CALCULE DE ARII ŞI VOLUME

PIRAMIDA REGULATĂ

Elementele piramideiV

A B

CD

OM

AB = l (latura bazei);VA=VB=VC=VD = m (muchia laterală);OA=OB=OC=OD = rb (raza bazei);

VO = h ( înălţimea piramidei);OM = ab (apotema bazei);

VM = ap ( apotema piramidei);

m

h

l

ap

ab

Formule V

A B

CD

OM

ap2 = h2 + ab

2

m

h ap

Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.

m2 = h2 + rb2

Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOC.

m2 = + ap2

2

2

l

l

3.

2.

1.

Demonstraţie : Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMC.

ab

Aria laterală a piramideiV

A B

CD

OM

m

h ap

l

Prin aria laterală a unei piramide se înţelege suma ariilor feţelor lateraleObs : Al = n .

AfUnde Al = aria laterală a piramidei

n = numărul de feţe laterale ale piramidei

Af = aria unei feţe

Obs :

Ţinând cont că 2

pf

alA

obţinem că

2pb

l

aPA

Aria totală a piramideiV

A B

CD

OM

m

h ap

l

Prin aria totală a unei piramide se înţelege suma dintre aria laterală şi aria bazei

At = Al + Ab

Unde At = aria totală a piramidei

Al = aria laterală a piramidei

Ab = aria bazei

Volumul piramideiV

A B

CD

OM

m

h ap

l

Prin volumul unei piramide se înţelege o treime din produsul dintre înălţimea piramidei şi aria bazei

Unde V = volumul piramidei

Ab = aria bazei

h = înălţimea piramidei

3hAV b

Aplicaţii

2pb

l

aPA

63l

V

1. Într-o piramidă triunghiulară regulată înălţimea are 6 cm şi latura bazei are 12 cm. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul piramidei

OA

B

C

M

6

12

Pb=12+12+12=36 cm

ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM2 =VO2 + OM2

OM=ab =

= 32

VM =

34 cm 372lA⇒

3364

32

lAb cm2 ⇒

3108336372 tA

33723

63363

cmhAV b

cm

cm2

cm2

Aplicaţii

2pb

l

aPA

V

2. Într-o piramidă patrulateră regulată muchia laterală are 6 cm şi aria bazei are 16 cm2. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul piramidei

A B

C

M

Pb=4 . 4 =16 cm

ΔVMC=dreptunghic ⇒ VC2 =VM2 + MC2

232lA⇒ 1221616232 tA

3

3732

37216

3cmhAV b

D

O

Ab=l 2=16⇒ l =4 cm;

4

6 VM2=36 – 4= 32 ⇒ VM = 24cm2

ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM2 =VO2 + OM2

32=4 + VO2 ⇒ VO = 72 cm

cm2

cm

36

V

3. Lungimea înălţimii unei piramide hexagonale regulate VABCDEF este egală cu 9 cm, iar măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei este de 60o. Calculaţi: a) apotema piramidei ; b) aria totală a piramidei;

c) distanţa de la mijlocul muchiei AF la planul (VCD).

A

B C

D

EF

O M

9

Se demonstrează că unghiul dintre faţa VCD şi planul bazei este VMO.ΔVOM = dreptunghic ⇒sin(∡VMO) = VO/VMDeci VM = Din ΔVOM= dreptunghic, deducem OM = 33 2

3l

Deci AB = 6 cm. ⇒Pb = 36 cm 2pb

l

aPA

3108

354bA 3162tA

Pentru distanţa de la N la planul VCD , ducem perpendiculara NP pe VM

N

NP⊥VM , NP⊥CD (CD⊥VMN) ⇒NP⊥(VCD)

cm

cm2

cm2 cm2

Pentru a calcula NP , considerăm triunghiul isoscel VNM

V

N MO

P

Aria ΔVMN = MN . VO /2 = 327

Aria ΔVMN = VM . NP /2 = 3272

36

NP

Deci NP = 9 cm.

Altfel : Deoarece MN = VM = VN ⇒ ΔVMN = echilateral , deci NP = VO = 9 cmDeci distanţa de la N la planul (VCD) este egală cu 9 cm.

cm2

SFÂRŞIT