Problema 1. (reciproca teoremei Pitagora). Fie Dac , atunci

triunghiul ABC este dreptunghic n A.

Rezolvare Fie

Conform teoremei cosinusurilor n avem egalitatea:

Conform (1) din (2) obinem

Rezulta ca este dreptunghic n A .

Problema 2. (Reciproca teoremei nlimii ). Fie punctul M aparine laturii (BC) astfel

nct S se arate c este dreptunghic.

Rezolvare:

Fie Atunci

Din triunghiurile dreptunghice ABM i ACM conform

teoremei Pitagora avem relaiile:

Prin adunare parte cu parte a egalitilor (1) i (2)

obinem Conform reciprocei

teoremei Pitagora avem adica este dreptunghic n A.

Problema 3. (Reciproca teoremei catetei). Fie punctul M aparine laturii (BC) asfel nct

S se arate c este dreptunghic.

Rezolvare:

Dac atunci

Din triunghiurile dreptunghice ACM i

ABM avem

Conform

reciprocei teoremei nlimii este dreptunghic

n A.

Problema 4. Fie cu Artai

c

Rezolvare: Prin aplicarea teoremei Thales avem:

Din (1) i (2) rezult c

Remarc: Dac MN este linie mijlocie , atunci adic linia mijlocie

njumtete segmentul AQ , oricare ar fi

Problema 5. Fie Artai c

Rezolvare:

Ducem Cum punctele B, M,

C, sunt colineare , atunci i au

acelai nlime AD .

Avem

Remarc: Dac este median , adic

atunci

Problema 6. Fie . Artai c medianele lui l mpart n 6 triunghiuri de aceeai arie , egal

cu

Rezolvare:

Fie M ,N ,P mijlocurile laturilor (CB) , (AC) i ,

respectiv (AB) , iar

. Avem

Atunci

iar

Problema 7. n dreptunghiul cu dimensiunile punctele M i N

sunt situate pe laturile (BC) i , respectiv AD , astfel nct patrulaterul BMDN este un romb .

S se afle lungimea laturii rombului.

Rezolvare:

Fie astfel c

. Atunci Aplicm teorema

Pitagora triunghiului dreptunghic

sau

Rezult

Rspuns: Lungimea laturi rombului este egal cu 1,25cm.

Problema 8. n paralelogramul ABCD punctele sunt situate pe laturile i ,

respectiv AD , astfel nct Dac s se afle valoarea

raportului

Rezolvare:

Fie atunci

iar Din

asemnarea

Problema 9. Fie trapezul cu

S se afle aria trapezului.

Rezolvare:

Fie astfel nct

Notm

Prin aplicarea teoremei Pitagora n

avem:

.

Din (1) i (2) obinem: sau

Atunci .

Rspuns:

Problema 10. Laturile unui paralelogram au lungimile egale cu , iar diagonalele

lui formeaz un unghi ascuit cu msura egal cu . S se afle aria paralelogramului.

Rezolvare:

Fie Notm

Diagonalele

paralelogramului mpart aria lui n 4 pri

egale. Rezult c

Aplicm

teorema cosinusurilor n

Din (1) i (2) avem sau

(3).

Din(3)

Rspuns:

Problema 11. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=5cm i BC=4cm . Punctele M, N i P aparin

respectiv segmentelor (BD) , (BC) i (AB) astfel nct patrulaterul AMNP este un romb. S se

afle lungimea laturii rombului.

Rezolvare:

Fie

Avem

Din asemnare

. Cum prin

aplicarea teoremei Pitagora avem:

Rezult

Rspuns: Latura rombului are lungimea egal cu 3,125cm.

Problema 12. Fie triunghiul ABC. Punctele M i N sunt situate pe latura (BC) astfel nct

BM=MC , S se afle msurile unghiurilor

interioare ale triunghiului ABC.

Rezolvare: Fie iar

BM=CM=2x. n nlime i

bisectoare isoscel cu BN=NM=

x. n este bisectoarea unghiului

NAC. Conform teoremei bisectoarei

n dreptunghic n N , cateta AN are

lungimea egal cu jumtate din lungimea ipotenuzei

Problema 13. Fie triunghiul ABC cu AB=3cm i AC=7cm . Bisectoarea unghiului BAC taie

latura (BC) n punctul D , iar perpendiculara dus din B la dreapta AD taie latura (AC) n

punctul E. S se determine distana dintre mijlocurile segmentelor [BE] i [BC].

Rezolvare:

Fie Triunghiul ABE este isoscel , deoarece

[AP] este bisectoare i nlime. Rezult c [AP] este i

median , adic BP=PE , AB=AE=3cm , iar CE=4cm. Fie F

mijlocul laturii (BC), iar P mijlocul segmentului [BE] .Rezult

c lungimea segmentului [PE] este distana cerut. Cum [PE]

este linie mijlocie n

Problema 14. (Relaia Stewart). n punctul M este un punct

pe latura BC astfel nct BM=m , CM=n , iar AM= . Artai c este just egalitatea

Rezolvare: Ducem

.

Teorema

Pitagora ofer relaiile:

Prin adunarea

primelor dou egaliti ,

nmulite respectiv cu n

i m , obinem

(m+n)mn+(m+n)

Cum

Remarc. Dac M este mijlocul laturii (BC) , adic atunci din relaia Stewart

obinem formula medianei AM:

Problema15. (Criteriul metric al paralelogramului). S se arate c un patrulater convex ABCD

este un paralelogram dac i numai dac

Rezolvare:

Fie ABCD-paralelogram. Ducem

Teorema Pitagora ofer relaiile:

Cum

Remarc: Egalitatea din enun se demonstreaz direct prin aplicarea formulei medianei: Fie

n segmentul [BO] este median Cum

Problema 16. S se arate c dac M i N sunt mijlocurile diagonalelor AC i , respectiv BD ,

ale patrulaterului convex ABCD , atunci are loc relaia:

Rezolvare:Formula medianei ofer relaiile:

nlocuim relaiile (1) i (2) n

(3):

Remarc: Reciproca criteriului metric al paralelogramului.

Fie Din (