GRINZI CU ZBRELE STATIC NEDETERMINATE1.Stabilirea gradului de nedeterminare static

Sunt structuri cu zbrele cu noduri articulate care prezint un numr mare de legturi la teren i/s-au interioare fa de minimum necesar pentru a avea asigurat fixarea la teren i invariabilitatea geometric. n cazul structurilor cu zbrele cu noduri articulate se disting trei tipuri de ndeterminri:

A. Structuri cu zbrele cu noduri articulate nedeterminate exterior. Sunt structuri care prezint un numr mare de legturi fa de minimum necesar asigurrii fixrii la teren:

Fig. 1.72

B. Nedeterminarea interioar cnd structura prezint un numr mare de baze fa de minimum necesar asigurrii invariabilitii geometrice:

Fig. 1.73

C. Nedeterminarea mixt, cnd structura prezint att legturi la teren i bare suplimentare ct i minimum necesar pentru a avea asigurat invariabilitatea geometric i fixarea la teren:

Fig. 1.74

2. S.B. i necunoscutele metodeiS.B. este o structur cu zbrele cu noduri articulate static determinat

obinut prin suprimarea fie a reazemelor suplimentare, fie a barelor suplimentare, fie a reazemelor ct i a barelor suplimentare, alegerea S.B. depinznd de tipul de nedeterminare.

Necunoscutele problemei vor fi reaciunile i/s-au eforturile axiale din reazemele i barele suprimate i care necunoscute se noteaz cu iX .

Astfel, n cazul structurilor nedeterminate de tipul 1, S.B. se obine prin suprimarea rezemelor suplimentare:

Fig. 1.75

n cazul structurilor de tip 2, S.B. se obine suprimnd bara suplimentar:

Fig. 1.76

n cazul structurilor de tip 3 S.B. se obine suprimnd att reazemul ct i o bar suplimentar:

Fig. 1.77

3. Alctuirea ecuaiilor de condiii sau compatibilitateEcuaiile de condiii sau de compatibilitate exprim faptul c S.B. static

determinat trebuie s aib aceeai comportare n ceea ce privete deplasrile ca i structura static nedeterminat.

A. Structuri cu nedeterminare exterioarO ecuaie i de compatibiliate exprim condiia ca deplasarea absolut n

S.B. pe direcia necunoscut iX produs de toate necunoscutele i forele

exterioare s fie egal cu zero. Forma general: 01

ipj

sn

jij X (1.41)

B. Structuri cu nedeterminare interioarO ecuaie i de compatibiliate exprim condiia ca deplasarea relativ n

S.B. pe direcia necunoscut iX produs de toate necunoscutele i de ncrcrile exterioare s fie egal cu deformaia barei suprimate i are forma general:

rqipj

sn

jij lX

1(1.42)

Deformaia unei bare supuse unui efort axial este:

rqi

rq

rqrq

rq EAX

EA

Nl

(1.43), i

rqipj

sn

jij XEA

X

1

(1.44)

C. Nedeterminarea mixt:Pentru necunoscutele iX reaciuni, ecuaiile de condiii sunt de tipul 1, iar

pentru necunoscutele iX eforturi din bare, ecuaiile de condiii sunt de tipul 2.

4. Semnificaia coeficienilorSe disting dou grupe de coeficieni:A. Coeficieni principali de tipul iiExprim condiia ca deplasarea absolut ( iX reaciune) sau relativ iX

efort) n S.B. produs pe direcia necunoscutelor iX de o for egal cu 1 (unu) aplicat pe direcia necunoscutelor iX .

Se determin cu Mohr-Maxwell particularizat pentru structuri cu zbrele

cu noduri articulate:EA

NN jiii

(1.45), n care: Ni sunt forele axiale din barele

S.B. produse de o for egal cu 1 (unu) aplicat pe direcia necunoscutelor iX . Cele dou fore axiale sunt identice (formal); sunt lungimile barelor structurii; EA reprezint rigiditile axiale ale barelor; se refer la toate elementele S.B.

B. Coeficieni laterali ijReprezint deplasarea n S.B. pe direcia necunoscutelor iX produs de o

fora egal cu 1 (unu), aplicat pe direcia necunoscutelor jX i se determin cu

relaia: jijiijij EANN

EA

NN (1.46) i avnd n vedere c produsul

este comutativ, iar forele axiale jN i iN (produse de o fora real sau virtual egal cu 1 (unu), aplicat pe direcia jX ) sunt formal identice.

Matricea coeficienilor este o matrice simetric.

5. Semnificaia i calculul termenilor liberiUn termen liber ip reprezint deplasarea absolut ( iX -reaciune) sau

relativ ( iX - for axial) n S.B. pe direcia necunoscutei iX produs de forele

exterioare date i se determin cu relaia: EA

NN ipip

(1.47), n care pNsunt forele axiale din barele S.B. produse de forele exterioare date.

6. S.B. ncrcat cu forele exterioare datePractic, pentru calculul coeficienilor i a termenilor liberi se procedeaz

astfel:- Se ncarc succesiv S.B. cu fore egale cu 1 (unu sau unu barat) (1) pe

direcia fiecrei necunoscute iX n parte i cu forele exterioare date i se determin forele axiale corespunztoare ii NN respectiv pN .

- Particulariznd relaiile (1.41), (1.42), (1.43) se determin coeficienii i termenii liberi.

- Calculul se conduce tabelar.

- Dup calculul coeficienilor i a termenilor liberi, se nlocuiesc valorile respective n sisteme de ecuaii de condiii care se rezolv cu obligaia verificrii soluiilor.

- Forele axiale finale din barele structurii reale static nedeterminate se determin aplicnd principiul suprapunerii efectelor i innd seama de comportarea liniar-elastic a structurii (proporionalitatea dintre forele axiale din bare i ncrcrile care le produc).

- Astfel fora axial final dintr-o bar se determin cu relaia:

i

sn

iip

fc XNNN

1 (1.48)

7. APLICAIES se determine eforturile din barele grinzii cu zbrele static nedeterminat

( 045 ).

Fig. 1.78

A. Stabilirea gradului de nedeterminare static: 2621021122Nbrns

B. Stabilirea S.B. static determinat i scrierea ecuaiilor de condiie:

Fig. 1.79

- se suprim reazemul suplimentar i bara suplimentar necunoscutele X1, X2, scriindu-se ecuaiile de condiie:

n

jipjij

n

ii

qripjij

X

XEA

X

1

1

0

, n care qr este

lungimea barei suprimate:

22222121

1212111

822

0

22X

EA

.XX

XX

p

p

qrinzii

C. Calculul coeficienilor se realizeaz cu relaiile:

EANN ii

ii , EANN

EA

NN jiijjiij

D. Calculul termenilor liberi: EANN ip

ip

E. Se ncarc grinda cu 1,1F pe direcia Xi i Xj;a. Calculul reaciunilor i a eforturilor din barele grinzii cu zbrele ncrcat cu 1,1F pe direcia X1:

Fig. 1.80

00 1Hx RF , 5002140 551 .RRM VV , 5002140 115 .RRM VV , A..RRF VVy 0505000 51

nod 2

Fig. 1.81

0

0

0

0

21

24

N

N

F

F

y

x

nod 6

Fig. 1.82

0

1

0

0

65

64

N

N

F

F

y

x

nod 1

Fig. 1.83

50

7070

0145

05045

0

0

13

14

1413

14

.N

.N

sinNN

.sinN

F

F

y

x

nod 3

Fig. 1.84

0

50

0

0

34

35

N

.N

F

F

y

x

nod 5

Fig. 1.85

7070

7070

04550

045

0

0

53

54

54

5354

.N

.N

sinN,

NcosN

F

F

y

x

b. Calculul reaciunilor i a eforturilor din barele grinzii cu zbrele ncrcat cu 1,1F pe direcia X2: 00 1Hx RF

Fig. 1.86

Avnd acelai suport, 051 VV RRnod 6

Fig. 1.87

0

0

0

0

65

64

N

N

F

F

y

x

nod 2

Fig. 1.88

7070

7070

0451

0451

0

0

21

24

21

24

.N

.N

sinN

sinN

F

F

y

x

nod 5

Fig. 1.89

0

0

00

045

0

0

54

53

54

5453

N

N

N

sinNN

F

F

y

x

nod 3

Fig. 1.90

7070

7070

0451

0451

0

0

31

34

31

34

.N

.N

sinN

sinN

F

F

y

x

c. Calculul reaciunilor i a eforturilor din barele grinzii cu zbrele ncrcat cu forele exterioare:

Fig. 1.91 00 1Vx RF 20024040 551 VV RRM 20024040 115 VV RRM

ARRF VVy 020402000 51

nod 2

Fig. 1.92

0

0

0

0

6521

6424

NN

NN

F

F

y

x

nod 1

Fig. 1.93

4514

3513

14

1314

2828

20

02045

045

0

0

N.N

NN

sinN

NcosN

F

F

y

x

nod 3

Fig. 1.94

0

0

0

0

3531

34

NN

N

F

F

y

x

d. Calculul coeficienilor:

EA

.82511 , EA

.

EA

.. 64982682222

, EA

.29312112

e. Calculul termenilor liberi:EA

p

401

, EA

.p

031082

f. Rezolvarea sistemului de la punctul B:

254

7811

2

1

.X

.X

g. Pentru determinarea eforturilor finale din barele grinzii cu zbrele, se aplic principiul suprapunerii efectelor:

n

1iiip

f XNNN , n care, Np

sunt eforturile axiale din sistemul de baz ncrcat cu forele exterioare:

22111 XNXNNN pf , 00325470707811500012 .....N

68142547070781170702013 .....N 2024254178117070282814 .....N

003254707078110024 ....N 003254707078110034 ....N 892525407811502035 ....N

2024254078117070282845 .....N 7811254078111046 ...N 0254078110056 ..N ,

7811223 .XN

Tabel 1.1