99

CAPITOLUL IX

CALCULUL DEFORMAŢIILOR LA BARE DREPTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

9.1. Generalităţi. Ipoteze de lucru Studiul deformaţiilor grinzilor solicitate la încovoiere este important atât în problemele în care se impun condiţii de rigiditate (anumite valori pentru deformaţii) cât şi în rezolvarea sistemelor static nedeterminate. În urma solicitării la încovoiere, barele (grinzile) drepte iau forme curbe, axa longitudinală a barei fiind de forma unei curbe continue, denumită fibră medie deformată. Studiul deformaţiilor urmăreşte stabilirea formei deformate a grinzii sau determinarea săgeţilor si rotirilor produse în dreptul secţiunilor acesteia. Starea deformată se caracterizează prin deplasarea pe verticală, numită săgeată (notată cu y) şi înclinarea fibrei medii sau a secţiunii transversale (în raport cu forma nedeformată a structurii), numită rotire şi notată cu (figura 9.1).

Fig. 9.1 – Solicitarea de încovoiere a unei bare drepte

Sub acţiunea încărcărilor, centrul de greutate al unei secţiuni aflată la distanţa x de capătul din stânga, (de origine), centru marcat cu C, ajunge în poziţia C’ iar secţiunea respectivă se roteşte faţă de poziţia iniţială cu unghiul φ. Aceste deformaţii, y şi φ sunt necesare pentru aprecierea rigidităţii elementelor supuse la încovoiere, cât şi pentru rezolvarea structurilor static nedeterminate. Ipoteze:

punctul C nu se deplasează în C’ ci în C’’; valorile forţei tăietoare şi a momentului încovoietor nu se modifică în urma

deformării barei; fibra medie deformată îşi păstrează lungimea iniţială.

Rotirea φ este considerată pozitivă când axa Ox se suprapune peste tangenta în punct la secţiune, prin rotire în sens orar; în ipoteza deplasărilor mici avem:

dy

= dx

(9.1)

100

Săgeata y reprezintă o cantitate mică în raport cu lungimea barei, iar deplasarea pe orizontală, corespunzătoare aceluiaşi punct C, reprezintă un infinit mic de ordin superior în raport cu y. 9.2. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale Pornind de la relaţia cunoscută din studiul încovoierii pure între tensiunea σ şi raza de curbură ρ de forma

= EE

= yy =

(9.2)

Dar:

z

M x =

I

( ) (9.3)

Identificând (9.2) cu (9.3), obţinem:

1 M

= E I

(9.4)

Convenţional, raza de curbură are semnul corespunzător sensului de

măsurare, de la fibra medie spre centrul de curbură, în raport cu sensul axei Oy (pentru cazul nostru avem semnul minus). Din geometria diferenţială, raza de curbură se poate exprima astfel:

2

2

32 2

d y

1 dx =

dy1 +

dx

(9.5)

Utilizând (9.4) şi (9.5) obţinem:

2

2

32 2

d y

Mdx = -E I

dy1 +

dx

(9.6)

Relaţia (9.6) reprezintă ecuaţia diferenţială exactă a fibrei medii deformate, în cazul barelor supuse la încovoiere. În ipoteza deformaţiilor mici termenul

dy

= tg 1dx

(9.7)

101

care reprezintă rotirea este foarte mic, cu atât mai mult

2 2

2

dy d y M 0 = -

dx E Idx (9.8)

Relaţia (9.8) reprezintă ecuaţia diferenţială aproximativă a fibrei medii deformate. Momentul din relaţia (9.8) este o funcţie de x; M= M(x) iar EI = rigiditatea la încovoiere. 9.3. Metoda parametrilor în origine În cazul barelor cu mai multe încărcări, numărul intervalelor pe care s-ar face integrarea ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate este mai mare, metoda fiind mult prea laborioasă. Metoda parametrilor în origine reprezintă o metodă de integrare sistematizată; indiferent de numărul intervalelor, vor exista doar două constante de integrare de aflat. Se consideră o bară dreaptă, fără să se facă precizări asupra modului de rezemare, supusă unor încărcări oarecare, conform figurii 9.2.

Fig. 9.2 – Element dintr-o bară supusă la încovoiere

Într-o secţiune curentă (x), situată pe fiecare din intervalele barei, se scrie expresia momentului încovoietor. Pentru ca în această expresie să intre neschimbate expresiile momentului încovoietor de pe intervalele anterioare (presupunem forţa uniform distribuită ca fiind aplicată pe intervalul 3-4), sarcina distribuită se prelungeşte până la extremitatea din dreapta (pe intervalul 4-5, cu sensul sarcinii de sus în jos) şi pentru a nu se modifica schema de încărcare, se aplică o sarcină egală şi de sens contrar pe acelaşi interval 4-5 (cu sensul sarcinii de jos în sus). Expresiile momentului încovoietor pe fiecare interval sunt:

102

01

0

12

0

23

2

0

34

2 2

0

45

M = 0

M = -m x a

M = -m x a - P x b

x cM = -m x a - P x b - p

2

x c x dM = -m x a - P x b - p + p

2 2

(9.9)

Considerând rigiditatea barei EI = ct., ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate poate fi scrisă sub forma: E I y = -M (9.10)

Înlocuind expresiile momentului de pe cele cinci intervale in relaţia (9.10), obţinem:

01

0

12

0

12

2

0

23

2 2

0

23

E I y = 0

E I y = m x a

E I y = m x a + P x b

x cE I y = m x a + P x b p

2

x c x dE I y = m x a + P x b p - p

2 2

(9.11)

Prin integrarea succesivă a ecuaţiei (9.11) se obţin expresiile rotirii şi respectiv săgeţii, pentru fiecare din intervalele considerate. La integrare, binoamele se păstrează

(de ex: 0

x a dx = x a ).

Pentru rotire avem:

01 1

12 2

2

12 3

2 3

23 4

2 3 3

23 5

E I y = C

E I y = C + m x a

x bE I y = C + m x a + P

2

x b x cE I y = C + m x a + P p

2 6

x b x c x dE I y = C + m x a + P p - p

2 6 6

(9.12)

103

Pentru săgeată obţinem:

01 1 1

2

12 2 2

2 3

12 3 3

2 3 4

23 4 4

2 3 4 4

23 5 5

E I y = C x + D

x aE I y = C x + D + m

2

x a x bE I y = C x + D + m + P

2 6

x a x b x cE I y = C x + D + m + P p

2 6 24

x a x b x c x dE I y = C x + D + m + P p - p

2 6 24 24

(9.13)

Notând cu 0 rotirea în origine, constantele de integrare se vor determina în baza

condiţiilor de continuitate a fibrei medii deformate în punctele de graniţă între intervale, din relaţia (9.12) obţinem:

01 0 0 1

01 12 1 2

1 2 6 0

12 23 2 3

x = 0 y = E I = C

x = a y = y C = CPt C C C EI

x = b y = y C = C. (9.14)

Notând cu 0y săgeata în origine şi punând condiţii de continuitate referitoare la

săgeţi, din relaţia (9.13) se obţine:

01 0 0 1

01 12 1 2

1 2 6 0

12 23 2 3

x = 0 y = y E I y = D

x = a y = y D = DPt D D D EIy

x = b y = y D = D. (9.15)

Ţinând seama de expresiile constantelor de integrare de mai sus, ecuaţiile deformaţiilor se pot scrie:

rotiri

2 3 3

0 01 12

23 34 45

x b x c x dEI = EI + m x a +P p -p

2 6 6 (9.16)

săgeţi

2 3 4 4

0 0 01

12 23 34 45

x a x b x c x dEIy = EIy EI x + m +P p -p

2 6 24 24 (9.17)

104

În ecuaţiile date de (9.16) şi (9.17) intervin numai două constante de integrare,

0 şi 0y care se determină pe baza condiţiilor în punctele de rezemare:

- în reazemele simple şi articulaţii săgeţile sunt nule; - în încastrări atât săgeţile cât şi rotirile sunt nule (fibra medie deformată este tangentă la axa nedeformată a grinzii). 9.4. Metoda de integrare directă Se consideră cazul unei bare de secţiune constantă şi se presupune a fi cunoscută legea de variaţie a momentului încovoietor, M = M(x) . Prin integrări

succesive ale ecuaţiei aproximative a fibrei medii deformate se obţine rotirea = x

şi săgeata y = y(x) , astfel:

1

1x = - M x dx C

EI (9.18)

respectiv

1 2

1y x = x dx = M x dx dx + C x + C

EI (9.19)

Constantele de integrare din expresiile (9.18) şi (9.19) se determină în baza condiţiilor la limită puse asupra funcţiilor rotirii şi respectiv săgeţii, în anumite secţiuni şi anume în secţiunile în care valorile rotirii şi săgeţii sunt cunoscute (vezi tabelul de mai jos).

Tipul de reazem Condiţii în deplasări Condiţii în eforturi

reazem simplu

y = 0; 0 M = 0; T 0

încastrare

y = 0; = 0 M 0; T 0

capăt liber

y 0; 0 M = 0; T = 0

reazem simplu intermediar

st dr

st dr

y = y = 0

= 0

st dr

st dr

M = M 0

T = T 0

articulaţie intermediară

st dr

st dr

y = y 0

0

st dr

st dr

M = M = 0

T = T 0

105

EXEMPLE 1. Bară încastrată la un capăt, încărcată cu o forţă concentrată la capătul liber Dacă momentul încovoietor M = M(x) are aceeaşi expresie pe toată lungimea barei deci integrarea ecuaţiei se face pe un singur interval, rezultă două constante de integrare care se determină din condiţiile la limită puse în reazeme. Pentru o bară încastrată la un capăt, într-o secţiune oarecare situată la distanţa x în raport cu originea considerată în punctul A (figura 9.3), expresia momentului încovoietor curent este:

Fig. 9.3 – Bară încastrată la un capăt

M(x) = -P(l - x) (9.20) Prin urmare, ecuaţia aproximativă a fibrei medii deformate este de forma:

2

2

P l xd y =

EIdx (9.21)

Integrând succesiv de două ori expresia (9.21) se obţin expresiile săgeţii si rotirii, astfel:

2

1

2 3

1 2

dy P x = = l x - + C

dx EI 2

P x xy = l - + C x + C

EI 2 6

(9.23)

Condiţiile la limită pentru acest caz sunt :

pt x = 0 y = 0; = 0 condiţiile în încastrarea A. .

Din aceste condiţii deducem că 1 2C = C = 0 .

În capătul liber B, săgeata si rotirea au valori maxime, prin înlocuire obţinându-se:

106

2

B

3

B

P l =

2 EIpt x = l

P ly = y

3 EI

max

max

. (9.24)

2. Bară încastrată la un capăt, încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată deschiderea (figura 9.4)

Fig. 9.4 – Bară încastrată la un capăt, încărcată cu sarcină uniform distribuită pe toată lungimea

Într-o secţiune oarecare situată la distanţa x în raport cu originea A, momentul

încovoietor are expresia:

21 x

M q2

( ) (9.25)

2

2 2 2

2

d v ql 2 l x x

2 E Idx( ) (9.26)

Integrând succesiv relaţia (9.26), rezultă expresiile:

3

2 2

B 1

dy q xl x l x C

dx 2 E I 3( ) (9.27)

2 3 4

2

B 1 2

q x x xy l l C x C

2 E I 2 3 12( ) (9.28)

Condiţiile la limita sunt:

A Apt x 0 y 0 0. ; , prin urmare 1 2C C 0 .

Rotirea şi săgeata sunt maxime la extremitatea liberă a consolei:

107

4

B

3

B

q ly y

8 E Ipt x =

q l

6 E I

max

max

. (9.29)

3. Bară simplu rezemată la capete, încărcată la mijloc cu o forţă concentrată (figura 9.5)

Fig. 9.5 – Bară simplu rezemată la capete

Pe intervalul AB expresia momentului încovoietor este:

P

M x x pentru x 02 2

( ) ; , (9.30)

iar pe intervalul BC expresia devine:

P P

M x x P x x pentru x2 2 2 2

( ) ( ) ( ); , (9.31)

Rezultă: - pe intervalul AB:

2

2

d y Px pentru x 0

2 E I 2dx, , (9.32)

- pe intervalul BC:

2

2

d y Px pentru x

2 E I 2dx( ), , (9.33)

Se integrează de doua ori pe ambele interval şi se obţine: - pe intervalul AB:

108

2

1

3

1 2

2 2

2 2

dy P xC

dx E I

P xy C x C

E I

(9.34)

- pe intervalul BC:

2

3

2 3

3 4

2 2

2 2 6

dy P xx C

dx E I

P x xy C x C

E I

(9.35)

Condiţiile la limită sunt:

0 0

02

0

A

st drB B B

C

pentru x y

pentru x y y ;

pentru x y

(9.36)

Prin înlocuirea relaţiilor (9.36) în ecuaţiile (9.35), se obţin constantele de integrare:

2

1

2

2

3

3

4

8

0

3

8

24

C

C

  lC

lC

(9.37)

Săgeata maximă are loc la mijlocul grinzii:

3P

pentru x = y2 48 E I

max (9.38)

iar rotirile maxime au loc la nivelul reazemelor:

3

A C

P

16 E I (9.39)

109

4. Bară simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată deschiderea (figura 9.6)

Fig. 9.6 - Bară simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe toată deschiderea

Expresia momentului încovoietor intr-o secţiune curentă (situată la distanţa x în raport cu originea A), este:

2q q x

M x x2 2

( ) (9.40)

Înlocuind relaţia (9.40) în relaţia (9.8) rezultă:

2

2

2

d y qx x

2 E Idx (9.41)

Prin integrarea succesivă, se obţine:

2 3

1

3 4

1 2

2 2 3

2 6 12

dy q x xC

dx E I

q x xy C x C

E I

(9.42)

Se exprimă condiţiile la limită sub forma:

pentru x = 0 y = 0

pentru x = y = 0 (9.43)

Astfel, rezultă constantele de integrare:

3

1

2

12

0

C

C

(9.44)

110

Expresia săgeţilor se poate rescrie în forma:

3 4 3q x x x

yE I 6 12 12

(9.45)

Săgeata maximă apare la jumătatea deschiderii grinzii:

45

2 384max

qpentru x = y

E I (9.46)

iar rotirile au valori maxime pe reazeme:

3

A B

q

24 E I (9.46)