centrul judeţean de excelenţă la matematică maramureŞ baia ... · 1. a) numărul zerourilor cu...

Centrul Judeţean de Excelenţă la Matematică Şcoala Gimnazială „Nicolae Iorga ” MARAMUREŞ BAIA MARE

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „TINERE SPERANŢE”

Ediţia a XIV-a, 14−15 decembrie 2018

BAREM CLASA a V a

PROBA PE ECHIPE

Problema 1.

a) Se dă numărul . În câte zerouri se termină numărul .

b) Se consideră numărul . Câte cifre are numărul ?

Soluție :

1. a) Numărul zerourilor cu care se termină a este exponentul lui 10 în descompunerea lui a .

Deoarece și exponentul lui 2 este mai mare decât cel al lui 5, rezultă că exponentul lui

10 este egal cu exponentul lui 5....................................................................................................1p

2. Singurele numere de la 1 la 50 în care 5 apare la puterea 2 sunt și ...........0,5p

3. Exponentul lui 5 în descompunerea lui a se obține din produsul factorilor:

5510

1015

1020

1025

2530

3035

3540

4045

4550

50 5

55

105

155

205

505

305

355

405

455

100 = 5

350

....2 p

4. Rezultă că a se termină cu 350 zerouri...................................................................................... 0,5p

5. b) Cifra 9 este grupată astfel 1+2+3+...+2018=2037171................................................................1p

avem

avem

avem

6. avem cifre....................................................................1p

N are 2044136.............................................................................................................................1p

Problema 2.

Aflați numerele naturale pentru care : .

G.M. 10/2018

Soluție :

1. .................................................................................. 2p

2. .......................................................................................... 2p

3. ................................................................. 1p

4. Rezultă a = 3 , b=4 , c = 2 și permutările acestora. .................................................................... 2p

Problema 3.

Un traseu de formă dreptunghiulară cu perimetrul de m trebuie marcat cu stâlpi cu

înălțimea de m așezați din metru în metru. O parte din stâlpii necesari împrejmuirii au deja

înălțimea de m, iar alții sunt confecționați prin tăiere din stâlpi cu înălțimea de m, respectiv de

m. Se știe că inițial existau 45 de stâlpi și că numărul stâlpilor cu înălțimea de m este dublul

numărului stâlpilor cu înălțimea de m. Aflați câte tăieturi s-au efectuat pentru confecționarea

stâlpilor și câți stâlpi din fiecare categorie existau inițial.

Horvat Marc Andrei

Soluție :

1. Sunt necesari 80 de stâlpi cu înălțimea de 1m. ……………………………………………………………………..……… 1p

2. Fie numărul stâlpilor cu înălțimea de 1m, numărul stâlpilor cu înălțimea de 2m și numărul stâlpilor

cu înălțimea de 3m. Atunci a + b + c = 45 ………………………………………………………………………………..…. 1p

3. Din cei stâlpi cu înălţimea de 2m, efectuând tăieturi se obțin stâlpi cu înălțimea de 1m.

Din cei stâlpi cu înălţimea de 3m, efectuând tăieturi se obțin stâlpi cu înălțimea de 1m.

Deci a + 2b + 3c = 80 și este numărul de tăieturi efectuat…………………………………………………. 1p

4. Din − − se obține că numărul de tăieturi effectuate

este ie u i …………………………………………………………………………………………………… 1p

5. Dacă , atunci avem și , ………………………………. 2p

6. De unde se obține , iar apoi și . …………………………………………………………………. 1p

Problema 4.

a) Aflați cel mai mare număr de forma astfel încât este cubul unui număr

natural, este pătratul aceluiași număr natural și .

b) Determinați numerele de forma știind că este verificată egalitatea:

.

7. Soluție :

1. a) cub perfect rezultă .......................................................1p

2. ....................................1p

3. ...............................................1p

4. ...............................................1p

5. b) Relația din enunț se mai scrie

..................................................1p

6. Deoarece și avem .....................1p

7. De aici găsim soluțiile ......................................................1p




TINERE SPERANȚE

BAREM CLASA a V a

PROBA INDIVIDUALĂ

Problema 1.

a) Suma a numere naturale pare consecutive , n * , este 56 . Aflați numerele.

b) Aflați toate numerele de forma știind că prin împărțirea lui la se obține

câtul 5 și restul .

Soluție:

a) 1. Fie a primul număr. Atunci − deci

− , de unde obținem − . Cum

− − .....................................2p

2. Pentru n=1 rezultă a = 56

Pentru n=2 obținem a =27 care nu este număr par.

Pentru n=4 obținem a=11 care nu este număr par.

Pentru n=7 rezultă a=2.

Pentru n=8 rezultă a=0 .

Avem soluțiile ...................................2p

b) 3. Din teoreme împărțirii cu rest avem și , deci

…………………………….….1p

Obținem . În particular, rezultă că c este par și

4. ……………………………………….………………1p

5. Obținem soluțiile ……...……………...…………...1p

Problema 2.

Un sfert din banii lui Viorel reprezintă cu 200 lei mai puțin decât jumătate din banii lui

Mihai. Câți bani are fiecare, dacă unul din ei are cu 1600 lei mai mult decât celălalt ?

Soluție:

1. Notăm suma lui Viorel…………………………………………………….….….1p

2. Rezultă suma lui Mihai este ……………………………………….…… 2p

3. Avem ecuația …………………………...…3p

4. Viorel are 4000 de lei , Mihai are 2400 lei ………………………………...………..1p

Problema 3.

Determinați numerele pentru care .

G.M. 5/2018

Soluție:

1. − …………..……………………………2p

2. Analizând fiecare variantă se obține o singură variantă corectă ……………..…….4p

3. ………………………..……………………..1p

Problema 4.

Fie și . Comparați

numerele și .

Soluție:

1. Cum ……………………………………………….…………………….1p

2. − : .................................................................................................1p

3. ..............................................................................2p

4. și ...............................................................................2p

5. deci ……………………….…………………………………1p




BAREM PROBA PE ECHIPE - CLASA a VI – a

Problema 1.

Se consideră numărul

. Determinați cel mai mic n mai

mare sau egal cu 1000 pentru care 101 divide a.

G.M. 10 / 2018

Soluție :

1. .. . 1p

2.

+1111=

= . . 2p

3. Observăm că dacă grupăm câte 4 termeni obținem .

... 2p

4. 4 4

... .1p

5. Cum al patrulea număr din grupa de 4 termeni este multiplu de 101 n = 1211 ……………1p

Problema 2.

Fie și .

a) Stabiliți dacă .

b) Calculați .

Soluție :

1. a Cum dă restul la împărțirea cu 5 iar numerele din A dau restul 4

sau restul 0 la aceeași împărțire deduce că .. . 2p

2. b) Problema revine la a determina numerele natural m și n astfel încât

5 4 5 5 5 ..... . 1p

3. Prima egalitate este de forma 5 ă

4 5 5 . . 1p

4. A doua egalitate este de forma 5 ă

4 5 5 . . 1p

5. Ultima egalitate este de forma celei de a doua egalități și iarăși din același

motiv este imposibilă. 1p

6. În concluzie ...... 1p

Problema 3.

În interiorul unghiului AOB , cu măsura de , se consider punctele C și D astfel încât C

aparține interiorul unghiului AOD. Dacă a, b , c sunt numere prime cu proprietatea că

și ,

aflați măsurile unghiurilor AOC, COD și DOB.

1.

− .

5 ... .. 2p

2. 5

5 ș 5 − .

15+3c=30 5 5 ... .. ...... 1p

3.

5

……………………………...….1p

4.

4

4 .... . 1p

5.

4 ș

.. 1p

− − 4 .. . .. 1p

C

A

D

O B

Problema 4.

Unghiul alungit A1OA19 este împărţit în 18 unghiuri adiacente de semidreptele [OA2, [OA3, . . .,

[OA18, astfel încât m( A2OA3) = m( A1OA2) + 1o, m( A3OA4)= m(A 2OA3) +1

o, m( A4OA5) =

m( A3OA4)+1o, … , m( A18OA19) = m( A17OA18)+1

o.

a) Arătaţi că 1o < m( A1OA2) < 2

o

b) Arătaţi că 12 18[ [OA OA .

Soluție :

1. Notăm m( A1OA2)

m O m O m O . .. 1p

. .. 1p

2. : 5 5

1o < 5 < 2

o 1o < m( A1OA2) < 2

o …………………………………………………....2p

3. m( A1OA2) 5 , m( A2OA3) 5 , m( A3OA4) 5 , … ,

m( A12OA13) 5 , … , m( A18OA19) 5 …………………………………………....1p

4. m( A12OA18) m m m

m 5 5 4 5 5 5 5 5

m 4 5 )=

12 18[ [OA OA ………………………………………………..………………………….....2p




PROBA INDIVIDUALĂ - BAREM

CLASA a VI - a

Problema 1.

Determinați numerele natural de forma divizibile cu 321.

G.M. 9 / 2018

Soluție :

6.

2018000 = 321 4 .. p

7. 4

4 − 4 .. . p

8. 4 .. .. p

9. − 4 p

10. 4 − 4 44 ... . p

11. − 4 ... . p

12. 44 .. p

Problema 2.

Fie . Arătați că oricum am alege 51 de numere din mulțimea A

, există printre cele alese cel puin două numere care au ca divizor comun pe 3, pe 5 sau pe 7.

Soluție :

1. 5 , card =33

5 5 , card =20

5 , card =14 ……………………………………………………2p

2. 5 5 , card

5 , card 5

5 4 5 , card .. p

5 , card

3. card − card −

− card − card + card =

4 − − 5 − 7 = 67 − 4 5 …………………………………...2p

4. 5 ț ă

4 5 ș . ……………………………….1p

5. Dacă alegem 51 de numere ț 4 5 .

Folosind principiul cutiei ț ă 5 . …………..1p

Problema 3.

Stabiliți ordinea punctelor coliniare A, B, C și D știind că , AC , , lungimea

segmentului BD este un număr natural divizibil cu 41 și lungimea segmentului AD este un număr natural

divizibil cu 5.

Soluție :

1. , .. p

2. Cazul I. Dacă ordinea ar fi D – C - A

5 . ... . p

3. Cazul II. Dacă ordinea ar fi C – A - D − −

− 5 5 ș ă : .. p

4. a) pentru ordinea B – C – A – D ,

adică toate condițiile din enunț sunt îndeplinite. − − − .. p

5. b) pentru ordinea C – A – D – B − − − ,

care nu este divizibil cu 4 deci această situație nu reprezintă o soluție p

Problema 4.

Fie și unghiuri neadiacente suplementare , astfel încât

= . În semiplanul opus cu A, O , B se ia punctul D , astfel încât

este unghi drept . Fie E un punct astfel încât . Determinați măsurile

unghiurilor DOC și EOB.

1.

……………………………………………………3p

Avem 2 cazuri.

2. Cazul i) Punctul E se află în semiplanul determinat de dreapta AO și punctul B.

4

− − ………………………………..2p

A C

O B

D E

3. Cazul ii) Punctul E nu se află în semiplanul determinat de dreapta AO și punctul B.

4

5 …………………..……..2p

A C

E

O B

D




BAREM PROBA INDIVIDUALĂ - CLASA a VII - a

Problema 1.

Fie două numere raționale strict pozitive pentru care . Arătați că

−

−

Horvat Marc Andrei

Soluție.

1. Prin calcul direct se obține:

……………………….………….. 1p

2. Cum

…………… 1p

3. Înlocuind b = 1 – a se obține

……...…..…. 1p

4. Dacă , și , atunci , deci −

− .

…………………………………………………………………………………...……...….. 1p

5. −

………………………….. 2p

6. Finalizare

……………………………. 1p

Problema 2.

Determinați numerele raționale cu proprietatea că:

.

Soluție.

1. Fie

. Avem

.

Cum , rezultă , deci .................................................................................3p

2. Pentru avem

− de unde −

adică − .........................................................................................................................2p

3. Pentru − . Obținem − − . .............................. 1p

4. Rezultă −

−

.................................................................................1p

Problema 3.

a) Fie un. punct în interiorul unui triunghi echilateral de latură 1. Să se arate

că: .

b) Fie triunghiul isoscel în care . Se duce prin o dreaptă

oarecare , care nu intersectează interiorul triunghiului. Fie unde .

Demonstrați că: .

Soluție.

a) 1. Avem

……………………………………………………….2p

2. Prin adunarea relațiilor rezultă ............................... ..................1p

b) 3. În triunghiul ABC ducem înălțimea AD , . Cum triunghiul ABC este isoscel

rezultă că AD este mediană, deci punctul D este

mijlocul lui . .............................................................................................................1p

4. Fie E mijlocul lui rezultă că DE este linie mijlocie în trapezul TBCR

rezultă

( 1) și . Din este

dreptunghic, (3)...................................................................................1p

5. Din − − − în triunghiul ADC rezultă

(2) ............................1p

6. Din (1) , (2) și (3) rezultă că .............................................................1p

Problema 4.

În dreptunghiul ABCD, punctul M este mijlocul laturii AD și P (BM) un punct

astfel încât DP = DC. Știind că m( APM) = 045 , demonstrați că ABCD este pătrat.

G.M. 6-7-8/2018

Soluție.

1. Fie B` simetricul lui B fațăde M. Atunci ABDB` este paralelogram, de unde deducem că

punctele B`, D, C sunt coliniare și DB` = DC. ................................................................................ 1p

2. În triunghiul CPB`, DP este mediană și 2

`CBDP de unde rezultă că triunghiul CPB`

este dreptunghic cu 090ˆ` CPBm ................................................................................................ 1p

3. Construim DE bisectoarea unghiului CDP și DF bisectoarea unghiului PDA. Atunci

045ˆ FDEm .....................................................................................................................................1p

4. În patrulaterul DEPF avem 045ˆ FDEm (1), 090ˆ PEDm (2) (căci ∆CDP este isoscel și

DE bisectoare) și 0135ˆ FPEm (3) (suma dintre unghiurile EPM și MPA) ................................ 1p

5. Din (1), (2), (3) rezultă că 090ˆ PFDm , adică DF este înălțime în triunghiul ADP ..........1p

6. Dar DF este bisectoare în triunghiul ADP, atunci triunghiul ADP este isoscel cu AD = DP

................................................................................................................................................1p

7. Dar DP = DC și atunci AD = DC de unde rezultă că ABCD este pătrat. ............................. 1p

M

B` D C

B A

P E

F




BAREM PROBA PE ECHIPE - CLASA a VII - a

Problema 1.

Determinați perechile de (a, b) de numere naturale cu a b, pentru care numărul

A = 1

a b

ab

este natural.

Soluție.

1. Dacă

și sunt numere naturale, atunci

este natural ........................ 1p

2. Dar

−

și atunci

este natural. ...............................................................1p

3. Din sau , de unde

. ..................................... 1p

4. Prin urmare

.....................................................................................................1p

5. Relația

este imposibilă, prin urmare

de unde sau

− .......................................................................................................................2p

6. Perechile căutate sunt cu a , sau cu a număr natural.........................................1p

Problema 2.

Aflați pentru care .

Soluție.

1. Împărțind ecuația prin obținem

. ..........................................,,,,,,...........1p

2. Dacă , atunci avem

și

sau

, de unde

Cum x este natural avem ……………………………………………………….. 1p

3. Pentru ecuația devine care nu are soluție in mulțimea numerelor

naturale, iar pentru ecuația devine − .Rezolvând în mulțimea

numerelor natural ecuația obținem soluțiile:

…………………………………………………………………..…...2p

4. Dacă raționând la fel se obțin soluțiile

...........2p

5. Dacă vom obține soluțiile

…………………………… 1p

Problema 3.

Fie A o mulțime care conține 2018 numere naturale. Să se arate că există o submulțime

a lui A care are proprietatea că suma elementelor sale se divide cu 2018 .

G.M. 10/2018

Soluție.

1. Fie o mulțime care conține 2018 numere naturale.Considerăm

întregii .....................2p

2. Dacă unul dintre acești întregi este divizibil cu 2018 atunci problema este rezolvată.

Altfel toate resturile lor la împărțirea cu 2018 sunt nenule. ...............................................................2p

3. Deoarece există 2017 astfel de resturi, două dintre aceste sume, să zicem și cu

dau același rest la împărțirea cu 2018, adică următoarea diferență este divizibilă cu 2018 ...............2p

− ceea ce încheie rezolvarea problemei...............................................1p

Problema 4.

a) Fie un patrulater convex în care și în care

relațiile − − − − sunt adevărate

simultan . Determinați natura patrulaterului .

b) Fie unghiul și un punct în interiorul unghiului. Să se traseze prin o

dreaptă astfel încât aria triunghiului să fie minimă .

Soluție.

a) 1. Relațiile din enunț se pot scrie

........................................................................................ 1p

2. Din (1) și (3) avem , iar din (2) și (4) avem

deci . ...................................................................................2p

3. Rezultă de unde avem . Din avem și .

Rezultă că ABCD este paralelogram....................................................................................................1p

b) 4. Fie simetricul lui O față de M . Paralela prin la axa Ox taie pe Oy în B , iar paralela

prin la Oy taie pe Ox în A . Deoarece este paralelogram și M este mijlocul diagonalei

deducem că punctul M aparține dreptei AB . ......................................................................................1p

5. Vom arăta că pentru orice și astfel încât punctul M aparținei dreptei DC

, . Într-adevăr dacă avem:

− .......................1p

6. Am folosit faptul că triunghiurile MAD și MBC sunt congruente ( deoarece

) Problema este astfel rezolvată. ................................1p




BAREM PROBA INDIVIDUALĂ - CLASA a VIII – a

Problema 1.

Un automat ia fișa cu numerele pozitive și returnează fișa cu numerele

Fișa returnată se poate introduce în automat și se returnează

fișa cu numerele

Este posibil, ca după mai mulți astfel de pași,

să obținem fișa cu numerele − dacă pe fișa inițială sunt scrise

numerele −

G.M. 5/2018

Soluție.

1. ………………………………………………………………..…….2p

2. ……………………………………...……………………...……….2p

3. − − fals .............2p

Răspuns: nu este posibil ...............................................................................................................1p

Problema 2.

Determinați numerele prime știind că

− − iar

,

unde și reprezintă partea întreagă și respective partea fracționară a numărului real

.

Soluție.

1. Adunând relațiile din enunț obținem

pe care o mai putem scrie

− . Deducem că 5 divide y sau 5 divide . ..................................2p

2. Dacă 5 divide y și y este număr prim rezultă și .......................................2p

3. Dacă 5 divide de unde

.

Deoarece x este număr natural trebuie ca 5k – 3 să dividă − . ......................................2p

4. Rezultă . Deoarece pentru obținem care nu sunt numere

prime, rezultă că singura soluție este ................................................................1p

Problema 3.

a) Fie numere reale nenule care verifică relația

.

Arătați că cele trei numere nupot avea toate același semn.

b) Numerele naturale au proprietatea că

. Să se afle .

Soluție.

a) 1. Presupunem că . Eliminând numitorul , realția din enunț se scrie

. Dar

..........................................1p

2. Din inegalitatea mediilor, avem:

și atunci

, ceea ce arată că

presupunerea este falsă....................................................................................................2p

3. Dacă notăm − − − și ajungem la cazul

anterior.............................................................................................................................1p

b) 4. Din

rezultă , deci …….1p

5. Atunci

, de unde și apoi ...............................1p

6. Rezultă ......................................................1p

Problema 4.

Fie puncte în spațiu astfel încât . Dacă

este proiecția punctului pe arătați că sunt puncte coplanare.

Soluție.

1. Arătăm inițial că BD (MAC) . Fie înălțimi în triunghiul

BCD , iar H ortocentrul triunghiului BCD . Din ( din construcție) și ( din

ipoteză) rezultă . Cum (1). Analog obținem ,

(2) . Din (1) și (2) deducem și cum . .......................2p

2. Din și , (3). Din (3) obținem că și

cum (din ipoteză( rezultă BD (MAC) , (4)................................................................2p

3. Din (3) și (4) avem o dreaptă (BD) perpendiculară pe două plane ((MAC) și (ACO)) care

au o dreaptă comună (AC) ...............................................................................................2p

4. Rezultă că planele coincid și deci punctele A, O, C, M sunt coplanare..........................1p




BAREM PROBA PE ECHIPE - CLASA a VIII – a

Problema 1.

Determinați numerele întregi pentru care − .

G.M. 10/2018

Soluție.

1. Înmulțim relația dată cu 4 și obținem −

− ................................................................................................2p

2. − − − − .........................................1p

3. Analizând cele 8 cazuri posibile obținem:

− − − − − − − − − ................4p

Problema 2.

Fie un număr natural , . Să se arate că în intervalul există

trei numere întregi distincte al căror produs este cub perfect .

Soluție.

1. Arătăm că − , cu alte cuvinte, există astfel încât

. ........................................................................................2p

2. Într-adevăr

, ceea ce rezultă din și , oricare ar fi .....3p

Atunci și

3. , ceea ce trebuia demonstrat.........................2p

Problema 3.

Fie un triunghi cu , și . De aceeași parte a planului

se construiesc triunghiurile echilaterale , , respectiv , astfel

încât , și , unde .

a) Determinați perimetrul patrulaterului , unde și sunt mijloacele

segmentelor , respectiv .

b) Arătați că aria triunghiului este cel puțin egală cu

.

Horvat Marc Andrei

Soluție.

a) 1.

,

,

…………………………………………………………………………………..2p

………………………………………….. 1p

b) 3. Triunghiul are laturile , , , deci −

Triunghiul are laturile , , , deci −

Triunghiul are laturile , , , deci −

Din adunarea celor trei inegalități se obține . …………………………………………………….. 2p

4. Deci

− −

− −

−

…………………………………………………. 1p

5. Aria triunghiului se poate determina cu ajutorul formulei lui Heron,

− − − , iar inegalitățile de mai sus implică

………………………………………………………………………..….. 1p

Problema 4.

a) Diferența dintre lungimea diagonalei unui cub și diagonala unei fețe a cubului

este − . Aflați lungimea muchiei cubului.

b) În piramida triunghiulară regulată cu muchia bazei notăm cu

mijlocul muchiei . Dacă , aflați distanța de la la dreapta

Soluție.

a) 1. ………………………………………………………………1p

2. ………………………………………..…….. …………….1p

3. − − ………….………………..…………………… 1p

b) 4. Fie P mijlocul lui (BC) și M mijlocul lui (VC), VP BM = { G } G este central de

greutate al triunghiului VBC, VP = 3GP ……………………………………………… 1p

5. În triunghiul BGP, 900, 90

0 tg 30

0 =

GP

BP

3

3=

GPa2

GP = a 36 VP = 3

a 36

=a 32

VC2

=VP2+CP

2 VC = a VBC este

echilateral VABC – tetraedru regulat BM = a 32

, AM = a 32

, AB = a. …..………… 1p

6. Fie AE BM d( A, BM ) = AE. În triunghiul MAB, MN este mediană MN înălțime,

MN = a 22

………………………………………………………………………………… 1p

7. 2 2

4

MN AB aA AMAB MAB2

,

3

2

2

2 2

4

aAEAE MB a

AMAB 2

AE = a 63

d( A, BM ) = a 63

………………………………………………………… 1p

centrul judeţean de excelenţă la matematică maramureŞ baia ... · 1. a) numărul zerourilor cu...

Documents