asc_temele 1-14

7/18/2019 ASC_temele 1-14

http://slidepdf.com/reader/full/asctemele-1-14 1/182

Analiza şi Sinteza Circuitelor

Cursul 1 INTRODUCERE. TOPOLOGIA CIRCUITELOR

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Durata cursului este de 56 ore distribuite astfel:

28 ore de curs – 14 şedinţe

14 ore de seminar – 7 şedinţe14 ore de laborator – 7 şedinţe

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Bibliografie recomandată:

[1] Victor Popescu - Semnale, circuite şi sisteme. Partea III-a.Teoria Circuitelor. Editura Casa Căr ţii de Ştiinţă, 2003

[2] Adelaida Mateescu – Semnale şi sisteme. Editura Teora, 2001

[3] M. Săvescu, T. Petrescu, S. Ciochină – Semnale, circuite şi

sisteme. Probleme. Editura tehnică, 1976

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Examinare pe parcurs (Ep=50 p.):

Asistenţă la curs (AC=10 p.)

Teste la seminar (TS=30 p.):

Evaluare laborator (EL=20 p.)

Examinare finală (E=50 p.):

un test scris compus din: teorie (10 p.)grilă (20 p.)probleme (20 p.)

Componentele notei: un total de 100 de puncte (pentru nota 10) sedistribuie astfel:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Capitolele cursului:

Curs 1 – Introducere. Topologia circuitelor.Curs 2 – Metode de analiză matricială. Circuite duale.Curs 3 – Funcţii de circuit. Forma compactă a r ăspunsului permanent.

Curs 4 – Formalisme de reprezentare a multipor ţilor. Formalismul derepartiţie.Curs 5 – Structuri de unipor ţi. Unipor ţi cu un singur tip de elemente.Curs 6 – Unipor ţi de ordinul I.

Curs 7 – Unipor ţi de ordinul II. Echivalenţa unipor ţilor.Curs 8 – Dipor ţi pasivi. Dipor ţi simetrici şi asimetrici.Curs 9 – Propagarea undelor şi adaptarea dipor ţilor. Adaptarea lanţurilor dedipor ţi.

Curs 10 – Circuite de adaptare.Curs 11 – Defazajul introdus de dipor ţi. Rejecţia unor frecvenţe.Curs 12 – Filtre pasive. Caracteristici universale de frecvenţă.Curs 13 – Filtre de tip k-constant. Filtre derivate-m.

Curs 14 – Corectarea impedanţei caracteristice. Exemple de calcul al filtrelor compuse.

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Laborator:

Lucrare 1 – Sisteme de ordinul ILucrare 2 – Sisteme de ordinul II TJ şi TS.

Lucrarea 3 – Sisteme de ordinul II TB.Lucrarea 4 – Circuite duale.Lucrarea 5 – Unipor ţi elementari.Lucrarea 6 – Propagarea undelor şi adaptarea.

Lucrarea 7 – Circuite simple de adaptare.Lucrarea 8 – Adaptoare pe imagini.Lucrarea 9 – Adaptare cu rejecţie de frecvenţe.Lucrarea 10 – Filtre de tip k-constant

Lucrarea 11 – Filtre derivate.Lucrarea 12 – Filtre compuse.Lucrarea 13 – Filtre active Sallen-Key.Lucrarea 14 – Recuper ări, testare.

1 1 I t d i t i i it l

7/18/2019 ASC_temele 1-14


SISTEM - un ansamblu de elemente, dependente intre ele si

formand un intreg organizat; este reprezentat printr-un modelmatematic format din:•o mulţime de perechi de vectori intrare-ieşire, care î şi corespund:

x y•o transformare T aplicată semnalelor de intrare x, care furnizează semnalele de ieşire y: y= T(x)

SISTEM ELECTRIC - sistemul format dintr-un ansamblu decircuite electrice

CIRCUIT ELECTRIC – un ansamblu de componente electrice şielectronice, interconectate prin conductoare sau prin câmp

electromagnetic, care transmit şi prelucrează semnale electrice Analiza - determinarea r ăspunsului unui sistem (circuit) dat la o

excitaţ ie data ( se dau: circuitul si excitatia; se cere raspunsul)

Sinteza - determinarea structurii unui sistem (circuit) dintr-o clasă precizat ă, care să realizeze o transformare dat ă ( se dau:excitatia si raspunsul; se cere: structura circuitul)

1.1 Introducere in teoria circuitelor

1 1 I t d i t i i it l

7/18/2019 ASC_temele 1-14


După natura elementelor componente sistemele (circuitele)pot fi: Cu parametrii concentrati (se poate neglija fenomenulde propagare a undelor electromagnetice)

1. Cu parametrii distribuiti (fenomenul de propagare a undelor

electromagnetice nu poate fi neglijat)


1 1 Introd cere in teoria circ itelor

7/18/2019 ASC_temele 1-14



y(t)=tx(t)y(t)=tx(t)

1 1 Introducere in teoria circuitelor

7/18/2019 ASC_temele 1-14


• Circuitele considerate in continuare sunt:

1. liniare,2. Invariante in timp3. Cu parametrii concentrati

• După numărul de poli (terminale) de conectare în exteriorexista urmatoarele tipuri de circuite:

1. Dipoli (2 terminale)

2. Tripoli (3 terminale)3. Cudripoli (4 terminale)4. n-poli (n terminale)• După numărul de porti (perechi de terminale) de

conectare în exterior exista urmatoarele tipuri de circuite:1. Uniporti (1 poarta)2. Diporti (2 porti)

3. n-porti (n porti)


1 2 Topologia circuitelor

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1.2 Topologia circuitelor 1.2.1 Grafuri liniare orientate (GLO)

Proprietăţi topologice - sunt cele care decurg exclusiv din modulde interconectare a laturilor circuitului

Se exprimă:

grafic: prin graful liniar orientat (GLO);

analitic: prin teoremele lui Kirchhoff TKI

TKV DEFINIŢIE:

Un graf este o colecţie de puncte în plan, numite noduri ale grafului,conectate prin arce orientate (cu un sens de parcurgere), numite laturi alegrafului.

Graful Liniar Orientat este o reprezentare a topologiei unui circuit.

Calea este o succesiune de laturi orientate în acelaşi sens şi f ăr ă a trece dedouă ori prin acelaşi nod (f ăr ă a face bucle).Bucla este o cale închisă pe ea însăşi.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Etape în întocmirea GLO plecand de la un circuit dat :1) se numerotează nodurile;

OBSERVAŢIE

(1)(2) (3)

(4)

: două noduri conectate printr-oimpedanţă nulă reprezintă un singur nod electric [nodul (5)].

2) se orientează şi se numerotează laturile.3) se plasează (arbitrar) noduri în plan;4) se plasează laturile GLO.

(5)

2 3 4

5 6 7 8

1

(1)(2) (3)

(4)

(5)

1

2 3 4

5 6 7 8



7/18/2019 ASC_temele 1-14


3

6

5 8

2

7

4

1

(2) (3)

(4)(5)(1)

EXEMPLU:

3) cale sau drum – Ex. 7 si 5, între (3), (5) şi (1).4) buclă – Ex. Calea între (1), (2), (3), (4) şi (1).

3

2 4

1

1) nod – Ex. (2), (3), (5) 2) latura – Ex. 7, între (3) şi (5).

5) Un GLO este planar dacă el poatefi reprezentat în plan f ăr ă ca laturilesă se intersecteze.



7/18/2019 ASC_temele 1-14


Graful de fluenţă permite reprezentarea sistemelor de ecuaţii algebrice liniare.

( )u t

( )i tR L

( ) ( ) ( )d i t

u t R i t Ldt

= +

( )u td

R Ldt

∗∗ +( )i t

operator

Săgeţile indică:sensuri de referinţă sensul transmiterii semnalului

Schimbarea sensului are ca efect:

schimbarea semnului mărimilor inversarea operatorului

R sL+( )U s( )I s

( ) ( ) ( )U s R s L I s= + ⋅

operator algebric

la GLO: la GF:

1.2 Topologia circuitelor 1.2.2 Grafuri de fluenta GF (sau de semnal GS)

1.2 Topologia circuitelor

7/18/2019 ASC_temele 1-14


DEFINIŢIE:Factorul care înmulţeşte mărimea din originea laturii pentru a obţinemărimea din extremitate sa numeste transmitanţă a laturii.

DEFINIŢIE:Graful de fluenţă (de semnal) este format din:

1.- o mulţime de puncte în plan (numite noduri) asociate unor mărimi fizice

2.- o mulţime de arce orientate (numite laturi) care leagă nodurile.

a) latura este orientată de la nodul j la nodul k

b) mărimea din origine aduce o contribuţie la formarea mărimii

din extremitate( )kj jt x⋅

c) mărimea din extremitate este egală cu suma contribuţiilor transmiseprin laturile convergente nodului:

k kj j j

x t x= ⋅

∑

3.- fiecărei laturi i se asociază transmitanţa t kj cu semnificaţia:



7/18/2019 ASC_temele 1-14


EXEMPLU: Fie sistemul de ecuaţii in care se expliciteaza fiecare variabila:

1 2 1

1 3 1 2

1 2 3

y 2 y x

y 3 y x x

2 y y 3 y 0

+ =⎧⎪

− + = − +⎨⎪ + + =⎩

1 2 1

3 1 3 1 2

2 1 3

y 2 y x

y y 2 y x x

y 2 y 3 y

= − +⎧⎪

⇒ = − − +⎨⎪ = − −⎩

1y

2y

3y

1x

2x

1

2−1y

2y

3y

1x

2x

1y

2y

3y

1x

2x 3−

2−

1

2−

1−

1

1y

2y

3y

1x

2x

12−

3−

2−

1

2−

1−

1

Final: IMPORTANT: Din fiecare ecuaţie trebuieexplicitată altă variabilă!



7/18/2019 ASC_temele 1-14


Elemente ale GF :

latur ă = un arc ce leagă două noduri.

nod = punct asociat unei mărimi fizice.

cale (drum) = o succesiune de laturi orientate în acelaşi sens f ăr ă a trecede două ori prin acelaşi nod.

buclă = o cale închisă pe ea însăşi.

buclă proprie (a unui nod) = o buclă cu o singur ă latur ă.

nod sursa = are incidente numai laturi divergente (excitaţie).

nod sarcină = are incidente numai laturi convergente.nod intermediar (de trecere) = are incidente şi laturi convergente

şi laturi divergente.

2−

1

1

3−

11

1−

2−

1−2−

1y

2y

3y

1x

2x

p g1.2.2 Grafuri de fluenta GF (sau de semnal GS)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


DEFINIŢII:Un GF care are numai noduri sursă şi nodurisarcină se numeşte ireductibil.Transmitanţele unui graf ireductibil sunttransmitanţele globale ale grafului.

A rezolva un GF (echivalent cu a rezolva sistemul de ecuaţii) înseamnă a-laduce la forma ireductibila si a determina transmitanţele sale globale.

EXEMPLU: Dacă graful dat se aduce la forma ireductibila:

1y

2y

3y

1x

2x

11T

12T21T

22T

31T32T

soluţia problemei se scrie direct:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

3 31 1 32 2

y T x T xy T x T x

y T x T x

= +⎧⎪= +⎨

⎪ = +⎩



7/18/2019 ASC_temele 1-14


Regula lui Mason permite determinarea transmitanţei globale de la un nodsursă la un nod oarecare (sarcină sau intermediar) prin relaţia:

ij k k

k

1T T= Δ

Δ ∑unde:

1m 2m 3mm m m

1 P P PΔ = − + − +∑ ∑ ∑ L este determinantul GF .

P1m transmitanţa buclei m (produsul transmitanţelor laturilor care

o compun);P2m transmitanţa perechii m de bucle neadiacente

(care nu au nici un nod comun);P

3mtransmitanţa tripletului m de bucle neadiacente două câte două;

Tk este transmitanţa căii k de la nodul sursă la nodul considerat(produsul transmitanţelor laturilor care compun calea).

Δk este determinantul sub-grafului neadiacent c

ăii (se ob

ţine din graful

dat eliminând toate nodurile căii respective).



7/18/2019 ASC_temele 1-14


EXEMPLU 1:Să determinăm transmitanţa T 31 în GF alăturat.

2−

1

1

3−

11

1−

2−

1−2−

1y

2y

3y

1x

2x

1P 2 1 2= − ⋅ = − 2P 1= ( )3P 1 3 3= − ⋅ − =

4P 2= − ( ) ( )5P 3 2 2 12= − ⋅ − ⋅ − = −

( )14 1 4P P P 2 2 4= ⋅ = − ⋅ − =

( )24 2 4P P P 1 2 2= ⋅ = ⋅ − = −

Evaluăm transmitanţele buclelor:

Sunt numai două dublete de bucle neadiacente:

Determinantul este: ( ) ( )1 2 1 3 2 12 4 2 15Δ = − − + + − − + − =

1.2.2 Grafuri de fluenta GF (sau de semnal GS)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


CONTINUARE EXEMPLU 1:

Să determinăm transmitanţa T 31 în GF alăturat.

2−

1

1

3−

11

1−

2−

1− 2−

1y

2y

3y

1x

2x

Determinantul este: ( ) ( )1 2 1 3 2 12 4 2 15Δ = − − + + − − + − =

( )1 1T 1 2 2 ; 1 1 0= ⋅ − = − Δ = − = ( )2 2T 1 1 1 1; 1= ⋅ ⋅ − = − Δ =

( )3 3T 1 1 1; 1= − ⋅ − = Δ = ( ) ( )4 4T 1 2 2 4 ; 1= − ⋅ − ⋅ − = Δ =

Sunt patru căi de la x 1 la y 3 :

Transmitanţa globală:

( ) ( ) ( ) ( )311 4

T 2 0 1 1 1 1 4 115 15

⎡ ⎤= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −⎣ ⎦



7/18/2019 ASC_temele 1-14


EXEMPLU 2:Să determinăm şi transmitanţa T 32 .

2−1

1

3−11

1−

2−

1− 2−

1y

2y

3y

1x

2x

Sunt două căi:

Transmitanţa globală:

( ) ( )1 1T 1 2 2 4 ; 1= ⋅ − ⋅ − = Δ =( )2 2T 1 1 1 ; 1= ⋅ − = − Δ =

( ) ( )32 1 3 1T 4 1 1 115 15 5

⎡ ⎤= ⋅ + − ⋅ = =⎣ ⎦

Acum, se poate scrie soluţia par ţială:

3 31 1 32 2y T x T x= + 1 24 1x x15 5

= − +


7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 2 METODE DE ANALIZĂ MATRICIALĂ. CIRCUITE DUALE.

2.1 Metode de analiză matricială2 1 1 M t i d i

7/18/2019 ASC_temele 1-14


În general, un sistem liniar si invariant este caracterizat de un sistem deecuaţii algebrice liniare.

Acestea se obtin scriind ecuaţiile ce descriu circuitul în termenii

Transformatei Laplace (pentru a obţine ecuaţii algebrice din ecuatiilediferentiale initiale), astfel:

⋅ = ⋅A Y B X

2.1.1 Matricea de conexiune

In final sistemul de ecuaţii algebrice liniare se poate scrie sub formamatriciala astfel:

1. Tteorema I a lui Kirchhoff (TKI) – suma algebrica a curentilordintr-un nod este nula

2. Tteorema II a lui Kirchhoff (TKV) – suma algebrica a tensiunilorlaturilor ce formeaza o bucla este nula

3. Curenţii din laturi se pot determina în funcţie de tensiuni, prinlegea lui Ohm

2.1 Metode de analiză matricială2 1 1 M t i d i

7/18/2019 ASC_temele 1-14


În sistemul de ecuaţii algebrice liniare:

⋅ = ⋅A Y B X

( ) [ ]T1 2 nn 1 y y y× = Y L este vectorul necunoscutelor (r ăspunsurilor)

( ) [ ]T

1 2 mm 1 x x x× =X L este vectorul excitaţiilor

( ) ( )n n ; n m× ×A B

sunt matricile coeficienţilorEcuaţia se scrie, succesiv:

0 = − ⋅ + ⋅ +A Y B X Y = − ⋅ + ⋅ Y Y A Y B X ( )n= − ⋅ + ⋅ Y 1 A Y B X

[ ]n ⎡ ⎤= − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Y Y 1 A BX

DEFINIŢIE:

Matricea:[ ]n

= −T 1 A Bse numeşte matrice de conexiunea circuitului sau a GF asociat circuitului


2.1 Metode de analiză matricială2 1 1 Matricea de conexiune

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Explicitând matricea de conexiune se obţine:

Matricea de conexiune permite construcţia directa a GF

( variabilele y i sunt deja explicitate):

1) Se amplasează câte un nod pentru fiecare coloană a matricii de conexiune.2) Pentru fiecare element nenul, se duce o latur ă de la nodul asociat coloanei

la nodul asociat liniei.

3) Pe latura grafului se notează, ca transmitanţă, valoarea elementului nenul.

4) Se rezolva sistemul calculand transmitantele globale cu regula lui Mason.


[ ]n= −T 1 A B

1y

2y

ny

111 a−

221 a−

nn1 a−

12a−

1na−

11b

12b

1mb

21b 22b 2mb

n1b n2b nmb

21a− 2na−

n1a− n2a−

L

L

L

L

L

L

LLL LLLL

1y

2y

nyL

1x

2x

mxL

1y 2yny 1x 2x mx

=

2.1 Metode de analiză matricială2 1 1 Matricea de conexiune

7/18/2019 ASC_temele 1-14


EXEMPLU: Reluăm sistemul de ecuaţii si plecam de la relatia :1 2 1

1 3 1 2

1 2 3

y 2 y x

y 3 y x x

2 y y 3 y 0

+ =⎧⎪

− + = − +⎨⎪

+ + =⎩

1 2 0 1 0

1 0 3 ; 1 1

2 1 3 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B

[ ]1

n 2

3

y 0 2 0 1 0

y 1 1 3 1 1

y 2 1 2 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − −

⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

T 1 A B

1y 2y 3y 1x 2x

2−

1

1

3−11 1−

2−

1−2−

grafuri izomorferezolvabile cu regula lui Mason

1y

2y

3y

1x

2x

1

2−

3−

2−

1

2−

1−

1

Stg.. – GF precedent

Drp. – GF actual

1y

2y

3y

1x

2x


⋅ = ⋅A Y B X

2.1 Metode de analiză matricială2 1 2 Analiza Sistemelor Analogice Liniare si Invariante

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Sistemele Analogice Liniare si Invariante in timp (SALI) cu o singuraintrare x(t) si o singura iesire y(t) sunt caracterizate printr-o ecuatiediferentiala cu coeficienti reali si constanti

Ordinul n al ecuatiei diferentiale este determinat in cazul circuitelorelectrice de numarul elementelor reactive.

2.1.2 Analiza Sistemelor Analogice Liniare si Invariante


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Exemplul 1: circuitul RL serie1. Este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de ordinul Ideoarece contine un singur element de circuit reactiv

2. Excitatia este tensiunea electromotoare e(t)

3. Raspunsul este curentul i(t)



7/18/2019 ASC_temele 1-14


Exemplul 2: circuitul RLC paralel1. Este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de ordinul

II deoarece contine doua elemente de circuit reactive2. Excitatia este curentul i(t)3. Raspunsul este tensiunea electromotaore e(t)


2.1 Metode de analiză matricială2.1.2 Analiza Sistemelor Analogice Liniare si Invariante

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Functia de transfer (de sistem sau de circuit) H(s) a SALI este ofunctie rationala in s definita ca raportul dintre TransformataLaplace a iesirii Y(s) si cea a intrarii X(s), in conditii initiale nule


7/18/2019 ASC_temele 1-14



Functiile de transfer ale circuitului RL serie si RLC paralel


7/18/2019 ASC_temele 1-14


g

In cazul unui SALI cu mai multe intrari si mai multe iesiri functia de

transfer H(s) este o matrice ale carei elemente se calculeaza peprincipiul suprapunerii efectelor


7/18/2019 ASC_temele 1-14


g

Functiile de transfer ale circuitului RL serie si RLC paralel

2.1 Metode de analiză matricială2.1.3 Multi-poli si multi-porti

7/18/2019 ASC_temele 1-14


n pol−

1

2

k

n

1i

2i

ki

ni

1V

2V

kV

nV

Curenţii la terminale pot fi exprimaţi în funcţie de potenţiale la terminale:

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

11 12 1j 1n 11

221 22 2j 2n2

jk k1 k2 kj kn

n nn1 n2 nk nn

Y Y Y Y V sI sV sY Y Y YI s

V sI s Y Y Y Y

I s V sY Y Y Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

L L

L L

LL L L L L L L

L L

L LL L L L L L

L L

p p

Pentru un SALI de tip n-pol la care marimile de intrare sunt potentialeleIar cele de iesire curenti la terminale, functia de trasfer H(s) devine matriceade transfer, de tip matrice admitanta nedefinita (cu determinant nul)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


1

2

3 4

5

6

6-pol

terminal sau pol

DEFINIŢIE:Poarta este o grupare de terminale având suma algebrică a curenţilor nulă.

i2 u65

u40

Gruparea în por ţi poate fi determinată de:structura internă

conexiunile externe

1

2

3 4

5

6

M

1

2

3 4

5

6

C1

C2

C3

3-port

DEFINIŢIE: Dacă unul dintre terminale este conectat la masă, circuitul senumeşte: „cu bornă la masă”, sau „cu bornă comună”.

Transformarea unui multi-pol in multi-port (6-pol in 3-port)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


OBSERVAŢIE: Cel mai des se întâlnesc por ţi formate din două terminale.La o asemenea poartă se definesc o tensiune şi un curent.

RAŢIONAMENT:

1) Un circuit n-port are definit 2n mărimi (n tensiuni şi n curenţi); pentrudeterminarea acestora sunt necesare 2n relaţii.

2) Prin conectarea unui circuit exterior la o poartă se impun o relaţie întretensiunea şi curentul la poarta respectivă.

3) Conectând n circuite la cele n por ţi se impun, deci, n relaţii.

4) Pe de altă parte, dacă la toate por ţile unui circuit sunt conectate circuiteexterioare, circuitul este determinat.

5) Cum circuitele exterioare furnizează n relaţii, r ămâne că n-portul trebuiesă furnizeze restul de n relaţii.

CONCLUZIE: Un circuit n-port este caracterizat prin n relaţii

între tensiunile şi curenţii de la por ţile sale.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Cazul unui diport - considerand ca la ambele porti se aplica surse detensiune Iar curentii la porti sunt raspunsurile, matricea de transfer are caelemente, admitanţele în scurtcircuit ale dipolului

2.1 Metode de analiză matricială2.2 Circuite duale

7/18/2019 ASC_temele 1-14



7/18/2019 ASC_temele 1-14


Exemplu: uniporti si conexiuni duale1. Rezistenta-Conductanta2. Bobina-Condensatorul3. Sursa de tensiune-Sursa de curent4. Conexiune serie - Conexiune paralel


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Exemplu de diporti duali

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 3 FUNCTIA DE CIRCUIT.DETERMINAREA RASPUNSUL UNUI CIRCUIT.

3.1 Functia de circuit

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Observaţii:

1) Funcţiile de circuit (f.d.c) se definesc în vederea caracterizării „la borne”a circuitelor electrice liniare, invariante şi cu parametri concentraţi.

2) Ele sunt particularizarea la circuite a funcţiilor de transfer sau de sistemH(s), ale sistemelor analogice liniare, invariante (SALI).

3) Pentru circuite cu mai multe intr ări şi/sau ieşiri, f.d.c permit caracterizarea

efectului unei anumite intr ări asupra unei anumite ieşiri.

4) F.d.c. se definesc în planul complex (s), deoarece acolo ecuaţiilediferenţiale în domeniul timp devin ecuaţii algebrice.

5) IMPORTANT: f.d.c. se definesc în condiţii iniţiale nule, dar pot fi utilizate în condiţii iniţiale oarecare.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


EXEMPLU: Penrtu un acelaşi circuit RLC serie mărimea de ieşire poatefi considerata caderea de tensiune pe C, L sau R:

R

L

C

u1(t)

u2(t)

a R

L

Cu1(t)

u2(t)

b

R

L

Cu1(t)

u2(t)

c

Toate trei circuitele sunt caracterizate de aceiasi ecuatie diferentiala

de ordinul II:

1di 1

Ri L i dt u

dt C

+ + =

∫

21

2

dud i diLC RC i C

dt dtdt

⇒ + + =


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Functia de circuit H(s)= U 2(s)/ U 1(s) particularizata

pentru cazurile a), b) si c)

R

L

C

u1(t)

u2(t)

aR

L

Cu1(t)

u2(t)

b

R

L

Cu1(t)

u2(t)

c

( )a 21H s

LCs RCs 1=

+ + ( )

2

b 2LCsH s

LCs RCs 1=

+ + ( )c 2

RCsH sLCs RCs 1

=+ +

OBSERVAŢII:

1) Ecuaţia omogenă (membrul stâng) depinde numai de structura circuitului,nu şi de mărimea considerată ca ieşire.

2) Numitorul f.d.c. provine din membrul stâng al ecuaţiei diferenţiale, deci vadepinde numai de structura circuitului, nu şi de mărimea considerată r ăspuns.

3) Mărimea considerată ca r ăspuns va afecta numai număr ătorul f.d.c.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Definirea f.d.c. pornind de la funcţia pondere.

1) Funcţia pondere este r ăspunsul circuitului la impuls Dirac : ( ) ( )t h tδ →

2) Imaginea Laplace a impulsului este: ( ){ }t 1δ =L

3) Funcţia de circuit face legătura între imaginileLaplace ale excitaţiei şi r ăspunsului: ( ){ } ( ) ( ){ }y t H s x t=L L

Rezultă: ( ){ } ( ) ( ){ }h t H s t= δL L

OBSERVAŢIE:Mai frecvent se utilizează f.d.c. pentru a determina (analitic) funcţia pondere:

( ) ( ){ }1h t H s−= L

deci: ( ) ( ){ }H s h t= L

Funcţia de circuit pot fi definita nu doar plecand de la ecuaţia diferenţialăa circuitului dar si folosind raspunsul h(t) al circuitului la impulsul Dirac,numit functie pondere.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


F.d.c. în formă factorizată: ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

m 1 2 m

n 1 2 n

P s s z s z s zH s H

Q s s p s p s p∞− − −

= =− − −

L

L

amplificarea la frecvenţă infinită, dacă m n=

un factor de scar ă, dacă m n≠

zk sunt zerourile f.d.c. (funcţia tinde la zero când s → zk);

pk sunt polii f.d.c. (funcţia tinde la infinit când s → pk);

zk şi pk sunt punctele singulare ale f.d.c.

funcţia mai are:m – n poli la infinit dacă m > n

n – m zerouri la infinit dacă m < n

m

n

bH

a∞ = este


7/18/2019 ASC_temele 1-14


DEFINIŢII:1) Ordinul unui circuit este egal cu numărul de condiţii iniţiale care pot fi impuse.

2) O bucl ă-C este o buclă formată numai din condensatoare, eventual şi surse

de tensiune.3) O sec ţ iune-L este o secţiune care conţine numai bobine, eventual şi surse

de curent.

Un circuit prezintă un regim tranzitoriu numai dacă este capabil să înmagazineze energie.

În cazul circuitelor, elementele reactive au această proprietate.Un caz particular de regim tranzitoriu este regimul liber: circuitul evoluează f ăr ă excitaţie, dar pornind de la nişte condiţii iniţiale nenule. Este regimul dedescărcare a energiei înmagazinate în elementele reactive.

4) Ordinul unui circuit este egal cu numărul de elemente reactive din care se

scade câte o unitate pentru fiecare bucl ă-C , sau sec ţ iune-L liniar independentă.

Ordinul unui circuit


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Schema operaţională R2U1(s) U2(s)

R1

1

sC

Divizor de tensiune:

( )

2

222

2

R

RsCZ R || C 1 sR C 1RsC

= = ++

( ) ( )

( )( )

( )2 2

1 1 2

U s Z R || CH s

U s R Z R || C= =

+

( )

2

2 22 1 2 1 2

12

R

sR C 1 RH s R sR R C R RRsR C 1

+⇒ = = + +++

Notaţie:1 2

p 1 2

R R

R R R= + ( )2

1 2 p

R 1

H s R R sR C 1⇒ = ⋅+ +

Notaţie:p

2

0 1 2

R C

R

A R R

τ =⎧⎪⎨

=⎪ +⎩

( ) 01

H s A

s 1

⇒ = ⋅

τ +

R2Cu1(t) u2(t)

R1

Determinarea f.d.c. pentru un circuit RC tip divizor de tensiune


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Ca transformată inversă a f.d.c., funcţia pondere se scrie: kn p t

kk 1

h(t) a e=

= ∑DEFINIŢIE: Exponenţiala se numeşte mod de oscilaţie. Constanta ak este

amplitudinea modului.

kp te

OBSERVAŢII:1) Modurile de oscilaţie apar în perechi complex-conjugate.2) Modurile complex-conjugate au amplitudini complex-conjugate.

1 1p t p *t

1 1a a * ae a * e

s p s p *+ ⇔ +

− −

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 j t j tre im re ima ja e a ja eα + ω α − ω= + + − ( ) ( )1 1 1 1 1 1t j t j t t j t j t

re ima e e e ja e e eα ω − ω α ω − ω= + + −

( ) ( )1t re 1 im 12e a cos t a sin tα ⎡ ⎤= ω − ω⎣ ⎦ ( )1t1 1 1 A e cos tα= ω + ϕ

( )

( )

2 21 re im

1 1 re

im1 1 im 1re

A 2 a a 2 a A cos 2a

a A sin 2a atana

⎧ = + =⎧ ϕ = ⎪⎪

⇒⎨ ⎨ϕ = ϕ =⎪ ⎪⎩⎩

Moduri de oscilaţie


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Poziţia polilor in semiplanul stang, drept sau pe axa frecventelor determină aspectul modurilor de oscilaţie:

α

jω( )1t

1e cos tα ω

Moduri de oscilaţie


7/18/2019 ASC_temele 1-14


RAŢIONAMENT :1) Funcţia pondere este un r ăspuns liber al circuitului.

2) Ea este o sumă ponderată de moduri de oscilaţie.

3) Aspectul modurilor de oscilaţie depinde numai de numitorul f.d.c.

4) Acesta depinde numai de structura circuitului.

CONCLUZIE:Evoluţia liber ă (fara aplicarea unei excitatii la intrare) a circuitului depinde numaide structura sa, nu şi de mărimea considerată r ăspuns.

OBSERVAŢIE:Sub acţiunea unei excitaţii, circuitul evoluează într-un mod determinat destructura sa si de natura excitatiei.

Raspunsului in frecventa/pulsatie al unui circuit poate fi determinat ca

3.1 Determinarea raspunsului unui circuit

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsului in frecventa/pulsatie al unui circuit poate fi determinat ca

raport al Transformatelor Fourier ale raspunsului in timp y(t) si respectiva excitatiei x(t).


Raspunsului in frecventa este o functie complexa care descrie exprima

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsului in frecventa este o functie complexa care descrie exprima

variatia amplitudinii si a defazajului unui semnal armonic in functie defrecventa/pulsatia sa.

Frecventa unui semnal armonic de intrare poate varia in limite mari iar


7/18/2019 ASC_temele 1-14


amplitudinea lui la iesirea circuitului variaza in limite largi in functie de frecventa.

De aceea pentru amplitudine si frecventa se folosesc scari logaritmice.

Raspunsului unui circuit este format din componenta de regim liber si


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsului unui circuit este format din componenta de regim liber sicea de regim fortat si poate fi determinat direct prin rezolvarea ecuatieidiferentiale a circuitului.

Raspunsul de regim liber: este solutia ecuatiei caracteristice (cu membrul


7/18/2019 ASC_temele 1-14


p g (drept nul) si depinde doar de structura circuitului

Raspunsul de regim fortat: este o solutie particulara a ecuatiei diferentialecare depinde de natura excitatiei

R l i(t) l i it l i RL i l t t it t i t i (t)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsul i(t) al circuitului RL serie la treapta unitate in tensiune e(t)

Raspunsul circuitului poate fi determinat prin convolutia dintre excitatia x(t)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsul circuitului poate fi determinat prin convolutia dintre excitatia x(t)si functia sa pondere h(t) – raspunsul circuitului la impulsul Dirac

Raspunsul unui circuit pentru care atat functia sa pondere h(t) cat si


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsul unui circuit pentru care atat functia sa pondere h(t) cat si

excitatia x(t) sunt functii exponentiale cauzale


Raspunsul circuitului poate fi determinat si ca Transformata Laplace inversa

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsul circuitului poate fi determinat si ca Transformata Laplace inversa

a functiei de circuit H(s)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Raspunsul i(t) al circuitului RC serie cu conditii initiale nule la un semnalaperiodic cauzal in tensiune e(t)


Raspunsul i(t) al circuitului RC serie cu conditii initiale nenule la un semnal

7/18/2019 ASC_temele 1-14


aperiodic cauzal in tensiune e(t)


Raspunsul unui circuit la excitatia treapta unitate se numeste raspuns

7/18/2019 ASC_temele 1-14


indicial si este important in aprecierea calitatii circuitelor de impulsuri

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 4 FORMALISME DE REPREZENTARE.FORMALISMUL DE REPARTITIE.

P t ii i it l lti t

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Parametrii circuitelor multiport

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Formalism de reprezentare - exprimarea a n mărimi (câte una de la fiecare

poartă, numita mărimie dependente sauraspuns ) în funcţie de celelalte n mărimi(independente sau excitatii).

Formalismul se exprimă prin relaţia matricială intrare-ieşire: ( ) ( ) ( )s s s= Y H X

DEFINIŢIE: Dacă vectorul X(s) colectează mărimile independente,iar Y(s) – pe cele dependente, matricea pătrată H(s) se numeştematrice de transfer, ar elementele sale sunt f.d.c.

Structura interna a fiecarui circuit n-port determina alte n relaţii întretensiunile şi curenţii de la por ţile sale.

In general, la fiecare dintre por ţile unui n-port este conectat cate un circuitexterioar, prin care se impune o relaţie între tensiunea şi curentul la poartarespectivă. Pentru a determina cele n tensiuni si cei n curenti de la portisunt necesare 2n relatii din care n realtii se obtin prin conditii externe.

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor 4.1.1 Formalismul hibrid

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Formalismul hibrid se obţine considerând vectorii de forma:1. Vectorul excitatie X(s): tensiunile la portile 1 la k si curentii la portile k+1 la n

2. Vectorul raspuns Y(s ): curentii la portile 1 la k si tensiunile la portile k+1 la n

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor 4.1.1 Formalismul hibrid

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Să explicăm ultimele afirmaţii:

( ) i ik k,1 1 k,2 2 k,k 1 k 1 k,n nI s Y U Y U A I A I+ += + + + + +K K

jkk,2

2 j

U 0 ; j 2IY

U I 0;

= ≠⎧⎪= ⎨

=⎪⎩

ji kk,k 1

k 1 j

U 0 ;I A

I I 0; j k 1++

=⎧⎪= ⎨

= ≠ +⎪⎩

OBSERVAŢIE: Elementele matricii hibride sunt f.d.c. definite în condiţiile:a.- por ţile: 1 ... k sunt în scurtcircuitb.- por ţile: k+1 ... n sunt în gol

mai puţin poarta la care se aplică excitaţia.

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor 4.1.1 Formalismul impedanţă

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Formalismul impedanţă se exprima prin relatia matriciala in planul s: U(s)=Z(s)I(s)

( )k,kZ s este impedanţa de intrare la poarta k , cu toate por ţile în gol,mai puţin poarta k la care se aplică excitaţia.

( )k,jZ s este impedanţa de transfer de la poarta j (la care se aplică uncurent) la poarta k (la care se obţine o tensiune).

In cazul unui diport relatia matriciala U(s)=Z(s)I(s) poate fi redata sub formai i t d tii d di l II i t i il t li it t i f ti


7/18/2019 ASC_temele 1-14


unui sistem de ecuatii de ordinul II prin care tensiunile sunt explicitate in functiede curentii la porti.

EXEMPLU: determinarea parametriilor impedanta ai dipolului simetric si reciproc in T


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Similar : Matricea Z

a diportului in T este :

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor 4.1.1 Formalismul admitanţă

7/18/2019 ASC_temele 1-14


( )k,kY s este admitanţa de intrare la poarta k , cu toate por ţile în scurt,mai puţin poarta k la care se aplică excitaţia.

( )k,jY s este admitanţa de transfer de la poarta j (la care se aplică otensiune) şi poarta k (la care se obţine un curent).

Formalismul admitanţă se exprima prin relatia matriciala in planul s: I(s)=Ys)U(s)

Pentru definirea formalismului de repatitie sunt necesare

4.2 Formalismul de repartiţie

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Pentru definirea formalismului de repatitie sunt necesareurmatoarele operatii preliminare:a). Normarea dupa rezistenta a elementelor de circuitb). “Marirea” la porti a multi-portilor

a) Normarea după rezistenţă. Se alege arbitrar o rezistenţă de normare R 0

iar folosind relatiile de mai jos, din valorile initiale notate cu majuscule alerezistentelor, inductantelor si capacitatilor se obtin valorile normate, notatecu litere mici.

i i i0

i i i

R L cR

r C

ω ω= = =

ω ωli i

i i i 0 i0 0

R Lr ; ; c R C

R R⇒ = = =l

OBSERVAŢIE: Comportamentul dinamic nu este afectat;constantele de timp nu se modifică:

i iRL RC i i i i 0

i i i i i i

L 1 1; R C rc ;

R r L C c

τ = = τ = = ω = =l

l

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 5 STRUCURI DE UNIPORTI.UNIPORTI CU UN SINGUR TIP DE ELEMENTE.

5.1 Structuri de uniporti

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul elementar - este formati dintr-un singur

element de circuit:- pasiv (rezisenta, inductanta sau capacitate)- activ (sursa de curent sau de tensiune)

Uniportul - este cazul partcicular (n=1), al n-portului cu osingura poarta, caracterizata prin doua marimi (curentul lapoarta si tensiunea la poarta). Rezulta ca indiferent de

complexitatea strucurii sale interne, uniportul are doar douaterminale prin care se poate conecta la exterior.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul pasiv - este format exclusiv din elemente de circuitpasive.Uniportul activ - contine cel putin un element de circuit activ (osursa de curent sau de tensiune).


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Structuri elementare de uniporti:- structura serie: contine exclusiv elemente de circuit conectatein serie- structura derivatie: contine exclusiv elemente de circuit

conectate in paralel- structura mixta: contine elemente de circuit conectate atat inserie cat si in paralel

Pentru un uniport, functia de circuit, definita ca raportul TransformateiLaplace a raspunsului si respectiv excitatiei, este o imitanta:

- fie impedanta:

- fie admitanta:


7/18/2019 ASC_temele 1-14



7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul serie: impedanta echivalenta

Uniportul derivatie: admitanta echivalenta


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul in scara infinita – tip a)

Determinarea inpedanteiechivalente

Uniportul in scara infinita – tip a)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Inpedanta echivalentaSchema echivalenta


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul in scara infinita – tip b)

Determinarea inpedanteiechivalente

Uniportul in scara infinita – tip b)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Inpedanta echivalentaSchema echivalenta

5.2 Uniporti cu un singur tip de elemente

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul pur rezistiv derivatie:

Determinarea conductanteiechivalente

Determinarea rezistenteiechivalente

Uniportul pur rezistiv serie:

Uniportul pur inductiv serie:

Determinarea inductanteiechivalente

5.2 Uniporti cu un singur tip de elemente

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul pur capacitiv serie:

Determinarea cpacitatiiechivalente

Uniportul pur inductiv derivatie:

Uniportul pur capacitiv derivatie:

Determinarea capacitatiiechivalente

Determinarea inductanteiechivalente

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 6 UNIPORTI DE ORDINUL I.

6.1 Uniporti de ordinul I

Uniportul de ordinul I- contine doar elemente de circuit pasive

7/18/2019 ASC_temele 1-14


- consumatoare de energie: rezistente- acumulatoare de energie: (bobine, care acumuleazaenergia in campul magenetic propriu sau condensatoare,

care acumuleaza energia in campul electric propriu)- contine un singur element de circuit reactiv (inductanta saucapacitate)- in domeniul timp este caracterizat de o ecuatie diferentiala

de ordinul I, care stabileste legatura intre curentul sitensiunea la borne- functia de circuit este o functie rationala de ordinul I inplanul s

Tipuri de uniporti de ordinul I- uniport RL - serie- derivatie

- uniport RC - serie

- derivatie

Uniportul RL serie

6.1 Uniporti de ordinul I6.1.1 Uniportul RL

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1. Este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de ordinul Ideoarece contine un singur element de circuit reactiv

2. Excitatia este tensiunea electromotaore e(t)3. Raspunsul este curentul i(t)

Raspunsul uniportului RL serie:

t it ti t t (t) E t t 0


7/18/2019 ASC_temele 1-14


- pentru o excitatie treapta: e(t)=E pt. t>0- se determina din ecuatia diferentiala de ordinul I a uniportului

Functia de circuit a uniportului RL serie:

d t i di ti dif ti l d di l I i t l i


7/18/2019 ASC_temele 1-14


- se determina din ecuatia diferentiala de ordinul I a uniportului- dupa aplicarea Transformatei Laplace ecuatiei diferentiale se

expliciteaza functia de circuit: Y(s)=I(s)/U(s)

Functia de circuit a uniportului RL derivatie:

Functia de circuit a uniportului RC serie:- se determina din ecuatia diferentiala de ordinul I a uniportului

d li T f t i L l ti i dif ti l

6.1 Uniporti de ordinul I6.1.2 Uniportul RC

7/18/2019 ASC_temele 1-14


- dupa aplicarea Transformatei Laplace ecuatiei diferentiale seexpliciteaza functia de circuit: Z(s)=U(s)/I(s)

- c onstanta de timp a uniportului RC este:

Functia de circuit a uniportului RC derivatie:

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 7 UNIPORTI DE ORDINUL II.

Uniport l LC serie

7.1 Uniporti de ordinul II

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul LC serie-contine doua elemente de circuit reactive, deci este caracterizatde o ecuatie diferentiala de ordinul II

- este excitat in tensiune iar raspunsul este curentul care sestabileste prin circuit- raspunsul in frecventa este datde impedanta complexa:

In cazul circuitelor pur reactive (R=0),Impedanta complexa se reduce lareactanta:

Uniportul LC serie impedanta circuitului este:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul LC serie - impedanta circuitului este:

Deci, impedanta circuitului devine:

Uniportul LC serie variatia cu frecventa a functiei reactanta


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul LC serie - variatia cu frecventa a functiei reactanta

In final, reactanta circuitului LC serieeste:

La frecventa de rezonanta, reactantauniportului este nula, deci circuitul

prezinta un scurtcircuit.

Uniportul rLC serie


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul rLC serie-contine doua elemente de circuit reactive si unul rezistiv, deci estecaracterizat tot de o ecuatie diferentiala de ordinul II- este excitat in tensiune iar raspunsul este curentul prin circuit

Raspunsul in frecventa estedat de impedanta complexa:

Impedanta uniportului contine deci o parte rezistiva constanta r si oparte reactiva, dependenta de frecventa

In care: este pulsatia/frecventa de rezonanta

Uniportul rLC serie - variatia curentului functie de frecventailustreaza caracterul selectiv al circuitului


Folosind notatiile: care defineste factorul de calitate al circuitului

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Folosind notatiile: - - care defineste factorul de calitate al circuitului

- ce defineste factorul de dezacord al circuitului

impedanta circuitului devine:

La rezonanta, dezacordul este nul,impedanta devine pur rezistiva iar

curentul prin unipor este maxim.

Uniportul LC derivatie


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Uniportul LC derivatieeste un uniport pur reactiv de ordinul II- impedanta circuitului este:

Uniportul LC derivatie - variatia cu frecventa a functiei reactanta


7/18/2019 ASC_temele 1-14


La frecventa de rezonanta, reactantauniportului LC derivatie este infinita,deci circuitul se prezinta ca si cand ar fi in gol.

In final, reactanta circuitului LC derivatieeste:

Uniportul rLC derivatie-contine doua elemente de circuit reactive si unul rezistiv, deci este


7/18/2019 ASC_temele 1-14


contine doua elemente de circuit reactive si unul rezistiv, deci estecaracterizat tot de o ecuatie diferentiala de ordinul II- este excitat in curent iar raspunsul este tensiunea la borne

Pentru valori mici ale rezistentei, rapunsul infrecventa este dat de impedanta complexa:

Impedanta uniportului contine deci o componenta rezistiva, invariabila

in frecventa cat si o componenta reactiva, dependenta de frecventa

Uniportul rLC derivatie - variatia tensiunii functie de frecventailustreaza caracterul selectiv al circuitului



7/18/2019 ASC_temele 1-14



- ce defineste factorul de dezacord al circuitului

impedanta circuitului devine:

La rezonanta, dezacordul este nul,iar tensiunea la bornele uniportului

este maxima.

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 8 DIPORTI PASIVI.

DEFINIŢIE: Un diport este un circuit cu patru terminale (cuadripol) grupate în

8.1 Diporti pasivi

7/18/2019 ASC_temele 1-14


DEFINIŢIE: Un diport este un circuit cu patru terminale (cuadripol) grupate îndouă por ţi, numite (în sensul de transmitere a semnalelor) de intrare,respectiv de ieşire.

OBSERVAŢII:

1) în cazul dipor ţilor pasivi, semnalele pot circula şi în sens invers (lucru care seşi petrece în cazul reflexiilor, care produc unde inverse)

4) indiferent de funcţia principală îndeplinită, dipor ţii au un comportamentselectiv în frecvenţă (comportament de filtru)

3) dipor ţii au funcţii (principale) diferite: amplificatori (dipor ţi activi), atenuatori,

adaptori, filtre, linii de transmisie etc.

2) dipor ţii lucrează cel mai ades conectaţi în lanţuri, între o sursă de semnal şio sarcină

RAŢIONAMENT:1) U di t t t i t i t t i l i

8.1 Diporti pasivi8.1.1 Impedanţa caracteristică

7/18/2019 ASC_temele 1-14


CONCLUZIE :Dipor

ţii pasivi

şi simetrici vor fi caracteriza

ţi prin doi parametri complec

şi.

1) Un diport este caracterizat prin patru parametri complecşi.

2) Orice diport pasiv este reciproc ceea impune o relaţie între parametri;r ămân trei parametri complecşi.

3) Condiţia de simetrie mai reduce un parametru.

EXEMPLUL

Parametri impedanţă sunt, în cazul general:1 11 12 1

2 21 22 2

U z z I

U z z I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦a) condiţia de reciprocitate impune relaţia: 21 12z z=

b) condiţia de simetrie impune relaţia: 22 11z z=

Pentru diportul pasiv şi simetric, rezultă :1 11 12 1

2 12 11 2

U z z I

U z z I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vom caracteriza dipor ţii simetrici prin doi parametri complecşi:impedanţa caracteristică şi constanta de transfer


7/18/2019 ASC_temele 1-14


impedanţa caracteristică şi constanta de transfer.

DEFINIŢIE:

Impedanţa caracteristică este impedanţa Z c care, conectată la o poartă,face ca impedanţa de intrare la cealaltă poartă să fie egală tot cu Z c .Pentru diportul in T rezulta:

1

2Zl

1

2Zl

tZ CTZCTZ

t CT

CT

t CT

1Z Z Z1 2

Z Z12 Z Z Z2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= ++ +

l

l

l

2

CT tZ

Z Z Z4

= + ll

OBSERVAŢIE: Expresia stabilita:

1) depinde de structura diportului elementar;


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2) sunt valabile numai pentru structurile elementare respective;

O relaţie mai generală foloseste impedantele de gol si scurt.1

2 Zl

1

2 Zl

tZ

0 t1Z Z Z2

= +l

t

sc

t

1Z Z1 2Z Z

12 Z Z2

= ++

l

l

l

2

t

t

ZZ Z

41

Z Z2

+=

+

ll

l

2sc 0 CTZ Z Z⇒ =

Relaţia are un caracter general: c sc 0Z Z Z=

OBSERVAŢII:

1) Expresia nu depinde de structura internă; Zc este exprimată în funcţie demărimi măsurabile la borne (impedantele de gol si scurtcircuit)

Diportul conectat între impedanţe egale cu impedanţa sa caracteristică:

8.1 Diporti pasivi8.1.2 Constanta de transfer

7/18/2019 ASC_temele 1-14


DEg

Zc

ZcU1 U2

I1 I2

Zc

1 2c

1 2

U UZ

I I= =

−1 1

2 2

U Ie

U Iθ= =

−

DEFINIŢIE: Constanta de transfer (pe impedanţa caracteristică) este mărimea

complexă θ definită prin relaţia:1 1

2 2

U Ia jb ln ln

U Iθ = + = =

−

unde tensiunile şi curenţii sunt cei care se stabilesc atunci când diportul

este conectat pe impedanţa sa caracteristică.

OBSERVAŢII:

1) Două relaţii între cele patru mărimi definesc cei doi parametri complecşi.

2) Dacă diportul este conectat pe impedanţa sa caracteristică, tensiunile şicurenţii sunt în egală măsur ă atenuaţi, respectiv defazaţi.

Constanta de transfer are semnificaţia unei atenuări complexeexprimată logaritmic

8.1 Diporti pasivi8.1.2 Constanta de transfer

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1

2

j11

j2 2

U eUln ln

U U e

ϕ

ϕ

⋅=

⋅( )1 2 j1

2

Uln e

Uϕ −ϕ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1 2 j1

2

Uln ln e

Uϕ −ϕ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1

1 22

Uln j

U= + ϕ − ϕ

[ ]1

2

Ua ln Np

U=1) Partea reală a constantei de transfer este atenuarea (reală):

2) Măsura în decibeli se poate obţine prin: dB Npa 8,686 a= ⋅

( )1 2 2 1b = ϕ − ϕ = − ϕ − ϕ = − ϕ

OBSERVAŢII:

3) Partea imaginar ă reprezintă defazajul intr ării faţă de ieşire, deci opusuldefazajului „clasic” (al ieşirii faţă de intrare):

4) Aceleaşi relaţii se aplică şi curenţilor.

Caracterizarea dipor ţilor pasivi asimetrici

8.1 Diporti pasivi8.1.3 Impedanţe imagini

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1) dipor ţii (cuadripolii) sunt caracterizaţi prin patru parametri complecşi;

2) dipor ţii pasivi (asimetrici) sunt reciproci şi sunt caracterizaţi prin trei

parametri complecşi;

3) dacă sunt şi simetrici, r ămân doi parametri complecşi;

4) la dipor ţii simetrici am găsit două moduri de lucru: pe impedanţa caracteristică,

sau pe altă sarcină;

5) la dipor ţii asimetrici avem doua moduri de lucru:

pe impedanţe imagini

pe impedanţe oarecare

Zg=ZI1 I1 I2DEFINIŢIE:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Eg Zs=ZI2U1 U2ZI2ZI1 2U2

DEFINIŢIE:Impedanţele imagine sunt doiparametri complecşi (Z I1 şi Z I2 )

ai diportului, astfel încât:1) dacă impedanţa de sarcină este egală cu Z I2 , impedanţa de intrare a

diportului este egală cu Z I1

2) dacă impedanţa internă a sursei este egală cu Z I1, impedanţa de ieşire a

diportului este egală cu Z I2 .

1) Se poate afirma că: diportul „transformă” o impedanţă imagine în cealaltă.

OBSERVAŢII:

2) Dacă diportul este conectat pe impedanţele „sale” imagine, el lucrează adaptat la ambele por ţi, deşi nivelele de impedanţe sunt diferite.

Dacă se cunoa

şte matricea

impedanţă a diportului:Z =ZI1 I I


7/18/2019 ASC_temele 1-14


1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U z I z I

U z I z I

= +⎧

⎨ = +⎩ Eg

Zg=ZI1

Zs=ZI2U1 U2

I1 I2

ZI2

ZI1 2U2

( )

( )

211I1 11 22 12

22

222I2 11 22 12

11

zZ z z zz

zZ z z z

z

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Relaţiile finale:

Se pot deduce relatiile prin care impedanteleImagini se exprima in functie de parametriiImpedanta ai diportului:

Pentru definirea

constantei de transfer pe imagini: E

Zg=ZI1

Z ZU U

I1

I2

ZI2


7/18/2019 ASC_temele 1-14


pe imagini:

1 I1 1

2 I2 2

U Z I

U Z I=

−

OBSERVAŢII:

1. Atenuările în tensiune şi în curent nu mai sunt egale.

2. A propune două constante de transfer (în tensiune, respectiv în curent) este,greşit deoarece:

2.1. diportul asimetric trebuie să fie caracterizat prin numai trei parametri:două impedanţe imagine şi o singur ă constantă de transfer pe imagini;

2.2. atenuările în tensiune, respectiv în curent nu sunt independente (rezultă chiar din relaţia de mai sus).

3. Abordarea corectă: se porneste de la atenuarea puterii complexe.

Eg Zs=ZI2U1 U2ZI2

ZI1 2U2

Pentru definirea

constantei de transfer pe imagini:

Zg=ZI1 I1

I2


7/18/2019 ASC_temele 1-14


pe imagini:

DEFINIŢIE: Constanta de transfer pe imagini este constanta θ I definită prin:

I 1 1 1

2 2 2

P U Ie

P U Iθ = =

−

1 I2 1 I1I I I

2 I1 2 I2

U Z I Za jb ln ln

U Z I Z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 I1 12 I2 2

U Z IU Z I= −

Eg Zs=ZI2U1 U2

ZI2

ZI1 2U2

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 9 PROPAGAREA UNDELOR SI ADAPTAREADIPORTILOR.

1) Energia electromagnetică se transmite, de-a lungul

unui conductor, prin câmpul electromagnetic care îl înconjoar ă; de aici, o parte din ea este dirijată spred t t i i d il

i

9.1 Propagarea undelor electromagnetice

7/18/2019 ASC_temele 1-14


2) Viteza de propagare a undelor electrice de-a lungul conductorului este egală

cu viteza de propagare a câmpului electromagnetic prin mediul dielectric care înconjoar ă conductorul.

conductor, pentru a acoperi pierderile.

La o anumită frecvenţă, apare o repartiţie spaţială armonică.„Perioada” spaţială este legată de perioada temporală prin:

vv T

f

λ = ⋅ =

1) Dacă cea mai mare dimensiune geometrică a circuitului este neglijabilă faţă de cea mai mică lungime de undă, fenomenul de propagare se neglijează.Circuitul este cu constante concentrate sau în regim cvasi-staţionar.

2) Dacă dimensiunile geometrice ale circuitului sunt comparabile sau mai maridecât lungimea de undă, circuitul este cu constante distribuite sau în regimde linie lungă.

3) O linie lungă este caracterizată printr-o impedanţă caracteristică şi o constantă de transfer şi poate fi modelată printr-un lanţ de dipor ţi.

Dacă unda ce se propagă printr-un lanţ de transmisie întâlneşte o secţiune în care nuse respectă condiţia de adaptare se produce un fenomen de reflexie–refracţie:

Zg I


7/18/2019 ASC_temele 1-14


EgZsU

Ui

Ur

Ut

Undele reflectate:s g g s

r i r ig s g s

Z Z Z ZU U ; I I

Z Z Z Z

− −= =

+ +

Undele refractate (transmise): gst i t i

g s g s

2Z2ZU U ; I I

Z Z Z Z= =

+ +

Factori de reflexie/refracţie:

s g g srU rI

g s g s

Z Z Z ZK ; K

Z Z Z Z

− −= =

+ +

gstU tI

g s g s

2Z2ZK ; K

Z Z Z Z

= =

+ +

Eg

Rg

Rs

I

U

OBSERVAŢIE: Unda directă se propagă ca şi cum

întregul lanţ ar fi adaptat. Abia la întâlnirea secţiuniineadaptate unda „constată” neadaptarea şi, prinunda reflectată informează” lanţul din amonte


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Teoria clasică: gs

gg s g s

ERU E ; I

R R R R= =

+ +Undele directe:

g gi i

g

E EU ; I

2 2R

= =

Undele reflectate:

s g g g s gr r

g s g s g

R R E R R EU ; I

R R 2 R R 2R

− −= ⋅ = ⋅

+ +

unda reflectată, „informează lanţul din amonte.

Undele transmise:

s siaval t i

g s g s

2R REU U E U

R R 2 R R= = = =

+ +

g i iaval t

g s g g s

2R E EI I I

R R 2R R R= = = =

+ +

Undele reflectate sunt nule dacă impedanţele amonte şi aval sunt egale,deci când secţiunea este adaptată.

OBSERVAŢII:

1) Adaptarea nu urmăreşte transferul maxim de putere.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2) Adaptarea urmăreşte eliminarea reflexiilor (multiple) care apar în secţiunilede neomogenitate:

Ut1

Ut2

Ut3

Ui

Zc1 Zc2 Zc3

t t1 t2 t3U U U U= + + + K

3) Undele transmise succesive sunt atenuate şi defazate (întârziate)corespunzător parcurgerii dus-întors a distanţei între cele două secţiuni.

Eg

Zg

ZgU

ICand urmărim asigurarea adaptării,

apar două situaţii:

a) secţiunea era adaptată: Z Z=

9.2 Adaptarea diportilor

7/18/2019 ASC_temele 1-14


EgZg

ZgU1 U2

I1 I2

Zc ; θPentru ca diportul să nu introducă alte atenuări(în afara constantei de transfer), trebuie ca:

I1 g

I2 s

Z ZZ Z

=⎧⎪⎨=⎪⎩

s gZ Z= ⎯⎯⎯→ I1 I2 cZ Z Z= =

1) Pentru ca inserarea unui diport să nu afecteze adaptarea pre-existentă înacea secţiune, diportul trebuie să fie simetric.

2) Un diport simetric poate menţine adaptarea (dacă Z c = Z g = Z s), dar nupoate realiza adaptarea.

OBSERVAŢII:

a) secţiunea era adaptată: s gZ Z=

b) secţiunea nu era adaptată: Z Z≠

Eg

Zg

ZsU

I


Cand urmărim asigurarea adaptării,

apar două situaţii:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


b) secţiunea nu era adaptată: s gZ Z≠

I1 g

I2 s

Z Z

Z Z

=⎧⎪⎨

=⎪⎩s gZ Z≠

⎯⎯⎯→ I1 I2Z Z≠

OBSERVAŢII:1) Diportul trebuie să fie asimetric.

2) Un diport asimetric poate realiza adaptarea, dar nu poate menţine adaptarea.

3) Atenuarea de inser ţie trebuie să „acopere” diferenţa dintre atenuarea deneadaptare pre-existentă şi constanta de transfer pe imagini.

Lanţul realizat poate deveni adaptat dacă:

4) Se înlocuieşte atenuarea de neadaptare cu o atenuare dată de constantade transfer. Ce se câştigă?

se elimină reflexiile!

Eg

Zg

ZsU1 U2

I1 I2

ZI1, ZI2

Eg ZsU

DEFINIŢIE: Un lanţ de dipor ţi este adaptat dacă, în orice secţiune a sa,

impedanţa echivalentă amonte este egală cu impedanţa echivalentă aval.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


D1 Dk DnEg

Zg

Zs

Ze amonte=Ze aval

DkEgk

Zgk

Zsk

DECH

Eg

Zg

Zs

Ze amonte=Ze aval

DEFINIŢIE: Un lanţ de dipor ţi simetrici este adaptat dacă sunt îndeplinite,simultan, condiţiile:

1) Toţi diporţii au aceeaşi impedanţă caracteristică (Zc); diporţii pot avea


7/18/2019 ASC_temele 1-14


1) Toţi dipor ţii au aceeaşi impedanţă caracteristică (Z c ); dipor ţii pot aveaconstante de transfer diferite (θ 1, θ 2 , ..., θ n).

2) Impedanţa de sarcină este egală cu impedanţa caracteristică.3) Impedanţa internă a sursei este egală cu impedanţa caracteristică.

D1 D2 DnEg

Zc

ZcU1 U2 U3 Un Un+1

Atenuarea complexă globală:

1 1 2 n 1 n

n 1 2 3 n n 1

U U U U U

U U U U U

−

+ +

= ⋅ ⋅L 1 2 n 1 n−⇒ θ = θ + θ + +θ + θL

1) Atenuarea (reală) globală este (în termeni logaritmici) sumaatenuărilor dipor ţilor.

2) Defazajul global este suma defazajelor introduse de dipor ţi.

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 10 CIRCUITE DE ADAPTARE A DIPORTILOR.

PROBLEMA: dorim să inser ăm un diport (cu o funcţie principală oarecare) într-un lanţ pre-existent, astfel încât să menţinem, sau să realizăm, după caz,

condiţiile de adaptare.

1) Un diport simetric inserat într-o secţiune adaptată poate menţine condiţia de

10.1 Problema adaptării unui lanţ de dipor ţi

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1) Un diport simetric inserat într-o secţiune adaptată poate menţine condiţia deadaptare dacă este proiectat astfel încât parametrul său impedanţă caracteristică

să fie egal cu valoarea comună a impedanţelor echivalente aval şi amonte.2) Un diport asimetric inserat într-o secţiune adaptată nu poate menţine condiţia

de adaptare.

3) În general, un diport simetric inserat într-o secţiune neadaptată nu poate realiza

condiţia de adaptare a lanţului.

4) Un diport asimetric inserat într-o secţiune neadaptată poate realiza condiţiade adaptare dacă este proiectat să lucreze în modul de lucru pe imagini.

CONCLUZII:

a) un diport simetric, proiectat în modul de lucru pe impedanţa caracteristicăpoate conserva adaptarea într-o secţiune adaptată;

b) un diport asimetric, proiectat în modul de lucru pe impedanţe imaginepoate realiza adaptarea într-o secţiune neadaptată;

10. 2 Adaptarea prin transformator ideal

Transformatorul ideal:

1) t t f t f t ( f t d l j it d i fl

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1) este un transformator perfect (cu factor de cuplaj unitar, deci cu fluxde pierderi nul);

admite salturi ale curenţilor, cu condiţia ca acestea să secompenseze.

2) rezistenţa înf ăşur ărilor este nulă;nu prezintă pierderi prin efect Joule si deci nu consumă putere

activă.

3) inductanţele înf ăşur ărilor tind la zero, astfel încât raportul lor esteconstant şi egal cu pătratul raportului de transformare;

nu este selectiv în frecvenţă,nu impune un regim tranzitoriu.

Raportul de transformare:

21

2 1

IUn

U I= =

Condiţia de adaptare în primar:

n :1Rg

R

Eg

I1 I2

U1 U


7/18/2019 ASC_temele 1-14


21 2g IN1 s

21

U nUR Z n R

IIn

= = = =

OBSERVAŢII:

1) Se asigur ă adaptarea şi în secundar ?

Da, deoarece:1

2IN2 g s2

2 1

UU 1nZ R RI nI n

= = = =− −

2) Puterea activă transferată în primar se regăseşte pe sarcină.

g

s

Rn

R⇒ =

3) Adaptarea se realizează la toate frecvenţele.

4) Din: , înf ăşurarea cu mai multe spire se amplasează spre

rezistenţa mai mare.

1

2

Ln

L=

RsU1 U2

n :1R

gEg

I1 I2EXEMPLU: g sR 20 ; R 4= Ω = Ω

gR 20n 2,236

R 4⇒ = = = g1

2

RL

L R=

205

4= =


7/18/2019 ASC_temele 1-14


RsU1 U2

sR 4 2 sL R 4

OBSERVAŢII:

1) Pentru dimensionare, este necesar ă o condiţie suplimentar ă.

CONCLUZII:

1) Evident, transformatorul ideal nu poate fi realizat, practic

2) Am ar ătat cum se poate proiecta un adaptor printr-un transformator real.

3) Un transformator nu este doar un transformator de tensiune (curent),ci şi un transformator de impedanţă.

4) Orice adaptor este, în fond, un „transformator” de impedanţă.

OBSERVAŢII:1) Deoarece adaptarea se poate realiza numai la frecvenţa de lucru, putem

impune comportamentul adaptorului la alte frecvenţe

10. 3 Rejecţia unor frecvenţe

7/18/2019 ASC_temele 1-14


impune comportamentul adaptorului la alte frecvenţe.

2) În proiectarea adaptorilor se impun reactanţele acestuia la frecvenţa de lucru.

PRINCIPIUL rejecţiei unor frecvenţe se bazează pe fenomenul de rezonanţă LC

Circuitele rezonante vor fi proiectate astfel ca să satisfacă, simultan, condiţiile:

a) La frecvenţa de lucru să prezinte o reactanţă echivalentă egală cu cearezultată din proiectarea adaptorului.

b) La frecvenţa de rezonanţă să asigure un zero de transmisie.

Una sau mai multe dintre reactanţele adaptorului se înlocuiesc cucircuite LC serie sau paralel.

REAMINTIM:

1) Reactanţa echivalentă este o funcţie monoton crescătoare cu frecvenţa.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2) Pentru circuitul LC -serie:

XL XC

X

ω0ω

Ces

0ω < ωl

Les

0ω > ωl

3) Pentru circuitul LC -derivaţie:

XL

XC

X

ω0ω0ω < ωl

Lep

Cep

0ω > ωl

Pe de altă parte, un zero de transmisie se poate ob

ţine cu:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


1) un circuit serie plasat transversal: U = 0

2) un circuit derivaţie plasat longitudinal:I = 0

Zaval

Zaval

X

În faza de proiectare se cunoaşte frecvenţa de lucru şi se urmăreşte

rejecţia altor frecvenţe.a) pentru rejecţia unei frecvenţe mai mici decât cea de lucru:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


X

ωωl

0ω < ωl

X

ωωl 0ω > ωl

b) pentru rejecţia unei frecvenţe mai mari decât cea de lucru:

CONCLUZII PRIVIND ADAPTAREA LANTURILOR DE DIPORTI

1) Adaptarea elimină reflexiile undelor electrice.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2) Adaptarea nu poate fi realizată decât la o frecvenţă (de lucru) şi,doar cu aproximaţie în jurul ei.

3) Caracteristicile de frecvenţă ale diferitelor soluţii pot sta la baza alegeriisoluţiei potrivite.

4) Adaptorii pot, suplimentar, rejecta alte frecvenţe decât cea de lucru.

5) Din aproape în aproape se poate ajunge la structuri relativ complicate,cu caracteristici de frecvenţă diferite.

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 11 FILTRE DE TIP K-CONSTANT.

Consideraţii preliminare:

1. Filtrele studiate în acest capitol sunt dipor ţi simetrici, nedisipativi,care lucrează într-un lanţ de transmisie adaptat.

11.1 Consideratii generale

7/18/2019 ASC_temele 1-14


ţ

2. Adaptarea este imposibilă la orice frecvenţă, deci caracteristicile reale

vor diferi de cele teoretice, dar:3. O categorie de filtre (compuse) vor fi caracterizate printr-o impedanţă

caracteristică ce va aproxima foarte bine o rezistenţă constantă într-obandă relativ largă.

Vom exprima impedanţele de mers în gol şi în scurtcircuit în funcţie de:> structura propusă,> parametrii circuitului,> frecvenţă.

diport simetric: scc 0 sc

0

ZZ Z Z ; th

Z= θ =

nedisipativ:

sc

c 0 sc 0

X

Z X X ; th X= − θ =

A l f ţ l l X X 0 ( ) ( ) ( ) ( )Z X X R


sc

c 0 sc 0

XZ X X ; th

X= − θ =

7/18/2019 ASC_temele 1-14


A. la frecvenţele la care 0 scX X 0< ( ) ( ) ( ) ( )c 0 sc cZ X X Rω = ω ω = ω

dacă diportul lucrează pe Rc(ω): a 0⇒ =

Atenuarea este nula deci suntem într-o bandă de trecere.

B. la frecvenţele la care atenuarea este neuladeci suntem într-o bandă de oprire.

0 scX X 0>

( ) ( ) ( ) ( )c 0 sc cZ j X X j Xω = ω ω = ω

Dacă diportul lucrează pe Xc(ω): b 0, ,

2

π⇒ = ± ± π

scc 0 sc

0

XZ X X ; th

X= − θ =

0 scX X 0< ( ) ( )c cZ Rω = ω a 0=

0 scX X 0> ( ) ( )c cZ j Xω = ω b 0= ± π

BT: ( ) ( )bθ ω ⇒ ω

( ) ( )aθ ω ⇒ ωBO:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


0 scX X 0> ( ) ( )c cZ j Xω ω b 0, ± π ( ) ( )aθ ω ⇒ ωBO:

OBSERVAŢII:

1) Frecvenţele de tăiere sunt frecvenţe la care una şi numai una dintrereactanţele de mers în gol şi în scurt schimbă semnul.

2) Sunt deci frecvenţe de rezonanţă în gol sau în scurt.

Zl

t2Z

t2Z cZ ΠcZ Π

Celule de bază (simetrice) in T si in ∏ :

1

2Z

l

1

2Z

l

tZcTZcTZ

Caracteristici normate in frecventa: frecventa normata este notata cu xiar factorul de normare este k

2

t

Z2x2Z

= − l

11.2 Caracteristici de frecventa

( )x kω = ωSchimbarea de variabilă :

( )x x= ω

7/18/2019 ASC_temele 1-14


A.- În banda de trecere (a = 0 )cu condiţia: x 1≤

B.- În banda de oprire: | x | > 1, deci: 1 – 2 x2 < -1

In banda de oprire, defazajulpoate fi numai:

b= ± π

BT:( )

( )

a x 0

b x 2arcsinx

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

BO:( )

( )

a x 2argch x

b x

⎧ =⎪⎨

= ± π⎪⎩

5 7 dB

8,4 dBaa

a, b

BT:( )

( )

a x 0

b x 2arcsinx

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩


7/18/2019 ASC_temele 1-14


5,7 dB

x

BO BO

b

π

-π

BT

( )⎩

BO: ( )( )

a x 2argch xb x

⎧ =⎪⎨= ± π⎪⎩

OBSERVAŢII:

1) Caracteristicile sunt normate, deoarece „frecvenţele” de tăiere sunt unitare.

2) Caracteristicile sunt şi universale, deoarece caracteristicile FTJ, FTS si FTBpoate fi obţinută din acestea. Trebuie doar stabilită legătura între variabilanormată x şi frecvenţa ω.

5 7 dB

8,4 dBaa

a, b

Cazul particular al fitrului trece jos (FTJ)

( )x kω = ω


1k

7/18/2019 ASC_temele 1-14


ω

x

0 ωi ω0 ωs ∞→ → → → tip

5,7 dB

x

BO BO

b

π

-π

BT

EXEMPLU: FTJ cu freceventa de taiere si frecventa de taiere normata (unitara)

FTJ0 1 ∞→ →

ω0

0

k =ω

( )0

x ω

ω =ω

DEFINIŢIE:

Filtrele de tip K-constant sunt filtrele la care: tZ Z K const.= =l

2Z

11.3 Impedanţa caracteristică a filtrelor K-constant

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Pentru structura în T : cT tZ

Z Z Z

4

= + ll notaţie: tR Z Z= l

ATENŢIE: este doar o notaţie, un parametru al filtrului, nu este o rezistenţă fizică!

cTt

Z

Z R 1 4 Z= + l 2

cTZ R 1 x⇒ = −

Pentru structura în П : cT c tZ Z Z ZΠ = l2R=

2

ccT

RZ

ZΠ⇒ = c 2

RZ

1 xΠ⇒ =

−

2cTZ R 1 x= − c 2

RZ

1 xΠ =

−

cT cZ Z,R RΠ

11.3 Impedanţa caracteristică a filtrelor K-constant

7/18/2019 ASC_temele 1-14


cR Π

cTR

cTX

cTXcX Π

cX Π

x

a) caracteristicile deduse se obţin dacă filtrul lucrează adaptat;

11.4 Adaptarea celulelor de tip K

b) în banda de oprire componentele sunt (mult) atenuate deci efectul

OBSERVATII:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


CONCLUZIE:

Filtrul nu poate lucra adaptat la orice frecvenţă, deci caracteristicilededuse nu pot fi realizate cu circuite RLC

SOLUŢIE:

Filtrul este proiectat să lucreze adaptat la o anumită frecvenţă.

c) interesează adaptarea în banda de trecere;

d) unele structuri (compuse) vor fi proiectate astfel ca rezistenţa caracteristică să aproximeze o rezistenţă constanta, într-o bandă cât mai largă;

e) chiar şi f ăr ă această „corecţie”, vom putea „regla” frecvenţa la care serealizează adaptarea.

b) în banda de oprire componentele sunt (mult) atenuate, deci efectulneadaptării este redus;

Trei puncte de vedere:

1) adaptarea peste tot este imposibilă

2) adaptarea se urmăreşte în BT

3) depinde de structur ă

) d ă d li ă l 0 i d i i ă

11.4 Adaptarea celulelor de tip K

7/18/2019 ASC_temele 1-14


R

R

Rs

RCT

x-1 10 x0-x0

a) dacă adaptarea se realizează la x = 0 , impedanţa caracteristică pentru

cele două structuri coincide: R cT = R c Π = R ;

b) dacă adaptarea se realizează la 0 < | x 0 | < 1, expresiile impedanţelorcaracteristice depind de structur ă.

R

R

Rs

RCП

x-1 10-x0 x0

se alege: R = Rsse alege: R > Rs se alege: R < Rs

( ) ( )t1

Z j L ; Z j Cω = ω ω = ωl

12L 1

2L

C22 Z LC

x4Z 4

ω⇒ = − =l

L

1C

2

1C

2

11.5 Celula FTJ de tip K

7/18/2019 ASC_temele 1-14


t4Z 4

LCx2

ω= Frecvenţa de tăiere: tt

LC 212 LC

ω = ⇒ ω =

ωtω

a, b

ωtω

CT CZ , Z Π

R

t

x ω=ω

doar odenormare

în frecvenţă

7/18/2019 ASC_temele 1-14



Cursul 12FILTRE DERIVATE-m.

12.1 Conectarea în lanţ a celulelor de filtrare

Celulele de tip K-constant, aspecte pozitive şi negative:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


> structuri simple, relaţii de

dimensionare simple;> atenuarea în BO tinde la

infinit (departe de BT );

> atenuarea în BT creşte relativ

lent lângă BT ;> rezistenţa caracteristică variază

mult în BT .

Soluţii:a) utilizarea lanţurilor de mai multe celule identice;

b) utilizarea unor celule derivate (modificate);

OBSERVAŢIE:

Efectele negative se manifestă cu precădere în apropierea frecvenţelor de tăiere.

Efectele conectării în lanţ: Constanta de transfer pentru filtre cu una, două, trei celule TJ

1) Adaptarea se realizează în origine (la frecventa nula)si acolo, cele trei filtre se comportă identic.

2) La frecvenţa de tăiere (1 MHz)


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2) La frecvenţa de tăiere (1 MHz)

atenuările sunt:- o celulă: 3 dB

- două celule: 7 dB

- trei celule: 10 dB

1

2

3

Efectele conectării în lanţ:

4) Atenuarea în BO: la frecvenţa de 1,1 MHz.

- o celulă: 4,4 dB


Constanta de transfer pentru filtre cu una, două, trei celule TJ

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1

2

3

- două celule: 11,8 dB- trei celule: 19,4 dB

12.2 Filtre derivate

OBSERVAŢII:

1) Filtrele se numesc derivate deoarece ele deriv ă (se obţ in) din filtrele K .

2) Filtrele de tip K au:

> iti t f t d t d f ţ d tăi

7/18/2019 ASC_temele 1-14


> pozitiv – o atenuare foarte mare departe de frecvenţa de tăiere;

> negativ – o slabă delimitare a benzilor.

4) Filtrele derivate urmăresc delimitarea netă a benzilor.

3) Filtrele derivate sunt proiectate să lucreze în lanţ cu celule K .

5) Delimitarea benzilor se realizează introducând atenuări infinite în

apropierea frecvenţelor de tăiere.

=> au aceeaşi impedanţă caracteristică;

=> au aceleaşi frecvenţe de tăiere.

6) În locul impedanţelor: vor apare impedanţele modificate:tZ , Zl m tmZ , Zl

mZ mZ=l l

2

tm t1 1 m

Z Z Z4

−= + l 0 m 1< ≤

m = factor de derivare (real, pozitiv).

CTm CTZ Z

12.3 Celule derivate in T

=2 2

mm tm tZ ZZ Z Z Z

4 4⇒ + = +l l

l l

7/18/2019 ASC_temele 1-14


tm tm 4m l

1

2 Zl

1

2 Zl

tZcTZcTZ

m

2Z

l

m

2Z

l

1tm

Z

cTZcTZ21 m

4 mZ−

l

OBSERVAŢII:

1) impedanţa longitudinală este redusă prin factorul m.

2) impedanţa transversală este crescută prin factorul 1/m.3) în serie cu impedanţa transversală se plasează o

impedanţă de natura celei longitudinale.

mZ mZ=l l

2

tm t1 1 m

Z Z Zm 4m

−= + l 0 m 1< ≤


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Variabila normată: m2mtm

Zx4Z

= − l2

t

mZ4 1 m

Z Zm m

= −−

+

l

l

( )2 22

m 2 2

m xx

1 1 m x=

− −

OBSERVAŢII:

1) x m parcurge caracteristicile universale deduse anterior;

2) x este o variabilă normată (şi ea) care parcurge caracteristicile universale(pe care le vom determina) ale filtrelor derivate.

0 m 1< ≤( )

2 22m 2 2m xx

1 1 m x=

− −

1 1 1


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2 2

m 2 2 2

1 1 1

x 0 x x x x1 m 1 m 1 m∞ ∞> ⇒ < ⇒ − = − < < =− − −

1) Caracteristica universală este „strânsă” în intervalul: .( )x ; x∞ ∞− Ce este ?x∞

OBSERVAŢII:

2) Dacă: mx x x a∞→ ± ⇒ → ± ∞ ⇒ → ∞

3) Atenuarea este infinită doar în prezenţa unei rezonanţe serie într-o latur ă transversală, sau o rezonanţă derivaţie într-o latur ă longitudinală.

( )2

tm t1 1 m

Z x Z Zm 4m∞

−= + l ( )2

tt

Z1Z 1 1 m

m 4Z

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦l ( )2 2

t1

Z 1 1 m x 0m ∞

⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦

a, b

x

mx

−∞ 2

1

1 m−

− 2

1

1 m−1− 0 1 ∞

2m

1 m− 2m

1 m−−∞∞

−∞

∞1− 0 1


7/18/2019 ASC_temele 1-14


xm

a

BO BO

ab

π

-π

BT

x

a

BO BO

a

bπ

-π

BT

a, b

2

1x

1 m∞ =

−

x∞−

1 mln

1 m

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

FTJk

FTJm2

Celule în lanţ:

FTJm1


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Caracteristici separate

k

m1

m2<m1

a

f

Compunerea caracteristicilor a

f

O soluţie bună:

( )m 1 k x

m 0,8 x 1,66

m 0,6 x 1,25

∞

∞

∞

⎧ = → = ∞⎪

= → =⎨⎪ = → =⎩

12.4 Dimensionarea celulelor derivate

OBSERVAŢIE:

Celulele derivate se obţin din celulele de tip k-constant; şi dimensionareava porni de la aceste celule.

Etape:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1. Se determină impedanţele longitudinale şi transversale ale celulei k.

2. Se aplică relaţiile de derivare:m

2

tm t

Z mZ

1 1 m

Z Z Zm 4m

=⎧⎪⎨ −

= +⎪⎩

l l

l

t

Z j L

1Z

j C

= ω⎧⎪⎨ =⎪ ω⎩

l m

2

tm t

Z mZ

1 1 mZ Z Z

m 4m

=⎧⎪⎨ −

= +⎪

⎩

l l

l

t

2

t

L mLC mC

1 mL L

4m

==

−=

l

3. Relatiile de dimensionare pentru celula FTJ de tip derivat-m :

EXEMPLU: t sf 1MHz ; R 300 ; f 1,25 MHz∞= = Ω = 47,75 Hμ 47,75 Hμ

1,06 nFL 95,5 H ; C 1,06 nF= μ =Celula k-constant:

Din:f 1

x ∞∞ = =

2 2

1 1m 1 1 0,6⇒ = − = − =

12.5 Celula FTJ de tip derivat-m

7/18/2019 ASC_temele 1-14


28,65 Hμ

28,65 Hμ

636 pF

25,47 Hμ

Din:2

t

x

f 1 m

∞

−2 2

0,6

x 1,25∞

⇒

Dimensionarea celulei derivate:

L mL 0,6 95,5 57,3 H= = ⋅ = μl

tC mC 0,6 1,06 0,636 nF= = ⋅ =

2 2

t

1 m 1 0,6

L L 95,5 25,47 H4m 4 0,6

− −

= = = μ⋅

28,65 Hμ 28,65 Hμ

636 pF

25 47 H

47,75 Hμ 47,75 Hμ

1,06 nF

EXEMPLU: t sf 1MHz ; R 300 ; x 1,25∞= = Ω = ; m 0,6=

12.5 Celula FTJ de tip derivat-m

7/18/2019 ASC_temele 1-14


158

25,47 Hμ1,06 nF

0,312 (-10 dB)

2,16 MHz

916 kHz 1 MHz

0,707

7/18/2019 ASC_temele 1-14


13.1. Principiul maxim-plat

DEFINIŢIE:

Aproximarea de tip maxim-plat este aproximarea la care valoarea funcţieiaproximante şi primele sale derivate coincid, în origine, cu valoarea şiderivatele corespunzătoare ale funcţiei obiectiv.

ECHIVALENT:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Aproximarea se aplică pătratului modulului funcţiei aproximante.

Eroarea se anulează în origine dacă funcţia este normată: 0 0a b 1= =

Eroarea de aproximare în BT este:

( ) ( )

22 1 H jε ω = − ω

Funcţia normată se poate scrie: ( )

2 4 2m2

1 2 m2 4 2n1 2 n

1 c c cH j 1 d d d

+ ω + ω + + ωω = + ω + ω + + ω

L

L

EXEMPLU:

( )1

22 1

b s 1

H s a s a s 1

+

= + + ( )1

2 2 1

1 j b

H j 1 a j a

+ ω

⇒ ω = − ω + ω

( )( )

2 22 1

22 2 22 1

1 bH j

1 a a

+ ωω =

− ω + ω ( )

2 21

2 2 2 41 2 2

1 b

1 a 2a a

+ ω=

+ − ω + ω


7/18/2019 ASC_temele 1-14


( )2 1 ( )

Final: ( )2

2 12 4

1 2

1 cH j

1 d d

+ ωω =

+ ω + ωunde: 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2c b ; d a 2a ; d a= = − =

ALTFEL:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )1 1

2 22 1 2 1

1 b s 1 b sH s H s

1 a s a s 1 a s a s

+ −− =

+ + + − ( )

2 2122 2 2

2 1

1 b s

1 a s a s

−=

+ −

( )

2 2

12 2 2 41 2 2

1 b s1 a 2a s a s

−=− − +

Funcţia aproximantă depinde de m+n coeficienţi:

( )2 4 2m

2 1 2 m2 4 2n

1 2 n

1 c c cH j

1 d d d

+ ω + ω + + ωω =

+ ω + ω + + ω

L

L


7/18/2019 ASC_temele 1-14


1. Prin normare, am asigurat eroarea nulă în origine.

2. Pentru determinarea celorlalţi coeficienţi, mai trebuie să punem m+n condiţii:

2.1. n-1 condiţii servesc la aplatizarea caracteristicii;2.2. ceilalţi coeficienţi se determină din alte condiţii de proiectare,

care nu ţin de aplatizare.

3. Din definiţia erorii: rezultă că derivatele acesteia suntderivatele funcţiei aproximante cu semn schimbat.( )

( )22 1 H jε ω = − ω

OBSERVAŢII:

( ) 2 4 2m2 1 2 m2 4 2n

1 2 n

1 c c cH j1 d d d+ ω + ω + + ωω =+ ω + ω + + ω

L

L

Împăr ţind număr ătorul la numitor, funcţia aproximantă se poate scrie:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


( ) ( ) ( ) ( )2 2 41 1 2 2 1 1 1H j 1 c d c d d c d⎡ ⎤ω = + − ω + − − − ω +⎣ ⎦ L

Anulând primele n-1 derivate în origine, rezultă, succesiv:

1 1 2 2 m m m 1 n 1c d ; c d ; c d ; d 0 ; d 0+ −= = = = =L L

Funcţia aproximantă devine:

( )2 4 m

2 1 2 m2 4 m 2n

1 2 m n

1 d d dH j

1 d d d d

+ ω + ω + + ωω =

+ ω + ω + + ω + ω

L

L

( )( )

2m

2 2nm n

A

A d

ω=

ω + ω

OBSERVAŢIE: Derivarea se face în raport cu .ω2

13.2 Aproximarea Butterworth

Aproximarea Butterworth este o aproximare de tip maxim-plat a caracteristiciiamplificării, pentru funcţii aproximante f ăr ă nuluri finite:

( )2m A 1ω =

Considerând: , se obţine o normare în frecvenţă ce urmează a fiexplicată mai jos.

nd 1=

7/18/2019 ASC_temele 1-14


explicată mai jos.

Rezultă: ( )2

2n

1H j

1ω =

+ ω

OBSERVAŢII:

1) În urma normării în amplitudine, amplificarea în origine este unitar ă şi esteşi amplificarea maximă în BT .

2) La frecvenţa unitar ă, indiferent de ordinul aproximării, amplificarea scade

cu 3 dB:

( ) max1 2n

A1 A

21 1ω=

ω = =+ ω ω =

Caracteristici Butterworth pentru câtevaordine de aproximare.

OBSERVAŢIE: Am reprezentat amplificareaşi nu funcţia aproximantă (care este pătratul

n 1=n 2=

n 5=n 10=

1

A


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Eroarea de aproximare este:

în BT: ( ) ( )err 1 Aω = − ω

în BO: ( ) ( )err Aω = − ω

ş ţ p ( pamplificării).

0 1 2 3

0,3

0,7−

0 1 2 3

err

În locul amplificării se poate utiliza atenuarea:

( ) ( )2n 2nNpa ln 1 0,5ln 1ω = + ω = + ω

sau:( ) ( )2n 2n

dBa 20lg 1 10lg 1ω = + ω = + ω


7/18/2019 ASC_temele 1-14


La frecvenţe mari, departe de frecvenţa de tăiere, panta asimptotică estede 20n dB/dec , respectiv 6n dB/oct .

OBSERVAŢIE: Caracteristica normată Butterworth depinde de un singur

parametru: ordinul său.Ordinul aproximării se determină din datele de proiectare.

a. Se cere o anumită pantă asimptotică.b. Se acceptă atenuarea maximă de 3 dB în BT şi se cere o anumită atenuare la o frecvenţă dată în BO.

Să analizăm trei variante:

c. Se cere o atenuare maximă la o frecvenţă în BT şi o atenuare minimă

la o frecvenţă în BO.

EXEMPLU: Să se determine ordinul aproximării Butterworth care asigur ă o pantă asimptotică de minim a 54 dB /dec.Δ =

SOLUŢIE:

Panta asimptotică este, în general: a 20n dB / dec.Δ =

a. Se cere o anumită pantă asimptotică.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


F.d.c. astfel determinată asigur ă o pantă asimptotică:

a 20 3 60 dB / dec. 54 dB / dec.Δ = ⋅ = >

Rezultă ordinul aproximării: a 54n 2,720 20Δ= = =

Se alege întregul imediat superior: n 3=

Caracteristica trebuie să treacă prin punctele:şi „pe sub” punctul:

( ) ( )0 ; 1 , 1; 0,707( )1 min; 1/ aω

min1/a

1

A

b. Se acceptă atenuarea maximă de 3 dB în BT şi se cere o anumită atenuarela o frecvenţă dată în BO.


7/18/2019 ASC_temele 1-14


Punem condiţia de gabarit la frecvenţa :1ω

( ) ( )2ndB 1 1 mina 10lg 1 aω = + ω ≥

Rezultă, succesiv:

( )2n1 minlg 1 0,1a+ ω ≥ min0,1a2n

11 10+ ω ≥ min0,1a2n1 10 1ω ≥ −

( )min0,1a12n lg lg 10 1⋅ ω ≥ − ( )min0,1a

1

lg 10 1

n 2 lg

−

≥ ω

ω1ω1

b. Se acceptă atenuarea maximă de 3 dB în BT şi se cere o anumită atenuarela o frecvenţă dată în BO.

EXEMPLU:

Să se determine ordinul aproximării Butterworth care asigur ă o atenuare deminim la frecvenţa normatămina 21dB= 1 1,8ω =


7/18/2019 ASC_temele 1-14


SOLUŢIE: Aplicăm relaţia dedusă anterior:

( )2,1lg 10 1n

2 lg1,8

−≥

( )lg 124,894,1

2 lg1,8

= =

Se alege: n 5=

1 1,8

1

0,089 21dB= −0,052 25,7 dB= −

0,707 3 dB= −

c. Se cere o atenuare maximă la o frecvenţă în BT şi o atenuare minimă lao frecvenţă în BO.

Dacă problema s-ar trata ca în cazul precedent, s-ar pune două condiţiipentru determinarea unei singure necunoscute (ordinul).

Vom impune condiţiile ( )a a ;⎧ ω ≤ ω < ω şi le transpunem în


7/18/2019 ASC_temele 1-14


în termenii frecvenţelornenormate:

( )

( )1 max 1 t2 min 2 ta a ;⎪⎨ ω ≥ ω > ω⎪⎩

termenii frecvenţelornormate:

2n1

maxt10lg 1 a

⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ ≤⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2n2

mint10lg 1 a

⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ ≥⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

max

2n0,1a1

t

10 1⎛ ⎞ω

≤ −⎜ ⎟ω⎝ ⎠min

2n0,1a2

t

10 1⎛ ⎞ω

≥ −⎜ ⎟ω⎝ ⎠

min

max

2n 0,1a2

0,1a1

10 1

10 1

⎛ ⎞ω −≥⎜ ⎟ω −⎝ ⎠

min

max

0,1a

0,1a2

1

1 10 1n lg

10 12 lg

⎛ ⎞−≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ω −⎝ ⎠

ω


Pentru denormarea în frecvenţă a funcţiei aproximante obţinute,trebuie aleasă frecvenţa de tăiere (denormată).

OBSERVAŢII:


7/18/2019 ASC_temele 1-14


1) Prin rotunjirea în sus a ordinului rezultat din calcul, gabaritele sunt„ocolite” cu o rezervă.

2) Ca urmare, prin alegerea frecvenţei de tăiere se poate „aşeza”

caracteristica între:> a respecta la limită gabaritul inferior şi> a respecta la limită gabaritul superior.

3) Cele două limite sunt date de:

2n1

max t1t1

10lg 1 a⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ = ⇒ ω⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2n2

min t2t2

10lg 1 a⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ = ⇒ ω⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

sau:


EXEMPLU:

Se dau condiţiile de gabarit:

1 max5 a 1dBω = → =⎧

⎨⎩


7/18/2019 ASC_temele 1-14


2 min15 a 15 dB⎨ω = → =⎩

1,5

0,1

1 10 1n lg 2,17

15 10 12 lg5

⎛ ⎞−≥ =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Frecvenţele de tăiere limită rezultă:t1 t26,26 ; 8,48ω = ω =

Se alege: n 3=

3 dB−

15 dB−

1dB−

6,26 8,485 15

7/18/2019 ASC_temele 1-14


Analiza şi Sinteza Circuitelor Cursul 14 APROXIMAREA DE TIP MINI-MAX A

FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

14.1 Principiul mimi-max

( )⎧ ⎡ ⎤

Aproximările care urmează admit ondulaţii controlate ale caracteristicilor înzona aproximată.

Criteriul mini-max urmăreşte realizarea unor maxime egale între ele şi a unorminime egale între ele.

Dezideratul poate fi atins cu ajutorul polinoamelor Cebâşev :

7/18/2019 ASC_temele 1-14


( ) ( )

( )n

cos n arccos , 0 1C

ch n argch , 1

⎧ ⎡ ⎤ω < ω <⎪ ⎣ ⎦ω = ⎨

⎡ ⎤ω ω >⎪ ⎣ ⎦⎩

Relaţia de recurenţă: ( ) ( ) ( )n n 1 n 2C 2 C C− −ω = ω ω − ω

cu condiţiile de start: ( ) ( )0 1C 1; Cω = ω = ω

14.1 Principiul mimi-max

( ) 2C 2 1

1

1

1−

1−

ω

( ) 3C 4

1

1

1−

1−

ω

( ) 4 2C 8 8 1

1

1

1−

1−

ω

( )C

1

1

1−

1−

ω

Graficul primelor polinoame Cebâşev:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


( ) 22C 2 1ω = ω − ( ) 3

3C 4ω = ω − ω ( ) 4 24C 8 8 1ω = ω − ω +( )1C ω = ω

( )nC ω ( )2nC ωLEGEND Ă:

Polinoamele de ordin par sunt pare, cele de ordin impar – impare. Au toate zerourile distincte şi în intervalul (-1, 1).

La extremităţile intervalului de aproximare ating extremele egale cu 1± În afara intervalului de aproximare panta creşte cu n.

( )2nC ω , care va fi utilizat, are n extreme locale în .0ω >

14.2 Aproximarea Cebâşev

Se utilizează funcţia aproximantă:

( ) ( )

2

2 2n

1H j 1 Cω = + ε ω

unde ε este un parametru care va controla mărimea erorii de aproximare.

1Extremele în BT sunt:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


2

1

1+ ε

1

1

n 3=

n 2=

Valoarea în origine depinde de paritateaordinului aproximării.

( ) ( )

( ) ( )

n max

n min 2

n impar : C 0 H 0 H 1

1n par : C 1 H 0 H1

ω = ⇒ = =

ω = ⇒ = =+ ε

( )

( )

n max

n min 2

C 0 H 1

1C 1 H

1

ω = ⇒ =

ω = ⇒ =

+ ε


Expresia amplificării este:

( ) ( )2 2n

1 A 1 Cω = + ε ω

( ) ( )2 2dB n A 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = − + ε ω⎣ ⎦

min 2

1 A

1=

+ ε

1

A

7/18/2019 ASC_temele 1-14


10 ω

iar atenuarea este:

( ) ( )

2 2

dB na 10 lg 1 C⎡ ⎤

ω = + ε ω⎣ ⎦

1

( )2maxa 10 lg 1= + ε

0

dBa

ω

maxa


min 2

1 A

1

=

+ ε

1 A

La frecvenţe mari, atenuarea se poate scrie:

( ) ( ) ( )2 2dB n na 10 lg C 20 lg C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω = ε ω = ε ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) n 1 ndBa 20 lg 2 −⎡ ⎤ω → ε ω⎣ ⎦

( )20 l 6 1 20 l

7/18/2019 ASC_temele 1-14


1+ ε

10 ω

( )20 lg 6 n 1 20n lg= ε + − + ω

Atenuarea este mai mare decât în cazulaproximării Butterworth, datorită termenilorconstanţi.

Panta asimptotică este de 20n dB/dec ., cumera de aşteptat de la un FTJ de ordinul n.

EX: O atenuare maximă în BT de 3 dB înseamnă un ε = 0,9976 . 1

( )2maxa 10 lg 1= + ε

0

dBa

ω

maxa

( )n 3 20 lg 0,9976 6 3 1 11,98 dB= → + − =

( )n 5 20 lg 0,9976 6 5 1 23,98 dB= → + − =


Aproximarea depinde de doi parametri: ε şi n.

Datele de proiectare se pun sub forma gabaritelor pentru atenuare.

mina

dBaDin expresia atenuării:

( ) ( )2 2dB na 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = + ε ω⎣ ⎦

( ) 2a 10 lg 1⎡ ⎤ω + ε

7/18/2019 ASC_temele 1-14


maxa

ω1 tω = ω 2ω

( ) 2maxa 10 lg 1⎡ ⎤ω = + ε⎣ ⎦

max0,1a10 1ε = −

Valori întâlnite frecvent: [ ]maxa dB 0,5 1 3

0,3493 0,5088 0,9976ε


mina

dBaDin expresia atenuării:

( ) ( )2 2dB na 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = + ε ω⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ω

7/18/2019 ASC_temele 1-14


maxa

ω1 tω = ω 2ω

La frecvenţa ω2 :2 2 2

min n1

a 10 lg 1 C⎡ ⎤⎛ ⎞ω

≤ + ε⎢ ⎥⎜ ⎟ω⎝ ⎠⎣ ⎦

min0,1a

2n1

10 1C

⎛ ⎞ω −≥⎜ ⎟ω ε⎝ ⎠

min

max

0,1a

0,1a

10 1

10 1

−= −

Ţinând cont de expresia polinomului Cebâşev în BO (slide 24):

min

max

0,1a2

0,1a1

10 1ch n argch

10 1

⎡ ⎤⎛ ⎞ω −≥⎢ ⎥⎜ ⎟ω −⎝ ⎠⎣ ⎦

min

max

0,1a

1 0,1a

1 2

1

10 1ch 10 1

n

ch

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⇒ ≥

⎛ ⎞ω⎜ ⎟ω⎝ ⎠


2 0 d B

1 d B

d Ba

ω1 0 0 1 2 5

EXEMPLU:

Să se proiecteze un FTJ Cebâşev

cu condiţiile de gabarit:

1 max

2 min

100 ; a 1dB

125 ; a 20 dB

ω = =

ω = =

0 110 1⎛ ⎞

7/18/2019 ASC_temele 1-14


0,110 1 0,5088ε = − =

0,11

2

1

10 1ch

10 1n 5,2884 n 6

125ch

100

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠≥ = → =

⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠


2 0 d B

1 d B

d Ba

ω1 0 0 1 2 5

EXEMPLU:

Să se proiecteze un FTJ Cebâşev

cu condiţiile de gabarit:

1 max

2 min

100 ; a 1dB

125 ; a 20 dB

ω = =

ω = =

O comparaţie cu soluţii Butterworth:

7/18/2019 ASC_temele 1-14


O comparaţie cu soluţii Butterworth:

n 6=

n 14=

n 6=Cebâşev

Butterworth

n 6=

n 14= n 6=

Cebâşev

Butterworth

banda de tranziţie

asc_temele 1-14

Documents