capitolul 6kk

7/25/2019 capitolul 6kk..

1/42

CAPITOLUL VI

TENSIUNI N BARE DREPTE SOLICITATE LA NCOVOIERE

n seciunile transversale ale barelor, solicitate de sisteme de fore exterioare, apar ngeneral eforturile N, Txy, Txz, My, Mzi Mx. ac! forele exterioare sunt coninute ntr"un singur

plan, spre exemplu planul xy, intersect#nd seciunile transversale dup! o ax! de simetrie a lor,atunci Txz$ My$ Mx$ % i bara este solicitat! la ncovoiere plan!.

n cazul ncovoierii plane, c#nd toate forele sunt perpendiculare pe axa barei ieforturile N sunt nule, grinda este solicitat! la ncovoiere simpl!.

ac! n seciunile transversale ale barelor ncovoiate apar numai momentelencovoietoare Mz$ Mi, restul eforturilor fiind nule, bara este solicitat! la ncovoiere pur! n

planul xy.

6.1 Tensiuni normale n arele soli!i"a"e la n!o#oiere $ur%. &ormulele lui Na#ier

&onsider!m o grind! simplu rezemat! '"( )fig.*.'+, acionat! de forele transversale ,care ncarc! simetric grinda.

ig.

*.'

in analiza diagramelor de eforturi Txy $ T i Mz$ Mi, constat!m c! pe intervalul -",forele t!ietoare lipsesc, iar momentul ncovoietor este constant. /ceasta nseamn! c! pelungimea -", bara este solicitat! la ncovoiere pur!.

0rin dou! seciuni normale la axa grinzii, deta!m de pe intervalul solicitat la ncovoierepur!, un element de lungime dx )fig.*.(.a, b+, prezentat n stare nedeformat! i deformat!)nainte i respectiv dup! solicitare+.

'-1


2/42

ig.*.(

0entru p!strarea ec2ilibrului elementului dx dup! separare, n seciunile & 3 / i 3 4,se introduc momente ncovoietoare Mipozitive.

5xperiena arat! c! prin ncovoiere, axa barei se curbeaz! p!str#ndu"i lungimeanemodificat!, motiv pentru care este numit! i ax! neutr! a barei, iar fibrele dintr"un plan caretrece prin ax! i este perpendicular pe planul forelor, au aceiai comportare. /cesta este planulneutru al grinzii, i anume planul zx.

&onform ipotezei seciunilor plane a lui 4ernoulli, seciunile transversale / 3 & i 4 3, normale pe axa dreapt! a barei nainte de deformare, vor r!m#ne plane i normale pe axa

barei i dup! deformare )ipotez! care se verific! pe cale experimental!+.0entru a r!m#ne normale pe axa barei, seciunile transversale se rotesc n procesul de

ncovoiere, n 6urul unei axe din planul lor )axa z+, ax! care rezult! din intersecia planuluineutru cu seciunea transversal! i se numete ax! neutr! a seciunii. 0rin deformare )fig.*.(.a+fibrele aflate deasupra planului neutru se scurteaz! )sunt comprimate+, iar cele aflate sub planulneutru se lungesc )sunt ntinse+.

educem pe baza acestei analize calitative c! n seciunea transversal! a barei,tensiunile sunt tensiuni normale de ntindere de o parte a planului neutru al grinzii i decompresiune de cealalt! parte a acestuia. ibrele dispuse dup! axa neutr! a seciunii i

p!streaz! lungimea invariabil!, iar tensiunile i deformaiile specifice din planul neutru suntnule.

7e noteaz! cu % centrul de curbur! al axei neutre curbate a elementului detaat, cu raza de curbur! respectiv! i cu d ung2iul elementar, la centrul de curbur! f!cut de razele ce trec prin capetele elementului separat.

7e va determina variaia de lungime a fibrelor mn aflate la distana y de planul neutru albarei, respectiv de axa neutr! a seciunii.

nainte de deformare fibra mn are lungimea8

ddxmn == , )*.'+iar dup! deformare devine8

( ) dynm +=,, )*.(+9ungirea absolut! a fibrelor cu lungimea iniial! dx aflate la cota y va fi8

'%


3/42

( ) ( ) ydddymnnmdx =+== ,, )*.-+

9ungirea specific! corespunz!toare va avea valoarea8

( )

y

dyd

dxyd

dxdx ==== )*.+

7e poate ar!ta c! axa barei nu"i modific! lungimea dup! deformare. 0entru aceastarelaia )*.+ se poate scrie succesiv sub formele8

( )

=

+dx

dxdy, )*.:+

( )Edx

dy

=+ ' , )*.*+

Edx

dydx

d =+ ' )*.;+

nmulind cu d/ n ambii membrii ai relaiei )*.;+ i integr#nd pe suprafaa / se obine8

=+

=+

AAAA

dAE

dAdAydx

ddA

dx

d

dAE

dAdAdx

dydA

dx

d

')*. i %' =

dx

d )*.1+

in )*.1+ se obine8dxd = , )*.'%+

adic! lungimea fibrei ?"? r!m#ne aceiai dup! deformare./dmi#nd c! materialul ascult! de legea lui @ooAe, conform relaiei )*.+ se obine8

yE

E

== )*.''+

&onform relaiei )*.''+ se observ! c! tensiunile normale rezultate din solicitarea lancovoiere pur!, au o variaie liniar! pe n!limea seciunii, fiind nule pe axa neutr! i av#ndvalori maxime n punctele cele mai ndep!rtate ale seciunii de coordonate y'i y(n raport cuaxa neutr! z.

7e scriu n continuare condiiile de ec2ivalen! ntre tensiunile normale i eforturile N,

Mz i My. /ceste condiii vor trebui s! exprime faptul c!8 rezultanta forelor elementaredAdF = )d/ fiind o suprafa! elementar!, av#nd distana y p#n! la axa neutr! a seciunii+,

''


4/42

este nul! deoarece fora axial! n seciune este nul!> momentul lor fa! de axa y este nuldeoarece My$ %> iar momentul lor fa! de axa z este Mz.

%=A

dF > %== yA

MdFz > z

A

MdFy = )*.'(+

7e substituie dAyE

dAdF ==

n relaiile )*.'(+ i se obine8

%=A

dAyE

> %=

A

dAyzE

>

z

A

MdAyE

= (

)*.'-+

Bin#nd seama c! zA

SdAy = > zyA

IdAyz = > zA

IdAy = ( , rezult!8

%=zS > %=zyI > z

z MIE =

)*.'+

0rima relaie din )*.'+, indic! faptul c! axa neutr! z a seciunii trebuie s! treac! princentrul geometric al seciunii.

/ doua relaie )momentul centrifugal nul fa! de axele zy+, este satisf!cut! prin faptul c!axa y este ax! de simetrie.

n ultima relaie din )*.'+ se nlocuietey

E

= conform relaiei )*.''+ i se obine8

z

z

I

yM= )*.':+

Celaia )*.':+, numit! i formula lui Navier, este o relaie de leg!tur! ntre tensiunea dintr"un punct de ordonat! y aparin#nd seciunii transversale a barei, momentul ncovoietor Mz

din acea seciune i momentul de inerie =zal seciunii calculat n raport cu axa neutr! a seciunii)axa central! z+.

0entru:

'

( )

z

ii

I

ydMMd

+=+ )*.('+

':

ig.*.*


8/42

orele t!ietoare T, produc n seciunile transversale, n punctele de cot! y )pe aceleaisegmente 4& i 4H&H+ tensiuni tangeniale Ixy, constante pe segmentele 4& i 4H&H i av#nddirecia efortului T, cu excepia celor din punctele 4, &, 4H i &H care sunt tangente la contur

)fig.*.;.e+. n continuare se urm!rete s! se determine legea de distribuie a tensiunilortangeniale Ixype n!limea seciunii transversale a barei.0e baza legii dualit!ii tensiunilor tangeniale, n seciunea longitudinal! 4&4H&H

)fig.*.;.b i e+ se produc tensiuni tangeniale Iyx$ Ixy, constante pe aceast! suprafa!, egale iduale n raport cu cele de pe muc2iile 4& i 4H&H din planul suprafeelor de cap!t aleelementului.

ig.*.;

7e noteaz! cu b l!imea seciunii transversale a barei m!surat! la cota y, cu / m!rimeaariei aflate sub cota y i cu /%m!rimea ntregii arii )fig.*.;.c, e i f+.

0entru scrierea ecuaiei de ec2ilibru a elementului nou detaat n raport cu axa x, se vaine seama c! tensiunile Ixysunt distribuite uniform pe seciunea 4&4H&H, iar tensiunile J i

d+ au o distribuie liniar! pe suprafeele de cap!t ale elementului detaat.Tensiunile J i d+ vor produce pe ariile elementare dxbdA = , din capetele

elementului, forele elementare8

dAI

yMdAdN

z

i==' > ( ) ( )

dAI

ydMMdAddN

z

ii +=+= ( , )*.((+

iar tensiunile Iyxvor produce pe aria 4&4H&H, de m!rime dxb , fora elementar!8dxbdN yxl = )*.(-+

5forturile rezultante N' i N(, din suprafeele / din capetele elementului, se obinintegr#nd relaiile )*.((+, pe suprafaa /.

=A z

i dAI

yMN' >

( )

+=

A z

ii dAI

ydMMN( )*.(+

'*


9/42

in ecuaia de ec2ilibru static %= xF , se obine8

%(' =+ NdNN l >

( )%=

++ A z

ii

yx

A z

i

dAI

ydMM

dxbdAI

yM

up! reduceri i in#nd seama de m!rimile constante de sub integral! se obine8

==Az

ixyyx dAy

Ibdx

dM ' )*.(:+

n relaia )*.(:+ se identific! m!rimile

dx

dM

T i

= > = Az dAyS , )*.(*+

cu care relaia )*.(:+ devine8

z

z

xyIb

ST

= )*.(;+

7emnificaia m!rimilor din relaia )*.(;+ numit! relaia lui KuravsAi, este urm!toarea8 Teste fora t!ietoare din seciunea curent! a barei de abscis! x> b este l!imea ariei barei )dinseciunea x+, m!surat! la cota y> 7zeste momentul static al ariei / aflat! sub cota y, calculat nraport cu axa central! z> =zeste momentul de inerie al ntregii arii transversale a barei /%,

calculat n raport cu axa z.in relaia )*.(;+ rezult! c! tensiunile tangeniale )efectul forei t!ietoare+, n seciunile

transversale ale barelor solicitate la ncovoiere simpl!, nu se distribuie uniform, ci variaz! pen!limea seciunii cu raportul 7zLb )fig.*.;.d+. in relaia )*.(;+ rezult! c! pentru y $ y(i y $"y'aria / $ %, pentru care 7z$ % i Ixy$ %, iar pentru y $ % )pe axa neutr!+, se realizeaz! / $/max, 7z$ 7zmaxi Ixy$ Imax, adic! o variaie n sens invers tensiunii normale J, care are valoarezero n punctele de pe axa neutr! a seciunii i valori maxime n punctele cele mai ndep!rtatefa! de aceast! ax!.

6.'.1. Le(ea *e *is"riu)ie a "ensiunii "an(en)iale $e n%l)imea se!)iunilor u-uale

a) Distribia tensinil"r tan#eniale $xype %n&limea nei secini dreptn#hilare

9a seciunea dreptung2iular! din figura *.


10/42

ig.*. =z3 momentul de inerie al ntregii seciuni n raport cu axa z.

&ondiia de rezisten! a cordoanelor de susur! este

cI

TSNcaA'

z

zlassasss === (( , sau

z

zass

I

TSa ( , de unde rezult! as)aseste rezistena

admisibil! la forfecare a sudurii+.0entru a exemplifica calculul grinzilor compuse se consider! grinzile din figurile *.'< i

*.'1.0entru grinda din figura *.'


22/42

n care8 cap,seste fora capabil! a cordoanelor de sudur!> a"grosimea cordonului de sudur!> ls3lungimea cordonului de sudur!> as3 tensiunea tangenial! admisibil! a cordonului de sudur!

( )atas *:,%= . 0entru l2"i$ lsdin )*.*(+ i )*.*-+ rezult! asz

z

z aTI

S


23/42

z

z

znit

TS

I'e

)*.*;+

ig.*.'1

7"a v!zut c! rezistena nitului trebuie s! ndeplineasc! condiia8

( )strnit

f

nitnit ''' ,min= , )*.*f

nita

str

nita ,, , " tensiunile admisibile la strivire i respectiv la forfecare ale nitului> at3 rezistenaadmisibil! la ntindere a elementelor asamblate> d 3 diametrul niturilor> gmin3 grosimea cea maimic! a elementelor asamblate cu nitul, i care lucreaz! n acelai sens>

at

str

nitaat

f

nita (i (


24/42

ig.*.(%

'ez"l-area+ nd profilele sunt nesolidarizate, ele lucreaz! independent, suprafaa de contact

av#nd aceeai curbur!. in aceast! condiie rezult!8

atz

z WM = ',max

( ,

n care Fz,'este modulul de rezisten! al unui profil =.&u momentul maxim din diagrama Mzse obine8

(

max', '%,'-

(

(,

(=

==

atat

z

nec

z

a0MW

mm-

in tabelele de profile se alege profilul = '< care are8 = z,' $ ',:'%* mm> Fz,' $'*,''%mm-> /'$ (;,1'%(mm(> t $ '%, mm )grosimea t!lpii+.

erificarea seciunii c#nd cele dou! profile nu sunt solidarizate8

at

z

ef

z

z

efmmN

W

0a

W

M


25/42

( ) ( ) -.*((*

'

'

(

',

max

'%((',.''min -

== str

nit

t

nitnit ''' .7e calculeaz!8 7z$ a'/'$ 1%(;,1'%($ (:',''%-mm-i cum =z$ ','1


26/42

ig.*.('

(. 0entru grinda din figura *.((,a, realizat! din trei platbande asamblate prin sudur!, sed!8 $ *% AN> a $ ' m> a$ ':% NLmm(. 7e cere8 a+ dimensionarea grinzii> b+ calcululcordoanelor de sudur!, continue pe intervalele /4 i 5 i ntrerupte pe intervalul 4> c+

verificarea la rezisten! dup! teoria energiei de deformaie, la mbinarea dintre inim! i talp!.

ig.*.((

'*


27/42

'ez"l-are

a+ *max '%(,-

( ) ( ) ( ) -

(

-

*;,*1%'((%''('(

'(('(( ttttttttIz =

+

+=

ef

z

nec

zzef

z WWc"ndi"ndin(ity

IW === -

max


28/42

,e

ls2

xy

s

xy =

din care rezult!8

1,--':

:(1,'' ===

s

2xysxyl

e NLmm(

olosind teoria energiei de deformaie rezult!8

aech mmN


29/42

care precizeaz! c! la grinzile de egal! rezisten!, modulul de rezisten! al seciunii transversaleeste proporional cu valoarea absolut! a momentului ncovoietor.

0entru bara din figura *.(-.a se poate scrie-(

,(

-

xx

DWx

FM

== i din condiia )*.;%+

rezult! legea de variaie a diametrului barei, valabil! pentru

(,% l

x 8

-'*

xF

Da

x

= )*.;'+

atorit! simetriei diagramei M fa! de mi6locul grinzii, variaia diametrului xva fi deasemenea simetric!.

0entru x $ %, din )*.;'+ rezult! x$ %, dar aceast! situaie nu poate fi acceptat!,datorit! existenei n seciunea respectiv! a forei t!ietoare T/$ L(. 0entru preluarea forei

t!ietoare, n seciunile din capetele barei trebuie ndeplinit! condiia8

a max

olosind formula lui KuravsAi pentru calculul tensiunii maxse obine8

a

""" D

F

D

F

A

T

===

((max-

*

>(max

(

c"nstbhFx

WMbhWFxM

a

z

xzz ======

7e obine legea de variaie a n!limii 28

ab

Fxh

*= )*.;:+

7e determin! n!limea n cap!tul liber din condiia a""

bh

F

A

T ===

(

-

(

-max , i rezult!8

a

"bFh(

-= )*.;*+

acem 2 $ 2on )*.;:+ i egal#nd cu )*.;*+ se obine lungimea xope care se realizeaz!n!limea 2o8

( '*,*

((

(*%%

max

===E

e

Ec

eci coeficientul de siguran! al osiei vagonului este egal cu *,'*.

(. ?rinda din figura *.-- poate fi realizat! n patru variante constructive, toate de aceeaigreutate. 7e cere s! se calculeze valoarea momentului ncovoietor M%, pe care l poatesuporta grinda, n fiecare variant!, dac! a $ - cm i J a$ ':%% daNLcm(.

ig.

*.--

'ez"l-are?rinda av#nd n toate cazurile aceeai lungime, rezult! c!, pentru aceeai greutate, i

aria seciunii transversale va fi egal! n toate cele patru variante.

0entru fiecare variant! modulul de rezisten! axial Fzva avea alt! valoare, respectiv8

';:


38/42

--

' cm:,*

(;

*===

aWz >

--

( cm'

( ) --(

- cm1-

(;

-*

(

(====

aaaWz >

( ) ----

max

cm-(:,';'(%

(;;;

'(%

;;(

'(

-

(

:

'(:

===

== aaaaa

ay

IW zz .

Momentul ncovoietor maxim ce urmeaz! s! fie preluat de grind! estezai WMM == %max .

0entru cele patru variante se obine8

cmdaN*;:%:,':%%'%' === zaWM cmdaN;;%'


39/42

ig.*.-:

'ez"l-are

Momentul ncovoietor maxim din arc este cmdaN%max == 5l5Mi .

Modulul de rezisten! al seciunii arcului are valoarea8

-(((

cm-

(%

*

'


40/42

ig.*.-*

'ez"l-are7eciunea periculoas! se g!sete la mi6locul desc2iderii unde (L5T= i

cmdaN'%%

=

= 5l5

Mi . &ondiiile de rezisten! n fibrele extreme solicitate la traciune,

respectiv la compresiune sunt8

at

z

tit

I

yM = i ac

z

cic

I

yM =

0entru determinarea centrului de greutate se mparte suprafaa seciunii n treidreptung2iuri cu centrele &', &(i &-i se alege sistemul de axe z(&(y. /stfel8

( )cm';,

:(:(%:,(:'%

:,'(:(::,'(:'%=

+++

==

i

ii

3A

Ayy ,

iar cm


41/42

ig

.*.-;

'ez"l-are

?reutatea pe unitatea de lungime a grinzii este8

( ) daNLcm*(,':(

-

cm;:,'-%;:,'::-'*( =+=zS >cm('( ==b .

in condiiile de mai sus rezult! inecuaiile8

daN''--%%(:

;(1%%':%%'1-;

(:

;(1%%=

=

aznet

W5

daN*


42/42

daN

capitolul 6kk

Documents