c2_aleatoare-dvorak_r (2).pptx
TRANSCRIPT
Laborator C2Variabile aleatoare
2
Laboratorul #7
Ascultam: Antonin Dvorak - Simfonia a 9-a in mi minor “Din lumea noua” Orchestra: Columbia Symphony OrchestraDirijor: Bruno Walter
Invatam: Variabile aleatoare
3
EXIGENŢE INIŢIALE (noţiuni ce trebuie cunoscute pentru a înţelege capitolul curent)
frecvenţă absolută frecvenţă cumulată
histogramă
de cîte ori se repetă... o valoare.
... STRICT o anumită valoare
... toate valorile < o anumită valoare
(suma frecvenţelor tuturor valorilor mai mici decît o anumită valoare)relaţia dintre fiecare valoare si frecvenţa ei
frecvenţa unei valori
valori discrete sau continui
entitate ce-şi schimbă valoarea
valoare
variabilă
4
EXIGENŢE FINALE (noţiuni pe care le veti invata astazi)
• VARIABILE ALEATOARE:• discrete• continui
Exemplu de repartitii discrete: Repartiţia binomiala (Bernoulli)
REPARTIŢIA: - exprimă relaţia dintre fiecare valoare şi probabilitatea corespunzătoare ei
- tabel cu fiecare valoare şi probabilitatea ei
Exemplu de repartitii continue: Repartiţia normala
Functiile Excel: BINOM.DIST si NORM.DIST
5
VARIABILE ALEATOARE DISCRETE
VALORI: a
1, a
2,... a
n
LEGEA DE REPARTITIE
PROBABILITĂŢI: p1, p
2,... p
n
Funcţia de probabilitate (sau “distribuţia de probabilitate”):
probabilitatea “absolută” a unei valori ak
f(ak) = P(A=a
k) = P(a
k) = p
k stiind ca Funcţia de repartie: probabilitatea “cumulată” a tuturor
valorilor mai mici de o anumită valoare a
i
F(a) = P(A<=ai) =
REPARTITIA BINOMIALADefinita de doua conditii:
• Evenimente care pot avea doar doua rezultate diferite intre ele (succes/insucces)
• Probabilitatea fiecarui rezultat este constanta (p pentru succes si (1-p) pentru insucces)
Probabilitatea ca din n evenimente, un numar de k evenimente sa fie de succes este data de Functia de probabilitate de forma: P(i=k)=f(k,n,p)=
Exemplu: operatii lipsite de complicatii (succes) si operatii care au complicatii (insucces) cu rata/probabilitatea de succes p=90% operatii (insucces de 10%)
7
VARIABILE ALEATOARE CONTINUE
VALORI: a1, a
2,... a
n intr-un interval
continuu, cu n ∞
PROBABILITĂŢI: p1, p
2,... p
n cu p
k 0
Valorile a1, a
2,... A
n, fiind valori reale:
● variaza intre -∞ si +∞• sint o infinitate de valori
Probabilitatea unei valori continui este nula
8
VARIABILE ALEATOARE CONTINUE
Funcţia densitate de probabilitate este acea functie f(x) pentru care
P(A<+∞) =
Funcţia de repartitie F(x) reprezinta suma ariilor suprafetelor dintre abscisa si graficul functiei densitate de probabilitate
0 5 101520253035400.00000
0.01000
0.02000
0.03000
0.04000
0.00000
0.20000
0.40000
0.60000
0.80000
1.00000
DISTRIBUTIA NORMALAParametri: Media valorilor este notata
cu µ Dispersia este notata cu σ2
Functia densitatii de probabilitate este:
f(x) = cu x intre -∞ si +∞
Functia de repartitie este:
F(x) =
Copyright 2010 10
ComparatiiVAR. ALEATOARE DISCRETE
Functia de probabilitatef(a
k) = P(A=a
k) = P(a
k) = p
k
VAR. ALEATOARE CONTINUE
Densitate de probabilitateP(a<=X<=b)=P(-∞<=X<=+∞)= = 1
Functia de repartitie
F(a) = P(A<=ai) =
Functia de repartitie
FUNCTII EXCEL Repartitia binomiala (Bernoulli): BINOM.DIST
calculaza valoarea Functiei de probabilitate sau a Functiei de repartitieRepartitia normala (Gauss-Laplace): NORM.DIST
calculaza valoarea Densitatii de probabilitate si a Functiei de repartitie
Sintaxe
=BINOM.DIST(k, n, p, z)=NORM.DIST (x, σ, µ, z)
k-nr. de succese, n – nr. de evenimente, p – probabilitatea unui succesx – valoarea, σ – dispersia, µ - valoarea medie
z = 0 pt. Functia/Densitatea de probabilitatez = 1 pt Functia de repartitie
12
EXERCITII1. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic Functia de
probabilitate si Functia de repartitie pentru repartitii binomiale cu n=20 sau 40 si p=50% si 70%
2. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic Densitatea de probabilitate si Functia de repartitie pentru o repartitie normala
4. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic probabilitatea valorilor din intervalul 12-22 in cazul unei repartitii normale
3. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic probabilitatea valorilor mai mici decit 18 in cazul unei repartitii normale
Copyright 2010 13
La revedere
Am ascultat: Antonin Dvorak - Simfonia a 9-a in mi minor
“Din lumea noua” Orchestra: Columbia Symphony
OrchestraDirijor: Bruno Walter
Am invatat: Variabile aleatoare