Centrul de excelent,ă Hunedoara 11.11.2017

prof. Szép Gyuszi

Colegiul Nat, ional „Decebal”

Radicali

Exemple

1. Calculat, i√9999999992 − 8888888882 − 1111111112.

Gazeta matematică, 10/2002

Solut,ie. Notăm cu n = 111111111. Atunci:

√9999999992 − 8888888882 − 1111111112 =

√

(9n)2 − (8n)2 − n2 =√16n2 = 4n = 444444444.

2. Demonstrat, i că√

abc + bca+ cab /∈ Q.

Solut,ie. Avem: A = abc + bca + cab = 111a + 111b+ 111c = 37 · 3 · (a + b+ c). Cum a + b+ c ≤ 27,

va rezulta că 37 | A s, i 372 ∤ A. Prin urmare,√

abc + bca + cab /∈ Q.

3. Fie a1, a2, . . . , a2019 numere naturale impare. Demonstrat, i că numărul A =√

a21 + a22 + · · ·+ a22019este irat, ional.

Solut,ie. Numerele ai fiind impare, putem să afirmăm că ai = M 4 ± 1, ∀ i = 1, 2019. Atunci

a2i = M 4 + 1, ∀ i = 1, 2019 s, i

a21 + a22 + · · ·+ a22019 = 2019(M 4 + 1) = M 4 + 2019 = M 4 + 3.

Deoarece nu există pătrate perfecte de forma M 4 + 3, rezultă că A este irat, ional.

4. Fără a extrage rădăcina pătrată, să se arate că:√2

3+

√6

5+

√12

7+

√20

9+

√30

11+

√42

13< 3.

Gazeta matematică, 2/1977

Solut,ie. Dacă a s, i b sunt numere pozitive distincte, atunci

√a · b < a+ b

2, adică

√a · b

a+ b<

1

2.

Avem:

√2

3=

√1 · 2

1 + 2<

1

2,

√6

5<

1

2,

√12

7<

1

2,

√20

9<

1

2,

√30

11<

1

2s, i

√42

13<

1

2. Dacă adunăm aceste

inegalităt, i, atunci obt, inem că√2

3+

√6

5+

√12

7+

√20

9+

√30

11+

√42

13< 3.

5. Care număr este mai mare: 2√

5 sau 5?

Solut,ie. Cu algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate deducem că

√5 ≈ 2, 23. Atunci putem afirma

că√5 < 2, 25. De aici obt, inem că 2

√

5 < 22,25 = 29

4 .

1

Radicali Clasele a VII - a s, i a VIII-a

Trebuie să arătăm că 29

4 < 5, adică(

29

4

)4

< 54, ceea ce înseamnă că 29 < 54 ⇐⇒ 512 < 625.

Ultima inegalitate fiind adevărată, deducem că 2√

5 < 5.

6. Dacă a =√

17− 2√30−

√

17 + 2√30, atunci calculat, i

(a + 2

√2)1997

.

Gazeta matematică, 9/1997

Solut,ie. Evident, 17− 2

√30 < 17 + 2

√30, ceea ce ne conduce la faptul că a < 0.

Avem a2 = 17 − 2√30 + 17 + 2

√30 − 2

√

(17− 2√30 )(17 + 2

√30 ) = 8, iar de aici rezultă că

|a| = 2√2. Cum a < 0, deducem că a = −2

√2. Atunci:

(

a+ 2√2)1997

=(

−2√2 + 2

√2)1997

= 01997 = 0.

7. Fie a > 0. Dacă există cel put, in două valori ale lui x ∈ Q+ pentru care a + x +√a+ x ∈ Q, atunci

a ∈ Q.

Solut,ie. Fie x1, x2 ∈ Q+, cu x1 6= x2, astfel încât:

a+ x1 +√a+ x1 ∈ Q s, i a+ x2 +

√a + x2 ∈ Q.

Atunci x1 −x2 +√a + x1−

√a+ x2 ∈ Q, iar din faptul că x1, x2 ∈ Q+ avem că x1 − x2 ∈ Q. Obt, inem

astfel că √a+ x1 −

√a+ x2 ∈ Q. (1)

Pe de altă parte,

√a+ x1 −

√a+ x2 =

(√a+ x1 −

√a+ x2 )(

√a + x1 +

√a+ x2 )√

a+ x1 +√a+ x2

=x1 − x2√

a+ x1 +√a+ x2

∈ Q.

Cum x1 − x2 ∈ Q, deducem că: √a+ x1 +

√a + x2 ∈ Q. (2)

Din relat, iile (1) s, i (2) obt, inem că√a+ x1 ∈ Q, iar de aici rezultă că x1 +

√a+ x1 ∈ Q. Cum

a+ x1 +√a + x1 ∈ Q, vom obt, ine că a ∈ Q.

2

Radicali Clasele a VII - a s, i a VIII-a

Probleme propuse

1. Determinat, i numărul natural prim p pentru care mult, imea

Ap = {x ∈ N |√

x2 − p ∈ N}

este mult, imea vidă.

2. Dacă n ∈ N, atunci arătat, i că√2n2 + 2n+ 3 ∈ R \Q.

3. Determinat, i n ∈ N, s,tiind că primele două zecimale ale numărului√n2 + 2n+ 2 sunt zerouri.

Gazeta matematică, 5− 6/2002

4. Dacă x ≥ 4, y ≥ 9 s, i z ≥ 16, atunci arătat, i că:

2√x− 4 + 3

√

y − 9 + 4√z − 16 ≤ x+ y + z

2.

Olimpiada locală de matematică, Alba, 2012

5. a) Arătat, i că pentru orice x, y > 0 este adevărată relat, ia√x+ y ≥

√x+

√y√

2.

b) Demonstrat, i că, dacă a, b > 0 s, i ab = 1, atunci:√a+ 16b+

√b+ 16a ≥ 5

√2.

Gazeta matematică, 11/2011

6. Calculat, i

√

1

1 · 18 +1

2 · 27 +1

3 · 36 + · · ·+ 1

24 · 225 .

7. Dacă a, b, c ∈ N s, i numerele a,√b, c

√d sunt direct proport, ionale cu numerele 2

√3,

√5, respectiv

√7,

atunci arătat, i că a2 = b+ c2d.

8. Fie numerele a =√2 +

√22 +

√23 + · · ·+

√299 s, i b = 250 −

√2. Calculat, i partea întreagă a numărului

b

a.

Olimpiada locală de matematică, Constant,a, 2012

9. Aflat, i numerele naturale n care au proprietatea că n+√n2 + 2012 este număr rat, ional.

10. Demonstrat, i că:

√

21 +

√

13 +√

5 +√15 +

√

22 +

√

6 +√

4 +√24 < 10.

11. Arătat, i că a =√

111 . . . 111︸ ︷︷ ︸

2011 cifre

· 111 . . . 113︸ ︷︷ ︸

2011 cifre

+1 s, i b =√

111 . . . 111︸ ︷︷ ︸

2011 cifre

· 111 . . .115︸ ︷︷ ︸

2011 cifre

+4 sunt numere naturale

consecutive.

Gazeta matematică, 6/2011

12. Arătat, i că expresia E(x, y) =

√

y2 + 1− y + x

x√

y2 + 1 + xy + 1nu depinde de x.

13. Dacă x, y ∈ R, atunci aflat, i valoarea minimă a expresiei E(x, y) =√x2 + 9 +

√

y2 − 8y + 20.

14. Determinat, i n ∈ N pentru care

√5

1 +√5 +

√6+

√6

1 +√6 +

√7+ · · ·+

√n+ 4

1 +√n + 4 +

√n+ 5

=15 +

√5

2.

15. Demonstrat, i că {√122 }+ {

√123 }+ {

√124 }+ · · ·+ {

√132 } < 3.

3

Radicali Clasele a VII - a s, i a VIII-a

Solut,ie. Avem că

√122 =

√112 + 1. Atunci [

√122 ] = 11 s, i {

√122 } =

√122 − [

√122 ] =√

112 + 1− 11. Analog, {√123 } =

√112 + 2− 11, . . . , {

√132 } =

√112 + 11− 11.

As,adar, {√112 + k } =

√112 + k − 11, pentru orice k ∈ {1, 2, 3, . . . , 11}.

Pe de altă parte,√112 + k − 11 =

(√112 + k − 11

) (√112 + k + 11

)

√112 + k + 11

=k√

112 + k + 11<

k

22,

pentru orice k ∈ {1, 2, 3, . . . , 11} (am folosit inegalitatea√112 + k >

√112 = 11, pentru orice

k ∈ {1, 2, 3, . . . , 11}).Am obt, inut astfel că {

√112 + k } <

k

22, pentru orice k = 1, 11. Adunând aceste inegalităt, i, obt, inem

că:

{√122 }+ {

√123 }+ {

√124 }+ · · ·+ {

√132 } <

1

22+

2

22+ · · ·+ 11

22=

11 · 12 : 2

22= 3.

16. Calculat, i:√

[√1 · 3 ] + [

√3 · 5 ] + [

√5 · 7 ] + · · ·+ [

√2017 · 2019 ].

4

Radicali Clasele a VII - a s, i a VIII-a

Centrul de excelent,ă Hunedoara 11.11.2017

prof. Szép Gyuszi

Colegiul Nat, ional „Decebal”

TEMĂ

1. Demonstrat, i că pentru orice număr natural nenul n are loc relat, ia:√2

3+

√6

5+

√12

7+ · · ·+

√n2 + n

2n+ 1<

n

2.

2. Arătat, i că 2√

7 < 7.

3. Să se arate că√a2 + b2 /∈ Q, oricare ar fi numerele naturale impare a s, i b.

Gazeta matematică, 7/1983

4. Fie a, b ∈ R+ distincte s, i considerăm mult, imea

M = {ax+ by | x, y ∈ R+, x+ y = 1}.

Arătat, i că√ab ∈ M .

5. Dacă x, y, z ∈ Q s, ix√11 + y

y√11 + z

∈ Q, atunci arătat, i că xz = y2.

Olimpiada locală de matematică, Bras,ov, 2012

6. Câte triplete de cifre (x, y, z) există astfel încât

√

x, y(z) + y, z(x) + z, x(y) ∈ Q?

Olimpiada locală de matematică, Ialomit,a, 2012

7. Determinat, i x ∈ Z pentru care

√5x− 2

x+ 3∈ Z.

8. Se dau numerele a = 1+√2+

√22+

√23+ · · ·+

√22011 s, i b = −1+

√2−

√22+

√23−

√24+ · · ·+

√22011.

Arătat, i căa

b+

b

a∈ N.

9. Determinat, i a, b ∈ R pentru care 3√a + b+ 2

√8− a+

√6− b = 14.

10. Demonstrat, i că, pentru x, y ∈ R, au loc relat, iile:

2 ≤√2x2 + 4x+ 3 +

√

2y2 − 4y + 3 ≤ 2 + (x+ 1)2 + (y − 1)2.

11. Numerele rat, ionale a, b, c satisfac simultan egalităt, ile:

ab

a+ b=

22012

3,

bc

b+ c=

22013

3,

ca

c+ a=

22013

5.

Arătat, i că√

3(b− a)(c− b)(c− a) ∈ N.

12. Determinat, i numerele a, b s, i c, s,tiind căa2

9=

b3

128=

c3

250s, i√abc = 4

√30.

13. Determinat, i valoarea minimă a sumei S =√

(x− 1)2 +√

(x− 2)2 + · · ·+√

(x− 2018)2.

14. Fie a, b, c > 0, cu a+ b+ c = 1. Demonstrat, i că:

a

b+

a

c+

c

b+

c

a+

b

c+

b

a+ 6 ≥ 2

√2

(√

1− a

a+

√

1− b

b+

√

1− c

c

)

.

Când are loc egalitatea?

5