capitolul 5 macuta/desc... · web viewlucrul mecanic prin defini(ie, lucrul mecanic efectuat de...
TRANSCRIPT
CAPITOLUL 5
ELEMENTE DE INGINERIE MECANICĂ
Cap.1. Cinematica şi dinamica
CAPITOLUL 1
CINEMATICA ŞI DINAMICA
1.1. Noţiuni fundamentale de cinematica
punctului
Cinematica punctului studiaz( mi(c(rile mecanice ale corpurilor, f(r( a lua (n considerare masa acestora şi for(ele care ac(ioneaz( asupra lor. Cinematica face un studiu geometric al mi(c(rilor din care cauz( aceast( parte a mecanicii se mai nume(te (i geometria mi(c(rilor. Cinematica foloseşte noţiunile fundamentale de spa(iu (i timp. Spa(iul se consider( absolut, euclidian (i tridimensional, iar timpul un parametru scalar independent de spa(iu (i continuu cresc(tor. No(iunea de mi(care este relativ(. Mi(carea se raporteaz( (n general la un reper sau sistem de referin((. Dac( reperul este fix, mi(carea se nume(te absolut(, iar dac( reperul este mobil, mi(carea se nume(te relativ(.
1.1.1. Legea de mişcare
Mi(carea unui punct M este cunoscut( dac(, în orice moment t, se poate preciza pozi(ia acestuia (n raport cu un reper presupus fix, definită de vectorul de poziţie
r
ca funcţie de timp (fig.1.1).
()
rrt
=
(1.1.)
Fig.1.1
Pentru a defini mi(carea real(, func(ia vectorial( descris( de ecua(ia (1.1), trebuie s( fie continu(, uniform(, finit( (n modul (i de dou( ori derivabil(. Ea constituie legea de mi(care.
1.1.2. Traiectoria
Traiectoria este locul geometric al pozi(iilor succesive ocupate de punct (n mi(care. Referitor la traiectorie, se întâlnesc două cazuri:
Cazul 1. Se cunoaşte poziţia punctului, dată prin funcţiile scalare, care definesc vectorul variabil
()
rt
(fig.1.2) şi se cere să se determine traiectoria.
Fig.1.2
Dacă funcţia vectorială
()
rt
este definită cartezian se poate scrie:
()()()()
rtxtiytjztk
=++
(1.2.)
unde
,,
ijk
sunt versorii axelor Ox, Oy (i Oz, ale sistemului cartezian.
Proiecţiile pe axe ale vectorului
()
rt
reprezintă coordonatele punctului M în sistemul cartezian Oxyz, sunt funcţii scalare de timp şi se numesc ecuaţii parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.
();();()
xxtyytzzt
===
(1.3.)
Prin eliminarea parametrului t în ecuaţiile parametrice (1.3) se obţine traiectoria, ca intersecţie a două plane:
12
(,,)0;(,,)0
fxyzfxyz
==
(1.4.)
Cazul 2. Se cunoaşte traiectoria punctului, curba (C), şi se cere să se determine poziţia acestuia. Dacă traiectoria este o curbă continuă, rectificabilă şi are în orice punct o tangentă unică, poziţia punctului se poate determina utilizând un singur parametru scalar, care este coordonata curbilinie s (fig.1.3).
Punctul M se deplasează pe curba (C) în sensul indicat de săgeată. Pentru a indica poziţia la un moment dat a punctului se alege ca reper punctul M0, care constituie originea arcelor, sensul de parcurs fiind indicat de săgeată.
Fig.1.3
Poziţia punctului M pe curbă, în timp este determinată de ecuaţia orară a mişcării sau legea orară a mişcării:
()
sst
=
(1.5.)
1.1.3. Viteza
Viteza este o mărime vectorială ataşată punctului care precizează direcţia şi sensul în care se efectuează mişcarea.
Se consider( dou( pozi(ii succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(carea pe curba (C), la momentele t (i respectiv t+(t, caracterizate prin vectorii de pozi(ie
()
rt
, respectiv
(
)
rtt
+D
(fig.1.4). Intervalul de timp (t fiind foarte mic, se poate asimila elementul de arc M1M2, cu elementul de coardă M1M2, care reprezină modulul vectorului
12
()()
MMrttrtr
=+D-=D
.
Fig.1.4
Raportul
r
t
D
D
se numeşte viteză medie a punctului M. Cum de regulă interesează direcţia şi sensul mişcării în orice moment pe curba (C), se calculează viteza instantanee. Aceasta se realizează când intervalul de timp
0
t
D®
sau
21
MM
®
.
Trec(nd la limit(, rezult( viteza instantanee într-un punct:
21
12
0
limlim
MMt
MM
rdr
vr
ttdt
®D®
D
====
DD
&
(1.6.)
Rela(ia (1.6), arat( c( viteza unui punct este egal( cu derivata vectorului de pozi(ie al punctului, (n raport cu timpul (derivata (n raport cu timpul a func(iilor scalare sau vectoriale se va nota, (n general, cu un punct, deasupra).
Viteza este tangent( la traiectorie (n punctul respectiv:
dr
drdrds
vv
dtdrdsdt
t
==××=
(1.7.)
unde:
;1;
dr
drds
s
drdsdt
t
===
&
(1.8.)
t
este versorul tangentei.
1.1.4. Acceleraţia
Acceleraţia este o mărime vectorială ataşată punctului în mişcare şi arată modul de variaţie al vitezei acestui punct în decursul mişcării, ca modul, direcţie şi sens.
Se consideră dou( pozi(ii succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(care pe curba (C), la momentele t (i respectiv t+(t, având vitezele
()
vtv
=
(i
()
vttvv
+D=+D
(fig.1.5). Variaţia vitezei în intervalul de timp (t este:
()()()
vttvtvvvv
+D-=+D-=D
Fig.1.5
Raportul
v
t
D
D
m(soar( varia(ia vitezei (n timp (i se nume(te accelera(ie medie. Prin trecerea la limită, aceasta realizându-se când intervalul de timp
0
t
D®
sau
21
MM
®
, rezult( accelera(ia instantanee:
2
2
0
lim
t
vdvdr
avr
tdt
dt
D®
D
=====
D
&&&
(1.9.)
Dac( se continu( derivarea (n raport cu timpul, a vectorului de pozi(ie
r
, se ob(in vectori care se numesc accelera(ii de ordin superior. Astfel, derivata a treia (n raport cu timpul a vectorului de pozi(ie, se nume(te accelera(ie de ordinul al doilea sau supraacceleraţie.
1.1.5. Viteza şi acceleraţia unghiulară
Sunt cazuri când poziţia unui punct pe traiectorie se poate preciza cu ajutorul unui unghi la centru (, ca în cazul mişcării circulare. Considerând ca reper, diametrul orizontal, legea de mişcare a punctului M pe cerc este definită de funcţia:
()
t
=
(1.10.)
Se consideră dou( pozi(ii succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(carea pe cerc, la momentele t (i respectiv t+(t, având unghiurile la centru
()
t
=
(i
()
tt
qqq
+D=+D
(fig.1.6). Variaţia unghiulară în intervalul de timp (t este:
()()()
ttt
qqqqqq
+D-=+D-=D
Fig.1.6
Raportul
t
q
D
D
se numeşte viteză unghiulară medie a punctului M. Prin trecerea la limită, aceasta realizându-se când intervalul de timp
0
t
D®
sau
21
MM
®
, rezult( viteza unghiulară instantanee:
0
lim
t
d
tdt
wq
D®
D
===
D
&
(1.11.)
Considerând pozi(iile succesive M1 (i M2 ale punctului M (n mi(care pe cerc, la momentele t (i respectiv t+(t, având vitezele unghiulare
()
t
ww
=
(i
()
tt
www
+D=+D
, variaţia vitezei unghiulare în intervalul de timp (t este:
()()()
ttt
wwwwww
+D-=+D-=D
Raportul
t
w
D
D
m(soar( varia(ia vitezei unghiulare (n timp (i se nume(te accelera(ie unghiulară medie. Prin trecerea la limită când intervalul de timp
0
t
D®
sau
21
MM
®
, rezult( accelera(ia unghiulară instantanee:
2
2
0
lim
t
dd
tdt
dt
wwq
ewq
D®
D
=====
D
&&
&
(1.12.)
Prin conven(ie, viteza unghiular( poate fi considerat( un vector al c(rui suport este o dreapt( perpendicular( pe planul traiectoriei, care trece prin punctul O. Sensul pozitiv al vectorului vitez( unghiular( este dat de regula (urubului, care se rote(te (n sensul de deplasare al punctului M. (n mod similar se define(te (i vectorul accelera(ie unghiular(.
1.1.6. Studiul mişcării punctului
a. Studiul mişcării în coordonate carteziene
A cunoa(te mi(carea punctului, (nseamn( a cunoa(te în orice moment vectorul de poziţie
r
, viteza
v
şi acceleraţia acestuia
a
(fig.1.7).
Vectorul de poziţie are expresia:
rxiyjzk
=++
(1.13.)
Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:
();();()
xxtyytzzt
===
(1.14.)
Traiectoria sau curba (C) se obţine prin eliminarea parametrului t, în ecuaţiile parametrice ale mişcării.
Viteza se ob(ine ca derivata vectorului de pozi(ie (n raport cu timpul:
dr
vrxiyjzk
dt
===++
&
&&
&
(1.15.)
Componentele vitezei sunt:
;;
xyz
vxvyvz
===
&&
&
(1.16.)
Modulul vitezei este:
222222
xyz
vvvvxyz
=++=++
&&
&
(1.17.)
Direcţiile pe care le formează suportul vectorului viteză cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinuşii directori:
cos(,);cos(,);cos(,)
xyz
vivjvk
vvv
===
&&
&
(1.11.)
Accelera(ia se ob(ine ca derivata în raport cu timpul a vitezei punctului sau derivata de dou( ori (n raport cu timpul, a vectorului de pozi(ie:
2
2
;
xyz
dvdr
avvivjvkarxiyjzk
dt
dt
===++===++
&&&
&&&&&&&
&&
(1.19.)
Componentele acceleraţiei sunt:
;;
xxyyzz
avxavyavz
======
&&&&&&&
&&
(1.20.)
Modulul acceleraţiei este:
222222222
xyzxyz
aaaavvvxyz
=++=++=++
&&&&&&&
&&
(1.21.)
Direcţiile pe care le formează suportul vectorului acceleraţie cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinuşii directori:
cos(,);cos(,);cos(,)
y
x
z
v
v
v
xyz
aiajak
aaaaaa
======
&
&
&
&&&&
&&
(1.22.)
b.Mişcarea circulară. studiul mişcării în coordonate carteziene
Punctul M se mi(c( pe o traiectorie circular( de rază R, având legea de mişcare, viteza şi acceleraţia unghiulară date de expresiile:
();;
t
qqqwqwe
====
&&&
&
(1.23.)
Sistemul cartezian este ales cu originea O, în centrul cercului (fig.1.21). Ecua(iile parametrice ale traiectoriei sunt:
cos();sin()
xRtyRt
==
(1.24.)
Prin eliminarea parametrului t, aflat implicit în legea de mişcare ((t) va rezulta traiectoria, care este cercul de rază R cu centrul în originea O:
Fig.1.8
222
xyR
+=
(1.25.)
Componentele vitezei pe axele sistemului cartezian sunt:
sinsin
coscos
x
y
vxRRy
vyRRx
qqwqw
qqwqw
ì
==-=-=-
ï
í
====
ï
î
&
&
&
&
(1.26.)
Vectorul vitez( are expresia:
vyixj
ww
=-+
(1.27.)
(i este tangent la traiectorie, adică perpendicular pe
OM
, deoarece produsul scalar
vOM
×
este nul:
()()0
vOMyixjxiyjxyxy
wwww
×=-+×+=-+=
Modulul vitezei este:
2222
xy
vvvxyR
ww
=+=+=
(1.21.)
Componentele accelera(iei se ob(in prin derivarea componentelor vitezei:
22
22
sincossincos
cossincossin
xx
yy
avRRRRyx
avRRRRxy
wqwqqeqwqew
wqwqqeqwqew
ì
==--=--=--
ï
í
==-=-=-
ï
î
&
&
&
&
&
&
(1.29.)
Vectorul accelera(ie are expresia:
22
()()
ayxixyj
ewew
=--+-
(1.30.)
şi modulul:
222222
22224222224
()()
()()
xy
aaayxxy
xyxyR
ewew
ewew
=+=--+-=
=+++=+
(1.31.)
1.1.7. Cinematica rigidului
a. Mişcarea generală a rigidului
Mişcarea rigidului este determinată când se cunosc expresiile generale, ca funcţii de timp, pentru vectorul de poziţie, viteza şi acceleraţia unui punct oarecare M al rigidului, în raport cu un punct O1, presupus fix.
Fig.1.9
Pentru efectuarea studiului se alege un sistem de referinţă admis fix
1111
Oxyz
, de versori
111
,,
ijk
(i un sistem de referinţă mobil solidar cu corpul în mişcare,
Oxyz
de versori
,,
ijk
(fig.1.9). Alegerea punctului O ca origine a sistemului mobil este arbitrară.
Vectorul de poziţie al punctului M, faţă de sistemul fix este
1
r
iar faţă de sistemul mobil este
r
. Poziţia originii sistemului mobil faţă de sistemul fix este definită de vectorul
0
r
. Se poate scrie relaţia:
10
rrr
=+
(1.32.)
Ecuaţia (1.32) poate fi exprimată şi ca o ecuaţie vectorială funcţie de timp:
10
()()()()()
rtrtxityjtzkt
=+++
(1.33.)
Vectorul
00
()
rrt
=
este o funcţie vectorială de timp, continuă, uniformă şi derivabilă de cel puţin două ori.
Vectorul
()()()
OMrxityjtzkt
==++
are modulul constant
222
.
rxyzct
=++=
şi direcţia variabilă, deoarece distanţa dintre punctele O şi M nu se modifică, conform ipotezei rigidităţii corpului. În consecinţă, proiecţiile x, y, z ale acestui vector, pe axele sistemului de referinţă mobil sunt constante. Versorii
(),(),()
itjtkt
sunt funcţii vectoriale de timp deoarece îşi schimbă în timp poziţia, odată cu axele pe care le caracterizează.
Un vector funcţie de timp se exprimă cu ajutorul a 3 funcţii scalare de timp (proiecţiile pe axele sistemului cartezian). Prin urmare, conform relaţiei (1.33) vectorul
1
()
rt
se exprimă cu 12 funcţii scalare de timp, care provin de la mărimile vectoriale:
0
(),(),(),()
rtitjtkt
. Cele 12 funcţii scalare nu sunt independente, deoarece pot fi scrise 6 relaţii specifice, datorită faptului că versorii
,,
ijk
sunt versorii unui sistem de axe triortogonal.
222
1;1;1
ijk
===
(1.34.)
0;0;0
ijjkki
×=×=×=
(1.35.)
Rezultă că vectorul
1
()
rt
poate fi exprimat cu ajutorul a 6 funcţii scalare de timp, independente: 3 provin de la vectorul
0
r
, care defineşte poziţia originii sistemului de referinţă mobil, în raport cu cel fix iar 3 provin de la versorii
,,
ijk
, care dau orientarea sistemului mobil faţă de cel fix.
S-a demonstrat astfel şi pe cale cinematică, faptul că un rigid liber în spaţiu are 6 grade de libertate.
Pentru calculul vitezei punctului M, arbitrar ales se derivează în raport cu timpul relaţia (1.32):
10
vrrr
==+
&&&
(1.36.)
unde:
00
rv
=
&
(1.37.)
reprezintă viteza originii O a sistemului mobil, din mişcarea faţă de sistemul fix.
rxiyjzk
=++
&
&&
&
(1.38.)
reprezintă viteza punctului M, solidar cu sistemul mobil.
Pentru calculul derivatelor în raport cu timpul ale versorilor
,,
ijk
se derivează în raport cu timpul, mai întâi, relaţiile (1.34) şi (1.35).
0;0;0
iijjkk
×=×=×=
&
&&
(1.39.)
0;0;0
ijijjkjkkiki
×+×=×+×=×+×=
&&
&&&&
(1.39’.)
Pentru expresiile scalare care intervin în (1.40) se introduce convenţia de a fi considerate ca proiecţii pe axele sistemului
Oxyz
, ale unui vector arbitrar
w
.
;;
zxy
ijijjkjkkiki
www
×=-×=×=-×=×=-×=
&&
&&&&
(1.40.)
Pentru scrierea derivatelor versorilor în raport cu timpul
,,
ijk
&
&&
se are în vedere scrierea, în general, a unui vector prin proiecţii pe axele de versori corespunzători.
()()()
xyz
VViVjVkViiVjjVkk
=++=×+×+×
(1.41.)
Având în vedere, relaţia (1.41) şi rezultatele din (1.39), respectiv (1.40), derivatele versorilor
,,
ijk
se pot scrie astfel:
()()()0
100
zy
xyz
iiiiijjikkijk
ijk
i
ww
wwww
=×+×+×=×+-=
==´
&&&&
()()()0
010
zx
xyz
jjiijjjjkkijk
ijk
j
ww
wwww
=×+×+×=-+×+=
==´
&&&&
()()()0
001
yx
xyz
kkiikjjkkkijk
ijk
k
ww
wwww
=×+×+×=-+×=
==´
&&&&
(1.42.)
numite relaţiile Poisson.
Putem exprima derivata vectorului
r
&
,introducând relaţiile Poisson (1.42) în relaţia (1.38).
()()()
()
rxiyjzkxiyjzk
xiyjzkr
www
ww
=++=´+´+´=
=´++=´
&
&&
&
(1.43.)
Introducând relaţiile (1.37) şi (1.43) în relaţia (1.36) rezultă:
0
vvr
w
=+´
(1.44.)
Relaţia (1.44) se nume(te rela(ia Euler pentru distribu(ia de viteze a rigidului. Distribuţia de viteze se exprimă cu ajutorul a două funcţii vectoriale de timp,
0
()
vt
şi
()
t
w
.
Componentele pe axele sistemului mobil, ale vitezei se obţin din dezvoltarea relaţiei (1.44)
0
0
0
xxyz
yyzx
zzxy
vvzy
vvxz
vvyx
ww
ww
ww
ì
=+-
ï
ï
=+-
í
ï
=+-
ï
î
(1.45.)
Pentru calculul accelera(iei
a
a punctului M apar(in(nd rigidului, care efectueaz( o mi(care general(, se derivează (n raport cu timpul, viteza acestuia dată de relaţia (1.44).
0
avvrr
ww
==+´+´
&
&&&
(1.46.)
Accelera(ia punctului O fa(( de reperul fix este:
000
avr
==
&&&
(1.47.)
Not(nd cu
we
=
&
- un vector arbitrar, obţinut ca derivata în raport cu timpul a vectorului
w
(i introducând relaţia (1.43), rezult(:
(
)
0
aarr
eww
=+´+´´
(1.48)
Ecua(ia (1.48) este cunoscut( (i sub numele de formula Euler pentru distribu(ia de accelera(ii.
Componentele accelera(iei pe axele reperului mobil se determin( exprim(nd analitic produsele vectoriale din relaţia Euler (1.48), (n care vectorii
w
şi
e
, au expresiile:
xyz
ijk
wwww
=++
,
xyz
ijk
eeee
=++
(1.49.)
Rezultă:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
xxyzyxyzxz
yyzxzyzxyx
zzxyxzxyzy
aazyyxzx
aaxzzyxy
aayxxzyz
eewwwwww
eewwwwww
eewwwwww
ì
=+-+-+-
ï
ï
=+-+-+-
í
ï
=+-+-+-
ï
î
(1.50.)
b. Mişcarea rigidului cu axă fixă (de rotaţie)
Un rigid execut( o mi(care de rota(ie (sau mi(care de rigid cu ax( fix(), dac( dou( puncte ale sale (adic( o ax() r(m(n fixe (n spa(iu (n tot timpul mi(c(rii. Dreapta determinat( de cele dou( puncte fixe O1 (i O2 ale rigidului poart( numele de ax( de rota(ie (fig.1.10.a). Punctele rigidului (n mi(care de rota(ie descriu cercuri dispuse (n plane perpendiculare pe axa de rota(ie O1O2, cu centrele pe axa de rota(ie.
Pentru simplificarea studiului, originile celor două sisteme de referinţă se consideră în acelaşi punct,
1
OO
º
şi axele
1
OzOz
ººD
coincid cu axa de rotaţie.
Fig.1.10
Poziţia rigidului în timp poate fi complet precizată cu ajutorul unghiului
()
t
=
, unghi format de axa Ox a sistemului mobil cu axa O1x1 a sistemului fix şi care constituie legea de mişcare a rigidului. Rigidul în mişcare de rotaţie are un singur grad de libertate.
Aceast( mi(care particular( se ob(ine din mi(carea general( a rigidului cu simplificările menţionate mai sus:
100
1111
0;0
;0
OOva
OzOzkkkk
ºÞ==
ì
ï
í
ººÞº=
ï
î
&&
(1.51.)
În consecinţă:
0;0
yx
kikj
ww
×==×=-=
&&
(1.52.)
Cum componenta vectorului
w
, pe direcţia Oz este definită de relaţia:
0
z
ij
w
=×¹
&
(1.53.)
este necesar să se calculeze derivata în raport cu timpul a versorului
i
:
Variaţia în timp, ca direcţie, a versorilor
i
şi
j
(fig.1.10.b) este:
11
11
cossin
sincos
iij
jij
=+
ì
í
=-+
î
(1.54.)
Derivata în raport cu timpul a versorului
i
este:
1111
sincos(sincos)
iijijj
qqqqqqqq
=-+=-+=
&
&&&&
(1.55.)
şi:
z
ijjj
wwqq
==×=×=
&
&&
(1.56.)
rezultă:
z
kkk
wwwq
===
&
(1.57.)
Se poate da un sens fizic vectorului
w
: este un vector care caracterizează mişcarea de rotaţie a rigidului, fapt pentru care este numit vector viteză unghiulară. Are ca suport axa de rotaţie, sensul fiind dat de regula şurubului drept, iar modulul, dat de derivata în raport cu timpul a legii de mişcare,
()
t
q
.
În mod analog se poate demonstra că:
z
eewq
===
&&
&
(1.58.)
kkk
eewq
===
&&
&
(1.59.)
Şi în acest caz se poate da un sens fizic vectorului
e
. Întrucât reprezintă derivata în raport cu timpul a vectorului viteză unghiulară
w
, el se numeşte vector acceleraţie unghiulară. Are ca suport axa de rotaţie, sensul dat de regula şurubului drept şi modulul dat de derivata vitezei unghiulare,
ewq
==
&&
&
.
Distribu(ia de viteze se stabile(te pornind de la formula general( Euler (1.44) (i (in(nd seama de particularit((ile acestei mi(c(ri date de relaţia (1.51):
vr
w
=´
(1.60.)
Expresia analitică a vitezei se obţine din relaţia (1.60), exprimând vectorii prin componentele pe axe:
00
ijk
vyixj
xyz
www
==-+
(1.61.)
Rezultă componentele pe axe ale vitezei:
0
x
y
z
vy
vx
v
w
w
ì
=-
ï
=
í
ï
=
î
(1.62.)
Proprietăţile câmpului de viteze:
· punctele situate pe axa de rotaţie au viteze nule.
· vitezele sunt con(inute (n plane perpendiculare pe axa de rota(ie, deoarece vz=0.
· vitezele punctelor situate pe o dreaptă perpendiculară pe axa de rotaţie sunt perpendiculare pe această dreaptă şi modulele lor sunt direct proporţionale cu distanţa de la punct la axa de rotaţie (fig.1.11.a).
Fig.1.11
Distribuţia de acceleraţii
Dac( (n formula Euler (1.48) privind distribuţia de accelera(ii se fac particulariz(rile specifice mi(c(rii de rota(ie (1.51) se obţine:
(
)
arr
eww
=´+´´
(1.63.)
care reprezint( c(mpul de acceleraţii al unui rigid (n mi(care de rota(ie.
Expresiile analitice ale acceleraţiei se obţin din relaţia (1.63), exprimând vectorii prin componentele pe axe:
22
0000
0
()()
ijkijk
a
xyzyx
yxixyj
ew
ww
ewew
=+=
-
=--+-
(1.64.)
Rezultă componentele pe axe ale acceleraţiei:
22
,0
xyz
ayxaxya
ewew
=--=-=
(1.65.)
Proprietăţile câmpului de acceleraţii sunt analoage cu cele ale câmpului de viteze, cu singura deosebire că acceleraţiile sunt înclinate faţă de o dreaptă perpendiculară pe axa de rotaţie (fig.1.11.b) sub acelaşi unghi (, dat de relaţia:
2
.
y
x
a
tgct
a
e
j
w
===
Observaţii:
1. Studiul vitezelor şi acceleraţiilor poate fi efectuat şi când se consideră
1
OO
º
, însă nici una dintre axele triedrului nu constituie axă de rotaţie. În acest caz vectorii viteză şi acceleraţie unghiulară au expresiile:
xyz
xyz
ijk
ijk
wwww
eeee
ì
=++
ï
í
=++
ï
î
(1.66.)
2. Dacă
.
ct
w
=
, mişcarea se numeşte uniformă, iar dacă
.
ct
e
=
, mişcarea se numeşte uniform variată. Dacă
0
we
×>
, mişcarea se numeşte accelerată, iar dacă
0
we
×<
, mişcarea se numeşte încetinită (decelerată).
3. În tehnică, pentru maşinile rotative se dă turaţia n exprimată în rot/min. Legătura dintre viteza unghiulară şi turaţie este dată de relaţia:
1
()(/min)
30
snrot
p
w
-
=
(1.67.)
b.1. Transmiterea mişcării de rotaţie
Transmiterea mişcării de rotaţie se realizează prin:
· roţi dinţate şi roţi cu fricţiune
· curele şi lanţuri
Se consideră două roţi (dinţate sau cu fricţiune) cu axele paralele: roata motoare O1, de rază R1 cu viteză unghiulară (1 şi roata condusă O2, de rază R2 cu viteză unghiulară (2 (fig.1.12).
Se defineşte raportul de transmitere al mişcării ca fiind raportul vitezelor unghiulare ale roţii motoare şi celei conduse:
1
12
2
i
w
w
=
(1.68.)
Raportul de transmitere al mişcării poate fi exprimat şi funcţie de turaţiile celor două roţi. Având în vedere relaţia dintre viteza unghiulară, exprimată în rad/s sau s-1 şi turaţia exprimată în rot/min -
/30
ii
n
wp
=
, rezultă:
1
12
2
n
i
n
=
(1.69.)
Fig.1.12
Condiţia de transmitere a mişcării (să nu existe alunecare între cele două roţi) este ca viteza punctului de contact dintre roţi, exprimată din mişcarea fiecăreia să fie aceeaşi:
1122
vRR
ww
==
(1.70.)
Raportul vitezelor unghiulare ale celor două roţi poate fi exprimat şi funcţie de raportul razelor acestora:
12
21
R
R
w
w
=
(1.71.)
Raportul de transmitere al mişcării este:
112
12
221
nR
i
nR
w
w
===
(1.72.)
Pentru roţile dinţate, raportul de transmitere al mişcării poate fi exprimat şi în funcţie de numărul de dinţi ale celor două roţi. Condiţia de angrenare este ca modulul celor două roţi dinţate, definit de relaţia (1.73) să fie acelaşi:
p
m
p
=
(1.73.)
unde p este pasul danturii, definit ca fiind lungimea arcului dintre două flancuri succesive, măsurat pe cercul de rostogolire.
Înmulţind ambii termeni ai relaţiei (1.73) cu numărul de dinţi zi şi cum produsul
i
pz
×
reprezintă lungimea cercului de rostogolire, obţinem:
2
2
2
iii
iii
pzRmz
mzRR
p
pp
===Þ=
(1.74.)
şi cu ajutorul căreia poate fi exprimat raportul razelor celor două roţi:
222
111
/2
/2
Rmzz
Rmzz
==
(1.75.)
În cazul transmiterii mişcării cu roţi dinţate, raportul de transmitere este:
1122
12
2211
nRz
i
nRz
w
w
====
(1.76.)
Pentru o transmisie prin lanţuri sau curele, roţile având axele paralele, condiţia de transmitere a mişcării este ca vitezele periferice ale celor două roţi să fie egale, întrucât în punctele de contact dintre curea sau lanţ şi roţi nu există alunecare (fig.1.13).
Raportul de transmitere al mişcării este dat de relaţia (1.72):
112
12
221
nR
i
nR
w
w
===
.Pentru o transmisie cu “n” roţi cu arbori paraleli, raportul de transmitere este:
1
1
n
n
i
w
w
=
(1.77.)
Fig.1.13
Dacă între cei doi arbori ai roţii motoare şi conduse intervin arbori intermediari, rapoartele de transmitere dintre două roţi consecutive devin:
2
12
122321
231
1
1
,,.........,
n
nn
n
n
nn
n
iii
i
w
ww
www
w
w
-
--
-
-
-
===
=
(1.71.)
Efectuând produsele termenilor din fiecare membru, rezultă:
1223211
21
121
1
231
.....
....
nnnn
nn
n
nnn
iiii
i
ww
www
wwwww
---
--
-
××××=
=××××==
(1.79.)
Deci:
11223211
.....
nnnnn
iiiii
---
=××××
(1.80.)
Raportul de transmitere total al unei transmisii cu “n” roţi este produsul rapoartelor de transmitere intermediare.
Observaţii:
· pentru transmiterea mişcării de rotaţie prin roţi cu axele concurente, condiţia de transmitere a mişcării constă în egalitatea vitezelor punctelor de contact aparţinând celor două roţi;
· dacă prin transmiterea mişcării, sensul de rotaţie al arborelui condus este acelaşi cu cel al arborelui motor, raportul de transmitere se consideră pozitiv iar dacă este de sens contrar se consideră negativ.
c. Mişcarea plan paralelă
Un rigid efectuează o mi(care plan paralel(, c(nd trei puncte necoliniare ale sale rămân tot timpul mi(c(rii, conţinute (n acelaşi plan fix din spa(iu.
(n cazul (n care rigidul se reduce la o plac( de grosime neglijabil(, care este con(inut( (n planul fix, mi(carea se nume(te plan(.
Pentru studiul mi(c(rii se consideră un sistem de referinţă fix
1111
Oxyz
(i un sistem de referinţă mobil ata(at rigidului
Oxyz
, cu axele
11
OzOz
(fig.1.14.a). Planul
Oxy
conţine planul mobil, definit de cele trei puncte necoliniare şi obţinut ca intersecţie a rigidului cu planul fix
111
Oxy
. Studiul mişcării rigidului poate fi redus la studiul mişcării planului mobil (fig.1.14.b).
Poziţia rigidului la un moment dat este determinată, de componentele vectorului de poziţie
0
()
rt
, ale originii sistemului de referinţă mobil, în raport cu cel fix,
00
(),()
xtyt
şi de unghiul
()
t
q
, determinat de axa
Ox
a sistemului mobil şi axa
11
Ox
a sistemului fix. Pentru stabilirea poziţiei rigidului la un moment dat sunt necesare trei funcţii scalare de timp, deci în mişcarea plan paralelă, un rigid are 3 grade de libertate:
0000
();();()
xxtyytt
===
.
Fig.1.14
Mi(carea plan paralelă se ob(ine din mi(carea general( a rigidului (n care sunt introduse umătoarele simplificări impuse de această mişcare: vectorii
0
v
şi
0
a
sunt conţinuţi în planul mişcării şi
11
OzOz
.
000
000
xy
xy
vvivj
aaiaj
=+
ì
ï
í
=+
ï
î
(1.81.)
1111
;;0
0;0;
yxz
OzOzkkkk
kikjij
wwwq
ì
==
ï
í
×==×=-=×==
ï
î
&&
&&
&
&
(1.82.)
z
z
kkk
kkk
wwwq
eeeq
ì
===
ï
í
===
ï
î
&
&&
(1.83.)
Vectorii
w
şi
e
sunt vectori de direcţie constantă, perpendiculari pe planul mobil
Oxy
, ca la mişcarea de rotaţie. Vectorii
0
v
şi
w
, respectiv
0
a
şi
e
sunt ortogonali:
0
v
w
^
,
0
a
e
^
.
Studiul analitic
Distribu(ia de viteze se stabile(te pornind de la formula general( Euler (i (in(nd seama de particularit((ile acestei mi(c(ri date de relaţiile (1.81) şi (1.83). Se ob(ine:
(
)
(
)
000
00
00
xy
xy
ijk
vvrvivj
xyz
vyivxj
ww
ww
=+´=++=
=-++
(1.84.)
Componentele vitezei pe axele triedrului mobil vor fi deci:
;;0
xoxyoyz
vvyvvxv
ww
=-=+=
(1.85.)
Distribuţia de viteze, specifică mişcării plan paralele poate fi considerată ca rezultând din compunerea unui câmp de viteze specific translaţiei, cu un câmp de viteze specific rotaţiei, în jurul unei axe perpendiculare pe planul în care s-ar efectua translaţia.
Studiul vectorial
Se consideră două puncte M şi N aparţinând planului mobil Oxy (fig.1.15). Pentru a stabili o relaţie între vitezele celor două puncte se aplică relaţia (1.44) pentru exprimarea vitezelor acestora:
00
,
MN
vvOMvvON
ww
=+´=+´
(1.86.)
Scăzând membru cu membru se obţine:
()
NM
vvONOM
w
-=´-
(1.87.)
Cum
ONOMMN
-=
se deduce relaţia Euler pentru distribuţia de viteze în mişcarea plan-paralelă:
NM
vvMN
w
=+´
(1.88.)
sau:
NMNM
vvv
=+
(1.89.)
unde
NM
vMN
w
=´
cu
NM
vMN
^
(întrucât
MN
w
^
) reprezintă viteza punctului N din mişcarea faţă de punctul M, ca şi când acesta ar fi fix.
MI
vvIM
w
=+´
(1.90.)
cum
0
I
v
=
, rezultă:
M
vIM
w
=´
(1.91.)
Fig.1.15
Formal, distribuţia de viteze în mişcarea plan paralelă se determină ca o distribuţie de viteze corespunzătoare unei mişcări de rotaţie, în jurul centrului instantaneu de rotaţie.
Studiul analitic
Utiliz(nd rela(ia Euler pentru accelera(ii şi (in(nd seama de particularit((ile acestei mi(c(ri, date de relaţiile (1.81) şi (1.83) obţinem:
00
0000
0
xy
ijkijk
aaiaj
xyzyx
ew
ww
=+++
-
(1.92.)
din care rezult( componentele accelera(iei:
22
00
;;0
xxyyz
aayxaaxya
ewew
=--=+-=
(1.93.)
Distribuţia de acceleraţii, specifică mişcării plan paralele poate fi considerată ca rezultând din compunerea unui câmp de acceleraţii specific translaţiei, cu un câmp de acceleraţii specific rotaţiei, în jurul unei axe perpendiculare pe planul în care s-ar efectua translaţia.
Studiul vectorial
Se consideră două puncte M şi N aparţinând planului mobil Oxy (fig.1.16). Pentru a exprima acceleraţia punctului N -
N
a
în funcţie de acceleraţia punctului M -
M
a
, cunoscută, se vor scrie acceleraţiile celor două puncte care poate fi pusă şi sub forma:
0
22
00
()
()
aarr
arrrarr
eww
ewwwew
=+´+´´=
éù
=+´+×-=+´-
ëû
(1.94.)
întrucât:
0
rr
ww
^Þ×=
Astfel:
22
00
,
MN
aaOMOMaaONON
ewew
=+´-=+´-
(1.95.)
Scăzând membru cu membru, relaţiile (1.95) rezultă:
2
()()
NM
aaONOMONOM
ew
-=´---
(1.96.)
Fig.1.16
Cum
ONOMMN
-=
se deduce relaţia Euler pentru distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă:
2
NM
aaMNMN
ew
=+´-
(1.97.)
sau:
tn
NMNMNM
aaaa
=++
(1.98.)
unde -
t
NM
aMN
e
=´
cu
t
NM
aMN
^
(întrucât
MN
e
^
) este acceleraţia tangenţială a punctului N din mişcarea faţă de punctul M, ca şi când acesta ar fi fix şi
2
n
NM
aMN
w
=-
este acceleraţia normală a punctului N din mişcarea faţă de punctul M, ca şi când acesta ar fi fix.
d. Mişcarea relativă a punctului
Noțiuni introductive.
Se consideră sistemul de referinţă fix O1x1y1z1, de versori
111
,,
ijk
şi sistemul de referinţă mobil Oxyz, de versori
,,
ijk
precum şi un vector
()
VVt
=
care poate fi scris prin proiecţii pe cele două sisteme de axe, astfel:
111
111
xyzxyz
ViVjVkViVjVk
++=++
(1.99.)
Derivând în raport cu timpul, relaţia (1.99), obţinem:
111
111
()()
xyzxyzxyz
ViVjVkViVjVkViVjVk
++=+++++
&
&&
&&&&&&
(1.100.)
Termenul din membrul stâng al egalităţii (1.100) reprezintă derivata în raport cu timpul a vectorului
V
, exprimat prin proiecţii pe axele sistemului de referinţă fix şi se numeşte derivată absolută:
111
111
xyz
dV
ViVjVkV
dt
++==
&
&&&
(1.101.)
Prima paranteză din membrul drept reprezintă derivata în raport cu timpul a vectorului
V
, exprimat prin proiecţii pe axele sistemului de referinţă mobil, ca şi când acesta ar fi fix (versorii
,,
ijk
nu-şi modifică direcţia) şi se numeşte derivată locală sau derivată relativă:
xyz
V
ViVjVk
t
¶
++=
¶
&&&
(1.102.)
Introducând relaţiile Poisson (1.44) în paranteza a doua din membrul drept al relaţiei (1.100), rezultă:
()()()
()
xyzxyz
xyz
ViVjVkViVjVk
ViVjVkV
www
ww
++=´+´+´=
=´++=´
&
&&
(1.103.)
Ţinând seama de relaţiile (1.101), (1.102) şi (1.103), relaţia (1.100) devine:
dVV
V
dtt
w
¶
=+´
¶
(1.104.)
şi exprimă derivata absolută a unui vector definit prin proiecţiile sale pe axele triedrului mobil.
Definirea mișcărilor
Se consideră un sistem de referinţă fix O1x1y1z1, de versori
111
,,
ijk
şi un sistem de referinţă mobil Oxyz, de versori
,,
ijk
. Poziţia unui punct M în raport cu triedrul fix este definită de vectorul de poziţie
1
r
, în raport cu triedrul mobil, de vectorul de poziţie
r
, poziţia triedrului mobil în raport cu triedrul fix fiind definită de vectorul de poziţie
0
r
(fig.1.17).
Mişcarea absolută este mişcarea punctului în raport cu reperul fix.
Mişcarea relativă este mişcarea punctului în raport cu reperul mobil.
Mişcarea de transport este mişcarea punctului solidar cu reperul mobil, din mişcarea acestuia în raport cu triedrul fix. Sistemul de referinţă mobil se mai numeşte şi transportor.
Fig.1.17
Vitezele şi acceleraţiile punctului din mişcările definite mai sus se numesc: viteză absolută, viteză relativă şi viteză de transport, respectiv, acceleraţie absolută, acceleraţie relativă şi acceleraţie de transport.
Viteza şi acceleraţia de transport sunt date de relaţiile (1.44) şi (1.48), cunoscute din studiul mişcării rigidului:
00
;()
vvraarr
weww
=+´=+´+´´
(1.105.)
Relaţia dintre vectorii ce exprimă poziţia punctului M, în raport cu cele două sisteme de referinţă este:
10
rrr
=+
(1.106.)
Derivând această relaţie în raport cu timpul, obţinem:
10
rrr
=+
&&&
(1.107.)
Având în vedere că
00
rv
=
&
reprezintă viteza originii tredrului mobil din mişcarea faţă de triedrul fix şi că vectorul
r
este definit prin proiecţiile sale pe axele triedrului mobil, deci i se aplică regula de derivare (1.104), se obţine:
100
()
rr
rvrvr
tt
ww
¶¶
=++´=++´
¶¶
&
(1.108.)
unde:
·
1
a
rv
=
&
reprezintă viteza punctului M, în raport cu triedrul fix şi se numeşte viteză absolută;
·
r
r
v
t
¶
=
¶
reprezintă viteza punctului M, în raport cu triedrul mobil şi se numeşte viteză relativă;
·
0
t
vrv
w
+´=
reprezintă viteza punctului M, solidar cu triedrul mobil (transportorul), din mişcarea acestuia în raport cu triedrul fix şi se numeşte viteză de transport.
Cu aceste notaţii, relaţia (1.108) devine:
art
vvv
=+
(1.109.)
adică: viteza absolută a unui punct este egală cu suma vectorială dintre viteza relativă şi viteza de transport a punctului.
Derivând în raport cu timpul, relaţia (1.108) şi având în vedere că
00
va
=
&
reprezintă acceleraţia originii tredrului mobil din mişcarea faţă de triedrul fix,
we
=
&
, vectorii
r
şi
r
t
¶
¶
sunt definiţi prin componentele lor pe axele triedrului mobil, deci li se aplică regula de derivare (1.104), se obţine:
2
10
2
()
rrr
rarr
tt
t
weww
¶¶¶
=++´+´+´+´
¶¶
¶
&&
(1.110.)
Grupând convenabil termenii se poate scrie:
[
]
2
10
2
()2
rr
rarr
t
t
ewww
¶¶
=++´+´´+´
¶
¶
&&
(1.111)
unde:
·
1
a
ra
=
&&
reprezintă acceleraţia punctului M, în raport cu triedrul fix şi se numeşte acceleraţie absolută;
·
2
2
r
r
a
t
¶
=
¶
reprezintă acceleraţia punctului M, în raport cu triedrul mobil şi se numeşte acceleraţie relativă;
·
0
()
t
arra
eww
+´+´´=
reprezintă acceleraţia punctului M, solidar cu triedrul mobil (transportorul), din mişcarea acestuia în raport cu triedrul fix şi se numeşte acceleraţie de transport;
·
22
rc
r
va
t
ww
¶
´=´=
¶
reprezintă o acceleraţie ce nu aparţine vreunei mişcări; exprimă influenţa simultană a mişcării de rotaţie a sistemului mobil şi a mişcării relative a punctului asupra acceleraţiei absolute, numindu-se acceleraţie complementară sau acceleraţie Coriolis.
Cu aceste notaţii, relaţia (1.111) devine:
artc
aaaa
=++
(1.112.)
adică: acceleraţia absolută a unui punct este egală cu suma vectorială dintre acceleraţia relativă acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis a punctului.
Observaţie: Conform definiţiei, acceleraţia Coriolis este produsul vectorial al vectorilor
w
şi
r
v
,
2
cr
av
w
=´
. Această acceleraţie devine nulă, când:
·
0
w
=
, adică triedrul mobil execută o mişcare de translaţie în raport cu triedrul fix;
·
r
v
w
, vectorul
r
v
rămâne în permanenţă paralel cu vectorul
w
.
1.2. Dinamica punctului material în mişcare
absolută. Noţiuni fundamentale.
1.2.1. Lucrul mecanic
Prin defini(ie, lucrul mecanic efectuat de for(a
F
la deplasarea punctului material din pozi(ia M0, (n pozi(ia M1 este dat de integrala curbilinie:
1
01
o
MM
MM
LFdr
=×
ò
(1.113.)
unde
dr
este deplasarea efectuat( de punctul de aplica(ie al for(ei
F
(n timpul elementar
dt
(fig.1.18).
Pentru o for(( constant( (i o deplasare rectilinie a punctului material, lucrul mecanic este:
01
MM
LFr
=×
(1.114.)
Fig.1.18
For(a
F
este (n general o func(ie de timpul t, pozi(ia
r
(i viteza
v
a punctului de aplica(ie. Deplasarea
01
MM
, efectuat( pe arc, este constituit( din deplas(ri elementare MM’, care se pot asimila cu deplas(rile pe corzile corespunz(toare
dr
(fig.1.18). (n aceast( deplasare elementar(, for(a
F
este admis( constant(. Lucrul mecanic al for(ei
F
pe o deplasare elementar(
dr
se nume(te lucrul mecanic elementar:
dLFdr
=×
(1.115.)
Dac( (n rela(ia (1.115) se (nlocuie(te
drvdt
=
, (n care
v
este viteza punctului material, se ob(ine:
cos(,)
dLFvdtFvFvdt
==
(1.116.)
Lucrul mecanic al for(ei
F
, (n deplasarea finit( din M0 (n M1 este numit lucrul mecanic total sau finit (i este determinat prin integrala curbilinie (1.113).
Dacă vectorii
,,
Fvr
sunt exprimaţi prin proiecţiile lor pe axele unui sistem cartezian Oxyz, lucrul mecanic total are expresia:
01
01
01
()
()
MM
MM
MMxyz
xxyyzz
LFdxFdyFdz
FvFvFvdt
=++=
=++
ò
ò
(1.117)
1.2.2. Funcţia de forţă
Se consider( o func(ie scalar( U(x,y,z) exprimată cu coordonatele punctului, cu ajutorul c(reia pot fi scrise componentele for(ei astfel:
;;
xyz
UUU
FFF
xyz
¶¶¶
¶¶¶
===
(1.118.)
Funcţia U se nume(te func(ie de for((, iar for(a
F
se nume(te for(( conservativ( şi derivă din funcţia de forţă U.
Condi(iile lui Cauchy, de existen(( pentru func(ia U sunt:
;;
yy
xx
zz
FF
FF
FF
yxzyxz
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶¶¶¶¶
===
(1.119)
Deci for(a conservativ( este:
UUU
FijkgradUU
xyz
¶¶¶
¶¶¶
=++==Ñ
(1.120)
unde operatorul
Ñ
(nabla), numit şi operatorul Hamilton este un operator vectorial, care transformă un scalar într-un vector.
Lucrul mecanic elementar este:
UUU
dLFdrdxdydzdU
xyz
¶¶¶
¶¶¶
=×=++=
(1.121)
iar lucrul mecanic total va fi:
1
0110
010
M
MMMM
MMM
LFdrdUUU
===-
òò
(1.122)
unde:
10
111000
(,,);(,,)
MM
UUxyzUUxyz
==
Lucrul mecanic total al unei for(e conservative este independent de traiectoria parcurs( (i depinde numai de pozi(iile ini(iale (i finale ale punctului.
Dintre forţele conservative, deci care formează c(mpuri poten(iale, amintim greutatea şi forţa elastică.
Greutatea are proiec(iile pe axele reperului Oxyz (fig.1.19):
0;0;
xyz
GGGmg
===-
(1.123)
Prin urmare:
0;0;
UUU
mg
xyz
¶¶¶
¶¶¶
===-
(1.124)
Fig.1.19
Condi(iile lui Cauchy (1.119 sunt (ndeplinite (i deci for(a de greutate este o for(( poten(ial(. Funcţia de forţă pentru greutate este:
;
dUmgdzUmgzC
=-×=-+
(1.125)
Lucrul mecanic total LMoM efectuat de greutate, (n deplasarea punctului din pozi(ia M0, (n pozi(ia M are expresia:
0
00
()()
MM
LmgzCmgzCmgzz
=-+--+=--
(1.126)
Considerând că suportul for(ei elastice are o direcţe oarecare în spaţiu (fig.1.20) putem scrie:
;
exey
ez
UU
FkxFky
xy
U
Fkz
z
¶¶
==-==-
¶¶
¶
==-
¶
(1.127)
Condi(iile lui Cauchy (1.119) fiind (ndeplinite, for(a elastică este o for(( poten(ial(. Funcţia de forţă pentru forţa elastică este:
(
)
2222
;
22
dUkxdxkydykzdzU
kk
xyzCrC
=-×-×-×=
=-+++=-+
(1.128)
Fig.1.20
Lucrul mecanic total LMoM efectuat de for(a elastică, (n deplasarea punctului din pozi(ia M0, (n pozi(ia M este:
(
)
0
2222
0
()()
222
MMo
kkk
LrCrCrr
=-+--+=--
(1.129)
1.2.3. Puterea
Prin defini(ie, puterea este lucrul mecanic produs (n unitatea de timp:
L
P
t
=
(1.130)
c(nd for(a (i momentul ((n cazul rigidului) sunt constante (n timp, sau:
dL
P
dt
=
(1.131)
c(nd for(a (i momentul sunt variabile.
Fdr
PFv
dt
×
==×
(1.132)
sau considerând rotaţia elementară ca vector:
Md
PM
dt
q
w
×
==×
(1.133)
1.2.4. Randamentul mecanic
(ntr-o ma(in( for(ele motoare produc lucrul mecanic motor Lm. For(ele rezistente produc lucrul mecanic util Lu, (n scopul pentru care a fost construit( ma(ina (i lucrul mecanic pasiv Lp, folosit pentru (nvingerea frec(rilor.
mup
LLL
=+
(1.134)
Se define(te randamentul mecanic, notat cu (, raportul:
u
m
L
L
h
=
(1.135)
care este o m(rime adimensional( (i indică modul cum folose(te ma(ina, lucrul mecanic motor.
Exprimând lucrul mecanic util în funcţie de cel motor
ump
LLL
=-
şi înlocuindu-l în expresia (1.135), rezultă:
11
p
m
L
L
hj
=-=-
(1.136)
unde
/
pm
LL
j
=
se numeşte coeficient de pierderi.
Se constat( că, întotdeauna
1
h
<
.
1.2.5. Impulsul
Noţiunea de impuls a fost introdusă sub formă ştiinţifică de Leonardo da Vinci şi Galileo Galilei, numită de Newton şi cantitate de mişcare.
Prin defini(ie, impulsul unui punct material M de mas( m, care se mi(c( cu viteza
,
v
este un vector coliniar cu
v
(i a cărei expresie este (fig.1.21):
Hmv
=
(1.137)
Fig.1.21
1.2.6. Momentul cinetic
Momentul cinetic al unui punct material M de mas( m, care se mi(c( cu viteza
,
v
calculat (n raport cu un punct fix O, este prin defini(ie momentul impulsului punctului M, calculat (n raport cu acelaşi punct O:
o
KrHrmv
=´=´
(1.138)
Momentul cinetic
0
K
se mai numeşte şi momentul cantităţii de mişcare şi este un vector legat, analog vectorului moment al unei for(e (n raport cu un punct, definit (n static( (fig.1.22).
Fig.1.22
1.2.7. Energia mecanică
Energia cinetic(
Pentru un punct material de mas( m care are viteza
v
, prin defini(ie, energia cinetic( este:
2
1
2
Emv
=
(1.139)
Energia cinetică este o m(rime de stare, scalar( şi strict pozitiv( (mărime care caracterizează mişcarea, (n orice moment).
Energia poten(ial(
Energia potenţială este o mărime care caracterizează capacitatea mişcării nemecanice de a trece într-o anumită cantitate de mişcare mecanică.
Energia potenţială se pune în evidenţă când forţele care acţionează asupra punctului material sunt forţe conservative (derivă din funcţii de forţă U).
Dac( for(a conservativă
F
admite o func(ie de for(( U(x,y,z), func(ia poten(ial sau energia poten(ial( reprezintă func(ia de forţă, luată cu semnul minus.
(,,)(,,)
VxyzUxyz
=-
(1.140)
Pentru lucrul mecanic elementar (i total al for(ei
F
, care se deplasează din poziţia M0 în poziţia M se obţin expresiile:
(
)
(
)
0
0
0000
;
,,,,
MM
MM
dLdUdVL
dVVxyzVxyz
==-=
=-=-
ò
(1.141)
Semnifica(ia func(iei potenţial V(x,y,z) rezult(, admiţând c( punctul M0(x0,y0,z0) este punct de potenţial zero şi prin urmare, funcţia de forţă U(x0,y0,z0) respectiv, potenţialul V(x0,y0,z0) sunt nule. Exprimând lucrul mecanic al for(ei conservative
F
, c(nd punctul se deplaseaz( din M (n M0, rezultă:
(
)
(
)
(
)
0
0000
,,,,,,
MM
LVxyzVxyzVxyz
=-=
(1.142)
Energia poten(ial( a punctului material corespunz(toare pozi(iei M(x,y,z) reprezintă lucrul mecanic efectuat de for(a conservativ(
F
la deplasarea punctului din pozi(ia M (n pozi(ia M0, care prin conven(ie are poten(ialul nul.
Se nume(te energie mecanic( a punctului material ac(ionat de o for(( conservativ(, suma (ntre energia cinetic( (i energia poten(ial(.
m
EEV
=+
(1.143)
1.2.8. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului
material
Generalităţi
(n dinamica punctului material se (nt(lnesc dou( categorii de probleme:
Problema direct(. Se cunosc for(ele care ac(ioneaz( asupra punctului material ca natur(, suport, sens, m(rime (i se cere s( se stabileasc( mi(carea punctului material.
For(a este dat( de o expresie având forma:
(,,)
FFtrr
=
&
(1.144)
A cunoa(te mi(carea (nseamn( a ob(ine o rela(ie vectorial( de tipul:
()
rrt
=
(1.145)
Legea fundamental( a dinamicii este:
maF
=
(1.146)
Cum accelera(ia este
ar
=
&&
şi ţinând seama de relaţia (1.144) se scrie:
(,,)
mrFtrr
=
&&&
(1.147)
S-a ob(inut astfel o ecua(ie diferen(ial( de ordinul doi care reprezint( ecua(ia diferen(ial( a mi(c(rii. Aceast( ecua(ie vectorial( se proiecteaz( pe axe (i se solu(ioneaz( sub form( scalar(.
Problema invers(. Se cunoa(te mi(carea, dată de o relaţia (1.145) (i se cere for(a
F
care produce mi(carea. Pentru aceasta se deriveaz( de dou( ori (n raport cu timpul rela(ia (1.145) (i se introduce (n rela(ia fundamental( a dinamicii scris( sub forma (1.146). Se ob(ine astfel ecua(ia diferen(ial( a mi(c(rii.
(n general problema nu este univoc determinat(, deoarece nu se poate stabili (i natura for(ei.
Ecua(ia diferen(ial(, sub formă vectorială (1.147), proiectat( pe un sistem de axe, convenabil ales conduce la urm(toarele ecua(ii scalare, func(ie de sistemul de coordonate în care se lucrează.
În sistemul de coordonate carteziene:
xxx
yyy
zzz
maFmxF
maFsaumyF
maFmzF
ìì
==
ïï
==
íí
ïï
==
îî
&&
&&
&&
(1.148)
unde
,,
xyz
FFF
reprezint( proiec(iile pe axele Ox, Oy (i respectiv Oz ale rezultantei for(elor care ac(ioneaz( asupra punctului material.
1.2.9. Teoremele generale în dinamica
punctului material
a.Teorema impulsului
Derivata (n raport cu timpul a impulsului unui punct material este egal( (n fiecare moment cu rezultanta for(elor care ac(ioneaz( asupra punctului.
Deriv(nd (n raport cu timpul impulsul dat de relaţia (1.137) se obţine:
Hmvma
==
&
&
(1.149)
Cum în baza legii fundamentale a dinamicii (1.146),
maF
=
, rezultă:
HF
=
&
(1.150)
Proiect(nd pe axe rela(ia (1.150) se ob(ine:
;;
xxyyzz
HFHFHF
===
&&&
(1.151)
Conservarea impulsului
Dac( (n timpul mi(c(rii, punctul material este izolat sau rezultanta forţelor care acţionează asupra acestuia este nul(, atunci:
00;
FHHC
=Þ==
&
(1.152)
Deci impulsul se conserv(, adic( p(streaz( (n timp aceea(i valoare. Constanta
C
se determin( din condi(iile ini(iale ale problemei.
Este posibil s( se conserve (n timp o singur( component( a impulsului. Astfel, dac(:
00;
xxx
FHHC
=Þ==
&
(1.153)
(n acest caz se conserv( componenta impulsului dup( axa Ox.
b. Teorema momentului cinetic
Derivata (n raport cu timpul a momentului cinetic calculat (n raport cu un punct fix O, este egal( cu momentul (n raport cu acela(i punct al rezultantei for(elor care ac(ioneaz( asupra punctului material.
Deriv(nd (n raport cu timpul expresia momentului cinetic (1.138), rezult(:
0
KrmvrmvrmarF
=´+´=´=´
&
&&
(1.154)
Cum
0
rFM
´=
reprezintă momentul în raport cu punctul O, al rezultantei forţelor care acţionează asupra punctului material, rezult( teorema momentului cinetic:
00
KM
=
&
(1.154’)
Proiect(nd pe axe, rela(ia (1.155) se ob(ine:
;;
xxyyzz
KMKMKM
===
&&&
(1.155)
Conservarea momentului cinetic
Dac( (n timpul mi(c(rii, punctul material este izolat sau momentul rezultant care acţionează asupra acestuia este nul, rezult(:
000
00;
MKKC
=Þ==
&
(1.156)
Deci momentul cinetic se conserv(, adic( p(streaz( aceea(i valoare (n timp. Constanta
C
se determin( din condi(iile ini(iale.
Se poate conserva o singur( component( a momentului cinetic, de exemplu:
00;
xxx
MKKC
=Þ==
&
(1.157)
(n acest caz se conserv( componenta momentului cinetic dup( axa Ox.
c. Teorema energiei cinetice
Varia(ia energiei cinetice a punctului material (n intervalul de timp dt, este egal( cu lucrul mecanic elementar, efectuat de rezultanta for(elor aplicate punctului (n acela(i interval de timp (forma diferenţială).
Diferenţiind relaţia energiei cinetice şi ţinând seama de legea fundamentală a mecanicii (1.146),
Fma
=
, rezult(:
(
)
22
11
()
22
dv
dEdmvmdvmvdvmvdtmadrFdrdL
dt
======×=
Termenul din st(nga reprezint( o diferen(ial( total( exact(, pe c(nd termenul din dreapta
xyz
dLFdxFdyFdz
=++
reprezint( o diferen(ial( de tip Pfaff, care este o diferen(ial( total( exact(, numai (n cazul particular al for(elor conservative. Forma diferenţială a teoremei energiei cinetice este:
dEdL
=
(1.158)
Integr(nd rezult( teorema energiei cinetice, forma integral(:
01
1
oMM
EEL
-=
(1.159)
Varia(ia energiei cinetice (ntre pozi(ia ini(ial( (i final( a mi(c(rii punctului material este egal( cu lucrul mecanic total efectuat (n deplasarea finit( (ntre cele dou( pozi(ii, de rezultanta for(elor aplicate punctului material.
Conservarea energiei mecanice
C(nd rezultanta for(elor aplicate punctului material, deriv( dintr-o func(ie de for((, energia mecanic( a punctului se conserv(.
Se consider( teorema energiei cinetice scris( sub form( diferen(ial( (i se presupune c( for(ele deriv( dintr-o func(ie de for((, adic(:
dLdU
=
(1.160)
Cum energia poten(ial( este
VU
=-
, atunci:
dVdU
=-
Din rela(iile (1.158) (i (1.160) rezult(:
(
)
(
)
;0;0
dEdUdEUdEV
=-=+=
(1.161)
de unde:
.
m
EEVconst
=+=
(1.162)
44
43