ASEMANAREA ASEMANAREA TRIUNGHIURILORTRIUNGHIURILOR

TEOREMA LUI THALESTEOREMA LUI THALES O paralela la o latura a unui triunghi determina O paralela la o latura a unui triunghi determina

pe celelalte doua, segmente proportionalepe celelalte doua, segmente proportionale i) Cazul: Di) Cazul: D(AB), E(AB), E(AC)(AC) DEDE BC BC

EC

AE

DB

ADA

B C

D E

AC

AE

AB

AD

AC

EC

AB

DB

i) Cazul:Di) Cazul:D(AB; E(AB; E(AC(AC

ii) Cazul: Dii) Cazul: D(BA; E(BA; E(CA(CA

D E

A

B C

BC

A

DE

TRIUNGHIURI ASEMENEATRIUNGHIURI ASEMENEADoua triunghiuri sunt asemenea daca au Doua triunghiuri sunt asemenea daca au unghiurile respectiv congruente si laturile unghiurile respectiv congruente si laturile omoloage proportionaleomoloage proportionale

A

B C B’ C’

A’

CCBBAA

BC

CB

AC

CA

AB

BA

ˆˆ;ˆˆ;ˆˆ

ABC CBA ~~

TEOREMA FUNDAMENTALA A TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARIIASEMANARII

TEOREMA FUNDAMENTALA A TEOREMA FUNDAMENTALA A

ASEMANARIIASEMANARII O paralela la o latura a unui triunghi O paralela la o latura a unui triunghi

formeaza cu celelalte doua un triunghi formeaza cu celelalte doua un triunghi asemenea cu cel dat.asemenea cu cel dat.

DE DE BC BC ∆ADE ~∆ABC∆ADE ~∆ABC

AC

AE

BC

DE

AB

AD

B C

A

D E

CRITERII DE ASEMANARECRITERII DE ASEMANARE

Doua triunghiuri sunt asemenea daca Doua triunghiuri sunt asemenea daca au:au:

1. Cate un unghi congruent si laturile 1. Cate un unghi congruent si laturile care-l formeaza proportionale: L.U.L;care-l formeaza proportionale: L.U.L;

2. Cate doua unghiuri respectiv 2. Cate doua unghiuri respectiv congruente: U.U;congruente: U.U;

3. Laturile omoloage proportionale: 3. Laturile omoloage proportionale: L.L.L.L.L.L.

APLICATIIAPLICATII

1.Teorema bisectoarei;1.Teorema bisectoarei;

2. Teorema lui Menelaus;2. Teorema lui Menelaus;

3. Teorema lui Ceva3. Teorema lui Ceva

11. . TEOREMA BISECTOAREITEOREMA BISECTOAREI Bisectoarea unui unghi al unui triunghi Bisectoarea unui unghi al unui triunghi

determina pe latura pe care cade un determina pe latura pe care cade un raport direct egal cu raportul laturilor care raport direct egal cu raportul laturilor care formeaza unghiul.formeaza unghiul.

[AE bis[AE bisABCABC

AC

AB

CE

BE

A

B C

M

E

Demonstratie (teorema directa)Demonstratie (teorema directa)

Demonstratie ( teorema reciproca)Demonstratie ( teorema reciproca)

AC

AB

EC

BEAMACcumThales

EC

BE

AM

ABAEMC

AMACACMisosceltatetranzitiviACMMdeci

EACBAEtoareAEbi

ernealterneACMEACantaAEsiACMC

enteMcorespondBAEAEsiBMMC

][][),(

][][)(

sec[

)int(sec

.sec

BACAEbistatetranzitiviEACBAEDeci

altACEEACACCMAE

ntecorespondeMBAEBMCMAE

MACMACMisoscel

ACAMAC

AB

AM

ABipoteza

AC

AB

EC

BEcumThales

AM

BA

EC

BEAEMC

.[)(

int).(.sec,

)(.sec,

;

][][)(),(

2. TEOREMA LUI MENELAUS2. TEOREMA LUI MENELAUS Daca o dreapta d intersecteaza toate Daca o dreapta d intersecteaza toate

laturile unui triunghi ABC in punctele laturile unui triunghi ABC in punctele MMAB, NAB, NBC, PBC, PAC, atunci este AC, atunci este verificata relatia:verificata relatia:

A

B C

EM

F

N

P G

a

bc

d

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

Demonstratia teoremei lui Menelaus:Demonstratia teoremei lui Menelaus:

RECIPROCA TEOREMEI LUI MENELAUSRECIPROCA TEOREMEI LUI MENELAUS Daca pe leturile triunghiului ABC luam punctele Daca pe leturile triunghiului ABC luam punctele

MMAB, NAB, NBC, PBC, PAc astfel incat sa verifice relatia :Ac astfel incat sa verifice relatia :

atunci punctele M,N,P sunt coliniare.atunci punctele M,N,P sunt coliniare.

Demonstratia teoremei reciproce:Demonstratia teoremei reciproce:

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

coliniarePNMPPAP

CP

PA

PCipoteza

PA

PC

NC

NB

MB

MACum

AP

CP

NC

NB

MB

MAsiPACMNenecoliniarPNMes

,,)(1

1}{,,.Pr

1

..;;,,:

a

c

c

b

b

a

PA

PC

NC

NB

MB

MA

afta

c

PA

PC

c

b

NC

NB

b

a

MB

AMCGBFAEdCGdBFdAEFie

Teorema lui Ceva.Teorema lui Ceva. Daca M, N, P sunt puncte pe laturile [AB], [BC], Daca M, N, P sunt puncte pe laturile [AB], [BC],

respectiv [AC],astfel incat AN, BP si CM sunt respectiv [AC],astfel incat AN, BP si CM sunt concurente in O, atunci este verificata relatia: concurente in O, atunci este verificata relatia:

Demonstatia se face Demonstatia se face cu ajutorul teoremei cu ajutorul teoremei lui Menelaus aplicata lui Menelaus aplicata inin ∆ ABN,∆ ABN, MCMC secanta secanta si insi in ∆ANC,∆ANC, BP BP secanta.Inmultind relatiile obtinute membru secanta.Inmultind relatiile obtinute membru

cu membru avem:cu membru avem: Deci prin simplificare obtinem relatia din teorema.Deci prin simplificare obtinem relatia din teorema.

1PA

PC

NC

NB

MB

MAA

B C

M

N

P

O

1AP

PC

BC

BN

ON

OA

OA

NO

CN

BC

MB

MA

Reciproca teoremei lui CevaReciproca teoremei lui Ceva Daca pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele Daca pe laturile [AB], [BC], [AC] se iau punctele

M, N, respectiv P astfel M, N, respectiv P astfel incat verifica relatia:incat verifica relatia:

atunci AN, BP si CM sunt concurenteatunci AN, BP si CM sunt concurente . .

Demonstratia se face prin reducere la absurd.Demonstratia se face prin reducere la absurd. Presupunem ca AN nu trece prin O,{O}= CPPresupunem ca AN nu trece prin O,{O}= CPBM. BM. Fie AOFie AOBC={NBC={N’}. Aplicand teorema lui Ceva ’}. Aplicand teorema lui Ceva

pentru punctele M, P si N’ si comparand cu pentru punctele M, P si N’ si comparand cu relatia din enunt obtinem ca N = N’ relatia din enunt obtinem ca N = N’

1PA

PC

NC

NB

MB

MA

SUCCES!SUCCES!