ccoommpplleemmeennttee ddee...

EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

- 2000 -

MMIIHHAAII PP.. DDIINNCCĂĂ

CCCOOOMMMPPPLLLEEEMMMEEENNNTTTEEE DDDEEE EEELLLEEECCCTTTRRROOONNNIIICCCĂĂĂ

pppaaarrrttteeeaaa III

În amintirea celor care mi-au fost alãturi la începutul anilor 90, cînd acest curs prindea contur, şi care au plecat, apoi, atît de devreme.

P r e f a ţ ă

"Eu spun adesea că atunci cînd poţi măsura şi exprima în numere ceea ce discuţi, atunci înseamnă că ştii ceva în legătură cu subiectul, cînd însă nu îl poţi exprima în numere, cunoaşterea ta e slabă şi nesatisfăcătoare; poate fi doar începutul unui proces de cercetare." Lord Kelvin

Modul în care se face măsurarea şi exprimarea în numere în fizica experimentală a suferit în a doua jumătate a secolului modificări dramatice, datorită electronicii, copilul teribil al tehnologiei moderne. Mărimile fizice de interes ale sistemului investigat sînt convertite în semnale electrice, amplificate şi monitorizate permanent. Aceasta deoarece unele dintre ele sînt comparate cu valori programate şi obligate, prin bucle de control automat şi actuatoare, să rămîne în limite extrem de stricte (mărimi constante neexistînd decît în teorie). Semnalele provenind de la un alt grup al mărimilor de interes, din evoluţia cărora se încearcă obţinerea unor informaţii relevante despre sistem, sînt supuse unui proces de condiţionare, prin filtrări adecvate, în scopul diminuării efectelor perturbatoare, cunscute sub numele generic de zgomot. Urmează, apoi, o prelucrare statistică ce conduce, în final, la rezultatul numeric al experimentului. Timpurile cînd rezultatul experimentului se obţinea în urma numărării franjelor sau citirii poziţiei unui ac indicator ţin de preistoria fizicii. Astăzi, pentru a descrie şi controla procesele implicate în experiment, amintite mai sus, sînt utilizate concepte din teoria sistemelor, teoria semnalelor, teoria proceselor aleatoare, devenite instrumente indispensabile pentru fizicianul modern. Chiar o citire rapidă a unor articole de fizică experimentală luate la întîmplare, scoate la iveală prezenţa aproape generală a unor termeni ca regulator PID, detecţie sincronă pe armonica a doua, convoluţie, densitate spectrală de putere, funcţie de transfer, zgomot alb sau 1 f , amplificator lock-in, FFT şi mulţi alţii, termeni care, pentru reprezentanţii unei concepţii tradiţionaliste, nu ţin de fizică. Cursul de Complemente de Electronică, introdus prin 1992 pentru studenţii de la specializarea Fizică Electronică a Facultăţii de Fizică din Bucureşti, încearcă să umple acest gol în pregătirea viitorilor fizicieni. Nu cred că există profesor care, la alegerea profesiei, să nu fi avut orgoliul de a scrie manualele pe care ar fi dorit să le aibă în vremea studenţiei şi pe care a trebuit să le înlocuiască, apoi, prin căutări la întîmplare într-o literatură nu întodeauna adresată specialităţii sale. Principala dificultate cu care cursul a trebuit să se confrunte a fost absenţa unor cursuri în anii de studiu anteriori, care să se ocupe serios de transformările Fourier şi Laplace. Dacă am fi ales să

6 Mihai P. Dincă, Complemente de electronică I

facem noi abordarea lor detaliată, nu ar mai fi rămas timp pentru altceva. Aşa ca veţi găsi aici doar strictul necesar şi trimiteri bibliografice la lucrări accesibile şi utile unui viitor fizician. Experienţa acumulată în aceşti ani a arătat, însă, un lucru neaşteptat. Pentru înţelegerea şi manipularea conceptelor utilizate în descrierea sistemelor şi circuitelor, nici măcar stăpînirea teoriei funcţiilor de variabilă complexă nu este absolut necesară. De exemplu, în calcularea şi utilizarea funcţiei de transfer Laplace pentru descrierea comportării sistemelor abordate, nu este nevoie de conceptul de analiticitate; datorită formei ei de raport de polinoame, ajunge numai cunoaşterea algebrei complexe. Astfel, nivelul matematic real al acestui curs este extrem de accesibil, cea mai parte a lui necesitînd numai noţiuni studiate în liceu. Cu toate acestea, dobîndirea capacităţii de operare cu legătura între comportarea sistemelor şi poziţiile în planul complex ale rădăcinilor unor ecuaţii nu este un lucru tocmai uşor. Din acest motiv, am realizat şi pus la dispoziţia studenţilor cîteva programe extrem de interactive, care rulează ca aplicaţii Windows, avînd toate avantajele corespunzătoare. Cu ele, ei pot rezolva probleme care, altfel, ar necesita calcule obositoare şi ar fi, deci, greu de abordat. Nu putem crede că se poate ţine un curs util dacă nu este direcţionat spre rezolvarea de probleme şi dacă verificarea pregătirii se face altfel decît prin rezolvarea de probleme. În acest sens, fiecare capitol este urmat de un număr mediu de 10 probleme propuse, pentru a căror rezolvare sînt suficiente informaţiile din textul manualului. De asemenea, în cuprinsul capitolelor sînt tratate detaliat multe exemple, care sînt, practic, probleme rezolvate. Multe teme interesante, care ar fi deturnat firul logic al prezentării, au fost prezentate în suplimentele ce însoţesc capitolele. Ele nu sînt necesare la prima lectură, dar pot fi deosebit de utile pentru înţelegerea conceptelor prezentate în textul de bază. Sperăm, în acelaşi timp, că pot atrage interesul celor care se apleacă cu precădere asupra unui domeniu particular al fizicii experimentale. Din motive, sperăm, evidente, am folosit sistematic ca delimitator zecimal punctul şi nu virgula. Acest lucru nu poate conduce la nici o confuzie, deoarece nu am utilizat niciodată delimitarea numerelor în grupuri de trei cifre. Pentru toţi termenii de specialitate s-a oferit echivalentul în limba engleză. Cu riscul de a fi aspru criticaţi, grafia adoptată este cea cu "î"; am preferat să utilizăm timpul economisit la determinarea poziţiei lui "î sau â" în cadrul cuvîntului, pentru traducerea adecvată în limba română şi evitarea unor aberaţii filologice ca "margine de cîstig" şi "figură de merit". Manualul conţine, cu siguranţă, scăpări şi erori. De asemenea, multe aspecte ar fi putut fi prezentate într-o manieră care să le facă mai uşor accesibile. Vom fi recunoscători, din acest motiv, pentru orice observaţie critică. Mihai P. Dincă

Prefaţa şi cuprins 7

C u p r i n s

Prefaţă 5 Cuprins 7 CAPITOLUL 1

SISTEME ŞI SEMNALE 11 A. Sisteme cu constante concentrate 11 B. Sisteme liniare 14 C. Răspunsul în frecvenţă 18 D. Semnale 23 Concluzii 25 Supliment S 1.1. Circuitele electronice şi liniaritatea 25 Supliment S 1.2. Reprezentarea etajelor electronice prin blocuri funcţionale 27 Supliment S 1.3. Analogia cu circuitele electrice 29 Supliment S 1.3. Servomotorul de curent continuu 31 Probleme 32 CAPITOLUL 2

FUNCŢIA DE TRANSFER FOURIER 34 A. Funcţia pondere 34 B. Funcţia de transfer Fourier 36 C. Interpretarea imaginii Fourier a semnalului. Spectrul semnalului 41 D. Exemplu 46 Concluzii 48 Supliment S 2.1. Proprietăţi ale funcţiei pondere 49 Supliment S 2.2. Modulaţia de amplitudine 52 Supliment S 2.3. Analiza spectrală în condiţii reale 55 Supliment S 2.4. Teorema eşantionării; transformarea Fourier digitală 58 Probleme 65


CAPITOLUL 3

FUNCŢIA DE TRANSFER LAPLACE 67 A. Transformarea Laplace 67 B. Inversarea imaginii Laplace a semnalului de ieşire 71 C. Exemplu 73 Concluzii 77 Supliment S 3.1. Este întodeauna mai comod calculul răspunsului în domeniul Laplace ?78 Supliment S 3.2. Transformarea Laplace şi condiţiile iniţiale 79 Supliment S 3.3. Funcţia de transfer a întîrzierii pure 83 Supliment S 3.4. Limitări în utilizarea funcţiei de transfer 84 Supliment S 3.5. Funcţia de transfer a operatorului uman 84 Probleme 86 CAPITOLUL 4

RĂSPUNSUL LA SEMNAL TREAPTĂ. SISTEME DE ORDINUL 1 91 A.Răspunsul la semnal treaptă unitar 91 B. Răspunsul în frecvenţă şi la semnal treaptă pentru sisteme de ordinul 1 96 1) Ce face un pol real negativ cînd e singur: filtrul trece jos de 96 2) Ce face un zerou real cînd e singur ? 101 3) Începe competiţia: un pol real şi un zerou real 103 Supliment S 4.1. Sonda divizoare 106 Probleme 108 CAPITOLUL 5

SISTEME DE ORDIN SUPERIOR 109 A. Sisteme cu funcţii de transfer de ordinul doi 109 1) Ce putem face cu doi poli: filtrul trece jos de ordinul doi 109 2) Adăugăm un zerou în origine: filtrul trece bandă de ordinul doi 116 3) Mai adăugăm un zerou în origine: filtrul trece sus de ordinul doi 118 4) Şi zerourile pot fi complexe: filtrul de rejecţie de ordinul doi 120 B. Funcţii de transfer cu un număr oarecare de poli şi zerouri 122 1) Diagrama cîştigului: o excursie pe axa frecvenţei cu schimbarea direcţiei 122 2) Diagrama fazei: o excursie şi mai interesantă pe axa frecvenţei 123 3) Răspunsul la semnal treaptă: nu mai adunăm grafice, neglijăm aproape 123 Supliment S 5.1. Factorul de calitate al filtrului trece bandă de ordinul doi 126 Supliment S 5.2. Factorul de calitate şi răspunsul oscilatoriu al sistemelor de ordinul doi127 Probleme 128

Prefaţa şi cuprins 9

CAPITOLUL 6

REACŢIA NEGATIVĂ 130 A. Sisteme cu reacţie 130 B.. Stabilitatea sistemelor cu reacţie negativă 135 Concluzii 143 Supliment S 6.1. Ce minuni face reacţia negativă (primul episod) 144 Supliment S 6.2. Ce minuni face reacţia negativă (episodul 2) 147 Supliment S 6.3. Ce minuni face reacţia negativă (ultimul episod) 152 Supliment S 6.4. Unghiuri şi distanţe pe locul rădăcinilor 154 Supliment S 6.5. Sisteme cu reacţie pozitivă 156 Probleme 158 CAPITOLUL 7

AMPLIFICATOARE OPERAŢIONALE 161 A. Amplificatoare operaţionale ideale 161 B. Abateri de la idealitate a amplificatoarelor operaţionale 163 C. Compensarea în frecvenţă a amplificatoarelor operaţionale 172 Probleme 179 CAPITOLUL 8

APLICAŢII LINIARE ALE AMPLIFICATOARELOR OPERAŢIONALE 182 A. Amplificatoare de audiofrecvenţă 182 B. Amplificatoare de instrumentaţie 183 C. Amplificatoare pentru punţi rezistive 185 D. Circuitul de integrare 187 E. Circuitul de derivare 191 F. Convertoare curent-tensiune 194 Probleme 196 Bibliografie 197

C a p i t o l u l 1

Sistemliniar

0

00

S i s t e m e ş i s e m n a l e

A. Sisteme cu constante concentrate Începem cu prezentarea unor exemple de sisteme fizice din domenii atît de diferite încît aţi putea crede că nu sîntem prea hotărîţi asupra obiectului acestei lucrări. Ceea ce dorim este găsirea unor elemente comune. Sistemul mecanic din Fig. 1.1 este constituit din corpul de masă m1, susţinut de resortul elastic de constantă k 1, corp care se poate mişca vertical în ghidajul de masă m2 , aşezat pe un resort de constantă elastică k 2 . Între corp şi ghidaj există o forţă de frecare proporţională cu viteza relativă, cu constanta de proporţionalitate b . Notînd cu y1 şi y 2 coordonatele corpului şi ghidajului, măsurate de la poziţia de echilibru, şi cu f forţa externă, sistemul este descris de setul de ecuaţii

0)(

)(

21222112

22

2

212112

12

1

dtdy

dtdybykyyk

dtydm

fdt

dydt

dybyykdt

ydm. (1.1)

Analiza circuitului electric RLC din Fig. 1.2 conduce la ecuaţiile

i R u

L d idt C

i dudt

i R u ui i i

3 2 22

22 2

2

1 1 2 1

1 2 3

0

1 0

0

. (1.2)

m1

m2

f

k1

b

y1

y2k2 2 k2 2

Fig. 1.1. Sistem mecanic de translaţie.

i12i 3i

C

L

1R

2R

-

+

1u

-

+

2u

Fig. 1.2. Circuit electric RLC.


Pentru laserul cu trei niveluri energetice, reprezentate în Fig. 1.3, care este un sistem cuantic, notînd cu N N N1 2 3, , populaţiile nivelurilor şi cu E densitatea de energie din cavitate, putem scrie ecuaţiile de rate

dN dt W N N NdN dt B N N N NN N N Nd dt B N N KN

p

s E

E s E E c

3 1 3 3 32

2 1 2 3 32 2 21

1 2 3 0

2 1 2 21

( )( )

( )

(1.3)

unde Wp este rata de pompaj, Bs coeficientul de emisie stimulată al lui Einstein, iar K fracţia din radiaţia de fluorescenţă emisă în modul coerent de interes. Constantele 32 şi 21 sînt timpii de relaxare spontană între nivelurile respective iar c este constanta de timp corespunzătoare pierderilor din cavitate. Într-un sistem biologic folosit la epurarea apelor reziduale, bacteriile depoluante, cu concentraţia x1, cresc într-un mediu de cultură cu concentraţia x2 . În anumite condiţii menţinute constante, viteza de înmulţire a bacteriilor depoluante verifică relaţia

1

1

1 2

2x tdxdt

a xx c( )

,

unde a şi c sînt două constante pozitive. Experimentele au arătat că viteza de descreştere a concentraţiei mediului de cultură este proporţională cu viteza de înmulţire a bacteriilor, adică

dxdt

ba

dxdt

2 1 ,

cu b o constantă pozitivă. Notînd cu u1 şi u2 debitele care intră şi, respectiv, ies şi considerînd constante concentraţiile corespunzătoare acestor fluxuri, rezultă ca sistemul este descris de ecuaţiile

dxdt

a xx c

x d u

dxdt

b xx c

x d u

1 2

21 2 2

2 1

22 1 1

(1.4)

unde d 1 şi d2 sînt constante pozitive.

E3

E2

E1

31 Wp

21Wi =BsE

banda energetica

tranzitie neradiativa

nivelfundamental

nivelmetastabil

tranzitie laserpompaj

32

Fig. 1.3. Schema energetică a laserului cu trei niveluri.

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 13 Toate cele patru sisteme fizice descrise au o caracteristică comună, care iese în evidenţă prin analiza ecuaţiilor (1.1-1.4). Starea lor este determinată de un ansamblu discret de mărimi fizice care depind numai de timp (cei doi parametri de poziţie pentru sistemul mecanic, etc.). Din această cauză, ecuaţiile care modelează aceste sisteme sînt ecuaţii diferenţiale ordinare. Parametrii ecuaţiilor (mase, constante elastice şi de frecare, rezistenţe electrice, inductanţe, capacităţi etc.) caracterizează individual componentele sistemului, fiind numiţi parametri concentraţi (lumped în lb. engleză). Astfel, sistemele de acest tip sînt denumite generic sisteme cu parametri concentraţi. Mărimile fizice care caracterizează starea sistemului, fiind purtătoare de informaţie, sînt considerate semnale. Spre deosebire de această situaţie, pentru a descrie starea unui mediu continuu deformabil sau tensiunea electrică între cele două conductoare ale unei linii de transmisie bifilare, este nevoie de utilizarea unei funcţii care să depindă atît de timp cît şi de poziţie. Ecuaţiile care modelează astfel de sisteme sînt ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, iar parametrii sînt distribuiţi (densităţi de masă, rezistenţe electrice pe unitatea de lungime, etc.). De exemplu, pentru o linie de transmisie lungă, ecuaţiile au forma

ud

L it

Ri

id

C ut

Gu

0

0 (1.5)

unde R L C, , şi G sînt, respectiv, inductanţa, capacitatea şi codnuctanţa de pierderi raportate la unitatea de lungime iar d este variabila de poziţie. În consecinţă, acest tip de sisteme sînt denumite sisteme cu parametri distribuiţi.

Observaţie: Un circuit electric poate fi considerat cu parametri concentraţi numai dacă lungimea de undă a oscilaţiilor electromagnetice corespunzătoare frecvenţelor la care se lucrează este mult mai mare decît dimensiunile circuitului. Pentru un circuit tipic, cu dimensiuni de ordinul a 0.1 m, stabiliţi gama de frecvenţe pentru care poate fi descris cu parametri concentraţi.

Cum electronica frecvenţelor foarte înalte nu intră în obiectivele acestui curs, ne vom ocupa în continuare exclusiv de sisteme cu parametri concentraţi, fără a mai specifica de fiecare dată acest lucru. În aplicaţii este folosită frecvent reprezentarea intrare-ieşire, sistemul fiind desenat simbolic ca un bloc funcţional (Fig. 1.4). Ca semnal de intrare se consideră, de obicei, o mărime fizică determinată din exteriorul sistemului. Pentru sistemul mecanic, aceasta ar fi forţa externă f . Pentru circuitul electric putem alege tensiunea sau curentul de la portul 1, iar pentru sistemul cuantic mărimea de intrare este rata de pompaj. Pentru sisteme mai complexe putem avea mai multe mărimi de intrare, cu condiţia ca ele să poată fi controlate independent; în cazul circuitului electric prezentat nu putem alege ca mărimi de intrare atît tensiunea cît şi curentul de la acelaşi port. Alegerea mărimii (sau mărimilor) de ieşire se face dintr-un punct de vedere pur pragmatic. În principiu, orice mărime care nu a fost considerată mărime de intrare poate face parte din ansamblul mărimilor de ieşire. Pentru a păstra simplitatea expunerii, vom dezvolta un formalism care consideră numai o singură mărime de ieşire. Dacă vom fi interesaţi în cunoaşterea evoluţiei unei alte mărimi, vom aplica încă o dată formalismul pentru variabila respectivă.

Sistemx(t)

marime deintrare

y(t)

marime deiesire

Fig. 1.4. Reprezentarea sistemului ca un bloc funcţional.


Relativ la comportarea sistemului se pot formula trei probleme diferite (Fig. 1.5) : a) cunoscînd modelul matematic al sistemului şi semnalul de intrare arbitrar x t( ) , să se determine semnalul de ieşire y t( ) ; b) cunoscînd modelul matematic al sistemului şi semnalul de ieşire y t( ) , să se determine semnalul de intrare x t( ) ; c) cunoscînd, pentru unul sau mai multe semnale de intrare, expresia semnalului de ieşire, să se construiască modelul matematic al sistemului (problema identificării sistemului). Observaţie: Deşi reprezentarea intrare-ieşire prezintă avantajul posibilitătii utilizării schemelor bloc, ea trebuie folosită cu prudenţă, variabilele interne (care nu sînt nici la intrare şi nici la ieşire) putînd lua, pentru anumite procese, valori "interzise" şi anula astfel valabiltatea modelului matematic pe care îl folosim pentru sistem. Un astfel de exemplu va fi prezentat în suplimentul S 1.1. Cele patru sisteme fizice descrise de ecuaţiile (1.1-1.4) mai au o trăsatură comună. Parametrii lor (concentraţi) sînt constanţi în timp, comportarea sistemelor fiind invariantă în timp. Decalarea semnalului de intrare pe axa temporală produce numai o decalare identică a semnalului de ieşire aşa cum se vede în Fig. 1.6. Pentru sistemele cu parametri variabili momentul aplicării semnalului de intrare afectează şi forma semnalului de ieşire. Vom aborda în cele ce urmează numai sisteme cu parametri concentraţi constanţi sau altfel spus cu constante concentrate. De fiecare dată de aici înainte, prin sistem vom înţelege un sistem cu constante concentrate, fără a mai specifica acest lucru explicit.

B. Sisteme liniare Lumea în care trăim este esenţialmente neliniară. Cu toate acestea, modelele liniare au o importanţă extraordinară, deoarece pentru ele s-a dezvoltat o teorie extrem de simplă şi de puternică. Pe de altă parte, aproximaţia liniară este suficientă pentru foarte multe cazuri practice iar, pentru altele, constituie un punct de plecare în înţelegerea funcţionării sistemului. Analizînd din acest punct de vedere ecuaţiile (1.1-1.4), constatăm ca primele două seturi de ecuaţii sînt liniare, adică mărimile de stare, împreună cu derivatele lor, apar numai la puterea întîi. Sistemele descrise de aceste ecuaţii sînt deci liniare. În suplimentul S 1.1 se face o discuţie a acestui aspect pentru circuitele electronice.

Sistemcu model cunoscut ?Sistem

cu model cunoscut?

?semnalede intrare cunoscute

semnalede iesire masurate

a)

b)

c)

Fig. 1.5. Tipurile de probleme care pot fi formulate în legătură cu comportarea unui sistem.

Sistemt

t

Sistem

t

t

intrare

iesire

Fig. 1.6. Comportarea unui sistem cu parametri constanţi în timp.

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 15 Pentru laserul cu trei niveluri, a doua şi a patra ecuaţie sînt neliniare, ele conţinînd produse ale densităţii de energie E cu populaţiile nivelurilor 1 şi 2. De asemenea, sistemul biologic conduce la ecuaţii în care apar produse de forma x x1 2 şi, dacă s-ar fi adus la acelaşi numitor, ar fi apărut şi produse de forma x dx dt2 1 . În concluzie, aceste sisteme sînt neliniare. În anumite condiţii, ele pot fi însă aproximate cu sisteme liniare. Astfel, pentru laser, dacă densitatea de energie este mică (sîntem mult sub pragul de oscilaţie), termenii neliniari pot fi neglijaţi şi ecuaţiile devin liniare; acest exemplu este abordat în problema P 1.1. Sistemele liniare sînt deosebit de importante pentru că ele se bucură de proprietăţi speciale, care fac posibilă dezvoltarea unei teorii puternice şi elegante. Pentru a simplifica exprimarea matematică a acestor proprietăţi, introducem mai întîi operatorul asociat sistemului, definit (pentu o singură intrare) pe mulţimea funcţiilor reale de variabilă reală cu valori în aceeaşi mulţime de funcţii. Cu acestea, notînd cu x t( ) semnalul de intrare, cu y t( ) semnalul de ieşire, iar cu S operatorul asociat, acţiunea sistemului se scrie formal ca y t S x t( ) ( ) . (1.6) O proprietate esenţială a sistemelor liniare este superpoziţia, utilizată uneori ca definiţie fenomenologică a liniarităţii. Pentru un sistem cu două intrări şi o ieşire, excitat cu un set de două semnale, acţiunea sa se scrie ca

)()(

)(2

1

txtx

Stya

aa , (1.7)

iar dacă este excitat cu un alt set de semnale se obţine

)()(

)(2

1

txtx

Styb

bb . (1.8)

Prin aplicarea la intrare a unei combinaţii liniare a celor două seturi, un sistem liniar produce la ieşire combinaţia liniară corespunzătoare a semnalelor de ieşire obţinute în experimentele anterioare

)()()()(

)()(

)()(

)()(

2

1

2

1

2

1

2

1 tBytAytBxtBx

tAxtAx

Stxtx

Btxtx

AS bab

b

a

a

b

b

a

a

. (1.9)

Pentru cazul particular în care cîte unul din semnale este identic nul (Fig.1.7), superpoziţia conduce la

)(

00

)()()(

2

1

2

1

txS

txS

txtx

S , (1.10)

ceea ce reduce tratarea unui sistem cu două intrări la aceea a unui sistem cu o singură intrare, cealaltă fiind forţată cu un semnal identic nul. Acest algoritm se aplică pe rînd fiecăreia din cele două intrări şi, în final, cele două semnale de ieşire obţinute se adună.


=

+

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

Sistemliniar

Sistemliniar

Sistemliniar

Fig. 1.7. Caz particular de aplicare a proprietăţii de superpoziţie la un sistem liniar cu două intrări..

Acest rezultat este utilizat frecvent pentru calculul comportării circuitelor electronice (Fig.1.8). Alimentarea circuitului, xDC, produce o componentă constantă, de polarizare (bias în lb. engleză), iar semnalul propriu-zis x tAC ( ) produce o componentă variabilă în timp. Astfel, semnalul rezultat la ieşire este suma dintre componenta constantă produsă de alimentare (dacă ar fi aplicată singură) şi una variabilă, produsă numai de semnalul alternativ

)()(

00)(

tyytx

Sx

Stx

xS ACDC

AC

DC

AC

DC

(1.11)

Cu alte cuvinte, în limbajul circuitelor electronice, problema de curent continuu (DC-direct curent în lb. engleză, polarizare în lb. romănă) şi problema de curent alternativ se pot rezolva independent.

0

0

0

Sistemliniar

Sistemliniar

Sistemliniar

0

00

0

00

alimentare

semnal ce trebuieprocesat

Fig. 1.8. Metoda rezolvării independente a problemei de curent continuu (polarizarea) şi a problemei semnalului alternativ care este procesat de sistem.

Ca urmare a concluziilor anterioare, din acest moment vom considera numai sisteme cu o singură intrare, cazurile sistemelor cu mai multe intrări putînd fiind reduse la sisteme cu o singură intrare, prin generalizarea procedurii discutate. Nu avem decît să rezolvăm mai multe probleme cu cîte o singură intrare şi să adunăm rezultatele.

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 17 O altă consecinţă particulară a liniarităţii este omogenitatea, )()(( txAStxAS , (1.12)

utilizată frecvent în practică pentru testarea liniarităţii. Se creşte amplitudinea semnalului de intrare de un număr de ori şi, dacă şi semnalul de ieşire creşte cu acelaşi factor (Fig. 1.9), sistemul are şanse să fie liniar. O proprietate esenţială a sistemelor liniare este că, pentru orice semnal de intrare, semnalul de ieşire este suma a două grupe de termeni, răspunsul liber, şi răspunsul forţat (Fig. 1.10). Tipul termenilor care alcătuiesc răspunsul liber depinde numai de sistem,

pentru filtrul trece-jos ales ca exemplu în figura citată, răspunsul liber fiind o exponenţială. Mai mult, vom vedea mai tîrziu că aceste sisteme au o imaginaţie extrem de săracă: cu excepţii foarte rar întîlnite, aceşti termeni sînt fie exponenţiale, fie sinusoide a căror amplitudine evoluează exponenţial. Pentru sistemele stabile răspunsul liber se stinge asimptotic în timp. Tipul termenilor din răspunsul forţat este dictat de semnalul de intrare. Dacă acesta nu se stinge în timp, în răspuns apare o componentă staţionară, toate celelalte componente ale răspunsului care se sting fiind numite tranziente. Sistemele liniare stabile au o proprietate unică în clasa sistemelor. Excitate cu un semnal sinusoidal cu frecvenţă arbitrară şi de durată infinită, răspunsul lor staţionar este, de asemenea, sinusoidal şi de aceeaşi frecvenţă )sin(tranzient)sin( 00 tAtS . (1.13) Semnalul de ieşire poate avea, însă, o amplitudine modificată şi poate fi defazat faţă de semnalul de intrare. Observaţie: Vom numi în continuare semnalul sinusoidal, chiar dacă, uneori, datorită fazei sale iniţiale, el poate fi pus mai comod sub forma unui cosinus. Cu alte cuvinte, numai sistemele liniare nu deformează semnalul sinusoidal (Fig. 1.11 a). Pe de altă parte, semnalul sinusoidal este singurul care rămîne nedeformat la procesarea cu orice sistem liniar. Semnalele nesinusoidale pot produce, chiar atunci cînd sînt procesate cu sisteme liniare, răspunsuri staţionare care nu le mai păstrează forma (Fig. 1.11 b). Această proprietate unică a semnalului sinusoidal provine din invarianţa formei sale la derivare (şi integrare), combinată cu forma specială a sistemului de ecuaţii diferenţiale asociat circuitului. Mai există un semnal care se bucură de aceeaşi invarianţă, dar el se stinge în timp şi nu

Sistemliniar

Fig. 1.9. Verificarea liniarităţii unui sistem prin creşterea de un număr de ori a semnalului de intrare.

Sistemliniar = +

raspuns fortatraspuns liber

Sistemliniar = +

raspuns fortatraspuns liber

Fig. 1.10. Răspunsul unui sistem liniar la două semnale de intrare: componenta liberă şi componenta forţată.


poate produce un răspuns staţionar; este semnalul exponenţial şi vom vedea că şi el are un rol important în răspunsul sistemelor liniare.

Sistemliniar

Sistemneliniar

Sistemneliniar

a) semnal de intrare sinusoidal, sisteme liniare si neliniare

1

2

3

Sistemliniar

Sistemliniar

Sistemliniar

b) sisteme liniare, semnale de intrare nesinusoidale

4

5

4

semnal sinusoidal

semnal triunghiular

semnal "sinusoidal" cu distorsiuni de limitare

Fig. 1.11. Numai pentru semnalul de intrare sinusoidal şi sisteme liniare, răspunsul staţionarizat are aceeaşi formă cu semnalul de intrare.

C. Răspunsul în frecvenţă Caracterizarea comportării sistemului prin setul de ecuaţii asociat este completă, dar destul de incomodă. Căutăm un instrument matematic care să descrie funcţionarea sistemului într-un mod mult mai compact şi elegant. Începem cu cea mai simplă situaţie imaginabilă: starea staţionară pentru semnale de intrare care sînt constante în timp. Liniaritatea sistemului conduce la

xAAxSxxSxSy

DC

DC

tranzient)tranzient(11

. (1.14)

Astfel, pentru semnale de intrare constante, acţiunea sistemului se reduce la multiplicarea semnalului de intrare cu o constantă reală, care este proprie sistemului. Această proprietate este conoscută sub numele de liniaritate statică. Dacă semnalele de intrare şi ieşire sînt de acelaşi tip, această constantă este numită amplificare la semnale constante (la curent continuu).

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 19

A yxDC

stat

stat (1.15)

şi are semnificaţia fizică a valorii staţionare de la ieşire cînd la intrare semnalul este constant şi egal cu unitatea. Dacă aceste semnale sînt de tipuri diferite, raportul din ecuaţia precedentă este numit factor de transfer. Pentru circuitele electronice, cele două mărimi pot fi curenţi sau tensiuni şi pot fi definite la acelaşi port sau la porturi diferite. Dacă semnalele de intrare şi ieşire sînt considerate la acelaşi port, mărimea definită de (1.15) este o inmitanţă (rezistenţă sau o conductanţă) iar dacă porturile sînt diferite avem o transrezizestenţă sau o transconductanţă. Aceasta nu schimbă decît denumirea mărimii definite de (1.15) şi, bineînţeles, unitatea de măsură. Din această cauză, vom continua să considerăm, pentru simplitate, numai cazul amplificării. Datorită proprietăţii unice de care se bucură semnalele sinusoidale, încercăm acum să extindem procedura anterioară şi pentru acest tip de semnale. După relaţia (1.13), amplitudinea sinusoidei este pur şi simplu multiplicată, similar cazului de la curent continuu. Apare însă şi un defazaj suplimentar , care încurcă lucrurile. Soluţia este introducerea unor fazori (vectori rotitori cu punctul de aplicaţie în origine) asociaţi semnalelor sinusoidale (Fig. 1.12). Împărţirea între vectori nu este însă definită şi o relaţie asemănătoare cu (1.15) nu poate fi scrisă încă. Ultimul pas îl constituie reprezentarea fazorilor prin numere complexe y t A t A j t y tstat ( ) sin( ) exp[ ( )] ( ) 0 0fazor , (1.16) unde unitatea imaginară a fost notată cu 1 j , A este modulul, iar 0t faza (argumentul) numărului complex. Această notaţie pentru unitatea imaginară va fi folosită consecvent de aici înainte, pentru evitarea posibilelor confuzii cu intensităţile curenţilor. Cu această corespondenţă, ţinînd seama că la înmulţirea a două numere complexe modulele se înmulţesc iar argumentele se adună, acţiunea sistemului liniar asupra semnalului sinusoidal se poate scrie ca

( ) ( ) exp( ) exp( )( )( )

y t x t A j A j y tx t

H . (1.17)

Mărimea H este amplificarea complexă a sistemului. Semnificaţia sa fizică este extrem de simplă: modulul arată de cîte ori este amplificată amplitudinea unui semnal sinusoidal iar argumentul este egal cu defazajul suplimentar introdus de sistem. Nu trebuie omis că această interpretarea se referă numai la regimul staţionar. Observaţie: În mod corespunzător situaţiilor descrise anterior, avem impedanţe, admitanţe, transimpedanţe şi transadmitanţe complexe. În formularea modului în care răspund sistemele liniare la un semnal sinusoidal, descris de ec. (1.17), nu am afirmat nimic despre mărimile A şi . Faptul că ele sînt constante în timp asigură

A

1

0

0

Fig. 1.12. Fazorii asociaţi semnalelor sinusoidale de intrare şi ieşire.


păstrarea formei semnalului. Dacă reluăm însă experienţa cu o sinusoidă de altă frecvenţă, vom obţine pentru ele alte valori; aceste mărimi sînt funcţii de frecvenţa semnalului aplicat la intrare H A j( ) ( ) exp[ ( )] (1.18) dependenţa funcţională H( ) fiind numită răspuns în frecvenţă. al sistemului. Observaţie: Pentru simplificarea limbajului, numim funcţia H ( ) răspuns în frecvenţă dar nu trebuie pierdut din vedere că acest răspuns se referă numai la semnale sinusoidale şi numai după staţionarizare. Pentru 0 răspunsul în frecvenţă se reduce la amplificarea de la curent continuu H ADC( ) 0 real , (1.19) din acest motiv funcţia ( ) trebuind să îndeplinească condiţia ( ) 0 k k , cu intreg. (1.20) Fiind o generalizare a noţiunii de amplificare, răspunsul în frecvenţă mai are o proprietate extrem de importantă. Dacă două sisteme sînt legate în cascadă, ieşirea primului fiind intrarea celui de-al doilea, răspunsul în frecvenţă al sistemului compus se obţine simplu prin înmulţirea celor două răspunsuri parţiale (Fig. 1.13) H H H( ) ( ) ( ) 1 2 . (1.21) Această proprietate nu are un corespondent în manipularea sistemelor de ecuaţii diferenţiale şi reprezintă unul din avantajele esenţiale ale descrierii sistemelor liniare prin răspunsul în frecvenţă. Precauţiile suplimentare necesare în utilizarea schemelor bloc pentru circuitele electronice vor fi discutate în Suplimentul S 1.2. Observăm, de asemenea, că pentru regimul staţionar la excitaţii sinusoidale, răspunsul în frecvenţă H( ) rezolvă toate cele trei probleme formulate în legătură cu comportarea sistemelor. Astfel, pentru acest caz particular de semnale, funcţia H( ) conţine întreaga informaţie necesară pentru descrierea sistemului, cu alte cuvinte ea este echivalentă modelului matematic. În afară de reprezentarea sa exponenţială, prin modul şi argument, răspunsul în frecvenţă mai poate fi exprimat în formă algebrică

H ( )2H ( )1x1~ x1

~y1~ = H ( )1 H ( )2x1

~y2~ = H ( )1

x1~

H ( )1 H ( )2H( ) =H ( )2x1

~y2~ = H ( )1

Fig. 1.13. Cuplarea a două sisteme în casacadă.

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 21 )(Im)(Re)( HjHH (1.22) sau grafică. Deşi au proprietăţi matematice interesante, părţilor reală şi imaginară ale amplificării complexe nu li se poate da o interpretare fizică directă. Reprezentările grafice sînt utilizate extrem de frecvent, mai ales atunci cînd informaţia este obţinută din experimente asupra sistemului. În locul modulului amplificării A H( ) ( ) se preferă reprezentarea cîştigului (măsurat în decibeli) )(log20)( 10 HG . (1.23) Unul din motive este gama extrem de mare (5-6 ordine de mărime) pe care este urmărită evoluţia amplificării. Avantajul principal constă însă, aşa cum vom vedea mai tîrziu, în formele aproximative extrem de simple obţinute pentru grafice. Gradarea axei verticale se face în decibeli dar, pentru început, este bine de utilizat simultan şi o scară gradată cu valorile amplificării. (Fig. 1.14). Axa frecvenţelor este o axă logaritmică, dar gradarea trebuie făcută în valori de frecvenţă, logaritmul frecvenţei neavînd semnificaţie fizică. Motivele pentru alegerea unei axe logaritmice pentru frecvenţă sînt identice cu cele amintite în paragraful anterior. Calculul răspunsului în frecvenţă Pentru sistemele descrise de un set de ecuaţii diferenţiale, obţinerea răspunsului în frecvenţă se face în felul următor: -se pune semnalul de intrare de forma x t j t( ) exp( ) -se consideră toate celelate funcţii de forma u t a j ti i i( ) exp[ ( )] şi de aici se obţine

dudt

j u t d udt

j u t d udt

j u tii

ii

ni

nn

i ( ), ( ) ( ), ..., ( ) ( )2

22

care se înlocuiesc în ecuaţii. Pentru sistemul mecanic descris de (1.1), considerînd forţa f ca variabilă de intrare, se obţine astfel

1 10 100 1k 10k 100k-30

-20

-10

0

10

(rad/s)

G (dB)A

1

0.1

Fig. 1.14. Reprezentarea grafică a dependenţei amplificării în funcţie de frecvenţă.


( ) ( ) exp( )

( ) ( )

m k jb y k jb y j t

m k k jb y k jb y1

21 1 1 2

22

1 2 2 1 1 0

;

-se elimină celelalte funcţii din setul de ecuaţii, rămînînd numai semnalul de intrare şi cel de ieşire. Pentru exemplul nostru, alegînd ca mărime de ieşire deplasarea masei m1 ajungem la

y m k k jb

m m m k k m k k k j b m m bkj t

H j t

12

21 2

1 24

1 1 2 2 1 1 2 1 23

2

[ ( ) ] [ ( ) ]

exp( )

( )exp( )

,

de unde se deduce în final răspunsul în frecvenţă.

Observaţie: Deoarece sîntem interesaţi numai de răspunsul staţionar, care se obţine după un timp suficient de lung pentru ca toate tranzientele să se stingă, starea iniţială a sistemului este irelevantă. După suficient de mult timp nu mai contează care era starea sistemului la începutul experimentului.

Pentru circuitele electrice, obţinerea răspunsului în frecvenţă se poate face direct din topologia sa, fără să mai fie nevoie să scriem setul de ecuaţii diferenţiale. Este suficient să lucrăm cu impedanţele complexe ( j L pentru inductor şi 1 ( )j C pentru condensator) şi să considerăm formal curenţii şi tensiunile ca mărimi complexe. Astfel pentru circuitul RLC din Fig. 1.2, scriind impedanţa echivalentă văzută la intrare

CjLjR

CjLjR

RZ

1

1

2

2

1

,

se obţine imediat curentul i1 şi, de aici, tensiunea de ieşire

u u i R u uZ

R2 1 1 1 11

1

şi, în final, răspunsul în frecvenţă

H uu

R LCR R LC R R j R R C

( ) ( )( )

2

1

22

21 2 1 2 1 2

1 .

Interesul nostru principal este comportarea circuitelor electronice liniare. Pentru cazul particular al regimului sinusoidal staţionar am găsit un formalism, bazat pe răspunsul în frecvenţă care prezintă următoarele avantaje: -este elegant şi compact, în locul unui set de ecuaţii diferenţiale (sau, eventual, a unei singure ecuaţii de grad superior) avem nevoie numai de o funcţie complexă de variabilă reală H ( ) ; -funcţia H( ) are semnificaţie fizică directă şi poate fi uşor determinată experimental; -cele trei tipuri de probleme legate de funcţionarea sistemelor se rezolvă extrem de simplu prin înmulţiri şi împărţiri de funcţii complexe;

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 23 -legarea în cascadă a sistemelor se traduce simplu prin înmulţiorea celor două răspunsuri în frecvenţă, permiţînd astfel reprezentarea sistemelor complexe prin scheme bloc ce permit calculul comod al funcţiei H( ) generale; -pentru circuitele electrice, calculul lui H ( ) se face direct din topologia circuitului, fără scrierea ecuatiilor diferenţiale asociate; -vom vedea în Suplimentul S 1.3 că acest lucru este posibil şi pentru alte sisteme fizice, prin analogie cu circuitele electrice. Singura (dar majoră !) deficienţă a formalismului este că funcţionează numai pentru un anumit tip de semnale (sinusoidale sau, în particular, constante) şi nu descrie decît răspunsul staţionar (permanentizat). În următoarele capitole, scopul nostru va fi introducerea unui instrument matematic care să prezinte aceleaşi avantaje, dar care să permită calculul răspunsului (inclusiv partea tranzitorie) la orice fel de semnal aplicat la intrare.

D. Semnale Înainte de a continua studiul sistemelor liniare, să facem un mic ocol pentru a stabili clasificări şi definiţii utile asupra semnalelor procesate de sisteme. Pentru a fi realizabil fizic, un semnal x t( ) trebuie să aibă durata finită x t t t t t t( ) 0 1 2 1 pentru si , cu t2 (1.24) şi să aibă, la orice moment de timp, o valoare finită x t t( ) pentru . (1.25) În aceste condiţii, şi energia sa este finită

ttxE d)(2 . (1.26)

Observaţie: În teoria semnalelor energia şi puterea se definesc ca pentru o tensiune (curent), dar considerînd valoarea rezistenţei unitară. }i aici, ca în orice disciplină ştiinţifică, rolul esenţial îl au conceptele cu un puternic grad de idealizare, adică tocmai cele nerealizabile practic. O primă idealizare o constituie acceptarea semnalelor care nu devin niciodată nule. Ele rămîn în continuare cauzale, adică sînt identic nule înaintea unui anumit moment, ales în general ca origine a timpului semnal cauzal la x t t( ) 0 0 (1.27) Astfel de semnale sînt reprezentate în Fig. 1.15. Ele pot avea energia finită (dacă scad destul de repede pentru a face integrala din (1.26) convergentă) sau infinită. Extrem de util este semnalul treaptă unitar u t( ) , care reprezintă de fapt schimbarea stării semnalului de la valoarea staţionară nulă la valoarea staţionară unitară.


x(t)

t0

x(t)={0 pentru t<0exp(-at) pentru 0 t

{x(t)= 0 pentru t<0sin( t) pentru 0 t

t0

x(t)

x(t)

t0

x(t)={0 pentru t<01 pentru 0 t

0

1

treapta unitara (functia Heaviside)

Fig. 1.15. Semnale cauzale cu durată infinită.

O a doua idealizare este acceptarea semnalelor necauzale, care sînt nenule începînd de la t . O clasă importantă de astfel de semnale sînt cele periodice, cîteva astfel de semnale fiind desenate în Fig. 1.16. Ele au energia infinită dar pot fi caracterizate prin puterea medie, care este chiar puterea medie calculată pe o perioadă. Semnalele discutate pîna acum sînt deterministe. O alta clasă importantă de semnale cu durată infinită o constituie zgomotele staţionare. Ele sînt semnale întîmplătoare, dar ale căror parametrii statistici nu depind de timp. Printre aceşti parametri constanţi se numără şi puterea medie. Un exemplu de zgomot staţionar este zgomotul alb, care arată ca în ultimul desen din Fig. 1.16. Toate semnalele prezentate pînă aici au fost reprezentate de funcţii reale de o variabilă reală, în sensul clasic. Ultima idealizare acceptă semnale descrise de distribuţii1. Un astfel de semnal este semnalul impuls unitar ( )t , care este reprezentat de o distribuţie Dirac de arie unitară, "centrată" în origine, care are proprietăţile

)( pentru )0(d)()(

1d)(

txxtttx

tt

. (1.28)

Impulsul unitar este derivata, în sensul distribuţiilor, a semnalului treaptă unitar (funcţia Heaviside). Strict vorbind, impulsul Dirac nu poate fi desenat datorită valorii sale infinite în origine; îl

1vezi, de exemplu, Veronica Teodorescu "Matematica 2 (ecuaţiile fizicii matematice)", Tipografia Universităţii Bucureşti, 1980 sau W. Kecs şi P.P Teodorescu "Introducere în teoria distribuţiilor cu aplicaţii în tehnică" , Editura Tehnică, Bucureşti, 1975.

sinusoidal

dreptunghiularsimetric

dreptunghiularasimetric

triunnghiular

dinti de fierastrau

zgomot alb

Fig. 1.16. Semnale necauzale cu durată infinită.

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 25 vom reprezenta simbolic printr-o linie verticală cu săgeată; dacă, datorită inmulţirii cu o constantă, aria nu mai este unitară, lungimea liniei va fi proprţională cu aria sa.

CONCLUZII i) În acest manual vor fi abordate numai sisteme şi circuite liniare, cu constante concentrate. ii) Dacă semnalul de intrare este sinusoidal şi sistemul este stabil, atunci răspunsul liber se stinge în timp iar răspunsul permanent (forţat) este tot sinusoidal. Această proprietate este prezentată numai de sistemele liniare şi numai de semnalul sinusoidal. iii) În aceste condiţii, se defineşte răspunsul în frecvenţă ca o funcţie complexă: modulul său reprezintă valoarea absolută a amplificării iar argumentul este egal cu defazajul introdus de circuit. iv) Pentru un sistem, răspunsul în frecvenţă se determină simplu din ecuaţiile diferenţiale; răspunsul în frecvenţă al unui circuit se poate afla direct, lucrînd ca în curent continuu dar cu impedanţe complexe. v) Reprezentarea grafică a răspunsului în frecvenţă se face în scară logaritmică pentru frecvenţă, preferîndu-se utilizarea cîştigului, măsurat în decibeli, în locul amplificării.

Supliment S 1.1. Circuitele electronice şi liniaritatea Cum se obţin ecuaţiile diferenţiale care descriu comportarea unui circuit electronic ? Una din metodele posibile este utilizarea legilor I şi II ale lui Kirchoff. Scrisă pentru N 1 din cele N noduri, legea I exprimă conservarea intensităţilor, prin expresii de tipul ik

k 0 , (1.29)

care sînt liniare. Un alt grup de ecuaţii se obţine din legea a II-a, scrisă pe fiecare din cele M bucle fundamentale, ecuaţiile avînd forma e uk

kl

l , (1.30)

unde ek sînt tensiunile electromotoare ale surselor ideale de tensiune iar ul sînt căderile de tensiune pe elementele dipolare de circuit. Observăm că şi aceste ecuaţii sînt liniare. Pînă acum, ecuaţiile reprezintă numai topologia circuitului, fără să conţină informaţii despre elementele de circuit, şi sînt în totalitate liniare. Trebuie să completăm însă sistemul cu ecuaţiile de funcţionare ale acestor elemente. Putem astfel trage concluzia că circuitul este neliniar numai dacă există cel puţin un element neliniar de circuit. Cu alte cuvinte, eventuala neliniaritate poate fi cauzată numai de elementele de circuit şi nu de topologia sa. Să analizăm cîteva elemente frecvent utilizate. Pentru rezistor, inductor şi condensator (Fig. 1.17), relaţiile între curent şi tensiune sînt liniare


rcondensato pentru )(1=)(

inductor pentru =)(

rezistor pentru )()(

00 tdti

Cutu

dtdiLtu

tiRtu

t

. (1.31)

Pentru tranzistoare, tuburi sau alte elemente active, modelele dezvoltate în cazul variaţiilor mici (cu parametrii hibrizi, Giacoletto, etc.) conţin în plus surse ideale (de tensiune sau curent) comandate de altă mărime electrică (tensiune sau curent). Ecuaţiile care descriu modul de comandă sînt liniare, ca de exemplu

FET modelul pentru )()(

hibrizi parametri cu modelul pentru )()(si )()(

tugtituhte

tihti

gmd

cre

bfe

. (1.32)

Dacă se foloseşte, însă, un model de semnal mare, pentru dioda semiconductoare, tranzistorul bipolar, tranzistorul cu efect de cîmp, sau alte dispozitive semiconductoare, ecuaţiile obţinute sînt neliniare; pentru tranzistorul bipolar dependenţa curentului de colector în funcţie de tensiunea bază-emitor este bine descrisă de expresia tbesc Utuiti )(exp)( . (1.33) Domeniul de valabilitate al modelului trebuie controlat cu atenţie. Astfel, pentru valori ale tensiunii de ieşire care nu se apropie de valorile pozitivă şi negativă ale sursei de alimentare difeenţiale, un amplificator operaţional se comportă liniar cu o mare acurateţe. Încercarea de a depăşi aceste limite saturează amplificatorul, tensiunea de ieşire devenind practic insensibilă la modificarea intrării, aşa cum se observă în Fig. 1.18. O părăsire a liniarităţii dintr-o cauză mai subtilă, şi anume încercarea de depăşire a vitezei maxime de creştere, este, de asemenea, prezentată în aceeaşi figură. Dacă tensiunea de ieşire ar trebui (conform modelului ideal folosit) să evolueze cu o viteză depăşind o anumită valoare numită viteză maximă de creştere (slew rate în lb. engleză), o sursă de curent controlată din structura sa internă ajunge la o valoare maximă pe care nu o mai poate depăşi (intră în saturaţie). Amplificatorul operaţional încetează să se mai comporte liniar şi semnalul de ieşire este o rampă cu pantă constantă, indiferent de comportarea intrării.

R

i

-

+

u R

i

-

+

u

-

+

u CL

i

-

+

u

-

+

u

i

-

+

u

-

+

u

)()( tiRtu dt

tdiLtu )()( t

diC

utu0

0 )(1)(

Fig. 1.17. Ecuaţiile care descriu funcţionarea rezistorului, inductorului şi condensatorului.


+Valim

-Valim

Vo

Vi

caracteristica statica de transfer

semnal de iesire

t

Vo

semnal de intrare

Vi

t

semnal de intrare

Vi

t t

semnal de iesire

Vo

efectul vitezei maxime de crestere

efectul limitarii tensiunii de iesire

sinusoidal triunghiular

Fig. 1.18. Distorsiuni produse de amplificatorul operaţional la părăsirea regimului liniar.

Supliment S 1.2. Reprezentarea etajelor electronice prin blocuri funcţionale Am văzut că utilizarea răspunsului în frecvenţă permite modelarea comodă a legării circuitelor în cascadă şi, astfel, folosirea schemelor bloc care facilitează scrierea răspunsului în frecvenţă global. Această procedură trebuie însă însoţită de precauţii. Să reluăm circuitul de la exemplul din Fig. 1.2 şi să conectăm la ieşirea sa un alt circuit, constituit numai din rezistorul R3 (Fig. 1.19 a şi b). Răspunsul în frecvenţă pentru circuitul RLC (numărul 1 în cascada noastră) a fost deja calculat şi îl notăm cu H1( ) iar, pentru al doilea circuit, răspunsul este simplu H2 1( ) . S-ar părea că pentru circuitul global nu avem decît de înmulţit cele două răspunsuri în frecvenţă. Dar nu este aşa. Circuitul RLC nu mai lucrează în aceleaşi condiţii ca atunci cînd am calculat noi H1( ) ; atunci nu avea nici o sarcină conectată la ieşire şi prin borna de ieşire nu circula vreun curent, ieşirea era în gol. La legarea în cascadă, ieşirea "vede" rezistenţa R3 şi raportul tensiunilor de ieşire şi intrare este acum altul. Răspunsul său în frecvenţă trebuie recalculat. Din fericire, pentru acest caz particular, nu avem decît să înlocuim în H1( ) valoarea lui R2 cu combinaţia paralelă R R R R R23 2 3 2 3 ( ), obţinînd noul răspuns în frecvenţă H m1 ( ) , valabil pentru situaţia prezentă la ieşirea circuitului

HR LC

R R LC R R j R R Cm1

232

21 23 1 23 1 23

1( )

( )

( )

. (1.34)


H ( )= outu

inu =12H ( )= outu

inu1 =R (1- LC)2

2

1 2 12- (R + R )LC+R +R +j R R C221

-

+

inu 3R

-

+

outu

i1

2i 3i

C

L

1R

2R

-

+

inu

-

+

outu

i1

2i 3i

C

L

1R

2R

-

+

1u

-

+

2u 3R

-

+

3u

i12i 3i

C

L

1R

2R

-

+

1u

-

+

2u 3R

-

+

3u

outZ = 0Zin=

H( )=1

etaj deseparare

a)

b)

c)

H1m ( ) H2m ( )

H1 ( ) H2 ( )

Fig. 1.19. Conectarea în cascadă a două etaje electronice.

Acum putem, într-adevăr, să înmulţim răspunsurile în frecvenţă şi să-l obţinem pe cel global H H Hm( ) ( ) ( ) 1 2 (1.35) ecuaţie care permite reprezentarea circuitului compus printr-o schemă bloc. În concluzie, la legarea în cascadă răspunsurile în frecvenţă se modifică datorită schimbării regimului de la ieşirea circuitelor şi este necesară recalcularea lor în noile condiţii. Ieşirea fiecărui circuit vede impedanţa de intrare a circuitului care îi urmează. Cum şi impedanţa de intrare a unui circuit depinde de ce este conectat la ieşirea sa, se începe calculul cu impedanţa de intrare a ultimului circuit şi răspunsul său în frecvenţă, se continuă apoi cu răspunsul în frecvenţă şi impedanţa de intrare a circuitului anterior şi aşa mai departe, pîna la răspunsul în frecvenţă al primului circuit. Cu

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 29 răspunsurile în frecvenţă astfel calculate se desenează schema bloc şi se obţine răspunsul în frecvenţă global. Eliminarea acestui inconvenient ar fi posibilă dacă fiecare etaj ar avea o impedanţă de ieşire nulă (practic mult mai mică decît impedanţa de intrare a etajului următor). Se pot utiliza astfel circuite de separare (buffer în lb. engleză) între etaje, care au răspunsul în frecvenţă identic cu unitatea (repetoare) dar prezintă impedanţe de intrare foarte mari şi impedanţe de ieşire foarte mici, ca în Fig. 1.19 c). Numai în acest caz în schema bloc apar răspunsurile în frecvenţă calculate cu ieşirea în gol.

Observaţie: Din această cauză, proiectarea şi reglarea filtrelor pasive (fără amplificatoare) cu mai multe etaje este deosebit de dificilă.

Supliment S 1.3. Analogia cu circuitele electrice Pentru sistemele mecanice de tipul celui prezentat în Fig. 1.1, forma ecuaţiilor face posibilă reprezentarea lor prin analogie cu circuitele electrice. Dacă se preferă analogia forţă-intensitate de curent, atunci corespondenţele sînt următoarele:

punct care se deplasează cu viteza v nod cu potenţialul V v forţă aplicată f sursă ideală de curent I f corp de masă m condensator de capacitate C m

resort cu constanta elastică k bobină cu inductanţa L k 1 forţă de frecare proporţională cu viteza cu

constanta b rezistor cu rezistenţa R b1

De exemplu, cu aceste înlocuiri ecuaţiile (1.1) ale sistemului mecanic din Fig. 1.1 capătă forma

01])()([1)(1

1])()([1

210

2110

22

12

210

211

11

VVR

tdtVtVL

tdtVLdt

dVC

IVVR

tdtVtVLdt

dVC

tt

t

, (1.36)

care sînt ecuaţiile Kirchhoff de curent pentru circuitul electric din Fig. 1.20 a). Este interesant de notat că, pentru asemenea sisteme, se utilizează în mecanică reprezentări schematice care, pentru analogia forţă-intensitate, sînt identice topologic cu circuitele electrice echivalente. Astfel, sistemul din exemplul nostru are reprezentarea mecanică din Fig. 1.20 b). În anumite condiţii, şi pentru sistemele termice poate fi stabilită o analogie cu circuitele electrice. Să considerăm următoarele corpuri, fiecare caracterizat de o anumită temperatură: "cipul" unui tranzistor de putere, capsula tranzistorului, radiatorul pe care este fixat tranzistorul şi mediul ambiant (aerul). Energia termică schimbată în unitatea de timp între două astfel de corpuri este proporţională cu diferenţa de temperatură

dWdt

JR

mnmn

m nth mn

(1.37)

constanta de proporţionalitate R th fiind numită rezistenţă termică între cele două corpuri.


R

L2C2

C1

I

V1

V2

L1

k2

y1

f

m 1

m 2

k1 b

y2

a) b)

Fig. 1.20. Circuitul electric echivalent şi reprezentarea mecanică schematică pentru sistemul mecanic prezentat în Fig. 1.1.

Ca urmare a primirii fluxului J , temperatura unui corp evoluează după ecuaţia

ddt C

Jm

m

1 (1.38)

unde Cm este capacitatea calorică. Aceste ecuaţii permit următoarea analogie cu circuitele electrice:

temperatură potenţial electric flux energetic intensitatea curentului

corp cu temperatura şi capacitatea calorică C

nod de circuit cu potenţialul legat la masă cu un condensator de capacitate C

cale de curgere a energiei termice cu rezitenţa termică Rth

rezistor cu rezistenţa Rth

termostat cu temperatura sursă ideală de tensiune cu tensiunea putere electrică (sau de altă) natură

convertită în energie termică cu rata J sursă ideală de curent de intensitate J

Astfel, schema electrică echivalentă a sistemului termic discutat este cea din Fig. 1.21. În calculul răspunsului staţionar (puterea disipată este constantă) nu intervin capacităţile. Pentru ca temperatura "cip"-ului să nu devină periculos de ridicată, rezistenţa termică echivalentă între el şi ambiant trebuie făcută cît mai mică. De aceea, între capsulă şi radiator se introduce o pastă specială bună conducătoare de căldură iar contactul se face cu presare suficient de puternică. Cu toate acestea, rezistenţa termică Rth 2 nu poate fi scăzută foarte mult, mai ales dacă între capsulă şi radiator trebuie să asigurăm şi o izolaţie electrică. Rezistenţa termică între radiator şi ambiant se micşorează prin mărirea suprafeţei radiatorului, asigurarea unei ventilaţii naturale, montarea unui ventilator şi, în cazurile extreme, răcirea cu apă. La limită, Rth 3 poate fi considerat nul şi calculele se fac cu "radiator infinit ". În orice caz, combinaţia serie R Rth th2 4 este mult mai mică decît Rth 4 şi aceasta din urmă poate fi neglijată.


+-

amb

radcaps"cip"

C"cip" Ccaps Crad

R th 1 R th 2 R th 3

R th 4

J=Pdis

Fig. 1.21. Schema electrică echivalentă pentru sistemul termic constituit dintr-un tranzistor montat pe radiator.

Prezenţa capacităţilor trebuie luată în consideraţie atunci cînd tranzistorul funcţionează în pulsuri, puterea termică disipată nemaifiind constantă în timp. De asemenea, valorile capacităţilor calorice sînt extrem de importante în sistemele de control al temperaturii, caz în care corpuri de dimensiuni mari (de exemplu cuptoare) trebuie să-şi modifice rapid şi controlat temperatura.

Supliment S 1.4. Servomotorul de curent continuu În sistemele de control automat, numite şi servosisteme, modificarea poziţiei unei componente mecanice se poate realiza cu un motor electric de curent continuu, numit şi servomotor. Ne propunem aici scrierea sistemului de ecuaţii care leagă tensiunea um aplicată pe înfăşurarea rotorului, intensitatea im a curentului prin această înfăşurare şi poziţia sa unghiulară, exprimată prin unghiul . Căderea de tensiune pe înfăşurare este provocată de trei cauze: -căderea de tensiune datorată rezistenţei Rm a sîrmei de bobinaj, egală cu R im m, -tensiunea autoindusă de variaţia curentului, dată de L i td d , unde L este inductanţa -tensiunea indusă prin rotaţia bobinei în cîmpul magnetic al statorului, proporţională cu viteza sa unghiulară. Avem astfel ecuaţia

u R i L it

Ktm m m

m dd

dd1 . (1.39)

O a doua relaţie se obţine din teorema variaţiei momentului cinetic. Notînd cu J momentul de inerţie, viteza de variaţie a momentului cinetic se scrie ca J td d2 2 . Momentul forţei motoare este K im2 , proporţional cu intensitatea curentului iar, datorită frecării (proporţionale cu viteza), apare un moment negativ, B td d . A doua ecuaţie a modelului este, deci,

Jt

K i Btm

dd

dd

2

2 2 . (1.40)

Considerînd ca variabilă de intrare tensiunea um şi ca variabilă de ieşire poziţia unghiulară , aplicînd metoda prezentată în acest capitol, putem calcula răspunsul în frecvenţă al factorului de transfer

Hj

KR K K JL RJ L j

( )( )

1 2

1 22 . (1.41)


Observăm că, pentru 0 (tensiune constantă), factorul de transfer este infinit, semnificaţia fiind aceea că unghiul de rotaţie creşte nelimitat. La frecvenţe foarte mari, datorită inerţiei, factorul de transfer tinde la zero, oscilaţiile poziţiei fiind din ce în ce mai mici.

P r o b l e m e P 1.1. Neglijînd termenii neliniari din ecuaţiile de rată (1.3) ale laserului cu trei niveluri şi ţinînd seama că 21 32 şi 21 31 , determinaţi: a) răspunsul în frecvenţă al densităţii de energie, presupunînd că rata de pompaj evoluează sinusoidal; b) pentru rata de pompaj considerată constantă, calculaţi diferenţa de populaţie N N2 1 şi densitatea de energie E (răspuns staţionarizat). P. 1.2. Un sistem complex este compus din blocuri liniare şi sumatoare, aşa cum este cel din Fig. 1.22. Demonstraţi că sistemul global este liniar. Exprimaţi cele patru răspunsuri în frecvenţă globale care se pot defini (combinînd cîte o ieşire şi o intrare) în funcţie de răspunsurile în frecvenţă ale blocurilor constituente. P 1.3. Calculaţi amplificarea şi impedanţa de intrare în funcţie de frecvenţă (răspuns staţionar) pentru circuitul din Fig. 1.23. P 1.4. Calculaţi aceleaşi funcţii, dar pentru circuitul din Fig. 1.24.

P 1.5. Legaţi în cascadă circuitele precedente, astfel încît cel din Fig. 1.23 să fie la intrare. Calculaţi amplificarea în frecvenţă globală, cu etaj de separare şi fără etaj de separare. P 1.6. Repetaţi problema anterioară cu schimbarea ordinei circuitelor. P 1.7. Circuitul integrat TCA 150T (amplificator audio de putere) are rezistenţa termică între "cip" şi capsulă de 10 oC W şi trebuie să producă o putere utilă pe sarcină de 10 W . Randamentul său este 0 71. , rezistenţa termică totală capsulă-radiator-ambiant este de 25 oC W iar temperatura ambiantă este de 30 oC să se calculeze temperatura la care funcţionează structura internă.

Sistemliniar 1

Sistemliniar 2

Sistemliniar 3

x (t)1

x (t)2

y (t)1

y (t)2

Fig. 1.22. Sistem complex compus din blocuri liniare şi sumatoare.

i1

C

L

1R

2R-

+

1u

-

+2u

1

1

Fig. 1.23. Circuit RLC pentru problema P 1.3.

Capitolul 1 Sisteme şi semnale 33 P 1.8. Repetaţi calculul precedent în ipoteza utilizării circuitului integrat TCA 150K, care are rezistenţa ermică între "cip" şi capsulă de 15 oC W . P 1.9. Pentru un radiator plan din aluminiu, cu suprafaţă neagră, montat vertical, rezistenţa termică faţă de ambiant poate fi calculată cu relaţia

RA d

A dth 280 1 84. ( 0 2C W) cu in cm si in mm .

Considerînd o grosime de 2 mm, dimensionaţi radiatorul utilizat în problmele precedente.

P 1.10. Un semnal are forma din Fig. 1.25. Scrieţi o expresie a sa folosind funcţii treaptă unitare (Heaviside). P 1.11. Utilizînd termeni de produse de funcţii liniare cu funcţii treaptă, reprezentaţi matematic cele trei semnale prezentate în Fig. 1.26. P 1.12. La intrarea unui sistem liniar se aplică semnalul x t( ) , obţinîndu-se la ieşire semnalul y t( ) . Utilizînd liniaritatea sistemului, arătaţi ce semnal apare la ieşire, dacă se aplică la intrare un semnal care este derivata dx t dt( ) a semnalului x t( ) . P 1.13. Rezolvaţi aceeaşi problemă, în condiţiile în care la intrare se aplică un semnal care este integrala semnalului x t( ) .

00 t t 1

a

0

a

0

a

0 t t 1 t 2 0 t t 1 t 2 t 3a) b) c)

Fig. 1.26. Semnale liniar variabile, pentru problema P 1.11.

i1

CL

R-

+1u

-

+

2u

2 2

3

Fig. 1.24. Circuit RLC pentru prblema P 1.4.

0 10 t (ms)0

10

20

Fig. 1.25. Semnal în scară, pentru problema P 1.10.

C a p i t o l u l 2

t

x(t)

0

X( )

F u n c ţ i a d e t r a n s f e r F o u r i e r

A. Funcţia pondere Dacă un semnal de intrare arbitrar este aplicat unui sistem cu parametri concentraţi, semnalul de ieşire se poate obţine prin rezolvarea setului de ecuaţii diferenţiale asociat circuitului. Pentru sistemele care sînt, în plus, liniare şi invariante în timp există, însă, şi o altă cale. Aceasta permite caracterizarea completă a sistemului, prin intermediul unei singure funcţii de variabilă temporală, a cărei analiză conduce la deducerea imediată a unor proprietăţi esenţiale ale sistemului. Să considerăm un semnal de intrare oarecare, reprezentat în Fig. 2.1 a). El poate fi scris cu ajutorul semnalului impuls unitar (funcţia Dirac) decalat, desenat în Fig. 2.1 b), ca un produs de convoluţie:

)(d)()(d)()()( txttttxttttxtx

. (2.1)

Pentru aflarea semnalului de ieşire y t( ) , aplicăm ecuaţiei precedente operatorul asociat sistemului care, datorită liniarităţii sale, comută cu operaţia de integrare

ttttxCtxCty

d)()()()( . (2.2)

t

x(t)

0 tt'

(t-t')

0a) b)

(t)

0 t tt'

(t-t')

0

c) d)tt'0

h(t)

0 t

h(t-t')

Sistem Sistem

impuls Dirac

functia pondere

impulsDirac

impulsDirac

Fig. 2.1. Semnalul aplicat la intrare, semnalul impuls unitar şi funcţia pondere.

Capitolul 2 Funcţia de transfer Fourier 35

Dar operatorul C acţionează numai asupra variabilei de timp t şi, faţă de el, funcţia x t( ) se comportă ca o constantă, ieşind ca factor în afara sa

tttCtxty

d)()()( . (2.3)

Expresia C t t( ) are o semnificaţie evidentă: este răspunsul sistemului la un semnal impuls unitar, aplicat însă cu întîrzierea t (desenul d al Fig. 2.1). Cum sistemul este invariant în timp, acest răspuns nu este altceva decît cel obţinut dacă decalăm cu t răspunsul h t( ) produs de impulsul unitar aplicat la t 0 C t h t C t t h t t ( ) ( ) ; ( ) ( ) , (2.4) impulsul şi răspunsul corespunzător fiind arătate în desenul c al Fig. 2.1). Răspunsul sistemului, h t( ) , la impulsul unitar joacă un rol deosebit în teoria sistemelor liniare şi este numit funcţie pondere sau funcţie caracteristică a sistemului (impulse response în lb. engleză). Din considerente care vor deveni clare în Suplimentul S 2.1, această funcţie poate fi interpretată ca memoria sistemului. Ajungem, în final, la expresia semnalului de ieşire

)(d)()()( thxttthtxty

(2.5)

ca fiind produsul de convoluţie între semnalul de intrare şi funcţia pondere. Astfel, în domeniul timp, putem să calculăm răspunsul la un semnal de intrare oarecare dacă ştim funcţia pondere a sistemului. Această funcţie caracterizează complet comportarea sa dinamică. Observaţie: În teoria semnalelor, tipul variabilei independente se mai numeşte domeniu. Astfel, o funcţie de variabila timp are un domeniu temporal, o funcţie de poziţie are un domeniu spaţial, etc. Ecuaţia anterioară nu este numai o reţetă matematică prin care putem calcula răspunsul sistemului. Ea pune în evidenţă, aşa cum vom vedea în Suplimentul S 2.1, modul concret în care sistemul, pentru a produce răspunsul la un anumit moment de timp, procesează întregul trecut al semnalului de intrare. În acelaşi supliment vom investiga diversele tipuri de memorie pe care le poate prezenta un sistem. Pentru performanţele calculatoarelor moderne, integrarea numerică a ec. (2.5), la diferite momente de timp, este o sarcină extrem de uşoară. Utilizînd programul RESP_1.exe puteţi să vă familiarizaţi cu răspunsul unor tipuri de sisteme întîlnite frecvent la diferite semnale uzuale. Puteţi chiar să vă construiţi propriul semnal arbitrar pe care să-l aplicaţi apoi la intrarea sistemului. Cu toate acestea, ec. (2.5) nu este ceea ce căutam. În primul rînd funcţia pondere nu este direct calculabilă din topologia circuitului (abia după Capitolul 3 vom putea calcula uşor, pe o cale indirectă, această funcţie). Aceasta se întîmplă deoarece formalismul dezvoltat nu exploatează comportarea simplă la semnale sinusoidale a sistemelor de care ne ocupăm. În al doilea rînd formalismul nu este similar cu cel folosit în cazul semnalelor constante. Într-adevăr, nu putem lega simplu amplificarea în curent continuu de funcţia pondere. Dar, cel mai mare inconvenient este acela

36 Mihai P. Dincă, Complemente de electronică

că funcţia pondere a unui sistem, obţinut din legarea în cascadă a două subsisteme, nu se poate obţine simplu din funcţiile pondere ale celor două subsisteme, aşa cum se va vedea în problema P 2.1. Din aceste motive, vom continua să complicăm lucrurile, introducînd în discuţie transformări integrale în care funcţia sinusoidală joacă rolul central.

B. Funcţia de transfer Fourier Dacă semnalul are energia finită

ttx d)(2 (2.6)

se poate defini transformata (imaginea) sa Fourier1 prin

ttxtxFX tj de)()()(

(2.7)

care admite transformarea inversă

de)(21)()( 1

tjXXFtx . (2.8)

Semnalul x t( ) este o funcţie reală de variabila reală timp dar imaginea sa Fourier este o funcţie complexă de variabilă reală aşa cum se vede în exemplul din Fig.2.2.

Re(X)

Im(X)

-1 0 1

-1

0

1Re(X)

Im(X)

frecvente negative

frecvente pozitive

Fig. 2.2. Imaginea Fourier este o funcţie complexă de variabila reală .

Se vede imediat că variabila trebuie să aibă dimensiune de frecvenţă circulară şi va fi numită frecvenţă circulară Fourier sau, pentru comoditate, atunci cînd nu există riscul unei confuzii, frecvenţă Fourier. Este de reţinut că ea are şi valori negative.

1O prezentare detaliată a transformării Fourier, împreună cu aplicaţiile sale, poate fi găsită în A. Papoulis, "The Fourier integral and its applications", McGraw-Hill, New York, 1962.


Transformata Fourier a unui semnal va fi notată sistematic de aici înainte cu aceeaşi literă ca şi semnalul, dar cu majusculă. Ea este o densitate spectrală de amplitudine; dacă semnalul x t( ) se

măsoară, de exemplu, în volţi, atunci imaginea Fourier X ( ) are ca unitate de măsură Vrad s

.

Multe semnale uzuale nu îndeplinesc condiţia de energie finită şi deci nu sînt transformabile Fourier în sensul clasic. Acesta este, de exemplu, cazul semnalelor periodice. Ele au însă transformate Fourier în sensul distribuţiilor2. Cu această extindere, prezentăm în Tabelul 2.1 imaginile Fourier ale unor semnale frecvent folosite.

Tabelul 2.1. Transformatele Fourier ale unor semnale uzuale

Nr. Originalul (definit pe toată axa reală)

Imaginea Fourier

1 A constant 2 A ( ) 2 u t( )

semnalul treaptă unitar (Heaviside)

( ) 1

j

3 ( )t semnal impuls unitar (Dirac) 1

4 sin( )0t j j( ) ( ) 0 0

5 cos( )0t ( ) ( ) 0 0

6 sin t t XX

( )

( )

1

0 1

7 puls dreptunghiular

x t t Tx t t T( )

( )

1

0

2sin( )

T

8 puls triunghiular

x t t T t Tx t t t( )

( )

1

0

4 22

2sin ( )

T

T

9 set de funcţii Dirac egal distanţate

pe axa timpului

( )t kTk

set de functii Dirac egal distanţate pe axa frecvenţei

0 0 0 2( )

m Tm

cu

Utilitatea transformatei Fourier se datorează proprietăţilor sale remarcabile, dintre care cîteva sînt date în Tabelul 2.2. 2Vezi, de exemplu, Veronica Teodorescu , "Matematica 2 Ecuaţiile fizicii matematice", Tipografia Universităţii din Bucureşti, 1980 sau W. Kecs şi P. P. Teodorescu, "Introducere în teoria distribuţiilor cu aplicaţii în tehnică", Ed. Tehnică, Bucureşti, 1975.


Tabelul 2.2. Proprietăţi ale transformatei Fourier

Nr. Proprietatea Originalul Imaginea Fourier

1 liniaritatea x t a x t a x t( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 a X a X1 1 2 2( ) ( )

2 comportarea la oglindirea variabilei funcţie cu valori reale

X XX

( ) ( )( )

0 este real

3 teorema întîrzierii x t( ) e j X ( )

4 teorema derivării în domeniul timp

ddx t

t( ) j X ( )

5 teorema integrării în domeniul timp

t

ttx d)( 1j

X

( )

6 teorema convoluţiei în domeniul timp

tttxtxxx d)()( 2121 X X1 2( ) ( )

7 teorema convoluţiei în domeniul frecvenţă x t x t1 2( ) ( )

d)()(21

21 XX

Temă: Încercaţi să demonstraţi aceste proprietăţi.

Putem, acum, să aplicăm transformarea Fourier ambilor membri ai relaţiei (2.5) şi, utilizînd linia 6 din tabelul precedent, obţinem Y X H( ) ( ) ( ) (2.9) care descrie, în domeniul frecvenţă Fourier, acţiunea sistemului asupra semnalului de intrare. Transformata Fourier a funcţiei pondere H F h t( ) ( ) (2.10) se numeşte funcţie de transfer Fourier şi joacă un rol central în teoria sistemelor liniare. După cum variază funcţia de transfer H ( ) , anumite frecvenţe vor fi favorizate, iar pentru altele contribuţia lui X ( ) va fi diminuată. Operaţia descrisă de relaţia (2.9) poartă numele de filtrare. Avantajul descrierii acţiunii sistemului în domeniul frecvenţă este evident: relaţia (2.9) conţine numai un banal produs de funcţii, pe cînd descrierea în domeniul timp face apel la o integrală de convoluţie. În plus, funcţia de transfer Fourier este raportul între imaginea semnalului de ieşire şi cel de intrare

H YX

( ) ( )( )

, (2.11)


în domeniul timp neexistînd un echivalent al relaţiei (2.11), relaţie care prezintă o similaritate evidentă cu definiţia "primară" a amplificării, ca raport al mărimilor de ieşire şi intrare. Funcţia de transfer H( ) este instrumentul matematic pe care îl căutam. Pentru două sisteme legate în cascadă, se arată imediat că funcţia de transfer globală este produsul celor două funcţii de transfer. Se va vedea, în cele ce urmează, că ea îndeplineşte şi celelalte condiţii. În concluzie, problema determinării răspunsului sistemului la un semnal de intrare arbitrar poate fi rezolvată atît în domeniul timp, cît şi în domeniul frecvenţă Fourier, situaţie reprezentată schematic în Fig. 2.3. Simplitatea procedurii în domeniul frecvenţă (o simplă înmulţire a două funcţii complexe) este plătită cu preţul efectuării a două transformări Fourier, una directă şi una inversă. Totuşi, această cale este preferabilă deoarece: -pentru semnalele uzuale problema transformării Fourier directe este deja rezolvată, nu avem decît să consultăm nişte tabele; -funcţia de transfer se obţine mult mai direct şi mai comod decît funcţia pondere; -datorită liniarităţii, transformarea Fourier inversă înseamnă, de cele mai multe ori, folosirea repetată a tabelelor, pentru fiecare termen simplu al lui Y ( ) . În plus, funcţia de transfer Fourier are o semnificaţie extrem de directă, în legătură cu răspunsul staţionarizat la un semnal sinusoidal. Această semnificaţie reiese imediat, dacă o scriem cu ajutorul modulului şi fazei, sub forma H H j( ) ( ) ( ) e (2.12) şi aplicăm la intrare semnalul cosinusoidal x t t( ) cos( ) 0 0 0 cu . (2.13) Utilizînd linia 5 din Tabelul 2.1 şi ecuaţiile (2.9) şi (2.8), ţinînd seama de proprietatea 2 din Tabelul 2.2, ajungem la y t H t( ) ( ) cos ( ) 0 0 0 (2.14) de unde rezultă că, pentru valori pozitive ale frecvenţei Fourier, funcţia de transfer Fourier este identică cu răspunsul în frecvenţă al sistemului, aşa cum a fost el definit anterior. Cu alte

t

in

rare

esi

i

re

domeniul timp domeniul frecventa

x(t)

y(t)

X( )

Y( )

transformare Fourierdirecta

transformare Fourierinversa

convolutie cu

h(t)functia pondere

multiplicare cufunctia de transfer

H( )H( )h(t)

F

F-1

Fig. 2.3. Calculul răspunsului unui sistem liniar la un semnal de intrare arbitrar.


cuvinte, modulul lui H( ) reprezintă valoarea absolută a amplificării iar faza lui H( ) reprezintă defazajul suplimentar introdus de sistem. Cum funcţia pondere este reală, valorile funcţiei de transfer la frecvenţe negative sînt conjugatele complexe ale valorilor sale de la frecvenţele pozitive. Astfel, pentru valori negative ale frecvenţei, funcţia de transfer nu conţine informaţii suplimentare. Cu toate acestea, vom considera H ( ) definită pe întreaga axă reală, pentru păstrarea simplităţii formalismului. Tot de aici, rezultă că H ( )0 este reală, aşa cum este şi necesar, aceasta fiind amplificarea la curent continuu (semnale constante în timp). Partea reală a funcţiei de transfer este o funcţie pară iar partea imaginară este impară. Cu toate aceste proprietăţi interesante, părtilor reală şi imaginară nu li se poate atribui vreo semnificaţie fizică directă. Modul de calcul al funcţiei de transfer Dacă sistemul de care ne ocupăm este deja descris de un sistem de ecuaţii integro-diferenţiale liniare, cu coeficienţi constanţi, aplicăm transformarea Fourier fiecărei ecuaţii în parte. Pentru servomotorul analizat în Suplimentul S 1.4, unde variabila de intrare este tensiunea electrică aplicată u tm( ) iar cea de ieşire coordonata unghiulară ( )t , sistemul de ecuaţii obţinut este

u t L i t

ti t R K t

t

J tt

K i t B tt

mm

m m

m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dd

dd

dd

dd

1

2

2 2

(2.15)

care, după transformarea Fourier, conduce la un sistem de ecuaţii algebrice

U j LI RI K j

J K I j Bm m m

m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

2

. (2.16)

Prin eliminarea funcţiei Im( ) , se ajunge la funcţia de transfer căutată

HU j

KJL RJ LB j RB K Km

( ) ( )( ) ( )

1 22

1 2. (2.17)

Pentru circuitele electrice, problema este mult mai simplă. Se scriu ecuaţiile circuitului ca în curent continuu, dar utilizînd imaginile Fourier ale curenţilor şi tensiunilor şi

impedanţele complexe ( j L pentru inductor şi 1j C

pentru

condensator) şi apoi în sistemul de ecuaţii obţinut se elimină toate imaginile Fourier cu excepţia celor ale semnalelor de intrare şi ieşire. De exemplu, pentru circuitul din Fig. 2.4, calculăm valoarea intensităţii şi apoi a tensiunii de ieşire, rezultînd funcţia de transfer

H j RCLC j RC

( )

1 2 . (2.18)

C

R

L

u (t)ou (t)i

Fig. 2.4. Circuit RLC.


C. Interpretarea imaginii Fourier a semnalului. Spectrul semnalului Aşa cum am văzut, expresia semnalului x t( ) poate fi obţinută din imaginea sa Fourier prin transformarea inversă

de)(21)( tjXtx

;

scriind imaginea prin modulul şi faza sa X X e j( ) ( ) ( ) şi exploatînd proprietatea sa la trecerea (Tabelul 2.2 linia 2), obţinem

d)(cos2)(0

tXtx , (2.19)

semnalul fiind reconstruit printr-o suprapunere continuă de cosinusoide. Amplitudinea cosinusoidei de la frecvenţa este de două ori mai mare decît modulul imaginii Fourier calculat la această frecvenţă, datorită contribuţiei de la frecvenţa negativă. Vom numi spectru de amplitudine, modulul imaginii Fourier X ( ) , definit pe toată axa reală, deci şi pentru frecvenţe negative; acesta este spectrul bilateral (two side în lb. engleză). În mod corespunzător, ( ) este numit spectru de fază iar X ( ) spectru complex de amplitudine. În aplicaţiile practice, cum numai frecvenţele pozitive au semnificaţie fizică, se lucrează cu spectre monolaterale (one side în lb. engleză); valorile acestora sînt de două ori mai mari decît cele ale spectrelor bilaterale. Densitatea spectrală de amplitudine are o semnificaţie fizică imediată, care permite şi determinarea ei în practică, aşa cum se vede în Fig. 2.5. Astfel, dacă un semnal x t( ) cu imaginea Fourier X ( ) , desenate în Fig. 2.5 a), este aplicat la intrarea unui circuit (filtru) care nu transmite decît o bandă foarte îngustă de frecvenţe în jurul valorii 0 , interval pe care X ( ) nu variază semnificativ, răspunsul obţinut este y t X t( ) ( ) cos ( ) ) 2 0 0 0 sinc( t 2 (2.20) cu notaţia sinc ( ) sin( ) (sinusul cardinal). La limita 0 , lobul principal al funcţiei sinc devine infinit de larg şi răspunsul circuitului este y t X t( ) ( ) cos ( ) 2 0 0 0 , aşa cum se poate vedea în secţiunea b) a figurii citate anterior.

Observaţie: Experimentul descris nu respectă cauzalitatea, semnalul de ieşire apărînd înaintea celui de intrare. De fapt, de aici se poate trage concluzia că un circuit cu o comportare de filtru trece-bandă ideal este nerealizabil. Un filtru realizabil oferă un răspuns care arată ca în Fig. 2.5 c), ce permite şi el determinarea spectrului.

Pentru semnalele de energie finită, o proprietate importantă a transformatei Fourier este dată de teorema Parseval

d)(2d)(d)(21d)(

0

22 EEXttx

(2.21)


unde am ţinut cont şi de comportarea lui X ( ) la frecvenţe negative. Mărimea E ( ) este densitatea spectrală de energie (ESD - energy spectral density, în limba engleză) sau spectrul de energie al semnalului, definit din nou bilateral. Ea este o funcţie pară E E( ) ( ) . La calculul energiei dintr-o anumită bandă de frecvenţă nu trebuie să omitem multiplicarea cu doi datorită contribuţiei frecvenţelor negative.

o

1

0

H( )

0

0

0

0

X( )

0

X( )

o

1

0

H( )

0

b) filtrare trece banda cu filtru ideal

a) semnalul si imaginea sa Fourier

c) filtrare trece banda cu filtru real

0

0

x(t)

x(t) X( )

t 0 o0

y(t)

y(t)

x(t)

y(t)

Fig. 2.5. Semnificaţia fizică a densităţii spectrale de amplitudine. Pentru semnalele de energie infinită, şi integrala din ecuaţia precedentă este infinită dar, dacă ele sînt semnale staţionare, prin împărţirea la durata de timp, se obţine o mărime care nu depinde de timp, densitatea spectrală de putere SP ( ) (PSD - power spectral density, în limba engleză).


Spectrul semnalelor periodice Avînd energie infinită, aceste semnale nu au transformată Fourier în sensul clasic. Există, totuşi, o transformată Fourier în sensul distribuţiilor, ea conţinînd o sumă infinită de impulsuri Dirac. Pornim de la un semnal x t( ) de durată finită mai mică decît T , prezentat în desenul a) al Fig. 2.6. Avînd amplitudinea mărginită, el are energia finită şi, deci, o transformată Fourier în sensul clasic, X ( ) , reprezentată în desenul b); pentru comoditatea reprezentării semnalul a fost ales simetric în jurul lui t 0 şi, în consecinţă, imaginea sa Fourier este reală.

t0

Tx (t)p

t0

x(t)

a)

c)

0

b)

X( )

0

d)

X ( )p 00 = 2 T

1

Fig. 2.6. Spectrul unui semnal periodic. Periodicizăm acum acest semnal, repetîndu-l pe axa temporală cu perioada T şi, corespunzător, frecvenţa unghiulară 0 2 T . Obţinem noul semnal

x t x t kT x t t kT x t t kTpk k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, (2.22)

arătat în desenul c). Transformările expresiei anterioare au exploatat definiţia funcţiei Dirac şi proprietatea sa ca, prin convoluţie, să producă o translaţie pe axa temporală. Suma din ultima expresie este tocmai semnalul din linia 9 a Tabelului 2.1; ţinînd seama că transformarea Fourier trece produsul de convoluţie în produs simplu (teorema convoluţiei în domeniul timp), avem F x t x t F x t F x t1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ; (2.23)


imaginea Fourier a semnalului periodic se obţine în final ca

X X m mpm

( ) ( ) ( )

0 0 0 (2.24)

şi este reprezentată în desenul d) al Fig.2.5. Constatăm, astfel, că: -spectrul complex de amplitudine este discret, fiind constituit dintr-o serie echidistantă de funcţii Dirac (linii spectrale), de arii diferite, situate la frecvenţe multipli întregi ai frecvenţei semnalului periodic; reprezentarea grafică se face prin segmente verticale a căror lungime reprezintă aria funcţiei Dirac respective; -înălţimea acestor linii spectrale (de fapt aria impulsurilor Dirac) este foarte simplu legată de imaginea Fourier a semnalului corespunzător unei singure perioade, şi anume înfăşurătoarea acestor linii este proporţionala cu X ( ) . Semnalul periodic x tp ( ) poate fi reconstruit printr-o sumare discretă de exponenţiale

complexe (serie Fourier)

tjm

mm

tjm

m

m

tjp

eXemXT

emmXtx

000

000

~)(1

d)()(2

)(

(2.25)

coeficienţii Xm constituind spectrul complex al semnalului periodic x tp ( ) . Ei pot fi calculaţi cu

relaţia

T

tjmpm tetx

TX

0

0 d)(1~ . (2.26)

Observaţie: Valoarea acestor coeficienţi diferă cu un factor de 2 de ariile funcţiilor Dirac din imaginea Fourier. Dacă se defineşte transformarea Fourier în frecvenţa f şi nu în frecvenţa circulară , această problemă dispare. Folosind proprietatea de conjugare complexă la trecerea , putem restrînge sumarea numai la frecvenţele pozitive şi relaţia (2.25) poate fi pusă sub forma

x t C C m tp mm

m( ) cos( )

01

0 (2.27)

amplitudinile şi fazele termenilor, fiind date de

C X

C X X mm m m m

0 0

2 0

, , arg( )

. (2.28)


Semnalul este compus dintr-o fundamentală, cu frecvenţa egală cu frecvenţa de repetiţie a semnalului periodic, şi din armonice, avînd frecvenţe egale cu multipli întregi ai fundamentalei. Spectrul de putere (monolateral) se obţine din spectrul de amplitudine prin ridicare la pătrat iar pentru m 0 şi o divizare cu 2

P C X

P C X mm m m

0 02

0

2

2 212

2 0

. (2.29)

Temă: Justificaţi tratarea diferită, în calculul spectrului de putere, a amplitudinii de la frecvenţa nulă. Dacă peste acest semnal se suprapune un alt semnal periodic, cu frecvenţă de repetiţie care nu este un multiplu sau submultiplu întreg al lui 0 , spectrul semnalului sumă, deşi rămîne în continuare discret, nu mai este constituit dintr-o fundamentală şi armonicele sale; noul semnal nu mai este periodic. Acest tip de semnale sînt numite cuasiperiodice. Spectrul semnalelor aleatoare Pentru acest tip de semnale, valoarea medie a unei mărimi instantanee se calculează prin medierea peste toate realizările posibile ale semnalului (aşa cum în experimentul aruncării zarului se efectuează mai multe aruncări cu rezultate diferite, în teoria proceselor aleatoare1 se presupune că putem face experimentul de un număr infinit de ori, obţinînd semnale diferite, numite realizări). Dacă procesul este staţionar (caracteristicile sale statistice nu depind de timp), indiferent la ce moment am face media puterii, am obţine aceeaşi valoare Pmed . Cînd procesul este, în plus, şi ergodic, aceeaşi valoare Pmed se obţine prin medierea pe întreaga axă temporală, pentru oricare din realizări. În legătură cu această putere medie, se introduce densitatea spectrală de putere S ( ) , avînd proprietatea

d)(SPmed . (2.30)

Spre deosebire de cazul semnalelor periodice, pentru semnalele aleatoare spectrul de putere este, deci, continuu. De asemenea, trebuie notat că pentru aceste semnale, densitatea spectrală de putere este singura mărime spectrală care poate fi utilizată, imaginea Fourier a semnalului neputînd fi introdusă nici măcar în sensul distribuţiilor. Ca şi în cazul semnalelor periodice, în aplicaţiile practice se preferă spectrul monolateral (definit numai pentru frecvenţe pozitive) care este de două ori mai mare decît cel introdus de relaţia anterioară. Astfel, puterea conţinută într-un anumit interval spectral se calculează cu

2

1

2

1

OS21 d)(2d)(

SSPmed . (2.31)

1 Cititorul interesat poate consulta, de exemplu, A. Papoulis, "Probability, random variables and stochastic processes", Mac Graw Hill, 1965.


Observaţie: Determeniarea experimentală a mărimilor Pmed şi S ( ) ar implica medierea pe un timp infinit, lucru imposibil de realizat. Valorile care se pot estima cu timp de mediere finit sînt ele însele aleatoare şi sînt împrăstiate statistic în jurul lui Pmed şi, respectiv, S( ) , cu dispersii care cresc cu micşorarea timpului de măsură. D. Exemplu Să luăm un puls rectangular, ca în Fig. 2.7 a). Imaginea sa Fourier, desenată în Fig. 2.7 b) este reală şi egală cu

00

4

42

sinc4Tsinc2

d)(

TteX

T

T

tj . (2.32)

a)

t

x(t)

0-T/4 T/40

1

t00

1x (t)p T

c)

b)-10 -5 0 5 10

0.0

0.5

T

X( )T

d)

-10 -5 0 5 100.0

0.5

ordinul armonicei

X m~

Cm

e)

0 5 100.0

0.5

ordinul armonicei

amplitudine m

f)

0 5 100

ordinul armonicei

faza armonica 1armonicele 1 si 3

primele 101 armoniceg)

Figura 2.6. Puls dreptunghiular (a) şi spectrul său continuu (b); semnal dreptunghiular periodic (c), spectrul său discret (d) şi spectrul monolateral: amplitudinea în e) şi faza în f).

Periodicizăm acum semnalul, cu perioada T , obţinînd un semnal dreptunghiular cu factor de umplere 0.5, ca în Fig. 2.7 c). Conform relaţiei (2.26) spectrul său este dat de


2sinc

21)(

2~

00 mmXX m (2.33)

şi este desenat în Fig. 2.7 d). La frecvenţa zero avem o linie de înălţime 1 2 (media semnalului pe o perioadă) dar la celelalte valori pare ale lui m înălţimea liniilor este nulă. În spectrul semnalului nu există deci armonici pare. Fundamentala are amplitudinea 1 iar armonica impară de ordin n are o amplitudine de n ori mai mică, semnele lor alternînd. Putem trece acum la spectrul monolateral,

C

Cm

m

C m

m m

m

0 00 5 02

0 0

. ,

,

,

, pt. impar

pt. par

(2.34)

reprezentînd amplitudinile şi fazele, ca în Fig. 2.7 e) şi f). Semnalul original poate fi recompus prin însumarea acestor componente. Datorită variaţiilor bruşte ale semnalului, amplitudinea armonicelor nu scade prea rapid cu ordinul lor şi este nevoie să adunăm mulţi termeni pentru a ne apropia de forma semnalului original, aşa cum se poate observa în Fig. 2.7 g). La momentele în care semnalul original are salturi, mărimea eroarii nu se micşorează cu creşterea numărului de armonici adunate; tinde la zero, însă, intervalul de timp pe care apare această eroare (fenomenul Gibbs). Descompunerea în serie Fourier poate fi utilizată pentru calculul efectului unui circuit liniar, cum este filtrul trece-jos din Fig. 2.8 a). Acţiunea filtrului produce înmulţirea spectrului cu funcţia de transfer

Hj c

( )

11

(2.35)

care are modulul şi faza desenate în Fig. 2.8 b) şi c); frecvenţa c este frecvenţa de tăiere a filtrului şi a fost stabilită să fie egală cu frecvenţa de repetiţie a semnalului periodic c 0 . După filtrare, amplitudinile armonicelor devin

Cm m

m

Cm

m

mc

mc

c

2 1

10

2 1

202 2

20

0

pt.

pt. (2.36)

spectrul modificat fiind prezentat în Fig. 2.8 d) şi e). Comparîndul cu spectrul semnalului original din Fig. 2.7 e) şi f), se observă că, pe măsură ce ordinul armonicei creşte, amplitudinile componentelor spectrale sînt diminuate din ce în ce mai puternic, simultan cu întîrzierea lor. Însumarea componentelor filtrate produce, în final, semnalul de la ieşirea filtrului, arătat în Fig. 2.8 f). După filtrare, amplitudinea armonicelor scade mult mai rapid decît în cazul semnalului original şi forma semnalului filtrat se poate reconstrui prin sumarea unui număr mult mai mic de armonice (15 armonice au fost sumate pentru graficul prezentat în figură).


0 5 100.0

0.5

R

H( )=1

1+j c

c = 1RC

0 2 4 6 8 100.0

0.5

1.0 H( )

c

c

0.00 2 4 6 8 10

arg[H( )]

ordinul armonicei

Cm

m

0 100

ordinul armonicei

fazaamplitudinea

00.0

0.5

1.0

t

y(t)

x(t)

Cy(t)

a) filtrul trece-jos b) modulul functiei de transfer c) faza functiei de transfer

d) spectrul de amplitudinedupa filtrare

e) spectrul de fazadupa filtrare

f) semnalul dupa filtrare

Fig. 2.8. Acţiunea unui filtru trece-jos asupra semnalului periodic dreptunghiular.

CONCLUZII i) Răspunsul sistemului la un semnal oarecare se poate calcula, în domeniul timp, prin produsul de convoluţie între semnal şi funcţia pondere a sistemului. ii) De asemenea, răspunsul poate fi calculat prin transformarea Fourier a semnalului de intrare, înmulţirea cu funcţia de transfer Fourier şi transformarea Fourier inversă. Funcţia de transfer Fourier este imaginea Fourier a funcţiei pondere. iii) Funncţia de transfer Fourier este identică cu răspunsul în frecvenţă pentru frecvenţe pozitive iar, pentru frecvenţe negative, are valori conjugate celor de la frecvenţe pozitive. iv) Pentru circuite electrice, funcţia de transfer Fourier poate fi dedusă direct din analiza circuitului, lucrînd cu imaginile Fourier ale curenţilor şi tensiunilor şi cu impedanţe complexe.


Supliment S 2.1. Proprietăţi ale funcţiei pondere Încercăm să dăm o interpretare sugestivă produsului de convoluţie prin care se calculează răspunsul unui sistem liniar la un semnal de intrare arbitrar (Fig. 2.9 a). Alegem un moment particular de timp la care să calculăm răspunsul sistemului, conform ecuaţiei (2.5)

tthtxy d)()()(

.

Graficul funcţiei h t( ) se obţine din cel al funcţiei pondere h t( ) prin oglindire în raport cu axa ordonatei şi apoi decalare cu (desenul c) din figura citată) iar integrala poate fi interpretată ca aria curbei determinată de produsul funcţiilor x t( ) şi h t( ) (desenul d) din aceeaşi figură). La trecerea timpului, graficul curbei h t( ) avansează spre dreapta, modificînd continuu forma funcţiei produs şi, implicit, aria care este egală cu valoarea răspunsului. Utilizînd programul RESP_1.exe puteţi vedea o animaţie a acestui proces, pentru diferite sisteme şi semnale de intrare. Putem acum interpreta calculul răspunsului la momentul ca o însumare a valorilor semnalului de intrare întinsă pe momentele anterioare, sumare care se face cu o anumită pondere, determinată de funcţia h t( ) . Contribuţia valorii semnalului de intrare la un moment dat din trecut este ponderată de valoarea corespunzătoare a lui h t( ) . Cu alte cuvinte, sistemul are memorie şi această memorie este selectivă. În exemplul prezentat în figură, cu cît un moment este mai îndepărtat în trecut cu atît importanţa sa este mai mică. Dacă h t( ) ar avea valori nenule pentru t 0, atunci valoarea răspunsului la momentul ar depinde de valorile din viitor ale semnalului de intrare, încălcînd astfel cauzalitatea. Din acest motiv sistemele fizic realizabile au funcţii pondere identic nule pentru t 0, adică funcţiile lor pondere sînt cauzale. Dacă sistemul este şi stabil, atunci pentru el se poate defini răspunsul în frecvenţă. Am văzut că acesta este identic cu funcţia de transfer Fourier, care există, (în sensul clasic, nu al distribuţiilor) dacă funcţia pondere este integrabilă în modul pătrat. Ajungem, astfel, la concluzia că dacă funcţia pondere scade suficient de rapid cu timpul astfel încît

0

2)( dtth , (2.37)

b)

e)

t

x(t)

0

t0

h( -t)

h(t)

0 t

aria=y( )

t

y(t)

0

x(t)h( -t)

t0

a)

c)

d)

trecut viitor

Fig.2.8. Interpretarea geometrică a calculului răspunsului în domeniul timp.


atunci sistemul este stabil. O altă proprietate interesantă se obţine dacă scriem formula de calcul a funcţiei de transfer Fourier pentru 0

0

0 )()()0( dtthdtethHH tjDC . (2.38)

Amplificarea sistemului la curent continuu este, simplu, aria totală de sub curba funcţiei pondere. Observaţie: Utilizînd programul RESP_1.exe puteţi urmări în timp evoluţia ariei care determină răspunsul sistemului pentru diferite funcţii pondere şi semnale de intrare. Încercaţi să verificaţi, astfel, toate afirmaţiile din acest supliment.. Tratarea momentului prezent În exemplul din figura anterioară, funcţia pondere este una în sens clasic. Pentru a pune în evidenţă modul cum răspunde sistemul la momentul "prezent", să aplicăm la intrare un semnal treaptă. Deşi semnalul de intare are un salt brusc la t 0 , semnalul de ieşire nu are discontinuităţi "aria" y t( ) crescînd continuu cu timpul. Sistemul nu răspunde imediat, el are un timp de răspuns care nu este nul. Pentru alte sisteme, cum este filtrul trece-sus din Fig. 2.9 a), funcţia pondere conţine şi un termen care este un impuls Dirac centrat în origine, aşa cum se vede în desenul b) al figurii. La efectuarea convoluţiei, acest termen produce în semnalul de ieşire un termen proporţional la orice moment de timp cu semnalul de intrare. Acest tip de sisteme răspund instantaneu la valoarea actuală a semnalului, timpul lor de răspuns fiind astfel nul. În mod riguros, astfel de comportări sînt nerealizabile practic. Cu toate acestea vom utiliza această idealizare, sistemul răspunzînd practic instantaneu pentru scara de timp la care se urmăreşte experimentul, scară de timp în acord cu frecvenţele la care mai putem considera circuitul ca avînd parametri concentraţi. În afara impulsului Dirac, funcţia pondere a filtrului trece-sus mai conţine un termen exponenţial care mediază trecutul semnalului de intrare. }i acest sistem are, deci, memorie. Să presupunem acum că avem un sistem fără memorie, a cărui funcţie pondere conţine numai un impuls Dirac h t A t( ) ( ) ; (2.39) atunci, pentru orice semnal de intrare x t( ) , se obţine un semnal de ieşire y t Ax t( ) ( ) (2.40)

Rx(t) C y(t)

a)

impuls Dirac

b)

0t

h(t)

c)

0t

h(t)

d)

0t

h(t)

Fig. 2.9. Diferite tipuri de funcţii pondere.


identic ca formă cu cel de intrare. Sistemele liniare fără memorie nu distorsionează, deci, nici un fel de semnal. Căutînd în Tabelul 2.1, obţinem ce funcţie de transfer Fourier ar trebui să aibă un asemenea sistem fără memorie H A( ) , (2.41) adică amplificarea trebuie să fie constantă iar faza 0 sau la orice frecvenţă. Un astfel de sistem este, cu aproximatie, divizorul rezistiv, folosit la frecvenţe la care capacităţile parazite se pot neglija. De asemenea, un amplificator de bandă largă (începînd de la DC) este şi el, aproximativ, un sistem fără memorie, cînd este utilizat la frecvenţe mult sub frecvenţa de tăiere. Tratarea trecutului îndepărtat; tipuri de memorie a) Stabilitatea înseamnă uitare Funcţiile pondere din Fig. 2.8 şi 2.9 a) tindeau la 0 pentru t . Momentele foarte îndepărtate erau practic uitate şi, dacă semnalul de intrare dispare de la un moment dat, semnalul de ieşire revine asimptotic la zero. Sistemul este stabil. O verificare şi mai dură a stabilităţii se face cu un semnal de intrare care nu se stinge dar rămîne mărginit, semnalul de ieşire trebuind să rămînă şi el mărginit. Un astfel de semnal de test este semnalul treaptă. Pentru ca sistemul să fie stabil rezultă, astfel, că este necesar ca aria de sub curba funcţiei pondere să fie finită, condiţie îndeplinită automat dacă h t( ) este integrabilă în modul pătrat. b) Sisteme care nu uită nimic Există sisteme care au în funcţia pondere un termen sinusoidal de amplitudine constantă, ca în Fig. 2.9 c). Cu alte cuvinte, memoria lor este periodică, dar sistemele nu uită niciodată un semnal aplicat vreodată la intrare. Chiar dacă semnalul de la intrare dispare apoi complet, semnalul de la ieşire nu se mai stinge, sistemul amintindu-şi periodic valorile nenule ale semnalului de intrare. Avem de-a face cu un sistem la limita intrării în oscilaţie, care produce un semnal la ieşire în absenţa vreunui semnal la intrare. Este, însă, nevoie de un "puls" pentru iniţierea oscilaţiei. În practică, acest rol îl joacă zgomotul (todeauna prezent !) sau perturbaţiile parazite, în special cele care apar la conectarea alimentării. Semnalul de ieşire este sinusoidal şi de amplitudine constantă (nu încercaţi să demonstraţi, este prea dificil în acest formalism), oscilatorul fiind la limita intrării în oscilaţie. c) Memoria "obsesivă": oscilaţii care cresc nemărginit Pentru alte sisteme, funcţia pondere conţine un termen care creşte nemărginit (exponenţial sau sinusoidal cu amplitudinea crescînd exponenţial), aşa cum se vede în Fig. 2.9 d).. Memoria lor este, într-un anumit fel, obsesivă: cu cît un moment este mai îndepărtat în trecut, cu atît el apare mai important. După aplicarea pulsului de iniţiere, semnalul de ieşire creşte nemărginit, avînd acelaşi tip de comprtare ca termenul respectiv din funcţia pondere. Circuitul este instabil. Pentru un sistem real, nu poate exista însă un semnal de ieşire nemărginit. La valori mari ale acestui semnal, sistemul înceteaază să se mai comporte liniar şi nu mai este tratabil cu formalismul dezvoltat de noi. Sinusoida de la ieşire începe să fie distorsionată, uneori semnalul devenind practic dreptunghiular.


Supliment S 2.2. Modulaţia de amplitudine Semnalul sinusoidal pur conţine extrem de puţină informaţie: amplitudinea, frecvenţa şi faza iniţială. Pentru transmiterea unei cantităţi mai mare de informaţie, este nevoie de semnale mult mai complicate. Să presupunem că avem un semnal x t A tp p p( ) cos( ) (2.42) care va juca rolul de purtătoare, şi un semnal x ti ( ) care conţine informaţia utilă şi pe care îl vom considera de energie finită, astfel încît să aibă o imagine Fourier Xi ( ) în sens clasic.

t

x (t)p

t

x (t)i

t

x (t)mod

pp 0

X ( )p

0

valori complex conjugate

0

iX ( )

pp 0

X ( )mod

p

valori complex conjugatein benzile laterale

semnal purtator spectrul semnalului purtator

semnal modulator spectrul semnalului modulator detaliu

semnal modulat in amplitudine spectrul semnalului modulatdetaliu

Fig. 2.10. Modulaţia de amplitudine. Amplitudinea purtătoarei este modulată de semnalul x ti ( ), în aşa fel încît semnalul modulat are expresia x t A t x tp p imod ( ) cos( ) ( ) 1 , (2.43) unde este indicele de modulaţie, pozitiv şi subunitar (Fig. 2.10). Ne interesează spectrul acestui semnal. Facem apel la liniaritatea transformării Fourier şi la teorema convoluţiei în domeniul frecvenţă (ultima linie din Tabelul 2.2), X X X Xp i pmod ( ) ( ) ( ) , (2.44)


obţinînd în final

X X Xp p i p i pmod ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 2

. (2.45)

În afara celor două linii spectrale ale semnalului purtător, modulaţia a creat doi termeni noi, care sînt replici ale spectrului semnalului modulator, centrîndu-i la p şi p . Dacă lărgimea spectrală a semnalului modulator este mai mică decît frecvenţa purtătoarei, atunci termenii nou creaţi nu se suprapun şi există posibilitatea ca ei să fie separaţi ulterior, reconstruind semnalul modulator.. Observaţie: Convoluţia unei funcţii oarecare cu o funcţie Dirac determină translatarea funcţiei respective pe axa variabilei astfel încît "originea" este adusă la poziţia unde exista funcţia Dirac. Semnificaţie fizică au numai frecvenţele pozitive, aşa că ne concentrăm atenţia numai asupra replicii centrate la p . În primul rînd, observăm că informaţia, care era conţinută într-un semnal compus din frecvenţe joase, a fost translatată la frecvenţe înalte. Apare, astfel, posibilă transmiterea ei prin unde electromagnetice cu lungime de undă convenabilă. Acesta este cazul transmisiei radio cu modulaţie de amplitudine clasică (AM - amplitude modulation). În al doilea rînd, în spectrul semnalului modulat continuă să existe componenta corespunzătoare purtătoarei, care nu conţine informaţie dar "consumă" o mare cantitate de energie. Această componentă poate fi eliminată prin filtrare înainte de emisie, conducînd la transmisia cu purtătoarea suprimată (DSBSC - double side band supressed carrier). În al treilea rînd, deoarece semnalul x ti ( ) este real, spectrul său are, de o parte şi alta a frecvenţei nule, valori complex conjugate. Astfel, spectrul semnalului modulat are aceeaşi proprietate, dar proprietatea este relativă la frecvenţa p . Cu alte cuvinte, avem de o parte şi alta a frecvenţei p două benzi laterale care conţin aceeaşi informaţie. Pentru a economisi şi mai mult puterea emisă, una din cele două benzi poate fi suprimată, ajungîndu-se la transmisia cu bandă laterală unică, (BLU în limba română, SSB - single side band în limba engleză). Să presupunem, acum, că semnalul modulator x ti ( ) este şi el sinusoidal x t ti ( ) cos( ) 0 cu frecvenţa mult mai mică decît purtătoarea 0 p , ca în Fig. 2.11. În spectrul semnalului modulat regăsim liniile spectrale originale ale purtătoarei, de înălţime , situate la p şi p. În jurul acestor frecvenţe apar acum, simetric, în locul benzilor laterale, cîte două linii spectrale de înălţime 2 . Restrîngînd discuţia la frecvenţele pozitive, avem, în afara purtătoarei, două componente noi, de frecvenţe p 0 şi p 0. Acest efect este larg utilizat la sintetizoarele de frecvenţă, în acest caz frecvenţa p fiind mult mai mare decît 0 . Din această cauză, stabilitatea frecvenţei sintetizate este determinată în principal de cea a lui p , care fiind fixă, se poate obţine de la un oscilator cu cuarţ. Acelaşi principiu se utilizează şi în optoelectronică, pentru variaţia fină a lungimii de undă (frecvenţei) unei radiaţii laser, în jurul unei valori foarte bine stabilizate prin compararea radiaţiei emise de dioda laser cu o linie de absorbţie atomică. Modulaţia se face fie cu un modulator acusto-optic (metoda utilizabilă la orice tip de laser), fie prin modularea curentului de alimentare a diodei laser.


t

t

x (t)p

x (t)m

pp 0

X ( )p

t

x (t)iiX ( )

00 0

p 0

X ( )m

p

pp p+-0 0

Fig. 2.11. Modulaţia în amplitudine cu semnal sinusoidal.

Pentru un mediu optic neliniar, al cărui răspuns poate fi scris aproximativ (prin dezvoltare în serie) ca y t Ax t Bx t( ) ( ) ( ) 2 , (2.46) excitarea simultană cu două radiaţii optice de frecvenţe 1 şi 2 produce un răspuns care conţine în plus radiaţii cu frecvenţele 2 1 , 2 2 , 1 2 şi 1 2 . Pornind de la radiaţii laser cu lungime de undă comod de obţinut, se ajunge, astfel, la alte lungimi de undă interesante pentru experimentatori. În particular, cu o singură radiaţie de excitare, se poate realiza dublarea frecvenţei acestei radiaţii. O altă aplicaţie a modulaţiei de amplitudine este întîlnită în prelucrarea semnalelor electrice slabe, constante sau lent variabile în timp, caz în care zgomotul suplimentar adăugat de preamplificatoare este extrem de important. Densitatea spectrală de putere a zgomotului creşte spre frecvenţa nulă ca 1 (zgomot de tip flicker) şi tocmai acolo este concentrată şi informaţia utilă. Pentru a evita înecarea sa în zgomot, semnalul este multiplicat înaintea prelucrării cu o funcţie sinusoidală, translatîndu-i-se astfel spectrul în jurul unei frecvenţe unde zgomotul flicker este neglijabil. Această multiplicare a semnalului se numeşte choppare (prin forţarea termenului englezesc chopping, în terminologia de limbă româna neimpunîndu-se alt termen echivalent) şi este utilizată extrem de des în fizica experimentală. De fapt, în practică, multiplicarea nu se face cu o funcţie sinusoidală, ci cu una rectangulară, cu factor de umplere 0.5 şi valoarea palierului inferior egală cu zero, aşa cum este cea de la exemplul analizat în acest capitol (Fig. 2.7 c). Cu alte cuvinte, semnalul este întrerupt periodic, ceea ce justifică şi terminologia din limba engleză (chopper înseamnă satîr). Problema P 2.7 îşi propune calcularea spectrului semnalului choppat, pentru această situaţie reală. Observaţie: Pentru a putea fi compact reprezentate grafic, în cele două figuri precedente imaginile Fourier au fost considerate reale. Acest lucru nu restrînge generalitatea afirmaţiilor. Pentru imagini complexe, partea reală a imaginii Fourier se comportă exact ca în desene, partea


imaginară avînd valori opuse acolo unde valorile imaginilor sînt complex conjugate. Încercaţi să desenaţi comportarea părţii imaginare.

Supliment S 2.3. Analiza spectrală în condiţii reale Prin analiză spectrală se înţelege obţinerea spectrului Fourier (de amplitudine şi/sau putere) pentru un semnal dat, de cele mai multe ori obţinut într-un experiment. Aparatul care realizează această operaţie se numeşte analizor de spectru. Există trei căi majore de abordare: -filtrarea analogică a semnalului, cu un filtru trece bandă îngust, a cărui frecvenţă centrală poate fi modificată, manual sau automat; -convertirea semnalului într-o secvenţă de numere (eşantionarea şi digitizarea sa) şi apoi filtrarea sa digitală; -digitizarea semnalului şi apoi calcularea transformatei sale Fourier prin formula de definiţie (2.7). Abordăm, mai întîi, primele două metode. Ele se bazează pe utilizarea unui filtru trece-bandă a cărui frecvenţă centrală este deplasată succesiv, măsurîndu-se amplitudinea sau puterea transmise la fiecare frecvenţă. a) Efectul benzii de analiză finite Dacă aplicăm la intrarea analizorului un semnal sinusoidal ideal (aşa cum a fost considerat pînă acum) ne-am aştepta să ridicăm un spectru format dintr-o funcţie Dirac (în sfîrşit am vedea şi noi o functie Dirac !). De fapt, prin defilarea prin spectru a benzii de trecere a filtrului, datorită lărgimii sale nenule, linia unică a semnalului (infinit de îngustă) este "văzută" la toate frecvenţele din ferestra spectrală. Spectrul măsurat este, de fapt, imaginea ferestrei spectrale a analizorului. Dacă semnalul este compus din două sinusoide ideale, situate la frecvenţe diferite, atunci în spectrul măsurat vor apărea două imagini ale ferestrei spectrale, centrate la frecvenţele celor două sinusoide, aşa cum se vede în Fig. 2.12 a). Aceste imagini vor putea fi, însă, discriminate numai dacă lărgimea ferestrei este (mult) mai mică decît diferenţa între frecvenţele sinusoidelor. Astfel, analizorul are o rezoluţie spectrală limitată, stabilită de lărgimea ferestrei sale spectrale. b) Efectul formei ferestrei spectrale Un filtru trece bandă care să ofere o fereastră spectrală rectangulară nu este realizabil (vezi discuţia de la secţiunea C a acestui capitol). Din această cauză, amplitudinea semnalelor care trebuie discriminate devine extrem de importantă. Astfel, dacă unul din ele este foarte mic în comparaţie cu celălalt şi imaginea ferestrei spectrale produsă de el va fi, proporţional, mai mică, putînd fi mascată de extremitatea imaginii produse de celălalt, chiar dacă ele sînt distanţate spectral mai mult decît rezoluţia analizorului (Fig. 2.12 b). Este esenţial, deci, ca flancurile ferestrei spectrale a analizorului să fie cît mai abrupte. Însăşi definirea cantitativă a rezoluţiei se face prin alegerea unui nivel la care se măsoară lărgimea ferestrei spectrale (de exemplu, la 60 dB sub valoarea maximă) c) Durata de timp necesară pentru analiză Atît pentru filtrele analogice cît şi pentru cele digitale, semnalul de la ieşire nu se staţionarizează imediat la începerea aplicării unui semnal staţionar (periodic sau zgomot). Durata de timp necesară măsurării este de ordinul de mărime a inversului benzii de analiză, exprimată în Hz T B Bobs f 1 2 . (2.47)


Creşterea rezoluţiei spectrale, prin utilizarea unui filtru cu bandă de trecere mai îngustă, necesită întodeauna prelungirea timpului de efectuare a experimentului, conform relaţiei precedente.

a)

b)

Tobs

t

w(t)

t

c)-10 -5 0 5 10

0.0

1.0

Tobs

W( )

d)

e)

g)

-10 -5 0 5 10-80

-60

-40

-20

0

-10 -5 0 5 10-80

-60

-40

-20

0dB dB

w(t) Tobs

f)

-10 -5 0 5 100.0

1.0

Tobs

W( )

Tobs

Tobs

Fig. 2.12. Efectul benzii de analiză finite (a şi b), fereastra temporală rectangulară (c) şi imaginea sa Fourier (d), fereastra temporală Hanning (e) şi imaginea sa Fourier, comparaţie între imaginile

Fourier ale celor două ferestre temporale (g).


c) Efectul duratei de timp finite a experimentului Dacă pentru primele două metode, rezoluţia spectrală este limitată de posibilitatea realizării unor filtre cu banda de trecere îngustă, s-ar părea că a treia metodă nu suferă de acest impediment, integrala Fourier conducînd la densitatea de amplitudine cu o rezoluţie infinită. Aceasta ar fi situaţia dacă s-ar integra pe întregul domeniul al axei timpului. Semnalul măsurat are însă extindere temporală finită, de durată Tobs , şi poate fi privit ca un produs dintre sinusoida de durată infinită şi o fereastră temporală rectangulară, pe care o presupunem, pentru simplificarea calculului, aşezată simetric în jurul originii (Fig. 2.12 c). Imaginea Fourier a semnalului măsurat se poate obţine, deci, printr-un produs de convoluţie şi este

XT Tobs obs( )

sin ( )( )

sin ( )( )

22

220

0

0

0. (2.48)

În condiţiile în care timpul de măsurare nu este mult mai mare decît perioada semnalului, cei doi termeni se suprapun şi lărgesc foarte mult maximul. Presupunem că am evitat acest lucru şi, practic, la frecvenţe pozitive termenul al doilea nu contează. Spectrul de amplitudine obţinut nu este o funcţie Dirac ci o linie cu un lob principal şi o infinitate de lobi laterali avînd forma din Fig. 2.12 d). Lărgimea lobului central (măsurată între cele două puncte de anulare) este de 2 Tobs aşa că rezoluţia spectrală (în unităţi de frecvenţă şi nu de frecvenţă circulară) este din nou de ordinul de mărime 1 Tobs . Dacă semnalul ce trebuie analizat are mai multe componente spectrale, întreaga sa imagine spectrală este convolutată cu funcţia din relaţia precedentă, rezultînd un amestec al informaţiei ce face imposibilă decelarea liniilor mai apropiate decît lărgimea lobului central. Înălţimea lobilor laterali poate constitui o problemă, aşa cum am văzut, dacă se încearcă discriminarea unor semnale de amplitudini mult diferite. În acest caz, semnalul temporal ce trebuie analizat este multiplicat cu ferestre de alte forme, care produc lobi laterali mai coborîţi, cu preţul lărgirii lobului central. O astfel de fereastră este fereastra Hanning (numită aşa după von Hann, care a utilizat-o prima dată în analiza datelor meteorologice)

rest in0)(

,02cos1)(

tw

TtT

ttw obsobs

(2.49)

reprezentată în Fig. 2.12 e). Imaginea sa Fourier este desenată în Fig. 2.12 f), unde se poate observa lărgirea lobului principal, simultan cu reducerea înălţimii lobilor secundari. În desenul g) al aceleiaşi figuri au fost reprezentate, pentru comparaţie, în scară logaritmică, imaginile Fourier ale ferestrelor temporale rectangulară şi Hanning. Alegerea uneia sau alteia se face în funcţie de componenţa spectrală a semnalului ce trebuie analizat. În Fig. 2.13 sînt prezentate rezultatele obţinute cu un analizor de spectru, în cazul aplicării la intrare a unei sinusoide. Analiza a fost efectuată cu fereastră dreptunghiulară (a) şi cu fereastră Hanning (b). d) Efectul zgomotelor de amplitudine şi de fază Chiar dacă am avea un analizor de spectru ideal şi experimentul ar dura infinit de mult, tot nu am găsi în spectrul măsurat o simplă funcţie Dirac. Aceasta întrucît oscilatorul care produce semnalul sinusoidal nu este perfect. Amplitudinea semnalului generat nu va fi riguros constantă ci va fi modulată cu zgomot. Spectrul de putere al zgomotului este mare la frecvenţe foarte apropiate de zero şi scade, datorită filtrărilor, la frecvenţe ridicate. Acest spectru este unul continuu şi, aşa cum am văzut în suplimentul precedent, determină apariţia unor benzi laterale în jurul frecvenţei


nominale a semnalului. Se poate arăta că şi fluctuaţiile întîmplătoare ale fazei semnalului (zgomotul de fază) produc benzi laterale în spectrul semnalului real.

Fig. 2.13 a) Spectrul obţinut cu un analizor pentru o sinusoidă trunchiată cu fereastră rectangulară; frecvenţa este reprezentată în scară liniară iar amplitudinea în scară logaritmică (dB).

Fig. 2.13 b) Spectrul obţinut cu un analizor pentru o sinusoidă trunchiată cu fereastră Hanning; frecvenţa este reprezentată în scară liniară iar amplitudinea în scară logaritmică (dB).

Supliment S 2.4. Teorema eşantionării; transformarea Fourier digitală

Dezvoltarea explozivă a electronicii digitale a făcut posibilă procesarea digitală (numerică) a semnalelor. Mai întîi, semnalul analogic x t( ) este eşantionat cu o frecvenţă fes , reţinîndu-se numai valorile semnalului la momente separate între ele cu T fes es1 . Apoi, aceste mărimi analogice sînt convertite prin digitizare (conversie analog-numerică) într-o secvenţă de numere reale xk (vezi Fig. 2.14 a) x x kTk es ( ). (2.50) Este clar că, nemaiavînd o funcţie de o variabilă continuă, nu putem efectua integrala din definiţia transformatei Fourier. Introducem o altă transformare, prin intermediul unei sume infinite

X T x j kTd es kk

es( ) exp( )

; (2.51)

care se numeşte transformare Fourier cu timpul discretizat (DTFT - discret time Fourier transform). Din relaţia precedentă rezultă imediat că noua transformată este periodică, valorile sale repetîndu-se cu perioada es . Temă: Demonstraţi această afirmaţie.


esantionare digitizare 1.5; -2.2; 3.1; -3.6; 3.8; -3.5

x(t)X( )

0 maxmax-

functii Dirac

Tes

x (t)d

-3 -2 -1 0 1 2 3esT

t

w(t)

a)

b)

c)

d)

e)

es max>2

0 maxmax-

esX ( )d

W( )

0 es/2es/2-

X( )

0es/2es/2-

0

X ( )d

es/2es/2-

t t

Fig. 2.14. Eşantionarea unui semnal analogic şi relaţiile între spectre.


Deoarece numerele xk sînt reale, avem în plus proprietatea X Xd d( ) ( ) . Astfel, întreaga informaţie conţinută de Xd ( ) se găseşte între 0 şi es 2. Căutăm legătura între această transformată şi cea a semnalului analogic, definită prin

ttjtxX d)exp()()(

semnalul şi imaginea sa Fourier fiind desenate în Fig. 2.14 b. Pentru aceasta, scriem pe Xd ( ) ca o transformată Fourier prin integrală, dar a unui alt semnal x td ( ) definit formal pe toată axa temprală

x t T x t t kTd es esk

( ) ( ) ( )

, (2.52)

desenat în Fig.2.14 c). Putem aplica, astfel, teorema convoluţiei în domeniul frecvenţă (linia 7 a tabelului 2.2) şi, utilizînd linia 9 din Tabelul 2.1, obţinem

X X m Tdm

es( ) ( ) ( )

. (2.53)

Ţinînd seama că prin convoluţia unei funcţii X ( ) cu funcţia Dirac centrată la o anumită frecvenţă c se obţine vechea funcţie deplasată cu originea la c

)(d)()()()()( ccc XXX

(2.54)

obţinem în final că

X X md esm

( ) ( )

. (2.55)

Putem construi deci funcţia Xd ( ) periodicizînd cu perioada es funcţia X ( ) şi adunînd toate aceste contribuţii, ca în desenul c) al figurii. Dacă spectrul X ( ) are extindere finită X ( ) max 0 pentru şi dacă es 2 max , atunci diferitele contribuţii nu se suprapun. Această lipsă de suprapunere permite operaţia inversă şi anume deducerea spectrului X ( ) al semnalului analogic din spectrul Xd ( ) al semnalului eşantionat, prin trunchierea lui, echivalentă cu multiplicarea cu o fereastră spectrală rectangulară, prezentată în desenul d) al figurii citate,

W ( )

10 pentru -

in restes es. (2.56)


Operaţia de multiplicare în domeniul frecvenţă X X Wd( ) ( ) ( ) (2.57) este echivalentă, însă, cu un produs de convoluţie în domeniul timp x t x w td( ) ( ) (2.58) unde w t( ) este transformata Fourier inversă a ferestrei rectangulare, prezentată şi ea în desenul d). Obţinem, în final, formula de interpolare

x t xt T m

t T mmm

es

es( )

sin ( )( )

. (2.59)

Astfel, cu condiţia ca frecvenţa de eşantionare să fie mai mare sau egală decît dublul frecvenţei maxime conţinute, semnalul x t( ) poate fi reconstruit la orice moment de timp, dacă ştim toate valorile sale eşantionate. Prin eşantionare s-a păstrat întreaga informaţie conţinută în semnalul x t( ). Acest rezultat constituie teorema eşantionării. Să vedem ce efect ar avea nerespectarea condiţiei din teorema eşantionării. Presupunem că semnalul analogic x t( ) are un spectru continuu care nu conţine componente cu frecvenţe mai mari decît es 2 dar are, în plus, o componentă sinusoidală cu frecvenţa es 2 , puţin mai mare decît frecvenţa maximă permisă, ca în Fig. 2.14 e). Prin periodicizarea spectrului, linia de la această frecvenţă se suprapune peste perioada adiacentă, ca şi cum semnalul analogic ar fi avut o componentă de frecvenţă es 2 . Acest fenomen de "amestec" al frecvenţelor (aliasing în limba engleză) nu mai permite reconstrucţia semnalului analogic din valorile sale eşantionate şi nici aflarea spectrului său X ( ) prin procesarea digitală a secvenţei de numere xk . Îndeplinirea în practică a condiţiei impuse de teorema eşantionării se realizează prin filtrarea prealabilă trece-jos a semnalului (filtrare anti-aliasing); caracteristicile spectrale ale acestor filtre trebuie să aibă flancurile foarte abrupte. Semnalul temporal considerat anterior a fost unul de energie finită. Pentru unul periodic de perioadă T (şi, corespunzător, de frecvenţă circulară 0 ), ca cel din Fig. 2.15 a), imaginea sa Fourier este o sumă de funcţii Dirac, situate la frecvenţele m 0, cu m întreg, aşa cum se vede în desenul b) al aceleiaşi figuri. Conform celor arătate în acest capitol, amplitudinile armonicelor sînt date de

T

tjmm tetx

TX

0

0 d)(1 . (2.60)

Să presupunem că peste un anumit ordin mmax armonicele sînt nule (în exemplul din figură mmax 4) şi să eşantionăm semnalul cu o frecvenţă mai mare decît 2 0mmax , pentru a respecta condiţiile teoremei eşantionării (Fig. 2.15 c). În plus, frecvenţa de eşantionare este un multiplu al frecvenţei de repetiţie a semnalului


es N 0 (2.61) astfel că, pentru o perioadă, obţinem N eşantioane, la momentele de timp t kT k Nk es cu 0 1 1, ,..., (2.62) (pentru exemplul din figură N 10).

T

semnal periodic de durata infinitaesantionat cu perioada Tes

0 1 2 3 4 0

es

spectru de linii (functii Dirac) periodic cu extindere infinita

T

semnal periodic de durata infinita

a)

spectrul sau de linii (functii Dirac)

b)

d)c)

5e)

detaliu

Fig. 2.15. Transformarea Fourier digitală (DFT). Aşa cum am văzut, eşantionarea poate fi modelată prin înlocuirea semnalului original, pe toată axa temporală, cu un set de funcţii Dirac, situate la momente distanţate cu Tes şi de arii egale cu valoarea semnalului în momentul respectiv, înmulţită cu Tes . Pentru noul semnal, imaginea Fourier se obţine prin periodicizarea vechii imaginii Fourier cu perioada es . Spectrul, reprezentat în desenul d) al figurii 2.15, este acum format tot din linii distanţate cu 0 (armonicele), dar se repetă periodic, într-o perioadă fiind exact N linii situate la m m m N 0 0 1 1cu , ,..., . (2.63)


Amplitudinea lor se calculează cu relaţia (2.60), care, datorită funcţiilor Dirac de pe axa temporală, trece într-o sumă

X TT

x eN

x emes

kk

Njm kT

kk

Njmk Nes

0

1

0

120 1 . (2.64)

Cum semnalul x t( ) este real, spectrul din Fig. 2.15 b) are valori complex conjugate de o parte şi alta a frecvenţei 0. Din această cauză, din cele N valori date de relaţia precedentă, au relevanţă numai prima jumătate, de la N 2 în sus regăsind valorile conjugate ale primelor. Pentru exemplul nostru au relevanţă numai primele cinci valori, dintre care armonicele de ordin 0 şi 5 sînt nule (desenul e al figurii). Se poate arăta că şi valorile eşantionate ale semnalului x t( ) pot fi obţinute din înălţimea liniilor spectrale, prin relaţia inversă

x X ek mjmk N

m

N

2

0

1 . (2.65)

Perechea de relaţii (2.64-65) defineşte transformarea Fourier digitală (DFT - digital Fourier transform) în N puncte. Trebuie menţionat că ea este introdusă pentru semnale periodice eşantionate; spectrele lor sînt spectre de linii (funcţii Dirac) şi sînt şi ele periodice. Utilizarea largă a DFT se bazează pe existenţa unui algoritm, transformarea Fourier rapidă (FFT - fast Fourier transform) care calculează setul de N sume cu un număr de operaţii de aproximativ N Nlog2 mai mic decît cel necesar la calcularea directă. Transformarea Fourier rapidă nu este alt tip de transformare Fourier ci un mod inteligent de a calcula transformata Fourier digitală, deşi mulţi dintre utilizatori nu o cunosc decît sub numele magic de FFT. Din modul de introducere, se vede că transformarea Fourier digitală este ideală pentru analiza spectrală a unui semnal strict periodic, de perioadă cunoscută, cu condiţia ca armonicele de ordin mai mare de N să fie nule. În acest caz, valorile furnizate de (2.64) sînt amplitudinile complexe ale armonicelor. Am văzut că prezenţa unor componente de frecvenţă mare produce prin eşantionare efectul de amestec al frecvenţelor (aliasing). Oricît de bună ar fi filtrarea anti-aliasing, componentele de frecvenţe mari nu pot fi complet îndepărtate; din această cauză, în analizoarele de spectru digitale, valorile pentru m apropiat de N 2 nici nu se mai afişează. Analiza spectrală cu DFT este astăzi extensiv utilizată şi pentru alte tipuri de semnale. Pentru cele de durată finită (tranziente) se consideră că sînt periodice cu T Ttranzient şi se aplică FFT într-un număr corespunzător de puncte. În locul spectrului continuu, se obţin informaţii numai la frecvenţele 2 m T , ca şi cum spectrul ar fi privit printre scîndurile unui gard, aşa cum se vede în Fig. 2.16 a). Acesta este efectul de zăbrele (picket fence effect, în limba engleză). Dacă T este destul de mare (eventual prin completarea secvenţei xk cu valori nule) şi spectrul continuu nu variază rapid, acest efect poate fi neglijat, aşa cum este situaţia în desenul citat anterior. În cazul unor semnale deterministe de durată infinită, dar care conţin suprapuse oscilaţii de frecvenţe oarecare, diferite între ele (semnale numite pseudoperiodice), condiţiile în care s-a introdus FFT nu sînt îndeplinite. Procedura experimentală constă în înregistrarea semnalului pe o durată finită T , eventual cu o fereastră temporală diferită de cea rectangulară, şi periodicizarea acestui fragment de semnal. Este clar că nu vom regăsi spectrul semnalului original. Orice linie spectrală este convolutată cu imaginea Fourier a ferestrei temporale utilizate, aşa cum am văzut în Fig. 2.12, spectrul semnalului trunchiat devenind continuu. Pe de altă parte, periodicizarea


fragmentului de semnal înregistrat, subiacentă calculului DFT, produce, datorită efectului de zăbrele, valori ale acestui spectru numai la frecvenţele 2 m T .

.

a)

b)

numar intreg de perioade cuprinse in numar semiintreg de perioade cuprinse indurata T durata T

c)

Fig. 2.16. Efectul de zăbrele.

De data aceasta efectul este mult mai supărător, datorită comportării imaginii Fourier a ferestrei, care oscilează exact cu frecvenţa zăbrelelor 2m T . Dacă o componentă sinusoidală a semnalului are un număr întreg de perioade cuprinse în durata T , atunci DFT produce o singură linie la frecvenţa respectivă (Fig. 2.16 b). În cazul în care numărul de perioade este semiîntreg, spectrul obţinut cu DFT arată cu totul diferit, aşa cum se vede în desenul c) al figurii citate. În orice caz, ne putem întoarce oricînd la relaţia (2.51) şi calcula spectrul la orice valoare dorită a frecvenţei, cu preţul unui număr mai mare de operaţii aritmetice. Pentru semnalele aleatoare de durată infinită, estimarea densitaţii spectrale de putere se efectuează cu o procedură similară celei de la semnalele cuasiperiodice, cunoscută sub numele de periodgramă. Forma ferestrei temporale este esenţială pentru anumite tipuri de zgomote, putînd conduce la dependenţe măsurate ale densităţii spectrale de putere mult diferite de cele reale. Oricum, ceea ce se obţine la o singură măsurătoare nu este densitatea spectrală de putere, care este definită ca o medie statistică. Apropierea de acesata se face repetînd de mai multe ori măsurătoarea şi mediind rezultatele Ţinînd seama de efectele menţionate mai sus (convolutarea cu funcţia spectrală a ferestrei temporale, fenomenul de aliasing şi efectul de zăbrele), putem trage concluzia că spectrul obţinut prin


DFT nu este spectrul semnalului analogic de la care s-a pornit şi interpretarea sa trebuie făcută cu prudenţă.

Probleme P 2.1. Legaţi în cascadă două sisteme liniare, avînd funcţiile pondere h t1( ) şi h t2( ). a) Arătaţi că sistemul compus este echivalent cu un singur sistem, care este la rîndul său liniar. b) Demonstraţi că funcţia pondere a sistemului echivalent se obţine prin produsul de convoluţie al celor două funcţii pondere (utilizaţi asociativitatea produsului de convoluţie). c) Ce consecinţe asupra modului de conectare a sistemelor liniare are proprietatea de comutativitate a produsului de convoluţie ? P 2.2. La ieşirea unui sistem se obţine un semnal identic cu cel de intrare. Care este funcţia sa pondere ? Verificaţi răspunsul utilizînd relaţia intrare-ieşire în domeniul timp (2.5). Calculaţi funcţia sa de transfer Fourier. P 2.3. Semnalul de ieşire al unui sistem este replica celui de la intrare, dar întîrziată cu timpul . Se spune că acţiunea sistemului este o întîrziere pură. Determinaţi funcţia pondere a unei astfel de acţiuni. Verificaţi-o utilizînd relaţia (2.5). P 2.4. Pentru funcţia pondere aflată la problema precedentă, calculaţi funcţia de transfer Fourier. Trageţi o concluzie asupra dependenţei fază-frecvenţă pentru o întîrziere pură. Punînd 0 regăsiţi funcţia de transfer Fourier a sistemului din problema P 2.2. P 2.5. Reluaţi exemplul cu semnalul rectangular analizat în lecţie, considerînd un factor de umplere diferit de 0 5. . După ce aţi calculat spectrele, faceţi ca durata pulsului să tindă la zero, păstrînd constantă aria. Care este limita la care tinde semnalul ? Dar imaginea sa Fourier ? P 2.6. Un multiplicator de frecvenţă funcţionează avînd ca element central un filtru trece bandă foarte îngust, care lasă să treacă, cu amplificare unitară, numai componenta de frecvenţă m m 0 . El este excitat cu semnalul rectangular de frecvenţă 0 şi factor de umplere studiat în problema anterioară. a) Ce semnal se va obţine la ieşire ? b) Care este randamentul (în putere) al multiplicatorului de frecvenţă ? Cum poate fi el îmbunătăţit ? P 2.7. Un semnal x t( ) cu imaginea Fourier X ( ) este "choppat", semnalul fiind întrerupt (nul) periodic pe o durată egală cu jumătate din perioadă. Care este spectrul semnalului după chppare ? P 2.8. Presupunem că vrem să realizăm un filtru trece bandă ideal, cu o fereastră spectrală rectangulară

AA

( ) [ , ] [ , ]( )

10

2 1 1 2pentru in rest


faza fiind identic nulă. Calculaţi funcţia pondere a acestui filtru. Este ea cauzală ? Ce concluzie puteţi trage asupra realizabilităţii filtrului ? P 2.9. Calculaţi spectrul semnalelor periodice din Fig. 2.17. P 2.10. Un amplificator audio de putere distorsionează semnalul sinusoidal, ca în Fig. 2.18 a), datorită intrării în limitare. Calculaţi spectrul semnalului distorsionat, în funcţie de parametrul . P 2.11. Un amplificator audio de putere prezintă distorsiuni de trecere prin zero (cross-over), ca în Fig. 2.18 b). Calculaţi spectrul semnalului distorsionat, în funcţie de parametrul . Indicaţie: jumătatea de sinusoidă este deplasată spre axa timpului cu Xmax iar porţiunea care depăseşte această axă este îndepărtată şi semnalul pus egal cu zero pe acel interval.

a) b)

Xmax Xmax

Fig. 2.17. Semnal triunghiular şi semnal "dinte de fierăstrău".

XmaxXmax

XmaxXmax

a) b)

Fig. 2.18. Distorsiuni de limitare şi de trecere prin zero.

C a p i t o l u l 3

Re s0

Im s

dosc

F u n c ţ i a d e t r a n s f e r L a p l a c e

A. Transformarea Laplace Aşa cum am văzut, transformarea Fourier permite calculul răspunsului la un semnal oarecare, pentru un sistem la care se cunoaşte funcţia de transfer, şi oferă o interpretare a procesării semnalelor de către sisteme, prin filtrarea în domeniul frecvenţă. Considerînd semnalele ca fiind formate din suprapuneri de sinusoide cu durată infinită, ea este instrumentul matematic ideal pentru analiza semnalelor staţionare (deterministe sau aleatoare) şi pentru calculul răspunsului staţionarizat al sistemelor. Cu toate acestea, în teoria sistemelor liniare se preferă utilizarea transfomării Laplace care, pe lîngă extinderea clasei de semnale transformabile, oferă avantajul extragerii foarte comode a informaţiilor privind regimul tranzitoriu şi, în special, stabilitatea sistemelor. Deoarece funcţia de transfer Fourier (atunci cînd există) se obţine din funcţia de transfer Laplace printr-o simplă înlocuire de variabilă, se păstrează, în acelaşi timp, legătura simplă cu comportarea sistemului la semnal sinusoidal staţionarizat. De acum înainte, vom restrînge discuţia numai asupra semnalelor cauzale, care sînt identic nule pîna la t 0 . Această restricţie este în acord cu modul în care se efectuează un experiment, prin începerea lui la un anumit moment, şi nu afectează posibiltatea de a obţine răspunsul staţionarizat, care se face prin trecerea la limită cu t . Din acest motiv, vom opera cu transformarea Laplace unilaterală, definită prin

tetxsXtxL std)()()(0

. (3.1)

Imaginea Laplace a semnalului este o funcţie complexă de variabila complexă s , spre deosebire de imaginea Fourier, care depindea de variabila reală . Acest fapt apare evident în Fig. 3.1, unde a fost reprezentat numai modulul imaginii Laplace. Vom nota, în continuare, ambele transformate cu aceeaşi literă, distincţia făcîndu-se după variabilă. Se poate arăta că integrala precedentă este convergentă pentru o clasă mai largă de semnale decît cea implicată în definirea transformatei Fourier. În particular, nu numai funcţia treaptă unitară (care nu este transformabilă Fourier decît în sensul distribuţiilor) este transformabilă Laplace, avînd imaginea 1 s, dar chiar şi funcţia tn , care creşte nemărginit, are acum o transformată, egală 1! nsn .


Fără a intra în detalii, menţionăm că

transformata Laplace este analitică în dreapta unei anumite abscise, numită abscisă de convergenţă; în afara acestui domeniu ea poate să aibă numai singularităţi de tip pol 1 . Enunţăm, astfel, legătura sa cu transformata Fourier: Dacă un semnal este cauzal şi dacă imaginea sa Laplace are toţi polii în stînga axei imaginare, atunci imaginea sa Fourier se obţine din imaginea Laplace prin înlocuirea s j . Cu alte cuvinte, dacă axa imaginară aparţine domeniului de analiticitate, atunci imaginea Fourier este restricţia imaginii Laplace pe axa imaginară (Fig. 3.2). În Tabelul 3.1 sînt prezentate cîteva din proprietăţile remarcabile ale transformatei Laplace. Temă: Încercaţi demonstrarea acestor proprietăţi.

Tabelul 3.1 Proprietăţi ale transformatei Laplace.

Nr. Denumirea Originalul Imaginea Laplace

1 liniaritatea x t a x t a x t( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 a a1 2 si constante

X s a X s a X s( ) ( ) ( ) 1 1 2 2

2 teorema întîrzierii x t( ) e X ss ( ) 3 teorema derivării în raport cu

timpul d

dx t

t( ) sX s x( ) ( ) 0

4 teorema integrării în raport cu timpul

t

ttx0

d)( 1 0s

X s xs

( ) ( )

5 teorema convoluţiei în domeniul timp

d)()( 2121

txxxx X s X s1 2( ) ( )

1 Pentru o prezentare succintă a teoriei funcţiilor complexe de variabilă complexă şi a transformatei Laplace se poate consulta excelenta carte Cristofor Vazaca, "Analiza şi sinteza sistemelor automate liniare", Editura Academiei, Bucureşti, 1961. O prezentare extinsă a teoriei transformatei Laplace se poate găsi în Nicolae N. Neamţu, "Calculul operaţional şi aplicaţii în electrotehnică", Editura de Vest, Timişoara, 1994. .

Re s

Im s

|X(s)|

Fig. 3.1. Imaginea Laplace este o funcţie de variabilă complexă; in acest exemplu, imaginea Laplace are un pol real negativ.

Im s

Re s

toti polii sintin semiplanul sting

pe axa imaginarasint valorile lui X(s)valorile imaginii Fourier

X( )=X(s)

s=j

Fig. 3.2. Legătura între imaginea Laplace şi imaginea Fourier, cînd axa imaginară aparţine domeniului de analiticitate.

Capitolul 3 Func\ia de transfer Laplace 69

În Tabelul 3.2 sînt date imaginile Laplace pentru cîteva semnale uzuale. Petru alte semnale se poate consulta Nicolae N. Neamţu (referinţa citată la pagina anterioară), G. Doetsch, "Handbuch der Laplace-Transformation", Birkhauser Verlag, Basel, 1955, sau se poate utiliza un program de calcul simbolic cum este MAPLE V.

Tabelul 3.2. Imaginile Laplace ale unor semnale uzuale.

Nr. Originalul x t( ) pentru x 0 (pentru x 0 semnalul este identic nul)

Imaginea Laplace

1 ( )t , semnal impuls unitar (Dirac) 1 2 u t( ), semnal treaptă unitar (Heaviside) 1 s 3 t 1 2s

4 e , t 0 1

s

5 sin( )0t 0

20

2s

6 cos( )0t ss2

02

7 e , t tsin( )0 0

02

02( )s

8 e , t tcos( )0 0 s

s

( )2

02

Calculul răspunsului sistemului la un semnal oarecare Dacă se aplică semnalul cauzal x t( ) la intrarea unui sistem caracterizat prin funcţia pondere h t( ) , semnalul de ieşire se poate calcula, aşa cum s-a arătat mai înainte, printr-un produs de convoluţie

d )()()()( thxthxty . (3.2)

Dacă sistemul este realizabil, atunci funcţia sa pondere este cauzală (ea reprezintă răspunsul la semnalul impuls unitar aplicat la t 0). În aceste condiţii şi semnalul de ieşire y t( ) este cauzal. Temă: Demonstraţi afirmaţia precedentă. Putem, astfel, aplica transformarea Laplace unilaterală fiecăruia din semnalele implicate în ultima ecuaţie şi, utilizînd teorema convoluţiei în domeniul timp, ajungem la Y s X s H s( ) ( ) ( ) , (3.3)


unde transformata Laplace H s( ) a funcţiei pondere H s L h t( ) ( ) (3.4) este funcţia de transfer Laplace. În final, semnalul de ieşire se poate obţine prin inversarea Laplace a imaginii sale, y t L Y s( ) ( ) 1 . (3.5) Amînăm, deocamdată, discuţia procedurii concrete de inversare Laplace. Determinarea funcţiei de transfer Laplace Dacă sistemul de care ne ocupăm este descris deja printr-un set de ecuaţii integro-diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, astfel încît mărimile care evoluează în timp să fie reprezentate prin semnale cauzale, prin aplicarea transformării Laplace asupra acestui set de ecuaţii integro-diferenţiale, se obţine un set de ecuaţii algebrice liniare, cu coeficienţi constanţi, în variabila complexă s . Aceasta este o consecinţă a proprietăţilor 1, 3 şi 4 din Tabelul 3.1. Reluînd cazul servomotorului studiat în Suplimentul 1.4, ajungem la sistemul de ecuaţii

U s sLI s RI s sK s

s J s K I s sB s

ap m m

m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

2

(3.6)

unde, cu excepţia variabilei complexe şi a imaginilor Laplace ale tensiunii aplicate, curentului şi coordonatei unghiulare (U Iap m, si , respectiv), apar numai constante reale. Considerînd tensiunea aplicată ca semnal de intrare şi coordonata unghiulară ca semnal de ieşire, prin eliminarea lui I sm( ) se obţine funcţia de transfer

H s sU s

Ks s LJ s LB RJ RB K Kap

( ) ( )( ) ( )

22

1 2. (3.7)

Se poate observa că, datorită proprietăţilor setului de ecuaţii integro-diferenţiale de la care s-a pornit, funcţia de transfer este un raport de polinoame cu coeficienţi reali. Temă: Argumentaţi afirmaţia. În cazul circuitelor electrice, situaţia este mult mai simplă. Funcţia de transfer Laplace se obţine direct din analiza circuitului, efectuată ca în curent continuu, dar lucrînd cu impedanţele

operaţionale: sL pentru inductor şi 1sC

pentru condensator. Astfel, pentru circuitul din Fig. 2.4,

calculăm valoarea curentului, apoi tensiunea de ieşire, şi obţinem în final funcţia de transfer

H s sRCs LC sRC

( ) 2 1

. (3.8)

De asemenea, funcţia de transfer obţinută este un raport de polinoame cu coeficienţi reali.


Datorită formei sale particulare, folosind rădăcinile număratorului şi numitorului, funcţia de transfer poate fi factorizată asfel

H s M sN s

a s a s ab s b s b

Ks z

s p

mm

mm

nn

nn

ii

m

ii

n( ) ( )( )

......

( )

( )

1

10

11

0

1

1

, (3.9)

unde factorul K a bm n este real. Rădăcinile zi ale numărătorului sînt zerourile funcţiei de transfer iar rădăcinile pi sînt polii funcţiei de transfer. Funcţia de transfer este astfel determinată, pînă la o constantă multiplicativă reală, numai de poziţia zerourilor şi polilor săi, care sînt în număr finit. Constanta multiplicativă afectează doar mărimea şi polaritatea răspunsului. Astfel proprietăţile sistemului sînt exprimate, într-o formă excepţional de compactă, prin harta poli-zerouri. Vom vedea imediat că, în plus, această hartă este legată extrem de direct de comportarea tranzitorie a sistemului. O consecinţă foarte importantă o are caracterul real al coeficienţiilor acestor polinoame: polii şi zerourile sînt sau reale, sau perechi complex conjugate. Harta poli-zerouri este, astfel, simetrică faţă de axa reală (Fig 3.3). Observaţie: De aici înainte, în reprezentările în planul complex, simbolul X va fi folosit pentru poli iar simbolul O pentru zerouri.

B. Inversarea imaginii Laplace a semnalului de ieşire Transformarea Laplace este inversabilă, formula generală implicînd o integrală efectuată pe un anumit drum în planul complex. Noi ne găsim, însă, într-o situaţie fericită: funcţia de transfer este un raport de polinoame cu coeficienţi reali. Privind Tabelul 3.2 constatăm că şi semnalele uzuale cu care operăm se bucură de o proprietate identică. Cum operaţia de înmulţire păstrează aceasta proprietate, rezultă de aici că însăşi imaginea Laplace a semnalului de ieşire, Y s X s H s( ) ( ) ( ) , este un raport de polinoame cu coeficienţi reali. Presupunînd, în plus că, pentru această funcţie, gradul numitorului este strict mai mare decît gradul numărătorului (vom reveni ulterior asupra acestei supoziţii), inversarea Laplace se simplifică spectaculos utilizînd teorema dezvoltării. Să punem, mai întîi, funcţia sub forma

Y s A sB s

( ) ( )( )

(3.10)

cu numitorul factorizat ca

B s b s pn im

i

ri( ) ( )

1, (3.11)

Im s

Re s

poli -zerouri -

Fig. 3.3. Poziţionarea simetrică faţă de axa reală a polilor şi zerourilor funcţiei de transfer.


unde avem r valori diferite ale polilor, fiecare valoare fiind întîlnită cu o multiplicitate mi . Evident,

m nii

r

1, unde n este numărul total de poli (gradul numitorului). În aceste condiţii, originalul y t( )

se obţine prin suma

tipqimr

i

im

q i

qi tqm

KsYLty e

)!()()(

1 1

1

(3.12)

cu

ips

imi

iq

iq

qi sBsAps

sqK

)(

)()(dd

)!1(1 . (3.12 ')

Privind ecuaţiile anterioare, s-ar părea că situaţia noastră nu este chiar aşa de fericită. Parcă mai uşoară ar fi fost o integrare în planul complex !. }i totuşi... Lucrurile sînt foarte simple. Expresia răspunsului sistemului este o sumă de termeni. Numărul termenilor este egal cu n , numărul total al polilor lui Y s( ) . În cazul polilor simpli, pentru fiecare pol corespunde un termen de forma

K K s p A sB si

p ti

i

s p

i

i

e cu

( ) ( )( )

(3.13)

adică dependenţe exponenţiale cu coeficienţi uşor calculabili. Pentru un pol simplu real termenul corespunzător are o dependenţă de timp exponenţială K ei

p ti . (3.14) Astfel, aşa cum se poate vedea în Fig. 3.4, -dacă polul este negativ, termenul se stinge exponenţial cu o constantă de timp 1 pi ; -dacă polul este în origine, termenul este constant; -dacă polul este pozitiv, termenul creşte (în valoare absolută) nemărginit; circuitul este instabil.

Re s

Im s

0

Fig. 3.4. Contribuţia unui pol real simplu.


Dacă polul simplu este complex, atunci cu siguranţă în mulţimea polilor simpli există şi perechea lui complex conjugată p pq i . Termenii corespunzători sînt complecşi dar, deoarece

K Kq i , cei doi termeni produc, prin adunare, un singur termen real 2 eK p t Ki

p ti iiRe cos(Im arg ) . (3.15)

Acest termen oscilează sinusoidal cu o frecvenţa circulară egală cu partea imaginară a perechii de poli (în valoare absolută). Amplitudinea sa este, însă, modulată de o dependenţă exponenţială, controlată de partea reală a perechii de poli, astfel: (Fig. 3.5) -dacă perechea de poli este în semiplanul stîng, amplitudinea oscilaţiei se stinge exponenţial în timp, cu o constantă de timp determinată de partea reală a perechii de poli 1 Re pi . Pentru această situaţie, (exemplificată în Fig.3.6) introducem notaţia specială d ip Re şi osc ip Im , perechea de poli fiind localizată astfel la d oscj . -dacă perechea de poli este situată pe axa imaginară (partea reală este nulă), amplitudinea oscilaţiei rămîne constantă în timp, circuitul este la limita stabilităţii şi, după excitarea sa de către semnal, funcţionează ca un oscilator. -dacă perechea de poli este în semiplanul drept al planului complex (partea reală este pozitivă), amplitudinea creşte exponenţial nelimitat; circuitul este instabil.

Im s

Re s

pereche de poli insemiplanul stingosc

d

exp(-d t)

Tosc=1/(2osc )

00

y(t)

t

Fig. 3.6 a). Pereche de poli complecşi în semiplanul stîng.

Fig. 3.6 b). Contribuţia perechii de poli complecşi la răspunsul sistemului.

Re s0

Im s

Fig. 3.5. Contribuţia unei perechi simple de poli complex conjugaţi.


Trecem acum la cazul polilor multipli. Fie o valoare pi , pentru care avem mi poli identici. Ecuaţia (3.12) arată că această valoare produce mi termeni, care depind de timp ca e , e e ep t p t p t m p ti i i i it t t, , ...,2 1 . (3.16) Vom analiza aici numai polii reali, polii dubli complecşi fiind mai rar întîlniţi (problema P 3.1 ia în consideraţie şi acest caz). Deoarece dependenţa exponenţială domină orice polinom, evoluţia asimptotică a răspunsului este identică cu cea din cazul polului simplu. Pentru ca cei mi termeni să se stingă în timp, este necesar ca polul multiplu să fie situat în semiplanul stîng al planului complex, aşa cum se întîmplă în Fig. 3.7 a). O situaţie specială o prezintă polul din origine: dacă este simplu produce un termen constant, dacă este mutiplu produce şi termeni care cresc nemărginit (Fig. 3.7 b). Să ne amintim că polii despre care discutăm sînt ai funcţiei Y s( ) , adică reuniunea polilor semnalului aplicat la intrare şi ai funcţiei de transfer. Privind din nou Tabelul 3.2, constatăm că imaginile semnalelor mărginite nu au poli în semiplanul drept, şi dacă au poli pe axa imaginară, atunci ei sînt simpli. Putem, astfel, să tragem o concluzie : -Dacă toţi polii funcţiei de transfer sînt în semiplanul stîng, atunci răspunsul este mărginit pentru un semnal de intrare mărginit. Sistemul este stabil. Din această cauză, semiplanul stîng se numeşte semiplan de stabilitate. Funcţia de transfer Fourier este, în acest caz, restricţia funcţiei de transfer Laplace pe axa imaginară a planului complex. -Dacă funcţia de transfer are poli în semiplanul drept, atunci răspunsul la un semnal oarecare creşte nemărginit; sistemul este instabil. Nu există o funcţie de transfer Fourier. Temă: Justificaţi inexistenţa funcţiei de transfer Fourier pornind de la semnificaţia sa fizică. -Dacă funcţia de transfer are polii în semiplanul stîng dar şi pe axa imaginară, sistemul este la limita stabilităţii. Funcţia de transfer Fourier, dacă există, este diferită de restricţia celei Laplace pentru s j .. Pentru semnale de intrare care au poli identici cu cei ai lui H s( ) situaţi pe axa imaginară, răspunsul conţine termeni care cresc nemărginit. Dacă semnalul de intrare nu conţine asemenea poli, răspunsul sistemului rămîne mărginit.

Să clasificăm acum termenii din expresia răspunsului după provenienţa lor. În ipoteza unei imagini Laplace a semnalului de intrare egale cu unitatea, singurii poli ai lui Y s( ) sînt cei ai funcţiei de transfer, ei producînd un număr de termeni egal cu numărul lor. Chiar dacă imaginea intrării are proprii ei poli, numărul şi forma dependenţei de timp a termenilor produşi de polii funcţiei de transfer rămîn neschimbate. Ei reprezintă contribuţia sistemului la expresia răspunsului (răspunsul liber). Termenii suplimentari introduşi de polii semnalului de intrare reprezintă răspunsul forţat. Dacă nu există coincidenţe între cele două categorii de poli, forma dependenţelor temporale ale răspunsului forţat nu depimde decît de semnalul de intrare. Problema P 3.1 tratează pe larg acest aspect.

e-at

t e-att2 e-at

t0

pol real negativp = -a = 0

a)

t0

t2

t1

t

pol in origine

b)0

Fig. 3.7. Termenii produşi de un pol real triplu.


Considerînd cazul sistemelor stabile, din punctul de vedere al comportării asimptotice, termenii care alcătuiesc răspunsul pot fi clasificaţi într-o grupă care se stinge în timp (răspunsul tranzitoriu amortizat) şi una care reprezintă răspunsul permanent (staţionar). Termenii din ultima grupă sînt produşi de eventualii poli de pe axa imaginară ai semnalului de intrare. (Vezi aceeaşi problemă 3.1). C. Exemplu Să considerăm circuitul RC din Fig. 3.8 a), pentru care se obţine amplificarea în tensiune

H ss RC

p

pp( )

cu 1 , (3.17)

care are un singur pol, real şi negativ, situat la p. Care va fi răspunsul său dacă la intrare semnalul este un impuls unitar (Dirac) ? Imaginea Laplace a semnalului de ieşire se calculează ca

Y s X s H ss

p

p( ) ( ) ( )

; (3.18)

semnalul de intrare nu are poli şi, deci, Y s( ) nu are decît polul de la p al funcţiei de transfer. Semnalul de ieşire, care este, conform definiţiei din capitolul precedent, funcţia pondere h t( ) a circuitului, se obţine după aplicarea relaţia (3.13), ca avînd expresia y t h t p

tp( ) ( ) e (3.19) şi este reprezentat în desenul b) al figurii citate. Avem, astfel, o metodă foarte simplă de calcul a funcţiei pondere, pentru orice sistem liniar cu constante concentrate.

y(t)R

x(t)C

H(s) = s+pp

p = 1RC

a)

t0

t

h(t)

0

(t) puls Dirac

t

u(t)

0

t0

y (t)u

treapta unitara

t

x(t)=a t

0

t

y(t)

0

b) c) d)

semnale de intrare

semnale de iesire

Fig. 3.8. Circuit RC şi răspunsul său la diferite semnale de intrare. Sa aplicăm acum la intrare un semnal treaptă unitar (funcţie Heaviside), care are imaginea Laplace 1 s . De data aceasta, imaginea semnalului de ieşire


Y ss s

p

p( )

1

(3.20)

are, datorită semnalului de intrare, un pol suplimentar situat în origine. După teorema dezvoltării, răspunsul va avea doi termeni y t p t( ) 1 e (3.21) şi este cel din desenul c) al figurii. Cel de-al doilea termen este produs de polul funcţiei de transfer a circuitului şi este, deci, răspunsul liber, în timp ce primul apare datorită semnalului, fiind răspunsul forţat. Formalismul Laplace permite calculul răspunsului chiar pentru semnale de intrare care nu au transformate Fourier nici măcar în sensul distribuţiilor. Fie semnalul x t at a( ) . cu const (3.22) care, deşi creşte nemărginit, are imaginea Laplace a s2 . Imaginea semnalului de ieşire

Y s as s

p

p( )

2

(3.23)

are în origine un pol dublu. Particularizăm relaţiile (3.12-12 ') pentru situaţia noastră

222

1

2121

1

2111

22

121

111

)()(

)()(dd

)()(

eee)(

ps

ps

ps

tptptp

sYpsK

sYpss

K

sYpsK

KKtKty

(3.24)

şi obţinem y t a at ap p

tp( ) e , (3.25) semnal desenat în Fig. 3.8 d). În încheierea acestui exemplu trebuie să scoatem în evidenţă un lucru extrem de important. Deşi expresiile (3.19), (3.21) şi (3.25), obţinute din inversarea Laplace, sînt definite pe toată axa reală, ele nu reprezintă răspunsul sistemului decît pentru t 0 . Pentru momente negative răspunsul este identic nul, fiind un semnal cauzal. Omiterea acestui aspect poate conduce la erori, mai ales atunci cînd semnalul de intrare va fi considerat (ca în Suplimentul S 3.1) o sumă de semnale întîrziate cu diferite durate de timp.


Putem sintetiza, acum, rezultatele importante din această lecţie, obţinînd următoarele

CONCLUZII i) Transformarea Laplace unilaterală, pe care o vom folosi în continuare, operează numai cu semnale cauzale. ii) Funcţia de transfer Laplace este imaginea Laplace a funcţiei pondere. Ea permite calculul răspunsului la un semnal cauzal oarecare. Pentru sistemele stabile, restricţia ei pe axa imaginară reprezintă funcţia de transfer Fourier. iii) Pentru sistemele de care ne ocupăm (liniare şi cu constante concentrate), funcţia de transfer este un raport de polinoame în s, cu coeficienţi reali. iv) Polii şi zerourile ei sînt reale sau perechi complex conjugate. Dacă toţi polii sînt în semiplanul stîng, sistemul este stabil. v) Răspunsul sistemului la un semnal oarecare este o sumă de termeni corespunzînd reuniunii polilor semnalului şi funcţiei de transfer, numărul termenilor fiind egal cu numarul total al polilor: -un pol real simplu produce un termen de forma e t ; -un pol real dublu produce un termen de forma e t şi unul de forma t te , ... , etc. -o pereche complexă simplă produce doi termeni complex conjugaţi, care conduc la un termen real de forma e td t

osc cos( )

vi) Poziţia zerourilor nu afectează forma termenilor, ci numai constantele care îi înmulţesc şi fazele iniţiale ale termenilor oscilanţi.


Supliment S 3.1. Este întodeauna mai comod calculul răspunsului în domeniul Lalpace ? Să încercăm să calculăm răspunsul circuitului din exemplul analizat anterior, pentru un puls dreptunghiular de durată T1 şi înălţime unitară. Evităm să calculăm imaginea Laplace prin integrala (3.1) dacă scriem semnalul de intrare ca suma a două trepte unitare x t u t u t T( ) ( ) ( ) 1 (3.26) şi exploatăm liniaritatea transformării şi teorema întîrzierii

11 e111e1)( sTsT

ssssX . (3.27)

=

+0 T1 t0

-1

0 T1 t

1

00 T1 t

1

0

+

=intrare

iesire0 t

0 t 0 tT1T1

T1

Fig. 3.9. Răspunsul circuitului din Fig. 3.8 la un puls dreptunghiular.

Imaginea Laplace a semnalului nostru nu este un raport de polinoame şi, în mod corespunzător, nici imaginea semnalului de ieşire nu va avea această proprietate. Calea simplă de inversare Laplace oferită de teorema dezvoltării nu mai este accesibilă. Am putea aborda problema frontal, dar cel mai bine este să profităm de liniaritatea şi invarianţa în timp a circuitului (Fig. 3.9). Calculăm separat răspunsurile termenilor din (3.25) şi apoi le sumăm, răspunsul celui de-al doilea avînd aceeaşi expresie cu răspunsul primului, dar întîrziată corespunzător. Obţinem

11)1(

1

,111)(

0,1)(

Tteeeety

TtetyTptpTtptp

tp

. (3.28)

Situaţia este şi mai complicată dacă periodizăm acum semnalul de intrare, cu perioada T T 2 1, pentru a obţine un semnal dreptunghiular cu factor de umplere 0.5, care durează nelimitat spre t


x t u t kT u t T kTk

( ) ( ) ( )

20

. (3.29)

Calculul răspunsului staţionar lim ( )

ty t

devine extrem de dificil, deoarece fiecare din funcţiile (3.27)

care trebuie utilizate sînt definite pe porţiuni. Pentru asemenea aplicaţii, formalismul Laplace nu oferă avantaje în comparaţie cu formalismul Fourier. Numai dacă putem considera că T RC , exponenţiala se stinge practic pînă la apariţia noii tranziţii a semnalului de intrare, şi expresia semnalului de ieşire periodic capătă o formă simplă. Dificultăţile relevate mai sus provin din faptul că imaginea Laplace a semnalelor de intrare nu este un raport de polinoame şi, deci reprezentarea ei prin poziţiile cîtorva poli şi zerouri nu este aplicabilă. Pentru un semnal de intrare oarecare calculul răspunsului în domeniul Laplace nu este, deci, de preferat. Procedura cea mai simplă rămîne convoluţia cu funcţia pondere, mai ales că aceasta se poate obţine întodeauna utilizînd teorema dezvoltării, din funcţia de transfer Laplace. Tăria transformării Laplace nu constă în descrierea semnalelor ci în descrierea sistemelor, funcţia de transfer Laplace avînd forma unui raport de polinoame pentru toate sistemele liniare cu constante concentrate. Clasa de semnale pentru care imaginea Laplace este un raport de polinoame (printre care se numără toate cele opt linii din Tabelul 3.2), şi pentru care răspunsul se obţine simplu, cu teorema dezvoltării, este însă suficient de largă pentru testarea dinamicii sistemelor.

Supliment S 3.2. Transformarea Laplace şi condiţiile iniţiale Exploatarea invarianţei în timp a sistemului, care a stat la baza calculului răspunsului prin convoluţia semnalului de intrare cu funcţia pondere, nu se poate face decît dacă se admite că la începutul experienţei sistemul avea condiţii iniţiale complet relaxate, adică în absenţa oricărei excitaţii la intrare toate mărimile dependente de timp care descriu starea sa au valori identic nule. Pentru sistemele mecanice aceasta înseamnă că ele se gasesc într-o stare de echilibru (altfel nu şi-ar putea-o păstra în absenţa excitaţiilor externe) şi că toate coordonatele sînt măsurate de la această poziţie de echilibru. În cazul circuitelor electrice, condensatoarele trebuie să fie descărcate iar prin inductoare nu trebuie să treacă curent. Transformarea Laplace permite, însă, şi luarea în consideraţie a condiţiilor iniţiale. Să luăm, de exemplu, circuitul electric din Fig. 3.10. şi să scriem setul de ecuaţii diferenţuiale

v t Ri t

v tt

v tt C

i t

2

1 2 1( ) ( )( ) ( ) ( )

d

dd

d (3.30).

Vom aplica transformarea Laplace celor două ecuaţii. Utilizînd linia 3 a Tabelului 3.1, imaginea derivatei unei funcţii x t( ) , se poate scrie ca sX s x( ) ( ) 0 , unde x( )0 este valorea funcţiei x t( ) la momentul t 0 , adică valoarea sa imediat înainte de începerea experimentului (a nu se confunda cu valoarea "iniţială" dată de teorema cu acelaşi nume, care este valoarea semnalului imediat după

CR

v1 v2i

i

Fig. 3.10. Circuit RC.


aplicarea saltului treaptă la intrare). În continuare vom efectua cu acest circuit trei experimente, reprezentate în Fig. 3.11..

v2C

R

v1

+-

CR+-

+- U

U

CR+-

+- U

U+-1

a)

b)

c)

d)

-1

0

1

2

-1

0

12

-1

0

1

2

-1

0

1

2

CR+- i1

i

CR+-

+- U

U+-1

CR+-

+- U

U

CR+-

e)0

1 puls Diracde arie CU

t

t0

1v1

t

i1

t

t

t

t

-1

0

1

2

v1 v2v2

v2 v2v1v2

v1

v1 v2 v2v1v2

v2

v2v1 v2

1 1

Fig. 3.11. Răspunsul unui circuit RC la semnal treaptă, cu diferite condiţii iniţiale. a) Semnalul de intrare v t1( ) este un salt treaptă unitar, la t 0 condensatorul fiind iniţial descărcat, v v1 20 0 0( ) ( ) . După aplicarea transformatei Laplace obţinem ecuaţiile

V s RI ssV s sV s I s C

2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

(3.31)

care conduc la soluţia

V s s

sV s

s

RC

p p

p

2 11

1

( ) ( )

cu . (3.32)


iar, cu teorema dezvoltării, găsim, în final, expresia tensiunii de ieşire v t e pt

2( ) , (3.33) reprezentată grafic în Fig. 3.11 a). Relaţia (3.32) reprezintă, de fapt înmulţirea imaginii Laplace a semnalului de intrare cu funcţia de transfer a circuitului

H s ss p

( )

, (3.34)

pentru a obţine imaginea Laplace a semnalului de ieşire. b) La intrare se menţine o tensiune identic nulă dar condensatorul a fost iniţial încărcat cu tensiunea v v U2 10 0( ) ( ) . (3.35) Setul de ecuaţii devine

V s RI s

v sV s v I s C2

1 2 20 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

(3.36)

şi conduce la

V s Us p

2( )

, (3.37)

care, prin inversare, produce tensiunea de ieşire v t U pt

2( ) e (3.38) desenată în Fig. 3.11 b). c) Aplicăm acum semnalul v t1( ) în condiţiile în care condensatorul a fost încărcat iniţial cu tensiunea U . Astfel, imaginea Laplace a tensiunii de ieşire se obţine ca

V s H s V s Us p

2 1( ) ( ) ( )

(3.39)

nemaifiind proporţională cu imaginea Laplace a tensiunii de intrare. Dacă nu avem condiţii iniţiale relaxate, funcţia de transfer Laplace îşi pierde semnificaţia de raport între imaginile semnalelor de ieşire şi intrare şi întregul formalism dezvoltat în acest capitol nu mai poate fi aplicat. În particular, dacă tensiunea de intrare v t1( ) este o treaptă unitară, dependenţa de timp a tensiunii de ieşire rezultă sub forma


v t U pt2 1( ) ( ) e (3.40)

reprezentată în Fig. 3.11 c); saltul iniţial este mai înalt cu tensiunea U prezentă iniţial pe condensator. Am putea crede că problema poate fi redusă la una cu condiţii iniţiale relaxate dacă măsurăm tensiunea de ieşire faţă de altă referinţă, astfel încît v v U2 2 (3.41) să fie iniţial nulă. Evoluţia temporală a noii variabile, reprezentată în Fig. 3.11 d) nu este identică cu cea din desenul a) ce corespunde cazului la care am dorit să reducem problema; deşi prezintă acelaşi salt iniţial, valoarea asimptotică este diferită. Faptul că sistemul are condiţii iniţiale nerelaxate nu se poate anula prin alegerea în alt mod a mărimilor ce descriu starea sistemului. Pentru a putea utiliza formalismul funcţiei de transfer este obligatoriu ca, înainte de aplicarea semnalului de intrare (la t 0), sistemul fizic să se găsească într-o stare de echilibru, (pe care să şi-o păstreze nedefinit dacă semnalul de intrare rămîne identic nul). Mărimile care descriu starea sistemului trebuie măsurate astfel încît să aibă valori nule în această stare specială. De exemplu, pentru sistemele mecanice, putem utiliza funcţia de transfer dacă sistemul este iniţial într-o stare de echilibru şi dacă măsurăm toate coordonatele de la această poziţie. Pentru circuitele electrice, măsurarea potenţialelor faţă de un nod de referinţă al circuitului asigură faptul că în starea relaxată (condensatoarele descărcate şi curenţi nuli prin inductoare), toate potenţialele şi toţi curenţii au valori nule. Utilizarea formalismului funcţiei de transfer poate fi, totuşi, păstrată, dacă se consideră că sistemul, iniţial în stare relaxată, are două intrări şi pe a doua intrare se aplică un semnal care aduce sistemul, instantaneu la începerea experienţei, în starea nerelaxată corespunzătoare. Pentru circuitul nostru, această metodă poate fi aplicată prin introducerea unei surse de curent fictive şi considerarea pentru ea a unui puls Dirac de curent de arie egală cu sarcina necesară condensatorului pentru a se încărca la tensiunea U (desenul e al figurii 3.11). Cum în restul timpului pulsul Dirac este identic nul, această sursă nu mai contează după începerea experimentului. Notînd cu i t1( ) curentul acestei surse, ecuaţiile diferenţiale care descriu circuitul sînt

v t R i t i t

v tt

v tt C

i t

2 1

1 2 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

d

dd

d (3.42)

şi imaginea Laplace a tensiunii de ieşire se obţine ca

V s ss

V sC s

I sp p

2 1 11( ) ( )

( )( )

. (3.43)

Cu semnalul i t CU t1( ) ( ) , relaţia precedentă regăseşte rezultatul din (3.39). Avînd acum două semnale de intrare, trebuie să operăm cu două funcţii de transfer Y s H s V s H s I s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 (3.44) ceea ce conduce la un formalism matriceal, pierzîndu-se astfel avantajul principal al funcţiei de transfer: simplitatea deducerii comportării sistemului prin simpla inspecţie a formei acestei funcţii.


Supliment S 3.3. Funcţia de transfer a întîrzierii pure Dacă pentru orice semnal x t( ) aplicat la intrare, un sistem produce la ieşire semnalul y t Cx t( ) ( ) , (3.45) unde C este o constantă reală, acţiunea sa este o întîrziere pură (transportation lag în limba engleză). O asemenea comportare, cu timp mort, apare în procesele chimice, procesele de producţie, curgerea fluidelor, propagarea undelor, etc. Din definiţia funcţiei pondere rezultă imediat că h t C t( ) ( ) (3.46) şi, utilizînd Tabelele 3.1 şi 3.2, obţinem funcţia de transfer corespunzătoare H s Ce s( ) , (3.47) care nu este un raport de polinoame. Din această cauză ea nu pote fi obţinută dintr-un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare, deci sistemul nu poate fi unul cu parametri concentraţi. Semnificaţia rezultatului anterior pentru circuitele elctronice este că nu putem realiza un circuit cu constante concentrate care să reproducă identic (cu excepţia unei constante multiplicative şi a unei întîrzieri) orice semnal de intrare. Pentru realizarea acestei funcţii de transfer, acolo unde este necesară (de exemplu, întîrzierea semnalului de pe canalul Y al osciloscopului pentru a da timp circuitelor de sincronizare şi declanşare a baleierii să-şi îndeplineasca funcţiile respective), se folosesc circuite cu constante distribuite. În exemplul dat se utilizează o linie de întîrziere, care este un tronson lung de cablu coaxial, timpul fiind necesar undei electromagnetice pentru parcurgerea acestui tronson. Obsrvaţie: Nu am luat în consideraţie cazul trivial al unui circuit fără memorie, cînd funcţia de transfer este o constantă reală şi întîrzierea este nulă, circuit realizabil cu componente rezistive ideale. Existenţa unui timp mort pentru un sistem fizic, şi deci a unui factor exponenţial în funcţia de transfer, produce dificultăţi în analiza funcţionării cu formalismul Laplace, mai ales dacă sistemul este un bloc dintr-un sistem de control automat. În acest caz, dificultăţile nu sînt numai de calcul, stabilitatea întregului sistem obţinîndu-se mult mai greu. O altă consecinţă a relaţiei (3.47) este că, pentru ca un semnal oarecare să nu fie distorsionat de către un circuit oarecare, pe domeniul de frecvenţă în care se găseşte distribuită energia semnalului, modulul funcţiei de transfer trebuie să fie constant iar faza funcţiei de transfer să scadă liniar cu frecvenţa. Constanta din dependenţa fazei este timpul de întîrziere de grup. Chiar dacă cu circuite cu constante concentrate nu putem îndeplini exact aceste condiţii, putem proiecta filtre care în banda de trecere să se apropie suficient de această comportare.


Supliment S 3.4. Limitări în utilizarea funcţiei de transfer În acest capitol am scos în evidenţă cîteva aspecte ale utilităţii conceptului de funcţie de transfer. În capitolele următoare, acest concept îşi va dezvălui întreaga sa putere; de fapt funcţia de transfer este vedeta incontestabilă a acestei cărţi. Înainte, însă, de a-i explora utilitatea într-o varietate de aplicaţii, este bine să subliniem limitările utilizării sale. i) În primul rînd, sistemul trebuie să fie liniar. Nici un sistem din lumea reală nu este însă liniar pe întreaga gamă a valorilor posibile ale mărimii de intrare. De exemplu, dacă semnalul de intrare depăşeşte anumite limite sau variază prea repede, sistemul (anumite părţi ale sale) intră în saturaţie. Chiar dacă limităm cu grijă evoluţia semnalului de intrare, sisteme importante rămîn neliniare şi funcţia de transfer nu poate fi utilizată. Este, de exemplu, cazul sistemelor cu histerezis (funcţionarea unui robinet, punerea în mişcare a unui corp prin înfrîngerea frecării statice, etc). ii) Sistemul trebuie să fie invariant în timp. Dacă parametrii sistemului variază, dar variaţia este lentă în comparaţie cu timpul de răspuns, funcţia de transfer poate fi, totuşi, utilizată pe intervale scurte, modificînd-o apoi în paşi discreţi. iii) Sistemul trebuie să fie cu parametri concentraţi (descriptibil prin ecuaţii diferenţiale ordinare); fac excepţie numai sisiemele cu parametri distribuiţi a căror comportare este o întîrziere pură. Totuşi, funcţiile de transfer exponenţiale care se obţin pentru aceste sisteme îngreunează analiza şi fac dificilă stabilizarea sistemelor de control automat. iv) Sistemul trebuie să fie inert, adică trebuie să se găsească într-o stare de echilibru înainte de aplicarea semnalului de intrare. Mărimile care îi descriu starea trebuie definite astfel încît să fie nule în această stare. Dacă sistemul nu se găseşte iniţial în această stare, este nevoie să considerăm mai multe intrări şi să descriem sistemul printr-o matrice de funcţii de transfer. Această procedură complică formalismul într-atît, încît pierdem principala calitate a conceptului de funcţie de transfer: posibiltatea de a deduce proprietăţi importante ale sistemului prin simpla inspecţie a formei funcţiei de transfer. v) Semnalul de intrare trebuie să aibă o imagine Laplace care să fie un raport de polinoame, adică el trebuie să fie o sumă de termeni de tipul celor din teorema dezvoltării. Dacă semnalul de intrare nu are această proprietate, procesarea sa se reprezintă mai comod prin convoluţia în domeniul timp. vi) Sistemul trebuie să fie de o complexitate rezonabilă; se consideră, de regulă, că un număr de poli mai mic decît şase motivează suficient, prin simplificarea abordării, utilizarea funcţiei de transfer.

Supliment S 3.5. Funcţia de transfer a operatorului uman Multe sisteme de control automat conţin ca bloc component un operator uman. Este cazul conducerii unui autovehicul, mersului pe bicicletă, pilotării unui avion de luptă, al unor procese tehnologice, etc. Din acest motiv, funcţia de transfer a operatorului uman a fost îndelung studiată experimental. Spre deosebire de cea a unui sistem simplu, această funcţie de transfer depinde de la individ la individ şi, de asemenea, de starea de oboseală sau plictiseală, gradul de motivaţie şi nivelul de antrenament al subiectului. Mai mult, atunci cînd este inclus într-un proces de control automat, ca în Fig. 3.12, operatorul uman îşi modifică funcţia de transfer, asfel încît întregul sistem să fie stabil şi să aibă o comportare dinamică cu timp de răspuns de aproximativ 2 secunde.


operatorul uman

procesulcontrolat

semnal decontrol

semnal deiesire

H(s)

semnal deeroare

semnal deintrare

+-(semnal de

iesire dorit)

Fig. 3.12. Operatorul uman inclus într-un sistem de control automat.

Cu toate acestea, acţiunea operatorului uman poate fi descrisă cu o aproximaţie destul de bună de funcţia de transfer

H s K T s

T s T se K s

s se

T T T

d s d s

d d

( )( )( ) ( )( )

, ,

11 1

1 1 11 2 1 1

1 1 2 1

cu . (3.48)

Exponenţiala ia în consideraţie timpul de reacţie care are o valoare minimă de 0 2. secunde, dar care poate deveni mult mai lung în condiţii de oboseală sau consum de alcool. Factorul care conţine zeroul situat la s d produce în răspuns un termen de forma

x t T xtd( ) d

d (3.49)

care încearcă să anticipeze valoarea semnalului de intrare peste Td secunde, pornind de la viteza sa de variaţie la momentul actual. Factorii de la numitor, care produc doi poli reali negativi, modelează vitezele finite de procesare a semnalelor pe traseul analizor-creier-decizie-muşchi. Cînd operaţia de control este foarte simplă (semnalul de intrare variază lent şi procesul controlat este simplu), operatorul uman îsi reglează funcţia de transfer astfel încît Td 0 şi T T1 2 1 3 s . Dacă operaţia de control devine dificilă, operatorul uman introduce operaţia de anticipare, cu valori ale lui Td de pînă la 1 secundă. Pentru operaţii şi mai dificile, operatorul uman îsi accelerează procesarea semnalelor reducînd constantele de timp T1 şi T2 pînă la 1 20 s. În sfîrşit, cînd operaţia este atît de complicată şi procesul atît de instabil încît nu mai poate fi controlat nici cu aceste valori, operatorul uman renunţă. Din punctul de vedere al unui proiectant de sistem, dacă operatorul uman trebuie să execute operaţia de control un timp îndelungat, procesul trebuie să fie astfel încît să permită operatorului uman un control cu anticipări cu Td sensibil mai mic decît o secundă şi timpi de răspuns T1 şi T2 apropiaţi de 1 3 dintr-o secundă.


Probleme P 3.1. (rezolvată) Un sistem (circuit oscilant amortizat sau pendul cu frecare are funcţia de transfer

H ss j s j

d osc

d osc d osc

( )( )( )

2 2

,

în care d 100 2 100 rad / s si rad / sosc . Să se calculeze răspunsul sistemului, cînd la intrare se aplică: a) un impuls unitar (Dirac); b) un semnal treaptă unitar (Heaviside); c) un semnal sinusoidal de frecvenţă f 30 Hz ; d) un semnal sinusoidal de frecvenţă f 100 Hz ; e) un semnal x t td t

osc( ) sin( ) e , cu aceleaşi constante din funcţia de transfer. Rezolvare a) Funcţia de transfer are o pereche de poli complecşi, situaţi la d oscj , în semiplanul de stabilitate. Semnalul de intrare are imaginea Laplace unitară şi, deci, nu are poli (Tabelul 3.2). Vom avea în expresia răspunsului un singur termen, oscilatoriu amortizat. Frecvenţa circulară de oscilaţie este egală cu partea imaginară a polilor, adică frecvenţa de oscilaţie va fi

foscosc

2

100 Hz. Anvelopa oscilaţiei se

va stinge exponenţial cu o constantă de timp d d 1 0 01. s . Fără să facem nici un calcul, ştim deja forma răspunsului y t Ke tt( ) cos( ). 0 01 200 . Constantele se calculează utilizînd ec. (3.15) şi rezultă K 644 şi = - 2 , deci y t tt( ) sin( ). 644 2000 01e , răspunsul fiind desenat în Fig. 3.13. Cum semnalul de la intrare este un impuls unitar, ceea ce am obţinut la ieşire este, de fapt, funcţia pondere a sistemului. b) Semnalul de intrare are, acum, un singur pol, situat în origine; acesta nu coincide cu vreun pol al funcţiei de transfer. Astfel, în afara termenului cu forma obţinută la punctul precedent, mai apare un termen constant, răspunsul fiind y t K e t Kt( ) cos( ).

10 01

2200 . Cele trei constante se calculează cu ec. (3.13) şi (3.15), rezultînd K K1 21 01 2 98 1 . , . rad, şi, în final, y t tt( ) . cos( . ). 1 1 01 200 2 980 01e . În Fig. 3.14 sînt reprezentaţi cei doi termeni din expresia anterioară, ca şi răspunsul total al sistemului.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-400

-200

0

200

400

600

t (s)

y

Fig. 3.13. Răspunsul sistemului din problema

P 3.1, la un impuls unitar.


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

t (s)

y

raspuns liberraspuns fortat

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

t (s)

0.0

1.0

y

Fig. 3.14 a) Evoluţia celor doi termeni ai răspunsului sistemului din problema P 3.1, la un semnal treaptă unitar.

Fig. 3.14 b) Răspunsul sistemului din problema P 3.1, la un semnal treaptă unitar.

c) Conform Tabelului 3.2, linia 5, imaginea Laplace a semnalului de intrare este

20

20)( ssX . Ea are o

pereche de poli complecşi, situaţi pe axa imaginară, corespunzînd unei frecvenţe f0 0 2 30 Hz. Cum aceşti poli nu coincid cu cei ai funcţiei de transfer, la termenul de forma celui de la punctul a) se va adăuga unul oscilatoriu neamortizat, răspunsul total fiind y t K e tt( ) cos( ).

10 01

12 100 .+ K t2 22 30cos( ) Avem acum un răspuns permanentizat nenul, produs de polii semnalului. Calculul constantelor se face ca în cazul precedent şi se obţine y t t tt( ) . cos( . ) . cos( . ). 0 327 200 1 22 1 09 60 1 670 01e . Cei doi termeni ai răspunsului, ca şi evoluţia răspunsului total, se pot vedea în Fig. 3.15. d) Calculul decurge ca la punctul precedent, acum cele două perechi de poli avînd părţile imaginare identice. Din acest motiv, la calculul coeficienţilor, se obţin la numitor factori de valori mai mici şi, în mod corespunzător, amplitudinea răspunsului staţionar devine mare: sistemul este excitat la rezonanţă. Expresia răspunsului se obţine ca y t e t tt( ) . cos( . ) . cos( . ). 3 21 200 0 079 3 21 200 3 060 01 iar graficul său este cel din Fig. 3.16.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t (s)

y raspunsul total

raspuns liber

raspuns fortat

Fig. 3.15. Termenii răspunsului şi răspunsul total (cu linie groasă) pentru punctul c) al problemei P 3.1.


e) De data aceasta, semnalul de intrare este identic (pînă la o constantă multiplicativă) cu funcţia pondere a sistemului şi polii imaginii sale coincid cu cei ai funcţiei de transfer. Funcţia Y s( ) are două perechi identice de poli complecşi, situaţi la d oscj . Este timpul să analizăm şi această situaţie. Avem, de fapt, doi poli complecşi, p j1 10 200 şi p j2 10 200 , fiecare fiind dublu. Vom obţine patru termeni complecşi K te t j t

11100 200 ,

K e t j t12

100 200 , K te t j t21

100 200 , K e t j t

22100 200 şi, cu puţină algebră

în complex, utilizînd ec. 3.12 ', obţinem cele patru constante. Cu un pic de efort suplimentar, ajungem la valoarea finală, care trebuie să fie reală y t e t t e tt t( ) . cos( ) cos( ). . 0 513 200 2 322 2000 01 0 01 Graficul răspunsului este desenat în Fig. 3.17. Avem acum, în figurile 3.13-3.17, răspunsurile sistemului la diferite forme ale semnalului de intrare. Merită să ne aplecăm puţin asupra lor. Primul răspuns, cel din Fig. 3.13 este obţinut excitînd sistemul cu un puls Dirac, deci este funcţia sa pondere. Forma răspunsului este dată numai de perechea de poli ai sistemului. La răspunsurile din celelalte situaţii contribuie determinat numai de sistem, are exact aceeaşi formă cu răspunsul la impuls (funcţia pondere). Faza şi amplitudinea sa diferă, însă, de la un caz la altul. Atunci cînd polii semnalului de intrare nu coincid cu cei ai sistemului, forma răspunsului forţat depinde numai de semnal şi este aceeaşi cu cea a semnalului de intrare, aşa cum se întîmplă în Fig. 3.14-3.16. Dacă polii semnalului coincid cu unii din polii sistemului, forma răspunsului forţat nu mai este identică cu cea a semnalului, ca în Fig. 3.17. P 3.2. Găsiţi funcţiile de transfer pentru sistemele descrise de ecuaţiile următoare:

a) d ydt

d ydt

dydt

y d xdt

dxdt

x3

3

2

2

2

25 10 25 2 12 25 ;

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

t (s)

y

raspunsul liber

raspunsul fortat

Fig. 3.16. Termenii răspunsului şi răspunsul total (cu linie groasă) pentru punctul d) al problemei P 3.1.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t (s)

y

raspuns liber

Fig. 3.17. Termenii răspunsului şi răspunsul total (cu linie groasă) pentru punctul e) al problemei P 3.1.


b) 2 62

2d ydt

dydt

dxdt

;

c) xydtydtdy

dtyd 915242

2 .

P 3.3. Un sistem este decris de funcţia de transfer

H s ss s s s

( )( )( )( )

1000 1

5 4 100 102 .

a) Dacă semnalul de intrare este unul treaptă, cît durează răspunsul tranzient ? Indicaţie: observaţi care termen din răspuns se stinge mai încet şi estimaţi durata regimului tranzitoriu prin ordinul de mărime al constantei de timp a exponenţialei respective. P 3.4. Un circuit liniar, cu constante concentrate, are funcţia de transfer

H ss

( ) 1

2.

a) Scrieţi ecuaţia diferenţială a circuitului. b) Calculaţi răspunsul său la semnalul de intrare cauzal x t t t( ) cos 3 2 0pt. . b) Care este răspunsul staţionar, pentru acelaşi semnal de intrare ? Verificaţi rezultatul utilizînd funcţia de transfer Fourier. P 3.5. Pentru sistemul cu funcţia de transfer

H s ss s s s

( )( )( )

2

2 25

3 2 3 2 3 2

a) arătaţi că sistemul este instabil; b) calculaţi răspunsul, dacă la intrare se aplică semnalul x t t t( ) cos sin( ) 2 3 30o . P 3.6. Cunoscînd imaginea Laplace Y s( ) a semnalului de ieşire, calculaţi expresia sa ca funcţie de timp, pentru

a) Y s ss s

( ) ( )( )

5 123 ;

b) Y s ss s s

( ) ( )( ) ( )

4 4

3 12 ;

c) Y s ss s s s

( ) ( )( )( )

5 1

2 6 252 .


P 3.7. Ce semnificaţie fizică are, pentru un sistem stabil, prezenţa unui zerou în origine în funcţia de transfer Laplace ? Dar a unei perechi de zerouri complexe situate pe axa imaginară la j0 ? Generalizaţi. Indicaţie: Luaţi în consideraţie legătura funcţiei de transfer Laplace cu funcţia de transfer Fourier, precum şi semnificaţia acesteia din urmă. P 3.8. Calculaţi amplificarea în tensiune V s V s2 1( ) ( ) şi impedanţa de intrare V s I s1 1( ) ( ) pentru circuitul din Fig. 3.18. P 3.9. Rezlvaţi problema precedentă pentru circuitul din Fig. 3.19. P 3.10. Conectaţi circuitul din Fig. 3.14 ca sarcină pentru cel din Fig. 3.13 şi calculaţi amplificarea de tensiune globală.

P 3.11. Calculaţi funcţiile de transfer pentru sistemul mecanic din Fig. 3.20 a) (forţa este variabila de intrare şi deplasarea variabila de ieşire, iar forţa de frecare este b y td d ) şi pentru circuitul RLC din Fig. 3.20 b). Puneţi-le apoi sub forma

H sH

s sn

n n( )

0

2

2 22

.

Forma numitorului este forma standard pentru funcţiile de transfer de ordinull 2. a) n este numită frecvenţa naturală a sistemului. Găsiţi semnificaţia sa fizică. Indicaţie: Gîndiţi-vă la comportarea sistemului în absenţa fenomenelor disipative (frecare mecanică sau disipare prin efect Joule pe rezistor). b) Mărimea adimensională este factorul de amortizare. Cum este legat el de pierderile energetice prin fenomenele disipative ?

v2v1

i 1

R 1

2

L 1

R

L 2

Fig. 3.18. Circuit RL pentru problema P 3.8.

v2v1

i 1

R1

2RL

C

Fig. 3.19. Circuit RLC pentru problema P 3.9.

C

u i

R

L

uo

m

f

k

by

a) b)

Fig. 3.20. Sisteme de ordinul 2, pentru problema P 3.11.

C a p i t o l u l 4

00

ADC

t

y u(t)

A

ADC

A( )

A

00

R ă s p u n s u l l a s e m n a l t r e a p t ă . S i s t e m e d e o r d i n u l 1

A. Răspunsul la semnal treaptă unitar Deşi răspunsul în frecvenţă (răspunsul staţionarizat la semnal sinusoidal) poate caracteriza complet un sistem liniar, o măsurătoare la o singură frecvenţă nu este suficientă. Trebuie realizată o secvenţă de măsurători sau o măsurătoare în care frecvenţa este baleiată continuu. Aceasta este o procedură care necesită timp şi este complet impracticabilă pentru sistemele cu răspuns lent (de exemplu cele termice, cu constante de timp de zeci de minute). Pe de altă parte, cînd importantă este comportarea sistemului la semnale tranziente, aşa cum este cazul sistemelor de control automat, informaţia oferită de răspunsul în frecvenţă, deşi completă, este accesibilă într-o formă neadecvată. Este, deci, necesară o abordare directă prin aplicarea la intrare, o singură dată, a unui semnal tranzitoriu standard, cel mai frecvent folosit fiind semnalul treaptă. Pentru simplificarea discuţiei îl vom considera de amplitudine unitară, răspunsul sistemului y tu( ) fiind numit răspuns la semnal treaptă unitar sau răspuns indicial. Determinarea acestui răspuns prezintă avantajul suplimentar de a necesita o aparatură mai puţin complexă decît cea pentru ridicarea răspunsului în frecventă. Imaginea Laplace a semnalului treaptă unitar fiind X s su ( ) 1 , expresia răspunsului indicial poate fi calculată din funcţia de transfer prin transformarea Laplace inversă

)(1)()( 11 sH

sLsYLty uu . (4.1)

Carcteristici generale ale răspunsului indicial Funcţia de transfer caracterizează, într-o formă compactă, comportarea dinamică a sistemului. Din ea putem obţine foarte comod informaţii interesante asupra răspunsului indicial, fără a-l calcula explicit. Pîna la t 0 semnalul de intrare este identic nul. La acest moment semnalul are un salt brusc (funcţia ese discontinuă) la valoarea unitară, pe care o păstrează apoi un timp nedefinit (Fig. 4.1 a). Ce se întîmplă la ieşire imediat după aplicarea semnalului treaptă ? Aceasta depinde de cît de rapid este sistemul, adică de felul în care amplifică el frecvenţele foarte mari. Semnalul de ieşire poate să aibă un punct de continuitate în origine (să aibă în continuare valoare nulă) sau poate să sufere un salt instantaneu. Această comportare este descrisă matematic de limita sa laterală

92 Complemente de electronică I

y y tu

tt

u( ) lim ( )00

0

(4.2)

care este numeric egală cu valoarea amplificării (cu semn !) de la frecvenţe foarte mari y H s Au

s( ) lim ( )0

, (4.3)

proprietate ce decurge dintr-o teoremă cunoscută ca teorema valorii iniţiale. Observaţie: Deşi funcţia de transfer este complexă, limta sa la s , dacă există, este reală. Justificaţi această afirmaţie. Deoarece, pentru sistemele de care ne ocupăm, funcţiile de transfer H s( ) sînt rapoarte de polinoame în s cu coeficienţi reali, la trecerea la limită din relaţia anterioară putem întîlni numai trei situaţii: a) Gradul numitorului este mai mare decît gradul număratorului, n m : în acest caz A 0 şi nu există un salt în origine al răspunsului; yu( )0 0 . b) Gradul numitorului este egal cu gradul numărătorului, n m : acum A 0 , şi răspunsul la semnal treaptă prezintă în origine un salt treaptă finit (pozitiv sau negativ, după semnul amplificării). c) Gradul numitorului este mai mic decît gradul numitorului, n m : de data aceasta, limita din ecuaţia precedentă este infinită; răspunsul la semnal treaptă are în origine un salt treaptă infinit. Acest lucru este imposibil fizic, experimentul fiind deci nerealizabil, fie din cauza imposibilităţii producerii unui salt treaptă al variabilei de intrare (de exemplu curentul printr-o inductanţă, dacă funcţia de transfer este o impedanţă de intrare), fie din cauza imposibilităţii realizării unui circuit cu o funcţie de transfer de acest tip, în cazul in care funcţia de transfer este o amplificare. Strict vorbind, nici situaţia de la cazul b) nu este fizic realizabilă, informaţia avînd nevoie de un timp nenul pentru a se transmite de la intrare la ieşire. Cu toate acestea, vom accepta această posibilitate, considerînd că investigaţia noastră se face la o scară de timp la care răspunsul poate fi considerat instantaneu. Prin combinarea teoremei valorii iniţiale cu proprietatea transformatei Laplace relativă la derivarea în domeniul timp, putem obţine informaţii suplimentare despre comportarea derivatelor lui y tu( ) la momentul 0 :

lim ( ) lim ( )t

lul s

ly tt

s H s

0

dd

. (4.4)

Luînd în consideraţie forma funcţiei de transfer şi notînd r n m , ajungem la următoarea concluzie: Toate derivatele de ordin 0, 1, ... , r 1 ale răspunsului y tu ( ) sînt nule la 0 . Comportarea răspunsului indicial pentru diferite valori ale lui r este prezentată în Tabelul 4.1 .

0

1

0

u(t)

t

Fig. 4.1 a). Semnalul treaptă aplicat la intrare.

????

0

uy (t)

t

Fig. 4.1 b). Răspunsul circuitului imediat după aplicarea semnalului la intrare: încotro ?

Capitolul 4 Răspunsul la semnal treaptă. Sisteme de ordinul 1 93

Temă: Demonstraţi afirmaţia precedentă.

Tabelul 4.1. Comportarea răspunsului indicial, imediat după aplicarea semnalului treaptă

r 0 , gradul numitorului mai mic decit al număratorului

n m

yu ( )0 =

experiment nerealizabil

r 0, gradul numitorului egal cu gradul numărătorului

n m

y Au( )0 0 dar finit

0.0

1.0

0

yu(t)

t

A

r 1, gradul numitorului mai mare cu o unitate decît gradul numărătorului

n m 1

y Au ( )0 0

dydt

u

t

0

0, finit

0.0

1.0

0

yu(t)

t

A=0y (0 )=u +

dydt

t=0

u

+

=0

r 2, gradul numitorului mai mare cu două unităţi decît gradul numărătorului

n m 2

y Au( )0 0

dydt

u

t

0

0

d ydt

u

t

2

20

0

, finit

0.0

1.0

0

yu(t)

t

A=0y (0 )=u +dydt t=0

u

+=0

t=0+=0

d yu2

dt2

Ce se întîmplă cînd t ? Semnalul de intrare staţionarizîndu-se ( lim ( )

tu t

1), dacă

circuitul este stabil, răspunsul se staţionarizează şi el la valoarea y y tt

( ) lim ( )

. Răspunsul este

produs de circuit prin amplificarea unui semnal continuu (de frecvenţă zero) şi mărime unitară. Aceast rezultat este confirmat de teorema valorii finale lim ( ) lim ( )

tu

sDCy t H s A

0. (4.5)

Din nou, datorită formei particulare a funcţiei de transfer, putem întîlni numai trei situaţii:


a) funcţia de transfer are unul sau mai multe zerouri în origine: ADC şi yu( ) sînt nule, răspunsul se relaxează la zero. b) funcţia de transfer are unul sau mai mulţi poli în origine: limita yu ( ) este infinită şi răspunsul creşte nedefinit; circuitul nu este stabil. c) funcţia de transfer nu are nici zerouri şi nici poli în origine: răspunsul se staţionarizează la o valoare nenulă şi finită, egală cu ADC , amplificarea de la curent continuu. Concluzia discuţiei precedente poate fi formulată astfel: Răspunsul indicial are, imediat după aplicarea semnalului, o valoare egală cu amplificarea de la frecvenţe foarte mari şi tinde asimptotic cu timpul la o valoare egală cu amplificarea de la curent continuu (Fig. 4.2). Numărul de derivate care sînt nule (platitudinea) în origine creşte cu diferenţa între gradele numitorului şi numărătorului funcţiei de transfer. Calculul explicit al răspunsului la semnal treaptă unitar Utilizînd

)(1)()( 11 sH

sLsYLty uu , (4.6)

expresia explicită a răspunsului poate fi calculată aplicînd teorema dezvoltării, prezentată în capitolul precedent. La aplicarea acestei teroreme, efectul semnalului treaptă de la intrare se manifestă prin adăugarea la polii lui H s( ) a unui pol suplimentar, situat în origine. Dacă funcţia de transfer H s( ) nu are poli în origine, polul din origine adăugat de semnalul treaptă va fi de multiplicitate unu. Termenul constant datorat lui, calculat din teorema dezvoltării, are valoarea ADC . Astfel, pentru un circuit stabil, toţi termenii datoraţi polilor lui H s( ) se sting în timp, la infinit rămînînd numai ADC , în acord cu rezultatul obţinut cu teorema valorii finale. Observaţie: Ţinînd seama de afirmaţia precedentă, termenul constant din y tu( ) se poate determina simplu, prin calcularea lui ADC , evitînd fomula complicată oferită de teorema dezvoltării. În cazul în care circuitul este la limita stabilităţii, funcţia de transfer avînd un pol în origine, datorită semnalului treaptă, se obţine pentru Y su ( ) un pol dublu în origine. El produce în răspunsul indicial doi termeni, unul constant şi unul liniar, crescător cu timpul. Răspunsul indicial creşte astfel nemărginit, chiar dacă pentru alte semnale de intrare (cum ar fi unul sinusoiddal cu frecvenţa nenulă) răspunsul este mărginit.

00

ADC

t

y u(t)

A

a)

ADC

A()

A0

0

b) Fig. 4.2 . Răspunsul unui sistem la semnal treaptă unitar (a) şi

răspunsul său în frecvenţă (b).


Exemplu Să calculăm explicit răspunsul la semnal treaptă unitar al unui sistem cu funcţia de transfer

H s ss s

( )( )( )

30 10

1 50.

Imaginea Laplace a răspunsului va avea trei poli: la s 1 şi s 50 provenind din funcţia de transfer, plus polul din origine al semnalului treaptă de la intrare. Astfel, răspunsul y tu ( ) va avea trei termeni y t K K e K eu

t t( ) 1 2 3

50 . Mai rămîne să calculăm valorile celor trei coeficienţi. Am putea să utilizăm formula din teorema dezvoltării, dar există o cale mult mai simplă: exploatarea caracteristicilor generale ale răspunsului. Astfel, la limita t ultimii doi termeni se sting, iar răspunsul trebuie să devină ADC , care se calculează imediat punînd s 0 în expresia lui H s( ) . Obţinem imediat valoarea K1 6 . Ceilalţi doi termeni se pot determina din exploatarea informaţiilor asupra comportării răspunsului în 0 :

y A K Kdy dt s Hs K K

u

us

( )lim ( )

0 6 050 30

2 3

0 2 3

.

După rezolvarea sistemului de ecuaţii, avem expresia explicită a răspunsului indicial y t e eu

t t( ) . . 6 5 51 0 49 50 . Temă: Şi acum, după ce aţi făcut atîtea calcule, lansaţi programul RESP_2.exe. În graficul din stînga aveţi poziţionarea polilor şi zerourilor în planul complex. Folosind mouse-ul îi puteţi selecta şi deplasa oriunde doriţi. De asemenea, îi puteţi elimina sau puteţi introduce alţii. Pentru fiecare configuraţie interesantă ajunge să "clicaţi" cu mouse-ul pe graficul din dreapta şi veţi obţine răspunsul la semnal treaptă unitar. Puteţi obţine, în acelaşi timp, şi expresia analitică a răspunsului. Utilizînd acest program, verificaţi calculele anterioare. Performanţele răspunsului indicial oscilatoriu amortizat Sistemele de control automat realizează o dependenţă a mărimii controlate (de ieşire) în funcţie de mărimea prescrisă (de intrare). Controlul trebuie să se menţină şi pentru semnale de intrare constante, deci ADC 0 şi valoarea asimptotică yu( ) este şi ea nenulă. O importanţă deosebită are în practică răspunsul sistemului la o variaţie treaptă a mărimii de intrare. În general, evoluţia sa între valoarea nulă şi valoarea staţionară y fin este oscilatoriu amortizată, ca în Fig. 4.3, şi se definesc cîteva mărimi care caracterizează performanţele sistemului: -timpul de creştere Tc - durata necesară răspunsului să evolueze de la 0 1. y fin la 0 9. y fin ; -timpul de liniştire TS (settling în limba engleză) - durata necesară răspunsului pentru a intra definitiv în intervalul de valori y yfin fin 0 05. ; -supracreşterea relativă (over-shoot în limba engleză) y y finmax ;


-perioada de oscilaţie Tosc a răspunsului -constanta de timp de stingere (atenuare) al oscilaţiei, anvelopa ei evoluînd ca

tCy fin exp . Ordinul unui sistem Răspunsul unui sistem la un semnal oarecare poate fi calculat dacă se cunoaşte funcţia sa de transfer Laplace. Ştim că ea are forma unui raport de polinoame cu coeficienţi reali, pentru sisteme realizabile gradul numitorului fiind mai mare sau egal cu cel al numărătorului. Complexitatea sistemelor este dată de ordinul funcţiei lor de transfer care este, prin definiţie, gradul maxim al polinoamelor. Pentru sistemele realizabile acesta este gradul numitorului. În general, ordinul unui sistem poate fi ridicat, calculul răspunsului necesitînd efectuarea unor transformări Laplace directe şi inverse. Vom vedea, însă, în continuare că, oricît de complicată ar fi funcţia de transfer, răspunsul în frecvenţă şi la semnal treaptă se poate obţine cu o aproximaţie suficient de bună aproape fără nici un calcul. Pentru aceasta trebuie să cunoaştem foarte bine comportarea circuitelor cu funcţii de transfer simple, de ordinul unu şi doi.

B. Răspunsul în frecvenţă şi la semnal treaptă pentru sisteme de ordinul 1 1) Ce face un pol real negativ cînd e singur: filtrul trece jos de ordinul 1 Să începem cu un circuit stabil, pentru aceasta polul trebuind să fie în semiplanul stîng al planului complex (Fig. 4.4). Scriem funcţia de transfer în forma

H ss

p

p

( )

(4.7)

cu p 0, polul fiind la s p . Constanta de la numărător a fost aleasă astfel încît amplificarea la curent continuu (s 0) să fie unitară ADC 1. (4.8) Observaţie: Datorită liniarităţii tranformărilor Fourier şi Laplace, mărimea constantei multiplicative reale din funcţia de transfer nu afectează forma răspunsului sistemului ci numai amplitudinea sa. Din acest motiv, vom alege, pentru funcţiile de transfer pe care le vom studia,

00.0Tc

Tst

Tosc

yfin

ymax 1.05 yfin

0.95 yfin0.90 yfin

0.10 yfin

Fig. 4.3. Performanţele răspunsului unui sistem de control automat la un semnal treaptă.

Im s

Re sp 00

Fig. 4.4. Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul 1.


constante multiplicative care să asigure amplificare unitară într-o anumită regiune asimptotică sau la o anumită frecvenţă. Pentru funcţia de transfer de mai sus, acest lucru se întîmplă în regiunea 0. La frecvenţe foarte mari ( ) amplificarea tinde la zero. Astfel A 0 . (4.9) Observaţie Comportarea funcţiei de transfer Fourier la 0 se obţine simplu punînd în funcţia de transfer Laplace s 0. De asemenea, comportarea la se obţine trecînd la limită în funcţia de transfer Laplace cu s . Justificaţi această afirmaţie. O astfel de comportare este una trece-jos, deoarece frecvenţele coborîte se regăsesc practic cu aceeaşi amplitudine la ieşirea sistemului, în timp ce frecvenţele înalte sînt atenuate (rejectate). Cînd frecvenţa tinde la infinit, rejecţia, definită ca inversul amplificării, tinde şi ea la infinit. Funcţia de transfer pe care o studiem este, deci, o funcţie trece-jos de ordinul întîi, cu rejecţie infinită la frecvenţă infinită. Răspunsul în frecvenţă: nimic mai siplu, numai segmente de linie dreaptă !

Pentru obţinerea amplificării, înlocuim pe s cu j şi luăm apoi modulul acestei funcţii

Hp

( )

1

12 2 (4.10)

apoi cîstigul se determină prin G H p( ) log ( ) log ( ) 20 10 110 10

2 2 . (4.11)

Studiem, pentru început, comportarea cîstigului în regiunile asimptotice : G( ) 0 pentru p şi G p( ) log log 20 2010 10 pentru p . (4.12) Observaţie Dacă într-o anumită regiune amplificarea merge ca l (pentru funcţiile de transfer de care ne ocupăm l fiind întreg), atunci graficul cîstigului, desenat într-o scală logaritmică pentru frecvenţă, este o dreapta de pantă 20 l dB/decadă. Demonstraţi această proprietate. Cele două asimptote sînt desenate în Fig. 4.5: o linie orizontală în stînga frecvenţei polului şi o linie cu panta de -20 dB/decadă în dreapta acestei frecvenţe. Ele se intersectează în punctul de coordonate G 0 şi p . Din acest motiv, p este numită frecvenţă de tăiere (cut frequency) deşi un termen mai adecvat ar fi acela de frecvenţă de frîngere (corner frequency). Pe aceeaşi figură este suprapusă şi dependenţa exactă dată de relaţia (4.11). Se observă că, la o decadă depărtare de frecvenţa polului, dependenţa exactă este deja aproximată foarte bine de cele două segmente de linie dreaptă. Abaterea maximă are loc chiar la frecvenţa polului şi este de


G p( ) log log ( . ) 20 12

20 0 707 310 10 dB (4.13)

Din acest motiv, frecvenţa de tăiere mai poate fi definită prin condiţia ca valoarea cîştigului să fie cu 3 dB mai jos decît palierul de la frecvenţe joase (sau, echivalent, amplificarea să fie 0.707 din amplificarea la frecvenţe joase). Defazajul introdus de circuit se obţine din faza funcţiei de transfer Fourier ca

p arctan)( (4.14)

şi este reprezentat in Fig. 4.6.

Defazajul la frecvenţa polului este 4 iar defazajul "total" (la frecvenţe mari) este 2. Graficul poate fi aproximat prin segmente de linii drepte, eroarea de aproximare fiind de 5.7o la p 10 şi la 10 p . Segmentul de linie înclinată are panta de 4 decade/ . La orice valoare a frecvenţei, defazajul este negativ, circuitul fiind unul cu întîrziere de fază (lag phase în limba engleză). Trecem, în continuare, la studiul răspunsului indicial (la semnal treaptă). Expresia lui se obţine prin inversarea imaginii Laplace a semnalului de ieşire

Y s X s H s

s sp

p

( ) ( ) ( )

( )

. (4.15)

Polul din origine, care este dat de semnalul treaptă de la intrare, produce un termen constant, iar polul real al funcţiei de transfer produce un termen exponenţial, care se stinge în timp y t K Ku

tp( ) 1 2 e . (4.16)

Dar noi cunoaştem deja pe ADC şi A . Utilizînd teoremele valorii inţiale şi finale se ajunge la yu( )0 0 şi y 1, de unde deducem valorile celor două constante, fără să mai fie nevoie de aplicarea relaţiilor din teorema dezvoltării. Rezultă

1 10 100 1k 10k 100k 1M-60

-40

-20

0G (dB)

(rad/s)

3 dB

- 20 dB/decada

p

Fig. 4.5. Diagrama cîstigului pentru filtrul trece-jos de ordinul 1.

1 10 100 1k 10k 100k 1M

p

/2

- /4

0.0

eroare 5.7o

eroare 5.7o

-/4/decada

(rad)

(rad/s) Fig. 4.6. Diagrama fazei pentru filtrul trece-jos de ordinul 1.


y tutp( ) 1 e- . (4.17)

Temă: Regăsiţi aceste valori folosind teorema dezvoltării. Graficul acestui răspuns este dat în Fig. 4.7. Constanta de timp a exponenţialei este 1 p iar după un timp t 5 , diferenţa pîna la valoarea asimptotică este mai mica decît 1%. (regula celor 5 ). Astfel, cu cît polul este mai apropiat de origine cu atît răspunsul indicial este mai lent (Fig. 4.8).

0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 yu(t)

t (ms)

Im s

Re s0

0

spre un raspunsindicial mai rapid

spre un raspunsindicial mai lent

Fig. 4.7. Răspunsul indicial al filtrului trece-jos de ordinul 1.

Fig. 4.8. Cum trebuie deplasaţi polii în planul complex pentru a modifica viteza de răspuns a sistemului.

Exemple de circuite cu funcţii de transfer trece jos de ordinul 1 a) Filtrul pasiv RC din Fig. 4.9 are amplificarea în tensiune

H s U sU s s RC

oi

p

pp( ) ( )

( )

cu 1 . (4.18)

b) În Fig. 4.10 este prezentat un filtru activ cu amplificator operaţional (AO). Amplificarea în tensiune a circuitului se poate calcula uşor dacă se consideră amplificatorul operaţional ca fiind ideal. Astfel, curenţii din intrările AO sînt nuli iar intrările se găsesc la aceeaşi potenţial (la masă) din cauza amplificării infinite. Curentul care intră în rezistorul de rezistenţă R1 este I U Ri1 1 , (4.19) fiind egal cu cel care trece prin combinaţia paralelă R C2 2

I UZ

o1

2

0

, (4.20)

uu i o

R

C

Fig. 4.9. Filtru pasiv trece jos de ordinul unu.


unde Z2 este impedanţa grupării paralele R C2 2. De aici rezultă funcţia de transfer

H s U sU s

RR s

o p

p( ) ( )

( )

1

2

1

(4.21)

cu p R C

1

2 2.

Ce se întîmplă dacă polul este pozitiv ? În răspunsul la semnal treaptă (4.17) termenul exponenţial creşte nelimitat în timp, circuitul fiind instabil. În aceste condiţii răspunsul în frecvenţă îşi pierde semnificaţia, deoarece nu există la ieşire un semnal sinusoidal staţionarizat. La limita stabilităţii avem un caz special: pol în origine - integratorul ideal. Amplificarea este infinită la 0 şi, deci, nu mai putem să păstrăm vechiul mod de a alege constanta multiplicativă, aşa că scriem funcţia de transfer ca

H ss

( ) 1 , (4.22)

amplificarea avînd valoare unitară la frecvenţa circulară 1 . Graficul cîştigului este o dreaptă de

pantă 20 dB/ decada (Fig. 4.11) iar defazajul este 2

la orice frecvenţă (Fig. 4.12).

1 10 100 1k 10k 100k 1M-60

-40

-20

0

20

40

60

1

-20 dB/decada

G (dB)

(rad/s)

1 10 100 1k 10k 100k 1M

- /4

-/2

0

(rad)

(rad/s)

Fig. 4.11. Cîştigul integratorului ideal. Fig. 4.12 . Faza integratorului ideal.

Pentru aflarea răspunsului la semnal treaptă, trebuie să inversăm Laplace funcţia

Y s X s H ss

X ss

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

2 (4.23)

care are un pol dublu în origine. Forma răspunsului va fi, deci,

uo

u i

C

-

+

RR1

2

2

AO

Fig. 4.10. Filtru activ trece-jos de ordinul 1.


y t K K tu( ) 11 12 . (4.24) Aplicînd teorema valorii iniţiale, obţinem yu ( )0 0 şi dy t dtu t( )

0 1 , deci răspunsul la

semnal treaptă creşte proporţional cu timpul y t tu( ) 1 . (4.25) Înmulţirea cu 1 s a imaginii Laplace a semnalului de intrare, în ecuaţia (4.23), poate fi interpretată în domeniul timp ca o operaţie de integrare. Astfel, în acest caz, răspunsul la orice semnal se calculează simplu în domeniul timp

t

dxyty0

)()0()( (4.26)

chiar dacă semnalul de ieşire nu este nul înainte de aplicarea semnalului de intrare. Circuitul se comportă ca un integrator ideal. Un astfel de circuit se obţine din filtrul activ prezentat anterior (Fig. 4.10), dacă rezistorul este îndepărtat (are o valoare infinită), în ipoteza unui amplificator operaţional ideal. Vom vedea mai tîrziu că, datorită neidealităţii amplificatorului operaţional, prezenţa rezistorului este obligatorie, noul circuit fiind numit integrator real. 2) Ce face un zerou real cînd e singur ? Funcţia de transfer

H s s z

z( )

(4.27)

are un zerou real negativ la s z (Fig. 4.13) şi amplificarea este unitară la curent continuu. Urmînd metoda utilizată la cazul anterior, se găseşte că graficul aproximativ al cîstigului este o linie orizontală în stînga frecvenţei zeroului şi o dreaptă cu panta de +20 dB/decadă în dreapta acestei frecvenţe (Fig. 4.14). Cele două asimptote se intersectează într-un punct ale carui coordonate sînt frecvenţa zeroului şi valoarea nulă pentru cîstig. Eroarea faţă de graficul exact este maximă la această frecvenţă, avînd valoarea de 3 dB. Dependenţa fazei este prezentată in Fig. 4.15. Defazajul la frecvenţa zeroului este 4 iar efectul total al zeroului este un defazaj de 2. La orice frecvenţă defazajul este pozitiv, circuitul fiind unul cu avans de fază (lead phase în limba engleză). Comparînd răspunsul în frecvenţă dat de funcţiile de transfer cu un pol real şi, respectiv, cu un zerou real, se observă ca efectul zeroului este, într-un anumit sens, inversul efectului polului: -polul frînge caracteristica cîstigului în jos, micşorîndu-i panta cu 20 db/decadă, pe cînd zeroul frînge caracteristica cîstigului în sus, mărindu-i panta cu 20 db/decadă

Im s

Re sz00

Fig. 4.13. Harta poli-zerouri pentru funcţia de transfer cu un zerou real negativ.


-polul produce un defazaj negativ, semnalul de ieşire fiind defazat în urma semnalului de la intrare, pe cînd zeroul produce un defazaj de aceeaşi valoare absolută dar pozitiv, semnalul de ieşire fiind defazat înaintea semnalului de la intrare.

1 10 100 1k 10k 100k 1M0

20

40

60

z

20 dB/decada

G (dB)

(rad/s)

3 dB

1 10 100 1k 10k 100k 1M

z

/2

/4

0.0

eroare 5.7o

eroare 5.7o

panta=/4/decada

(rad)

(rad/s) Fig. 4.14. Diagrama cîstigului pentru funcţia de transfer cu un zerou real negativ.

Fig. 4.15. Diagrama fazei pentru funcţia de transfer cu un zerou real negativ.

Temă: Justificaţi că defazarea semnalului de ieşire înaintea semnalului de la intrare nu încalcă principiul cauzalităţii. Calculăm acum răspunsul la semnal treaptă. Valoarea staţionară yu ( ) a acestui răspuns este unitară, pentru ca ADC 1. Deoarece A , răspunsul la semnal treaptă are un salt infinit la t 0 . Acest lucru arată că experimentul nu este realizabil. Dacă funcţia de transfer este o amplificare de tensiune sau de curent, un asemenea circuit este fizic nerealizabil. Dacă însă funcţia de transfer este o impedanţă sau admitanţă de intrare, circuitul este realizabil, dar nu se poate efectua un salt treaptă (instantaneu) al mărimii de intrare care este curentul, respectiv tensiunea. De exemplu, curentul printr-un inductor sau tensiunea pe un condensator nu pot fi forţate să aibă variaţii treaptă (instantanee), pentru aceasta fiind necesare valori infinite pentru tensiune, respectiv curent. Caz special: zerou în origine - derivatorul ideal Funcţia de transfer se scrie ca

H s s( ) 1

(4.28)

amplificarea fiind unitară la frecvenţa 1. Graficul cîstigului este o dreaptă cu panta de +20 dB/decadă iar defazajul este 2 la orice frecvenţă. Răspunsul la semnal treaptă este un impuls Dirac cu aria egală cu 1 1 . Înmulţirea imaginii Laplace a semnalului de intrare cu s este echivalentă în domeniul timp cu operaţia de derivare, astfel că la un semnal de intrare oarecare răspunsul circuitului este

uou i

C

-

+

R

Fig. 4.16. Derivatorul "ideal" cu amplificator operaţional.


y t dx tdt

( ) ( )

1

1, (4.29)

circuitul fiind un derivator ideal. Circuitul din Fig. 4.16, în ipoteza unui amplificator operaţional ideal, are funcţia de transfer

H s sRC

( )

1

11 cu (4.30)

deci ar trebui să se comporte cu un derivator ideal. Vom vedea mai tîrziu că, datorită funcţiei de transfer neideale a amplificatorului operaţional, răspunsul este inacceptabil şi circuitul trebuie modificat, devenind un derivator "real". 3) Începe competiţia: un pol real şi un zerou real Funcţia de transfer este

H ss

sp

pz

z( )

(4.31)

de unde se obţine ADC 1 şi A p z . Această funcţie de transfer este produsul a două funcţii de tipul celor studiate anterior. Datorită definirii cîştigului prin logaritmul amplificării, cîstigul asociat ei se obţine prin însumarea cîştigurilor G1 şi G 2 ale celor două funcţii, cîstiguri reprezentate în Fig. 4.5 şi Fig 4.14, G G G( ) ( ) ( ) 1 2 . (4.32) Pe de altă parte, faza unui produs de numere complexe este egală cu suma fazelor, deci şi faza se obţine tot prin însumarea fazelor 1 şi 2 din Fig. 4.6 şi Fig 4.15. Cum diagramele aproximative ale cîştigului şi fazei sînt compuse din segmente de linii drepte, sumarea se face fără dificultate. În plus, palierele diagramelor de cîştig sînt la valoarea de 0 dB, ceea ce simplifică mult acest procedeu. În funcţie de relaţia de ordine între p şi z şi distingem trei situaţii: i) p z , polul este dominant Diagrama cîştigului este cea din Fig. 4.17. Amplificarea de la frecvenţe mari este mai mică decît cea de la frecvenţe mici, funcţia de transfer fiind una trece-jos. Atenuarea la frecvenţe mari nu mai tinde însă la infinit. Diagrama de fază (Fig. 4.18) arată ca defazajul este, la orice frecvenţă, negativ. Polul, fiind mai apropiat de origine, domină şi determină tipul răspunsului. Utilizînd teoremele valorii iniţiale şi finale, precum şi teorema dezvoltării, se obţine expresia răspunsului la semnal treaptă tp

zpu ty e11)( (4.33)

care rămîne valabilă, oricare ar fi relaţia de ordine între frecvenţele polului şi zeroului.


1 10 100 1k 10k 100k 1M

-20

0

z

G (dB)

(rad/s)

p

1 10 100 1k 10k 100k

zp

- /2

- /4

0.0

(rad)

(rad/s)

Fig. 4.17. Diagrama cîştigului pentru funcţia de transfer ( 4.31 ) cînd polul este dominant.

Fig. 4.18. Diagrama fazei pentru funcţia de transfer (4.31) cînd polul este dominant.

Pentru cazul particular pe care îl studiem acum, graficul acestui răspuns este dat în Fig. 4.19 şi el pune în evidenţă dominanţa polului, valoarea unitară atingîndu-se după un timp infinit. ii) z p : zeroul este dominant În Fig. 4.20 şi 4.21 sînt date diagramele cîştigului şi fazei. Datorită zeroului dominant funcţia de transfer este una trece sus. Rejecţia la frecvenţe mici nu tinde însă la infinit. Răspunsul la semnal treaptă (Fig. 4.22) este tipic pentru un filtru trece sus, semnalul creşte instantaneu peste valoarea staţionară, coborînd apoi exponenţial spre aceasta.

0 10 20 30 40 50 60 700.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 yu (t)

t (ms) Fig. 4.19. Răspunsul indicial pentru funcţia de transfer (4.31), cînd polul este dominant.


1 10 100 1k 10k 100k 1M

0

20

p

G (dB)

(rad/s)

z

1 10 100 1k 10k 100k

zp

/2

/4

0.0

(rad)

(rad/s)

Fig. 4.20. Diagrama cîştigului pentru funcţia de transfer (4.31), cînd zeroul este dominant.

Fig. 4.21. Diagrama fazei pentru funcţia de transfer (4.31), cînd zeroul este dominant.

iii) p z , polul şi zeroul se anulează reciproc Funcţia de transfer devine egală cu 1 pentru orice valoarea a lui s şi avem cazul trivial al unui filtru trece tot. Răspunsul este întodeauna identic cu semnalul de la intrare şi, deci, răspunsul indicial este chiar semnalul treaptă de la intrare.

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

8

10

6

yu (t)

t (ms) Fig. 4.22. Răspunsul indicial pentru funcţia de transfer (4.31) cînd zeroul este dominant.


Supliment S 4.1. Sonda divizoare Aparatul utilizat pentru vizualizarea formelor de undă este osciloscopul. Semnalul se conectează la intrarea preamplificatorului său, care are, pentru osciloscoapele uzuale, o rezistenţă de intrare de R1 1 M , prin intermediul unei sonde, un tronson de cablu coaxial care are la capăt dispozitive mecanice de prindere pe conductoarele circuitului ce trebuie investigat (Fig. 4.23 a). Observaţie: Osciloscoapele de înaltă frecvenţă au impedanţa de intrare (rezistivă) de 50 pentru a lucra adaptat cu cablul sondei şi, implicit, cu ieşirile cu aceeaşi impedanţă standard la care se conectează sonda.

Pentru anumite aplicaţii, cînd se fac măsurători pe circuite de mare impedanţă, pentru a nu influenţa starea circuitului investigat, este necesar ca sonda care se conectează să prezinte o impedanţă mai mare. Se utilizează atunci sonda divizoare (Fig. 4.23 b). Rezistenţele R2 9 M şi R1 a osciloscopului formează un divizor cu raportul 1 10 dar, în acelaşi timp, furnizează o rezistenţă de intrare de zece ori mai mare, egală cu 10 M. Ar urma ca funcţia de transfer a sondei divizoare să fie pur reală

H sR

R R( )

1

1 2. (4.34)

Cablul coaxial prezintă însă, la frecvenţele de lucru, şi o capacitate, care este de ordinul a 100 pF m , astfel că, în paralel cu R1 apare capacitatea C1 de 35 50 pF, care diferă de la sondă la sondă şi de la un osciloscop la altul (Fig. 4.23 c). Din această cauză, funcţia de transfer a sondei divizoare devine

H s RR R R C s

RR R s

p

p( )

1

1 2 12 1

1

1 2

11

(4.35)

unde 1121 CRp şi 212112 RRRRR . Avem o funcţie trece jos cu frecvenţa polului în jur de 3200 Hz, răspunsul la semnal treaptă avînd o constantă de timp de 0.05 ms. Chiar pentru o frecvenţă de numai 30 kHz (osciloscoapele de joasă frecvenţă au banda de trecere pînă la 10-30 MHz), capacitatea C1 produce, în cazul unui semnal sinusoidal, o atenuare suplimentară de aproape 10 ori, iar, pentru semnalele dreptunghiulare, forma afişată pe ecran este departe de cea reală. Cauza acestui fenomen este micşorarea amplificării de la frecvenţe mari, care acum evoluează ca 1 şi A 0 , în timp ce amplificarea de la curent continuu este 0.1. Remediul este mărirea acestei amplificări prin adăugarea condensatorului C2 (Fig. 4.23 d). Acum funcţia de transfer devine

p

p

z

z

ss

RRR

sCCRsCR

RRRsH

21

1

2112

22

21

1

11)( (4.36)

cu 221 CRz şi 21121 CCRp .


osciloscop

sonda R1

osciloscop

sonda divizoare

R 1

a) b)

R2

R1

R2

R1C1

c) d)

R2 R1C1

C2

e)

C2 prea mic optim prea mareC2 C2

R1

R2

Fig. 4.23. Sonda divizoare şi acordarea sa.

Frecvenţa polului s-a modificat şi, în plus, a apărut un zerou real. Pentru anularea reciprocă a efectelor polului şi zeroului este necesar ca ele să aibă aceeaşi poziţie, ceea ce conduce la relaţia

CC

RR

2

1

1

2

19

. (4.37)

Este uşor de verificat că, în acest caz, şi amplificarea A are valoarea 1 10. În practică, aşa cum s-a menţionat anterior, valoarea C1 nu este cunoscută cu precizie. Din acest motiv, capacitatea C2 se realizează cu un condensator semireglabil (trimer, de la englezescul to trim - a ajusta). Reglarea acestui condensator (acordarea sondei divizoare) se face prin aplicarea la capătul ei a unui semnal periodic dreptunghiular şi urmărirea formei de undă pe ecranul osciloscopului (Fig. 4.23 c). Dacă C2 este prea mic, polul este dominant, iar dacă este prea mare, zeroul este acela care domină. La acordare optimă, forma de undă de pe ecran este dreptunghiulară.


Probleme P 4.1. Pentru a vizualiza răspunsul unui sistem în momentul imediat următor aplicării semnalului treaptă la intrare, ar trebui ca osciloscopul să aibă un timp de răspuns nul; în acest caz am măsura amplificarea de la frecvenţă infinită A . Dacă osciloscopul are un timp de răspuns 16 ns, ce determinăm noi în realitate ? P 4.2. Luînd în considerare timpul de răspuns al osciloscopului, discutaţi determinarea diferenţei r n m dintre gradul numitorului şi numărătorului funcţiei de transfer prin vizualizarea răspunsului la semnal treaptă. P 4.3. Pentru un sistem de ordinul 1 la care cunoaşteţi harta poli-zerouri, se determină răspunsul la semnal treaptă. Cît ar trebui să dureze experimentul pentru ca ADC să fie măsurat cu precizie de un procent ? P 4.4. Calculaţi valorile iniţială şi finală ale răspunsului la semnal treaptă produs de circuitul din Fig. 4.24 a), fără să calculaţi dependenţa explicită H s( ) (indicaţie: desenaţi schemele echivalente pentru 0 şi ). Găsiţi apoi locaţia polilor şi încercaţi să preziceţi cum evoluează răspunsul între aceste limite. P 4.5. Reluaţi problema precedentă pentru circuitul din Fig. 4.24 b). P 4.6. Rezolvaţi aceeaşi problemă, dar pentru circuitul din Fig 4.24 c). P 4.7. Reluaţi studiul servomotorului de curent continuu abordat în Suplimentul S 1.4, considerînd că rezistenţa şi inductanţa bobinei sînt atît de mici încît termenii lor pot fi neglijaţi în expresia tensiunii u tm( ) . Deduceţi funcţia de transfer, cu tensiunea ca variabilă de intrare şi unghiul de rotaţie ca variabilă de ieşire. Ce tip de funcţie de transfer obţineţi ? Cum arată răspunsul la semnal treaptă ? Dar la o variaţie liniară a tensiunii de intrare ? P 4.8. Exploatînd liniaritatea sistemului, precum şi relaţia între treapta unitară şi impulsul unitar (Dirac), deduceţi expresia funcţiei pondere din răspunsul la semnal treaptă pentru a) un filtru trece-jos de ordinul unu b) un filtru trece-sus de ordinul unu. P 4.9. Proiectaţi un filtru RC trece-sus, care să atenueze semnalele cu frecvenţe inferioare benzii audio, ce se întinde între 20 Hz şi 20 kHz (rumble filter). Stabiliţi frecvenţa de tăiere la 10 Hz. Alegeţi valoarea rezistenţei astfel încît rezistorul de sarcină legat la ieşire, avînd rezistenţa de 10 k, să nu influenţeze semnificativ funcţionarea filtrului. Ce amplificare are filtrul la frecvenţa de 20 Hz ? P 4.10. Calculaţi impedanţa de intrare în acest filtru în funcţie de frecvenţă. Cum variază modulul ei ? P 4.11. Calculaţi impedanţa de ieşire a filtrului proiectat în problema precedentă şi discutaţi variaţia cu frecvenţa a modulului ei. P 4.12. Proiectaţi un filtru RC trece-jos care să rejecteze semnalele cu frecvenţe superioare benzii audio şi să funcţioneze pe aceeaşi sarcină ca cel de la problema precedentă. Alegeţi frecvenţa de tăiere la 20 kHz.

vin

vout

a) b) c)

R

L

C

R

L

C R

C

L

vinvin

vout

vout

Fig. 4.24. Circuite RLC pentru problemele P 4.4-4.6.

C a p i t o l u l 5

-40

0

40

G (dB)

0

1

t0

yu

S i s t e m e d e o r d i n s u p e r i o r

A. Sisteme de ordinul doi 1) Ce putem face cu doi poli: filtrul trece-jos de ordinul doi Un asemenea sistem este pendulul elastic la care forţa de frecare este proporţională cu viteza, ca în problema P 3.11. Luînd ca semnal de intrare forţa externă, iar ca semnal de ieşire deplasarea de la poziţia de echilibru, obţinem funcţia de transfer

222 2

111)(nnssm

mks

mbsm

sH

(5.1)

cu mkn şi mkb 2 . Forma în care este pus numitorul este numită forma standard şi va fi folosită sistematic pentru polinoamele de gradul doi ale căror rădăcini sînt complexe. Recunoaştem în n frecvenţa circulară de oscilaţie în absenţa frecării. Ea este numită frecvenţă naturală. Factorul pozitiv adimensional , proporţional cu constanta de frecare b , este numit factor de amortizare şi joacă un rol foarte important, controlînd tipul răspunsului (oscilatoriu sau nu), precum şi timpul său de stingere. Semnificaţia acestor mărimi va reieşi cu pregnanţă pe parcursul studiului sistemelor de ordinul doi. Pentru ca amplificarea să fie unitară la frecvenţa nulă, considerăm funcţia de transfer de forma

H ss s

n

n n( )

2

2 22. (5.2)

Fiind unitară la frecvenţe mici, amplificarea scade la frecvenţe mari ca 21 ( A 0), diagrama cîstigului avînd în această regiune o pantă de -40 dB/decadă. Circuitul este, deci, un filtru trece jos. Comportarea între aceste regiuni asimptotice depinde esenţial de valoarea factorului de amortizare şi este studiată în continuare.


Începem studiul cu valori 1 (Fig. 5.1). Ambii

poli sînt reali, fiind situaţi la

211n

pp şi

p p n2 2 2 , între frecvenţele lor existînd raportul

14 212 pp . Se poate arăta că la frecvenţe

p p1 2 , între frecvenţele polilor, amplificarea merge ca 1 şi, deci, diagrama cîştigului are panta -20 dB/decadă. Trecerea de la orizontală la panta de -40 db/decadă se face în două trepte.

1 10 100 1k 10k 100k 1M

-120

-80

-40

0

-40 dB/decada

-20 dB/decada

eroare 3dB

p1 p2

(rad/s)

G (dB)

0 50 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 uy

t (ms) Fig. 5.1 b) şi c). Diagrama cîştigului şi răspunsul la semnal treaptă, pentru filtrul trece-jos

de ordinul doi, în cazul 1 (supra-amortizat).

Să calculăm acum expresia răspunsului indicial. Cei doi poli reali produc doi termeni exponenţiali, care se sting în timp:

y t e e eut t tp p p( )

1

11

111 2 1

(5.3)

Termenul dat de polul îndepărtat este de ori mai mic şi se stinge de ori mai repede, astfel că răspunsul indicial este produs practic numai de polul dominant, care este cel mai apropiat de origine. Cum p n1 , datorită valorii mari a factorului de amortizare, răspunsul este extrem de lent, fiind supra-amortizat. Cu scăderea factorului de amortizare, polii se apropie între ei, îndreptîndu-se spre valoarea n, răspunsul la semnal treaptă devenind din ce în ce mai rapid. Pentru 1, cei doi poli se suprapun la s n (Fig. 5.2). Diagrama cîstigului arată ca în figură, caracteristica trecînd direct de la orizontală la o pantă de

Re(s)

Im(s)

p1p2

>>1

Fig 5.1 a). Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 1 (supra-amortizat).

Re(s)

Im(s)

n

=1

Fig 5.2 a). Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 1 (amortizare critică).

Capitolul 5 Sisteme de ordin superior 111

-40dB/decadă. La frecvenţa n , unde se frînge diagrama, cîştigul exact este cu 6 dB sub cel aproximativ.

1 10 100 1k 10k 100k 1M-120

-80

-40

0

-40 db/decada

6 dB

n

(rad/s)

G (dB)

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 y u

t (ms) Fig. 5.2 b) şi c). Diagrama cîştigului şi răspunsul la semnal treaptă pentru filtrul trece-jos

de ordinul doi, în cazul 1 (amortizare critică).

Datorită polului real dublu, expresia răspunsului la semnal treaptă se schimbă şi devine y t e t eu

tn

tn n( ) 1 ; (5.4) este cel mai rapid răspuns fără caracter oscilant, acest regim fiind numit regim amortizat critic. Dacă devine subunitar (Fig. 5.3), polii, care abia se întîlniseră, se despart din nou, devenind o pereche de poli complex conjugaţi:

p

p

n n

n n

12

22

1

1

(5.5)

Modulul lor este n pentru orice valoare subunitară a lui , polii mişcîndu-se pe un cerc de rază n în jurul originii, ca în Fig. 5.4. Factorul de amortizare are şi el o interpretare grafică, fiind egal cu cosinusul unghiului al perechii de poli. Există, astfel, o legătură simplă între forma standard a polinomului de gradul doi şi locaţia perechii de poli complex conjugaţi. Faptul că polii au devenit complecşi schimbă fundamental caracterul răspunsului la semnal treaptă, acesta devenind oscilatoriu amortizat

tety ntn

u2

21sin

111)( ; (5.6)

regimul se numeşte subamortizat.

Re(s)

Im(s)

n

bisectoarea

0.707< <1

Fig 5.3 a). Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 0 707 1. (subamortizat).


1 10 100 1k 10k 100k 1M-120

-100

-80

-60

-40

-20

0-40 dB/decada

n

(rad/s)

G (dB)

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0yu


de ordinul doi, în cazul 0 707 1. .

Perioada oscilaţiilor este determinată de partea imaginară a polilor

Tposc

osc n

12

12

1

2 11 2 Im( ) (5.7)

iar înfăşurătoarea lor se stinge exponenţial cu o constantă de timp dată de partea reală a polilor.

1 1 1

1d npRe( ) (5.8)

Datorită oscilaţiilor, apare o supracreştere (overshoot) relativă egală cu

r

uy e

max 11

1 2 1 2, (5.9)

care, pentru valori mici ale factorului de amortizare, poate fi aproximată prin

r e . (5.10) Temă: Programul RESP_3.exe calculează şi desenează diagramele cîştigului şi a fazei. La fel ca la programul utilizat anterior, puteţi varia numărul, tipul, şi poziţia polilor şi zerourilor. Verificaţi că, pentru sisteme de ordinul unu, obţineţi rezultatele cunoscute din capitolul precedent. Abordaţi, în continuare, cazul sistemului cu o pereche de poli complex conjugaţi. Modificaţi numai factorul de amortizare şi urmăriţi evoluţia diagramei cîştigului. Scăderea factorului de amortizare sub valoarea 1 produce , la frecvenţa n , micşorarea sub valoarea de 6 dB a diferenţei între diagrama aproximativă şi cea exactă. Atîta timp cît factorul de

Re(s)

Im(s)

n osc

darccos( )=

Fig. 5.4. Pereche de poli complex conjugaţi.


amortizare rămîne mai mare decît 707.021 , diagrama cîstigului este monoton decrescătoare, derivata de ordinul unu a amplificării avînd o rădăcină simplă la 0. Cînd factorul de amortizare are valoarea 0.707 (Fig. 5.5), amplificarea ca funcţie de frecvenţă are derivatele de ordinul unu şi doi nule la 0. Diagrama cîstigului are astfel platitudine maximă, acest tip de filtre avînd denumirea de filtre Butterworth. Polii sînt localizaţi pe bisectoarele cadranelor planului complex. Eroarea diagramei aproximative a cîstigului la n se reduce la numai 3 dB. Supracreşterea relativă a răspunsului la semnal treaptă are în această situaţie valoarea de 2.4 procente.

10k1 10 100 1k 100k 1M

-40 db/decada

3 dB

n

(rad/s)

-120

-80

-40

0

G (dB)

0 5 10 15 200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0yu

t (ms)

Fig. 5.5 b) şi c). Diagrama cîştigului şi răspunsul la semnal treaptă pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 0 707. (filtru Butterwoth).

Dacă factorul de amortizare scade sub valoarea 0.707 (Fig.5.6), forma diagramei cîşţigului se

schimbă esenţial, prezentînd un maxim la poziţia max 1 2 2 (rezonanţă), amplificarea avînd

acolo valoarea 1

2 1 2 . La scăderea în continuare a factorului de amortizare, maximul se

deplasează spre n şi devine din ce în ce mai ascuţit şi mai înalt. Pentru valori foarte mici ale lui , el este poziţionat practic la n iar amplificarea maximă este aproximativ

H Q( ) max

12

. (5.11)

Q poartă numele de factor de calitate şi semnificaţia sa va fi abordată mai tîrziu, la studiul filtrului trece-bandă şi, apoi, în Suplimentul S 5.1.

Re(s)

Im(s)

n

bisectoarea =0.707

= 4

Fig 5.5 a). Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 0 707. (Butterworth)..


Dependenţele frecvenţei de rezonanţă (maximului amplificării), a frecvenţei osc şi a amplificării la rezonanţă, în funcţie de factorul de amortizare, ale căror expresii au fost date anterior, sînt desenate în Fig. 5.7. Trebuie accentuat că frecvenţa de rezonanţă nu este frecvenţa osc cu care oscilează răspunsul tranzitoriu şi că ambele sînt diferite de frecvenţa naturală n . Ele devin practic egale numai la valori mici ale lui . În Fig. 5.8 au fost desenate dependenţele de factorul de amortizare pentru supracreşterea relativă r a răspunsului la semnal treaptă şi, de aemenea, pentru expresia ei aproximativă (5.10).

10 100 1k 10k 100k-120

-80

-40

0

40

-40 dB/decada

n

(rad/s)

G (dB) =0.01

=0.1

1k0

20

40

0 5 10 15 20

0

1

2

=0.1yu

t (ms)

1+exp(-d t)

1-exp(-d t)

Tosc

Fig. 5.6 b şi c. Diagrama cîştigului şi răspunsul la semnal treaptă pentru filtrul trece-jos

de ordinul doi, în cazul 0 0 707 . .

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

max n

osc n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

2

4

6

8

10

Amax Q=1 (2 )

Fig. 5.7 a). Dependenţa de factorul de amortizarea a frecvenţei de rezonanţă şi a frecvenţei de oscilaţie a răspunsului tranzitoriu, pentru filtrul trece jos de ordinul doi.

Fig. 5.7 b). Dependenţa de factorul de amortizare a amplificării la rezonanţă şi a expresiei sale aproximative, pentru filtrul trece jos de ordinul doi.

Re(s)

Im(s)

n

bisectoarea

> 4

<0.7070<

Fig 5.6 a). Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 0 0 707 . .


0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

exp(- )

r

Fig. 5.8. Supracreşterea relativă şi expresia ei aproximativă (5.10), desenate în funcţie de factorul de amortizare, pentru filtrul trece jos de ordinul doi.

În Fig. 5.9 a) sînt reluate pentru, comparaţie, diagramele cîstigului pentru mai multe valori ale factorului de amortizare, iar în Fig. 5.9 b) sînt prezentate diagramele corespunzătoare pentru defazajul introdus de filtru. Se poate observa că, la frecvenţe mici, defazajul este nul, pe cînd la frecvenţe foarte mari el este apropiat de , aşa cum era de aşteptat pentru doi poli. Faptul că avem o pereche complexă face ca evoluţia fazei să fie mult mai rapidă în jurul lui n , unde 2 . Cu cît amortizarea este mai mică, cu atît tranziţia fazei este mai abruptă. Observaţie: Aplicarea pripită a relaţiei arctan Im ( ) Re ( )X X , fără să ţinem seama de modul de definiţie a funcţiei trigonometrice inverse, conduce la un rezultat eronat, cu o discontinuitate a fazei. Pentru a evita această eroare porniţi întodeauna de la valorile sinusului şi cosinusului unghiului pe care îl căutaţi.

0.01 0.1 1 10

-40

-20

0

20

G (dB)

/n

10.707

Q=3,

Q=10,

0.1 1 10-1.0

-0.5

0.0

/n

Fig. 5.9 a). Diagrama cîstigului filtrului trece jos de ordinul doi, pentru diferite valori ale factorului de amortizare.

Fig. 5.9 b). Diagrama fazei filtrului trece jos de ordinul doi, pentru diferite valori ale factorului de amortizare.

Cînd factorul de amortizare devine nul (Fig. 5.10), perechea de poli complecşi ajunge pe axa imaginară. Frecvenţa de oscilaţie a răspunsului la semnal treaptă devine exact n dar oscilaţia nu se mai stinge, păstrîndu-şi amplitudinea constantă. Circuitul este la limita stabilităţii, funcţionînd ca un oscilator. Răspunsul în frecvenţă îşi pierde semnificaţia fizică, lucru susţinut şi de faptul că maximul amplificării tinde la infinit cînd tinde la zero.


Dacă s-ar permite factorului de amortizare să devină negativ, perechea de poli ar ajunge în semiplanul stîng şi circuitul ar deveni instabil (amplitudinea răspunsului la semnal treaptă crescînd exponenţial cu timpul). Din acest motiv s-au considerat numai valori pozitive pentru acest factor.

Circuitul este la limita stabilităţii, răspunsul în frecvenţă nu are semnificaţie fizică, circuitul fiind un oscilator.

0 5 10 15 200

1

2

yu


de ordinul doi, în cazul 0 (limita stabilităţii).

2) Adăugăm un zerou în origine : filtrul trece bandă de ordinul doi Avem acum funcţia de transfer

H s ss s

n

n n( )

2 22

. (5.12)

Pentru funcţia de transfer considerată, ADC 0 şi A 0 . Circuitul prezintă o comportare de filtru trece-bandă. Diagrama cîştigului are panta de +20 dB/decadă la frecvenţe joase şi -20 dB/decadă la frecvenţe înalte. Ca şi în cazul precedent, forma diagramei în regiunea intermediară este controlată de valoarea factorului de amortizare. Pentru valori supraunitare ale lui , funcţia de transfer are doi poli reali negativi diferiţi. Între frecvenţele acestor poli, diagrama aproximativă a cîştigului este un segment de dreaptă orizontală, reprezentînd banda de trecere a filtrului (Fig. 5.11). La frecvenţele polilor, diagrama exactă a cîştigului este cu 3 dB sub valoarea din banda de trecere, acestea fiind frecvenţele de tăiere.

Re(s)

Im(s)

n

= 2

=0

Fig 5.10 a). Harta poli-zerouri pentru filtrul trece-jos de ordinul doi, în cazul 0 (limita stabilităţii).


1 10 100 1k 10k 100k 1M

-40

-20

0

p2p1

(rad/s)

G (dB)

100 1k 10k-40

-20

0

20 A=10

=0.2

=0.707

-3 dB-6 dB)

=1

n

(rad/s)

G (dB)(Q=10)

Fig. 5.11. Diagrama cîştigului pentru filtrul trece-bandă cu doi poli reali distincţi ( 1).

Fig. 5.12. Diagrama cîştigului pentru funcţia trece-bandă cu factorul de amortizare egal şi mai mic decît unitatea.

Cînd 1 (Fig. 5.12) polii reali se suprapun şi palierul orizontal din diagrama aproximativă a cîştigului dispare, asimptotele întîlnindu-se în punctul de coordonate n şi G 0. Diagrama exactă este la n cu 6 dB sub cea aproximativă. Dacă factorul de amortizare devine subunitar, polii sînt complex conjugaţi. Diferenţa, la n , între diagrama exactă şi cea aproximativă începe să scadă sub 6 dB iar, pentru valoarea 0 707. , ajunge la 3 dB. Scăzînd în continuare factorul de amplificare, maximul diagramei cîştigului devine din ce în ce mai înalt şi îngust. Introducînd factorul de calitate Q prin

21

Q , (5.13)

din expresia amplificării

221

)(

nnQ

QH

(5.14)

obţinem maximul ca fiind H Q( ) max . Vom vedea în Suplimentul S 5.1 că banda de trecere este

BQh l

n , (5.15)

iar, dacă 1Q , frecvenţele de tăiere sînt aşezate practic simetric (în scară liniară) faţă de n , Filtrul este cu atît mai selectiv cu cît factorul de calitate Q este mai mare. Abordăm acum studiul răspunsului la semnal treaptă (Fig. 5.13). Deoarece numărul şi forma termenilor din răspunsul la semnal treaptă depind numai de numărul şi poziţia polilor, iar polii sînt aceiaşi ca la filtrul trece jos, răspunsul va avea şi el acelaşi caracter. Deosebirea constă în valoarea finală, care acum va fi nulă, y Au DC( ) 0 şi în valoarea iniţială a derivatei sale de ordinul unu, care acum nu mai este nulă ci egală cu lim ( )

snsH s

.


Pentru valori supraunitare ale lui , răspunsul este supraamorizat. La 1, răspunsul la semnal treaptă este amortizat critic, iar dacă factorul de amortizare este subunitar, polii devin complex conjugaţi şi răspunsul la semnal treaptă devine oscilatoriu amortizat. Între performanţele sale (perioada şi constanta de atenuare) şi poziţia polilor există aceeaşi relatie ca în cazul funcţiei trece-jos. Observaţie: Deşi pentru 1 răspunsul creşte şi apoi scade, el nu are caracter oscilant, neajungînd la valori negative; această comportare este dată de două exponenţiale cu factori de semne diferite şi nu de o sinusoidă. 3) Mai adăugăm un zerou în origine: filtrul trece sus de ordinul doi Funcţia de transfer devine

H s ss sn n

( )

2

2 22 . (5.16)

Ea diferă de funcţia trece-jos (5.2) prin prezenţa unui zerou dublu în origine. Acest zerou dublu, adăugînd la diagrama cîstigului o pantă de +40 dB/decadă, schimbă caracterul trece-jos într-unul trece sus, amplificarea scăzînd ca 2 la frecvenţe joase şi fiind practic unitară la frecvenţe mari: ADC 0 şi A 1. Diagrama aproximativă a cîştigului este o dreaptă cu panta +40 dB/decadă spre frecvenţe joase şi o dreaptă orizontală cu G 0 spre frecvenţe înalte. În regiunea frecvenţelor intermediare, forma diagramei depinde de valoarea factorului de amortizare. Putem evita studiul detaliat al acestor diagrame prin utilizarea unei proprietăţi interesante a funcţiei trece-sus. Dacă în această funcţie facem schimbarea de variabilă

ssn2

(5.17)

obţinem, în noua variabilă, o formă identică cu funcţia de transfer trece-jos (5.2). Pentru amplificare (şi, evident, pentru cîştig şi fază), schimbarea de variabilă de mai sus este echivalentă cu

n2

(5.18)

0.0

0.4

0.8

>>1

=0.34

=0.707 =1

0 t

y u

Fig. 5.13. Răspunsul la semnal treaptă al filtrului trece bandă de ordinul doi.


care poate fi scrisă ca log( ) log( ) log( ) 2 n . Dacă ţinem seama că diagramele de cîştig şi fază sînt desenate în funcţie de )log( (chiar dacă valorile etichetelor se referă la frecvenţă), se constată că schimbarea de variabilă este echivalentă cu o oglindire a graficului faţă de linia verticală de la n . Din această cauză, diagramele cîştigului şi fazei pentru funcţia trece-sus se pot obţine direct din diagramele corespunzătoare pentru funcţia trece-jos. În Fig. 5.14 sînt date aceste diagrame pentru valori 1 . Temă: Justificaţi matematic această afirmaţie.

1000.1 1 10

-40

-20

0

20

G (dB)

/n

1 0.707

Q=3, Q=10,

0.1 1 10

-1.0

-0.5

0.0

/n

/

Fig. 5.14 a). Diagrama cîstigului filtrului trece sus de ordinul doi, pentru diferite valori ale factorului de amortizare.

Fig. 5.14 b). Diagrama fazei filtrului trece sus de ordinul doi pentru, diferite valori ale factorului de amortizare.

Folosind teoremele valorii iniţiale şi valorii finale, obţinem pentru răspunsul la semnal treaptă yu ( )0 1 şi yu ( ) 0 . Forma acestui răspuns, pentru 1, se poate urmări în Fig. 5. 15. Se observă că răspunsul trece la valori negative şi pentru poli reali. Nu trebuie să confundăm însă această comportare, produsă de două exponenţiale, cu una oscilantă deoarece nu există o nouă traversare a axei orizontale.

0.0

0.5

1.0 yu

t

0 Fig. 5.15. Răspunsul la semnal treaptă pentru filtrul trece sus de ordinul doi.


4) Şi zerourile pot fi complexe: filtrul de rejecţie de ordinul doi Să considerăm acum funcţia de transfer de ordinul doi

H ss

sn n

n( )

( )

2 2

22

(5.19)

care are amplificarea unitară A ADC 1 atît la frecvenţa zero cît şi la frecvenţe foarte mari. Ea poate fi factorizată ca

H ss

s sn

n

n n

n( )

( )

2

2

2 2

22

. (5.20)

Diagrama aproximativă a cîştigului, pentru primul factor, este cunoscută: palier orizontal la

0G , care la frecvenţa n trece într-o dreaptă cu panta de - 40 dB/decadă, diagrama exactă fiind la n cu 6 dB sub cea aproximativă. Pentru cel de-al doilea factor, putem observa că este exact inversul funcţiei de transfer trece jos studiate puţin mai înainte. Cum la logaritmare operaţia de inversare trece într-o inmulţire cu -1, deducem că diagrama cîştigului acestui factor se obţine din diagrama funcţiei trece-jos printr-o reflexie în raport cu orizontala de la G 0 . Dacă 707.0 , picul (din englezescul peak - vîrf) care ar fi apărut la filtrul trece jos la n devine acum un "dip", o regiune spectrală în care frecvenţele sînt rejectate (Fig. 5.16). Circuitul se comportă ca un filtru opreşte-bandă. Pentru 1 , dipul este ascuţit şi adînc, rejecţia (inversul amplificării) fiind egală cu factorul de calitate Q al perechii de zerouri complex conjugate; avem un filtru notch (crestătură în limba engleză). Dacă factorul de amortizare devine nul, zerourile sînt localizate pe axa imaginară şi obţinem un filtru cu rejecţie infinită. Exemple de circuite cu funcţii de transfer de ordinul doi Amplificarea de tensiune a circuitului pasiv din Fig. 5.17 a) este

H s U sU s

ZZ si

RCtot

n

n n( ) ( )

( )

0

2

2 22

(5.21)

0.1 1 10

-40

-20

0

Q=100

Q=10G (dB)

n/ 5.16. Diagrama cîştigului pentru filtrul de rejecţie de ordinul doi.


cu frecvenţa naturală n LC 1 şi factorul de amortizare 1

2RLC

. Avem, deci, un filtru pasiv

trece-jos de ordinul doi.

C

u i

R

L

uo

uo

u iC

R

L

uo

u i

C

R

RL

L

Fig. 5.17 a). Filtru trece-jos de ordinul doi.

Fig. 5.17 b). Filtru trece-bandă de ordinul doi.

Fig. 5.17 c). Filtru opreşte bandă de ordinul doi.

Prin modificarea circuitului, ca în Fig. 5.17 b), obţinem un filtru trece-bandă cu funcţia de transfer

H s U sU s

RZ

ssi tot

n

n n( ) ( )

( )

0

2 222

(5.22)

unde Ztot este impedanţa echivalentă a grupării serie, iar n LC 1 şi R L R CLn( )2

2.

Circuitul este un filtru trece-bandă de ordinul doi, dar prezintă inconvenientul că încercarea de a mări selectivitatea, prin micşorarea factorului de amortizare, produce în acelaşi timp şi micşorarea amplificării. Dacă circuitul arată ca în Fig. 5.17 c), rezistenţa RL fiind cea a bobinei şi avînd o valoare foarte mică, funcţia de transfer a circuitului este

H s UU

s s

s si

n n

n n n( )

0

2 2

2 22

2

, (5.23)

unde n LC 1 ,

12 2

RL

R CL

Ln

L şi

L

Ln R

RLCRR 1

2. Numitorul este, deci,

întodeauna mai amortizat decît numărătorul. Alegînd R astfel încît n să devină unitar, obţinem

funcţia de transfer a filtrului de rejecţie studiat anterior, cu rejecţia 1R

LCL

.


B. Funcţii de transfer cu un număr oarecare de poli şi zerouri 1. Diagrama cîştigului: o excursie pe axa frecvenţei cu schimbarea direcţiei la întîlnirea cu polii şi zerourile Cînd am abordat funcţia de transfer cu un pol şi un zerou, am scris-o sub forma unui produs de două funcţii deja studiate şi am adunat cîştigurile şi fazele celor doi factori. Acest procedeu poate fi generalizat pentru o funcţie de transfer oarecare. Factorii care apar sînt de tipul i) K , constantă reală; ii) sl l1 sau ll s1 , zerou sau pol de ordinul l , localizat în origine; iii) ( )s z z , zerou real negativ; iv) p ps( ) , pol real negativ;

v) n n ns s2 2 22( ) , cu subunitar, pereche de poli complex conjugaţi;

vi) ( )s sn n n2 2 22 , cu subunitar, pereche de zerouri complex conjugate.

Pentru toţi aceşti factori, diagramele aproximative de cîştig şi fază sînt formate numai din segmente de dreaptă,. simplificîndu-se, astfel, sumarea lor. Chiar şi adunarea tuturor acestor termeni poate fi evitată, dacă se utilizează observaţiile următoare: -în regiunea 0 (în extremitatea stîngă a graficului), panta segmentului de dreaptă este ( )m nz p0 0 20 dB / decada unde mz0 este numărul de zerouri din origine iar np0 este numărul de poli din origine. Evident, o funcţie de transfer are în origine numai zerouri sau numai poli, dar forma relaţiei precedente o face valabilă în ambele situaţii. Luînd în consideraţie şi factorul constant K , această dreaptă trece prin punctul de coordonate 1 şi G K 20 10log . Un alt mod de a determina

această pantă este scrierea funcţiei de transfer la limită ca l ; panta căutată este l 20 dB / decada. Dacă nu există poli sau zerouri în origine, diagrama este orizontală în această regiune, la valoarea G ADC 20 10log . Temă: Justificaţi această afirmaţie. Pentru fiecare din aceşti poli şi zerouri, palierul din stînga frecvenţei lui este la valoarea de 0 dB şi, din acest motiv, efectul se manifestă numai la dreapta frecvenţei. Astfel, termenii lor se iau în consideraţie pe rînd, în ordinea crescătoare a frecvenţei lor. Aceasta revine la baleierea axei frecvenţei de la stînga la dreapta, ţinînd seama că: -un zerou simplu frînge caracteristica în sus, adăugînd la pantă o cantitate de +20 dB/decadă (Fig 5.18), eroarea caracteristicii aproximative la punctul de frîngere fiind de -3 dB; -un pol simplu frînge caracteristica în jos, adăugînd la panta sa o cantitate de -20 dB/decadă (Fig. 5.19), eroarea caracteristicii aproximative la punctul de frîngere fiind de +3 dB; -o pereche de poli complex conjugaţi frînge caracteristica în jos la n , adăugînd la pantă -40 dB/decadă, comportarea în regiunea de frîngere depinzînd de factorul de amortizare, aşa cum s-a arătat la studiul sistemelor de ordinul doi; -o pereche de zerouri complex conjugate frînge caracteristica în sus la n adăugînd la pantă +40 dB/decadă, comportarea în regiunea de frîngere depinzînd de factorul de amortizare; - pentru verificare, în regiunea (în extremitatea dreaptă a graficului) panta segmentului de dreaptă se calculează ca ( )m n 20 dB / decada , unde m este numărul total de


zerouri iar n este numărul total de poli. Alternativ, prin scrierea funcţiei de transfer la limită ca l , putem să determinăm panta ca l 20 dB / decada. Valoarea asimptotică a cîştigului trebuie să fie 20 10log A .

G +20 dB/decada

(s+ )znumitor

z

10 10 10 10100 1 3 42

G

p

10 10 10 10100 1 3 42

-20 dB/decada

(s+ )p

numarator

Fig. 5.18. Efectul unui zerou real asupra diagramei cîştigului: frîngerea în sus a diagramei, schimbîndu-i panta cu 20 dB decada.

Fig. 5.19. Efectul unui pol real asupra diagramei cîştigului: frîngerea în jos a diagramei, schimbîndu-i panta cu 20 dB decada.

2. Diagrama fazei: o excursie şi mai interesantă pe axa frecvenţei La funcţia de transfer cu un pol şi cu un zerou, am calculat faza prin adunarea fazelor corespunzătoare factorilor din care este formată funcţia de transfer. Acelaşi procedeu îl putem aplica şi pentru funcţiile de transfer cu un număr oarecare de poli şi zerouri. Desenăm pentru fiecare factor cîte o diagramă aproximativă, formată din segmente de linie dreaptă şi apoi le adunăm. Pentru aceasta, parcurgem din nou axa frecvenţelor luînd, pornind cu un defazaj inţial de ( )m nz p0 0 2 şi luăm apoi în consideraţie, în ordinea întîlnirii lor, punctele de frîngere de pe toate diagramele. La fiecare punct de frîngere întîlnit modificăm corespunzător panta graficului pe care îl trasăm, pentru că şi pantele se adună, nu-i aşa ? Pentru fiecare diagramă avem două asemenea puncte, excursia fiind astfel mai bogată în evenimente. La sfîrşit, adică la frecvenţe foarte mari, verificăm faptul că defazajul total este ( )m n 2 , unde n şi m sînt numărul de poli şi, respectiv, zerouri. 3. Răspunsul la semnal treaptă: nu mai adunăm grafice, neglijăm aproape toate zerourile şi polii Să presupunem că, în urma analizei unui sistem, am ajuns la o funcţie de transfer care, după exprimarea sa ca produs de factori de formele studiate, arată destul de complicat:

H ss

ss s

s( ).

10 11

22

102 0 5 10 10

1010

4

2 2 4

3

3 . (5.24)

Am putea calcula răspunsul exact la semnal treaptă, utilizînd teorema dezvoltării. Este posibil, oare, să ajungem la un răspuns aproximativ după un calcul mult mai simplu ?


Pentru a găsi răspunsul, ne întoarcem la funcţia de transfer cu doi poli reali diferiţi, poziţionaţi în p p1 1 şi p p2 2 între distanţele lor pîna la origine existînd raportul p p2 1 . Din teorema dezvoltării obţineam răspunsul la semnal treaptă

y t e eut tp p( )

1

11

11 2

. (5.25)

Dacă 1, adică polul numărul 2 este mult mai depărtat de origine decît celălalt, termenul său poate fi neglijat deoarece: i) factorul său este de mai mic ii) exponenţiala sa se stinge de ori mai repede, aşa că mica sa contribuţie dispare pînă ce termenul celuilalt să scadă semnificativ. Cu alte cuvinte, cu cît polul este mai îndepărtat de origine, cu atît contribuţia sa este mai mică şi efectul ei se stinge mai repede după aplicarea semnalului treaptă la intrare. Această afirmaţie poate fi demonstrată pentru un număr oarecare de poli reali. Luarea în consideraţie a polilor complecşi necesită reformularea condiţiei. Importantă este nu distanţa pînă la origine, ci pînă la axa imaginară. Polii îndepărtaţi de această axă pot fi neglijaţi păstrînd numai pe cei dominanţi. Cînd am studiat funcţia de transfer cu un pol real şi un zerou real, am urmărit competiţia dintre aceştia. Rezultatul era similar: cel care era mai apropiat de origine era dominant. Astfel afirmaţia anterioară poate fi extinsă pentru reuniunea polilor şi zerourilor: pentru calculul aproximativ al răspunsului la semnal treaptă păstrăm numai zerourile şi polii din apropierea axei imaginare. În cele mai multe cazuri, mulţimea polilor dominanţi se reduce la un singur pol real sau la o singură pereche de poli complex conjugaţi, iar cea a zerourilor la cel mult unu; pentru răspunsul aproximativ la semnal treaptă sistemul poate fi considerat de ordinul unu sau doi, cazuri pentru care se cunoaşte comportarea. Numai dacă mulţimea polilor dominanţi conţine trei sau mai mulţi poli este necesară aplicarea teoremei dezvoltării pentru calculul răspunsului aproximativ. Din acest motiv, am acordat atîta atenţie comportării sistemelor de ordinul unu şi doi. 4. Aplicaţie Să revenim la funcţia de transfer complicată (5.24)

H ss

ss s

s( ).

10 11

22

102 0 5 10 10

1010

4

2 2 4

3

3 ,

care conduce la ADC 10 şi A 0. Aplicînd teoremele valorii iniţiale şi valorii finale, obţinem yu ( )0 0 şi yu ( ) 10 . Mai mult, putem calcula şi viteza de variaţie la t 0 ca d

d V sy t

tu

t

( )

0

50 .

Polul din s 1 domină asupra perechii de poli complecşi situată faţă de axa imaginară la o distanţă n 50 rad / s şi, de asemenea, asupra zeroului real de la s 103. Zeroul de la s 2 nu este însă destul de îndepărtat şi, deci, nu poate fi neglijat. Ajungem la funcţia de transfer aproximativă

H s ssaprox( )

10 22

11

(5.26)


care conduce, pentru răspunsul aproximativ la semnal treaptă, la yu aprox( )0 5 şi yu aprox( ) 10. Expresia răspunsului trebuie să conţină un termen constant şi unul exponenţial de

forma e t ; exploatînd informaţiile din origine şi de la infinit, răspunsul aproximativ se obţine imediat ca y t eu aprox

t( ) 10 5 , (5.27) fiind reprezentat în Fig. 5.20.

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

t (s)

yu (V)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200

2

4

6

8

10

aproximativ

exact

yu (V)

t (s)

Fig. 5.20. Răspunsul aproximativ la semnal treaptă, pentru funcţia de transfer (5.25).

Fig. 5.21. Comparaţie între răspunsurile aproximativ şi exact, pentru momente de timp foarte apropiate de origine.

Aparenta contradicţie cu yu ( )0 0 se rezolvă simplu, evoluţia rapidă a răspunsului exact între 0 şi 5 fiind controlată de contribuţia perechii de poli complecşi, contribuţie care dispare practic după 5 0 1 . s. La scara de timp la care operează aproximaţia, această creştere rapidă este văzută ca un salt instantaneu (Fig. 5.21). Oricum, din locaţia perechii de poli complecşi putem spune, fără să o

calculăm, că această contribuţie oscilează cu perioada Toscosc n

2 2

10 07

2

. s şi se

stinge într-un timp de 5 0 1 . s.


Supliment S 5.1. Factorul de calitate al filtrului trece-bandă de ordinul doi Funcţia de transfer a filtrului trece bandă de ordinul 2 este

H s ss s

n

n n( )

2 22

(5.28)

şi pătratul amplificării se scrie

222222

2222

4)()(

nn

nHA

, (5.29)

avînd valoarea maximă

22

2max 4

1 QA

, (5.30)

la n . Deci, pentru filtrul trece bandă, maximul amplificării este întodeauna la frecvenţa naturală, iar amplifcarea maximă este Q, spre deosebire de filtrele trece jos şi trece sus unde aceste egalităţi sînt numai aproximative, cu atît mai exacte cu cît Q este mai mare (vezi Fig. 5.7). Frecvenţele de tăiere se obţin punînd condiţia ca amplificarea să fie 1 2 din cea maximă, corespunzătoare unei scăderi a cîştigului cu 3 dB, ceea ce conduce la ecuaţia 2 2 2 n n , (5.31)

care are soluţiile

2

2

1

1

nl

nh , (5.32)

a căror dependenţă de a fost reprezentată în Fig. 5.22.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.51.01.52.02.5

h,ln

dependentele aproximative(5.35)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.90

0.95

1.00

1.05

1.10

h,ln dependentele aproximative

(5.35)

Fig. 5.22. Dependenţa frecvenţelor de tăiere în funcţie de factorul de amortizare, pentru filtrul

trece bandă de ordinul doi.


Deşi formulele acestor frecvenţe conţin radicali, banda de trecere a filtrului, definită ca diferenţa celor două frecvenţe, are o expresie foarte simplă B h l n 2 , (5.33) de unde rezultă interpretarea factorului de calitate Q ca raportul dintre frecvenţa de rezonanţă şi lărgimea benzii de trecere:

QB

n 12

. (5.34)

Dacă factorul de amortizare are valori mult subunitare, curba de rezonanţă este practic simetrică şi cele două frecvenţe de tăiere devin

h n n

l n n

, (5.35)

dependenţe desenate cu linie mai subţire în Fig. 5.22.

Supliment S 5.2. Factorul de calitate şi răspunsul oscilatoriu al sistemlor de ordinul 2 Aşa cum ştim, frecvenţa răspunului oscilatoriu este

osc n 1 2 (5.36) şi, deci, perioada de oscilaţie are expresia

T Q

Qosc

osc n n

2 2

1

4

4 12 2

. (5.37)

Pe de altă parte, aceste oscilaţii se sting cu o constantă de timp

1 1 2

d n n

Q , (5.38)

astfel că, în timpul în care amplitudinea scade de e = 2.718, ori se efectuează

NT

Q

osc

4 1

2

2 (5.39)

oscilaţii complete. Dacă factorul de calitate este mult supraunitar, atunci

QQN 32.0 . (5.40)


Relaţia precedentă permite evaluarea factorului de calitate direct din răspunsul la semnal treaptă. Dacă se impune condiţia ca amplitudinea oscilaţiilor să scadă de 100 de ori, timpul necesar este de aproximativ 5 şi sistemul efectuează

N Q Q55 1 6

. (5.41)

oscilaţii complete.

Probleme P 5.1. Calculaţi amplificarea în tensiune pentru circuitul RC din Fig. 5.23 şi desenaţi diagramele aproximative ale cîştigului şi fazei. P 5.2. Pentru circuitul din problema precedentă, calculaţi şi reprezentaţi grafic răspunsul la semnal treaptă unitar şi funcţia pondere. P 5.3. Circuitul din Fig. 5.24, cunoscut sub numele de reţea Wien, este utilizat în realizarea oscilatoarelor. Calculaţi funcţia de transfer şi desenaţi diagramele aproximative de cîştig şi fază. P 5.4. Calculaţi răspunsul la semnal treaptă unitar şi funcţia pondere pentru reţeaua Wien.

P 5.5. Determinaţi răspunsul în frecvenţă pentru filtrul dublu T din Fig. 5.25. Cărui tip de filtru aparţine acest circuit ? P 5.6. Reluaţi studiul sistemului mecanic din Fig. 1.1, considerînd forţa f ca mărime de intrare şi deplasarea y2 ca mărime de ieşire. Calculaţi răspunsul în frecvenţă şi la semnal treaptă unitar. Găsiţi un circuit RLC care are acelaşi tip de funcţie de transfer. P 5.7. În Fig. 5.26 este reprezentată diagrama

cîstigului pentru un sistem de ordinul doi. Scrieţi expresia funcţiei sale de transfer. Indicaţie: din mărimea amplificarii la rezonanţă deduceţi mai întîi valoarea factorului de amortizare, utilizînd eventual graficul din Fig. 5.7 b). P 5.8. Un sistem are răspunsul la semnal treaptă din Fig. 5.27. Scrieţi o expresie aproximativă a funcţiei sale de transfer. P 5.9. Un circuit are funcţia de transfer

H s s ss s s

( ) ( . )( )( )

2

20 1

5 100 100.

Desenaţi diagramele aproximative ale cîştigului şi fazei.

ui

uo

10k

10k

100k

100nF

47nF 100pF

Fig. 5.23. Circuit RC pentru

problema P 5.1.

u i uo

R C

R C

Fig. 5.24. Reţeaua Wien.

u i

C

2R

C

uo

R

2R

2C

Fig. 5.25. Filtru RC dublu T.


P 5.10. Pentru circuitul din problema anterioară, obţineţi cît mai multe informaţii despre răspunsul său la semnal treaptă, fără sa calculaţi expresia sa explicită cu teorema dezvoltării. P 5.11. Răspundeţi la întrebările formulate în problemele P 5.9-5.10, dacă funcţia de transfer este

H s s ss s

( ) ( )( )

2 25 1001

.

P 5.12. Scrieţi o expresie aproximativă pentru funcţia de transfer a unui sistem care are diagrama cîstigului din Fig. 5.28.

100 1000

0

10

20

30

G (dB)

(rad/s) Fig. 5.26. Diagrama cîstigului pentru problema P 5.7.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4-3-2-10123456

t (s)

yu (V)

Fig. 5.27. Răspunsul la semnal treaptă pentru sistemul din problema P 5.8.

1 10 100 1k 10k 100k 1M-60

-40

-20

0

20

40

60

(rad/s)

G (dB)

Fig. 5.28. Diagrama cîstigului pentru sistemul din problema P 5.12.

C a p i t o l u l 6

Re s

Im s

k=0k=0p1-p2-z-

k=k

)p2(s+z(s+ )+

-

1

p1( )s+k

R e a c ţ i a n e g a t i v ă

A. Sisteme cu reacţie Reacţia, sau legătura inversă (în engleză feed-back), a devenit un concept atît de cunoscut încît cuvîntul a intrat în vocabularul general. Funcţionarea sistemelor de control automat se bazează pe compararea mărimii de ieşire cu o mărime programată şi efectuarea modificării corespunzătoare la ieşirea sa. "Sistemul" poate fi aproape orice: de exemplu, conducerea unui automobil pe şosea unde ieşirea (poziţia şi viteza maşinii) este sesizată de către şofer care o compară cu aşteptările sale şi face corecţiile necesare. În circuitele de amplificare, semnalul de ieşire trebuie să fie proporţional cu cel de intrare, aşa că în amplificatoarele cu reacţie semnalul de intrare este comparat cu o versiune atenuată a celui de ieşire. În exemplele precedente reacţia este negativă, sistemul corectîndu-se singur la orice deviaţie faţă de o mărime impusă. Sînt şi situaţii în care reacţia trebuie să fie pozitivă, deviaţiile ieşirii producînd acum amplificarea lor. Este cazul oscilatoarelor şi al comparatoarelor cu histerezis. Aplicaţiile reacţiei pozitive sînt, însă, mult mai puţin numeroase, astfel că discuţia noastră se va focaliza aici asupra cele negative. Caracterizarea precedentă este numai una calitativă. O reacţie proiectată să fie negativă, şi care funcţionează aşa în majoritatea cazurilor, poate deveni, în anumite situaţii, pozitivă. Mergem pe trotuar evitînd obstacolele şi pe ceilalţi trecători datorită reacţiei negative (închideţi ochii, întrerupînd reacţia şi vă veţi convinge imediat). Se întîmplă, totuşi, uneori, cînd sîntem grăbiţi, ca, tot încercînd să ne evităm reciproc cu o persoană care vine din sens invers, să intrăm într-o anumită stare în care ciocnirea devine inevitabilă. Reacţia a devenit pozitivă şi singura cale de evitare a ciocnirii este ca unul din noi să o întrerupă, alegînd o direcţie şi urmînd-o, indiferent ce face celălalt. Pentru oricine a construit amplificatoare este bine cunoscut cît de uşor un circuit, care ar trebui să fie stabil, poate începe să oscileze. Este nevoie, deci, de o abordare cantitativă a reacţiei, ţinînd seama de performanţele dinamice ale sistemelor. Cunoştinţele din capitolele anterioare fac acest lucru posibil. Să începem cu schema bloc a unui sistem cu reacţie (Fig. 6.1). El constă dintr-un bloc de bază, cu funcţia de transfer H sd ( ), un bloc de reacţie, cu funcţia de transfer H si ( ) , şi un circuit de sumare (cu semne), numit şi comparator. În absenţa reacţiei, semnalul de intrare x ti ( ) ar fi prelucrat de blocul de bază, care ar produce la ieşire semnalul )(txo . Între imaginile Laplace ale acestor semnale există, în acest caz, relaţia

Capitolul 6 Reacţia negativă 131

X s X s H so i d( ) ( ) ( ) . (6.1) În prezenţa reacţiei, la intrarea blocului de bază nu se mai aplică semnalul x ti ( ) ci suma dintre acest semnal şi semnalul x tr ( ) produs de blocul de reacţie. Vom utiliza de aici, înainte convenţia pentru reacţia negativă, considerînd că semnalul de reacţie este adunat cu semnul minus. Aceasta este numai o convenţie, caracterul reacţiei depinzînd de funcţiile de transfer H sd ( ) şi H si ( ). Cu această convenţie, reacţia este într-adevăr negativă dacă produsul acestor funcţii nu inversează faza semnalului. Observaţie: În teoria oscilatoarelor se foloseşte convenţia opusă, de unde şi diferenţele între expresiile obţinute pentru condiţia de oscilaţie. Trebuie menţionat că semnalele de intrare şi ieşire pot fi de tipuri diferite. Dacă sistemul este un circuit electric, ele pot fi tensiuni sau curenţi iar, dacă sistemul este de un tip mai general, ele pot fi poziţii, viteze, cîmpuri electrice sau magnetice, temperaturi, etc. Definim, pentru circuitul cu buclă de reacţie, funcţia de transfer ca

H s X sX sCL

o

i( ) ( )

( ) , (6.2)

prescurtarea CL de la indice provenind de la "closed-loop" (buclă închisă în lb. engleză). Ea se poate calcula imediat din schema bloc, rezultînd

H s H sH s H s

H sH sCL

d

d i

d

OL( ) ( )

( ) ( )( )

( )

1 1. (6.3)

Produsul celor două funcţii de transfer, avînd după cum se va vedea o importanţă deosebită, este numit funcţie de transfer a buclei deschise (transmisie pe buclă) H s H s H sOL d i( ) ( ) ( ) (6.4) şi descrie procesarea semnalului la o excursie pe întreaga buclă, mai puţin factorul -1 al sumatorului. Cu alte cuvinte,

H s X s

X sOLri

( ) ( )( )

, cu iesirea blocului de reactie

decuplata de la sumator. (6.5)

Această funcţie de transfer nu trebuie confundată cu cea din (6.1), care este cea a sistemului cu reacţia întreruptă (a blocului de bază).

H (s)i

Xi+-

X r

Xi r-X XoH (s)d

Fig. 6.1 Schema bloc a sistemului cu reacţie.


Relaţia (6.3) este fundamentală pentru sistemele cu reacţie şi din ea putem degaja imediat motivul utilizării pe o scară atît de largă a reacţiei negative în electronică. Astfel, trecînd la funcţii de transfer Fourier, avem

H HH H

HHCL

d

d i

d

OL( ) ( )

( ) ( )( )

( )

1 1

. (6.6)

Dacă amplificarea pe buclă HOL ( ) are modulul mult mai mare decît unitatea, atunci funcţia de transfer cu reacţie poate fi aproximată cu

HHCL

i( )

( )

1 , (6.7)

eroarea relativă fiind de ordinul 1 H H HOL CL d( ) ( ) ( ) . De exemplu, dacă amplificarea pe calea directă este 104 şi noi dorim o amplificare cu reacţie de 102 atunci relaţia (6.7) este valabilă cu o precizie relativă de 0.01. Relaţia anterioară arată că, pentru amplificare pe buclă suficient de mare, performanţele sistemului cu reacţie sînt controlate practic numai de blocul de reacţie. Ei şi, am putea spune, am mutat problema dintr-un loc într-altul. Numai că nu am mutat întreaga problemă, funcţia Hi ( ) este la numitor şi, pentru amplificări cu reacţie supraunitare, blocul de reacţie trebuie să aibă amplificări subunitare, deci poate fi un bloc pasiv. De cele mai multe ori, blocul de reacţie se reduce la un banal divizor rezistiv, rezistoarele avînd faţă de componentele active următoarele avantaje: -se comportă liniar pe o gamă foarte largă de valori ale curenţilor şi tensiunilor; -au valori mult mai stabile cu temperatura decît parametrii componentelor active; -sînt accesibile în game de toleranţă a valorii mult mai strînse (de exemplu, se pot cumpăra rezistoare cu precizie de 1 %, lucru de neimaginat pentru factorul de amplificare al tranzistoarelor sau amplificatoarelor operaţionale); -valoarea lor este ajustabilă (potenţiometre semireglabile) pe cînd amplificarea componentelor active nu este; -valoarea lor este independentă de frecvenţă pîna la valori mari ale frecvenţei. Astfel toate performanţele esenţiale ale circuitului cu reacţie: liniaritatea, precizia valorii amplificării, independenţa sa de frecvenţă (sau, dimpotrivă, urmărirea cu acurateţe a unei caracteristici impuse), stabilitatea cu temperatura şi în timp, sînt trecute din sarcina blocului de bază (a amplificatorului) în cea a blocului de reacţie, care poate fi construit cu elemente de circuit ce asigură îndeplinirea lor. În Suplimentul S 6.1 vom analiza două exemple practice în care reacţia negativă "face minuni" în acest sens. Structura considerată în Fig. 6.1 este cea mai simplă posibilă. Blocurile de bază şi de reacţie pot fi constituite la rîndul lor din alte blocuri legate în cascadă. De asemenea, pot exista mai multe mărimi de intrare şi de ieşire. Cu toate acestea formula fundamentală (6.3) rămîne valabilă. Alegînd o pereche intrare-ieşire, funcţia de transfer cu bucla închisă se determină astfel: -se identifică bucla închisă;


-se identifică locul de pe buclă unde semnalul de reacţie este înmulţit cu -1 (care poate să nu fie chiar la intrarea sumatorului); -se scrie H sOL ( ); -se merge, în sensul în care este procesat semnalul, de la intrare la ieşire, calculîndu-se astfel funcţia de transfer pe calea directă H sd ( ). Astfel, pentru sistemul din Fig. 6.2, cele două funcţii de transfer cu reacţie care se pot defini se obţin ca

H s X s

X sH s H s

H s H s H s

H s X sX s

H s H sH s H s H s

i i

i i

10

1

1 3

2 3

20

2

2 3

2 3

1

1

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

(6.8)

Simplitatea schemelor bloc utilizate pînă acum vine din faptul că ele utilizează blocuri cu o singură intrare şi o singură ieşire. De multe ori, în circuitele electronice situaţia este mai complicată. Ne propunem, acum să reducem la acest tip simplu de schemă circuitul neinversor cu amplificator operaţional din Fig. 6.3 a).

+

-H (s)op

Vi Vo

Z 2

Z1

H (s)opVi +-

Vo

Z1+Z1 Z2

Fig. 6.3 a). Circuitul neinversor cu amplificator operaţional.

Fig. 6.3 b). Schema bloc echivalentă pentru circuitul neinversor cu amplificator operaţional

Considerăm amplificatorul operaţional (AO) ca fiind ideal, cu excepţia amplificării care nu este infinită ci este descrisă de funcţia de transfer

H s V sV s V sop

o( ) ( )( ) ( )

. (6.9)

Scriind tensiunile pe cele două intrări ale AO

H (s)i

Xi1 +-XoH (s)2 H (s)3++

H (s)1Xi2

Fig. 6.2. Sistem cu reacţie cu două semnale de intrare.


V s Z

Z ZV s

V s V s

o

i

( ) ( )

( ) ( )

1

1 2 ,

funcţia de transfer a circuitului rezultă

H sH s

H s ZZ Z

CLop

op

( )( )

( )

1 11 2

, (6.10)

conducînd la construcţia schemei bloc din Fig. 6.3 b). Efectul AO este prezent aici printr-un bloc cu o singură intrare, cu aceeaşi funcţie de transfer ca şi cea a AO. Pentru circuitul inversor cu amplificator operaţional, prezentat în Fig. 6.4 a), aplicăm teorema Milman pentru calculul tensiunii pe intrarea inversoare, obţinînd tensiunile celor două intrări ca

V s Z V s Z V s

Z ZV s

i o

( ) ( ) ( )

( )

2 1

1 20

şi, în final, funcţia de transfer

H s ZZ Z

H s

H s ZZ Z

CLo p

o p

( )( )

( )

2

1 2 11 2

1. (6.11)

Z1

H (s)opVo

+

-

Z2

Vi

H (s)opVi +-

Vo

Z1

-

+Z1 Z2

+Z1 Z2

Z2

Fig. 6.4 a). Circuitul inversor cu amplificator operaţional.

Fig. 6.4 b). Schema bloc echivalentă pentru circuitul inversor cu amplificator operaţional.

În schema bloc echivalentă, desenată în Fig. 6.4 b), bucla de reacţie este identică cu cea a circuitului neinversor. Singura deosebire este apariţia, în afara buclei de reacţie, a unui bloc suplimentar. El a fost aşezat la ieşire dar se putea intercala, cu acelaşi efect, pe legătura de la intrare. Faptul că ambele scheme bloc au aceeaşi structură a buclei are, după cum vom vedea, o importanţă deosebită: problema stabilităţii este identică pentru ambele circuite.


B. Stabilitatea sistemelor cu reacţie negativă Comportarea dinamică a sistemului cu reacţie este determinată de funcţia de transfer H sCL ( ). Dacă scriem funcţiile de transfer de pe calea directă şi inversă ca rapoarte de polinoame

H s M sN s

H s M sN sd

d

di

i

i( ) ( )

( ), ( ) ( )

( ) , (6.12)

obţinem funcţia de transfer cu reacţie sub forma

H s M s N sN s N s M s M sCL

d i

d i d i( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, (6.13)

care este tot un raport de polinoame. Aşa cum am văzut, poziţia polilor şi zerourilor determină, pînă la o constantă multiplicativă, comportarea sistemului. Ce putem spune despre polii şi zerourile lui H sCL ( ) ? Identificarea zerourilor este simplă. Mulţimea zerourilor este cea a zerourilor de pe calea directă reunită cu mulţimea polilor de pe calea inversă. Despre poli nu putem să spunem însă imediat nimic. Ei sînt soluţiile ecuaţiei caracteristice N s N s M s M sd i d i( ) ( ) ( ) ( ) 0. (6.14) Tipul comportării sistemului şi, în particular, stabilitatea sa, depind de poziţia polilor lui H sCL ( ). Or, tocmai aceasta nu se poate obţine direct din funcţiile de transfer pe calea directă şi inversă. Din acest motiv, problema stabilităţii sistemelor cu reacţie este una complexă şi s-au dezvoltat mai multe tehnici care obţin informaţii despre stabilitate1 ocolind rezolvarea ecuaţiei (6.14). Noi vom aborda numai o formulare particulară a criteriului frecvenţial Nyquist, bazată pe utilizarea diagramelor Bode, şi apoi vom descrie metoda locului rădăcinilor, care este o metodă grafică dezvoltată din tehnicile polinomiale. Metoda care urmează se bazează pe interpretarea diagramelor de cîştig şi fază în funcţie de frecvenţă, numite şi diagrame Bode, ale funcţiei de transfer a buclei H sOL ( ). Fie un sistem cu reacţie negativă în care funcţia de transfer a buclei este de forma

H s ks

s a s as b s b

sOLm

mm

nn

n( ) ......

exp( )

1

10

11

0 (6.15)

unde k m n 0 0 1 2, , , , sau si . Admitem, deci, şi funcţii de transfer mai generale, care conţin un factor determinat de o întîrziere pură (aşa cum am văzut imposibil de obţinut în sisteme cu parametrii concentraţi). Numărul de poli în origine trebuie să fie maximum doi iar reacţia trebuie să fie negativă la curent continuu. În plus gradul total al numitorului trebuie să fie mai mare decît al numărătorului. Dacă această funcţie de transfer nu are poli în semiplanul drept s 0, atunci sînt valabile afirmaţiile următoare, care sînt echivalente: 1vezi, de exemplu, M. Voicu, "Tehnici de analiză a stabilităţii sistemelor automate", Editura Tehnică, Bucureşti, 1986.


i) Sistemul cu reacţie negativă este stabil dacă şi numai dacă la frecvenţa unitară u , la care amplificarea pe buclă este unitară HOL u( ) 1 (GOL u( ) 0 ), caracteristica de fază se află deasupra liniei de -180o. ii) Sistemul cu reacţie negativă este stabil dacă şi numai dacă la frecvenţa , la care faza este -180o, cîştigul pe buclă este negativ GOL( ) 0 (amplificarea este subunitară). Pentru aprecierea gradului de stabilitate se definesc două mărimi, ca în Fig. 6.5 a). Rezerva de fază este diferenţa între faza la frecvenţa unitară şi valoarea de -180o m u

o ( ) ( )180 ; (6.16)

valorile recomandate pentru sistemele automate sînt în domeniul 30o-50o. Se poate defini şi o rezervă de cîştig, prin modulul cîstigului de la frecvenţa m GG OL ( ) , (6.17) valorile recomandate fiind în intervalul 10-20 dB. Observaţie: Am preferat denumirea de rezervă în locul celei de margine care a apărut în unele lucrări prin "traducerea" termenului englezesc.

1 10 100 1k 10k 100k 1M (rad/s)

G (dB)

1 10 100 1k 10k 100k 1M-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0

(rad/s)

40

-60-40-20

020

60

m

mG

u

1 10 100 1k 10k 100k 1M (rad/s)

G (dB)

1 10 100 1k 10k 100k 1M-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.0

(rad/s)

-200

20406080

100

a) sistem stabil b) sistem instabil

u

Fig. 6.5. Diagramele Bode ale funcţiei H sOL ( ) pentru un sistem stabil (a) şi unul instabil (b).


Pentru cazul în care sistemul este instabil, diagramele Bode arată ca cele din desenul b) al figurii anterioare. Condiţia limită pentru apariţia instabilităţii este ca la o anumită frecvenţă amplificarea să fie unitară şi acolo faza să fie egală cu -180o. Dacă ţinem seama şi de înmulţirea cu -1 efectuată de blocul de comparare, putem afirma că, după o excursie completă pe buclă, semnalul sinusoidal cu această frecvenţă se regăseşte identic ca amplitudine şi fază. Astfel, condiţia de intrare în oscilaţie capătă o interpretare fizică deosebit de simplă. Aplicarea acestei metode ne arată cea mai simplă cale pentru a face dintr-un sistem cu reacţie care oscilează, unul stabil. Dacă sistemul oscilează, atunci cu siguranţă la frecvenţa amplificarea pe buclă HOL ( ) este supraunitară (cîstigul este pozitiv). Pentru a îndeplini condiţia de stabilitate amplificarea pe buclă trebuie micşorată, astfel încît să fie subunitară la . Cel mai simplu şi sigur este să introducem în buclă (fie pe calea directă, fie pe calea inversă), un divizor rezistiv care micşorează întreaga curbă de amplificare cu acelaşi factor şi nu afectează diagrama fazei. Concluzia anterioară pare să confirme o regulă a "bunului simţ experimental" al electronistului: amplificarea mare produce poate produce intrarea în oscilaţie, amplificarea mică face sistemul mai stabil. Este vorba însă de amplificarea pe buclă şi nu de amplificarea cu reacţie sau a vreunui bloc separat. Dimpotrivă, dacă, pentru mărirea stabilităţii, amplificarea pe buclă este micşorată prin micşorarea amplificării pe calea inversă, amplificarea cu reacţie creşte. Dacă scoatem din discuţie cazul amplificărilor cu reacţie subunitare, cel mai mari şanse de instabilitate le are repetorul. Deşi foarte simplu de aplicat, această metodă prezintă deficienţe majore. Astfel, ea nu prezice în nici un fel tipul de răspuns al sistemului cu reacţie. De asemenea, din valorile rezervelor de fază şi cîstig nu se pot deduce performanţele răspunsului sistemului cu reacţie (viteza de răspuns, supracreşterea, timpul de liniştire, etc.). Singurul rezultat furnizat de ea este răspunsul la întrebarea "este sistemul stabil ?" şi o estimare a depărtării faţă de regimul instabil. Deficienţele enunţate mai sus sînt depăşite în metoda locului rădăcinilor, în care se urmăreşte evoluţia în planul complex a polilor funcţiei de transfer cu reacţie H sCL ( ) la modificarea, prin multiplicare cu un parametru real, a amplificării pe buclă. Să reluăm relaţia fundamentală a sistemelor cu reacţie, exprimînd funcţia de transfer pe buclă H sOL ( ) într-o formă uşor modificată

H s ks z

s pk A s

B sOL

ii

m

ii

n( )( )

( )

( )( )

1

1

. (6.18)

Aşa cum ştim, constanta k este reală, A s( ) este polinomul zerourilor iar B s( ) este polinomul polilor lui H sOL ( ) . Pentru blocuri care au funcţii de transfer stabile, relaţia anterioară poate fi scrisă ca

H s ks

s

sOL

zii

m

pii

n( )( )

( )

1 1

1

(6.19)


unde frecvenţele zerourilor, zi şi ale polilor pi sînt fie pozitive (dacă sînt reale), fie au partea reală pozitivă. Esenţial în aceste forme este să avem coeficienţi de valoare 1 la puterile maxime ale variabilei s , atît la numărător cît şi la numitor. Observaţie: La fel de bine putem avea zerouri în origine, factorul s apărînd la numărător. Pentru sistemele de control automat, aceasta ar implica, însă, practic funcţionarea numai la variaţii şi pierderea controlului stării staţionare de la ieşire, care ar fi cea nulă, indiferent de mărimea programată la intrare. Justificaţi această afirmaţie. Pentru ca amplificarea pe buclă să fie pozitivă şi, deci, reacţia să fie negativă (mai avem o inversare la comparator) este necesar ca parametrul k să fie pozitiv. Să nu uităm că lucrăm cu o convenţie făcută special pentru reacţia negativă şi ea ne oferă, pentru acest parametru foarte important, valori pozitive, mai uşor de manipulat.. Parametrul k este proporţional cu amplificarea pe buclă dar nu este amplificarea. Dacă nu avem poli în origine, el poate fi legat foarte simplu de amplificarea pe buclă la curent continuu

H kOL DC

zii

m

pii

n,

1

1

(6.20)

Prin abuz de limbaj îl vom numi uneori amplificare dar, la abordarea unei probleme concrete, după obţinerea unei valori pentru el, va trebui să revenim la scrierea funcţiei de transfer în forma (6.18) sau (6.19) şi, de acolo, să calculăm amplificarea la frecvenţa care ne interesează. Introducînd relaţia (6.18) în formula funcţiei de transfer H sCL ( ), obţinem ecuaţia caracteristică sub forma B s k A s( ) ( ) 0. (6.21) Soluţiile acestei ecuaţii sînt polii funcţiei de transfer cu reacţie H sCL ( ). Metoda locului rădăcinilor urmăreşte evoluţia acestor poli în planul complex, la modificarea parametrului pozitiv k . Aceasta corespunde unui experiment în care undeva în buclă (pe calea directă sau inversă) este intercalat un amplificator ideal cu amplificarea k , aceeaşi la toate frecvenţele, reglabilă de la 0 la infinit. Trasrea exactă a locului rădăcinilor presupune rezolvarea ecuaţiei (6.19). Locul rădăcinilor are însă cîteva proprietăţi remarcabile, care permit trasarea sa aproximativă, fără rezolvarea acestei ecuaţii. Singura informaţie de la care se pleacă este harta în planul complex a celor n poli şi m zerouri pentru funcţia H sOL ( ) (Fig. 6.6). În continuare sînt date cîteva reguli simple care permit schiţarea locului rădăcinilor, urmînd ca în Suplimentul S 6.4 să discutăm alte proprietăţi interesante ale sale. Vom extinde de asemenea procedura sa de schiţare şi pentru valori negative ale lui k , adică pentru sisteme cu reacţie pozitivă. 1) Locul are un număr de n ramuri, egal cu numărul de poli ai funcţiei H sOL ( ) , pe fiecare ramură rădăcina ecuaţiei caracteristice fiind simplă. 2) Locul este simetric faţă de axa reală.


3) Ramurile pornesc, pentru k 0, din polii funcţiei de transfer a buclei H sOL ( ) şi sfîrşesc, pentru k , în zerourile lui H sOL ( ) . Dacă numărul m de zerouri este mai mic decît numărul n al polilor, se spune că n m zerouri sînt localizate la infinit. Acest număr de ramuri ale locului se îndepărtează spre infinit. 4) Un punct al axei reale aparţine locului dacă şi numai dacă la dreapta sa pe axa reală se află un număr total impar de poli şi zerouri ale lui H sOL ( ) (se consideră şi ordinul de multiplicitate !). În aplicarea acestei reguli nu intervin zerourile şi polii complecşi. 5) Cele n m ramuri care merg spre infinit tind la n m asimptote, care se întîlnesc toate într-un punct pe axa reală, numit

centru de greutate al locului, situat la abscisa

m

ii

n

iicg zp

mns

11

1 . (6.22)

Pentru polii şi zerourile complexe, contează numai părţile reale, cele imaginare anulîndu-se reciproc la sumare. Direcţiile asimptotele fac cu axa reală unghiurile (Fig. 6.7)

kk

n mk n m

2 1 0 1 1, , ,..., . (6.23)

6) Dacă o porţiune a axei reale dintre doi poli (zerouri) ai lui H sOL ( ) aparţine locului, pe ea se află două ramuri distincte care se ramifică într-un punct (Fig. 6.8 a). Direcţiile de ramificare sînt perpendiculare pe axa reală.

7) Dintr-un pol de multiplicitate nr al lui H sOL ( ) pornesc nr ramuri, care fac între ele unghiuri egale cu 2 nr iar într-un zerou de multiplicitate mr sosesc mr ramuri, făcînd între ele unghiuri egale cu 2 mr (Fig. 6. 8 b). 8) Punctele de intersecţie ale locului cu axa imaginară (limita stabilităţii) şi valoarea corespunzătoare a lui k se obţin din ecuaţia B j kA j( ) ( ) 0. (6.24)

X i+-

Xr

XoH (s)d

H (s)i

Re s

Im s

polii si zerourile lui H (s)OL

k

H (s)=OL H (s)d H (s)i

functia de transfer a buclei

k

Re s

Im s

locul geometric al polilor functiei H (s)CLde transfer cu reactie

dupa parametrul k

k=0 k=0k=k

Fig. 6.6. Locul rădăcinilor pentru un sistem cu reacţie

negativă.

o asimptota doua asimptote

120o

trei asimptote

90o

patru asimptote

Fig. 6.7. Orientarea asimptotelor.


pol real dublu

zerou real triplu

a) b)

Fig. 6.8. Exemplificarea regulilor de trasare nr. 6 (a) şi 7 (b).

9) Valorile parametrului k pot fi calculate, pentru orice punct al locului, cu relaţia

k produsul distantelor la fiecare din poli

produsul distantelor la fiecare din zerouri (6.25)

distanţele fiind măsurate, în planul complex, de la punctul unde calculăm valoarea lui k .

Exemple de locuri ale rădacinilor Să luăm un bloc simplu, cu un singur pol real negativ şi amplificare Ad la curent continuu (un sistem trece jos de ordinul 1) şi să închidem reacţia negativă cu un amplificator ideal de amplificare Ai (Fig. 6.9 a). Funcţia de transfer a buclei H sOL ( ) are un pol real situat la p şi amplificarea globala la curent continuu A Ad i.

iA

A d ps+p

+-

A d piAk=

Re s

Im s

-p

k=0

+-

X i Xo

Re s

Im s

k=0

s+p

A pz

zs+

1

A pk= z

k=

a) b)

XoX i

-p-z

Fig. 6.9. Locul rădăcinilor pentru două blocuri trece-jos de ordinul 1 incluse în sisteme cu reacţie negativă.


Aplicînd regulile de trasare, obţinem forma locului. Avem o singură ramură (regula 1), care, din cauza simetriei (regula 2), trebuie să fie pe axa reală. Ramura merge la minus infinit după o asimptotă orizontală (regula 5). Regula 4 confirmă aceasta: porţiunea axei reale din stînga polului aparţine locului. În concluzie, polul lui H sCL ( ) porneşte, pentru k 0 din polul lui H sOL ( ) şi merge, odată cu creşterea lui k , spre minus infinit, pe axa reală. Astfel, sistemul cu reacţie este necondiţionat stabil (pentru orice valoare a lui k ) şi devine din ce în ce mai rapid la creşterea amplificării pe buclă. Expresia funcţiei de transfer cu reacţie se poate obţine ca

HA

s A ACLd p

p d i( )

( )

1

(6.26)

şi poate fi pusă în forma

H AA A s

A ACLdd i

pr

prpr d i p( ) ( )

1

1cu . (6.27)

Obţinem acelaşi rezultat ca cel dat de locul rădăcinilor. În plus, avem dependenţa frecvenţei polului cu reacţie, în funcţie de amplificarea pe buclă. Dacă produsul A Ad i este mult supraunitar, se poate "acorda" bucla prin reglajul amplificării pe calea directă, cu menţinerea practic constantă a amplificării cu reacţie la curent continuu, ceea ce pentru sistemele de control automat este un avantaj semnificativ. Dacă, din contră, se urmăreşte modificarea amplificării cu reacţie, cum este cazul amplificatoarelor, la care amplificarea trebuie controlată cu mare precizie, aceasta poate fi efectuată prin reglarea lui Ai. Următorul exemplu are pe calea directă un bloc de ordinul 1 cu un zerou real şi un pol real, polul fiind dominant (Fig. 6.9 b). Locul rădăcinilor porneşte din pol, pentru k 0, merge pe axa reală şi tinde să ajungă la poziţia zeroului, pentru k . Din nou, creşterea lui k face sistemul mai rapid, dar creşterea vitezei de răspuns este limitată acum de poziţia zeroului. Pentru un sistem la care funcţia de transfer a buclei H sOL ( ) are doi poli reali (Fig. 6.10 a), situaţi în p1 şi p2 , cele două ramuri ale locului pornesc, pentru k 0, de la poziţiile acestor poli, se îndreaptă una spre alta pe axa reală, întîlnindu-se şi despărţindu-se, mergînd apoi spre infinit după două asimptote verticale. Abscisa asimptotelor (centrul de greutate al locului) este, după regula 5,

scgp p

( ) 1 22

, (6.28)

adică la jumătate între cei doi poli. Putem să abordăm şi analitic ecuaţia caracteristică s s kp p p p

21 2 1 2 0 ( ) (6.29)

care, pentru k kcrit p p ( ) 1 2

2 4, are soluţie reală dublă, situată la jumătatea distanţei între poli. Am aflat astfel poziţia punctului de ramificaţie al locului, care coincide cu centrul de greutate. Atît din considerente geometrice cît şi din rezolvarea ecuaţiei, se poate deduce că ramurile, după desprinderea de axă, sînt linii drepte verticale, suprapuse peste asimptote.


Xi A p2p1

s+p1( )( p2)s++-

1

k=A p2p1

Re s

Im s

k=0k=0

p1-p2-

kcrit

s+p1( )( p2)s+z(s+ )A p2p1

z+-

1

k=A p2p1

z

Re s

Im s

k=0k=0

p1-p2-z-

k=k

a) b)

XiXo Xo

Fig. 6.10. Locul rădăcinilor pentru blocuri trece-jos de ordinul 2 incluse în sisteme cu reacţie negativă.

Se vede că sistemul cu reacţie este stabil pentru orice valoare a amplificării pe buclă. Totuşi, pentru valori mari ale lui k perechea de poli complecşi a lui H sCL ( ), mişcîndu-se pe verticală, devine din ce în ce mai puţin amortizată şi răspunsul tranzitoriu al sistemului devine şi el mai neamortizat şi deci inacceptabil. Într-adevăr, dacă punem polinimul ecuaţiei caracteristice sub forma standard pentru sistemele de ordinul doi obţinem

n p p

p p

p p

A

A

1 2

1 2

1 2

1

21

1

, (6.30)

de unde se vede clar că, la creşterea amplificării pe buclă, factorul de amortizare scade. Deficienţa prezentată de acest sistem poate fi eliminată prin introducerea în funcţia de transfer a buclei H sOL ( ) a unui zerou real, mai depărtat de origine decît polii. De data aceasta ramurile locului, după părăsirea axei reale, sînt curbate spre stînga, se întîlnesc din nou pe axa reală, se despart, una merge spre zeroul real introdus iar cealaltă se duce la infinit pe axa reală. Amplificarea poate fi acum crescută fără a produce o pereche de poli complecşi insuficient amortizată. Mai mult, peste o anumită valoare a amplificării pe buclă, polii sistemului cu reacţie devin din nou reali şi răspunsul tranzient nu mai este oscilant. Polul lui H sCL ( ) care se îndreaptă spre poziţia zeroului lui H sOL ( ) devine dominant. Ultimul exemplu pe care îl analizăm este al unui sistem cu un pol real triplu în funcţia de transfer a buclei

H sA

sOL

p

p( )

( )

3

3 . (6.31)


Toate cele trei ramuri care pornesc din s p merg spre infinit, după trei direcţii care fac între ele unghiuri de 120o (Fig. 6.11). Peste o anumită valoare a lui k , ramurile complexe părăsesc semiplanul de stabilitate şi sistemul cu reacţie devine instabil. Intersecţia acestor ramuri cu axa imaginară se află scriind ecuaţia (6.24) care, pentru situaţia noastră, are forma ( )j Ap p 3 3 0; (6.32)

ea conduce, pentru părţile reale şi imaginare, la un sistem de două ecuaţii

3 1 0

3 0

2 2

2 2

p

p

A( )

( ). (6.33)

Soluţia 0 nu convine pentru că produce valori negative ale amplificării A. Obţinem astfel ordonatele punctelor de intersecţie cu axa imaginară s j j p 3 şi amplificarea corespunzătoare A 8. Concluzia este că acest sistem, care are reacţie negativă, pentru valoarea amplificării egală cu 8 ajunge la limita stabilităţii, producînd la ieşire o oscilaţie de amplitudine constantă şi de frecvenţă 3 p . Dacă amplificarea trece de această valoare, din locul rădăcinilor se vede că polii funcţiei de transfer cu reacţie trec în semiplanul drept. Oscilaţia de la ieşire creşte acum exponenţial. Mărirea amplificării produce şi mărirea părţii imaginare a perechii de poli ai lui H sCL ( ) deci a frecvenţei de oscilaţie.

Concluzii

i) Dacă amplificarea pe buclă este mult supraunitară, performanţele unui sistem cu reacţie sînt controlate, practic, numai de blocul de pe calea inversă. ii) Cînd sistemul este un amplificator, amplificarea blocului cu reacţie este subunitară şi acesta poate fi realizat numai cu componente pasive; liniaritatea, precizia, stabilitatea şi independenţa de frecvenţă a performanţelor amplificatorului sînt, astfel, mult îmbunătăţite. iii) La creşterea amplificării pe buclă, sistemele cu reacţie negativă pot avea comportări insuficient amortizate sau pot deveni instabile. Din acest motiv, exploatarea avantajelor de la punctele precedente trebuie însoţită de analiza stabilităţii sistemului. iv) Analiza stabilităţii prin metoda diagramelor Bode utilizează ca informaţie de intrare curbe ce pot fi trasate experimental şi poate fi efectuată şi pentru sisteme cu timp mort (cu întîrziere pură). Nu se obţin, însă, decît informaţii cantitative estimative despre comportarea dinamică a sistemului cu reacţie. v) Metoda locului rădăcinilor permite obţinerea comportării dinamice a sistemului cu reacţie pentru toate valorile posibile ale amplificării pe buclă. Ea poate fi aplicată, cu suficientă precizie, fără să fie necesară rezolvarea vreunei ecuaţii de grad superior. vi) Introducerea unui pol în funcţia de transfer a buclei deteriorează stabilitatea, pe cînd introducerea unui zerou o îmbunătăţeşte.

X i Xo+-

1

Re s

Im s

k=0

p-

A p3

s+p( )3

k= A p3

pol triplu

k=8

Fig. 6.11. Locul rădăcinilor pentru un sistem cu pol real triplu şi reacţie negativă.


Supliment S 6.1. Ce minuni face reacţia negativă (primul episod) Reacţia negativă determină un sistem neliniar să funcţioneze practic liniar Amplificatorul diferenţial cu tranzistoare bipolare (Fig. 6.12 a) este larg utilizat în aplicaţii. Considerăm pentru tranzistoare un model foarte simplificat, ce leagă curentul de colector de tensiunea bază-emitor prin relaţia I I V Vc s be T exp( ), (6.34) unde Is este curentul invers de saturaţie iar VT tensiunea termică, egală cu aproximativ 25 mV la temperatura camerei. În absenţa semnalului, cele două baze se găsesc la acelaşi potenţial şi, presupunînd tranzistoarele identice, curenţii de colector sînt egali I I I I V Vc c s be T1 2 0 0 exp( ) . (6.35)

+Vcc

-Vcc

Rc Rc

Ic1 Ic2

2I0

Vbe1 Vbe2

Vid 2

excitatie diferentiala

5 10-5-10 0

I0Rc

I0Rc-

Vod

idV TV

caracteristica de transfer

+-

+-

a) b)

Fig. 6.12. Amplificatorul diferenţial (a) şi caracteristica sa de transfer (b)..

Excităm diferenţial acest amplificator ridicînd cu Vid 2 potenţialul bazei 1 şi coborînd cu aceeaşi cantitate potenţialul bazei 2. Variaţiile tensiunilor bază-emitor vor fi V V Vbe be be1 1 0 şi V V Vbe be be2 2 0 . Exploatînd relaţia (6.34), variaţiile curenţilor de colector pot fi exprimate simplu ca

I I I I V V

I I I I V Vc c be T

c c be T

1 1 0 0 1

2 2 0 0 2

1

1

exp( )

exp( )

sau, inversînd ecuaţiile,


V V I IV V I I

be T c

be T c

1 1 0

2 1 0

11

ln( )ln( )

, (6.36)

unde am ţinut seama că suma curenţilor de colector rămîne constantă. Notînd cu x1 diferenţa V Vbe be1 2 , variaţia curentului de colector se poate scrie ca

I I I x Vx Vc c

T

T1 2 0

1

1

11

exp( )exp( )

. (6.37)

Din configuraţia circuitului putem scrie că mărimea x1 este egală cu tensiunea de intrare x V V Vbe be id1 1 2 , (6.38) care, introdusă în (6.37), conduce la tensiunea diferenţială de ieşire

V V V R I I

R I V VV V

od c c C c c

Cid T

id T

1 2 1 2

02 11

( )exp( )exp( )

(6.39)

relaţie reprezentată grafic în desenul b) al figurii. Amplificatorul este deci neliniar şi numai pentru valori V Vid T putem utiliza o aproximaţie liniară

V I RV

VodC

Tid 0 , (6.40)

amplificatorul diferenţial cu aceasta structură putînd fi utilizat numai ca amplificator de semnal mic. Relaţiile (6.37-39) ne permit reprezentarea circuitului prin schema bloc din figura 6.12 c). Blocul care face trecerea de la x1 la Ic1 este neliniar şi el este responsabil de comportarea neliniară a circuitului. Introducem acum o reacţie negativă prin rezistoarele de valoare RE (Fig. 6.13). Ridicarea potenţialului bazei 1 creşte curentul de colector care, prin trecerea prin rezistorul RE ridică şi potenţialul de emitor. În mod corespunzător variaţia tensiunii bază-emitor, cea care controlează curentul, va fi mai mică şi deci sensul reacţiei este negativ. Reluăm calculul precedent dar, de data asta, în locul ecuaţiei (6.38) avem x V V V R Ibe be id E c1 1 2 12 . (6.41) Schema bloc este reprezentată în Fig. 6.13 c) şi din ea se vede clar caracterul negativ al reacţiei. Blocul introdus pe calea inversă este liniar, singura neliniaritate existînd pe calea directă. Combinînd (6.41) cu (6.36) obţinem o ecuaţie transcendentă

2 11

0 1

0

1 0

1 0

R IV

II

I II I

VV

E

T

c c

c

id

T

ln . (6.42)

x1=Vid c1 I Vod-2Rc

Fig. 6.12 c). Schema bloc echivalentă

pentru amplificatorul diferenţial.


+Vcc

RC RC

Ic1 Ic2

Vbe1 Vbe2

Vid 2

excitatie diferentiala

+-

+-

-Vcc

2I0

RE RE

0

I0RC-

Vod

idVI0RE

panta= RE-RC

fara reactie

caracteristica de transfer cu si fara reactie

I0RC

I0-RE

a) b)

cu reactie

Fig. 6.13 Amplificator diferenţial cu reacţie, sau degenerat (a) şi caracteristica sa de transfer (b).

Se observă că gradul de reacţie poate fi

apreciat prin mărimea adimensională 2 0R IV

E

T.

Pentru valori tipice de RE 1 k şi I0 1 mA această mărime are valoarea 80 şi pentru această situaţie caracteristica de transfer obţinută în urma rezolvării ecuaţiei este reprezentată în figură, împreună cu caracteristica fără reacţie. Se vede că liniarizarea a fost obţinută cu preţul micşorării amplificării. Cu reacţie negativă puternică se poate calcula extrem de simplu caracteristica de transfer Fără a o rezolva numeric ecuaţia (6.42), putem să găsim o soluţie aproximativă. Din caracteristica de transfer obţinută la amplificatorul fără reacţie se observă că domeniul de valori ale lui x1, pentru care tensiunea de ieşire nu este practic limitată, este 100 mV . Pe de altă parte, termenul al doilea din (6.41) este 2 0R IE şi, pentru situaţia tipică dată mai sus, are valori în domeniul 1000 mV, fiind mult mai mare decît valorile lui x1. Putem aproxima, deci, relaţia (6.41) prin x V R Iid E c1 12 0

x1Vid I c1-2RC

Vod

2RE

-+

Fig. 6.13 c). Schema bloc echivalentă pentru amplificatorul diferenţial degenerat.


de unde rezultă

I V

R

V RR

V

cid

E

odC

Eid

1 2

. (6.43)

Trei observaţii se impun asupra acestei aproximaţii. Prima este că aproximaţia nu a fost dedusă în condiţiile unei variaţii mici la intrare. Ea este deci valabilă pentru întreaga gamă de variaţii ale potenţialelor bazelor care nu produce limitarea tensiunii de ieşire. Comportarea liniară a fost obţinută printr-o reacţie negativă puternică, cu un bloc liniar pe calea inversă. A doua observaţie este legată de precizia aproxmaţiei. Ea este cu atît mai bună cu cît valoarea rezistenţei RE este mai mare, adică reacţia negativă este mai puternică. Ultima observaţie se referă la modul de calcul al comportării aproximative cu reacţie. Dacă reacţia este suficient de puternică, este suficient să egalăm cu zero tensiunea la ieşirea comparatorului buclei. sau, echivalent, să scriem că funcţia de transfer cu reacţie este inversa funcţiei de transfer de pe calea inversă. În concluzie, un sistem neliniar poate fi făcut să se comporte practic liniar dacă: i) i se aplică o reacţie negativă suficient de puternică şi i) blocurile de pe calea inversă sînt liniare.

Supliment S 6.2. Ce minuni face reacţia negativă (episodul 2) Ce înseamnă reacţie puternică pentru sisteme neliniare: schema bloc pentru variaţii Aceeaşi tehnică de "liniarizare" a sistemelor neliniare este utilizată şi în sistemele de control automat. Să luăm exemplul unui sistem de termostatare, care are pe calea directă un bloc neliniar. Cum formalismul funcţiei de transfer Laplace este valabil numai pentru sisteme liniare, vom analiza pentru el numai regimul de echilibru (toate semnalele constante). Tensiunea upr cu care se programează o anumită temperatură este amplificată de un amplificator liniar cu amplificarea A1 (Fig. 6.14) şi apoi aplicată unui rezistor de valoare R producînd puterea disipată sub formă de căldură

Pu A

Rpr

( )1

2 (6.44)

care este transmisă integral corpului ce trebuie termostatat şi care are temperatura . La echilibru, această putere trebuie să fie egală cu cea pierdută de corp către mediul ambiant, care se poate scrie ca

PRth

amb (6.45)

unde constanta Rth este rezistenţa termică dintre corp şi mediul ambiant. Egalînd cele două puteri obţinem


ambA R

Ruth

pr12

2 . (6.46)

A1upr ++

amb

=A1

RRth

22upr + amb 0 1 2 3 4 5

40

20

50

upr (V)

( C)o

30

Fig. 6.14. Sistem de încălzire fără reacţie.

Vom considera mărimea ca mărime de ieşire deoarece ea este cea care trebuie controlată. Pentru a fixa ideile, să considerăm pentru început A1 1 , R Rth 1 C Vo 2 şi temperatura ambiantă amb

o C 20 . Sistemul nu are încă reacţie şi relaţia funcţională între intrare şi ieşire este prezentată grafic în figura citată anterior. Aşa cum se vede şi din ec. (6.46) ea este puternic neliniară. Temperatura corpului nu depinde numai de tensiune programată upr ci şi de temperatura ambiantă. Pentru a studia acest efect se consideră constantă tensiunea programată şi se alege temperatura ambiantă ca mărime de intrare. În acest caz avem o comportare liniară şi putem să definim chiar o funcţie de transfer pentru variaţiile lor

H

amb1. (6.47)

Neliniaritatea şi sensibilitatea mărimii controlate în raport cu variaţiile temperaturii ambiante fac ca acest sistem să fie puţin atractiv. Să introducem acum o reacţie negativă (Fig 6.15). Pe calea inversă avem un traductor (convertor liniar temperatură tensiune electrică) cu funcţia de transfer u Kr i ( ) 0 0 20 cu Co (6.48) care are constanta de conversie Ki egală cu 0 2. V Co . Pentru valorile considerate, caracteristica de transfer care se obţine din schema bloc este

amb 01 0 21A

upr. ( ) (6.49)

şi a fost desenată în figură, pentru mai multe valori ale amplificării A1.


uprA1

++amb

Ki +-o

convertor temperatura-tensiune

+-

upr (V)

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

A =11A =21A =201A =1001

( C)o

u1

Fig. 6.15. Sistem de încălzire cu reacţie negativă (sistem de termostatare). La amplicări A1 100 caracteristica este practic de nedeosebit de cea liniară, obţinută la aproximarea ecuaţiei precedente prin

0 0uK

upr

i

pr0 2.

, (6.50)

aproximaţie care putea fi obţinută direct din schema bloc prin egalarea tensiunilor de intrare în comparatorul buclei de reacţie. Constatăm, încă o dată, că un sistem neliniar poate fi făcut să se comporte liniar, dacă reacţia negativă este suficient de puternică. Cum formula fundamentală a sistemelor liniare cu reacţie nu poate fi aplicată, nu avem deocamdată o mărime care să caracterizeze în general gradul de reacţie, aşa cum o făcea funcţia de transfer a buclei. Putem să ajungem însă la o astfel de mărime prin liniarizarea pe porţiuni a blocului neliniar. Considerăm sistemul într-o anumită stare de pe caracteristica de transfer şi efectuăm variaţii mici şi foarte lente (cuasistatice) ale stării sale pe această caracteristică. Dacă variaţiile sînt suficient de mici funcţionarea blocului neliniar poate fi aproximată cu una liniară. Notînd cu S xnelin ( ) caracteristica sa statică, avem, pentru variaţii mici, legătura între intrare şi ieşire

y dS xdx

xx x

( )

0

(6.51)

valoarea derivatei fiind calculată în starea în jurul căreia se întîmplă micile variaţii. Întegul sistem este acum liniar şi putem să calculăm funcţiile de transfer pentru variaţii mici cuasistatice pentru care, din considerente de simplitate, nu vom introduce notaţii speciale. Pentru sistemul de termostatare din Fig. 6.15, acestea se obţin ca


H A R

Ru A R

RH K

H A K RR

dth th

i i

OL ith

2 2

2

1 10 1 0

1 0

amb

amb

;; (6.52)

pentru valorile considerate, funcţia de transfer a buclei este H AOL 0 4 1 0. amb (6.53) Concluzia este că amplificarea pe buclă depinde de punctul static în care se află sistemul. La un grad peste temperatura ambiantă, cu A1 100 amplificarea pe buclă este egală cu 40, suficientă pentru a asigura ca performanţele sistemului cu reacţie să fie dictate de legătura inversă, care este liniară. La 0.01 oC peste temperatura ambiantă, chiar cu această valoare mare a lui A1 , amplificarea pe buclă este egală numai cu 4, comportarea liniară fiind aproximată cu o precizie mai modestă. Într-adevăr, prezentînd caracteristica sistemului cu reacţie în detaliu (Fig. 6.16) se observă clar abaterea de la liniaritate pentru valori ale temperaturii apropiate de cea ambiantă. Reacţia negativă micşorează efectele temperaturii ambiante (perturbaţie introdusă pe calea directă) Considerarea variaţiilor mici în jurul unui punct de funcţionare prezintă şi un alt avantaj. Pentru sistemul de termostatare constanta 0 a traductorului este irelevantă (dispare la derivare), la fel ca şi temperatura ambiantă. Schema bloc se simplifică astfel substanţial. Ea poate fi apoi modificată considerînd constantă tensiunea de programare şi introducînd diferite mecanisme perturbatoare. În figura 6.17 sînt desenate schemele bloc ce analizează efectul modificării temperaturii ambiante şi a constantei 0 din legea traductorului. Se observă că reacţia negativă micşorează efectul temperaturii ambiante, de la valoarea unitară obţinută fără reacţie, la o valoare practic egală cu inversul amplificării pe buclă. Introducerea traductorului produce şi un factor perturbator prin variaţia (inevitabilă) a constantei aditive din legea sa de funcţionare. În această privinţă, reacţia negativă nu poate face nimic deoarece această perturbaţie apare pe calea inversă: singura soluţie este utilizarea unui traductor performant. Acelaşi lucru îl putem spune şi despre sensibilitatea sa (constanta multiplicativă) : modificarea sa produce modificarea puternică a temperaturii controlate, conform relaţiei (6.50). Cînd modificările sînt mici, erorile relative produse pentru 0 sînt egale cu variaţiile relative ale sensibilităţii traductorului.

upr (V)

0.0

5.0m

10.0m

0.0 1.0m 2.0m 3.0m

( C)o amb-

A1 =100

Fig. 6.16. Detaliu al carcteristicii de transfer, pentru sistemul de termostatare din Fig. 6.15.


HCL= 1+Hd Hi

1amb =

efectul temperaturii ambianteeste puternic micsorat

HCL= =0 1+ Hd Hi

Hd Hi

efectul constantei traductoruluieste practic unitar

Hd ++

+

-

H i

amb

Hd -+

H i

amb Hd

-H i

0

+

Hd +

+

-

H i

0

+

Fig. 6.17. Efectul asupra temperaturii controlate produs de variaţia temperaturii ambiante şi de variaţia constantei traductorului.

Tehnica liniarizării pentru variaţii mici poate fi aplicată oricărui sistem neliniar. Pentru amplificatorul diferenţial abordat în suplimentul anterior, considerînd că în punctul în jurul căruia se efectuează variaţiile, curentul de colector al tranzistorului 1 este I Ic0 1 (aici simbolul se referă la abaterile de la regimul de repaus I I Ic c1 2 0 ), funcţiile de transfer se obţin, după derivare, ca

H I

VI I H R

H I RV

I I

dT

c i E

OLE

Tc

01 0

2

01 0

2

21 2

1

( ) ;

( )

. (6.54)

Din nou, amplificarea pe buclă depinde de poziţia punctului static. Ea este maximă cînd tensiunea diferenţială de ieşire este nulă şi ajunge zero cînd tensiunea de ieşire atinge valorile maxime I Rc0 . Dacă restrîngem funcţionarea la 9 10 din acest interval, cu valorile considerate ( RE 1 k şi I0 1 mA), obţinem o amplificare pe buclă egală cu 8, suficientă pentru asigurarea unei bune liniarităţi.


Supliment S 6.3. Ce minuni face reacţia negativă (ultimul episod) Reacţia negativă face superfluă analiza amplificatorului cu emitor comun

VCC

RCRB1

vin

voutEB- VBE

RB1 IB0

schema bloc pentru calculul curentilor de polarizareRB2

IC0

Fig.6.18. Amplificator cu emitor comun Să ne ocupăm puţin de analiza unui amplificator cu tranzistor bipolar, subiect preferat al multor autori de cursuri de Dispozitive şi Circuite Electronice2. Este vorba de banalul amplificator cu emitor comun ce utilizează o schemă de autopolarizare (Fig. 6.18). Se rezolvă mai întîi problema polarizării (regimul de curent continuu). După echivalarea Thevenin a reţelei de polarizare, considerînd un tranzistor cu siliciu şi notînd cu factorul de amplificare în curent, intensitatea curentului de polarizare al colectorului rezultă ca

I E V

R

E V RR R

V R R RR R

CB BE

B

B CCB

B BBE B

B B

B B

0

2

1 2

1 2

1 2

cu

, 0.6 V si . (6.55)

Pentru variaţii mici şi suficient de rapide pentru ca cele două condensatoare să se comporte ca scurtcircuite, dar suficient de lente pentru ca tranzistorul să se comporte cuasistatic, fără altă sarcină conectată la ieşire, amplificarea în tensiune (funcţia de transfer) este dedusă sub forma

H vv

h Rh h h R

outin

fe C

ie ie oe C

exprimată în parametrii hibrizi în conexiunea emitor comun. Expresia este minunată dar complet inutilă în practică, deoarece parametrii hibrizi sînt definiţi pur formal, fără nici o legătură cu structura tranzistorului şi condiţiile concrete în care funcţionează3. Dacă mai rămîne timp şi spaţiu, autorii de care vorbim dau şi relaţia 2 De exemplu Th. Dănilă, N. Reus, V. Boiciu, "Dispozitive şi circuite electronice", Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. 3De fapt cursurile de introducere în electronică care îşi propun să înveţe studenţii chiar ceva utilizabil au renunţat de mult la parametrii hibrizi; vezi, de exemplu, P. Horowitz, H. Winfield, "The art of electronics", Cambridge University Press, 1989, curs devenit standard în SUA şi vestul Europei.


H g R I RVm C

C C

T 0 , (6.56)

desconsiderată din cauza caracterului să aproximativ. Înlocuind aici curentul de repaus, obţinem amplificarea

H E VV

RR

B BE

T

C

B

(6.57)

care şi ea este extraordinară pentru ţinut cursuri, dar nefolositoare în electronica adevărată deoarece: i) parametrul variază dramatic chiar între tranzistoarele pe care fabricantul le vinde ca fiind de acelaşi tip (de exemplu pentru BC 107 C ( , )450 900 ); nimeni nu măsoară acest parametru pentru fiecare tranzistor la producţii de milioane de exemplare de amplificatoare. Dacă acest tip de circuit chiar ar fi folosit, înlocuirea unui tranzistor ar necesita recalcularea tuturor performanţelor. i) tensiunea termică VT este proporţională cu temperatura absolută, deci amplificarea depinde puternic de temperatură. i) la rîndul său, caracteristica statică a joncţiunii bază-emitor depinde de temperatură (la curent de colector constant tensiunea scade cu aproximativ 2.2 mV pe grad). De fapt şi aceste observaţii sînt superflue, deorece un asemenea tip de amplificator nici nu apucă să funcţioneze ca să-şi pună în evidenţă deficienţele. Chiar dacă polarizarea a fost făcută perfect, cu potenţialul colectorului la jumătatea tensiunii de alimentare, la o încălzire cu numai 8 (opt) grade tranzistorul intră în saturaţie, potenţialul colectorului devenind practic nul şi semnalul de ieşire (dacă mai iese ceva) este puternic distorsionat.

VCC

RCRB1

RB2

vin

vout

schema bloc pentru calculul curentilor de polarizare

EB - VBERB1

IB0 IC0+ -

RE

RE

Fig. 6.19 . Amplificator cu emitor comun cu reacţie în curent continuu. Cea mai simplă soluţie de eliminarea a acestor deficienţe o constituie reacţia negativă. Şi pentru că principala lor cauză este polarizarea, vom introduce, deocamdată, o reacţie negativă numai la curent continuu (Fig. 6.19) prin adăugarea unui rezistor în emitor, scurtcircuitat însă de un condensator pentru a nu fi "văzut" de către variaţii. Pentru amplificări pe buclă (ale variaţiilor extrem de lente ale polarizării) mult supraunitare


RR

R RE

BE

B 1 , (6.58)

uşor de îndeplinit datorită valorii mari a factorului de amplificare , curentul de polarizare al colectorului devine insensibil la parametrul al tranzistorului

I E VRC

B BE

E0

. (6.59)

Se poate arăta uşor că şi sezitivitatea curentului de colector faţă de tensiunea bază-emitor se reduce de R RE B ori. Curentul de colector a fost stabilizat faţă de variaţiile lui şi VBE . Amplificarea etajului, conform ec. (6.56), nu a suferit nici o modificare şi continuă să depindă de temperatură prin tensiunea termică. Renunţăm la condensatorul din emitor astfel că şi variaţiile curentului de colector sînt "întoarse" la intrarea amplificatorului. Dacă amplificarea pe buclă (pentru semnal) este suficient de mare (la IC0 1 mA V IT C0 25 )

I RV

C E

T

0 1 , (6.60)

atunci amplificarea etajului nu mai depinde nici de valoarea curentului de polarizare, nici de temperatură, şi este simplu

H RR

C

E , (6.61)

cu o precizie relativă de ordinul de mărime al inversului valorii expresiei din (6.60). Pentru RE 1 k , această precizie este aproximativ 2.5 % . Preţul cerut este, bineînţeles, micşorarea amplificării, H 10 20 fiind valori tipice. Este unul ce poate fi uşor plătit, timpurile în care valoarea unui tranzistor era determinantă în preţul total ţinînd de preistoria electronicii.

Supliment S 6.4. Unghiuri şi distanţe pe locul rădăcinilor Să reluăm forma (6.18) sub care am pus funcţia de transfer a buclei

H s ks z

s pOL

ii

m

ii

n( )( )

( )

1

1

şi să introducem o notaţie specială pentru diferenţele complexe care constituie factorii produselor: D s z D s pzi i pi i , . Utilizînd scrierea sub forma exponenţială, obţinem


m

ipi

m

izin

ipi

m

izi

OL DDjD

DksH

11

1

1 )arg()arg(exp)( (6.62)

şi ecuaţia caracteristică este echivalentă cu două ecuaţii (pentru părţile reală şi imaginară)

kD

D

D D l

zii

m

pii

n

zii

mpi

i

m

1

1

1 1

1

2 1arg( ) arg( ) ( )

(6.63)

cu l un număr întreg. Mărimile care apar în aceste ecuaţii au interpretări geometrice deosebit de simple (Fig. 6. 20). Alegînd un punct în planul complex s mărimile Dzi şi Dpi sînt distanţele complexe de la punctul ales la zerouri respectiv poli. Modulele acestor mărimi sînt distanţele geometrice iar argumentele sînt unghiurile făcute de vectorii corespunzători cu axa orizontală. Să le numim distanţele şi respectiv unghiurile zerourilor şi vectorilor. Cu acestea, putem să formulăm condiţia ca un punct din planul complex să aparţină locului rădăcinilor unghiurile zerourilor unghiurile polilor ( )2 1l (6.64) Pe o ramură a locului numărul întreg l este acelaşi şi, astfel, expresia din relaţia anterioară rămîne constantă. Se pot defini, în general, curbe în planul complex pe care expresia din relaţia anterioară să fie constantă. Între acestea se găsesc ramurile locului rădăcinilor, care au suma egală cu un număr întreg impar de . Dacă punctul aparţine locului, atunci parametrul k se poate calcula din (6.63) cu

k produsul distantelor polilor

produsul distantelor zerourilor (6.65)

relaţie pe care am dat-o la regulile de trasare. În principiu, relaţia anterioară se poate aplica oricărui punct din planul complex, asociindu-i astfel un număr real. Dacă se trasează curbele de k constant se obţine o altă familie de curbe care se intersectează cu ramurile locului rădăcinilor şi permite estimarea rapidă şi comodă a valorii parametrului k pentru oricare din punctele locului.

Re s

Im s

- p

s

DpDparg( )

Fig. 6.20. Distanţa şi unghiul unui pol.


Supliment S 6.5. Sisteme cu reacţie pozitivă Caracterul negativ al reacţiei a impus, conform convenţiilor stabilite, valori pozitive pentru parametru k al locului rădăcinilor. Studiul reacţiei pozitive se poate face simplu, păstrînd formalismul dezvoltat, prin considerarea valorilor negative ale lui k . Această modificare poate fi considerată ca extinderea locului pentru valori negative ale lui k . Noua porţiune a locului necesită modificarea regulilor formulate anterior. Pentru valori negative ale lui k ele au forma: 1) Locul are un număr de n ramuri, egal cu numărul de poli ai funcţiei H sOL ( ), pe fiecare ramură rădăcina ecuaţiei caracteristice fiind simplă. 2) Locul este simetric faţă de axa reală. 3) Ramurile pornesc, pentru k 0, din polii funcţiei de transfer a buclei H sOL ( ) şi sfîrşesc, pentru k în zerourile lui H sOL ( ) Dacă numărul m de zerouri este mai mic decît numărul n al polilor, se spune că n m zerouri sînt localizate la infinit. Acest număr de ramuri ale locului se îndepărtează spre infinit 4) Un punct al axei reale aparţine locului dacă şi numai daca la dreapta sa pe axa reală se află un număr total par (inclusiv zero) de poli şi zerouri ale lui H sOL ( ) (se consideră şi ordinul de multiplicitate !) În aplicarea acestei reguli nu intervin zerourile şi polii complecşi. 5) Cele n m ramuri care merg spre infinit tind la n m asimptote care se întîlnesc toate într-un punct pe axa reală, numit centru de greutate al locului, situat la abscisa

m

ii

n

iicg zp

mns

11

1 . (6.66)

Pentru polii şi zerourile complexe contează numai părţile reale, cele imaginare anulîndu-se reciproc la sumare. Direcţiile asimptotele fac cu axa reală unghiurile (Fig. 6.21)

kk

n mk n m

2 0 1 1, , ,..., . (6.67)

. 6) Dintr-un pol de multiplicitate nr al lui H sOL ( ) pornesc nr ramuri care fac între ele unghiuri egale cu 2 nr iar într-un zerou de multiplicitate mr sosesc mr ramuri făcînd între ele unghiuri egale cu 2 mr . 7) Punctele de intersecţie ale locului cu axa imaginară (limita stabilităţii) şi valoarea corespunzătoare a lui k se obţin din ecuaţia B j kA j( ) ( ) 0 (6.68)

o asimptota doua asimptote

120o

trei asimptote

90o

patru asimptote

Fig. 6.21. Orientarea asimptotelor .


8) Valorile parametrului k pot fi calculate, pentru orice punct al locului, cu relaţia

k produsul distantelor la fiecare din poli

produsul distantelor la fiecare din zerouri (6.69)

distantele fiind măsurate, în planul complex, de la punctul unde calculăm valoarea lui k .

Re s

Im s

k=0k=0

p1-p2-z-

k=k

Re s

Im s

k=0k=0k=- k -

k>0

k<0

reactie negativa

reactie pozitiva

p1-p2-z-

Fig. 6.22. Extinderea locului rădăcinilor pentru valori negative ale parametrului k . În Fig. 6.22 a fost trasat locul rădăcinilor, atît pentru reacţie negativă cît si pentru reacţie pozitivă, în cazul unui sistem cu doi poli reali negativi şi un zerou real negativ. Se observă că ramurile sînt contururi continue care se închid la zerouri. În cazul zerourilor de la infinit, atît ramura cu k 0 cît şi cea cu k 0 merg la infinit.


Probleme

Indicaţie: Criteriul frecvenţial de stabilitate pe care l-am studiat în acest capitol necesită trasarea cu precizie a diagramelor de cîştig şi fază. Acest lucru îl puteţi realiza cu programul RESP_4.exe, care vă calculează, de asemenea, şi frecvenţele u şi precum şi rezervele de cîştig şi fază. Utilizaţi acest program în rezolvarea problemelor P 6.1-P6.6. P 6.1. Un sistem cu reacţie negativă are funcţiile de transfer

H s

s s sH s

d

i

( )( )( )( )

( )

10 1010 10 10

1

618

5 6 7 .

a) Calculaţi funcţia de transfer H sOL ( ) a buclei. b) Aplicaţi criteriul de stabilitate frecvenţial. Este circuitul stabil ? c) Cît trebuie să devină amplificarea pe calea inversă pentru ca circuitul să ajungă la limita stabilităţii ? d) Dar pentru a asigura o rezervă de cîstig de 10 dB ? P 6.2. Reluaţi sistemul, cu funcţiile de transfer aferente, din problema precedentă. De data aceasta, pentru îndeplinirea condiţiei de stabilitate nu mai modificăm amplificarea pe calea inversă ci vom deplasa polul situat iniţial la s 106. a) În ce parte trebuie deplasat polul pentru apropierea de regimul de stabilitate ? b) Unde anume trebuie el poziţionat pentru ca sistemul să fie la limita stabilităţii ? c) Dar pentru a asigura o rezervă de cîştig de 10 dB ? P 6.3. Pentru cazul c) de la problema precedentă, desenaţi aproximativ diagrama de cîştig a funcţiei de transfer H sOL ( ) şi comparaţi-o cu cea corespunzătoare cazului d) de la problema P 6.1. În ambele cazuri am obţinut aceeaşi rezervă de fază. Care soluţie este, totuşi, mai avantajoasă ? P 6.4. Reluaţi din nou sistemul cu reacţie negativă de la problema P 6.1. Încercaţi să obţineţi stabilitatea (cu aceeaşi rezervă de cîştig de 10 dB) prin introducerea unui zerou real negativ, adică a unui factor suplimentar de forma s z z b g , şi poziţionarea sa adecvată. P 6.5. Aţi realizat un sistem stabil, cu aceeaşi rezervă de fază, prin trei metode diferite. Primele două le-aţi comparat la problema P 6.3. Extindeţi comparaţia şi pentru rezultatul obţinut la problema P 6.4 şi trageţi o concluzie generală. P 6.6. Un sistem cu reacţie negativă unitară ( H si ( ) 1), numită uneori şi reacţie totală, are funcţia de transfer pe calea directă

H s As s sd ( )( )( )

201 10

.

a) Desenaţi diagramele Bode pentru cîstigul şi faza buclei. b) Determinaţi valoarea lui A care asigură o rezervă de cîstig de 14 dB (echivalentă cu o amplificare de 5 ori). c) Găsiţi valoarea lui A necesară obţinerii unei rezerve de fază de 40o . P 6.7. Desenaţi aproximativ locul rădăcinilor pentru sistemul cu reacţie negativă din Fig. 6. 23. Discutaţi stabilitatea sa.


P 6.8. Funcţia de transfer H sOL ( ) a buclei deschise, pentru un sistem de control automat, are trei poli reali situaţi în origine, unul la s 1 şi ultimul la s 4 . a) desenaţi aproximativ locul rădăcinilor; b) determinaţi intervalul de valori ale parametrului k pentru care sistemul este stabil; P 6.9. Funcţia de transfer H sOL ( ) a buclei deschise, pentru un sistem de control automat, poate fi pusă sub forma

H s k ss s sOL ( )( )( )

4

1 2.

a) desenaţi aproximativ locul rădăcinilor; b) determinaţi intervalul de valori ale parametrului k pentru care sistemul este stabil; c) găsiţi valoarea parametrului k la care perechea de poli complexă are factorul de amortizare 0 707. ; d) pentru această situaţie determinaţi aproximativ parametrii răspunsului la semnal treaptă prezentat de sistemul de control automat. P 6.10. Desenaţi aproximativ locul rădăcinilor pentru un sistem de control automat cu

H s k ss s s sOL ( ) ( )( )( )( )

4

1 2 8

2

şi discutaţi stabilitatea sa. Temă: Pînă acum aţi trasat aproximativ locul rădăcinilor, utilizînd un set de reguli. Lansaţi programul LOCUS.exe. În graficul din stînga aveţi diagrama poli-zerouri a funcţiei de transfer H sOL ( ) , diagramă care poate fi modificată la fel ca în programele utilizate anterior. Apăsaţi butonul LOCUS şi pe grafic va apare, de data aceasta calculat cu precizie, locul rădăcinilor. Valoarea parametrului k poate fi modificată continuu cu cele două potenţiometre rectilinii, programul afişînd în acest timp poziţiile rădăcinilor (polii lui H sCL ( )). Verificaţi rezultatele pe care le-aţi obţinut la problemele anterioare. P 6.11. Un sistem de control automat are funcţia de transfer a buclei

H s k ss s s sOL ( ) ( )( )( )( )

2

1 1 5.

a) Utilizînd regulile de trasare, desenaţi aproximativ locul rădăcinilor. b) Lansaţi programul LOCUS.exe şi obţineţi desenul exact al locului. Care este valoarea maximă a parametrului k pentru care sistemul mai este încă stabil. c) Se urmăreşte obţinerea, pentru sistemul de control automat, a unui răspuns indicial cu timp de creştere de cel mult 5 s şi factor de amortizare (dacă răspunsul este oscilant) 0 6. în condiţiile în care parametrul k are o valoare de cel puţin 25. Este acest lucru posibil cu funcţia de transfer de mai sus ?

vi +-vo1

(s+1)2

ks+4

Fig. 6.23. Sistem cu reacţie negativă pentru problema P 6.7.


d) Încercaţi să introduceţi, în plus, în funcţia de transfer, un pol şi un zerou, ambele reale, pentru a realiza cerinţele enunţate la punctul anterior. Modificaţia de mai multe ori poziţia polului şi zeroului suplimentare, pînă cînd îndepliniţi cerinţele formulate.

C a p i t o l u l 7

1k 10k 100k 1M0

20

40

f (Hz)

G(dB)

ADC=1

amplificarea AO

ADC=10

ADC=100

A m p l i f i c a t o a r e o p e r a ţ i o n a l e

A. Amplificatoare operaţionale ideale Au fost odată, pe vremea cînd cel mai puternic calculator era maşina mecanică cu manivelă şi clopoţel, nişte cercetări legate de simularea analogică şi rezolvarea (bineînţeles că analogică !) a ecuaţiilor integro-diferenţiale. Cheia era utilizarea reacţiei aplicată unor amplificatoare cu factor de amplificare foarte mare, realizate cu tuburi electronice. Atunci, prin 1947, a apărut termenul de amplificator operaţional (AO), conceptul începînd să se dezvolte abia prin 1962, cînd au fost produse comercial primele amplificatoare operaţionale, sub formă de module construite cu tranzistoare. Odată cu apariţia circuitelor integrate, amplificatorul operaţional a devenit un bloc funcţional de bază în realizarea unei multitudini de funcţii electronice efectuate în aparatura de măsură, calcul şi control. Datorită disponibilităţii acestor amplificatoare economice şi versatile, în dezvoltarea acestor ramuri ale electronicii s-a produs o tranziţie ce a făcut din amplificatorul operaţional o componentă de bază a electronicii analogice. Acest fenomen a fost susţinut de îmbunătăţirea continuă a performanţelor acestor amplificatoare, "standardul" industrial schimbîndu-se de la, acum depăşitele, 741 la cele de tip 411 şi apoi la incredibilul (pentru timpurile de început) OP 27. Datorită performanţelor sale, amplificatorul operaţional tipic, care poate fi cumpărat sub 1 $, se apropie foarte mult de un model puternic idealizat, amplificatorul operaţional ideal (AO ideal), care are simbolul din Fig. 7.1. Acesta este caracterizat prin următoarele: i) Este un amplificator diferenţial dar cu o singură ieşire. ii) Amplificarea pe mod comun este nulă,

-

+

V-

V+

Vo

Vo =A op V+ V-( )- A op = cu

alimentarea amplificatorului operational

+Va-Va+-+-

Fig. 7.1. Amplificatorul operaţional ideal, împreună cu circuitul de alimentare.


tensiunea de ieşire depinzînd numai de diferenţa potenţialelor intrărilor V A V V Ao op op ( ), 0; (7.1) una din intrări este neinversoare (notată cu +, a nu se confunda cu bornele de alimentare) iar cealaltă este inversoare şi notată cu -. iii) Amplificarea introdusă de relaţia anterioară nu depinde de frecvenţă (e constantă de la curent continuu la frecvenţe infinite) şi este infinită. iv) Intrările nu absorb (şi nu generează) curenţi, nici de polarizare, nici la variaţii ale potenţialelor; impedanţa de intrare este astfel infinită. v) Tensiunea de ieşire nu depinde de sarcina conectată: impedanţa de ieşire este nulă. Amplificatorul operaţional este destinat utilizării cu reacţie negativă. Datorită acestor idealizări, analiza schemelor care conţin amplificatoare operaţionale ideale cu reacţie negativă se simplifică extrem de mult şi se efectuează în felul următor: -potenţialele intrărilor se exprimă aplicînd teorema Milman, ca şi cînd AO nu ar exista, datorită curenţilor de intrare nuli; -se scrie că potenţialele celor două intrări sînt egale (scurtcircuit virtual) V V , (7.2) deoarece amplificarea pe buclă este infinită; -pentru nodul de circuit care este ieşirea AO, nu se scrie teorema Milman, pentru că potenţialul său nu depinde decît de starea AO şi nu de potenţialele nodurilor adiacente. Tensiunea de ieşire apare, totuşi, în ecuaţiile obţinute aplicînd teorema Milman celorlalte noduri, şi poate fi, astfel, determinată. Observaţie: Această metodă de analiză nu este aplicabilă în absenţa reacţiei negative sau în condiţii în care AO nu mai respectă ec (7.1) (ieşirea este saturată). Cu această metodă, pentru configuraţiile de bază, neinversoare şi inversoare, prezentate în Fig.7.2, se obţin amplificările

H Z ZZ

ZZ

1 2

1

2

11 amplificator neinversor (7.3)

H ZZ

2

1pentru amplificatorul inversor . (7.4)

În capitolul anterior au fost deduse expresiile acestor funcţii de transfer considerînd că amplificarea AO, H sOP ( ), nu este infinită şi s-au construit scheme bloc echivalente

Z1

+

-Vi Vo

Z2 +

-

Vi Vo

Z1

Z2

a) b)

Fig. 7.2. Amplificator inversor (a) şi amplificator neinversor (b), realizate cu amplificatoare operaţionale.

Capitolul 7 Amplificatoare operaţionale 163

(Fig. 6.3 b şi 6.4 b). Vom folosi în acest capitol, pentru funcţia de transfer de pe calea inversă H s Z Z Zi ( ) ( ) 1 1 2 , notaţia specială ( ) ( )s Z Z Z 1 1 2 . Cu aceasta, relaţiile anterioare se scriu

H 1

amplificator neinversor (7.3 ')

inversor orulamplificat pentru11

H . (7.4 ')

Un exemplu de circuit mai complex este analizat în problema rezolvată P 7.1

B. Abateri de la idealitate ale amplificatoarelor operaţionale Amplificatoarele reale nu respectă întocmai condiţiile din definiţia amplificatorului operaţional ideal şi utilizatorul trebuie să cunoască şi să ţină seama de abaterile lor de la idealitate. Le vom aborda, în continuare, pe rînd, analizînd efectul lor asupra performanţelor etajelor cu AO şi căile de diminuare a acestor efecte. Limitarea tensiunii de ieşire Potenţialul ieşirii unui amplificator operaţional nu poate evolua decît în interiorul domeniului delimitat de cele două tensiuni de alimentare, uzual situat între -15 V şi 15 V. Dacă tensiunea între cele două intrări ale AO este mai mare decît V Aa op , amplificatorul intră în saturaţie, tensiunea de ieşire se limitează la Va sau Va şi nu mai respectă relaţia liniară (7.1). Reacţia negativă este practic întreruptă şi nici relaţia (7.2) nu mai este îndeplinită, potenţialele celor două intrări încetînd să mai fie practic egale. Deşi amplificatoarele operaţionale moderne nu mai prezintă fenomenul de "agăţare" în stările de saturaţie ale ieşirii, la prelucrarea unui semnal variabil intrarea în saturaţie trebuie evitată, deoarece AO pierde timp pentru părăsirea acestei stări. Evitarea intrării în saturaţie, pentru un circuit ce prelucrează un semnal variabil, construit în jurul unui amplificator operaţional, se face prin limitarea domeniului de variaţie al tensiunii de intrare la valori mai mici decît tensiunea de alimentare divizată cu amplificarea etajului sau prin circuite cu diode, aşa cum vom vedea la redresorul fără prag. Decalajul de tensiune

Un amplificator operaţional ideal, respectînd relaţia (7.1), ar trebui să producă o tensiune de ieşire nulă dacă tensiunea diferenţială de intrare este nulă (cele două intrări sînt la acelaşi potenţial) V V V 0 00 . (7.5) Într-un amplificator operaţional real, datorită nesimetriei perfecte a etajului diferenţial de intrare, ar trebui să apară, în plus, o tensiune de decalaj (offset) la ieşire. Deoarece valoarea ei este mult mai mare decît domeniul în care tensiunea de ieşire poate lua valori (limitat de tensiunile de alimentare), amplificatorul operaţional, în absenţa reacţiei negative, intră în saturaţie, tensiunea de ieşire devenind Va sau Va , după sensul decalajului. Se preferă, din acest motiv, exprimarea decalajului în termenii intrării, definindu-se tensiunea de decalaj raportată la intrare VOS ca fiind acea


tensiune care aplicată la intrarea AO ideal ar produce acelaşi efect cu asimetria etajului de intrare. În consecinţă, ea poate fi interpretată şi ca tensiunea (cu semn opus) care, aplicată suplimentar la intrarea unui AO real, asigură îndeplinirea relaţiei (7.5) V V V VOS 0 0 (7.6) Acolo unde nu există riscul unor confuzii o vom numi simplu tensiune de decalaj. Mărimea ei este împrăştiată tehnologic, avînd atît valori pozitive cît şi la valori negative; cum pentru un exemplar anume nu putem prezice decît o valoare tipică şi ni se garantează o valoare absolută maximă, polaritatea tensiunii VOS este irelevantă în analiza circuitului. Pentru cîteva amplificatoare operaţionale reprezentative, în Tabelul 7.1 sînt prezentate valorile tensiunii de decalaj.

Tabelul 7.1 Tensiunea de decalaj şi driftul ei termic, pentru cîteva tipuri de amplificatoare operaţionale

Amplificatoruloperaţional

Fabricant Clasa din care face parte

VOS tipic (mV)

VOS maxim (mV)

dV dTOS tipic

(V/oC)

dV dTOS maxim

(V/oC)

741C Fairchild bipolar, depăşit 2 6 30 LM 108 National

Semiconductor bipolar, depăşit 0.3 0.5 1 5

OP 07A, OP 27 A

Precision Monolithics

bipolar, de precizie

0.01 0.025 0.2 0.6

MAX 400M Maxim bipolar, de precizie

0.004 0.010 0.2 0.3

AD 707C Analog Devices

bipolar, de precizie

0.005 0.015 0.03 0.1

OP 41E Precision Monolithics

JFET, de precizie 0.2 0.25 2.5 5

OPA 627B Burr-Brown JFET, de precizie 0.04 0.10 0.5 0.8 Conform celor arătate mai sus, un amplificator operaţional cu tensiune de decalaj poate fi modelat cu un AO ideal şi o sursă ideală de tensiune de valoare VOS .Putem, astfel, calcula efectul acestei neidealităţi pentru configuraţiile de bază. Analiza circuitului neinversor se face comod intercalînd sursa de tensiune VOS pe intrarea neinversoare (Fig. 7.3 a). La ieşire apare deci o tensiune suplimentară egală cu

V R RR

V VOS OS01 2

1

1

, (7.7)

tensiunea de decalaj de la intrare fiind amplificată la fel ca şi semnalul de intrare. Pentru configuraţia inversoare se obţine o tensiune suplimentară de valoare egală cu cea dată de (7.7), chiar

dacă semnalul este amplificat, pînă la un semn minus, cu 1 1 .


Utilizînd teorema superpoziţiei, se poate arăta că, indiferent de circuitul utilizat, tensiunea de decalaj la intrare se regăseşte la ieşire multiplicată cu inversul amplificării la curent continuu pe calea inversă, 1 0( ). Pentru diminuarea acestui efect, reacţia trebuie să fie suficient de puternică la curent continuu. În cazul reacţiei totale, la ieşire se regăseşte chiar valoarea tensiunii de decalaj la intrare. Dacă efectul la ieşire al tensiunii de decalaj este inacceptabil de mare, el poate fi micşorat prin ajustarea unui potenţiometru legat la nişte borne ale AO prevăzute special în acest scop, procedură numită compensarea decalajului. În principiu, efectul decalajului poate, astfel, să fie eliminat complet, prin ajustarea atentă a acestui potenţiometru, dar vom vedea mai departe că inconvenientele rămîn.

Driftul tensiunii de decalaj Din păcate, după ce că există, tensiunea de decalaj nu este nici măcar constantă în timp. Dacă ar fi fost aşa, prin ajustarea potenţiometrului amintit anterior, i-am fi putut anula efectele. În realitate, oricît de bine am compensa noi tensiunea de decalaj la o anumită temperatură şi la un anumit moment de timp, variaţiile de temperatură şi trecerea timpului o fac să reapară. Efectul cel mai supărător este variaţia tensiunii de decalaj cu temperatura, numită şi drift termic. Coeficientul de drift termic variază de la 30 V/oC pentru 741, la 5 V/oC pentru LM 108, şi la numai 0.03-0.10 V/oC pentru AD 707C. În aplicaţiile de performanţă, contează şi driftul în timp datorat îmbătrînirii. Pentru OP 77 (un operaţional bipolar de precizie asemănator cu OP 07) el este de numai 0.2 V/lună. Curenţii de polarizare Ca să poată fi aduse în regiunea activă de funcţionare, tranzisoarele din etajul diferenţial de la intrarea AO trebuie polarizate, deci intrările trebuie să absoarbă (sau să debiteze, după tipul tranzistoarelor) curent. Valorile acestor curenţi, numiţi de polarizare, depind de tipul constructiv al tranzistoarelor şi de punctul lor static de funcţionare. Curentul de polarizare IB se defineşte ca media celor doi curenţi, cu intrările scurtcircuitate între ele. Pentru OP 27, care are tranzistoare bipolare (BJT -bipolar junction transistors), curentul de polarizare este de 15 nA, în timp ce pentru 411, care are tranzistoare JFET la intrare, curentul de polarizare este de 50 pA. Ca regulă foarte aproximativă, AO cu tranzistoare bipolare au curenţi de polarizare în domeniul zecilor de

Z1

+

-Vi Vo

Z2

a)

+

-

Vi Vo

Z1

Z2

b)

+-Vos

+-Vos

Fig. 7.3. Calculul efectului tensiunii de decalaj la intrare.

+

- Vo

R1

B-I

R2

B+I R3

Fig. 7.4. Calculul efectului curenţilor de polarizare.


nanoamperi, pe cînd cele cu JFET au curenţii de polarizare de 1000 de ori mai mici, în domeniul zecilor de picoamperi. Sînt disponibile şi AO cu BJT care au curenţi de polarizare de 1 nA sau mai mic, dar şi AO cu JFET ce au curenţi de polarizare de numai cîţiva picoamperi. Cel mai mic curent de polarizare se poate obţine cu tranzistoare CMOS la intrare, de exemplu numai 0.01 pA pentru ICH 8500. Efectul asupra tensiunii de ieşire al curenţilor de polarizare IB şi IB se poate urmări pe Fig. 7.4 unde curenţii de polarizare sînt modelaţi de sursele ideale de curent. Se obţin ecuaţiile

0

01

0

2

3

VR

V VR

I

VR

I

V V

B

B

care conduc la

31212

20 RIRI

RRV BB , (7.8)

unde R12 este combinaţia paralelă a rezitoarelor R1 şi R3 . În ipoteza unor curenţi de polarizare egali pe cele două intrări, efectul lor asupra ieşirii se anulează dacă se îndeplineşte condiţia R R R R R R3 12 1 2 1 2 ( ), (7.9) această relaţie fiind utilizată întodeauna în proiectare, atunci cînd efectul curenţilor de polarizare este supărător. Dacă această condiţie nu este îndeplinită, în cea mai defavorabilă situaţie tensiunea suplimentară ce apare la ieşie este I RB max unde Rmax este valoarea maximă de rezistenţă "văzută" de cei doi curenţi de polarizare. Este de dorit, din acest punct de vedere, utilizarea în jurul AO au unor rezistoare de valoare cît mai mică. Temă: Justifcaţi ultima afirmaţie. Chiar dacă am îndeplinit condiţia (7.9), o tensiune suplimentară apare la ieşire deoarece cei doi curenţi de polarizare nu sînt riguros egali. Diferenţa lor, IOS , este numită decalaj (offset) de curent de polarizare şi este între o zecime şi întreaga valoare a curentului de polarizare. Cu condiţia (7.9) îndeplinită, decalajul de curent produce la ieşire o tensiune V I ROS0 2 , (7.10) care poate fi micşorată numai prin scăderea valorii rezistenţei de reacţie. De fapt, efectul curentului de polarizare şi decalajului de curent apare simultan cu efectul decalajului de tensiune şi, prin "compensarea decalajului", este anulat efectul total. La fel ca şi la tensiunea de decalaj, rămîn însă variaţiile. Driftul termic al lui IOS este cel care limitează pînă la urmă precizia tensiunii de ieşire.


În încheiere, atragem atenţia asupra unui aspect care, omis, produce surprize neplăcute celui ce utilizează amplificatoare operaţionale. Chiar dacă sînt extrem de mici şi de cele mai multe ori se pot neglija, curenţii de polarizare trebuie să existe, deci, de la intrări trebuie să avem un drum care să conducă în curent continuu la un punct capabil să absoarbă sau să debiteze curent continuu. Dacă această condiţie nu este îndeplinită, aşa cum se întîmplă cu intrarea neinversoare în Fig. 7.5, etajul de intrare nu este polarizat corect şi ieşirea amplificatorului este în saturaţie la una din tensiunile de alimentare.

Impedanţa de intrare finită Deoarece amplificatorul operaţional are două intrări, se definesc două impedanţe de intrare: una de mod comun, pentru semnalele care apar simultan pe cele două intrări, şi una diferenţială. Impedanţa pe mod comun este mult mai mare decît cea diferenţială, pentru că pe acest mod etajul de intrare este echivalent cu un tranzistor ce are în emitor impedanţa extrem de mare a unei surse de curent. Impedanţa de intrare diferenţială, singura de care ne vom ocupa, are valori de ordinul a cîţiva M pentru AO bipolare, în timp ce pentru AO cu JFET ajunge pînă la 1012 . Datorită reacţiei negative aplicate, în circuitele cu AO se pot obţine valori mult mai mari ale impedanţei de intrare. Pentru amplificatorul neinversor (Fig. 7.6) în ipoteza (foarte realistă) că rezistenţele din circuitul de reacţie sînt mult mai mici decît impedanţa de intrare Zi0 a amplificatorului operaţional putem scrie

V RR R

V V

1

1 20 0 ; (7.11)

notînd cu Aop amplificarea AO la frecvenţa la care calculăm impedanţa, ajungem la valoarea curentului de intrare şi apoi la impedanţa de intrare a întregului circuit

Z VI

A Zii

iop i ( )1 0 , (7.12)

mult mai mare decît cea a AO, deoarece în practică amplificarea pe buclă Aop este de cel puţin 100.

+

-R1

Vi

R2

Vo

C

Fig. 7.5. Exemplu de polarizare greşită a intrărilor unui amplificator operaţional.

+

-

Vi

R1

I i

Vo

Zi

Zio

R2

Fig. 7.6 Calculul impedanţei de intrare în amplificatorul neinversor


Trebuie scos în evidenţă că intensitatea Ii este o variaţie produsă de variaţia Vi şi nu conţine curentul de polarizare. De asemenea, în relaţia precedentă trebuie să ţinem seama că amplificarea AO, deşi foarte mare la curent continuu, scade cu frecvenţa, aşa cum vom vedea în secţiunile următoare Din acest motiv, şi impedanţa de intrare în circuit scade cu frecvenţa. Totuşi, pentru sursele uzuale de semnal, impedanţa de intrare în circuitul neinversor poate fi considerată infinită. Această aproximaţie este, însă, mai puţin bună la frecvenţe mari. Chiar dacă foloseşte reacţie negativă, amplificatorul inversor (Fig. 7.7) are o impedanţă de intrare modestă. Într-adevăr, intrarea inversoare este virtual la masă şi semnalul vede ca impedanţă de intrare rezistenţa R1

Z VI

R VV V

RA

Riii

ii op

11

11 1 1( ) (7.13)

Această rezistenţă nu poate fi mare din două motive: a) amplificarea este dată de raportul R R2 1 b) combinaţia paralelă a celor două rezistenţe nu poate fi prea mare deoarece curentul de polarizare ar produce efecte vizibile la ieşire. Astfel deşi AO are o impedanţă de intrare de cel puţin 1 M circuitul are o impedanţă în domeniul 1k-100k. Impedanţa de ieşire nu este nulă Impedanţa de ieşire a amplificatoarelor operaţionale, Z00 , (fără reacţie) este destul de mică (40 pentru 411), dar poate ajunge chiar la cîţiva k la unele AO de mică putere. Reacţia negativă produce, însă, micşorarea drastică a acestei impedanţe (Fig. 7.8). Deoarece rezistenţa de reacţie R2 (de zeci sau sute de k) este mult mai mare decît impedanţa de ieşire a AO, putem considera că întregul curent Ix curge prin ieşirea amplificatorului operaţional şi se poate scrie ca

I V VZ

V AZx

x x op

00

00 00

1( ) (7.14)

conducînd la impedanţa de ieşire a circuitului

R1

+

-ViI i

R2

Z i

ZioVo

Fig. 7.7 Calculul impedanţei de intrare pentru amplificatorul inversor.

Vx

R1

Z0

Ix

+

-

+-

R2

Z00V00

V00 = -AopV-

Fig. 7.8. Calculul impedanţei de ieşire.


Z ZAop

000

1

, (7.15)

care ajunge la 411, chiar pentru valoarea modestă Aop 100, la 0.4 . Această valoare este practic neglijabilă în comparaţie cu impedanţele de intrare (de cel puţin 1k) prezentate de etajele ce se conectează la ieşirea AO. Din aceasţa cauză, tensiunea de ieşire a AO depinde practic numai de semnalul de intrare şi nu de sarcina de la ieşire. Afirmaţia anterioară este valabilă în special la frecvenţe joase. La frecvenţe înalte, după cum am afirmat, amplificarea AO scade, ceea ce conduce la creşterea impedanţei de ieşire. Valoarea extrem de mică a impedanţei de ieşire nu înseamnă şi posibilitatea obţinerii unor curenţi mari la ieşire. Dacă rezistenţa de sarcină coboară sub o anumită valoare ieşirea nu mai poate evolua pe întreaga gamă permisă pentru că există un curent de ieşire maxim. Pentru 411 acesta este de 20 mA, ceea ce înseamnă că pentru a avea la ieşire un semnal cu amplitudinea de 10 V, rezistenţa de sarcină nu trebuie să coboare sub 0.5 k. În foile de catalog sînt date grafice cu amplitudinea maximă a semnalului de ieşire în funcţie de rezistenţa de sarcină deoarece pentru semnale care se apropie de Va valoarea necesară a rezistenţei de sarcină este mai mare decît cea dedusă din valoarea curentului maxim. Pentru protecţia împotriva scurtcircuitării accidentale la masă a ieşirii circuitului, mai ales pentru AO care nu au limtare internă a curentului de ieşire, este utilizată schema din Fig. 7.9. Rezistenţa de protecţie Rp este introdusă în bucla de reacţie, înainte de prelevarea semnalului pentru calea inversă. Singurul ei efect (în afară de limitarea curentului maxim la V Ra p ) este creşterea impedanţei de ieşire (apărînd în serie cu Z00 ). Cum valoarea Rp nu este mai mare de 1k, reacţia negativă reuşeşte să menţină impedanţa de ieşire a circuitului sub 1 . Temă: Calculaţi efectul lui Rp dacă ar fi fost introdusă în exteriorul buclei de reacţie. Un alt efect al impedanţei de ieşire Z00 nenule a amplificatorului operaţional apare atunci cînd la ieşire este conectată o sarcină capacitivă CL. În aceasta situaţie impedanţa de ieşire Z00 (care are un caracter rezistiv) formează, împreună cu această capacitate, un filtru trece-jos de ordinul 1, a cărui funcţie de transfer trebuie inclusă în aceea a buclei. Polul suplimentar introdus, situat la frecvenţa f Z CL 1 2 00( ) , poate afecta stabilitatea circuitului chiar dacă, în prezenţa unei sarcini rezistive, comportarea sa dinamică era corespunzătoare.

Limitarea vitezei de variaţie a tensiunii de ieşire Datorită unui fenomen de saturaţie internă (o sursă de curent comandată ajunge la valoarea sa maximă pe care nu o poate depăşi) tensiunea de ieşire nu poate avea o viteză de variaţie mai mare decît o anumită valoare, numită viteză maximă de creştere (slew rate) şi notată cu SR

R1

+

-Vi Vo

R2

Rp

Fig. 7.9 Protejarea ieşirii AO împotriva unui scurtcircuit accidental.


dd

v tt

SR0( ) . (7.16)

Valorile ei variază între 1 V/s pentru AO de viteză mică şi peste 100 V/s pentru AO de viteză mare, ajungînd pînă la 6000 V/s în cazul amplificatorului operaţional LH0063C. Dacă, conform modelului liniar, semnalul de ieşire ar trebui să varieze mai repede decît SR (curba b din Fig. 7.10), potenţialul real al ieşirii nu mai urmează această lege şi începe să evolueze triunghiular cu o pantă egală cu SR (curba c din figură). Diferenţa între potenţialelor intrărilor încetează să mai fie practic nulă (vezi figura citată) şi sursa de curent internă este comandată pentru valoarea maximă (este saturată). Cînd tensiunea de la ieşire devine egală cu cea prezisă de modelul liniar, sensul diferenţei de potenţial între intrări se schimbă şi sursa de curent este saturată în sensul opus. Cum viteza maximă de variaţie a unei sinusoide V ftm sin( )2 , atinsă la trecerea prin zero, este 2 fVm rezultă o amplitudine maximă a sinusoide nedistorsionate de această neidealitate

V SRfm

2 (7.17)

limitare care pentru frecvenţe mari o înlocuieşte pe cea dată de tensiunile de alimentare. De exemplu pentru 411 avem o viteză de creştere de 15 V/s şi cu o tensiune de alimentare de 10V frecvenţa maximă la care sinusoida cu amplitudinea de 10 V este nedistorsionată este

f SRVm

max 2

240

kHz .

Peste această frecvenţă, pentru a nu avea distorsiuni, semnalul de la ieşire va trebui să aibă amplitudini mai mici, conform ec. 7.17.

Trebuie menţionat că această limitare a frecvenţei nu are legătură cu banda de trecere a circuitului ci provine din depăşirea domeniului în care AO se comportă liniar. Un semnal sinusoidal care este în afara benzii de trecere este numai atenuat, pe cînd un semnal sinusoidal care încearcă să

a

bc

tensiunea de iesire

tensiunea diferentiala de intrarecorespunzatoare curbei c

Fig. 7.10. Distorsionarea unei sinusoide datorită vitezei de creştere: a) semnalul la ieşire cînd viteza sa de variaţie nu depăseşte valoarea SR , b) semnalul care ar trebui să apară la ieşire conform modelului liniar şi semnalul real de la ieşire, datorită limitării vitezei de variaţie c).


depăşească viteza de maximă creştere este distorsionat; prin micşorarea amplitudinii, distorsiunea dispare. Amplificarea este finită Amplificatorul operaţional ideal are amplificarea infinită. Cele reale oferă valori finite ale amplificării care, la curent continuu, sînt în gama 105 - 106 ; vom vedea, în continuare, că amplificarea scade cu frecvenţa. Amplificarea AO fiind finită, egalitatea potenţialelor celor două intrări (condiţia de scurtcircuit virtual) nu mai este valabilă şi trebuie înlocuită cu o relaţie similară cu (7.1). Pentru configuraţiile de bază, şi anume amplificatorul inversor şi cel neinversor, această analiză a fost efectuată în capitolul precedent; exprimînd relaţiile obţinute prin funcţii de transfer Fourier, avem

neinversoror amplificat

)()(11

1)(

1)(

opH

H (7.18)

inversor orulamplificat pentru

)()(11

11)(

1)(

opH

H . (7.19)

Corecţiile la formulele simple (7.3) şi (7.4), deduse cu Hop , sînt produse de factorii secunzi şi au mărimea relativă comparabilă cu inversul amplificării pe buclă, care, pentru amplificare pe buclă mult supraunitară, poate fi exprimat ca raportul dintre amplificarea cu reacţie şi cea a AO,

1

( ) ( )

( )( )H

HHop op

. Cum amplificările cu reacţie care sînt cerute de la un etaj cu AO nu sînt în

general mai mari de 103, aceste corecţii sînt, la frecvenţe joase, sub 1 %, mult mai mici decît variaţiile datorate impreciziei valorilor impedanţelor din reţeaua de reacţie. Odată cu creşterea frecvenţei, amplificarea AO scade şi abaterile amplificării etajului de la relaţiile aproximative (7.3)-(7.4) devin mai importante. Variaţia amplificării cu frecvenţa Valoarea mare a amplificării, prezentată în paragraful precedent, este oferită de amplificatoarele operaţionale la curent continuu (frecvenţă nulă). Vom nota această valoare cu A Hop0 0

( )

. (7.20)

Utilizatorul neavizat poate constata cu surprindere că la anumite tipuri, cum este 741, începînd de pe la 5 Hz amplificarea scade cu decadă pe decadă (Fig. 7.11), ajungînd unitară la 1 MHz. Astfel, la 20 kHz (capătul benzii audio), amplificarea AO este de numai 50 ; dacă se realizează un etaj cu amplificarea de 1000, banda lui de trecere ajunge abia la 1 kHz, aşa cum se vede pe aceeaşi figură.


Acelaşi fel de comportare a amplificării îl prezintă şi OP 27, cu singura diferenţă că scăderea amplificării începe de pe la 50 Hz şi ajunge la amplificarea unitară la 8 MHz. S-ar părea, la prima vedere, că aceste tipuri de AO au un inconvenient major. Adevărul este că această cădere a amplificării, care începe de la o frecvenţă surprinzător de mică, este produsă intenţionat, amplificatoarele operaţionale fiind compensate intern în frecvenţă.

C. Compensarea în frecvenţă a amplificatoarelor operaţionale Vom justifica acum necesitatea "deformării" caracteristicii de amplificare, pentru cazul particular al amplificatorului operaţional LM 702. Observaţie: Alegerea acestui tip depăşit de AO s-a făcut din două motive: performanţele sale mai modeste care fac analiza mai simplă dar, mai ales, accesibiltatea datelor numerice ale funcţiei sale de transfer. La frecvenţă nulă amplificarea AO nostru este de A0 3600 (modestă după cum se vede) care tradusă în termenii cîstigului înseamnă Gop

0

71 dB. Funcţia sa de transfer are trei poli reali

negativi, cu frecvenţele la 1 MHz, 4 MHz şi 40 MHz şi, deci, poate fi scrisă ca

H ss s s

op ( ) .( )( )( )

3600 1 28 102 10 8 10 8 10

3 22

6 6 7

. (7.21)

Să realizăm cu acest AO un amplificator (inversor sau neinversor), dar utilizînd numai rezistoare în reţeaua de reacţie. După cum am văzut în capitolul precedent, pentru ambele configuraţii schema bloc a buclei de reacţie este aceeaşi. Funcţia de transfer pe calea inversă este reală

H s RR Ri ( )

1

1 2 (7.22)

şi are valori cuprinse între 0 (absenţa reacţiei) şi 1 (reacţie negativă "totală"). Funcţia de transfer a buclei H sOL ( ) se obţine prin produsul H sop ( ) şi, pentru reacţia negativă totală, este chiar identică cu funcţia de transfer a AO.

0.1 1 10 100 1k 10k 100k 1M 10M101010101010101010

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

amplificarea etajului

amplificarea AO 741

f (Hz)

Fig. 7.11. Amplificarea AO 741 (fără reacţie) şi amplificarea unui etaj construit cu el.


Studiem stabilitatea circuitului cu reacţie, utilizînd metoda diagramelor Bode ale funcţiei de transfer a buclei. Pentru cazul reacţiei totale (repetorul neinversor), ele sînt exact cele ale funcţiei de transfer a amplificatorului operaţional şi au fost desenate în Fig. 7.12. Se observă că faza devine -180o la f 15 MHz. Aici cîstigul este pozitiv (35 dB) şi, deci, amplificarea este supraunitară, egală cu 56. Concluzia este că un circuit cu reacţie negativă totală (repetorul neinversor) construit cu LM 702 oscilează. Asemenea circuite sînt însă utile frecvent şi instabilitatea lor reprezintă un impedimentt în utilizarea AO. Pentru a obţine un circuit cu reacţie stabil, trebuie micşorat, acceptînd o creştere (în modul) a amplificării cu reacţie. La valoarea 1 56 circuitul cu reacţie ajunge la limita stabilităţii. În această situaţie, amplificatorul neinversor are o amplificare la frecvenţe joase egală cu 55 iar amplificatorul inversor de -54. În scopul obţinerii unei comportări suficient de amortizată, trebuie să asigurăm şi o rezervă de cîştig. Dacă aceasta este luată egală cu 10 dB, rezultă că putem realiza amplificatoare cu performanţe dinamice bune cu LM 702 numai dacă amplificarea cu reacţie este de cel puţin 174. Acesta este dezavantajul unui amplificator operaţional necompensat. Temă: Verificaţi că amplificările etajelor inversor şi neinversor, pentru 1 56 , au valorile date în paragraful precedent. Utilizarea AO şi la circuite cu reacţie care trebuie să producă amplificări mici necesită modificarea funcţiei sale de transfer H sop( ). O simplă micşorare cu un factor nu este tentantă deoarece ar scădea amplificarea la toate frecvenţele şi s-ar pierde tocmai una din performanţele de bază ale AO; de exemplu, pentru LM 702 amplificarea sa la frecvenţe joase ar deveni numai 21. Rezultă că modificarea trebuie să afecteze forma caracteristicilor de cîştig şi fază. Această modificare se numeşte compensare în frecvenţă. Un AO este numit compensat total dacă poate fi utilizat chiar cu reacţie negativă totală (repetorul neinversor). Un AO compensat parţial (undercompensated) poate fi utilizat în circuite cu reacţie care produc amplificări mai mari decît o anumita valoare (de exemplu 5). Cea mai utilizată cale de compensare în frecvenţă este cea cu pol dominant. Prin deplasarea polului cel mai apropiat de origine (cel de la 1 MHz în exemplul nostru) la frecvenţe mult mai mici, frecvenţa la care defazajul ajunge la - 180o rămîne practic aceeaşi, dar cîştigul începe sa scadă mult mai devreme, devenind acum negativ la această frecvenţă. În Fig. 7.13 sînt date diagramele Bode pentru două poziţii diferite ale polului dominant. Prima asigură o compensarea parţială, iar cea de-a doua, una totală. Preţul plătit este începerea scăderii amplificării de la frecvenţe mai coborîte.

10k 100k 1M 10M 100M0

20

40

60

80 G (dB)

f (Hz)

10k 100k 1M 10M 100M-270

-180

-90

0 (grade)

f (Hz)

f-

Fig. 7.12. Diagramele Bode pentru amplificatorul operaţional LM 702.


100 1k 10k 100k 1M 10M 100M0

20406080 G (dB)

020406080 G (dB)

100 1k 10k 100k 1M 10M 100M

-180

-90

0

f (Hz)

100 1k 10k 100k 1M 10M 100Mf (Hz)

a)

(grade)f (Hz)

-180

-90

0

100 1k 10k 100k 1M 10M 100Mf (Hz)

rezerva de faza 45o

b)

(grade)

Fig. 7.13. Compensarea în frecvenţă cu pol dominant, pentru amplificatorul operaţional LM 702: a) compensare parţială şi b) compensare totală.

Cum diagrama cîstigului produsă de un pol dominant este o dreaptă cu panta de 20 dB decada putem să definim, pentru AO compensate cu pol dominant, un parametru extrem de important, frecvenţa unitară, ca fiind acea frecvenţă la care dreapta cu panta de 20 dB decada produsă de polul dominant ajunge la amplificare unitară. Cum, pe această dreaptă amplificarea merge ca 1 f , valoarea frecvenţei unitare poate fi exprimată prin f f Au p 1 0 (7.23) unde f p1 este frecvenţa polului dominant. Prezenţa celorlalţi poli face ca frecvenţa unitară, definită mai sus, să nu fie strict egală cu frecvenţa de 0 dB la care expresia exactă a amplificării are valoare unitară, aşa cum se poate observa în Fig. 7.13 a). Pentru o compensare totală, la frecvenţa de 0 dB defazajul trebuie să nu fi ajuns la -180o şi să aiba chiar o rezervă. Poziţionarea frecvenţei unitare în zona în care se găseşte al doilea pol al AO asigură îndeplinirea acestei condiţii, oferind o rezervă de fază de aproximativ 45o, suficientă pentru o comportare dinamică amortizată. În acest caz, frecvenţa de 0 dB este foarte puţin diferită de frecvenţa unitară (Fig. 7.13 b). În general modificarea poziţiei polului se face prin adăugarea în paralel, peste o capacitate existentă parazit, a unei alte capacităţi, fie în timpul realizării AO (compensare internă) fie în exterior de către utilizator, la două terminale speciale (compensare externă). Această capacitate este, însă, conectată ca reacţie negativă locală pe al doilea etaj al AO şi valoarea ei "efectivă" depinde proporţional de amplificarea etajului (efect Miller). În consecinţă, la modificări ale amplificării etajului (datorate temperaturii sau împrăştierii tehnologice) se modifică şi poziţia polului dominant astfel încît frecvenţa unitară rămîne aceeaşi.


Aşa cum s-a arătat în capitolul precedent, metoda diagramelor Bode nu oferă informaţii cantitative despre comportarea cu reacţie. Pentru orice amplificator operaţional la care polul dominant a fost localizat conform criteriului enunţat anterior, neglijînd polul al treilea (care se află cu o decadă mai sus), funcţia de transfer se scrie

H s Af A

s f A s fopu

u u( )

( )( )

0

2 20

0

42 2

, (7.24)

de unde rezultă funcţia de transfer a circuitului neinversor sub forma

H sf

s f A s f A

f

s f s f Au

u u DC

u

u u DC( )

( )

4

2 1 1 4

4

2 4

2 2

20

2 2

2 2

2 2 2

(7.25)

unde ADC este amplificarea cu reacţie de la curent continuu a circuitului neinversor

A AADC

0

01 . (7.26)

Factorul de amortizare şi frecvenţa naturală, pentru funcţia de transfer (7.25), sînt A f f ADC n u DC2 2, , (7.27) de unde putem trage următoarele concluzii: - dacă ADC 4 polii sînt reali şi nu avem oscilaţii în răspunsul la semnal treapta; - dacă ADC 4 polii sînt complex conjugaţi şi apar oscilaţii amortizate în răspunsul la semnal treaptă; - dacă ADC 2 apare o rezonanţă în răspunsul în frecvenţă; - în cazul cel mai defavorabil ADC 1 (repetorul neinversor), avem 0 5. şi utilizînd Fig. 5.7 deducem că rezonanţa răspunsului în frecvenţă este localizată la 0 7. fu şi are o înălţime de 1.25 dB deasupra palierului. Evoluţia frecvenţelor celor doi poli reali la modificarea amplificării cu reacţie ADC , este reprezentată în Fig. 7.14. Dacă amplificarea cu reacţie ADC este suficient de mare ( ADC 4), frecvenţele celor doi poli reali se pot aproxima prin f f A f fu DC u1 2 , . (7.28)

0.01 0.1 1

A DC

relatia aproximativa

f uf

10

100

4

Fig. 7.14. Evoluţia frecvenţelor polilor reali ai circuitului cu reacţie la modificarea amplificării cu reactie ADC .


Polul cu frecvenţa f1 fiind dominant în funcţia de transfer cu reacţie, stabileşte banda de trecere a circuitului, astfel că din relaţia precedentă rezultă faptul că produsul amplificare - bandă este constant şi egal cu frecvenţa unitară A f fDC u1 constant . (7.29) Acest rezultat are o interpretare geometrica simplă (Fig 7.15): se desenează amplificarea în funcţie de frecvenţă a AO şi se trasează pur şi simplu o linie orizontală la nivelul ADC ; după intersecţia ei cu amplificarea AO, amplificarea cu reacţie o urmează pe aceasta din urmă. Deşi formula simplă (7.29) permite calculul comod al benzii de trecere, nu trebuie uitat că ea este corectă numai pentru amplificări cu reacţie care nu se apropie prea mult de valoarea 1.. Pe figura citată se pot vedea şi dependenţele, calculate exact, pentru ammplificări mici, care nu mai corespund aproximaţiei (7.29). Aşa cum am văzut, compensarea cu pol dominant sacrifică banda de trecere iniţială a AO. Există şi alte tipuri de compensări care încearcă să salveze cît mai mult din această bandă. Ele se efectuează, de regulă, prin modificarea schemei interne a AO care, datorită inexistenţei unor etaje de separare, modifică întreaga funcţie de transfer a AO. Din această cauză nu vom intra în prea multe detalii, mărginindu-ne la informaţiile necesare utilizatorilor amplificatoarelor operaţionale. O astfel de compensare este compensarea pol-zerou. Odată cu deplasarea primului pol şi transformarea sa într-unul dominant se crează şi un zerou care coincide cu cel de-al doilea pol, anulîndu-i efectele. Considerînd că, pentru LM 702, această operaţie nu afectează poziţia celui de-al treilea pol, şi stabilind acolo frecvenţa unitară, rezultă că polul dominant trebuie localizat la 40 MHz 3600 11 kHz , adică cu o decadă mai sus decît în cazul compensării cu pol dominant. Banda de trecere obţinută este acum cu un ordin de mărime mai largă. Dacă separarea între polii 2 şi 3 este mai mică de o decadă, rezultatul nu mai este aşa de spectaculos. Ultimul tip de compensare pe care îl discutăm îmbunătăţeşte în acelaşi timp şi viteza de variaţie a tensiunii de ieşire. Cum primul etaj este responsabil de bandă (poziţia primului pol) el este "scurtcircuitat" la frecvenţe înalte, prin legarea unui condensator între intrarea inversoare şi ieşirea sa. Această metodă, numită cuplaj-înainte (feed-forward) este recomandată pentru amplificatoarele operaţionale LM 101, LM 108 şi A 748. Schema şi valorile recomandate pentru LM 301 sînt date în Fig. 7.16 a) iar în desenul b) al figurii au fost prezentate cîştigul şi faza funcţiei H sop ( ). Banda de frecvenţe obţinută este de peste 10 ori mai mare decît în cazul compensării cu pol dominant, iar viteza de creştere este mărită şi ea cu un ordin de mărime, depăşind 20 V/s.

1k 10k 100k 1M

0

20

40

f (Hz)

G(dB)ADC=100

ADC=4

ADC=10

ADC=1

amplificarea AO

Fig 7.15. Dependenţa de frecvenţă a amplificării cu reacţie; cu linie groasă au fost trasate dependenţele exacte.


+

-vi

vo

R1

R3

R 2

C2

2

3

1

6

C1

150 pF 10 100 1k 10k 100k 1M 10M 100M-20

0

20

40

60

80

100

120

140

-45

-90

-135

-180

0

G (dB) (grade)

f (Hz)

G

Fig. 7.16 a) Compensarea cuplaj-înainte, pentru amplificatorul operaţional LM 301;

202 21 RfC cu f0 3 MHz limitează superior banda de trecere.

Fig. 7.16 b) Diagrama cîstigului şi fazei obţinută la compensarea cuplaj-înainte a amplificatorului operaţional LM 301 .

Aşa cum menţionam mai înainte, sînt fabricate AO compensate total, compensate parţial sau necompensate. Alegerea unui amplificator operaţional se face după gama de frecvenţe la care este utilizat. Dacă aceste frecvenţe sînt coborîte, interesînd în special performanţele la frecvenţe foarte joase, vom găsi AO total compensate, cu lărgimi de bandă modeste aşa cum este OP 77 (Fig.7.17 a). Dacă, însă, ne interesează o bandă largă de frecvenţe, este posibil să ne satisfacă un amplificator compensat parţial, aşa cum este MAX 4106, care este stabil pentru amplificări cu reacţie mai mari decît 5. Pentru acesta, dăm amplificarea (cu reacţie) în funcţie de frecvenţă în Fig. 7.17 b). Banda de trecere la - 3 dB este de 350 MHz. În plus, MAX 4106 oferă performanţe de zgomot excelente.

0.01 0.1 1 10 100 1k 10k 100k 1M-20

020406080

100120140G (dB)

f (Hz)

100k 1M 10M 100M 1G

-5

0

5

10

15

G(dB)

f (Hz)

Fig. 7.17 a) Cîştigul (în buclă deschisă) al amplificatorului operaţional OP 77 A

Fig. 7.17 b) Cîştigul (în buclă închisă) la o amplificare cu reacţie egală cu 5, pentru amplificatorulu operaţional MAX 4106


Cazul reţelei de reacţie selective Compensarea în frecvenţă a amplificatoarelor operaţionale este calculată considerînd o reţea de reacţie pur rezistivă şi, deci, neselectivă. În această situaţie, factorul de reacţie este pur real şi nu afectează decît modulul funcţiei de transfer H sOL ( ) a buclei, faza ei fiind chiar faza funcţiei H sop ( ) a amplificatorului operaţional. De multe ori însă, în aplicaţii sînt utilizate reţele de reacţie selective. Este cazul amplificatoarelor de egalizare, al circuitelor de integrare şi derivare sau al reţelelor de reacţie selective care sînt introduse şi ajustate pentru a îmbunătăţi stabiltatea circuitului (compensarea externă efectuată pe calea inversă a buclei de reacţie). În acest caz, aplicarea metodei diagramelor Bode este mai complicată deoarece ele trebuie desenate pentru funcţia de transfer globală H sOL ( ) a buclei. Acest inconvenient poate fi ocolit prin modificarea metodei, în modul care urmează. Se desenează curba de cîştig a amplificatorului operaţional şi pe acelaşi grafic se trasează apoi curba de cîştig cu reacţie calculată în ipoteza unei amplificări infinite a AO, adică modulul funcţiei 1 ( )s , care depinde numai de reţeaua de reacţie. Circuitul cu reacţie va fi stabil dacă la punctul lor de intersecţie diferenţa pantelor va fi mai mică sau egală cu 20 dB/decadă. Temă: Încercaţi să arătaţi că această condiţie este suficientă pentru stabilitatea circuitului. Ca exemplu vom încerca să construim un circuit de derivare, utilizînd un AO compensat total în frecvenţă (cu pol dominant), circuit desenat în Fig. 7.18. Considerînd amplificatorul operaţional cu amplificare infinită, funcţia de transfer a circuitului rezultă

H s sRC

( )

1

11cu (7.30)

care determină pentru diagrama de cîştig o pantă (la orice frecvenţă) de +20 dB/decadă. Pe de alta parte, cîstigul amplificatorului operaţional are în regiunea în care este supraunitar, datorită polului dominant, o pantă de -20 dB/decadă. La intersecţia celor două caracteristici, diferenţa pantelor va fi de 40dB/decadă deci stabiltatea circuitului de derivare din Fig. 7.18 (denumit, de multe ori, ideal) este necorespunzătoare. În capitolul următor vom analiza în detaliu funcţionarea acestui circuit şi vom vedea ce înseamnă această stabilitate necorespunzătoare şi care este remediul.

C

R

+

-Vi Vo

Fig. 7.18. Circuit de derivare "ideal".


Probleme P 7.1 (rezolvată) Calculaţi funcţia de transfer pentru circuitul din Fig. 7.19, considerînd amplificatorul operaţional ca fiind ideal. Soluţie: Scriind teorema Milman pentru nodurile cu potenţialele V1 şi V şi condiţia de scurtcircuit virtual între intrări avem ecuaţiile:

V V Z V ZZ Z

V

V V Z V Z V ZZ Z Z Z

V V

o

i

1 3 5

3 5

11 3 0 4

1 2 3 4

1 10

1 1 1 1

(7.31)

care, după exprimarea în admitanţe, conduc la funcţia de transfer

H VV

Y YY Y Y Y Y Y Yi

0 1 3

3 4 5 1 2 3 4( ) (7.32)

Indicaţie: În analiza circuitelor următoare, amplificatoarele operaţionale vor fi considerate ideale. P 7.2. Circuitul din Fig. 7.20 este un multiplicator de capacitate. Calculaţi impedanţa de intrare, ţinînd seama de valorile componentelor folosite, şi propuneţi utilizări ale sale. P 7.3. Calculaţi impedanţa de intrare a circuitului din Fig. 7.21 şi scrieţi o aproximaţie a sa în

domeniul 1 1

3 1R C R C . Unde ar putea el să fie folosit ?

P 7.4. Calculaţi funcţia de transfer a filtrului cu sursă de tensiune controlată din Fig. 7.22. Alegînd R R R R1 2 3 şi C C1 2 , deduceţi relaţiile de proiectare (exprimarea valorilor rezistoarelor şi condensatoarelor în funcţie de amplificarea în banda de trecere, frecvenţa naturală şi factorul de amortizare). P 7.5. Rezolvaţi aceleaşi chestiuni pentru circuitul din Fig. 7.23. Faceţi o comparaţie între aceste două filtre.

-

+

V-

V+

Vo

Vi Z1

2Z

3Z

5Z4Z

1V

Fig. 7.19. Circuit cu amplificator operaţional ideal şi reacţie multiplă.


-

+

2R

1C

R1

10

10k

Zin

-

+1R 10k

Z in

2R

1C 3R

10M

1k

0.1 F

Fig. 7.20. Circuit pentru "multiplicarea " unei capacităţi.

Fig. 7.21. Circuit pentru simularea unei inductanţe.

P 7.6. Determinaţi funcţia de transfer a filtrului cu reacţie multiplă din Fig. 7.24 şi calculaţi relaţiile de proiectare. P 7.7 Filtrul din Fig. 7.25 este cunoscut sub numele bi-quad. Calculaţi funcţia sa de transfer, precum şi relaţiile de proiectare. Comparaţi-l cu filtrul din Fig. 7.24.

KV0Vi R1

R2

C1

C2

R3

KV0Vi R1

R2

C2R 3

C1

Fig. 7.22. Filtru trece-bandă de ordinul 2 cu sursă de tensiune controlată

Fig. 7.23. Filtru trece-bandă de ordinul 2 cu sursă de tensiune controlată

P 7.8. Calculaţi impedanţa de intrare a circuitului din Fig. 7.26 şi arătaţi că el poate fi utilizat pentru simularea de inductanţe. Dacă R R 1 1k şi C 10 nF, determinaţi mărimea inductanţei şi factorul de calitate care s-ar obţine lucrîndu-se la o frecvenţă de rezonanţă de 1 kHz. P 7.9. Determinaţi funcţia de transfer a circuitului din Fig. 7.27 şi propuneţi aplicaţii ale circuitului.


-

+

VoVi R1

2R

3C

5R4C

-

+V0AO 2

Vi -

+

C

AO 1

-

+

C

AO 3

R1

R2

R3R3

R'R'

Fig. 7.24. Filtru trece-bandă cu reacţie multiplă.

Fig. 7.25. Filtru bi-quad.

-

+

VoZ i

R1

R

C

-

+

Vo

Vi

R1

R

CR1

Fig. 7.26. Circuit cu AO pentru simularea

inductanţei. Fig. 7.27. Circuit cu AO pentru problema

P 7.9.

P 7.10. Arătaţi că circuitul din Fig. 7.28 funcţionează ca integrator neinversor şi comparaţi-l, ca nivel de complexitate, cu cel inversor.

-

+

Vo

Vi

R

C

R

R

R

Fig. 7.28. Circuit de integrare neinversor.

C a p i t o l u l 8

R1

+

-V2 Vo

R2

R3

R4

V1AO

A p l i c a ţ i i l i n i a r e a l e a m p l i f i c a t o a r e l o r o p e r a ţ i o n a l e

Amplificatorul operaţional este, prin excelenţă, un dispozitiv liniar de circuit. Este normal, deci, ca majoritatea aplicaţiilor sale să fie în circuite liniare. Vom aborda, în acest capitol, doar cîteva astfel de aplicaţii reprezentative, urmînd ca o altă categorie de aplicaţii liniare ale AO, şi anume filtrele active, să fie studiată pe larg într-un alt capitol. A. Amplificatoare de audiofrecvenţă Pentru această aplicaţie se pot utiliza, în principiu, configuraţiile inversoare sau neinversoare, cu reacţie rezistivă (neselectivă). O condiţie care trebuie îndeplinită este ca, la valoarea dorită pentru amplificare, amplificatorul operaţional să ofere o bandă de trecere suficientă. Pentru amplificatoarele de uz general de generaţie mai veche, care sînt compensate total în frecvenţă, aceasta poate fi o problemă. De exemplu, dacă se doreşte realizarea unui circuit cu o amplificare de 100 şi se utilizează un AO de tip 741, care are frecvenţa unitară de 1 MHz, banda de trecre care poate fi obţinută este de numai 10 kHz, insuficientă pentru aplicaţiile audio. Soluţia este fie utilizarea unui AO necompensat intern, care să fie compensat de către utilizator pentru o amplificare de 100 (de exemplu LM 101), fie alegerea unui AO compensat intern, dar cu frecvenţă unitară mai ridicată (de exemplu LM 318, cu o frecvenţa unitară de 15 MHz). O altă problemă, ce poate apare atunci cînd sînt amplificate semnale de nivel mic, este zgomotul intern al amplificatorului operaţional. Dacă semnalul este produs de exemplu de o doză magnetică şi are un nivel sub 1 mV, atunci tensiunea efectivă de zgomot generată de 741 în banda audio, de aproximativ 4 V, îl face inutilizabil pentru această aplicaţie. Va trebui ales un AO de zgomot mic, cum este OP 27, care va produce o tensiune de zgomot de numai 0.3 V sau, şi mai bine, un amplificator optimizat în privinţa zgomotului exact în banda audio, cum este LM 381. Problema zgomotelor în circuitele electronice va fi abordată într-un capitol special. Reacţia neselectivă este, însă, rareori folosită, deoarece odată cu amplificarea se urmăreşte şi o corecţie de frecvenţă a semnalului audio. La înregistrările pe discuri clasice, în scopul îmbunătăţirii raportului semnal-zgomot, semnalul este prelucrat conform unei anumite curbe stabilită de norma RIAA, iar la redarea cu doze magnetice trebuie efectuată procesarea inversă, dezaccentuînd frecvenţele care au fost accentuate la înregistrare, conform curbei din Fig 8.1, desenată astfel încît să aibă amplificare unitară la 1kHz. Funcţia de transfer trebuie să aibă doi poli,

Capitolul 8 Aplicaţii liniare ale amplificatoarelor operaţionale 183

cu frecvenţele la 50 Hz (constantă de timp 3.18 ms) şi la 2.12 kHz (constantă de timp 75 s) şi, în plus, un zerou cu frecvenţa de 500 Hz (constantă de timp de 318 s). Un circuit care îndeplineşte aceste cerinţe este prezentat în Fig. 8.2. Înainte de a fi aplicat intrării de mare impedanţă a AO, semnalul este trecut printr-un filtru trece-sus cu frecvenţa de tăiere de 3.4 Hz care are numai scopul să separe în curent continuu amplificatorul de sursa de semnal. Sub această

această frecvenţă, reacţia negativă este totală (condensatoarele se comportă practic ca circuite deschise) şi tensiunea de decalaj a AO este "amplificată" numai cu 1. Peste această frecvenţă, condensatorul de 47 F este practic un scurtcircuit în comparaţie cu rezistenţa de 1 k şi amplificarea ajunge la 1 910 75 1 986 ( ) . Combinaţia paralelă 910 k - 33 nF stabileşte practic primul pol, iar combinaţia 75 k -1 nF îl stabileşte pe cel de-al doilea.

B. Amplificatoare de instrumentaţie Măsurarea tensiunilor electrice continue de valoare mică (efectuată analogic sau digital) necesită amplificarea lor în prealabil pîna la niveluri rezonabile (volţi sau fracţiuni de volt). Amplificatoarele folosite, numite de instrumentaţie, trebuie să îndeplinească mai multe condiţii: -să ofere o bandă de trecere pînă la curent continuu; -să prezinte o impedanţă de intrare mare pentru a nu modifica sensibil valoarea tensiunii măsurate; -sa aibă o amplificare precisă şi uşor comutabilă; -să fie diferenţiale, permiţînd astfel ambelor intrări să fie conectate în puncte diferite de cel de masă; tensiunea de ieşire trebuie să depindă practic numai de diferenţa celor două potenţiale, adică factorul de rejecţie pe mod comun (CMRR - common mode rejection ratio), definit ca raportul amplificărilor pe mod diferenţial şi, respectiv, comun

CMRRAA

dif

com (8.1)

trebui să fie cît mai mare. Ansamblul acestor condiţii face ca amplificatoarele operaţionale să fie blocurile preferate pentru realizarea de amplificatoare de instrumentaţie. Etajul de bază, care poate fi utilizat şi ca

+

-Vi

Vo1 F

47k

1.0k

F47

75k 910k

nF1 33 nF

Fig. 8.2 Amplificator de redare pentru pick-up, avînd corecţie RIAA.

1 10 100 1k 10k 100k-20

-10

0

10

20G (dB)

f (Hz)

f =50Hz1

f =500Hz2

f =2120Hz3

Fig. 8.1 Curba de corecţie RIAA pentru

redare.


atare, este amplificatorul diferenţial, desenat în Fig. 8.3. Definind tensiunile de intrare V V V V V Vdif com 1 2 1 2 2; ( ) , (8.2) în ipoteza unui amplificator operaţional ideal, tensiunea de ieşire se exprimă prin conductanţe ca

V G G G G

G G G GV

G G G GG G G G

V

com

dif

02 1 4 3

4 3 2 1

2 1 4 3

4 3 2 1

122 1

( )

( )

. (8.3)

Amplificarea pe mod comun este anulată, dacă este îndeplinită condiţia

RR

RR

k4

3

2

1 , (8.4)

amplificarea pe mod diferenţial devenind

A VV V

kdif

0

1 2. (8.5)

În practică, este impsibilă îndeplinirea absolut exactă a relaţiei (8.4), datorită împrăstierii tehnologice a valorilor rezistenţelor, chiar dacă ele sînt selecţionate prin măsurare. Soluţia este intercalarea în serie cu una din cele patru rezistenţe, de preferinţă între R4 şi masă, a unei rezistenţe semireglabile. Ajustarea acesteia se face, cu bornele de intrare legate împreună la o sursă de semnal, pînă la obţinerea unui semnal nul la ieşire. În acest mod, reglajul compensează şi amplificarea nenulă pe mod comun a AO (nici un amplificator operaţional nu are CMRR infinit). Amplificatorul diferenţial prezentat suferă de două deficienţe majore. În primul rînd, impedanţele văzute la cele două intrări sînt inegale şi nu sînt foarte mari. La intrarea 1 se vede R R R R3 4 1 2 , pe cînd la intrarea 2 impedanţa este numai R1. A doua deficienţă este dificultatea modificării amplificării. Conform ecuaţiilor (8.4-8.5), trebuie modificate simultan două rezistenţe, dar în aşa fel încît să fie păstrată egalitatea celor două rapoarte. Un circuit care elimină aceste inconveniente este prezentat în Fig. 8.4. Impedanţele

R1

+

-V2 Vo

R 2

R3

R4

V1

Fig. 8.3. Amplificator diferenţial cu AO.

+

- VoR3

V1

R2

+

-

+

-

V2

R2

R1

R3

R3

R3

Fig. 8.4. Amplificator diferenţial cu impedanţă mare de intrare şi reglare comodă a amplificării.


văzute la cele două intrări sînt foarte mari, deoarece ele sînt legate numai la intrările neinversoare ale amplificatoarelor operaţionale. Trecerea de la ieşirea diferenţială la una obişnuită este făcută de al treilea amplificator operaţional, care este conectat în configuraţie de amplificator diferenţial, cu amplicare unitară. Tensiunea de ieşire se obţine ca 21120 21 VVRRV (8.6) şi amplificarea poate fi modificată prin reglarea unei singure rezistenţe şi anume R1. Dezavantajul utilizării a trei amplificatoare operaţionale este numai aparent, dacă ţinem seama de existenţa circuitelor integrate care conţin două AO (dual) sau patru AO (quad). De fapt, cea mai elegantă soluţie este folosirea unui circuit integrat care conţine întreaga configuraţie din Fig. 8.4 (sau una cu performanţe echivalente) numit amplificator de instrumentaţie. Amplificarea sa se "programează" prin valoarea unei rezistenţe conectate între două borne dedicate acestui scop. Din această familie de circuite fac parte, de exemplu, AD 521, AD 522, AD 524 şi AD 624, produse de Analog Devices. C. Amplificatoare pentru punţi rezistive Multe tipuri de traductoare (pentru temperatură, tensiune mecanică, intensitate luminoasă, etc.) se bazează pe variaţia unei rezistenţe electrice. Pentru a converti această variaţie într-o tensiune electrică (şi, de asemenea, pentru reglarea stării în care ieşirea este nulă), traductorul este conectat într-o punte rezistivă. Pentru a obţine tensiuni de valoare uşor măsurabilă, tensiunea de dezechilibru a punţii este prelucrată cu amplificatoare. Soluţia standard este utilizarea unui amplificator diferenţial (Fig. 8.5), care are impedanţa de intrare mult mai mare decît rezistenţele din punte. Avantajul acestei soluţii ţine de factorul mare de rejecţie pe mod comun al amplificatorului diferenţial, care elimină practic tensiunile de zgomot (parazite) care apar identic pe ambele fire de legătură între punte şi amplificator. Pentru a face ca aceste tensiuni parazite să fie identice, cele două fire trebuie să fie cît mai apropiate iar, pentru micşorarea acestor tensiuni, firele trebuie să fie torsadate (răsucite) şi introduse într-un ecran metalic. Prin ecranul cablului nu trebuie să circule curenţi de semnal iar acesta trebuie legat la ecranul amplificatorului. Din acest motiv, soluţia utilizării cablului coaxial, la care unul din curenţii de semnal circulă prin ecran, deşi mai ieftină, este una de compromis, valabilă în condiţii mai relaxate. Aceste probleme vor fi abordate în detaliu într-un capitol ulterior.

Vref

amplificatordiferential

+

-

Vo

R

R R

R+ R=R(1+ )

ecran

Fig. 8.5 Amplificarea dezechilibrului punţii cu un amplificator diferenţial


Introducînd variaţia relativă a rezistenţei

RR

(8.7)

şi notînd cu k amplificarea amplificatorului diferenţial, valoarea tensiunii de ieşire se obţine sub forma

VkVref

0 4 1

, (8.8)

care scoate în evidenţa importanţa menţinerii constante a tensiunii de referinţă, cu care este alimentată puntea, şi a amplificării k . Pentru dezechilibre mici, 1, relaţia anterioară poate fi aproximată prin

VkVref

0 4 (8.9)

care are avantajul că este liniară. Uneori, pentru prelucrarea semnalului dat de o punte, dorim să utilizăm, un amplificator mai puţin complex decît unul diferenţial cu performanţe ridicate. Există cîteva circuite care folosesc numai un singur amplificator operaţional, aşa cum este cel din Fig. 8.6. Deoarece diagonala activă a punţii este legată direct la intrările unui amplificator operaţional, potenţialele nodurilor A şi B sînt forţate să devină egale (prin reacţia negativă); puntea este operată în regim de scurtcircuit virtual (nu există curent care să curgă între aceste noduri). Tensiunea de ieşire este

V V RR R Rref01

111

2 1

( ) ( )

(8.10)

care, pentru 1, poate fi aproximată prin

V V RRref01

2

(8.11)

relaţie ce este, din nou, liniară. Trebuie notat că acum valorile rezistenţelor din punte apar în expresia tensiunii de ieşire, necesitînd ca acestea să foarte stabile cu temperatura. Circuitul, deşi simplificat, rejectează semnaele pe mod comun, dacă AO are o valoare a CMRR suficient de bună. Cînd rejecţia semnalelor pe mod comun nu este o problemă, se poate folosi numai o jumătate de punte operată în scurtcircuit (Fig. 8.7). Amplificatorul operaţional forţează la masă potenţialul nodului A şi tensiunea de ieşire este

R(1+ )

Vref

R R

+- Vo

R1

R1

AB

R

Fig. 8.6. Amplificator operaţional care operează puntea în scurtcircuit.


V V RRref01

1

(8.12)

care, pentru 1, devine

V V RRref01 . (8.13)

Toate amplificatoarele de punte discutate pînă acum suferă de o deficienţa comună: tensiunea de ieşire nu este proporţională cu variaţia R R decît în aproximaţia 1. Pentru deviaţii mari, expresiile sînt neliniare, ceea ce este un dezavantaj major în sistemele de măsură şi control analogice. Chiar dacă la un anumit punct informaţia se prelucrează digital şi există, astfel, o posibilitate comodă de liniarizare, nu trebuie să uităm că la prima procesare, care este efectuată de amplificatorul de punte, sensibilitatea nu este constantă şi în anume domenii de valori variaţiile punţii pot fi mascate de efecte parazite (zgomot, driftul tensiuniii de decalaj, etc.). Dacă acest lucru se întîmplă, prelucrarea digitală ulterioară nu mai poate recomstitui informaţia pierdută.

Pentru variaţii

semnificative ale lui se poate utiliza circuitul din Fig. 8.8. Configuraţia este aceea a unui amplificator diferenţial cu intrările legate împreună la o tensiune de referinţă, traductorul fiind legat ca rezistenţă de reacţie. Se obţine o tensiune de ieşire

V V RR Rref0

2

1 2

(8.14)

care este liniară în variabila şi pentru variaţii mari.

D. Circuitul de integrare Integratorul analogic este extrem de folositor în circuitele de calcul, precum şi în cele de generare şi procesare a semnalelor. El utilizează un amplificator operaţional legat în configuraţie inversoare, aşa cum se vede în Fig. 8.9. Datorită importanţei lor ca surse de eroare, pe schemă au fost trecute şi sursele care modelează tensiunea de decalaj la intrare şi curentul de polarizare. Considerînd amplificarea AO infinită, vom încerca să determinăm tensiunea de ieşire direct în domeniul timp. Curentul care încarcă condensatorul este

R(1+ )

+Vref

R

+

- Vo

R1

A

-Vref

Fig. 8.7. Jumătate de punte operată în scurtcircuit.

+

- Vo

R2

Vref

R1

R1

R2 (1+ )

Fig. 8.8 Amplificator de punte pentru variaţii mari.


i t v t VR

Ii OSB1( ) ( )

, (8.15)

iar tensiunea pe condensator se scrie

t

OSOS ttiC

vVtvV0

100 d)(1)0()( , (8.16)

de unde obţinem tensiunea de ieşire

tCIt

RCVttv

RCVtv BOS

t

iC d)(1)(0

00 . (8.17)

Primul termen, VC0 este tensiunea iniţială pe condensator, dacă el nu a fost descărcat în prealabil. Al doilea termen este proporţional cu integrala tensiunii de intrare, iar ultimii doi, , proporţionali cu timpul, se datoresc tensiunii de decalaj şi, respectiv, curentului de polarizare. Ultimii doi termeni, fiecare din ei putînd fi pozitiv sau negativ, cresc proporţional cu timpul şi la un moment dat aduc amplificatorul operaţional în saturaţie. Durata de timp pe care se poate efectua integrala semnalului de ieşire este, deci, limitată. La începerea unui nou ciclu de integrare condensatorul trebuie descărcat (prin comutatorul desenat punctat în figură). Pentru micşorarea efectelor tensiunii de decalaj şi a curentului de polarizare, se pot utiliza tehnicile decrise în capitolul anterior. În plus, influenţa curentului de polarizare poate fi diminuată prin mărirea valorii capacitătii C , ceea ce conduce, pentru păstrarea constantei de timp, la micşorarea rezistenţei R . Rezistenţa nu poate fi micşorată însă prea mult, deoarece ea stabileşte impedanţa de intrare în circuit. Considerînd iniţial condensatorul descărcat şi neglijînd termenii de eroare, tensiunea de ieşire a acestui integrator "ideal" este

t

ii

ttvT

tv0

0 d)(1)( (8.18)

unde produsul RC poartă numele de timp de integrare. Pentru variaţii, se poate defini o funcţie de transfer

H sT si

( ) 1 1 (8.19)

care este echivalentă cu (8.18) datorită corespondenţei între integrarea în domeniul timp şi împărţirea cu s în domeniul Laplace.

+

- Vo

C

VOS

I B

R

+-

Vi I1

Fig. 8.9 Integratorul analogic "ideal".


Observaţie: Timpul de integrare apare în relaţiile (8.18-19) într-o constantă multiplicativă. Din acest motiv, mărimea sa nu este esenţială pentru caracterizarea comportării integratorului. Un amplificator (sau un simplu divizor rezistiv) intercalat înainte sau după integrator are acelaşi efect ca modificarea timpului de integrare. În alegerea acestei constante trebuie ţinut seama de un singur criteriu: mărimea tensiunii de ieşire să nu ducă AO în saturaţie pe durata efectuării operaţiei de integrare. Dacă se ia în consideraţie şi dependenţa reală de frecvenţă a amplificatorului operaţional (amplificarea A 0 finită şi polul dominant al compensării în frecvenţă) funcţia de transfer a integratorului se obţine ca

H sA

s A s RCi p

p i pi( )

0

20

1

cu , (8.20)

p fiind frecvenţa polului dominant al AO. În deducerea relaţiei precedente s-a ţinut seama că A0 1 şi A p i0 . În această aproximaţie frecvenţele celor doi poli reali ai integratorului sînt i A0 şi A p0 ; aceasta din urmă este chiar frecvenţa unitară a amplificatorului operaţional compensat cu pol dominant. Raspunsul în frecvenţă este cel din Fig. 8.10 : răspunsul real diferă de cel ideal (desenat cu linie mai subţire) în regiunile extreme. Sub frecvenţa de i A0 el nu mai creşte, fiind limitat de amplificarea finită a AO, iar la frecvenţa A p0 răspunsul real se frînge şi începe să coboare cu 40 dB/decadă în loc de 20dB/decadă. Abaterile de la răspunsul ideal au consecinţe în comportarea integratorului la un semnal treaptă. La acest semnal, un integrator ideal (descris de ec. 8.18-8.19) ar răspunde cu o rampă infinit crescătoare de pantă constantă. Răspunsul real diferă de cel ideal la valori mici ale timpului (Fig. 8.11 a), datorită numărului de poli care este de doi, şi la valori mari ale timpului (Fig. 8.11 b), datorită amplificării finite (primul pol nu este chiar în origine). Valoarea timpilor mici este determinată de frecvenţa unitară a AO şi este de ordinul a 1 s. Durata de timp după care abaterea de la rampa liniară devine evidentă este fixată de polul cu frecvenţă mai mică al funcţiei de transfer (8.20). Pentru i 2 104 rad s şi A0

510 aceasta durată este de ordinul 1.6 s. Nu trebuie să uităm însă că, pentru valorile considerate, conform ec. (8.18), la o treaptă de intrare de 10 mV amplificatorul operaţional intră în saturaţie după numai 16 ms ! Pentru a putea sesiza abaterea produsă de poziţia primului pol, treapta de la intrare trebuie să fie de numai 100 V.

G (dB)

raspunsul AO

raspunsul ideal

raspunsul ideal

raspunsul real (scara log.)

p

A0p

i

i A0

0

G0

G0 =20 log A10 0

Fig. 8.10 Răspunsul în frecvenţă pentru integratorul din Fig. 8.9.


a)

0 2 4 6 8 10t (s)

b)

raspuns ideal1 V

0

0.2 V

0.0 1.0µ 2.0µ 3.0µt (s)

raspuns ideal

0.1 V

0

Fig. 8.11. Răspunsul la semnal treaptă al integratorului din Fig. 8.9.

Pentru valorile numerice considerate, putem să estimăm şi efectul tensiunii de decalaj. Dacă lucrăm cu 741 cu VOS 5 mV amplificatorul operaţional ajunge în saturaţie în numai 32 ms. Cu un amplificator foarte performant, cu VOS 0 025. mV , saturaţia s-ar produce abia după 6.4 s. Pentru a elimina necesitatea resetării integratorului prin descărcarea condensatorului se utilizează de multe ori un circuit modificat denumit "integrator real" prezentat în Fig.8.12. Elementul introdus suplimentar este rezistorul R f care limitează amplificarea la curent continuu la R Rf . Efectul staţionar al tensiunii de decalaj şi al curentului de polarizare se calculează ca în capitolul precedent, neluînd în consideraţie condensatorul. Tensiunea de decalaj este amplificată cu 1 R Rf , de unde putem să estimăm valoarea R f necesară. De exemplu,, acceptînd la ieşire un termen suplimentar de 1 V, cu o tensiune de decalaj de 5 mV, valoarea maximă pentru R f rezultă a fi 200R. Evident, pentru un AO foarte performant valoarea R f poate fi crescută pînă la 40000R. Curentul de polarizare produce la ieşire o tensiune de eroare practic egală cu I RB (am ţinut seama că R R f ). Pentru ca această tensiune de eroare să fie sub 1 V, pentru un 741 cu IB 500 nA este necesar ca rezistenţa R să fie mai mică de 2 M. Această condiţie este uşor de îndeplinit, dacă nu se doresc timpi de integrare excesiv de mari (mai mari de cîteva secunde). Prezenţa rezistorului suplimentar afectează însă comportarea integratorului. Considerînd AO cu amplificare infinită, funcţia de transfer este acum

H sRR s R Cf f

ff

f( )

cu 1 , (8.21)

diferită de cea ideală (8.19). În loc să fie în origine, polul este acum la o frecvenţă f mai mică de 200-40000 ori decît i . De notat că pentru funcţia de transfer reală a integratorului fără rezistorul

+

- Vo

VOS

IB

+-

Vi

R R f

C

Fig. 8.12. Integratorul "real"


R f , poziţia acestui pol era mult mai jos, la o frecvenţă de 105-106 ori mai mică decît i (vezi Fig. 8.10). Dacă renunţăm la idealizarea privind amplificarea AO şi utilizăm aceleaşi supoziţii şi notaţii ca la circuitul precedent, obţinem funcţia de transfer

H sA

s A s Ai p

p p f( )

0

20 0

, (8.22)

unde în aproximaţiile făcute s-a ţinut seama de domeniul de valori pentru f discutat mai sus. Frecvenţele polilor acestei functii de transfer sînt practic f şi A p0 . Am regăsit primul pol dat anterior de relaţia (8.21) şi am descoperit un pol suplimentar care este, la fel ca la circuitul anterior, la frecvenţa unitară a AO. Revenind la Fig. 8.10 putem trage concluzia că singurul efect al introducerii rezistorului R f asupra răspunsului în frecvenţă este deplasarea primului pol de la i A0 la f adică mărirea frecvenţei lui de A R R f0 ori. Acest factor are valori în intervalul 5-5000, cea mai defavorabilă situaţie fiind produsă de existenţa unei tensiuni de decalaj mari. Înainte de încheierea discuţiei asupra integratoului, trebuie notat că în anumite circuite este utilizat integratorul ideal fără ca el să ajungă la saturaţie prin integrarea tensiunii de decalaj. Este cazul circuitelor cu reacţie negativă globală, aşa cum vom întîlni la filtrele active cu buclă de calcul analogic, şi al circuitelor cu elemente de comutaţie, utilizate la generatoarele de semnal triunghiular.

E. Circuitul de derivare Dacă în schema integratorului ideal interschimbăm rezistorul şi condensatorul, obţinem circuitul din Fig. 8.13, care realizează funcţia inversă, şi anume derivarea. Considerînd amplificatorul operaţional ideal din punctul de vedere al amplificării, rezultă funcţia de transfer

H s T s T RCd dd

( ) cu 1

(8.23)

care corespunde unei relaţii în domeniul timp

v t T v ttd

i0( ) ( )

d

d. (8.24)

Luarea în consideraţie a funcţiei de transfer a AO (presupusă cu pol dominant) va arăta că circuitul nu este suficient de amortizat. Scriem funcţia de transfer a AO ca

H sAs sop

p

pu

p( )

0

(8.25)

de unde rezultă funcţia de transfer a derivatorului ideal

+

- Vo

C

R

Vi

Fig. 8.13. Derivatorul "ideal".


H s ss s

u

d d u( )

2 . (8.26)

Punînd numitorul sub forma standard obţinem

n d u

d

u , 1

2. (8.26)

În Fig. 8.14 este desenată dependenţa exactă a factorului de amortizare în funcţie de

frecvenţa fd d1

2 , pentru poziţia polului

dominant la 5 Hz şi frecvenţa unitară 1 MHz. Observăm că valoarea sa este subunitară deci avem o pereche de poli complex conjugaţi. În plus, valoarea factorului de amortizare este inacceptabil de mică pentru orice valoare utilă a frecvenţei fd . În Fig. 8.15 este prezentat răspunsul în frecvenţă al derivatorului ideal. Se vede că el se abate de la răspunsul ideal (8.23) la frecvenţe mari, datorită căderii amplificarii AO. Amortizarea prea

mică se poate constata prin apariţia unei rezonanţe la frecvenţa normală a perechii de poli complecşi. O altă deficienţă a acestui circuit este că amplifică exagerat frecvenţele foarte mari, unde nu avem componente ale semnalului util dar avem sigur zgomot. Din acest motiv raportul, semnal-zgomot la ieşire poate ajunge inacceptabil de mic. Rezolvarea acestor deficienţe se face prin introducerea unui rezistor suplimentar, ajungîndu-se la un circuit cunoscut ca derivator "real" (Fig. 8.16). Calculăm mai întîi funcţia sa de transfer considerînd, amplificarea AO infinită. Obţinem astfel

H s T ss R Cd( )

cu 1 (8.27)

care diferă de funcţia de transfer ideală prin prezenţa unui pol cu frecvenţa . Pentru a verifica dacă am îmbunătăţit stabilitatea, trebuie să luăm în consideraţie funcţia de transfer a amplificatorului operaţional. Astfel, găsim că

1 10 100 1k 10k 100k0.0

0.1

0.2

f d (Hz) Fig. 8.14. Factorul de amortizare pentru

derivatorul "ideal".

1 10 100 1k 10k 100k 1M 10M

-60-40-20

020406080

100120 G (dB)

f (Hz)

raspunsul AOraspuns idealpentru derivator

fd f u

fn

Fig. 8.15 Răspunsul în frecvenţă al derivatorului "ideal".


H s T ss s

R R C

du

uu

( )

( )

2

1cu

(8.28)

şi, punînd numitorul sub forma standard, avem

n uud

RR

, 12 1

cu

. (8.29)

După cum vom vedea imediat, se pot obţine astfel factori de amortizare mari, chiar pentru 1. În această aproximaţie, relaţia pentru se simplifică şi capătă forma

12

ud

. (8.30)

Astfel, alegînd pentru timpul de derivare o valoare corespunzătoare lui fd 1kHz , cu derivatorul "ideal" obţineam o valoare a factorului de amortizare de numai 0.016 (vezi Fig. 8.14). Acum, cu circuitul modificat putem ajunge la amortizarea critică 1 (pol real dublu) dacă punem 0 065. . În aceste condiţii localizarea polului real dublu este la 31.6 kHz. Cu aceste date, răspunsul în frecvenţă este desenat în Fig. 8.17. Pe acelaşi desen este trasat şi răspunsul (8.27) care a fost calculat considerînd amplificarea AO infinită. Se constată că o alegere corectă a parametrului şi, deci, a valorii rezistenţei suplimentare R , alegere posibilă prin utilizarea relaţiei (8.30), produce amortizarea circuitului fără a sacrifica practic nimic din banda oferită de amplificatorul operaţional. Dacă, din considerente de zgomot, se doreşte şi îngustarea benzii, este suficientă utilizarea relaţiei (8.27), poziţionarea frecvenţei polului la o decadă în stînga intersecţiei răspunsului ideal cu răspunsul AO fiind mai mult decît suficientă pentru amortizarea circuitului. De fapt, aşa cum se vede pe figură, chiar un factor de 3 poate înlocui fără probleme separarea la o decadă.

+

- Vo

C

R

ViR '

Fig.8.16. Derivatorul "real".

1 10 100 1k 10k 100k 1M0

20

40

60

80

100

120raspunsul AO

raspunsul (8.27) calculat cu amplificarea AO infinita

-20

-40

-60

G (dB)

f (Hz)

f 'fd

Fig. 8.17. Răspunsul în frecvenţă pentru derivatorul "real".


F. Convertoare curent-tensiune Există traductoare a căror mărime de ieşire, ce trebuie prelucrată ulterior, nu este tensiunea electrică ci intensitatea curentului generat. Aşa sînt, de exemplu, fotomultiplicatoarele, fotodiodele, şi multiplicatoarele de electroni. Pentru o fotodiodă, caracteristica curent-tensiune, trasată la mai multe niveluri de iluminare, este prezentată în Fig. 8.18. Obţinerea unui semnal electric proporţional cu intensitatea luminoasă nu se poate realiza decît în cadranul III, dacă se menţine constantă tensiunea (inversă) pe diodă şi se citeşte intensitatea curentului. La limită, se poate ca această tensiune să fie nulă şi fotodioda să fie operată în scurtcircuit.

Un circuit care realizează acest lucru este prezentat în Fig. 8.19. În plus, el converteşte informaţia de curent într-o informaţie de tensiune, accesibilă, aşa cum am văzut, cu o impedanţă de ieşire extrem de mică. Avem, deci, un convertor curent-tensiune, numit şi amplificator transimpedanţă, deoarece funcţia de transfer ce îl caracterizează este o transimpedanţă

Z s V sI s

Rmi

( ) ( )( )

0 . (8.31)

Tensiunea de decalaj nu constituie o problemă, deoarece ea se regăseşte la ieşire

neamplificată. În schimb, curentul de polarizare se adună peste informaţia utilă ( Ii ) şi efectul său nu mai poate fi îndepărtat. Introducerea unei rezistenţe identice între intrarea neinversoare şi masă micşorează puţin acest efect, rămînînd însă decalajul de curent de polarizare. De fapt, ceea ce este deranjant este driftul său şi zgomotul de curent corespunzător. Pentru amplificatoarele operaţionale performante, aceste efecte sînt atît de mici încît sînt practic mascate de curentul de întuneric şi zgomotul de curent produse de fotodiodă. Deşi funcţionarea fotodiodei la tensiune nulă este suficient de liniară în raport cu iluminarea, se preferă de multe ori aplicarea unei tensiuni inverse constante, de valoare cît mai mare. Scopul este micşorarea capacităţii sale de barieră, pentru obţinerea unui timp de răspuns cît mai mic. Circuitul anterior poate fi modificat pentru îndeplinirea aceste funcţii, arătînd acum ca în Fig. 8.20. Tensiunea inversă pe fotodiodă poate fi reglată continuu cu ajutorul unui potenţiometru semireglabil. Această tensiune se regăseşte, însă, la ieşirea primului amplificator operaţional şi, pentru a nu trebui să fie foarte stabilă, este scăzută ulterior cu ajutorul amplificatorului diferenţial construit în jurul celui de-al doilea amplificator operaţional. O altă soluţie ar fi blocarea ei cu un condensator, dar în acest mod s-ar pierde şi informaţia de la frecvenţe joase. Dacă luăm în consideraţie funcţia de transfer a amplificatorului operaţional, precum şi capacitatea C fd a fotodiodei, transimpedanţa rezultă

I

U00

intuneric

crestereaintensitatiiluminii

Fig. 8.18. Familia de caracteristici statice la o fotodiodă.

+

- Vo

R

lumina I i

Fig. 8.19. Convertor curent-tensiune pentru fotodiodă.


Z s Rs s RCm

u fd

fd u fdfd

fd( )

2

1cu (8.32)

iar, după punerea numitorului în forma standard avem

n u fd

fd

u , 1

2. (8.33)

Viteza de creştere a răspunsului la semnal treaptă este dată practic de n . Constatăm astfel că un produs RC fd prea mare produce, pe lîngă un răspuns mai lent, şi o micşorare a factorului de amortizare şi deci supracreşteri. Pentru fd 2 100 kHz , cu u 2 1 MHz, utilizînd relaţia aproximativă de la Capitolul 5, obţinem o supracreştere de 61 %.

+

-Vo

R

lumina IiCfd

-Vref

+

-

R'

R'

R'

R'

Fig. 8.20 Convertor curent-tensiune cu polarizarea inversă a fotodiodei.


Probleme P 8.1. La intrarea integratorului "ideal" din Fig. 8.9, la care componentele au valorile R 10 k şi C 100 nF, se aplică un semnal periodic dreptunghiular simetric, cu media nulă şi frecvenţa de 100 Hz. Considerînd amplificarea AO ca fiind infinită, deduceţi forma semnalului de la ieşire. P 8.2. Tensiunea de decalaj la intrare este de 5 mV. Cum modifică aceasta evoluţia tensiunii de ieşire ? Amplificatorul operaţional este alimentat cu 10V . P 8.3. Luaţi acum în consideraţie dependenţa de frecvenţă a amplificării AO, care este compensat cu pol dominant şi are frecvenţa unitară de 1 MHz. Recalculaţi forma semnalului de la ieşire. P 8.4. Pentru a impiedica intrarea în saturaţie a etajului, amplificarea la curent continuu este limitată la 100 prin legarea în reacţie a unei rezistenţe de valoare corespunzătoare, obţinînd un integrator "real" (Fig. 8.10). Cum arată acum semnalul de la ieşire ? P 8.5. Modificaţi frecvenţa semnalului de intrare şi răspundeţi la următoarele întrebări : - cum arată semnalul de ieşire la frecvenţe mari ? - cum arată semnalul de ieşire la frecvenţe mici ? - în care regiune se comportă etajul mai aproape de un integrator ? - cum aţi putea caracteriza comportarea în regiunea cealaltă ? - justificaţi răspunsurile la ultimele două întrebări pe baza amplificării în frecvenţă. P 8.5 La intrarea unui derivator "ideal", construit ca în Fig. 8.13, unde elementele au valorile R 10 k şi C 100 nF, se aplică un semnal care arată ca în Fig. 8.20. Considerînd că amplificarea AO este infinită, determinaţi forma semnalului de ieşire. P 8.6. Luaţi acum în consideraţie dependenţa amplificării AO în funcţie de frecvenţă, care este una cu pol dominant şi frecvenţă unitară egală cu 10 MHz. Determinaţi, din nou, forma semnalului de ieşire. P 8.7. Pentru amortizarea circuitului, se introduce la intrare o rezistenţă de 10 ori mai mică decît cea din reacţie, derivatorul devenind unul "real", ca în Fig. 8.16. Calculaţi forma semnalului de ieşire şi formulaţi o concluzie. P 8.8. Modificaţi frecvenţa semnalului de intrare între limitele 100 Hz şi 10kHz. Răspundeţi la următoarele întrebări : - cum arată semnalul de ieşire la frecvenţe mari ? - cum arată semnalul de ieşire la frecvenţe mici ? - în care regiune se comportă etajul mai aproape de un derivator ? - cum aţi putea caracteriza comportarea în regiunea cealaltă ? - justificaţi răspunsurile la ultimele două întrebări pe baza amplificării în frecvenţă.

00.1 V

-0.1 V

0 5 t (ms) Fig. 8.21. Semnal de intrare pentru problema P 8.5.

Bibliografie 197

Bibliografie Capitolele 1-6 V. I. Cerneţki et al., "Metode matematice şi algoritmi în studiul sistemelor automate", Ed. Tehnică, Bucureşti, 1973. P. Dransfield şi D. F. Haber, "Instruire programată în metoda locului rădăcinilor", Ed. Tehnică, Bucureşti, 1980. F. J. Hale, "Introduction to control system analysis and design", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973. Vl. Ionescu, "Teoria sisemelor; sisteme liniare", Ed. Did. şi Ped. Bucureşti, 1985. W. Kecs şi P.P Teodorescu "Introducere în teoria distribuţiilor cu aplicaţii în tehnică", Editura Tehnică, Bucureşti 1975. V.I. Krylov şi N. S. Skoblya, "A handbook of methods of approximate Fourier transformation and inverse of the Laplace transformation", Mir Publishers, Moscova, 1977. N. N. Neamţu, "Calculul operaţional şi aplicaţii în electrotehnică", Editura de Vest, Timişoara, 1994. A. Papoulis, "The Fourier integral and its applications", McGraw-Hill, New York, 1962. I. Şabac, "Matematici speciale", Ed. Did. şi Ped. Bucureşti, 1965. J. G. Truxal, "Introductory system engineering", McGraw Hill, New York, 1972. C. Vazaca, "Analiza şi sinteza sistemelor automate liniare", Editura Academiei, Bucureşti, 1961. M. Voicu, "Teoria sistemelor", Inst. Politehnic Iaşi, 1980. M. Voicu, "Tehnici de analiză a stabilităţii sistemelor automate", Editura Tehnică, Bucureşti, 1986. Capitolele 7 şi 8 J.G. Graeme, G. E. Tobey şi L. P. Huelsman, "Operational amplifiers, Design and applications", McGraw-Hill, New York, 1971. M. Bodea et al., "Circuite integrate liniare Manual de utilizare vol. IV", Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985. M. Ciugudean et al., "Circuite integrate liniare. Aplicaţii", Ed. Facla, Timişoara, 1986. T. Dănilă şi N. Cupcea, "Amplificatoare operaţionale. Aplicaţii. Probleme rezolvate", Ed. Teora, Bucureşti, 1984. Anca Manolescu et al. "Circuite integrate liniare", Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1983. Bibliografie generală Gh. Cartianu et al., "Semnale, circuite şi sisteme", Ed. Did. şi Ped. Bucureşti, 1980. Gh. Cartianu, "Analiza şi sinteza circuitelor electrice", Ed. Did. şi Ped. Bucureşti, 1972. P. Horowitz and H. Winfield, "The art of electronics", Cambridge University Press, 1989. S. Ionel şi R. Munteanu, "Introducere practică în electronică", Editura de Vest, Timişoara, 1994. Adelaida Mateescu, "Semnale circuite şi sisteme", Ed. Did. şi Ped. Bucureşti, 1984. M. Săvescu, "Metode în analiza circuitelor electronice", Ed. Şt. şi Enc., Bucureşti, 1985. A. Papoulis, "Probability, random variables and stochastic processes, Mac Graw Hill", 1965.

ccoommpplleemmeennttee ddee...

Documents