se notează cu D.

4. Salvare construcție

24

2. Construiți în Geogebra paralelogramul ABCD, calculați perimetrul lui, în fiecare dintre cazurile: a) și

b) și ( )

c) , și ( )

25

DREPTUNGHIUL

Dreptunghiul

Titlul lecției: Dreptunghiul Aplicații recomandate: GeoGebra, Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite CS 1.1. Recunoașterea și descrierea dreptunghiului în configurații geometrice date CS 1.2. Identificarea dreptunghiurilor, utilizând proprietățile precizate CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete CS 2.1. Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale dreptunghiului în rezolvarea unor probleme CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.1. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de dreptunghi CS 4.2. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri Definiție: Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi.

OBSERVAȚIE: Dreptunghiul are toate proprietățile paralelogramului.

OBSERVAȚIE: Dreptunghiul are toate unghiurile congruente, fiecare având măsura egală cu 90. TEOREMA 1: Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente. Demonstrație:

ABC și BAD [ ] [ ]

[ ] [ ] }

⇒

[ ] [ ]

Teoremă reciprocă: Dacă un paralelogram are diagonalele congruente, atunci el este dreptunghi.

[ ] [ ]}

26

Pentru a fixa mai bine aceste proprietăți se folosește aplicația Pythagorea, capitolul Rectangles – dreptunghi.

1. Uniți cele patru puncte date pentru a obține un dreptunghi

2. Construiți un dreptunghi cu trei vârfuri date.

3. Construiți un dreptunghi, dându-se mijloacele a trei laturi.

OBSERVAȚIE: Construcția dreptunghiului în Geogebra se poate face folosind definiția sau proprietățile sale. Folosind proprietatea ca dreptunghiul are diagonalele congruente Exemplu: Construiți un dreptunghi ABCD știind că are lungimea diagonalei AC= 6 cm

1.

Segment de lungime dată Se construiește un segment [AB] de lungime dată. Se redenumește punctul B în C.

2.

Mijloc sau centru Se alege mijlocul segmentului [AC]. Se redenumește mijlocul cu O.

3.

Cerc cu centru și rază Se construiește cercul cu centrul în O și rază 3 cm.

4.

Segment între două puncte Se construiește un diametru al cercului diferit de [AC]. Se construiesc segmentele [AB], [BC], [CD] și [DA].

5. Unghi

Se verifică dacă măsura unghiurilor are 90.

6. Salvare construcție

27

Fișa de lucru 1. Construiți în GeoGebra dreptunghiul MNPQ, MN= 5 cm, NP= 2 cm. Calculați perimetrul dreptunghiului folosind GeoGebra. Verificați, folosind

GeoGebra, egalitatea diagonalelor.

28

ROMBUL

Titlul lecției: Rombul Aplicații recomandate: GeoGebra, Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite CS 1.1. Recunoașterea și descrierea rombului în configurații geometrice date CS 1.2. Identificarea romburilor utilizând proprietățiile precizate CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete CS 2.1. Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale rombului în rezolvarea unor probleme CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.1. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de romb CS 4.2. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri Definiție: Paralelogramul cu două laturi consecutive congruente se numește romb.

OBSERVAȚIE: Rombul are toate proprietățile paralelogramului. TEOREMA 1: Rombul are toate laturile congruente. Demonstrație:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

}[ ] [ ] [ ] [ ]

TEOREMA 2: Rombul are diagonalele perpendiculare. Demonstrație: Fie { } ABO și ADO

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

} ⇒

( ) ( )

TEOREMA 3: Diagonalele rombului sunt și bisectoarele unghiurilor sale. Teoremă reciprocă 2: Dacă un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunci el este romb.

29

}

Teoremă reciprocă 3: Dacă într-un paralelogram o diagonală este bisectoarea unui unghi, atunci paralelogramul este romb.

}

Concluzie: Pentru a arăta că un patrulater convex este romb, este suficient să arătăm că este paralelogram și în plus îndeplinește una din proprietățile:

1. Are două laturi consecutive congruente (definiția)

2. Are diagonalele congruente (TR 2)

3. O diagonală a sa este și bisectoarea unui unghi (TR 3)

Exemplu: [BE] înălțime în romb Definiție: Distanța dintre două laturi opuse ale unui romb se numește înălțime în romb. Pentru a fixa mai bine aceste proprietăți se folosește aplicația Pythagorea, capitolul Rhombuses - romburi.

1. Uniți cele patru puncte date pentru a obține un romb

2. Construiți un romb cu trei vârfuri date.

3. Construiți toate romburile ale căror vârfuri sunt două noduri din ele.

Concluzie: Pentru a arăta că un patrulater convex este dreptunghi, este suficient să arătăm că este paralelogram și în plus îndeplinește una din proprietățile: 1. Are un unghi drept (definiția)

2. Are diagonalele congruente (TR)

OBSERVAȚIE: Construcția rombului în GeoGebra se poate face folosind definiția sau proprietățile sale.

30

Exemplu: Construiți un romb ABCD știind că are lungimea laturii AB=5 cm și și ( )

Se pot urma pașii de la Fișa de lucru de la paralelogram

Fișa de lucru

1. Construiți în GeoGebra un romb cu diagonalele de 10 cm, respectiv 6 cm. Verificați, folosind GeoGebra, proprietățile rombului.

2. Construiți în GeoGebra un romb cu latura de 6 cm și unghiul ascuțit cu măsura de 60.

3. Construiți în GeoGebra rombul ABCD cu latura de 5 cm. Calculați, folosind GeoGebra, perimetrul rombului.

31

PĂTRATUL

Pătratul

Titlul lecției: Pătratul Aplicații recomandate: GeoGebra, Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite CS 1.1. Recunoașterea și descrierea pătratului în configurații geometrice date CS 1.2. Identificarea pătratelor utilizând proprietățile precizate CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete CS 2.1. Utilizarea proprietățiilor calitative și metrice ale pătratelor în rezolvarea unor probleme CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.1. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de pătrat CS 4.2. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri Definiție 1: Dreptunghiul cu două laturi consecutive congruente se numește pătrat. Definiție 2: Rombul cu un unghi drept se numește pătrat.

OBSERVAȚIE: Din definițiile de mai sus rezultă că pătratul este și dreptunghi și romb, deci are toate proprietățile dreptunghiului și toate proprietățile rombului, adică:

1. Are diagonalele congruente

2. Are toate unghiurile congruente, fiecare având măsura de 90

3. Are toate laturile congruente

4. Are diagonalele perpendiculare

5. Diagonalele sunt și bisectoarele unghiurilor.

Concluzie: Pentru a arăta că un patrulater convex este pătrat, este suficient să arătăm că este paralelogram și în plus îndeplinește una din proprietățile: 1. Are două laturi consecutive congruente și un unghi drept

2. Are diagonalele congruente (TR 2)

3. O diagonală a sa este și bisectoarea unui unghi (TR 3)

O animație cu familia paralelogramului se gasește la adresa: https://www.geogebra.org/m/yjJb6kRT și adresa: https://www.geogebra.org/m/SGgWzJVv

Pentru a fixa mai bine aceste proprietăți se folosește aplicația Pythagorea, capitolul Rhombuses - Romburi.

32

1. Uniți cele patru puncte date pentru a obține un romb.

2. Construiți un pătrat folosind segmentul dat ca parte.

3. Construiți un pătrat ținând cont de mijlocul laturilor sale.

OBSERVAȚIE: Construcția pătratului în GeoGebra se poate face folosind butonul segmente sau poligon regulat. Exemplu: Construiți pe caiet și apoi în GeoGebra un pătrat având latura egală cu 6 cm;

1.

Segment de lungime dată Se construiește un segment [AB] de lungime 6 cm. Se redenumește punctul B în C.

2.

Poligon regulat Se aleg cele două capete ale segmentului [AB]. Se aleg 4 laturi.

3. Salvare construcție

33

Fișa de lucru

1. Construiți pe caiet și apoi în GeoGebra un pătrat având: a) Latura egală cu 5 cm; b) Diagonala egală cu 6 cm.

2. Folosind desenul de la problema 1, verificați proprietățile pătratului.

34

TRAPEZUL

Trapezul

Titlul lecției: Trapezul Aplicații recomandate: GeoGebra, Pythagorea Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite CS 1.1. Recunoașterea și descrierea trapezului în configurații geometrice date CS 1.2. Identificarea trapezelor utilizând proprietățiile precizate CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete CS 2.1. Utilizarea proprietăților calitative și metrice ale trapezelor în rezolvarea unor probleme CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora CS 4.1. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de trapeze CS 4.2. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente și măsuri de unghiuri Definiție: Patrulaterul convex care are două laturi paralele și două laturi neparalele se numește trapez. .

‖

AB = baza mică

CD = baza mare

Definiție: Laturile paralele ale unui trapez se numesc baze. TEOREMA 1: Într-un trapez unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare.

ABCD trapez ( ‖ ) ( ) ( ) și ( ) ( ) Demonstrație:

35

( ) ( ) } ( ) ( )

Definiție:Trapezul cu laturile neparalele congruente se numește trapez isoscel.

[ ] [ ]ABCD trapez isoscel

Proprietatea 1: Unghiurile alăturate unei baze ale unui trapez isoscel sunt congruente.

ABCD trapez isoscel ( ‖ [ ] [ ]) și

Proprietatea 2: Diagonalele unui trapez isoscel sunt congruente.

ABCD trapez isoscel ( ‖ [ ] [ ]) [ ] [ ]

Teorema 1: Un trapez este isoscel dacă și numai dacă unghiurile alăturate unei baze sunt congruente. Teorema 2: Un trapez este isoscel dacă și numai dacă diagonalele sunt congruente. Concluzie: Pentru a arăta că un trapez este isocel, este suficient să arătăm că îndeplinește una din proprietățile:

1. Unghiurile alăturate unei baze sunt congruente.

2. Are diagonalele congruente.

36

Definiție 1: Trapezul cu un unghi drept se numește trapez dreptunghic. Definiție 2: Trapezul cu una dintre laturile neparalele perpendiculară pe baze se numește trapez dreptunghic.

( ) }ABCD trapez dreptunghic

OBSERVAȚIE: Trapezul dreptunghic are două unghiuri drepte. Definiție: Segmentul de dreaptă determinat de mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numește linie mijlocie în trapez. [MN] – linie mijlocie în trapez Teorema 1: Linia mijlocie în trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma lungimilor acestora.

[MN] – linie mijlocie în trapez { ‖ ‖

Teorema 2: Segmentul determinat pe linia mijlocie al unui trapez de diagonalele acestuia are lungimea egală cu semidiferența lungimilor acestora.

37

Pentru a fixa mai bine aceste proprietăți se folosește aplicația Pythagorea, capitolul Trapezoids - Trapezuri și Righttrapezoids - Trapezuri dreptunghice

1. Uniți cele patru puncte date pentru a obține un trapez.

2. Construiți un trapez isoscel ale cărui vârfuri sunt nodurile și trei dintre ele sunt date.

3. Construiți un trapez dreptunghic ale cărui vârfuri sunt nodurile și trei dintre ele sunt date.

Fișa de lucru

1. Construiți în GeoGebra un trapez isoscel ABCD având ‖ , , AB=8 cm, și ( ) ( ) . Calculați folosind

GeoGebra lungimea laturii CD și perimetrul trapezului.

38

ARIILE FIGURILOR PLANE

Ariile figurilor plane

Titlul lecției: Ariile figurilor plane Aplicații recomandate: GeoGebra, Areas Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CS 1.5. Recunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în configuraţii geometrice date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CS 2.5. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietăţi precizate CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CS 3.5. Utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale triunghiurilor și patrulaterelor în rezolvarea unor probleme de arii CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă CS 5.5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de arii pentru triunghiuri și patrulatere. 1. Triunghi oarecare

AABC =

, unde [AB]=c, [AC]=b, [BC]=a şi ha= înălţimea din A pe BC,

hb=înălţimea din B pe AC, hc= înălţimea din C pe AB.

Ex. AABC =

2. Triunghi dreptunghic

a) AABC=

, unde și

Ex. AABC =

b) AABC=

, unde și

Ex. AABC =

TEOREMĂ: Mediana unui triunghi împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente (au aceeași arie).

39

3. Pătrat

, unde l = latura pătratului

sau

, unde d = diagonala pătratului

4. Dreptunghi

AABCD= Ll, unde [AB]=L, [BC]=l ;

5. Romb

, unde , unde

Ex.

Ex.

OBSERVAȚIE: Aria unui patrulater ortodiagonal (are diagonalele perpendiculare) se poate calcula după formula

, unde ,

40

6. Paralelogram

, unde ,

Ex.

7. Trapez

, unde .

OBSERVAȚIE: Ținând cont că linia mijlocie a unui trapez este egală cu semisuma bazelor, putem calcula aria trapezului ca fiind produsul dintre linia mijlocie și înălțime.

Prezentarea jocului digital Areas

Jocul conţine 10 stagii, fiecare cu 20 de probleme de calcul de arii pentru diverse figuri/combinații de figuri geometrice. În joc se trece mai departe doar dacă răspunsul oferit este corect. Butonul Hint oferă informații pentru recapitularea teoriei de la problema respectivă. Primele două stagii conțin probleme cu calcul de arii la pătrate, dreptunghiuri și triunghiuri, precum și combinații cu aceste figuri. În stadiul trei intervin probleme cu calcul de arii la patrulatere; stadiul patru conține probleme de calcul de arii pentru diverse paralelograme și romburi; stadiul cinci probleme de calcul arii la trapeze; stadiile șase, opt și nouă aria discului și sector de cerc, stadiul șapte probleme cu diferite triunghiuri și combinații de triunghiuri. Jocul conține și un Final stage cu probleme recapitulative care ar putea fi folosit sub forma unui test la final de an școlar, după ce se parcurge întreaga programă referitoare la arii. Problemele se pot rezolva atât prin aplicarea directă a formulelor, precum și intuitiv, folosind rețelele de pătrate.

41

42

Calculul ariei unui poligon folosind GeoGebra Pași:

1.

Poligon Se construiește poligonul dorit. OBSERVAȚIE: Dacă poligonul este construit se marchează vârfurile sale.

2.

Arie Se dă click undeva în interiorul poligonului. Va apărea aria calculată în interiorul poligonului.

3. Salvare construcție

43

Fișa de lucru

1. Construiți în GeoGebra și apoi calculați: a) Aria unui triungi cu lungimea unei laturi egală cu 8 cm și înălțimea corespunzătoare egală cu 5 cm. b) Aria unui triunghi care are lungimile laturilor de 13 cm, 14 cm și 15 cm. c) Aria unui triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor egale cu 10 cm, respectiv 12 cm. d) Aria unui triunghi dreptunghic, care are un unghi de 45°, iar cateta alăturată lui de 16 cm. e) Aria unui dreptunghi cu dimensiunile de 10 cm și 6 cm. f) Aria unui pătrat cu latura de 7 cm. g) Aria unui paralelogram cu lungimea unei laturi de 12 cm și înălțimea corespunzătoare ei de 5 cm. h) Aria unui pătrat cu lungimea diagonalei de 8 cm. i) Aria unui romb cu lungimile diagonalelor de 16 cm și 12 cm. j) Aria unui trapez cu înălțimea de 7 cm și bazele de lungimi 10 cm, respectiv 6 cm. k) Aria unui trapez cu lungimea înălțimii de 9 cm și lungimea liniei mijlocii de 10 cm.

44

Asemănarea triunghiurilor

Teorema lui Thales

Titlul lecției: Teorema lui Thales Aplicații recomandate: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice:

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite

C.S.1-6. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date

CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

C.S. 2-6. Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite

CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete

C.S. 3-6. Utilizarea noţiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configuraţii geometrice date

CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora

C.S. 4-6. Exprimarea proprietăţilor figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă

C.S. 5-6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelatie cu proprietăţi calitative şi/sau metrice

CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii C.S. 6-6. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situaţii date, utilizând asemănarea triunghiurilor TEOREMA LUI THALES: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile acestora, segmente proporționale. Distingem trei cazuri:

Cazul I

Cazul II

Cazul III

45

Pentru a înțelege mai bine teorema lui Thales, elevii vor intra pe tablete la adresa https://www.geogebra.org/m/p9wUBW2H.

Elevii vor putea alege lungimea segmentelor AB, AE (AE’) și AC și vor observa că egaliatea rapoartelor

,

, etc.

46

Asemănarea triunghiurilor

Teorema fundamentală a asemănării

Titlul lecției: Teorema fundamentală a asemănării Aplicații recomandate: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite C.S. 1.6. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice C.S. 2.6. Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete C.S. 3.6. Utilizarea noţiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configuraţii geometrice date CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora C.S. 4.6. Exprimarea proprietăţilor figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă C.S. 5.6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelatie cu proprietăţi calitative şi/sau metrice CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii C.S. 6.6. Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situaţii date, utilizând asemănarea triunghiurilor. TEOREMA LUI THALES O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile acestora, un triunghi asemenea cu cel inițial. Distingem 3 cazuri:

Cazul I

Cazul II

Cazul III

47

Pentru a înțelege mai bine teorema lui Thales, elevii vor intra pe tablete la adresa https://www.geogebra.org/m/m5wvFTuM

Elevii vor putea alege lungimea segmentelor AB, AE (AE’) și AC și vor observa că egaliatea rapoartelor

, etc.

48

Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei.

1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă

Titlul lecției: Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite. CS 1. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic, într-o configuraţie geometrică dată. CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete. CS 1. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic. CG 3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora. CS 1. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a două drepte prin relaţii metrice. CS 2. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia. Definiție:Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă. Notație: (citim: proiecția de dreapta d a punctului A este punctul A’) dacă sau dacă Construcție:

1.

Dreaptă prin două puncte Se construiește o dreaptă care trece prin două puncte și se notează cu d

2.

Punct Se construiesc două puncte și

3.

Perpendiculară Se construiește perpendiculara din punctul A pe dreapta BC

4.

Intersecția a două obiecte Se fixează intersecția perpedicularei din A pe BC și se notează cu A’

5. Salvare construcție.

49

Notăm și Definiție: Proiecția ortogonală a unui segment [ ] pe o dreaptă d este segmentul [ ] unde și sunt proiecțiile ortogonale ale punctelor A și B pe dreapta d.

50

Construcție:

1.

Dreaptă prin două puncte Se construiește o dreaptă care trece prin două puncte și se notează cu d

2.

Segment între două puncte Se construiesc 5 segmente astfel: segmentul [ ] paralel cu dreapta d, segmentul [ ] astfel încât și CD nu este paralel cu dreapta d, segmentul [ ] astfel încât și EF nu este paralel cu dreapta d, segmentul [ ] , astfel încât G și segmentul MN, astfel încât punctele M și N se află de o parte și de alta a dreptei d

3.

Perpendiculară Se construiesc perpendicularele din punctele care nu aparțin dreptei d pe dreapta d și se redenumesc

4.

Intersecția a două obiecte Se fixează intersecția perpedicularelor construite cu dreapta d

5. Salvare construcție.

Se notează: [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] [ ] , [ ] , [ ] [ ] Observații: 1. Proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă este un segemnt sau un punct. 2. Lungimea proiecției unui segment pe o dreaptă este mai mică sau egală decât lungimea segmentului proiectat.

51

Titlul lecției: Teorema înălțimii. Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite. CS 1. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic, într-o configuraţie geometrică dată. CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete. CS 1. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic. CG 3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora. CS 1. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a două drepte prin relaţii metrice. CS 2. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia. Teorema înălțimii Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii din vârful unghiului drept este medie geometrică întrelungimile proiecțiile catetelor pe

ipotenuză, adică: Teorema inaltimii proba.ggb Construcție:

1. Segment între două puncte Se construiește un triunghi ABC deptunghic în A

2.

Perpendiculară Se construiește perpendiculara din punctul A pe dreapta BC

3.

Intersecția a două obiecte Se fixează intersecția perpedicularei cu BC și se notează cu D

4. Salvare construcție.

52

Aplicații: Construiți în GeoGebra următoarele probleme (respectați unitatea de măsură precizată în textul problemei) și aflați lungimile laturilor corespunzătoare:

1. Fie , ( ) , astfel încât . Aflați lungimea segmentului [ ].

2. Fie , ( ) , astfel încât . Aflați lungimea segmentului [ ].

53

Titlul lecției: Teorema catetei. Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice: CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite. CS 1. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic, într-o configuraţie geometrică dată. CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete. CS 1. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic. CG 3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora. CS 1. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a două drepte prin relaţii metrice. CS 2. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia.

Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic lungimea fiecărei catete este medie geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției ei pe ipotenuză,

adică: , Construcție:

1. Segment între două puncte Se construiește un triunghi ABC deptunghic în A

2.

Perpendiculară Se construiește perpendiculara din punctul A pe dreapta BC

3.

Intersecția a două obiecte Se fixează intersecția perpedicularei cu BC și se notează cu D

4. Salvare construcție.

54

Aplicații: Construiți în GeoGebra următoarele probleme (respectați unitatea de măsură precizată în textul problemei) și aflați lungimile laturilor corespunzătoare:

1. Fie , ( ) , astfel încât . Aflați lungimea segmentului [ ].

2. Fie , ( ) , astfel încât . Aflați lungimea segmentului [ ].

55

Titlul lecției: Teorema lui Pitagora. Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de însușire de noi cunoștințe Competențe generale și specifice:

CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite. CS 1. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic, într-o configuraţie geometrică dată. CG 2. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete. CS 1. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic; CG 3. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora. CS 1. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a două drepte prin relaţii metrice. CS 2. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia.

Teorema lui Pitagora Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egal cu pătratul lungimii ipotenuzei, adică: , Construcție:

1. Segment între două puncte

Se construiește un segment

2.

Perpediculară Se construiește perpendiculara în punctul A pe dreapta AB

3.

Segment între două puncte Unim punctul B cu un punct pe perpendiculară și îl notăm cu C

4. Salvare construcție.

56

Aplicații: Construiți în GeoGebra următoarele probleme (respectați unitatea de măsură precizată în textul problemei) și aflați lungimile laturilor corespunzătoare:

1. Fie , ( ) astfel încât . Aflați lungimea segmentului [ ] apoi verificați cu ajutorul GeoGebra

2. Fie , ( ) astfel încât . Aflați lungimea segmentului [ ], apoi verificați cu ajutorul GeoGebra

Rezolvare:2

1.

Segment de lungime dată

Se construiește un segment

2.

Perpediculară Se construiește perpendiculara în punctul A pe dreapta AB

3.

Cerc cu centru și rază Se construiește cercul cu centrul în B și de rază 10 cm

Intersecție Se fixează punctul de intersecție într cerc și perpendiculara în A și se notează cu C

Segment între două puncte Unim punctul B cu punctul C

Distanță sau lungime Măsurăm distanța de la A la C

4. Salvare construcție.

57

58

CERCUL

Elemente în cerc. Coardă, arc, unghi la centru

Titlul lecției: Elemente în cerc. Coardă, arc, unghi la centru

Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice:

CG1-8. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui cerc, într-o configuraţie geometrică dată CG2-8. Calcularea unor lungimi de segmente şi măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate în configuraţii geometrice care conţin un cerc CG3-8. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale cercului CG4-8. Exprimarea proprietăţilor elementelor unui cerc în limbaj matematic

Construcție:

1.

Punct Se fixează un punct

2.

Cerc cu centru prin punct Se poate desena un cerc alegând centrul cercului și un punct prin care să treacă cercul

3.

Cerc cu centru și rază Se poate desena un cerc alegând centru cercului și lungimea razei

4.

Cerc prin 3 puncte Se poate desena un cerc care trece prin 3 puncte date

5.

Compas Se poate desena cercul alegând lungimea un segment sau două puncte (lungimea razei) și apoi un punct ca fiind centrul cercului

6

Arc de cerc Se alege centrul cercului și două puncte de pe cerc

7

Segment între două puncte Se pot construi raze, coarde, unghi la centru, unghi pe cerc

8

Unghi Se pot determina măsurile unghiurilor la centru, respectiv a unghiurilor pe cerc

9. Salvare construcție.

59

60

POLIGOANE REGULATE

Poligoane regulate

Titlul lecției: Poligoane regulate

Aplicația recomandată: GeoGebra Tipul lecției: Lecție de recapitulare și sistematizare Competențe generale și specifice: CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă 5.8. Deducerea unor proprietăţi ale cercului şi ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice şi noţiuni studiate CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii 6.8. Interpretarea informaţiilor conţinute în probleme practice legate de cerc şi de poligoane regulate

Poligoane regulate

Triunghiul echilateral Figură:

Pași:

1.

Segment între două puncte

Construim segmentul [ ]

2.

Cerc cu centru și rază

Construim cercul de centru , care trece prin punctul .

Construim cercul de centru , care trece prin punctul

3.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctul la intersecția dintre cele două cercuri.

4.

Poligon

.

5.

Unghi

Evidențiem faptul că măsurile unghiurilor unui triunghi echilateral

sunt egale cu

5.

Salvare construcție

61

Figură: Pași:

1.

Segment între două puncte

Se construiește segmentul [ ]

2.

Perpendiculară

Se trasează o dreaptă perpendiculară pe segmentul [ ], care să

treacă prin punctul

3.

Cerc prin centru prin punct

Construim un cerc cu centru în punctul care să treacă prin punctul

4.

Intersecție două obiecte

Intersectăm dreapta perpendiculară cu cercul pentru a obține punctul

6.

Perpendiculară

Construim o dreaptă perpendiculară pe segmentul [ ], care să

treacă prin punctul

7.

Cerc prin centru prin punct

Construim un cerc cu centru în punctul care să treacă prin punctul

8.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctul de intersecție dintre dreapta perpendiculară și

cercul construit.

9.

Poligon

Construim poligonul .

62

10.

Salvare construcție

Hexagonul regulat Figură:

Pași:

1.

Cerc cu centru prin punct

Construim cercul cu centrul în punctul ce trece prin punctul B.

Construim cercul cu centrul în punctul ce trece prin punctul A.

3.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctele și aflate la intersecția cercurilor și

4.

Cerc cu centru prin punct

Construim cercul cu centrul în punctul C ce trece prin punctul .

5.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctul aflat la intersecția cercurilor și .

6.

Cerc cu centru prin punct

Construim cercul cu centrul în punctul ce trece prin punctul .

7.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctul aflat la intersecția cercurilor și .

63

8.

Cerc cu centru prin punct

Construim cercul cu centrul în punctul E ce trece prin punctul .

9.

Intersecție două obiecte

Determinăm punctul G aflat la intersecția cercurilor și .

10.

Poligon

Construim hexagonul.

11.

Unghi

Evidențiem faptul că măsurile unghiurilor unui hexagon regulat sunt

egale cu 120

12.

Salvare construcție

Observație: Poligoanele regulate mai pot fi construie și astfel:

1.

Poligon regulat Se construiește un poligon regulat.

2.

Salvare construcție

64

Anexa 3

Clasa a VII-a

PLANIFICARE SEMESTRIALĂ SEMESTRUL I

Disciplina: Matematică - Algebră Număr de ore pe săptămână: 2

Unitatea de învăţare

Competenţe specifice

Conţinuturi

Nr. de ore

Săpt.

Aplicații

RECAPITULARE (3 ore)

▪Recapitulare pentru testarea inițială. ▪Test iniţial.

2 1

S1

S2

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

(12 ore)

(1.1.); (2.1.); (3.1.); (4.1.); (5.1.); (6.1.)

▪ Mulţimea numerelor raţionale Q; Incluziunea ; Reprezentarea numerelor raţionale pe axa numerelor. ▪ Opusul unui număr raţional; Modulul unui număr raţional; Compararea şi ordonarea numerelor raţionale. ▪ Adunarea numerelor raţionale; proprietăţi; scăderea numerelor raţionale. ▪ Înmulţirea numerelor raţionale; proprietăţi. ▪ Împărţirea numerelor raţionale. ▪ Puterea unui număr raţional; reguli de calcul cu puteri. ▪ Ordinea efectuării operaţiilor.

▪ Ecuaţii de forma ax + b = 0, cu aQ , b .Q

▪ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor. ▪ Probă de evaluare.

1 1

1

1 1 1 2 1

2 1

S2

S3

S3

S4

S4

S5

S5-S6 S6

S7

S8

Quizizz/30 min.

Quizizz/30 min.

▪ Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat 1 S8

65

MULŢIMEA NUMERELOR

REALE (5 ore)

(1.2.); (4.2.)

perfect. ▪ Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; aproximări. ▪ Exemple de numere iraţionale; mulţimea

numerelor reale; N Z Q R; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări. ▪ Opusul şi modulul unui număr real; compararea şi ordonarea numerelor reale.

2 1

1

S9 S10

S10

Quizizz/30 min.

OPERAŢII CU NUMERE REALE (8 ore)

(2.2.); (3.2.); (5.1.); (6.2.)

▪ Reguli de calcul cu radicali:

0,0; bababa

0,0,:: bababa

▪ Scoaterea factorilor de sub radical. ▪ Introducerea factorilor sub radical. ▪ Operaţii cu numere reale; raţionalizarea

numitorului de forma a b .

▪ Media geometrică a două numere reale pozitive. ▪ Probă de evaluare.

2

1 1 2

1

1

S11

S12

S12

S14 S15

S15

Math Tests 15 min Quizizz/30 min.

CALCUL

ALGEBRIC (6 ore)

(1.3.); (2.3.); (3.3.)

▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: adunare/scădere; reducerea termenilor asemenea. ▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: înmulţire/împărţire. ▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: ridicare la putere. ▪ Calcule cu numere reale reprezentate prin litere. Exerciții. ▪ Probă de evaluare.

1 1

1

2 1

S16 S16

S17

S17-18

S18

Math Tests 15 min Math Tests 15 min Math Tests 30 min

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise. ▪ Lucrare scrisă.

1 1

S13

S13

RECAPITULAREA ŞI ▪ Numere raţionale. 1 S19

66

CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(2 ore)

▪ Numere reale.

1

S19

Disciplina: Matematică - Geometrie Număr de ore pe săptămână: 2

Unitatea de învăţare

Compentenţe specifice

Conţinuturi

Nr. de ore

Săpt.

Aplicații

RECAPITULARE (3 ore)

▪ Recapitulare pentru testarea initială. ▪ Test iniţial.

2 1

S1

S2

PATRULATERE (10 ore)

(1.5.); (2.5.); (3.5.); (4.5.); (6.5.)

▪ Patrulaterul convex. ▪ Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex. ▪ Paralelogramul; proprietăţi. ▪ Dreptunghiul; proprietăţi. ▪ Rombul; proprietăţi. ▪ Pătratul; proprietăţi. ▪ Trapezul, clasificare; trapezul isoscel; proprietăţi. ▪ Probă de evaluare.

1 1 2 1 1 1 2 1

S2

S3

S3-S4 S4

S5

S5

S6

S7

GeoGebra/15 min. GeoGebra/15 min. GeoGebra /15 min. Pythagorea GeoGebra/15 min. Pythagorea GeoGebra/15 min. Pythagorea

ARII (6 ore)

(3.5.); (5.5.)

▪ Aria unui triunghi. ▪ Ariile patrulaterelor. ▪ Probleme. ▪ Probă de evaluare.

2 2 1

1

S7-S8 S8-S9

S9

S10

GeoGebra Areas/15 min.

67

TEOREMA LUI

THALES (8 ore)

(4.6.); (3.6.)

▪ Segmente proporţionale; teorema paralelelor echidistante; împărţirea unui segment în părţi proporţionale cu numere (segmente) date. ▪ Teorema lui Thales (fără demonstraţie). ▪ Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. ▪ Linia mijlocie în triunghi; proprietăţi; centrul de greutate al unui triunghi. ▪ Linia mijlocie în trapez; proprietăţi. ▪ Probleme. ▪ Probă de evaluare.

1

1 1

1

1 2 1

S10

S11

S11

S12

S12

S14

S15

GeoGebra/15 min. GeoGebra/15 min.

ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR

(7 ore)

(1.6.); (2.6.); (5.6.); (6.6.)

▪ Triunghiuri asemenea. ▪ Teorema fundamentală a asemănării. ▪ Criterii de asemănare a triunghiurilor. ▪ Triunghiuri asemenea. Probleme. ▪ Probă de evaluare.

1 2 1 2 1

S15

S16

S17

S17-18

S18

GeoGebra/15 min.

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise. ▪ Discutarea lucrării scrise.

1 1

S13

S13

RECAPITULAREA ŞI CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(2 ore)

▪ Teorema lui Thales. Probleme. ▪ Patrulatere. Probleme.

1 1

S19

S19

68

Anexa 3

Clasa a VII-a

PLANIFICARE SEMESTRIALĂ SEMESTRUL II

Disciplina: Matematică – Algebră

Unitatea de învăţare

Competenţe specifice

Conţinuturi

Nr. de ore

Săpt.

Aplicații

CALCUL

ALGEBRIC

(11 ore)

(1, 3), (2, 3), (3, 3)

▪ Formule de calcul prescurtat

2222 bababa , Rba ,

2

S1

▪ Formule de calcul prescurtat

22 bababa , Rba ,

2

S2

▪ Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în R

3

S3-S4

Binomial 15 min Trinomial 15 min Math Tests 20 min

▪ Exerciţii aplicative

2

S4-S5

▪ Ecuaţii de forma ax 2, unde Qa 1

S5

▪ Probă de evaluare

1 S6

(2, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)

▪ Proprietăţi ale relaţiei de egalitate în mulţimea numerelor

reale

1

S6

69

ECUAŢII

ŞI

INECUAŢII

(10 ore)

▪ Ecuaţii de forma ax + b = 0, Rba , ;

mulţimea soluţiilor unei ecuaţii; ecuaţii echivalente

2

S7

Math Tests 15 min

▪ Proprietăţi ale relaţiei de inegalitate ,, ≤” pe mulţimea

numerelor reale

▪ Inecuaţii de forma ax + b >0 (<, ≤ , ≥), Rba , cu Zx

1

1

S8

S8

▪ Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor 2 S9

▪ Exerciţii şi probleme recapitulative 2 S10 Quizziz 30 min

▪ Probă de evaluare 1 S11

ELEMENTE DE

ORGANIZARE A

DATELOR

(5 ore)

(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4),

(6, 4)

▪ Produsul cartezian a două mulţimi nevide.

▪ Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de

axe ortogonale; distanţa dintre 2 puncte

▪ Reprezentarea şi interpretarea unor dependenţe

funcţionale prin tabele, diagrame şi grafice

▪ Probabilitatea realizării unor evenimente

▪ Probă de evaluare

1

1

1

1

1

S11

S13

S13

S15

S15

Math Tests 15 min

LUCRARE SCRISĂ SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise. ▪ Lucrare scrisă.

1 1

S13

S13

RECAPITULAREA ŞI CONSOLIDAREA CUNOŞTINŢELOR

(2 ore)

▪ Numere raţionale. ▪ Numere reale.

1 1

S19

S19

Quizziz 30 min Quizziz 30 min

70

Disciplina: Matematică - Geometrie

Unitatea de învăţare

Compentenţe specifice

Conţinuturi

Nr. de ore

Săpt.

Aplicații

RELAŢII METRICE ÎN

TRIUNGHIUL

DREPTUNGHIC

(8ore) (1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7)

▪ Proiecţii ortogonale pe o dreaptă. Teorema

înălţimii

1

S1

Geogebra 20 min

▪ Teorema catetei 1

S1

Geogebra 20 min

▪ Teorema lui Pitagora 2

S2

Geogebra 20 min

▪ Teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora 1 S3

▪ Relații metrice in triunghiul dreptunghic.

Probleme

2

S3-4

▪ Probă de evaluare 1 S4 Quizziz 50 min

ELEMENTE DE

TRIGONOMETRIE

(6 ore)

(5, 7), (6, 7)

▪ Noţiuni de trigonometrie în triunghiul

dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta,

cotangenta unui unghi ascuţit

1

S5

▪Sin, cos, tg si ctg ptr. 300,450 si 600

1

S5

▪ Rezolvarea triunghiului dreptunghic 2

S6

71

▪ Arii

1

S7

Quizziz 30 min

▪ Probă de evaluare 1 S7

CERCUL

(7 ore)

(1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8)

▪ Cercul; definiţie, elemente în cerc; unghi la

centru

1

S8 Geogebra 20 min

▪ Măsura arcelor; arce congruente; teoreme

referitoare la coarde şi arce

1

S8

Geogebra 15 min

▪ Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc;

tangente dintr-un punct exterior la un cerc

1

S9

Geogebra 20 min

▪ Unghi înscris în cerc

1

S9

Geogebra 20 min

▪ Triunghi înscris în cerc; triunghi circumscris unui

cerc

1

S10

Geogebra 20 min

▪ Cercul. Probleme 1

S10

▪ Probă de evaluare 1 S11 Quizziz 30 min

POLIGOANE

REGULATE

(5 ore)

(5, 8), (6, 8)

▪ Poligoane regulate

▪ Calculul elementelor (latură, apotemă, arie,

1

S11

Geogebra 20 min

perimetru) în triunghiul echilateral, pătrat și

hexagonul regulat

1

S13

▪ Lungimea cercului şi aria discului 1

S13

▪ Poligoane regulate. Probleme

1

S15

▪ Probă de evaluare 1 S15 Quizziz 30 min

72

Competențe generale/Competențe specifice

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite

1.1. Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale şi a formelor de scriere a acestora în contexte variate

1.2. Identificarea caracteristicilor numerelor reale şi a formelor de scriere a acestora în contexte variate

1.3. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calculi

1.4. Identificarea unor corespondenţe între diferite reprezentări ale aceloraşi date

1.5. Recunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în configuraţii geometrice date

1.6. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date

1.7. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configuraţie geometrică dată

1.8. Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui cerc, într-o configuraţie geometrică dată

CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

2.1. Aplicarea regulilor de calcul cu numere raţionale, a estimărilor şi a aproximărilor pentru rezolvarea unor ecuaţii

2.2. Aplicarea regulilor de calcul cu numere reale, a estimărilor şi a aproximărilor pentru rezolvarea unor ecuaţii

2.3. Utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a proprietăţilor acestora în rezolvarea unor ecuaţii şi a unor inecuaţii

2.4. Reprezentarea unor date sub formă de grafice, tabele sau diagrame statistice în vederea înregistrării, prelucrării şi prezentării acestora

2.5. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietăţi precizate

LUCRARE SCRISĂ

SEMESTRIALĂ

(2 ore)

▪ Pregătirea lucrării scrise

▪ Discutarea lucrări scrise

1

1

S12

S12

RECAPITULAREA ŞI

CONSOLIDAREA

CUNOŞTINŢELOR

(2 ore)

▪ Patrulatere,

▪ Relaţii metrice,

1

1

S16

S16

73

2.6. Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite

2.7. Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia

2.8. Calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate în configuraţii care conţin un cerc

CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete

3.1. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în efectuarea calculelor cu numere raţionale

3.2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în efectuarea calculelor cu numere reale

3.3. Aplicarea regulilor de calcul şi folosirea parantezelor în efectuarea operaţiilor cu numere reale

3.4. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor în care intervin dependenţe funcţionale sau calculul probabilităţilor

3.5. Utilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor probleme

3.6. Utilizarea noţiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configuraţii geometrice date

3.7. Deducerea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic

3.8. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale cercului

CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora

4.1. Caracterizarea mulţimilor de numere şi a relaţiilor dintre acestea utilizând limbajul logicii matematice şi teoria mulţimilor

4.2. Caracterizarea mulţimilor de numere şi a relaţiilor dintre acestea utilizând limbajul logicii matematice şi teoria mulţimilor

4.3. Redactarea rezolvării ecuaţiilor şi a inecuaţiilor studiate în mulţimea numerelor reale

4.4. Caracterizarea şi descrierea unor elemente geometrice într-un sistem de axe ortogonale

4.5. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiunilor legate de patrulatere

4.6. Exprimarea proprietăţilor figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, trapeze) în limbaj matematic

4.7. Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a două drepte prin relaţii metrice

4.8. Exprimarea proprietăţilor elementelor unui cerc în limbaj matematic

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă

74

5.1. Determinarea regulilor eficiente de calcul în efectuarea operaţiilor cu numere raţionale

5.2. Determinarea regulilor de calcul eficiente în efectuarea operaţiilor cu numere reale

5.3. Obţinerea unor inegalităţi echivalente prin operare în ambii membri: 1) a ≤ a, ∀ a \; 2) a b ≤ şi b a ≤ ⇒ a b = , ∀ a b, \ ; 3) a b ≤ şi b c ≤ ⇒ a c ≤ , ∀

abc , \ 4) a b ≤ şi c \ ⇒ a ±≤± c b c 5) a b ≤ şi c > 0 ⇒ ac b ≤ c şi a : : c b ≤ c , ∀ a b, \ 6) a b ≤ şi c < 0 ⇒ ac b ≥ c şi a : : c b ≥ c , ∀ a b, \

5.4. Analizarea unor situaţii practice cu ajutorul elementelor de organizare a datelor

5.5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente, de măsuri de unghiuri şi de arii

5.6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelaţie cu proprietăţi calitative şi/sau metrice

5.7. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu rezolvarea triunghiului dreptunghic

5.8. Deducerea unor proprietăţi ale cercului şi ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice şi noţiuni studiate

CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii

6.1. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea operaţiilor cu numere raţionale şi a ordinii efectuării operaţiilor

6.2. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea operaţiilor cu numere reale şi a ordinii efectuării operaţiilor

6.3. Transpunerea unei situaţii problemă în limbajul ecuaţiilor şi/sau al inecuaţiilor, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

6.4. Transpunerea unei relaţii dintr-o formă de scriere în alta (text, formulă, diagramă, grafic)

6.5. Interpretarea informaţiilor deduse din reprezentări geometrice în corelaţie cu anumite situaţii practice

6.6. Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice

6.7. Transpunerea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situaţii-probleme date

6.8. Interpretarea informaţiilor conţinute în probleme practice legate de cerc şi de poligoane regulate

75

Anexa 4

Proiecte didactice recomadate

cls a VII-a

Nr. Titlul lecției

1. Patrulatere https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/55-2_Geometrie_Cls.VII_Patrulatere_Geogebra.pdf

2. Paralelogramul https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/441-7_Geometrie_Cls.VII_Paralelogram.pdf

3. Dreptunghiul https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/440-6_Cls.VII_Dreptunghi.pdf

4. Rombul https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/443-9_Geometrie_Cls.VII_Romb.pdf

5. Pătratul https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/442-8_Geometrie_Cls.VII_Patrat.pdf

6. Trapezul https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/444-10_Geometrie_Cls.VII_Trapez.pdf

7. Aria patrulaterelor https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/84-5_Cls.VII_Ariile_patrulaterelor.pdf

8. Teorema fundamentală a asemănării https://www.digitaliada.ro/materiale-concurs/documente/445-11_Cls.VII_Teor_fundamentala_asemanarii.pdf

9. Teoreme importante, aplicate în triunghiul dreptunghic https://www.digitaliada.ro/Teoreme-importante-aplicate-in-triunghiul-dreptunghic-a1594747122050709

10. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei. Teorema lui Pitagora, reciproca teoremei lui Pitagora https://www.digitaliada.ro/Proiectii-ortogonale-pe-o-dreapta.-Teorema-inaltimii.-Teorema-catetei.-Teorema-lui-Pitagora-reciproca-teoremei-lui-Pitagora-a1594370980818619

11. Cerc. Segment. Unghi, triunghi si patrulater inscris in cerc. https://www.digitaliada.ro/Unghi-triunghi-si-patrulater-inscris-in-cerc-a1594746262024681

12. Cerc. Unghi, triunghi și patrulater înscris în cerc https://www.digitaliada.ro/Cerc.-Segment.-Unghi-triunghi-si-patrulater-inscris-in-cerc-a1594377654493400

13. Reprezentarea și interpretarea unor dependențe funcționale prin tabele, diagrame și grafice https://www.digitaliada.ro/Reprezentarea-si-interpretarea-unor-dependente-functionale-prin-tabele-diagrame-si-grafice-a1594371301669003

14. Teorema lui Pitagora. Aplicaţii https://www.digitaliada.ro/Teorema-lui-Pitagora-a1545723573493692

15. Produs cartezian, reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale, distanța dintre două puncte din plan https://www.digitaliada.ro/Produs-cartezian-reprezentarea-punctelor-intr-un-sistem-de-axe-ortogonale-distanta-dintre-doua-puncte-din-plan-a1548381255995617

16. Aria și perimetrul unor figuri geometrice. Cerc https://www.digitaliada.ro/Aria-si-perimetrul-unor-figuri-geometrice.-Cerc-a1594370263921367