CAPITOLE SPECIALE DE ALGEBRA LINIARA Scoala doctorala, semestrul I

Specializarea : Matematica (cod DCA1) 28 ore de curs + 14 ore de seminar

FACULTATEA MATEMATICA SI INFORMATICA Evaluare: -lucrari de verificare, proiecte saptamanale pe teme fixate ( pondere 40%) -Colocviu (C) : referat si discutie asupra acestuia (pondere 60%) Obiective: Studentul va afla cateva teme importante de algebra liniara cu aplicatii in algebra, teoria operatorilor si analiza numerica. Programa:

1.Matrice peste un inel principal. Forma diagonal-canonica aritmetic echivalenta pentru o matrice peste un domeniu cu ideale principale. Cazul inelului euclidian. Exemple peste Z si peste k[X]. 2.Module libere peste un inel principal.. Rangul; invarianta sa. Teorema submodulului pentru un modul liber de rang finit peste un inel principal.Exemple in care nu are loc invarianta rangului (in cazul inelului necomutativ). 3.Teorema de structura a modulelor finit generate peste un inel principal. Factorii invarianti – teorema factorilor invarianti. Divizorii elementari. Legatura dintre acestia. 4.Aplicatii ale teoriei precedente la teoria matricelor ( la forma Jordan). Factorii invarianti si divizorii elementari ai unei matrice/ ai unui endomorfism al unui spatiu vectorial finit dimensional. Metode de obtinere; interpretare; utilizare in probleme de algebra liniara. Descompunerea unei matrice in suma unei matrice nilpotente si a unei matrice diagonale. Ideea aceasta tradusa in algebre. 5.Functii de matrice. Definitii; exemple;utilizari. 6.Inverse generalizate ale unei matrice. Definireainverselor generalizate; teoria lui Moore-Penrose. Aplicatii in teoria operatorilor si in analiza numerica. Generalizarea ideii de invers generalizat in inele; inele normale. 7.Aplicatii. Rezolvarea sistemelor de ecuatii diofantice liniare. 8. Structuri liniare. Notiuni generale de independenta liniara,dependenta liniara si rang. Tipuri interesante de matrice: simetrice, antisimetrice, unitare (ortogonale), normale, triunghiulare, diagonale, nilpotente. Bibliografie:

• J.R.Magnus.: Linear structures, Charles Griffin, London, 1988. • N.Bourbaki: Algebre Chap.2, Hermann Paris. • I.Mirsky: Transversal Theory, J.Willey, 1982. • Ion,I.D. si Radu, N.: Algebra, Ed.Didactica si Pedagogica,1992.