14. Mişcări particulare ale punctului material 14.1. Mişcarea rectilinie

Traiectoria mişcării rectilinii este o dreaptă. Dacă se alege ca axa 0x chiar traiectoria mişcării, notând cu O reperul pe axa Ox, poziţia punctului la un moment dat este determinată prin coordonata:

)t(xxOA == (14.1) care este chiar ecuaţia orară a mişcării. Pentru studiul mişcării mai sunt necesare condiţiile iniţiale: spaţiul iniţial şi viteza iniţială

0x

0v . 14.1.1. Mişcarea rectilinie şi uniformă

Caracteristic pentru această mişcare este:

.constvv 0 == (14.2)

Din alegerea sistemului de referinţă rezultă:

.0z;0y == (14.3)

Din alegerea condiţiile iniţiale: la 0t = → 0xx = , 0vv = rezultă : 0x vxv == & . (14.4)

Prin integrarea relaţiei (14.4) rezultă: 10 Ctvx += , (14.5) iar din condiţiile iniţiale rezultă . 01 xC = Legea de mişcare este deci: 00 xtvx += . (14.6)

Reciproc se poate arăta că singura mişcare cu acceleraţie nulă este mişcarea rectilinie şi

uniformă. Demonstraţie. Dacă 0a = rezultă că 0x =&& ; 0y =&& ; 0z =&& .

Prin integrare obţinem: 0xAtx += ; 0yBty += ; 0zCtz += , (14.7) unde sunt constante de integrare având ca sens fizic viteza iniţială ( A,B,C) şi spaţiul iniţial ( .

,z,y,x,C,B,A 000

000 z,y,x ) Eliminând timpul între relaţiile (14.7) rezultă:

C

zzB

yyA

xx 000 −=

−=

− (14.8)

care reprezintă ecuaţia unei drepte.

Componentele vitezei punctului sunt: Axv x == & ; Byv y == & ; . Czvz == &

Modulul vitezei este: .constCBAvvvv 2222z

2y

2x =++=++=

Diagramele mişcării, care ilustrează variaţia în timp a legii de mişcare, vitezei şi acceleraţiei sunt prezentate în Figura 14.1:

c)b)a)

a=0

v0

x0

a

O t

v

O t

x

Ot

Figura 14.1

14.1.2. Mişcarea rectilinie uniform variată. Traiectoria mişcării rectilinii uniform variate este o dreaptă. Caracteristic pentru această mişcare este: .constaa 0 == (14.9) Dacă axa Ox coincide cu traiectoria, rezultă: 0x axa == && (14.10) Condiţiile iniţiale sunt : ; ; . 0t = 0xx = 0vv = Integrând relaţia (14.10) obţinem:

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

+=

21

20

10

CtCta21x

Ctax&

Determinarea constantelor de integrare se face cu ajutorul condiţiilor iniţiale. Rezultă:

.xC,vC 0201 ==

În acest caz legea mişcării devine:

00

20 xtv2ta

x ++= , (14.11)

iar viteza este: . (14.12) 00 vtav +=

Mişcarea uniform variată poate fi uniform accelerată sau uniform încetinită după cum vectorii v şi a au acelaşi sens sau sensuri contrare. Diagramele mişcării uniform accelerate sunt date în figura următoare:

a0x0

ttO

x

tO

v

x0

v0

a) b)

O

a

a>0

c)

Figura 14.2

14.2. Mişcarea circulară.

14.2.1. Studiul mişcării circulare a punctului material în coordonate carteziene.

y

x

v vy

vx

R

y

O

M(x,y)

θ(t)x

Figura 14.3

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt: θ= cosRx ; θ= sinRy (14.13) unde: )t(θ=θ ω=θ = viteza unghiulară &

ε=θ = acceleraţia unghiulară. &&

Eliminând parametrul între relaţiile (14.13) obţinem ecuaţia explicită a traiectoriei:

θ

. (14.14) 222 Ryx =+ Viteza punctului are componentele:

. (14.15) ⎪⎩

⎪⎨⎧

ω=θω=θθ==

ω−=θω−=θθ−==

xcosRcosRyv

ysinRsinRxv

y

x

&&

&&

Deci expresia vitezei în coordonate carteziene este:

v

)jxiy(jviv . (14.16) yx +−ω=+=

Deoarece vectorul de poziţie al punctului (raza) are expresia: jyixr += (14.17)

din relaţiile (14.16) şi (14,17) se vede că viteza este perpendiculară pe rază ( 0rv =× ⇔ v şi r sunt vectori ortogonali). Modulul vitezei punctului este: ω=+ω=+= Ryxvvv 222

y2x . (14.18)

Acceleraţia punctului în mişcarea circulară are componentele:

. (14.19) ⎪⎩

⎪⎨⎧

ω−ε=θω−θε===

ω−ε−=θω−θε−===22

yy

22xx

yxsinRcosRyva

xycosRsinRxva

&&&

&&&

Expresia acceleraţiei punctului în coordonate carteziene este: a = i)xy( 2ω−ε− + j)yx( 2ω−ε . (14.20) Modulul acceleraţiei este:

422y

2x Raaa ω+ε=+= . (14.21)

14.2.2. Studiul mişcării circulare a punctului material în coordonate polare.

Ecuaţiile parametrice ale mişcării circulare a punctului material în coordonate polare sunt: (14.22) .constRr == )t(θ=θ .

Din relaţiile (14.22) se vede că :

Figura 14.4

0rr == &&& = viteza unghiulară ω=θ&

ε=θ&& = acceleraţia unghiulară. Viteza în coordonate polare are expresia: θθρ ω=θ+ uRur&= urv & . (14.23) Modulul vitezei este: ω= Rv .

Acceleraţia punctului în mişcare circulară are, în coordonate polare, expresia: a = θρθρ ε+ω−=θ+θ+θ− uRuRu)rr2(u)rr( 22 &&&&&&& . (14.24) Modulul acceleraţiei este:

4222 Raaa ω+ε=+= θρ . (14.25)

14.2.3. Studiul mişcării circulare a punctului material în coordonate Frenet

- Ecuaţia orară a mişcării circulare a punctului în coordonate Frenet este:

n

vaτ

an

θ(t)

Ma

x

τ

M0

Figura 14.5

== )t(ss θ= RMM0 , (14.26) unde )t(θ=θ . - Viteza punctului este: τω=τθ=τ= RRsv && ; (14.27) Modulul vitezei punctului este deci: ω= Rv . (14.28)

- Acceleraţia punctului este:

nssa2

ρ+τ=&

&& (14.29)

şi are componentele: - acceleraţia tangenţială; ε=θ==τ RRsa &&&&

2222

n RR

Rsa ω=ω

=ρ

=&

- acceleraţia normală.

- Modulul acceleraţiei punctului este: 422

n2 Raaa ω+ε=+= τ . (14.30)

Cazuri particulare

- Dacă .const=ω , rezultă a 0=τ , , deci mişcarea circulară este uniformă ; 0a n ≠- Dacă .const=ε , rezultă a , a0≠τ , deci mişcarea circulară este uniform variată. 0n ≠În acest caz, dacă ω şi au acelaşi sens, mişcarea este uniform accelerată, iar dacă ε ω şi ε au sensuri opuse mişcarea este uniform încetinită. 14.2.4. Mişcarea uniformă a punctului pe elicea circulară.

Dacă punctul material se mişcă pe suprafaţa unui cilindru circular, având viteza orientată cu un unghi α faţă de orizontală, atunci el descrie o traiectorie numită elice circulară.

Figura 14.6

Dacă suprafaţa cilindrului se secţionează după generatoarea şi se desfăşoară în plan, se obţine imaginea din Figura 14.6 b. Din figură rezultă că ecuaţiile parametrice ale elicei circulare (care sunt de fapt coordonatele punctului M care descrie elicea circulară) sunt:

'00MM

αθ=θ=θ= tgRz;sinRy;cosRx . (14.31) Din Figura 14.6 b reiese că:

R2

ptgπ

=α , (14.32)

unde p = pasul elicei circulare = distanţa dintre două puncte consecutive ale elicei măsurată pe aceeaşi generatoare. De unde:

θ=πθ

=π

θ= m2p

R2pRz ; (14.33)

„m” se numeşte modul şi este o constantă a elicei.

Viteza punctului pe elice are componentele:

. (14.34) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=θ==

ω=θθ==

ω−=θθ−==

mmzv

xcosRyv

ysinRxv

z

y

x

&&

&&

&&

Vectorul viteză are deci expresia:

kmjxiyv ω+ω+ω−= . (14.35) Modulul vitezei punctului este: .constmRmyxv 22222 =+ω=++ω= (14.36)

Deoarece v este constant (ca dată a problemei ), iar .constmR 22 =+ , rezultă din

(14.36) că: .const=ω , deci . (14.37) 0=θ&&

Se mai poate scrie că: α+ω=α+ω=α++ω= 22222222 tg1RtgRRtgRyxv sau

)cos(

Rvαω

= . (14.38)

Acceleraţia punctului are componentele:

. (14.39)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

ω−=θθ−===

ω−=θθ−===

0zva

ysinRyva

xcosRxva

zz

22yy

22xx

&&&

&&&&

&&&&

Vectorul acceleraţie are expresia: jyixa 22 ω−ω−= . (14.40) Modulul acceleraţiei punctului este: 2222 Ryxa ω=+ω= . (14.41)

• Calculul razei de curbură a elicei circulare se poate face în coordonate Frenet. Ecuaţia orară a mişcării pe elicea circulară este:

αθ

==cosR)MM(arcs 0 ,

de unde αω

=αθ

=cosR

cosRs&

& .

Acceleraţia normală a punctului are formula ρ

=2

nsa&

, deci raza de curbură va fi dată de

relaţia:

n

2

as&

=ρ . (14.42)

Dar 22

n aaa τ−= , unde 0sa ==τ && deoarece .const=ω Deci . Înlocuind acest rezultat în (14.42) obţinem:

2n Raa ω==

α

=ωα

ω=ρ 222

22

cosR

R)(cosR . (14.43)

• Pentru calculul razei de curbură a elicei circulare se mai poate utiliza relaţia (13.63)

av

v3

×=ρ .

Ţinând seama de relaţiile (14.38), (14.35) şi (14.40), rezultă:

)(cos

Rv 3

333

αω

= ;

k)yx(j)(tgxRi)(tgyR0yx

)(tgRxykji

av 22333

22+ω+αω−αω=

ω−ω−αωωω−=× ;

)cos(

R)(tg1RR)yx)((tgRav32

23222223

αω

=α+ω=++αω=× .

Deci: )(cos

R

)cos(R

)(cosR

avv

232

3

33

3

α=

αωα

ω

=×

=ρ .