Breve introducao a optica geometrica

Luıs J.M. AmoreiraDepartamento de Fısica

UBI

Primavera 2011

Indice

1 Introducao 2

2 Reflexao em espelhos planos 22.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Reflexao em espelhos esfericos 43.1 A aproximacao paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Foco de um espelho esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Imagem reflectida num espelho convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Imagem reflectida num espelho concavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Imagens formadas por reflexao — Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Refraccao em superfıcies planas 11

5 Refraccao em superfıcies esfericas 125.1 Focos de uma superfıcie refractora esferica. Potencia dioptrica . . . . . . . . . . . . 135.2 Posicao e caracterısticas das imagens refractadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Tracado de raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Refraccao em superfıcies esfericas — Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Lentes finas 186.1 Equacao das lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Tracado de raios e ampliacao transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes finas . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4 Refraccao em lentes finas — Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Sistemas opticos compostos 237.1 Objectos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Instrumentos opticos 268.1 O olho humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.2 A lente de aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.3 Microscopio composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4 Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

1 Introducao

Escrevo estas notas porque no manual recomendado para a disciplina de Elementos de Fısica II(Halliday, Resnick e Krane, “Fısica vol. 4”) e seguida uma convencao de sinais para as distanciasmedidas em sistemas opticos que considero complicada de compreender e de aplicar e que, naminha opiniao, sera talvez abandonada. Espero com este esforco produzir apontamentos quepossam, neste capıtulo de optica geometrica, substituir o manual.

Estes apontamentos ocupam-se essencialmente com a determinacao das propriedades (posicao,ampliacao, etc.) das imagens produzidas em sistemas opticos simples constituıdos por lentes eespelhos. Os pontos de partida para este estudo sao a Leida Reflexao e a Lei de Snell, que ja foram abordadas (e de-duzidas) nas aulas. Recapitulando muito brevemente estasleis, sabemos que quando um raio de luz incide na superfıciede separacao de dois meios diferentes, uma parte da energialuminosa e reflectida na superfıcie, e outra refractada (vera figura). Se θ1, θ2 e θ3 forem, respectivamente, os angulosque o raio incidente, o raio refractado e o raio reflectidofazem com a normal a superfıcie no ponto de incidencia,entao verificam-se as seguintes

Figura 1

Lei da reflexao: Os raios incidente e reflectido e a normal a superfıcie no ponto de incidenciapertencem ao mesmo plano e tem-se

θ1 = θ3. (1)

Lei de Snell: Os raios incidente e refractado e a normal a superfıcie no ponto de incidenciapertencem ao mesmo plano e tem-se

n1 sin θ1 = n2 sin θ2, (2)

onde n1 e n2 sao, respectivamente, os ındices de refraccao do meio onde se propaga o raioincidente e do de onde se propaga o raio refractado.

Um aspecto destas duas leis que vale a pena realcar, porque sera util mais tarde, e que delasse deduz que o trajecto dos raios luminosos num sistema optico e reversıvel. Com efeito, seinvertermos o sentido dos raios de luz numa reflexao ou refraccao, os mesmos angulos, agora empapel inverso (o que era um angulo de “entrada” e agora um angulo de “saıda”), continuam asatisfazer as eqs. (1) ou (2). Verifique-o!

2 Reflexao em espelhos planos

Consideremos um objecto pontual O, colocado a umadistancia do de um espelho plano (ver a figura). Algunsraios de luz que dele emanam (em todas as direccoes) inci-dem no espelho e sofrem aı uma reflexao. De acordo coma eq. (1) os angulos que as direccoes de incidencia e dereflexao fazem com a normal a superfıcie do espelho saoiguais. Consideremos tres (ou mais) quaisquer destes raiosque incidem no espelho. Constatamos que as direccoes dosraios reflectidos intersectam-se todas num ponto situadoatras do espelho. Assim, os raios reflectidos parecem, aosolhos de um observador, ter origem nesse ponto. Trata-se,pois, da imagem I do objecto O por reflexao no espelho.

Consideracoes geometricas simples (recorrendo as pro-priedades de semelhanca de triangulos ou a trigonome-tria basica) permitem-nos concluir que os objectos e as

Figura 2

suas

imagens formadas por reflexao num espelho plano encontram-se a iguais distancias do espelho, ou

2

seja,di = do,

e pertencem (objecto e imagem) a uma mesma normal a superfıcie do espelho.

2.1 Propriedades da imagem reflectida num espelho plano

Consideremos agora a imagem formada por reflexao num espelho plano de um objecto extenso.Para simplificar (e seguindo um preceito de aplicacao universal em optica geometrica), o objectoconsiderado e uma seta paralela ao espelho (ver a Figura 3). Sejam O e O′ os pontos extremos daseta e I e I ′ as suas imagens.

Figura 3: Objecto e imagem numa reflexao num espelho plano.

Posicao

Aproveitamos estudo simples para introduzir a convencao de sinais que vamos seguir neste curso.Para especificar a posicao do objecto e da imagem num problema de optica, usamos um sistema decoordenadas cartesiano que tem a origem no centro do elemento optico que estamos a considerarem cada momento (neste caso, temos apenas um elemento — o espelho — e a origem encontra-seassinalada pelo ponto V na figura); as posicoes a direita da origem tem coordenada horizontalpositiva, as que se encontram a esquerda, tem-na negativa. De igual modo, as posicoes acima daorigem tem coordenada vertical positiva, e as que se encontram abaixo tem-na negativa.

Assim, representando por o e i as coordenadas horizontais do objecto e da sua imagem, o factode elas se encontrarem a iguais distancias do espelho (logo, da origem) traduz-se na equacao

i = −o (reflexao num espelho plano).

Ampliacao transversal

E usual representar a altura do objecto (isto e, na Figura 3, a distancia O′O) por h e a da imagempor h′. Chama-se ampliacao transversal de um sistema optico ao quociente entre a altura daimagem e a do objecto, ou seja,

A =h′

h. (3)

Se o valor da ampliacao transversal e positivo, isso significa que o objecto e a imagem aparecemambos do mesmo lado do eixo optico: estao os dois acima, ou abaixo, do eixo. Nesse caso, dizemos(veja ja a seguir) que a imagem e direita. Caso a ampliacao transversal seja negativa, entao aimagem e o objecto estao orientados em sentido oposto e dizemos que a imagem e invertida.

Para a reflexao num espelho plano que estamos a estudar, como os pontos O e I (Figura 3)estao a mesma altura sobre o eixo e o mesmo sucede com os pontos O′ e I ′, concluımos que, nestecaso, h = h′, ou seja,

A = 1 (reflexao num espelho plano).

3

Orientacao

O objecto e a sua imagem na reflexao num espelho plano estao ambos orientados no no mesmosentido (as duas setas na Figura 3 estao as duas viradas para cima). Nesta situacao, dizemos quea imagem e direita. Estudaremos em breve situacoes em que a imagem tem sentido inverso ao doobjecto, caso em que dizemos tratar-se de uma imagem invertida.

Realidade

Quando analisamos a formacao da imagem na reflexao num espelho plano (reveja a Figura 2),constatamos que os raios reflectidos parecem todos ter origem no ponto imagem I. E claro queisso nao e verdade, uma vez que a luz nem sequer se propaga para tras do espelho. A posicao daimagem e obtida pelo prolongamento dos raios reflectidos, criando a ilusao da sua localizacao. Emsituacoes como estas, dizemos que a imagem e virtual.

Noutras situacoes, que estudaremos a seguir, a imagem de um objecto esta efectivamentelocalizada numa posicao de onde emanam os raios de luz que chegam aos olhos dos observadores.Nessas situacoes dizemos que a imagem e real. Quando se coloca um ecran na posicao de umaimagem real (como acontece numa projeccao de slides ou de cinema), ela e aı materializada.Obviamente, tal nao pode ocorrer na reflexao num espelho plano, ja que a imagem se situa atrasdo espelho, onde nao chega a luz.

3 Reflexao em espelhos esfericos

Na analise da reflexao da luz, devemos distinguir dois tipos de superfıcies esfericas: as concavas,quando a curvatura da superfıcie e para o lado de onde incide a luz, e as convexas, que tem acurvatura para o lado oposto aquele de onde a luz vem (veja a Figura 4). Um espelho esferico e

Figura 4: A reflexao em espelhos concavos (esquerda) e convexos (direita).

uma porcao reflectora de superfıcie esferica (por exemplo, uma calote, se se tratar de um espelhocircular). As caracterısticas mais obvias (e mais relevantes para o estudo que se segue) destasuperfıcie reflectora sao (1) que todos os seus pontos se encontram a mesma distancia (o raio) deum mesmo ponto (o centro da esfera a que pertence), e (2) que a sua normal, em cada ponto,contem tambem o centro (veja a Figura 5).

Figura 5: Centro de curvatura de espelhos esfericos concavos (a esquerda) e convexos (a direita)e normal a superfıcie em cada ponto.

4

Dado um espelho esferico, escolhemos um ponto da sua superfıcie de forma mais ou menosarbitraria (mas e conveniente que seja um ponto proximo do centro geometrico do espelho), a quechamaremos vertice. A direccao normal a superfıcie reflectora que contem o vertice chama-se eixooptico do espelho. Convencionalmente, em esquemas para a analise de sistemas opticos, desenha-seo eixo optico em posicao horizontal, e representa-se o espelho de tal forma que a luz incide vindado lado esquerdo do diagrama.

Consideremos um raio de luz que incide num espelhoconcavo num ponto Q segundo uma direccao paralela aoeixo optico e dele distanciada h (ver a figura ao lado). Esteraio sera reflectido numa direccao que cruza o eixo opticonum ponto F , cuja posicao pode ser determinado a partirda lei da reflexao. Seja α o angulo que o raio incidente fazcom a normal ao espelho no ponto de incidencia, isto e coma direccao do segmento de recta QC, onde C e o centro decurvatura do espelho. Entao podemos escrever Figura 6

tanα =h

CS

tan 2α =h

FS

(4)

3.1 A aproximacao paraxial

A resolucao destas equacoes para a determinacao da posicao do ponto F nao e nada simples. Mas,em quase todas as situacoes de interesse pratico, a distancia h e pequena quando comparada como raio de curvatura do espelho (ou seja, o trajecto do raio incidente e muito proximo do eixooptico). Nessas situacoes, entao, o angulo de incidencia α e muito pequeno, o que permite fazeras seguintes substituicoes aproximadas:

tanα ' α tan 2α ' 2α

CS ' CV FS ' FV ,

com as quais o sistema da eq. (4) se reescreve como

α =h

CV

2α =h

FV,

de onde se obtem facilmente

FV =CV

2. (5)

Esta aproximacao, que nos permitiu obter facilmente uma solucao aproximada para o sistema daeq. (4), tem o nome de aproximacao paraxial e sera sempre usada nestes apontamentos.

3.2 Foco de um espelho esferico

O ponto F , para onde sao reflectidos os raios que incidem num espelho concavo paralelamente aoeixo optico, chama-se ponto focal ou foco do espelho. De acordo com a eq. (5), o foco situa-se noponto medio do centro de curvatura e do vertice do espelho, qualquer que seja o valor de h (desdeque seja suficientemente pequeno para que se justifique a aplicacao da aproximacao paraxial, bementendido). Note-se que, como o trajecto dos raios de luz na reflexao e reversıvel, raios de luz quetenham origem no foco (ou que simplesmente passem pelo foco) de um espelho concavo sao porele reflectidos reflectidos em direccoes paralelas ao eixo optico (veja a Figura 7).

5

Figura 7: O foco de um espelho esferico concavo e o ponto para onde convergem raios que incidemparalelamente ao eixo optico (direita). Inversamente, raios com origem no foco sao reflectidos peloespelho em direccoes paralelas ao eixo (direita).

Para espelhos convexos tambem se define um foco, ja naocomo ponto para onde os raios de luz reflectidos convergem,porque os espelhos convexos nao tem essa propriedade, mas simcomo ponto de onde raios que incidem no espelho paralelos aoeixo parecem divergir. Com efeito, consideremos um raio para-lelo ao eixo de um espelho convexo num ponto situado a umaaltura h. Seja α o angulo que a direccao de incidencia faz coma normal ao espelho nesse ponto (veja figura ao lado). Como no Figura 8estudo da reflexao num espelho concavo, tambem aqui podemos escrever, impondo a aproximacaoparaxial,

α ' h

V C

2α ' h

V F,

de onde resulta, tal como para a reflexao no espelho concavo,

V F =V C

2.

Assim, constatamos que, tambem para espelhos convexos, o foco se encontra no ponto medio entreo vertice e o centro de curvatura.

O foco dos espelhos convexos tambem se pode determinar considerando a situacao inversa:raios que, depois de reflectidos, sao paralelos ao eixo devem ter incidido no espelho dirigidos aofoco (veja a Figura 9).

Figura 9: O foco de um espelho esferico convexo e o ponto de onde parecem emanar os reflexosde raios que incidiram paralelamente ao eixo (esquerda), ou, equivalentemente, o ponto para ondese dirigem raios incidentes que sao reflectidos paralelamente ao eixo.

Como resultado da reflexao num espelho concavo, os raios reflectidos sao sempre mais con-vergentes (ou menos divergentes) do que os incidentes. Por isso, os espelhos concavos dizem-seconvergentes.

6

3.3 Imagem reflectida num espelho convexo

Consideremos agora um objecto extenso (a convencional seta vertical) colocado em frente a umespelho convexo (veja a Figura 10). Em geral, nao e tarefa muito simples encontrar em quedireccao um raio arbitrario com origem no ponto O e reflectido pelo espelho. Mas ha tres raiosespeciais para os quais essa determinacao e muito facil. O primeiro destes raios e o que incide

Figura 10: Formacao da imagem reflectida num espelho esferico convexo.

no espelho paralelamente ao eixo. Ja sabemos que esse raio e reflectido numa direccao tal que,depois da reflexao, parece ter tido origem no foco do espelho. O segundo raio e aquele que incideno vertice do espelho. Nesse ponto, a normal a superfıcie espelhada e o eixo optico, a partir doqual e facil tracar o raio reflectido. O terceiro raio e aquele que vai dirigido ao centro de curvaturado espelho. Esse incide perpendicularmente, logo, e reflectido na mesma direccao de incidencia,mas em sentido oposto. Ora, os prolongamentos destes tres raios intersectam-se todos no pontoI representado na Figura 10, que, assim, parece ser a origem de todos os raios que, tendo tidoorigem no ponto O, sofreram reflexao no espelho convexo. O ponto I e pois a imagem do ponto Opor reflexao neste espelho. Uma construcao em tudo semelhante permite demonstrar que o pontoI ′ e a imagem do ponto O′, de forma que a imagem do objecto extenso (seta O′O) e a seta I ′I.

Posicao da imagem

Seja, mais uma vez h a altura do objecto (ou seja, a distancia O’O) e o a sua coordenada hori-zontal (de acordo com a convencao que introduzimos, o < 0). Da mesma maneira, sejam h′ e irespectivamente a altura e a coordenada horizontal da imagem. Entao, analisando a Figura 10,podemos escrever

tanα =h

O′V=

h′

I ′V

tanβ =h

V F=

h′

I ′F

Destas duas igualdades obtemos

h′/h =V I ′

O′V=

i

−oe h′/h =

I ′F

V F=f − if

,

de onde resulta

− io

=f − if

,

ou seja,−if = of − oi.

Dividindo esta equacao por oif e reorganizando os termos obtemos

1

i+

1

o=

1

f, (6)

7

que e a chamada equacao dos espelhos. Veremos mais tarde que ela se aplica tambem a espelhosconcavos. Como deve ser obvio, esta equacao e valida para espelhos planos: nesse caso, o raio decurvatura da superfıcie e infinito, logo, 1/f = 0 e resulta entao apenas o = −i, resultado que jadeduzimos anteriormente.

Ampliacao transversal

Tal como no caso da reflexao em espelhos planos, a ampliacao transversal define-se como o quoci-ente entre a altura da imagem e a do objecto, ou seja,

A =h′

h.

Como vimos na deducao da eq. (6), esta razao e igual a razao V I ′/O′V . Entao podemos tambemescrever

A = − io.

Usando a equacao dos espelhos para escrever i como funcao de o, obtemos

A = − f

o− f.

Tratando-se de um espelho convexo, o foco encontra-se a direita do vertice, logo f > 0. Assim,o denominador da fraccao no lado direito desta equacao e negativo e maior em modulo do que f .Logo, a ampliacao trasnversal da imagem reflectida por um espelho convexo e positiva e menor doque 1.

Orientacao

Uma vez que a ampliacao transversal tem valor positivo, a imagem reflectida num espelho convexoe direita.

Realidade

Tal como para a reflexao em espelhos planos, a imagem reflectida num espelho convexo forma-seatras do espelho, onde nao chegam os raios de luz. Logo, ela so pode ser uma imagem virtual.

3.4 Imagem reflectida num espelho concavo

Caso 1: o objecto esta atras do centro de curvatura

A Figura 11 ilustra a geometria da formacao da imagem reflectida num espelho concavo. Osraios de luz originados no ponto O reflectidos no espelho cruzam-se todos (os tres representados eoutros que considerassemos) no ponto I, ou seja, parecem ter aı origem aos olhos de um observador.Assim, este ponto e a imagem do ponto O por reflexao no espelho concavo.

Podemos repetir a analise feita antes para os espelhos convexos. Note que

tanα =h

f − o=−h′

−f

tanβ =h

−o=−h′

−i,

onde, como antes, o, i e f sao respectivamente as coordenadas horizontais do objecto, da imageme do foco (agora sao todas negativas, porque estes elementos estao todos a esquerda do vertice), h

8

Figura 11: Formacao da imagem por reflexao num espelho concavo.

e a altura do objecto e h′ (agora negativo) e a altura da imagem. De cada uma destas expressoesdeduzimos duas formulas para a ampliacao transversal

h′

h=

f

f − o(7)

h′

h= − i

o, (8)

de onde resulta a igualdadef

f − o= − i

o,

ou sejafo = −if + io.

Dividindo esta expressao por iof obtemos, por fim,

1

i+

1

o=

1

f, (9)

formula em tudo semelhante a que obtivemos na analise da reflexao em espelhos convexos [eq. (6)].A imagem reflectida e agora real, ja que definida pelos proprios raios reflectidos, e nao pelos

seus prolongamentos atras do espelho. Ela e tambem, claramente, invertida e reduzida (umavez que |i| < |o|). Mas estas propriedades da imagem reflectida num espelho concavo nao saouniversais, dependem da posicao do objecto. Ha tres situacoes a distinguir: (1) quando o objectoesta a uma distancia do espelho superior ao seu raio de curvatura (o < −R = 2f), situacao queacabamos de estudar; (2) quando o objecto esta situado entre o centro de curvatura e o foco doespelho (2f < o < f); (3) quando o objecto esta entre o foco e o espelho (f < o < 0).

Nao vamos repetir a analise que fizemos ha pouco agora para os casos 2 e 3 (mas o leitor devefaze-lo!). Apresentamos apenas os diagramas de raios para essas situacoes e algumas constatacoes.

Caso 2: o objecto encontra-se entre o centro e o foco do espelho

Imagem real, invertida, ampliada

9

Caso 3: o objecto encontra-se entre o foco e o espelho

Imagem virtual, direita, ampliada

3.5 Imagens formadas por reflexao — Resumo

• Foco de um espelho esferico: raios de luz que incidem num espelho concavo paralelamente aoeixo optico sao reflectidos em direccoes que convergem para o foco; raios de luz que incidemnum espelho convexo paralelamente ao eixo optico sao reflectidos em direccoes que divergemdo foco.

• O foco de um espelho encontra-se sobre o eixo optico, no ponto medio entre o vertice e ocentro de curvatura (f = r/2)

• Representam-se os diagramas de raios com a luz incidindo do lado esquerdo.

• As coordenadas horizontais sao consideradas positivas para posicoes a direita do espelho, enegativas em caso contrario.

• As coordenadas verticais sao consideradas positivas para posicoes acima do eixo optico enegativas para posicoes abaixo desse eixo.

• Dadas as tres regras anteriores, a coordenada do foco de um espelho concavo e negativa, ado de um espelho convexo e positiva

• As coordenadas horizontais da imagem (i), do objecto (o) e do foco do espelho (f) relacionam-se atraves da equacao dos espelhos

1

i+

1

o=

1

f

• A ampliacao transversal e o quociente entre a altura do objecto e a da imagem (consideradanegativa se for invertida, de acordo com a convencao de sinais). Pode tambem ser calculadapelo simetrico do quociente entre a coordenada horizontal da imagem e a do objecto:

A =h′

h= − i

o.

• Quando a ampliacao e positiva, a imagem e direita; quando a ampliacao e negativa, a imageme invertida. Quando a ampliacao tem modulo maior do que um, a imagem e ampliada; quandoo modulo da ampliacao e menor do que um, a imagem e reduzida.

• A imagem reflectida num espelho convexo e sempre virtual, direita e reduzida

• As propriedades da imagem reflectida num espelho concavo variam com a distancia do ob-jecto ao espelho:

– objecto atras do centro: imagem real, invertida, reduzida

– objecto entre o centro e o foco: imagem real, invertida, ampliada

– objecto entre o foco e o espelho: imagem virtual, direita, ampliada

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• Tacado de raios

1. raios de luz que incidem no espelho paralelamente ao eixo optico sao reflectidos emdireccoes que convergem para o foco (espelhos concavos) ou que divergem do foco(espelhos convexos)

2. Raios de luz que incidem em direccoes que contem o foco sao reflectidos paralelamenteao eixo optico

3. Raios de luz que incidem no espelho numa direccao que contem o centro de curvaturasao reflectidos na mesma direccao (mas em sentido oposto, e claro)

4 Refraccao em superfıcies planas

Quando olhamos a paisagem atraves de uma janela de vidro ou quando vemos peixes nadandonum lago ou num aquario, a luz vinda dos objectos que observamos sofre um (ou mais) processosde refracao no vidro da janela ou na superfıcie da agua, antes de chegar aos nossos olhos. Por isso,aquilo que observamos sao as imagens refractadas dos objectos e nao os objectos em si. Quasesempre, a posicao onde observamos a imagem nao e aquela onde se encontra o objecto. No quese segue, vamos ocupar-nos com o estudo da posicao e das propriedades das imagens refractadas,comecando pela situacao mais simples, em que a refraccao se faz numa superfıcie plana.

Consideremos entao dois meios com ındices de refraccaon1 e n2 separados por uma superfıcie plana. Esses dois meiospodem ser, por exemplo, vidro e ar. Consideremos um objecto(a ja proverbial setinha) no interior do meio com ındice n1, quee observado a partir do meio com ındice n2 e consideremos,para concretizar a discussao e os diagramas, que n1 > n2 (vera figura). Quando atravessam a superfıcie que separa os doismeios, os raios de luz sao refractados, verificando-se a lei deSnell,

n1 sin θ1 = n2 sin θ2.

Figura 12

A imagem refractada da extremidade da setinha objecto (o ponto O, na figura), e um ponto I deonde parecem emanar os os raios de luz que chegam ao meio 2. Consideremos os dois raios comorigem em O representados na figura: um incide perpendicularmente na superfıcie refractora, ooutro segundo uma direccao que faz com a normal um angulo θ1. O primeiro, dado que incideperpendicularmente, e refractado mantendo a sua direccao; o segundo e desviado afastando-se danormal (uma vez que consideramos, para concretizar, que n1 > n2). As direccoes dos dois raiosrefractados intersectam-se no ponto I, que e entao a imagem do ponto objecto O.

Note-se que a posicao do ponto I depende da direccao do segundo raio considerado. Logo, nemtodos os raios com origem em O sao refractados segundo direccoes que parecem ter origem em I.Assim, a posicao da imagem refractada depende da direccao de observacao. Mas, se restringirmosa nossa atencao aos limites de validade da aproximacao paraxial (ou seja, considerando apenasraios perpendiculares, ou quase perpendiculares, a superfıcie refractora), obtemos facilmente umaexpressao para a posicao da imagem. Com efeito, a lei de Snell, nos termos da aproximacaoparaxial (em que os angulos envolvidos sao pequenos, logo, e valida a aproximacao sin θ ' θ),resume-se a

n1θ1 = n2θ2. (10)

Por outro lado, da figura obtemos as igualdades seguintes

tan θ1 =h

−otan θ2 =

h

−i,

onde, como no estudo dos espelhos, o e i representam as coordenadas horizontais, medidas a partirde uma origem situada na superfıcie refractora, do objecto e da imagem, respectivamente. Estas

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igualdades, nos termos da aproximacao paraxial, simplificam-se como

θ1 = −ho

θ2 = −hi,

de onde se deduz queoθ1 = iθ2,

e substituindo aqui a versao aproximada da lei de Snell [eq. (10)], obtemos

n2o = n1i,

equacao que reescrevemos numa forma diferente, por razoes que se tornarao claras daqui a pouco:

n2i− n1

o= 0. (11)

Esta equacao permite-nos calcular a posicao da imagem refractada numa superfıcie plana, naaproximacao paraxial. Note-se que, nesta aproximacao, a ampliacao transversal tem o valor 1 (essefacto foi ate usado na deducao). Como se pode verificar na figura, ou por inspeccao da eq. (11),quando n1 > n2, a imagem situa-se mais perto da superfıcie do que o objecto. Este efeito e postoem evidencia na Figura 13.

Figura 13: Refraccao da luz na superfıcie da agua. Como a imagem de cada ponto submerso docabo da colher esta mais proxima da superfıcie do que o respectivo ponto, o cabo da colher pareceter um angulo, apesar de ser rectilıneo.

5 Refraccao em superfıcies esfericas

Analizemos agora a refraccao em superfıcies esfericas, como o que acontece quando a luz entra ousai de uma lente ou quando vemos um peixe que nada no interior de um aquario esferico.

Sejam entao dois meios 1 e 2, com ındices de refraccao respectivamente n1 e n2 (por exemplo, are vidro), separados por uma superfıcie esferica. Para concretizar ideias, consideremos um objectono meio 1, observado a partir do meio 2. Conforme a concavidade ou convexidade da superfıcierefractora e a relacao entre os valores dos ındices de refraccao dos dois meios, a superfıcie pode serconvergente ou divergente. Uma vez que, nos processos de refraccao, os raios de luz se aproximamda normal quando penetram num meio de ındice de difraccao superior, deduzimos facilmente que,se a superfıcie refractora for concava e o ındice de refraccao do meio onde a luz penetra for superiorao daquele que ela abandona, entao a superfıcie refractora e divergente. Consideracoes semelhantespermitem-nos compreender as restantes situacoes, todas resumidas na Figura 14

12

Figura 14: Convergencia ou divergencia de superfıcies refractoras esfericas. Se o meio de incidenciatem ındice de difraccao inferior ao do meio para onde se da a refraccao, entao uma superfıcieconvexa e convergente e uma concava e divergente (diagramas da linha de cima). Se a relacao deordem entre os ındices for a inversa, entao as superfıcies convexas sao divergentes e as concavasconvergentes (diagramas da linha de baixo).

5.1 Focos de uma superfıcie refractora esferica. Potencia dioptrica

Consideremos um raio de luz que incide numa superfıcie refractora esferica segundo uma direccaoparalela ao eixo optico1, nao muito afastada dele. O raio difractado nao e, em geral, paralelo aoeixo optico; logo, a sua direccao intersecta esse eixo. Dentro da validade da aproximacao paraxial,qualquer raio que incida paralelamente ao eixo optico e refractado numa direccao que cruza o eixooptico num mesmo ponto, chamado foco secundario da superfıcie. Esse ponto pode estar a frenteou atras do vertice, consoante a superfıcie e convergente ou divergente (veja a Figura 15).

Consideremos agora um raio que incide na superfıcie refractora de tal modo que e refractadoparalelamente ao eixo optico. O ponto onde a direccao do raio incidente se cruza com o eixo opticochama-se o foco primario da superfıcie (veja a Figura 15).

Figura 15: Pontos focais de superfıcies convergentes (esquerda) e de superfıcies divergentes (di-reita).

Determinemos a posicao dos focos de uma superfıcie refractora. Para tal consideramos um raioque incide na superfıcie paralelamente ao eixo optico (ver a Figura 16, a esquerda). Examinandoa figura, obtemos as seguintes igualdades:

tanα2 =h2r

tan θ2 =h2f2,

onde f2 representa a coordenada horizontal do ponto F2, medida a partir de uma origem situadano vertice da superfıcie. Impondo agora a aproximacao paraxial, estas formulas escrevem-se na

1O vertice, o centro de curvatura e o eixo optico de uma superfıcie refractora esferica definem-se da mesmaforma que para os espelhos esfericos (Seccao 3).

13

Figura 16: Diagramas para a determinacao da posicao do foco secundario (esquerda) e primario(direita).

forma

α2 =h2r

θ2 =h2f2,

de onde resultarα2 = f2θ2. (12)

Por outro lado, a Lei de Snell determina que

n1 sinα2 = n2 sinβ2,

ou seja, nos termos da aproximacao paraxial,

n1α2 = n2β2. (13)

Por fim, sendo β2 e θ2 dois angulos internos de um triangulo e sendo α2 o angulo externo doterceiro vertice, temos

θ2 = α2 − β2. (14)

Substituindo a eq. (14) na eq. (12), obtemos

(f2 − r)α2 = f2β2;

substituindo agora aqui α2 dado pela eq. (13) resulta

n2 − n1n2

f2 = r,

equacao que reescrevemos comon2f2

=n2 − n1

r. (15)

Seguindo um procedimento em tudo semelhante, obtemos uma formula para a determinacaoda posicao do foco primario F1:

n1f1

=n1 − n2

r= −n2

f2. (16)

Note-se que, se n2 > 11, entao f1 < 0 (o que significa que F1 esta a esquerda da superfıcie) ef2 > 0 (ou seja, F2 esta a direita da superfıcie). Estes factos estao de acordo com as ilustracoesqualitativas da Figura 15.

Veremos adiante que outros sitemas opticos (na verdade, todos os sistemas opticos) podemser caracterizados pela existencia destes dois focos. Ao inverso da coordenada horizontal do focosecundario chama-se potencia dioptrica:

P =1

f2.

A unidade da potencia dioptrica, no Sistema Internacional, e o m−1, a que, neste contexto daoptica, se da o nome de dioptria.

14

5.2 Posicao e caracterısticas das imagens refractadas

Posicao da imagem — formula da refraccao em superfıcies esfericas

Vamos agora deduzir uma expressao para o calculo da posicaoda imagem refractada numa superfıcie esferica. Consideremos,mais uma vez, dois meios 1 e 2, separados por uma superfıcieesferica com raio r e um objecto com altura h, situado no meio1 e observado a partir do meio 2. A figura ao lado ilustra estasituacao para o caso em que a superfıcie e convexa e convergente.Seja h′ a coordenada vertical da extremidade da seta imagem

Figura 17

(|h′| e a altura da imagem) e f2, i e o as coordenadas horizontais respectivamente do foco se-cundario, da imagem e do objecto. Da analise da figura, aceitando a aproximacao paraxial,obtemos as igualdades

n1α = n2β (17a)

α =h

−o, β =

−h′

i(17b)

θ =h

f2=−h′

i− f2(17c)

Da ultima destas equacoes obtemosh′

h= − i− f2

f2; (18)

divindindo as duas equacoes (17b) uma pela outra, resulta

h′

h=β

α

i

o;

usando agora a eq. 17a), vemh′

h=n1n2

i

o. (19)

As duas equacoes (18) e (19) podem agora ser igualadas, obtendo-se

n1if2 = −n2oi+ n2of2.

Dividindo esta equacao por oif2, resulta

n2i− n1

o=n2f2.

Por fim, substituımos aqui a expressao que encontramos para a posicao do foco secundario[eq. (15)], resultando a formula da refraccao em superfıcies esfericas:

n2i− n1

o=n2 − n1

r. (20)

Esta formula foi deduzida considerando uma superfıcie refractora convexa convergente (ou seja,com o meio onde a luz entra com maior ındice de refraccao do que o daquele que a luz abandona).No entanto a sua validade e geral, ficando ao cargo do leitor verifica-lo nos restantes casos. Alias,ela e ate valida para a refraccao em superfıcies planas: nesse caso, devemos tomar r → ∞, e aeq. (20) reduz-se a que deduzimos para a refraccao em planos, a eq. (11).

Atencao: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, “Fısica”) segue umaconvencao de sinais diferente e, por isso, apresenta uma formula diferente paraa refraccao em superfıcies esfericas, na qual o termo n1/o aparece a somar, enao a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a formula que preferirem(desde que a apliquem correctamente, e claro).

15

Caracterısticas da imagem refractada

A ampliacao transversal de uma imagem refractada, dada pelo quociente entre as coordenadasverticais do ponto imagem e do ponto objecto, pode ser calculada com a eq. (19), que aquireescrevemos:

A =n1n2

i

o.

O valor da ampliacao pode ser usado para determinar se a imagem e ampliada ou reduzida (con-forme o seu modulo e maior ou menor do que a unidade) e se e direita ou invertida (conforme oseu sinal e positivo ou negativo).

Tal como sucede na reflexao em espelhos esfericos, tambem aqui devemos distinguir as situacoesem que a refraccao e convergente daquelas em que e divergente. E importante recordar (ver aFigura 15), quando a refraccao e convergente o foco secundario situa-se no meio onde se propagaa luz refractada e o foco primario naquele onde se propaga a luz incidente; quando a refraccao edivergente, esta disposicao dos focos inverte-se.

Consideremos primeiro a primeira situacao, isto e, a refraccao numa superfıcie convergente.Neste caso, o objecto (de onde partem os raios incidentes) encontra-se do mesmo lado que o focoprimario, ou seja, f1 e o tem o mesmo sinal. Entao, a razao x = o/f1 e positiva. Substituindoo = xf1 na equacao das superfıcies refractoras [eq. (20)], obtemos

n2i

=x

1− xf1n1

[usou-se aqui tambem a eq. (16)], e substituindo este resultado na formula da ampliacao da eq. (19)resulta

A =1

1− x.

Esta formula permite-nos determinar o valor da ampliacao (logo, a orientacao e a ampliacao daimagem) quando a superfıcie e convergente. Devemos considerar tres situacoes:

1. O objecto esta entre o foco primario e a superfıcie. Neste caso,o < f1, logo x < 1. Entao A > 1, ou seja, a imagem e ampliadae direita. Por outro lado, como a ampliacao e positiva, cons-tatamos que a imagem e formada do lado do objecto; logo, e

definida pelos prolongamentos dos raios refractados, e nao pelos raios em si. Ela e, assim,uma imagem virtual.

2. O objecto esta mais afastado que o foco primario, mas a umadistancia do espelho inferior ao dobro da distancia desse foco,isto e 2f1 < o < f1 (recorde que o e f1 sao negativos). Entao1 < x < 2, logo A < −1: a imagem e ampliada e invertida.Alem disso, como a ampliacao e negativa, a imagem forma-se

no lado oposto ao do objecto. Assim, a sua posicao e definida pela interseccao dos raios deluz refractada, ou seja, e real.

3. O objecto esta a uma distancia da superfıcie refractora supe-rior ao dobro da distancia que separa o foco primario dessasuperfıcie. Entao x > 2, −1 < A < 0: a imagem e reduzida einvertida. Tal como no caso anterior, tambem aqui a imagem ereal.

Consideremos agora o caso de uma superfıcie divergente. Nessecaso, o foco primario esta a frente da superfıcie, logo, f1 > 0. Assim,a razao x = o/f1 e agora negativa. A ampliacao A = 1/(1 − x) econsequentemente sempre positiva e menor do que a unidade (noteque 1 − x com x negativo e maior do que 1): a imagem formada

por uma superfıcie refractora divergente e entao reduzida e direita, qualquer que seja a distancia

16

Figura 18: Passos na construcao de um diagrama de raios para estudar a refracao em superfıciesconvergentes (a esquerda) e divergentes (a direita) [considera-se que o meio de incidencia temındice de refraccao inferior]. A imagem formada numa refraccao divergente e sempre reduzida,direita e virtual. No exemplo ilustrado a esquerda, a imagem e invertida, reduzida e real, porqueo objecto encontra-se a uma distancia da superfıcie superior ao dobro da primeira distancia focal(o < 2f1).

a que se encontra o objecto. Como no caso 1 das superfıcies convergentes, tambem aqui a imageme virtual.

5.3 Tracado de raios

Para se determinar a posicao e as caracterısticas da imagem refractada por tracado de raios,comecamos por calcular as posicoes dos dois focos (primario e secundario, usando as eqs. (15)e (16). Em seguida, representamos num diagrama (desenhado a escala o mais cuidadosamentepossıvel) a superfıcie refractora, o eixo optico, o objecto e os dois focos; desenhamos um raio comorigem no objecto que incida paralelamente ao eixo optico: esse raio sera refractado numa direccaoque passa pelo foco secundario; desenhamos agora um raio com origem no objecto que incide nasuperfıcie numa direccao que contenha o foco primario: esse raio sera difractado paralelamente aoeixo optico. O ponto onde as direccoes dos dois raios se intersectam e a imagem refractada. AFigura 18 ilustra o procedimento para uma superfıcie convergente (a esquerda) e outra divergente(a direita).

Podemos testar a qualidade do diagrama analisando a trajectoria de raios que incidem perpen-dicularmente a superfıcie. Esses raios sao refractados mantendo a sua direccao (ja que o angulode incidencia, medido relativamente a normal, e neste caso zero), e essa direccao deve conter oponto imagem, como acontece com todos os raios com origem no objecto. Assim, a recta que uneoo objecto e a sua imagem deve ser perpendicular a superfıce refractora.

Por fim, depois determinada a posicao da da imagem, estimamos a distancia que a separada superfıcie e a sua altura medindo os comprimentos respectivos com uma regua e fazendo atransformacao de escala apopriada.

5.4 Refraccao em superfıcies esfericas — Resumo

• Focos de uma superfıcie refractora esferica: raios que incidem numa superfıcie refractoraparalelamente ao eixo optico vao ser refractados em direccoes que intersectam o eixo opticonum ponto chamado foco secundario (F2); raios que sao refractados em direccoes paralelasao eixo optico incidem na lente segundo uma direccao que contem o foco primario (F1)

• A convencao de sinais e a mesma que foi usada para espelhos: posicoes a esquerda dasuperfıcie refractora tem coordenada horizontal negativa, posicoes a sua direita teem-na

17

positiva; posicoes acima do eixo optico tem coordenada vertical positiva, posicoes abaixoteem-na negativa.

• Coordenadas dos focos (note que ja nao ficam no ponto medio entre o centro de curvaturae o vertice):

n2f2

=n2 − n1

r

n1f1

= −n2 − n1r

• Potencia dioptrica da superfıcie:

P =1

f2

A unidade de potencia (m−1) da-se, em optica, o nome dioptria.

• Equacao das superfıcies esfericas:

n2i− n1

o=n2 − n1

r=n2f2

= −n1f1

• Ampliacao:

a =h′

h=n1n2

i

o

• A imagem refractada numa superfıcie divergente e sempre reduzida, direita, virtual

• A imagem refractada numa superfıce convergente pode ser de diferentes tipos:

– objecto a uma distancia superior ao dobro da do foco primario (o < 2f1): imageminvertida, reduzida, real

– objecto mais afastado do que o foco primario, mas a uma distancia inferior ao dobroda do foco (2f1 < o < f1): imagem invertida, ampliada, real

– Objecto entre o foco e a superfıcie (o > f1): imagem direita, ampliada, virtual

• Tracado de raios

1. Raios que incidem na superfıcie paralelamente ao eixo optico, sao refractados em di-reccoes que contem o foco secundario.

2. Raios que incidem na superfıcie segundo direccoes que contem o foco primario saorefractados paralelamente ao eixo optico

6 Lentes finas

Uma lente e um pedaco de material transparente (vidro ou plastico, em geral) limitado por duassuperfıcies (as faces da lente), em geral com forma esferica. O eixo optico da lente e uma linhaque une os centros de curvatura das duas faces (ver a Figura 19).

Figura 19: Eixo optico, centros de curvatura e raios de uma lente bi-convexa (esquerda) e concavo-convexa (direita).

18

Figura 20: Perfis possıveis para lentes convergentes (em cima) e divergentes(em baixo).

Quando a luz atravessa uma lente, dao-se dois processos de refraccao: um a entrada, quandoa luz entra para o interior da lente, e um outro a saıda. Para compreendermos o efeito que a lentetem sobre a propagacao da luz, devemos pois analisar estes dois processos. Em princıpio, podemosfaze-lo aplicando a lei de Snell no estudo de cada refraccao.

Um pouco de reflexao considerando a lei de Snell convence-nos de que uma lente com facesplanas e paralelas nao tem um efeito apreciavel sobre a trajectoria dos raios de luz que nelaincidem2. Caso as duas faces da lente sejam tais que a lente e mais espessa no seu centro (ondepassa o eixo optico) do que na periferia, a lente e convergente e, ao contrario, se a lente for maisfina no centro do que na periferia, entao ela e divergente. A Figura 20 ilustra diferentes perfispossıveis para lentes convergentes e divergentes.

Mas, se pretendermos determinar a posicao e as caracterısticas da imagens formadas por re-fraccao em lentes, a aplicacao directa da lei de Snell leva a calculos muito complicados. Em vezdisso, analisamos separadamente as duas refraccoes. A luz proveniente do objecto refracta-se nasuperfıcie anterior da lente, o que origina uma imagem, cuja posicao e caracterısticas ja sabemosdeterminar. Esta imagem pode ser real ou virtual mas, para todos os efeitos, a trajectoria dosraios de luz resultantes da refraccao e em tudo semelhante a de raios originarios de um objecto comas dimensoes, posicao e orientacao dessa imagem. Assim, a imagem resultante da refraccao na su-perfıcie anterior vai servir como objecto para a refraccao na superfıcie posterior (ver a Figura 21).

Figura 21: Determinacao da imagem refractada numa lente: a imagem da refraccao na face anterior(esquerda) serve de objecto para a refraccao na face posterior (direita).

6.1 Equacao das lentes

Consideremos uma lente, com duas faces esfericas de raios r1 e r2. Seja ne o ındice de refraccaodo meio exterior a lente (quase sempre ar) e ni o do material que constitui a lente (quase semprevidro). Seja d a distancia entre os vertices (isto e, os pontos onde o eixo optico intersecta assuperfıcies) das duas faces da lente. Consideremos a luz que incide na lente proveniente de umobjecto situado a esquerda, a uma |o| do vertice da primeira face. De acordo com a equacaodas superfıcies refractoras, a primeira refraccao (a que ocorre na primeira superfıcie) produz uma

2E esse efeito e mesmo nulo, caso se possa desprezar a espessura da lente (veja o Exercıcio 9 da primeira serie).

19

imagem cuja posicao e dada pornii′− ne

o=ni − ner1

, (21)

onde i′, o e r1 sao as coordenadas horizontais da imagem, do objecto e do centro de curvatura,relativamente a uma origem situada no vertice da superfıcie onde se da a refraccao, ou seja, nestecaso, no da face anterior da lente.

Agora a imagem formada na primeira refraccao vai servir como objecto para a segunda. Ora,a coordenada horizontal deste objecto, relativamente a uma origem situada no vertice da segunda,e

o′ = i− d.

Aplicando de novo a equacao das superfıcies refractoras mas agora a refraccao na face posterior,obtemos

nei− nio′

=ne − nir2

,

ou seja,nei− nii′ − d

=ne − nir2

, (22)

Fazemos agora uma aproximacao que simplifica imenso esta analise: consideremos que a espesssurada lente, d, e desprezavel face aos raios de curvatura das suas faces. A esta aproximacao chama-se aproximacao das lentes finas. As lentes mais comuns (as dos oculos, ou as dos instrumentosopticos mais vulgares) sao de facto finas, de forma que esta aproximacao nao restringe muito aaplicabilidade dos resultados que viermos a obter.

Considerando entao apenas lentes finas, para as quais d ' 0, reescrevemos a eq. (22) como

nei− nii′

=ne − nir2

.

Mas, substituindo aqui ni/i′ dado pela eq. (21), obtemos

1

i− 1

o=ni − nene

(1

r2− 1

r1

). (23)

Uma lente, como qualquer sistem optico, pode ser caracterizada pelos seus dois focos, o focoprimario e o foco secundario. Recordo que o foco primario e o ponto onde se intersectam oeixo optico e as direccoes dos raios incidentes que sao refractados paralelamente ao eixo optico,e que o foco secundario e o ponto onde se intersectam o eixo optico e as direccoes dos raiosrefractados que incidiram paralelamente ao eixo optico. Consideremos um objecto a esquerda dalente, infinitamente afastado. Os raios de luz que dele chegam a lente incidem nela paralelamente,e sao refractados em direccoes que intersectam o eixo optico no foco secundario, que e entao aimagem deste objecto. Assim, subtituindo o = −∞ e i = f2 na eq. (23) obtemos uma expressaopara a posicao do foco secundario:

1

f2=ni − nene

(1

r2− 1

r1

). (24)

De igual modo, consideremos agora um objecto pontual situado sobre o foco primario. Entao osraios que incidam na lente em direccoes que contenham a posicao deste objecto sao refractadospela lente em direccoes paralelas ao eixo optico, ou seja, convergem (e formam a imagem) noinfinito. Substituindo agora na eq. (23) o = f1 e i =∞, obtemos

1

f1= −ni − ne

ne

(1

r2− 1

r1

).

Comparando estas duas igualdades, concluımos que

f1 = −f2, (25)

20

ou seja, os dois focos de uma lente estao a mesma distancia da lente, um de cada lado.Define-se distancia focal de uma lente como a posicao do seu foco secundario, isto e,

f = f2.

Substituido f = f2 na eq. (23) e tendo em conta a eq. (24), obtemos, por fim, a equacao das lentes

1

i− 1

o=

1

f. (26)

Atencao: o manual escolhido (Halliday Resnick e Krane, “Fısica”) segue umaconvencao de sinais diferente e, por isso, apresenta uma formula diferente paraa refraccao em superfıcies esfericas, na qual o termo n1/o aparece a somar, enao a subtrair. Os alunos da disciplina podem aplicar a formula que preferirem(desde que a apliquem correctamente, e claro).

6.2 Tracado de raios e ampliacao transversal

Podemos tambem determinar a posicao da imagem refractada por uma lente por metodos geome-tricos, com um diagrama de raios, que se constroi do mesmo modo que para superfıcies refractoras,ou seja, considerando as definicoes dos focos. No caso das lentes finas, a construcao dos diagramasate e mais simples porque os dois focos encontram-se a mesma distancia da lente, um de cadalado.

Comecamos por representar no diagrama o eixo optico, o objecto, a lente3 e os seus dois focos(que sao equidistantes da lente). Se se trata de uma lente convergente, o foco secundario deveser marcado a direita da lente e o foco primario a sua esquerda (do lado em que se deve colocar,por convencao, o objecto; se, pelo contrario, a lente e divergente, o foco secundario deve ficar dolado esquerdo e o primario do lado direito da lente. Em seguida, tracamos um raio com origemno objecto que incide na lente paralelamente ao eixo optico; este raio e refractado numa direccaoque passa no foco secundario. Por fim, tracamos outro raio com origem no objecto que incide nalente segundo uma direccao que passa no foco primario; este raio e refractado paralelamente aoeixo optico. O ponto onde as direccoes dos dois raios refractados se cruzam e o ponto imagem.

Ate aqui, o procedimento e, como se ve, em tudo identico ao seguido no tracado de raios parasuperfıcies refractoras. Com lentes, no entanto, dispomos de um raio adicional. No centro dalente, as duas faces sao paralelas (porque ambas sao aı perpendiculares ao eixo optico. Assim,para um raio que incida no centro de uma lente com espessura desprezavel, tudo se passa como seincidisse numa lente de faces planas e paralelas; logo, nao um tal raio nao sofre nenhum desvio,ou seja, atravessa a lente rectilineamente.

A Figura 22 ilustra os diagramas de raios para lentes convergentes e divergentes.

Figura 22: Diagramas de raios para a refraccao em lentes convergentes (a esquerda) e divergentes(a direita).

Foquemos agora a nossa atencao no primeiro diagrama (o da esquerda) da Figura 22, maisconcretamente dos triangulos rectangulos definidos pelas duas extremidades do objecto e pelo

3Aproveito para introduzir uma convencao de notacoes: nos diagramas de raios, e costume representar uma lenteconvergente por um traco vertical com setas viradas para fora nos seus extremos ( ) e as divergentes por um tracovertical com setas viradas para dentro ( ).

21

vertice da lente (um), e pelas duas extremidades da imagem e pelo vertice (o outro). Estes doistriangulos sao obviamente semelhantes, de forma que podemos escrever

h

−o=h′

i,

onde h e h′ sao respectivamente as alturas do objecto e da imagem e o e i sao as suas respectivascoordenadas horizontais. Reordenando os termos, obtemos

h′

h=i

o.

Mas o quociente entre a altura da imagem e do objecto e a ampliacao transversal. Entao aexpressao da ampliacao das imagens refractadas em lentes e

A =i

o. (27)

6.3 Propriedades das imagens refractadas em lentes finas

Lentes divergentes

Como ja vimos, o foco secundario das lentes divergentes situa-se a esquerda da lente, ou seja,f ≡ f2 < 0. Assim, a razao x = o/f e positiva (e o quociente entre dois numeros negativos).Podemos exprimir i como funcao de o e f , resolvendo a equacao das lentes [eq. (26)] em onde a i,obtendo-se

i =of

o+ f

Substituindo esta igualdade na expressao da ampliacao transversal [eq. (27)], vem

A =f

o+ f=

1

1 + o/f=

1

1 + x.

Mas, como acabamos de constatar, para lentes divergentes o quocientex = o/f e positivo, de forma que a ampliacao resulta positiva e menorque a unidade. A imagem refractada numa lente divergente e, pois, direitae reduzida. Alem disso, como a ampliacao e positiva, i e o tem o mesmosinal, ou seja, a imagem forma-se do lado da lente onde se encontra oobjecto. Assim, a sua posicao e definida pelo prolongamento dos raiosrefractados para o lado da incidencia, e nao pelos raios refractados em si,isto e, trata-se de uma imagem virtual.

Lentes convergentes

Para lentes convergentes, o foco secundario encontra-se a direita da lente; logo, f ≡ f2 > 0. Arazao x = o/f e agora negativa. Assim, considerando a formula para a ampliacao que deduzimosno paragrafo anterior, A = 1/(1 + x), devemos agora distinguir as tres seguintes possibilidades:

• o objecto encontra-se entre o foco e a lente (o > −f). Neste caso, −1 < x < 0 e a ampliacaoe entao maior do que a unidade. Assim, neste caso a imagem e direita e ampliada. Paraalem disso, a imagem forma-se do lado do objecto e, portanto, e virtual.

• o objecto encontra-se a uma distancia da lente superior a distancia focal, mas inferior aodobro da distancia focal (−2f < o < −f). Agora, temos A < −1, ou seja, a imagem einvertida e ampliada. Por outro lado, ela forma-se do lado da lente oposto aquele onde seencontra o objecto; logo, e real

• o objecto encontra-se a uma distancia da lente superior ao dobreo da distancia focal (o <−2f). Temos agora −1 < A < 0: a imagem e invertida, reduzida e real.

A Figura 23 mostra diagramas de raios ilustrando estas tres situacoes.

22

Figura 23: Diagramas de raios para uma lente convergente quando o objecto se encontra entre alente e o foco (a esquerda), quando o objecto se encontra a uma distancia da lente compreendidaentre uma e duas distancias focais (ao centro) e quando o objecto se encontra a uma distancia dalente superior a duas distancias focais (a direita).

6.4 Refraccao em lentes finas — Resumo

• Os dois focos de uma lente fina encontram-se a igual distancia do seu centro, um de cadalado.

• Para lentes convergentes, o foco primario encontra-se do lado da incidencia da luz e o focosecundario do lado oposto. Para lentes divergentes, e ao contrario.

• Raios que incidem na lente paralelamente ao eixo optico sao refractados em direccoes quepassam no foco secundario. Raios que incidem na lente segundo direccoes que passam nofoco primario sao refractados paralelamente ao eixo optico. Raios que incidem no centro dalente nao sofrem qualquer desvio quando atravessam a lente, mantam a sua direccao.

• Coordenadas dos focos de uma lente

n1f1

= −ni − nene

(1

r1− 1

r2

),

n2f2

=ni − nene

(1

r1− 1

r2

),

onde se verifica a convencao de sinais (cartesiana) a que aderimos, ni e ne sao respectivamenteos ındices de refraccao do material de que e composta a lente e do meio exterior e r1 e r2sao, respectivamente (e a atencao que ordem e importante!), os raios de curvatura das facesde entrada e de saıda da luz na lente.

• Distancia focal de uma lente e a coordenada horizontal do foco secundario:

f ≡ f2.

• Equacao das lentes:1

i− 1

o=

1

f.

• Ampliacao

A =i

o

7 Sistemas opticos compostos

Sistemas opticos compostos sao sistemas que sao constituıdos por varios elementos opticos (lentes,espelhos, superfıcies) e nao por um unico, como os que ate agora temos vindo a estudar. Nestaseccao vamos estudar as propriedades das imagens produzidas por estes sistemas.

Na verdade, ja estudamos nestes apontamentos um exemplo de sistemas opticos compostos.Com efeito, descrevemos as lentes finas como duas superfıcies refractoras esfericas. A abordagem

23

que usamos para o estudo das lentes como um sistemas de duas superfıcies e o molde com quese estudam todos os sistemas opticos compostos. Consiste em considerar separadamente cada umdos elementos, e em usar a imagem produzida por cada um como objecto para a formacao daimagem no seguinte.

E mais facil perceber isto seguindo um exemplo. Consideremos o sistema optico esquematizadona Figura 24, constituıdo por duas lentes (convergentes, mas isso e um detalhe agora irrelevante)com distancias focais f e f ′, situadas a uma distancia d uma da outra. Para determinarmos

Figura 24: Um sistema optico composto por duas lentes com distancias focais f e f ′ situadas auma distancia d uma da outra.

as propriedades das imagens formadas por refraccao nas duas lentes do sistema, consideramosprimeiro o efeito da primeira lente e depois o efeito da seguunda lente, tomando como objecto aimagem produzida pela primeira. Em termos do tracado de raios, as duas fases deste processoestao esquematizadas na Figura 25.

Figura 25: Como determinar a posicao da imagem refractada num sistema de duas lentes: aimagem produzida por refraccao na primeira lente serve de objecto para a refraccao na segunda.

Algebricamente, o processo consiste no mesmo: determina-se a posicao da imagem refractadana primeira lente e essa imagem sera o objecto para a refraccao na segunda. Assim, se o for ovalor da coordenada horizontal do objecto, medida relativamente a primeira lente, entao o valor,i1 da coordenada horizontal (medida ainda relativamente a primeira lente) da imagem refractadanessa lente e dada por

1

i1− 1

o=

1

f.

A coordenada horizontal desta posicao (que sera agora a do objecto para a refraccao na segundalente), medida relativamente a segunda lente e

o2 = i1 − d,

onde, recordo, d e a distancia entre as duas lentes. A imagem refractada na segunda lente doobjecto que consiste na imagem do objecto original refractada na primeira lente tem entao umaposicao, medida relativamente a segunda lente, dada de novo pela lei das lentes:

1

i− 1

o2=

1

f ′.

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A ampliacao transversal da imagem refractada pelas duas lentes e, como sempre, a razao entrea altura da imagem (final) e a do objecto:

A =h′

h.

Mas podemos multiplicar e dividir o segundo membro desta igualdade pela altura da imagemintermedia, isto e daquela que se forma por refraccao na primeira lente apenas. Representandoessa altura por h′′, temos

A =h′

h′′h′′

h= A2A1,

onde A1 e A2 sao as ampliacoes da primeira e da segunda refraccoes, respectivamente.

7.1 Objectos virtuais

Pode ocorrer que a imagem refractada pela primeira lente se situe a direita da segunda lente, comomostra a Figura 26. Nesse caso, dizemos que o objecto para a refraccao na segunda lente e umobjecto virtual.

Figura 26: Exemplo de um objecto virtual: a imagem refractada na primeira lente esta situada adireita da segunda lente.

Do ponto de vista algebrico, um objecto virtual distingue-se dos objectos reais apenas porterem coordenada horizontal positiva (ao contrario de todos os que consideramos ate agora, queeram todos reais). Mesmo estando o objecto intermedio a direita da segunda lente, a equacao daslentes continua valida, pelo que a podemos continuar a usar tambem nestes casos. Ou seja, numaabordagem algebrica o procedimento e exactamente o mesmo, quer o objecto seja real, quer sejavirtual.

Mas como fazer o tracado de raios com um objecto virtual? O problema e como determinar emque direccoes sao refractados os raios que tracamos para definir a posicao da imagem refractada naprimeira lente, e que encontram a segunda lente antes de a formarem. Para o raio que incidiu naprimeira lente apos ter passado no foco primario da primeira (ou, no caso das lentes divergentes,apos ter incidido na primeira lente numa direccao que continha o seu foco primario), a questao etrivial, uma vez que este raio incide na segunda lente paralelamente ao eixo optico. Ele e refractadopela segunda lente numa direccao que contem o seu foco secundario.

Por outro lado, um outro raio refractado pela primeira lente tem um comportamento facil deprever quando atravessa a segunda lente: o raio que incide nela exactamente no centro. Este raionao e desviado pela segunda lente, de forma que continua o seu caminho ate atingir o ponto ondese encontra a imagem refractada pela primeira lente. O ponto onde estes dois raios (o que incidena segunda lente paralelamente ao eixo optico e o que incide no seu centro) se intersectam e localonde se forma a imagem refractada no conjunto das duas lentes (veja a Figura 27).

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Figura 27: Como determinar a posicao da imagem refractada numa lente de um objecto virtual:considera-se um raio que incida na lente paralelamente ao eixo optico e outro que incida no centroda lente.

8 Instrumentos opticos

8.1 O olho humano

8.2 A lente de aumento

8.3 Microscopio composto

8.4 Telescopio

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