11. Statica firelor

11.1 Generaliti

Prin fir se nelege n mecanic acel corp care se caracterizeaz prin urmtoarele proprieti: a) are o dimensiune (lungimea) mult mai mare dect celelalte dou dimensiuni (ale seciuni transversale); b) este inextensibil; c) este flexibil, adic poate lua orice form fr s opun rezisten (consecina acestei proprieti este c un fir poate fi ntins, dar nu poate fi comprimat sau supus la ncovoiere); d) este torsionabil, adic nu se opune cnd i se aplic un moment de rsucire.

n general aceste proprieti trebuie privite ca ipoteze simplificatoare, deoarece n realitate corpurile care sunt tratate ca fire nu ndeplinesc integral aceste condiii.

Ca exemple de fire se pot da cablurile, lanurile, curelele de transmisie, conductoarele electrice etc.

Principalele probleme pe care le urmrete statica firelor sunt: a) stabilirea formei de echilibru a firului; b) determinarea eforturilor interioare din firele supuse aciunii unor fore exterioare.

Ipotezele c firul este flexibil i torsionabil au drept consecin faptul c n orice seciune torsorul de reducere al forelor interne este format numai dintr-o for.

Firele pot fi solicitate de fore exterioare repartizate, de fore concentrate sau concomitent de fore concentrate i fore repartizate. n cele ce urmeaz va fi studiat numai cazul firului solicitat de forte repartizate. n acest caz forma de echilibru a firului se numete curb funicular.

11.2. Ecuaiile vectoriale de echilibru ale firelor suspendate

Se consider un fir AB solicitat de o for repartizata p , reprezentnd fora pe unitatea de lungime (Figura 11.1). Ca exemplu de for repartizat se poate da greutatea unui cablu sau chiciura de pe un conductor electric. n general p este o funcie de coordonata curbilinie s adic p = p (s).

A

C C

B

s

p

s

T(s+s)

C-T(s) C

ps

p

D

Figura 11.1 Figura 11.2 Pentru studiul echilibrului se consider un arc mic CC, de lungime s, a crui poziie este

determinat de coordonata curbilinie s. Izolnd poriunea de fir CC (v. Figura 11.2) se introduc la capete forele de legtur, care sunt funcie de coordonata s ca mrime i sens. Astfel n C se introduce fora T (s), care este de sens opus lui s, i n C fora T (s+s). Rezultanta forelor exterioare pe arcul CC este p s, aplicat n punctul D (se poate admite c p este constant pe arcul mic s).

Condiiile vectoriale de echilibru pentru arcul CC sunt:

( ) ( ) ( ) 0spsT-ssT:0F i =++= (11.1)

( ) ( )[ ] ( ) 0spDC'sTCC':0MC' =+= (11.2) mprind cu s i trecnd la limit, din (11.1) rezult :

0ssplim

s(s)Ts)(sTlim

0s0s=+

+

(11.3)

adic :

pdsTd+ =0 . (11.4)

Efectund aceleai operaii cu relaia (11.2), se obine:

0sspDC'lim(s)T

sCC'lim

0s0s=

+

(11.5)

n care cel de al doilea termen tinde la zero cnd s0 (datorit factorului D'C ), iar n primul termen:

1ulims

CC'lim

CC'

CC'lims

CC'lim CC'CC'0s

0s

0s===

(11.6)

deoarece versorul CCu ' al corzii CC tinde ctre versorul al tangentei n C, cnd CC; semnul este dat de sensul lui s. Deci relaia (11.5) se scrie: (s)T = 0 . (11.7)

Cum aceti vectori au n general valori diferite de zero rezult c sunt paraleli, adic se poate scrie: T = T . (11.8)

Aceast relaie arat c efortul din fir ntr-un punct este dirijat dup tangenta n acel punct. Acest efort solicit firul la ntindere i poart impropriu numele de tensiunea din fir.

Relaiile (11.4) i (11.8) reprezint ecuaiile generale de echilibru ale unui fir solicitat de o fora repartizat p , scrise sub forma vectorial.

11.3. Ecuaiile scalare de echilibru n sistemul cartezian

n sistemul cartezian vectorul de poziie r este funcie de coordonata curbilinie s (vezi Figura 11.3): r = r (s) = x(s) i + y(s) y + z(s) k , (11.9) de unde:

kdsdzj

dsdyi

dsdx

dsrd

++= . (11.10)

Dar se tie c versorul tangentei este:

ds

rd = (11.11)

i are ca proiecii pe axe cosinusurile directoare, deci:

dsdxcos = ;

dsdycos = ;

dsdzcos = (11.12)

Relaia dintre cosinusurile directoare se scrie n

acest caz:

1dsdz

dsdy

dsdx 222

=

+

+

. (11.13)

Figura 11.3

Az

CC

0

x

y

Bs

r(s)

r(s+s)

innd seam de (11.8) i (11.12), proieciile pe axe ale tensiunii din fir sunt:

dsdxT)cos(TTx == ; ds

dyT)cos(TTy == ; dsdzT)cos(TTz == . (11.14)

Fora repartizat p , n funcie de proieciile sale pe axe, se scrie:

kpjpipp zyx ++= (11.15) Proiectnd pe axele sistemului cartezian relaia (11.4) i innd seam de (11.14) i (11.15)

se obin ecuaiile de echilibru ale firului, scrise n acest sistem de axe:

=+

=+

=+

0pdsdzT

dsd

0pdsdyT

dsd

0pdsdxT

dsd

z

y

x

. (11.16)

Ecuaiile (11.13) i (11.16) alctuiesc un sistem ale crui necunoscute sunt tensiunea din fir T i

coordonatele x,y,z.

11.4. Ecuaiile scalare de echilibru n sistemul Frenet

Sistemul Frenet are originea n punctul considerat M, iar ca axe tangenta cu versorul , n sensul parametrului s cresctor, normala principal cu versorul n i binormala cu versorul .

Poziia lui M este definit de coordonata curbilinie s (Fig. 11.4). Plecnd de la relaia (11.8) i aplicnd regula de derivare a unui produs se obine (innd seama i de prima formula a lui Frenet):

A

s

n

r

M

B

0 Figura 11.4

nT

dsdT

dsdT

dsdT

ds)d(T

dsTd

+=

+== . (11.17)

Introducnd relaia (11.17) n (11.4) se obine

ecuaia de echilibru:

0pnT

dsdT

=++ . (11.18)

Fora repartizat p se poate scrie, n funcie de proieciile sale pe axele acestui triedru,

astfel: pnppp np ++= . (11.19)

Proiectnd pe axe ecuaia (11.18) i innd seam de (11.19) se obine sistemul:

=

=+

=+

0p

0pT

0pdsdT

n

(11.20)

care reprezint ecuaiile scalare de echilibru scrise n sistemul de axe Frenet.

Din a treia ecuaie a sistemului (11.20) se vede c fora repartizat p se gsete n planul osculator, deoarece are proiecii numai pe tangent i normala principal.

y

A

B

p0

xz

Figura 11.5

11.5. Echilibrul firului omogen greu suspendat la ambele capete

Firul omogen greu reprezint un caz particular al

firului ncrcat cu o sarcina repartizat, care n acest caz este greutatea p a unitii de lungime.

Se alege urmtorul sistem de axe (v. Figura 11.5): axa 0y - verticala ce trece prin captul A al firului; planul x0y - definit de axa 0y i captul B al firului; axa 0z aleas astfel ca sistemul s fie unul drept. Prin urmare:

. (11.21)

===pp

0pp

y

zx

Sistemul (11.16) se scrie n acest caz:

=

0

dsdxT

dsd (11.22)

0pdsdyT

dsd

=

. (11.23)

=

0

dsdzT

dsd . (11.24)

Componenta orizontal a tensiunii din fir

Aceast component se calculeaz din relaia (11.22), innd seama de expresiile (11.14) ale componentelor tensiunii din fir, adic:

====

constTTcos

dsdxT0

dsdxT

dsd

x . (11.25)

Valoarea constantei din relaia (11.25) se noteaz cu H, deci:

constHdsdxT == . (11.26)

Relaiile (11.25) i (11.26) arat c n orice

punct componenta orizontal a tensiunii dintr-un fir omogen greu este aceeai i egal cu valoarea tensiunii din punctul A0, cel mai de jos, al curbei funiculare. n acest punct valoarea tensiunii este minim deoarece aici tensiunea are o singur component, cea orizontal H, pe cnd n orice alt punct M1, M2 are att componenta orizontal H ct i o component vertical variabil de la punct la punct (v. Figura 11.6).

A

HM1

V1T1 A0

H

V2

B

T2

HM2

Figura 11.6

Curba funicular. Ecuaia lniorului

Relaia (11.26) se mai poate scrie astfel:

dxdsHT = . (11.27)

Introducnd (11.27) n (11.23) se obine:

pdxdyH

dsd

=

. (11.28)

Dar

y'dxdy

= i 222 )(y'1dxdsdydxds +=+= . (11.29)

nlocuind relaiile (11.29) n (11.28) i innd seama c H = const. se obine ecuaia diferenial:

dxHp

)(y'1dy'

2=

+. (11.30)

Integrnd (11.30) rezultant:

1CxHp)arcsh(y' += sau

+= 1CxH

pshy' . (11.31)

Separnd variabilele i integrnd nc o dat se obine ecuaia curbei funiculare:

21 CCxHpch

pHy +

+= . (11.32)

Dac se face notaia

apH

= , (11.33)

mrime care are dimensiunea unei lungimi, i (11.34) a/xC;yC 0102 == din relaia (11.32) se obine o alt form a ecuaiei curbei funiculare:

l

l/2

Af

A

A0

0 x

x'

B(l/2,yB)M(x,y)

y

a

s

B

f

Figura 11.7

axx

chayy 00

= . (11.35)

Pentru simplificarea formei ecuaiei

(5.45) se alege un sistem de axe care are axa Oy verticala ce trece prin punctul A0 al curbei funiculare, iar ordonata n origine s fie a (v. Figura 11.7). n acest caz se pun condiiile:

x = 0 dy/dx = 0 (tangenta orizontal) y = a. (11.36)

Introducnd (11.36) n relaia (11.35) se obine forma uzual a ecuaiei curbei funiculare:

axchay = , (11.37)

care reprezint ecuaia unui lnior cu parametrul a. Lungimea arcului de lnior Aceast lungime A0M se calculeaz, innd seama de relaia (11.37), astfel:

==+=+==x

0

x

0

22x

0

s

0 axashdx

axchdx

axsh1)(y'1dxdss . (11.38)

Expresia tensiunii din fir Tensiunea din fir se calculeaz cu ajutorul relaiilor (11.27), (11.33) i (11.37), astfel:

pyayH

axHch

axsh1H

dx)(y'1dx

HdxdsHT 2

2

===+=+

== . (11.39)