caracteristici geometrice
TRANSCRIPT
1
CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR Problema 1
y1=y0
z1=z0z2
y2
G1=G0
G2
z02=67,5
y02=155
1. Determinarea poziţiei centrului de greutate ( )
cm63.11305.1151
305.15.15
AA
Ay
A
Ayy
21
202
i
ii0
G=
⋅+⋅⋅⋅=
+⋅
=⋅
=∑
∑
( )cm06.5
305.1151
305.1)75.6(
AA
Az
A
Azz
21
202
i
ii0
G−=
⋅+⋅⋅⋅−=
+⋅
=⋅
=∑
∑
Calculul ariilor secţiunilor componente
∑ =
=⋅=
=⋅=
2
22
21
60
453051
15151
cmA
cm.A
cmA
i
2
y1
z1z2
y2
G1
G2
a1=50.6
a2=16.9
b1=116.3
b2=38.7
G y
z 3. Calculul momentelor de inerţie principale
( )
( )
( )
( )
( )4
22
2yz
2
zy
zy
2
4
22
2yz
2
zy
zy
1
2yz
2
zy
zy
2,1
cm625.55104.2889665.3440
)031.1177(4266.802064.60792
1
2
266.802064.6079
I4II2
1
2
III
cm704.632904.2889665.3440
)031.1177(4266.802064.60792
1
2
266.802064.6079
I4II2
1
2
III
I4II2
1
2
III
=−=
=−⋅+−−+=
=+−−+
=
=+=
=−⋅+−++=
=+−++
=
+−±+
=
4. Determinarea poziţiei axelor de inerţie principale
°=α⇒=−
−⋅−=−
−=α 24245.0266.802064.6079
)031.1177(2
II
I22tg
zy
yz
dar 0Iyz
<
°=α⇒ 12
2. Calculul momentelor de inerţie în raport cu axele centrale
( )
( )
( )4
iiiizyyz
4
23
23
2222z1
211zi
2iizz
4
23
23
2222y1
211yi
2iiyy
cm031.1177
305.1)87.3()69.1(151)63.11()06.5(
AbaII
cm266.802
305.1)69.1(12
305.1151)06.5(
12
151
AaIAaIAaII
cm064.6079
305.1)87.3(12
305.1151)63.11(
12
115
AbIAbIAbII
−=
=⋅⋅⋅−+⋅⋅−⋅=
=⋅⋅+==
=⋅⋅−+⋅+⋅⋅+⋅=
=⋅++⋅+=⋅+==
=⋅⋅+⋅+⋅⋅−+⋅=
=⋅++⋅+=⋅+=
∑
∑
∑
y1
z1z2
y2
G1
G2
G y
z
a
1
2
3
Problema 2
15x300
10x150
12x200
y1
G1
G2=G0
G3
y2=y0
y3
z2=zo
z1 z3
y01=145
y03=144
z01=82,5z03=107,5
1. Determinarea poziţiei centrului de greutate ( )
cm53.184
244.14155.14
AAA
AyAy
A
Ayy
321
303101
i
ii0
G
=⋅+⋅−=
=++
⋅+⋅=
⋅=∑∑
( )
cm55.484
2475.101525.8
AAA
AzAz
A
Azz
321
303101
i
ii0
G
=⋅+⋅=++
⋅+⋅=
=⋅
=∑∑
Calculul ariilor secţiunilor componente
∑ =
=⋅=
=⋅=
=⋅=
2
i
2
3
2
2
2
1
cm84A
cm24202.1A
cm45305.1A
cm15151A
4
y1
G1
G2
G3
y2
y3
z2
z1 z3
y
z
G
a1=37
a2=45.5a3=62
b1=160.3
b3=128.7
b2=15.3
3. Calculul momentelor de inerţie principale
( )
( )
( )
( )
( )4
22
222
4
22
221
2221
063134414587477721
651338472333322121092
1
2
7233332212109
42
1
2
88112308414587477721
651338472333322121092
1
2
7233332212109
42
1
2
42
1
2
cm...
).(....
IIIII
I
cm...
).(....
IIIII
I
IIIII
I
yzzy
zy
yzzy
zy
yzzy
zy
,
=−=
=⋅+−−+=
=+−−+
=
=+=
=⋅+−++=
=+−++
=
+−±+
=
4. Determinarea poziţiei axelor de inerţie principale
°−=⇒−=−
⋅−=−
−= 1723107233332212109
651338222 αα .
..
.
II
Itg
zy
yz
dar 0Iyz
>
°−=⇒ 9πα
2. Calculul momentelor de inerţie în raport cu axele centrale ( )
( )
4
423
23
23
32332
2221
211
2
423
23
23
32332
2221
211
2
6513382421871273
3051531554151031673
72333324212612
2120
305155412
305115173
12
115
22121092421871212
2120
305153112
30511510316
12
115
cm.,),(),(
.),(),(),(),(
AbaII
cm..),(.
.),(.
),(
AaIAaIAaIAaII
cm..).(.
.).(.
).(
AbIAbIAbIAbII
iiii
zyyz
zzziiizz
yyyiiiyy
=⋅⋅⋅+
+⋅⋅−⋅−+⋅⋅−⋅=
=
⋅⋅+=
=⋅⋅+⋅+
+⋅⋅−+⋅+⋅⋅+⋅=
=⋅++⋅++⋅+=⋅+=
=⋅⋅+⋅+
+⋅⋅+⋅+⋅⋅−+⋅=
=⋅++⋅++⋅+=⋅+=
∑
∑
∑
1
2
Gy
z
5
Problema 3
15x300
12x200
10x100
Rezolvare
z1=z2=z3=z
y3
y2
y1=y0
y02=155
y03=311
1. Determinarea poziţiei centrului de greutate ( )
cm19.1784
241.31455.15
AAA
AyAy
A
Ayy
321
303101
i
ii0
G
=⋅+⋅=
=++
⋅+⋅=
⋅=∑∑
Calculul ariilor secţiunilor componente
∑ =
=⋅=
=⋅=
=⋅=
2
i
2
3
2
2
2
1
cm84A
cm24202.1A
cm45305.1A
cm15151A
6
z1=z2=z3=z
y3
y2
y1=y0
yG
b1=171.9
b3=139.1
b2=16.9
3. Calculul momentelor de inerţie principale
( )
( )
( )
( )
( )
z4
2
2yz
2
zy
zy
2
y4
2
2yz
2
zy
zy
1
2yz
2
zy
zy
2,1
Icm69.1089
069.1089125832
1
2
69.108981.12583
I4II2
1
2
III
Icm81.12583
069.1089125832
1
2
69.108981.12583
I4II2
1
2
III
I4II2
1
2
III
==
=+−−+=
=+−−+
=
==
=+−++=
=+−++
=
+−±+
=
4. Determinarea poziţiei axelor de inerţie principale
2z
1y
0069.108981.12583
02
II
I22tg
zy
yz
≡⇒≡⇒
=α⇒=−⋅−=
−−=α
2. Calculul momentelor de inerţie în raport cu axele centrale ( )
( )
0I
cm69.108912
2.120
12
305.1
12
115
AaIAaIAaIAaII
cm81.1258324)91.13(12
2.120
45)69.1(12
305.115)19.17(
12
115
AbIAbIAbIAbII
yz
4333
3233z2
222z1
211zi
2iizz
423
23
23
3233y2
222y1
211yi
2iiyy
=
=⋅+⋅+⋅=
=⋅++⋅++⋅+=⋅+=
=⋅+⋅+
+⋅−+⋅+⋅−+⋅=
=⋅++⋅++⋅+=⋅+=
∑
∑
(secţiunea are o axă de simetrie)
z=2
y=1G
7
Problema 4
8x400
10x200
10x200
Rezolvare
y1
y3
y2=y0
z1 z2=z0 z3
y03=205
y01=205
z01=96 z03=96
y1
y2=y0
1. Determinarea poziţiei centrului de greutate
( )
( )
2
2
321
303101
i
ii0
G
321
303101
i
ii0
G
zz
yy
cm072
206.9206.9
AAA
AzAz
A
Azz
cm072
205.20205.20
AAA
AyAy
A
Ayy
≡⇒≡⇒
=⋅+⋅−=
=++
⋅+⋅=
⋅=
=⋅+⋅−=
=++
⋅+⋅=
⋅=
∑∑
∑∑
Calculul ariilor secţiunilor componente
∑ =
=⋅=
=⋅==
2
i
2
2
2
31
cm72A
cm32408.0A
cm20201AA
8
y1
y3
y
z1 z z3
b3=205
b1=205
a1=96 a3=96
G
3. Calculul momentelor de inerţie principale
( )
( )
( )
( )
( )4
22
2yz
2
zy
zy
2
4
22
2yz
2
zy
zy
1
2yz
2
zy
zy
2,1
cm27.180645.1124472.13050
7872444.5021210802
1
2
44.502121080
I4II2
1
2
III
cm17.2429545.1124472.13050
7872444.5021210802
1
2
44.502121080
I4II2
1
2
III
I4II2
1
2
III
=−=
=⋅+−−+=
=+−−+
=
=+=
=⋅+−++=
=+−++
=
+−±+
=
4. Determinarea poziţiei axelor de inerţie principale
°−=α⇒>°−=α
⇒−=−
⋅−=−
−=α
220Idar
442
98.044.502121080
78722
II
I22tg
yz
zy
yz
2. Calculul momentelor de inerţie în raport cu axele centrale
( )
( )
( )4
43
23
32332
22
21211
2
4
32
3
32332
22
21211
2
787220520692052069
44502112
40802069
12
1202
21080320
12
408020520
12
1202
cm..).().(
AbaII
cm..
).(
AaIAa
IAaIAaII
cm
.).(
AbIAb
IAbIAbII
iiiiyzyz
z
zziiizz
y
yyiiiyy
=⋅⋅+⋅−⋅−=
=⋅⋅+=
=⋅+⋅+⋅+
=⋅++⋅+
++⋅+=⋅+=
=⋅+
+⋅+⋅+⋅=
=⋅++⋅
++⋅+=⋅+=
∑
∑
∑
1
2
Gy
z
9
Problema 5
U30
L130
y1
y2=y0
z2=zo
z1
z01=63,4
y01=113.6
1. Determinarea poziţiei centrului de greutate
( )
( )
cm2.48.88
8.5834.6
AA
Az
A
Azz
cm52.78.88
8.5836.11
AA
Ay
A
Ayy
21
101
i
ii0
G
21
101
i
ii0
G
=⋅=
=+⋅
=⋅
=
−=⋅−=
=+⋅
=⋅
=
∑∑
∑∑
Calculul ariilor secţiunilor componente
∑ =+= 2
icm8.88308.58A
Caracteristici U30: A1 = 58,8 cm2 ey = 2,7 cm Iy = 8030 cm4 Iz = 495 cm4 Caracteristici L130x130x12: A2 = 30 cm2 ey = ez = 3,64 cm Iy = Iz = 472 cm4
10
G
y1
y2
z2 z1
z
y
b1=38.4
b2=75.2
a1=21.4a2=42
3. Calculul momentelor de inerţie principale
( )
( )
( )
( )
( )4
22
2yz
2
zy
zy
2
4
22
2yz
2
zy
zy
1
2yz
2
zy
zy
2,1
cm36.155016.486552.6415
)72.1430(448.176555.110652
1
2
48.176555.11065
I4II2
1
2
III
cm68.1128016.486552.6415
)72.1430(448.176555.110652
1
2
48.176555.11065
I4II2
1
2
III
I4II2
1
2
III
=−=
=−⋅+−−+=
=+−−+
=
=+=
=−⋅+−++=
=+−++
=
+−±+
=
4. Determinarea poziţiei axelor de inerţie principale
°=α⇒<°=α
⇒=−
−⋅−=−
−=α
90Idar
182
31.048.176555.11065
)72.1430(2
II
I22tg
yz
zy
yz
2. Calculul momentelor de inerţie în raport cu axele centrale
( )
( )
( )4
iiii
zyyz
4
22
2222z1
211zi
2iizz
4
22
2222y1
211yi
2iiyy
cm72.1430
30)52.7()2,4(8.58)84.3()14.2(
AbaII
cm48.1765
30)2.4(4728.58)14.2(495
AaIAaIAaII
cm55.11065
30)52.7(4728.58)84.3(8030
AbIAbIAbII
−=
=⋅⋅−+⋅−⋅=
=⋅⋅+==
⋅−++⋅+=
=⋅++⋅+=⋅+=
==⋅++⋅−+=
=⋅++⋅+=⋅+=
∑
∑
∑
G
2
1
z
y
11
Problema 6
U20
I200
z1=zo z2
y1=y0
y2G2
G1
1. Determinarea poziţiei centrului de greutate
( )
( )
cm..
..
AA
Az
A
Azz
cm..
..
AA
Ay
A
Ayy
i
ii
G
i
ii
G
82665
43355
116665
4330112
21
2020
21
2020
=⋅=
=+⋅=
⋅=
=⋅=
=+⋅=
⋅=
∑∑
∑∑
Calculul ariilor secţiunilor componente
∑ =+= 2665433232 cm...Ai
Caracteristici U20: A1 = 32,2 cm2 ey = 2,01 cm Iy = 148 cm4 Iz = 1910cm4 Caracteristici I200: A2 = 33.4 cm2 Iy = 2140 cm4
Iz = 117 cm4
12
z1z2
y1=y0
y2G2
G1
z
yG
b1=61.1
b2=59
a1=27a2=28
3. Calculul momentelor de inerţie principale
( )
( )
( )
( )
( )4
22
222
4
22
221
2221
562069621518183588
10834625237546522
1
2
62523754652
42
1
2
85106621518183588
10834625237546522
1
2
62523754652
42
1
2
42
1
2
cm...
)(....
IIIII
I
cm...
)(....
IIIII
I
IIIII
I
yzzy
zy
yzzy
zy
yzzy
zy
,
=−=
=−⋅+−−+=
=+−−+
=
=+=
=−⋅+−++=
=+−++
=
+−±+
=
4. Determinarea poziţiei axelor de inerţie principale
°=⇒<°=
⇒=−
−⋅−=−
−=
170
342
690621518754652
1083222
αα
α
yz
zy
yz
Idar
...
)(
II
Itg
2. Calculul momentelor de inerţie în raport cu axele centrale
( )
( )
4
22
22221
211
2
4
22
22221
211
2
62523
43382117232721910
754652
433952140232116148
cm.
.).(.).(
AaIAaIAaII
cm.
.).(.).(
AbIAbIAbII
zziiizz
yyiiiyy
=
=⋅−++⋅+=
=⋅++⋅+=⋅+=
=
=⋅++⋅−+=
=⋅++⋅+=⋅+=
∑
∑
Momentul de inerţie centrifugal
41083
433958223211672
cm
.).().(.).().(
AbaII iiii
zyyz
−=
=⋅⋅−+⋅−⋅=
=
⋅⋅+=∑
2
1
G
z
y
13
Probleme propuse: 1. 2.
U20
L100x100x10
200x5
150x5
100x5
3. 4.
300x10
I200