apmis

Dan Ştefănoiu Ion Matei Petre Stoica

AAAssspppeeecccttteee ppprrraaaccctttiiiccceee îîînnnMMMooodddeeelllaaarrreeeaaa şşşiii IIIdddeeennntttiiifffiiicccaaarrreeeaaa SSSiiisssttteeemmmeeelllooorrr

Cuprins

Notaţii şi abrevieri VIIPrefaţă IXIntroducere 1

1. Caracterizări în timp şi frecvenţăale proceselor stocastice 111.1. Analize de proces prin metode ne-parametrice 11

A. Analiza tranzitorie 11B. Analiza în frecvenţă 11C. Analiza bazată pe corelaţie 13D. Analiza spectrală 14

1.2. Aspecte practice în analiza proceselor stocastice 15A. Procese total neautocorelate – zgomotul alb 15B. Zgomote colorate 17

1.3. Exerciţii 181.4. Probleme de simulare 20

2. Identificarea modelelor ne-parametrice 252.1. Contextul general de lucru 252.2. Exerciţii 262.3. Probleme de simulare 26

3. Identificare parametricăprin Metoda Celor Mai Mici Pătrate 343.1. Contextul general de lucru 343.2. Exerciţii 343.3. Probleme de simulare 35

4. Identificare parametricăprin Metoda Variabilelor Instrumentale 394.1. Contextul general de lucru 39

A. Metoda Variabilelor Instrumentale 39B. Criterii de alegere a structurii modelelor 40C. Criterii de validare a modelelor 44


Aspecte practice în Modelarea şi Identificarea Sistemelor

II

5. Identificare parametricăprin Metoda Minimizării Erorii de Predicţie 585.1. Contextul general de lucru 58

A. Metoda Celor Mai Mici Pătrate Extinsă 58B. Metoda Minimizării Erorii de Predicţie 60


6. Identificare recursivă 676.1. Contextul general de lucru 67

A. Algoritmi recursivi de identificare 67B. Rutine MATLAB pentru identificare recursivă 75


7. Aplicaţii de identificare recursivă 817.1. Contextul general de lucru 81

A. Aproximarea modelelor complexe 81B. Identificarea parametrilor fizici ai unui proces 87


8. Modelarea şi predicţia seriilor de timp 1048.1. Contextul general de lucru 104

A. Estimarea modelului polinomial al tendinţei 105B. Estimarea componentei sezoniere 107C. Estimarea componentei nedeterministe (aleatoare) 113D. Predicţia seriei de timp 115


AnexeA. Despre biblioteca de rutine MATLAB

dedicate Identificării Sistemelor 129B. Lista de verificare a mini-simulatoarelor şi rutinelor de MIS 134

Referinţe bibliografice 137

Cuprins

III

Lista figurilor

1. Reprezentarea sistemică a modelelor ARMAX. 3

2. Experimentul obţinerii culorii albe din spectrul ROGVAIV. 16

3. Experimentul obţinerii unei nuanţe de rozdin spectrul ROGVAIV. 16

4. Două modele de procese stocastice echivalente. 20

5. Fereastra grafică tipică a rutinei IISSLLAABB__11AA. 21

6. Fereastra grafică tipică a rutinei IISSLLAABB__11BB. 21

7. Fereastra grafică tipică a rutinei NNOOIISSEE. 22

8. Exemplu de analiză tranzitorie. 27

9. Exemplu de analiză pe bază de corelaţie. 28

10. Fereastra spectrală a lui Hamming. 30

11. Exemplu de analiză spectrală. 31

12. Exemplu de afişare a erorii de estimare cu MCMMP(răspuns în frecvenţă). 36

13. Exemplu de afişare a erorii de estimare cu MCMMP(dispersie zgomot). 36

14. Criterii de alegere a structurii modelelor. 41

15. Performanţele unui model estimat cu MCMMP. 55

16. Reprezentarea poli-zeroruri a unui model estimat cu MCMMP. 55

17. Dispersia estimată a zgomotului. Criteriul aplatizării şi Testul F. 56

18. Potrivirea cu datele de identificare. 56

19. Potrivirea cu datele de validare. 57

20. Criteriul Akaike-Rissanen. 57

21. Performanţele unui model estimat cu MMEP. 66

22. Reprezentarea poli-zeroruri a unui model estimat cu MMEP. 66

23. Algoritmul recursiv de bază în IS. 68

24. Algoritmul recursiv cu fereastră dreptunghiulară. 70

25. Algoritmul recursiv cu fereastră exponenţială. 72


IV

26. Algoritmi recursivi de tip gradient. 73

27. Algoritmul recursiv cu filtrare Kalman. 74

28. Performanţele MCMMP-R. 79

29. Performanţele MVI-R. 79

30. Performanţele MMEP-R. 80

31. Performanţele MRLP-R. 80

32. Caracteristicile în frecvenţă ale filtrelor Butterworthde tip trece-jos. 83

33. Caracteristicile în frecvenţă ale filtrelor Butterworthde tip trece-bandă. 83

34. O estimare grosieră a spectrului procesului furnizor de date. 101

35. Caracteristicile filtrului Butterworth ales. 101

36. Performanţele modelului ARMAX pe toată lărgimea de bandă. 102

37. Performanţele modelului ARMAX

pe lărgimea de bandă a filtrului. 102

38. Date de intrare-ieşire furnizate de un motor de curent continuu. 103

39. Ieşirea măsurată şi cea simulată

ale motorului de curent continuu. 103

40. Urmărirea parametrilor fizici ai motorului de curent continuu. 103

41. Determinarea perioadei optime

cu Metoda Wittacker-Robinson. 109

42. Determinarea perioadei optime

cu Metoda periodogramei Schuster. 112

43. Algoritmul Levinson-Durbin. 114

44. Rata lunară a numărului de şomeri din SUA. 121

45. Circulaţia monedei belgiene măsurată lunar, timp de 10 ani. 121

46. Media lunară a numărului de pete solare observate. 122

47. Distanţa lunară parcursa la U.K. Airlines pe cursele interne. 122

48. Rata lunară a şomajului în Marea Britanie. 123

49. Rata lunară a şomajului în Franţa. 123

Cuprins

V

50. Rata lunară a şomajului în Canada. 124

51. Veniturile lunare din impozitele pe telefoane în SUA. 124

52. Media lunară a timpului mediu de lucru săptămînal în SUA. 125

53. Numărul lunar al bolnavilor operaţi de amigdalităla Spitalul 23 August. 125

54. Intensitatea conştiinţei colective pe Terra măsurată lunar. 126

55. Intensitatea radio cosmică măsurată la radio-telescopuldin Indianapolis. 126

56. Cursul de schimb USD-LEI (eşantionare neuniformă). 127

57. Cursul de schimb EURO-LEI (eşantionare neuniformă). 127

58. Cursul de schimb USD-EURO (eşantionare neuniformă). 128

59. Fereastra grafică tipică a interfeţei bibliotecii de IS. 131


VI

Lista tabelelor

1. Intervale şi nivele de încredere tipice

pentru validarea modelelor. 45

2. Serii de timp disponibile pe Discul Compact. 120

VII

Notaţii matematice specifice

F Operatorul Fourier, definit prin:

∑∈

−==Zn

njdef

jdef

j enxexeX ωωω ][))(()( F , R∈∀ω ,

pentru orice secvenţă discretă de semnal, absolut sumabilă, x .1−F Operatorul Fourier invers, exprimat prin:

∫+

−

+− ==π

π

ωω ωπ

deeXnXnx njjdef

)(21])[(][ 1F , Z∈∀n ,

unde x este o secvenţă discretă de semnal, absolut sumabilă.

Z Operatorul Z (Transformata Z), definit(ă) prin:

∑∈

−==Zn

ndefdef

znxzxzX ][))(()( Z , xz C∈∀ ,

pentru orice secvenţă discretă de semnal x . Suma din definiţie esteconvergentă într-o coroană circulară centrată în originea planului complex,

xC , care depinde de semnalul x .

dB][x valoarea în decibeli a numărului 0>x , definită prin:

xxdef

lg10][ dB = (în Teoria Sistemelor);

xxdef

lg20][ dB = (în Prelucrarea Semnalelor).

Deoarece 310 1010242 ≅= , în practică se consideră că dB3]2[ dB = (în

Teoria Sistemelor) sau dB6]2[ dB = (în Prelucrarea Semnalelor).

x partea întreagă a numărului real R∈x , adică întregul cel mai mare inferiorlui x .

VIII

Abrevieri

[Ref] Se citează referinţa cu eticheta [Ref] din lista bibliografică.AR Auto-Regressive model (model auto-regresiv)ARMA Auto-Regressive Moving Average model (model auto-regresiv, de medie

alunecătoare)ARMAX Auto-Regressive Moving Average with eXogenous control model (model

auto-regresiv, de medie alunecătoare, cu control extern)ARX Auto-Regressive with eXogenous control model (model auto-regresiv cu

control extern)cmmmc cel mai mic multiplu comunBJ model Box-JenkinsdB decibel, decibeliFIR Finite Impulse Response (sistem cu răspuns finit la impuls)FPE Final Prediction Error (eroare finală de predicţie)GUI Graphical User Interface (interfaţă grafică convivială cu utilizatorul)IA Inteligenţă ArtificialăIIR Infinite Impulse Response (sistem cu răspuns infinit la impuls)IS Identificarea SistemelorLTI Linear Time Invariant Systems (sisteme liniare invariante la deplasări

temporale)MA Moving Average model (model de medie alunecătoare)MCMMP Metoda Celor Mai Mici PătrateMCMMP-R Metoda Celor Mai Mici Pătrate în variantă recursivăMCMMPE Metoda Celor Mai Mici Pătrate ExtinsăMGN Metoda Gauss-NewtonMIMO Multiple Input multiple Output model (model cu intrări şi ieşiri multiple)MIS Modelarea şi Identificarea SistemelorMMEP Metoda Minimizării Erorii de PredicţieMMEP-R Metoda Minimizării Erorii de Predicţie în variantă recursivăMRPL-R Metoda de Regresie Pseudo-Liniară în variantă recursivăMVI Metoda Variabilelor InstrumentaleMVI-R Metoda Variabilelor Instrumentale în variantă recursivăOE Output Error model (model de tip “eroare de ieşire”)PE Programare Evoluţionistă/EvolutivăPS Prelucrarea SemnalelorSISO Single Input Single Output model (model cu o intrare şi o ieşire)SNR Signal-to-Noise Ratio (raportul semnal-zgomot)SPA Semnal Pseudo-AleatorSPAB Semnal Pseudo-Aleator BinarTF Transformata FourierTFD Transformata Fourier DiscretăTLC Teorema Limită CentralăTS Teoria SistemelorTZ Transformata Z

IX

AAAssspppeeecccttteee ppprrraaaccctttiiiccceee îîînnnMMMooodddeeelllaaarrreeeaaa şşşiii IIIdddeeennntttiiifffiiicccaaarrreeeaaa SSSiiisssttteeemmmeeelllooorrr

Dan Ştefănoiu, Ion Matei, Petre Stoica∗∗∗∗

Universitatea “Politehnica” din BucureştiFacultatea de Automatică şi Calculatoare

Grupul de Identificare a Sistemelor şi Prelucrare de SemnalSplaiul Independenţei nr. 313, Sector 6

77206 – Bucureşti, ROMÂNIATel. (+ 40 21) 402 9318; Fax. (+ 40 21) 411 9163

E-mails: [email protected],[email protected],[email protected]

Prefaţă

Cartea de faţă prezintă o serie de aspecte practice uzuale destinate în special

completării cursurilor introductive de Modelarea Sistemelor, Identificare

(Experimentală) a Sistemelor, Prelucrare (Numerică) a Semnalelor şi/sau de

Comandă (Numerică) a Sistemelor, de la facultăţile tehnice de profil electric. Fiind

cursuri tipice de matematică aplicată în Automatică şi/sau Electronică, ele beneficiază

de o argumentaţie riguroasă, dar cu multe aspecte teoretice a căror întelegere poate fi

uşurată printr-o colecţie de exemple sau exerciţii de gîndire şi probleme de simulare

pe un mijloc automat de calcul. Printre altele, cartea se doreşte a fi o alternativă a

îndrumarelor de laborator [StD9603] (destinat modelării şi predicţiei seriilor de timp),

[StD9605] (o culegere de probleme rezolvate din domeniul Identificării Sistemelor) şi

[StD9602b] (destinat implementării algoritmilor de tip FFT – Fast Fourier Transform –

din cadrul Prelucrării Numerice a Semnalelor).

∗ Universitatea din Uppsala, Departamentul de Sisteme şi Control Automat, P.O. Box 27, 75103 – Uppsala,

SUEDIA.

mailto:[email protected]



X

Cartea debutează cu o succintă privire de ansamblu asupra domeniilor Modelării şi

Identificării Sistemelor. Interacţiunea cu domeniul Prelucrării Semnalelor este de

asemenea amintită. Capitolele sunt apoi descrise astfel încît cititorul să fie mai întîi

familiarizat cu un suport teoretic minimal necesar înţelegerii aplicaţiilor abordate. O

serie de exerciţii pregătitoare graduale au rolul de a obişnui cititorul cu terminologia şi

notaţiile specifice contextului de lucru în care se desfăşoară aplicaţiile. Exerciţiile de

gîndire sau problemele de simulare pe calculator sunt formulate în finalul fiecărui

capitol. O colecţie de programe scrise în MATLAB (versiunea 6.*) sunt înregistrate pe

Discul Compact ataşat cărţii. Unele dintre aceste programe au fost concepute la

Universitatea din Uppsala (Departamentul de Control Automat) şi Institutul Tehnologic

Lund (ambele din Suedia), fiind disponibile gratuit şi pe internet la adresa

http://www.syscon.uu.se/Courses/. Ele au fost comentate în limba

engleză şi uşor modificate, pentru mai uşoara lor înţelegere de către cititori. O

succintă explicaţie în limba română este de asemenea furnizată. Alte programe (mai

multe) au fost în întregime proiectate de către grupul de cercetare de Identificare a

Sistemelor şi Prelucrare de Semnal din cadrul Facultăţii de Automatică şi Calculatoare

a Universităţii “Politehnica” din Bucureşti. Cu toate acestea, cititorii sunt invitaţi să

conceapă şi propriile lor programe în cursul abordării aplicaţiilor descrise.

Sperăm ca prin această carte să venim în întîmpinarea tuturor celor care doresc să

studieze Modelarea şi Identificarea Sistemelor dintr-o perspectivă practică.

Autorii.Bucureşti, Mai 2004

MATLAB şi SIMULINK sunt mărci înregistrate ale firmei MathWorks Inc. din SUA.

(http://www.mathworks.com/)

http://www.syscon.uu.se/Courses/

1

IInnttrroodduucceerreeIdentificarea Sistemelor (IS) este o disciplină al cărei obiect de studiu îl constituie

modelarea proceselor/sistemelor dinamice folosind date experimentale achiziţionate încursul exploatării acestora. Modelele matematice cu care se operează în cadrul ISsunt în principal bazate pe conceptele de ecuaţie diferenţială (pentru sistemele cuevoluţie în timp continuu) şi ecuaţie cu diferenţe (pentru sistemele cu evoluţie în timpdiscret). Cu toate acestea, modele ce apelează la alte concepte sunt de asemeneautilizate, dar mai mult în scopul unor descrieri calitative ale comportamentuluiprocesului ce trebuie identificat.

Domeniul IS a fost conturat în special odată cu publicaţiile lui K.J. Åström şiP. Eykhoff din anii ’70-’80 [AsEy71], [EyP74], [EyP81]. În paralel, pot fi menţionatecontribuţii importante la dezvoltarea domeniului şi conturarea unor direcţii de cercetareprin publicaţiile lui R.L. Kashyap şi A.R. Rao [KaRa76], R.K. Mehra şi D.G. Lainiois[MeLa76], G.C. Goodwin şi R.L. Payne [GoPa77] sau T. Söderström [SoT84].Aplicaţiile tehnicilor de identificare şi estimare parametrică (care presupun şi modelarematematică) nu au întîrziat să apară. Ele sunt descrise într-o serie de simpozioaneIFAC dedicate IS şi tehnicilor de estimare parametrică, cum ar fi cele de la: Praga(1967, 1970), Haga (1973), Tbilisi (1976), Darmstadt (1979), Washington DC (1982).Numeroase lucrări de sinteză şi priviri de ansamblu au fost publicate în special înrevistele Automatica editate de comitetul IFAC [IFAC80], [IFAC82]. Dar una dintre celemai complete caracterizări ale domeniului a fost publicată în [SoSt89] – probabil ceamai citată referinţă din ultimul deceniu. Au urmat [LjGl94] şi [LjL99] – două referinţeorientate către algoritmi de identificare.

În România, perioada cea mai prolifică în materie de publicaţii din domeniul IS (anii’70-’80) nu a rămas fără ecou. Astfel, se poate spune că şcoala românească deIdentificări a fost iniţiată în special prin lucrările lui C. Penescu, M. Tertişco şi P. Stoica[PITC71], [TeSt80], [TeSt85], [TSP87]. O viziune extrem de practică legată de IS (încontextul controlului automat al sistemelor) a fost publicată de către I.D. Landau în[LaID93] (în limba franceză), carte care a fost tradusă şi în limba română [LaID97].

Indiscutabil, acest scurt istoric nu poate cuprinde panoplia vastă a contribuţiilorcare au condus la diversificarea si îmbogăţirea domeniului IS. Astăzi, IS îşi continuădezvoltarea în special prin deschiderea faţă de aplicaţiile necesitînd abordări inter-disciplinare. Astfel, algoritmi rapizi şi tehnici neconvenţionale de identificare au începutsă apară încă de la începutul anilor ’90, prin interacţiunea cu alte domenii decercetare, în special cu Prelucrarea Semnalelor (PS), Inteligenţa Artificială (IA) şiProgramarea Evoluţionistă (PE).

Importanţa studierii domeniului IS rezidă în însuşi conceptul de modelarematematică. Numeroase aplicaţii de Automatică şi/sau de Ştiinţa Calculatoarelorapelează la modele matematice. În multe cazuri, procesele studiate sunt atît decomplexe încît nu este posibilă o caracterizare a lor prin descrierea fenomenelor fizicede la baza comportamentului lor, adică folosind principiile şi legile fizicii exprimate prinprin ecuaţii de bilanţ. De multe ori, chiar ecuaţiile obţinute în acest fel conţin un numarde parametri necunoscuţi. În asemenea situaţii, utilizatorul este obligat de împrejurărisă apeleze la modele şi tehnici de identificare.

Cadrul de lucru specific din IS este structurat în jurul a 3 concepte fundamentale:modelul matematic, semnalul de stimul şi metoda de identificare.


2

În termeni generali, identificarea unui proces/sistem dinamic necesită parcurgereaurmătoarelor etape:

stimularea procesului cu un anumit semnal (dacă este posibil); achiziţionarea pe un orizont finit de timp a datelor de intrare-ieşire astfelobţinute şi prelucrarea primară a lor (atenuare grosieră de zgomot);

alegerea unui model matematic adecvat (care să concorde cu dateleachiziţionate), dintr-o clasă specifică de modele;

determinarea modelului selectat folosind o metodă de identificarecorespunzătoare;

validarea modelului matematic obţinut prin intermediul unei metode devalidare.

Succesul unui experiment de identificare constînd în etapele de mai sus depinde înmare măsură de maniera în care au fost precizate cele 3 concepte fundamentaleamintite.

Modelele matematice pot fi ne-parametrice sau parametrice. Modelele ne-parametrice sunt utilizate în special pentru a obţine descrieri apriorice, mai mult deordin calitativ, ale procesului ce trebuie identificat. În acest caz, datele achiziţionatesunt privite ca date statistice referitoare la evoluţia procesului. Metode statistice relativsimple (în general bazate pe tehnica (auto-)corelaţiei) sunt aplicate datelor pentru aobţine modele atît în domeniul timpului cît şi al frecvenţei. Aceste modele suntdescrise prin reprezentări grafice sau tabele, dar fără a apela la conceptul deparametru. Ele folosesc la analizarea proceselor din diferite perspective. In principiu, 4tipuri de analize pot fi efectuate: analiza în frecvenţă, analiza regimului tranzitoriu,analiza de auto-corelaţie şi analiza spectrală. Primele 2 capitole au ca obiectivprincipal ilustrarea modului în care modelele ne-parametrice pot caracteriza evoluţiaunui proces şi pot fi identificate.

Modelele parametrice cele mai utilizate în aplicaţii fac parte din clasa ARMAX(Auto-Regressive Moving Average with eXogenous control). Reamintim că ecuaţiagenerală a clasei ARMAX[na,nb,nc] (o ecuaţie cu diferenţe) este următoarea:

434214342143421MA

neqCX

nuqBAR

nyqA ][)(][)(][)( 111 −−− += , N∈∀n , (1)

unde, prin convenţie, parantezele drepte indică timpul discret sau normalizat (pentrutimp continuu, se utilizează parantezele rotunde). Tot în ecuaţia (1), au fost utilizateurmătoarele notaţii (consacrate):

• u este semnalul de intrare sau de stimul.• y este semnalul de ieşire sau răspunsul sistemului.• e este semnalul stocastic ideal numit zgomot alb. Din punct de vedere statistic,

zgomotul alb este prototipul semnalelor total neautocorelate, adică:

][][][ 02 mnmeneE −= δλ , Z∈∀ mn, , (2)

unde E reprezintă operatorul de mediere statistică, 0δ este impulsul unitar

centrat în origine (simbolul lui Kronecker), iar 2λ este varianţa zgomotului,necunoscută.

Introducere

3

• 1−q este operatorul de întîrziere cu un pas (de eşantionare), definit prin:

( ) ]1[][1 −=− nfnfq , Z∈∀n pentru orice şir de date f (scalar sau vectorial).• A , B , C sunt polinoame de grade finite:

+++=++=+++=

−−−

−−−

−−−

ncnc

nbnb

nana

qcqcqCqbqbqBqaqaqA

L

L

L

11

1

11

1

11

1

1)()(

1)(, (3)

unde atît coeficienţii naiia ,1

∈, nbiib ,1

∈

, nciic ,1

∈ (adică parametrii modelului),

cît şi gradele lor na , nb , nc (adică indicii structurali ai modelului) suntnecunoscuţi şi trebuie determinaţi.

Modelul general al clasei ARMAX arată de fapt că semnalul de ieşire se obţine carezultat al superpoziţiei dintre un semnal util obţinut prin filtrarea semnalului de intrareşi un semnal parazit obţinut prin filtrarea zgomotului alb, aşa cum este ilustrat înFigura 1. Particularitatea principală a clasei de modele o constituie faptul că ambelefiltre (notate prin H şi G în figură) au aceiaşi poli (daţi de rădăcinile polinomului A ).Cu alte cuvinte, filtrele sunt simultan stabile sau instabile. În acest context de lucru alIS, se urmăreşte determinarea modelelor stabile (zerourile lui A trebuie să fieamplasate în interiorul discului unitar din planul complex).

Figura 1. Reprezentarea sistemică a modelelor ARMAX.

Cazurile particulare cele mai utilizate în aplicaţii sunt modelele: ARX[na,nb] (pentru1≡C ), AR[na] (pentru 0≡B şi 1≡C ), MA[nc] (pentru 1≡A şi 0≡B ) şi

ARMA[na,nc] (pentru 0≡B ). Primul model este tipic aplicaţiilor de control numericoptimal, în timp ce ultimele 3 sunt utilizate în special pentru modelarea şi predicţiaseriilor de timp (mai precis, a componentei lor stocastice). O serie de timp (sau unproces stocastic în timp discret) este văzută ca o realizare a unui proces stimulat dezgomotul alb.

În acest context, problema principală a IS este determinarea parametrilor, aindicilor structurali şi a varianţei zgomotului alb, folosind date achiziţionate pe unorizont finit de măsură: Nnny

,1][

∈ şi, dacă este posibil, Nnnu

,1][

∈.

H ≡≡≡≡ B/A

G ≡≡≡≡ C/A

+

v

u y


4

În vederea rezolvării acestei probleme, ecuaţia (1) a modelelor ARMAX esteexprimată în mod echivalent în forma de regresie liniară:

][][][ nenny T += θϕ , N∈∀n , (4)

unde θθ nR∈ este vectorul parametrilor necunoscuţi, iar θϕ nR∈ este vectorulregresorilor (format din date măsurate şi, eventual, estimate). Prin convenţie, vectoriisunt de tip coloană, ca şi în cazul altor discipline (Teoria Sistemelor (TS) sau PS).

Dimensiunea şi configuraţia celor 2 vectori din ecuaţia (4) depind de modelulselectat. În general, înălţimea vectorilor este ncnbnan ++=θ , iar configuraţiainclude 3 componente (cîte una pentru fiecare polinom):

[]

[ ]

∈∀=

−−−−−−−−−−−−=

Nncccbbbaaa

ncnenenenbnunununanynynyn

ncnbna

defT

defT

LLL

L

LL

212121

][]2[]1[......][]2[]1[][]2[]1[][

θ

ϕ

(5)

În mod evident, deoarece zgomotul e nu poate fi măsurat separat, ultima componentădin ϕ poate fi cel mult estimată printr-un procedeu recursiv, care afectează, îngeneral, precizia modelului.

Două dintre modelele de interes (ARX şi AR), conduc totuşi la eliminareacomponentei datorate zgomotului alb în ecuaţiile (5), care devin:

[ ][ ]

∈∀=

−−−−−−−−−=∗Nnbbbaaa

nbnunununanynynyn

nbna

defT

defT

LL

LL

2121

][]2[]1[][]2[]1[][:ARX

θ

ϕ

(6)

[ ][ ]

∈∀=

−−−−−−=∗Nnaaa

nanynynyn

na

defT

defT

L

L

21

][]2[]1[][:ARθ

ϕ(7)

În definiţiile (6) şi (7), se remarcă exprimarea vectorilor regresorilor folosind numaidate măsurate (care totuşi sunt corupte şi de zgomotul alb filtrat).

Comparativ cu modelele matematice obţinute prin scrierea ecuaţiilor de bilanţrezultate din exprimarea legilor fizicii, modelele de identificare prezintă următoarelecaracteristici:

• au o generalitate şi validitate limitată la anumite clase de procese, semnale destimul şi chiar numai la anumite puncte de funcţionare ale aceluiaşi proces;

• au o interpretare fizică dificil de dat, deoarece, în majoritatea cazurilor,parametrii nu au semnificaţii fizice clare; parametrii sunt mai degrabă utilizaţi cainstrumente menite să uşureze descrierea funcţionării pocesului;

• determinarea lor este adesea realizabilă prin metode algoritmice, ceea ce leconferă eficienţă şi simplitate.

Introducere

5

Alegerea semnalelor de stimul se bazează pe un principiu general: dacă procesuleste integrat într-un complex sistemic mai larg – adică funcţionează în buclă închisă –,atunci semnalul de stimul este cel utilizat în cursul exploatării; dacă procesul poatefuncţiona şi în buclă deschisă, atunci un model matematic mai precis se obţine prinstimularea acestuia cu un semnal persistent. Conceptul de persistenţă este crucial înIS. Prin definiţie, un semnal u este persistent de ordin 1≥M dacă matricea de auto-covarianţă de ordin M , notată cu )(uRM , este strict pozitiv definită (adicăinversabilă):

0

]0[]1[]2[]1[]1[]0[]1[]2[

]2[]1[]0[]1[]1[]2[]1[]0[

)( >

−−

−−

=

uuuu

uuuu

uuuu

uuuu

def

M

rrrMrrrrMr

MrrrrMrrrr

uR

L

L

MOOOM

L

L

. (8)

Elementul generic al matricii Toeplitz simetrice )(uRM , definite în (8), este dat de

funcţia de auto-covarianţă ur , la rîndul ei definită prin: ][][][ knunuEkrdef

u −= ,Z∈∀k . Datorită ipotezei ergodice, funcţia de auto-covarianţă poate fi aproximată

folosind valorile semnalului măsurate pe un orizont finit de timp, Nnnu,1

][∈

. Mai

precis:

∑+=

−−

≅N

knu knunu

kNkr

1

][][1][ , 4/,1 Nk∈∀ . (9)

Semnificaţia conceptului de persistenţă poate fi explicată atît în domeniul timpului,cît şi în cel al frecvenţei.

În domeniul timpului, cu un semnal persistent de ordin M se pot determinaprimele M valori ale funcţiei pondere pentru unui sistem dinamic liniar, ca modelasociat procesului de identificat. Dacă h este funcţia pondere în cauză şi MR∈θ estevectorul format din primele M valori ale lui h , atunci θ se obţine rezolvînd ecuaţiaWiener-Hopf:

),()( uyruR MM =θ ⇔ ),()(1 uyruR MM−=θ . (10)

În ecuaţiile (10), ),( uyrM este vectorul primelor M valori ale corelaţiei încrucişate

dintre ieşirea şi intrarea procesului. Corelaţia încrucişată, uyr , , se defineşte ca şi auto-

corelaţia, adică: ][][][, knunyEkrdef

uy −= , Z∈∀k . Datorită aceleiaşi ipotezeergodice, o relaţie aproximativă similară cu (9) poate fi utilizată şi în evaluareacorelaţiei încrucişate ( ][nu trebuie înlocuit cu ][ny ). Cu cît semnalul de intrare estemai persistent, cu atît modelul sistemului liniar asociat procesului este mai precis,deoarece cu atît mai multe valori ale funcţiei pondere pot fi estimate.


6

În domeniul frecvenţei, definiţia echivalentă a persistenţei este următoarea: unsemnal u este persistent de ordin 1≥M dacă şi numai dacă densitatea sa spectralăde putere, notată tradiţional prin uφ , posedă cel puţin M linii spectrale nenule.Reamintim că densitatea spectrală de putere a lui u se obţine aplicînd TransfomataFourier (TF) asupra funcţiei de auto-covarianţă ur :

∑∈

−==Znu

defj

uu kjkrer )exp(][))(()( ωωφ ωF , R∈∀ω . (11)

Funcţia de auto-covarianţă se poate recupera din densitatea spectrală folosindinversabilitatea TF şi π2 -periodicitatea sa:

∫+

−

− +==π

π

ωωωφπ

φ dkjkkr uuu )exp()(21])[(][ 1F , Z∈∀k . (12)

În definiţa (11) şi formula duală (de inversiune) (12), j este unitatea imaginară(complexă), iar ω se numeşte pulsaţie (armonică) normalizată. O linie spectrală dearmonică ω are amplitudinea )(ωφu . Se poate demonstra că 0)( ≥ωφu , ceea cejustifică termenul de densitate spectrală de putere. Aşadar, un semnal u estepersistent de ordin 1≥M dacă şi numai dacă există cel puţin M pulsaţii 1ω ,…, 1−Mωastfel încît 0)( >iu ωφ , Mi ,1∈∀ . În acest fel, procesul de identificat este stimulat pecel puţin M armonice, pe care este forţat să le amplifice sau să le atenueze, înfuncţie de comportamentul său intrinsec. Cu cît procesul este stimulat să reacţionezela mai multe armonice, cu atît semnalul de ieşire va codifica mai multă informaţiedespre comportamentul său.

Semnalul de intrare ideal este zgomotul alb, care are persistenţă infinită. Dinpăcate, acest semnal nu poate fi generat pe cale artificială. Mai precis, semnaleleartefacte (adică produse artificial) nu pot avea ordin infinit de persistenţă. Există însăsemnale artefacte cu ordin finit de persistenţă care “aproximează” zgomotul alb, însensul auto-covarianţei. Acestea se numesc Semnale Pseudo-Aleatoare Binare(SPAB) sau, mai simplu, Semnale Pseudo-Aleatoare (SPA). Ele sunt periodice,deoarece algoritmii folosiţi pentru generarea lor utilizează precizia finită dereprezentare a valorilor numerice pe un mijloc automat de calcul. Interesant însă,ordinul lor de persistenţă este proporţional cu perioada. Mai mult, pe măsură ceperioada creşte, funcţia de auto-covarianţă se apropie de cea a zgomotului alb, adicăvalorile semnalelor pseudo-aleatoare devin tot mai necorelate.

Utilizarea SPAB sau SPA în IS este foarte frecventă ori de cîte ori procesul deidentificat poate fi stimulat în buclă deschisă. Modelele obţinute folosind acestesemnale au precizie ridicată şi sunt foarte versatile, putînd fi utilizate pentru o gamălargă de puncte de funcţionare, semnale de stimul şi/sau configuraţii de sistem.

În fine, metodele de identificare au drept obiectiv determinarea parametrilornecunoscuţi ai unui model, propunînd fie relaţii directe de calcul, fie proceduri iterative.În orice caz, necunoaşterea nu numai a valorilor parametrilor, ci şi a numărului loratrage după sine adoptarea unei strategii iterative în care complexitatea structurală amodelului este crescută treptat, pînă la nivelul la care precizia sa nu mai este

Introducere

7

ameliorată semnificativ. Mai precis, se pleacă de la modelul cel mai simplu, adicăparsimonios . Pentru fiecare model de structură dată, se determină parametrii săi şise evaluează eroarea faţă de proces (cu ajutorul unui criteriu predefinit). Dacă eroareascade în mod semnificativ, se reia procedeul iterativ, adică se creşte numărul deparametri, se re-evaluează aceştia şi eroarea faţă de proces. Altfel, procedeul iterativeste stopat şi se reţine ultimul model determinat. Acest model trebuie să fie validat înfinal, folosind teste specifice. De exemplu, un model este valid dacă eroarea dintredatele măsurate şi cele simulate are caracteristicile unui zgomot alb Gaussian.

Determinarea parametrilor necunoscuţi ai unui model matematic se poate realiza înprincipal folosind metode extrase din Teoria Optimizărilor şi/sau din Teoria Estimaţiei(Statistice). O privire rapidă dar obiectivă aruncată asupra acestor metode ar pune înevidenţă avantajele şi dezavantajele lor. Astfel, metodele de optimizare oferă algoritmiiterativi (implementabili) de estimare a parametrilor, dar estimaţiile nu pot ficaracterizate din punct de vedere statistic. Ele asigură convergenţa către punctul deoptim, dar nu garantează consistenţa estimaţiei din punct de vedere statistic. (În acestcontext, o estimaţie a unui parametru este consistentă dacă tinde la valoareaadevărată a acelui parametru, pe măsură ce numărul de date achiziţionate din procestinde la infinit, oricare ar fi setul de date utilizat.) Din cealaltă perspectivă, a TeorieiEstimaţiei, consistenţa parametrilor poate fi testată, însă metodele efective deevaluare suferă în general de ne-implementabilitate, reprezentînd mai degrabă unsuport teoretic pentru alte metode. În plus, aceste metode se bazează pe ipotezeadesea restrictive, în scopul asigurării consistenţei. Cele două teorii se intersectează,din fericire. Metodele de identificare cele mai interesante şi utile sunt cele rezultate dincombinaţia optimizării cu estimarea. Ele sunt implementabile (eventual iterative) şipermit caracterizarea statistică a parametrilor estimaţi. Prototipul îl constiuie MetodaCelor Mai Mici Pătrate (MCMMP), care va fi succint prezentată în continuare.

Prin multplicarea la stînga cu vectorul ][nϕ a ecuaţiei de regresie liniară (4) şiaplicarea operatorului de mediere statistică E , se obţine:

][][][][][][ nenEnnEnynE T ϕθϕϕϕ += , N∈∀n . (13)

Ipoteza ergodică permite eliminarea timpului normalizat (discret) în ecuaţia (13).Mai mult, procesul furnizor de date are o evoluţie observabilă, iar matricea pătrată

TE ϕϕ este inversabilă. Rezultă că valorile adevărate ale parametrilor sunt:

( ) ( )][][][][][][1

nenEnynEnnE T ϕϕϕϕθ −=−∗ , (14)

ele nedepinzînd de timpul normalizat N∈n . Să presupunem acum că vectorulregresorilor ϕ nu este corelat cu valoarea curentă a zgomotului alb, adică

0][][ =nenE ϕ . Foarte probabil, această ipoteză se verifică de exemplu în cazulmodelului ARX, deoarece semnalul de intrare este produs artificial de către utilizatorsau furnizat de către un alt (sub-)sistem, în timp ce semnalul de ieşire apare întîrziatcu un pas (aşa cum arată ecuaţiile (6)). Astfel, termenul care depinde direct dezgomotul alb în (14) poate fi eliminat, ecuaţia parametrilor adevăraţi simplificîndu-se:

Temenul provine din limba engleză, unde parsimonious înseamnă “sărac” sau “zgîrcit”. În contextul IS, elînseamnă “sărac/zgîrcit” în informaţie sau complexitate.


8

( ) ][][][][1

nynEnnE T ϕϕϕθ −∗ = . (15)

Odată ce valorile adevărate ale parametrilor au fost exprimate (ca în (14) sau,simplificat, în (15)), valoarea adevărată a varianţei zgomotului alb, 2)( ∗λ , poate fideterminată în 2 paşi:

1. Se evaluează media zgomotului alb folosind ecuaţia de regresie liniară (4):

∗−= θϕ ][][][ nEnyEneE T . (16)

2. Se aplică definiţia varianţei, folosind încă o dată ecuaţia (4):

( ) 22 ][][][)( neEnnyE T −−= ∗∗ θϕλ . (17)

Cu excepţia informaţiei structurale, ecuaţiile (14) sau (15) (parametri) şi (16)-(17)(varianţa zgomotului alb) conduc la determinarea exactă a modelului asociatprocesului de identificat atunci cînd s-ar dispune de un număr infinit de realizări sau,cel puţin, de date măsurate (cerut de operatorul de mediere statistică).

Cum achiziţionarea unui set infinit de date măsurate nu este posibilă, mediastatistică trebuie aproximată folosind încă o dată ipoteza ergodică. În general, mediastatistică a unui semnal discret f poate fi aproximată cu ajutorul mediei aritmeticeevaluate pe un orizont finit (dar suficient de larg) de măsură:

∑=

=≅N

n

defnf

NfnfE

1][1][ . (18)

Consecinţa directă a ecuaţiei (18) o constituie relaţiile aproximative de estimare aparametrilor necunoscuţi, derivate din (15), (16) şi (17):

44 344 21444 3444 21Nr

nynN

R

nnN

N

n

N

N

n

Tdef

N

= ∑∑=

−

−

= 1

1

1

1][][1][][1ˆ ϕϕϕθ . (19)

( )∑=

−=N

nN

Tdef

nnyN

e1

ˆ][][1 θϕ ; ( )∑=

−−=N

nN

Tdef

N ennyN 1

22 ˆ][][1ˆ θϕλ . (20)

Se poate demonstra că estimaţia (19) minimizează funcţia cost definită prinînsumarea tuturor pătratelor erorilor dintre datele de ieşire măsurate din proces şi celesimulate cu ajutorul modelului estimat, centrate pe mediile lor. Mai precis:

)(minargˆ θθθ

NN VS∈

= , unde: ( )∑=

−=N

n

def

N nny1

2][~][~)( θϕθV , S∈∀θ , (21)

unde notaţiile y~ şi ϕ~ indică centrarea datelor pe medie (adică yyy −≡~ şiϕϕϕ −≡~ ), în timp ce S indică domeniul de stabilitate al modelului matematic.

Forma funcţiei cost NV a condus la conceptul de identificare/estimare folosindMCMMP. De notat că funcţia cost constituie de asemenea o măsură a preciziei

Introducere

9

modelului de identificare propus şi, în consecinţă, poate fi folosită pentru a determinaindicii structurali ai acestuia dupa strategia iterativă amintită.

Se poate arăta că estimaţia oferită de MCMMP este consistentă (adică Nθ şi 2ˆNλ

converg la valorile adevărate ∗θ , respectiv 2)( ∗λ , pentru ∞→N ) dacă matricea NReste perfect deterministă şi inversabilă, iar e este efectiv un zgomot alb. Acestecondiţii relativ restrictive pot fi relaxate astfel încît consistenţa să se conserve.

MCMMP constituie un fel de “metodă-mamă” din care au luat naştere numeroasealte metode de identificare prin adaptări inspirate de tipul de model utilizat (MetodaVariabilelor Instrumentale pentru modele ARX, Metoda Minimizării Erorii de Predicţiepentru modele ARMAX, Metoda Predicţiei Optimale pentru modele AR, etc.). Cu toateacestea, domeniul IS nu se reduce doar la familia de metode generate de MCMMP.Există, de exemplu, metode de estimare a stărilor prin filtrare Kalman sau metode deidentificare robustă în care funcţia cost NV este exprimată în mod diferit faţă dedefiniţia (21). Majoritatea covîrşitoare a acestor metode sunt descrise în [SoSt89].

Mdetodologia IS nu poate fi însă un panaceu universal, ci are limitele sale. Maimult, utlizatorul trebuie să o utlizeze cu precauţie şi ştiinţă. Cele mai importanteprobleme practice care apar în identificarea unui proces sunt enumerate mai jos.

• Selectarea mărimilor ce trebuie măsurate. Există situaţii în care mărimi deimportanţă capitală pentru identificarea unui proces nu pot fi măsurate în moddirect, fiind inaccesibile. De exemplu, dacă se urmăreşte determinarea unuimodel al vibraţiilor unui rulment integrat într-un sistem mecanic în vedereadetecţiei defectelor sale, este foarte posibil ca senzorii de vibraţie(accelerometrele) să nu poată fi amplasaţi direct pe carcasa rulmentului.Amplasarea lor în alte locaţii poate conduce la combinarea şi/sau interferenţasemnalului măsurat cu semnale de vibraţie produse de alte componente alesistemului mecanic, deci la posibile modele matematice inadecvate. Pentrusoluţionarea acestei probleme dificile, utilizatorul este nevoit să formuleze oproblemă alternativă de identificare sau să extragă informaţia despre procesulstudiat din datele măsurate în contextul în care se află amplasat acesta, dacăsunt cunoscute interacţiunile dintre diferitele subsisteme ale sistemului global.Revenind la exemplul rulmentului, o metodă de extragere a vibraţiei doriteconstă în utilizarea unor senzori direcţionali, orientarea lor către rulment şifolosirea unei metode de atenuare a interferenţelor. (O astfel de metodă a fostde exemplu patentată în SUA [CaDL96].) Costul unei astfel de soluţii poate fiînsă ridicat, astfel că utilizatorul va fi restricţionat de mijloacele de care dispune.

• Achiziţia şi prelucrarea primară a datelor. Procesele identificabile secaracterizează prin seturi de date achiziţionate pentru care raportul semnal-zgomot (SNR – Signal-to-Noise Ratio) are valori rezonabil de mari. Cu altecuvinte, zgomotul nu trebuie să domine datele utile. Cu cît SNR este mai mic,cu atît modelul asociat procesului riscă să fie mai imprecis şi procesul este maipuţin identificabil. Creşterea SNR (adică a dominanţei semnalului util în faţazgomotului) se poate realiza într-o oarecare măsură şi printr-o prelucrareprimară a datelor. Aceasta constă în principal într-o tehnică de atenuare azgomotelor (denoising) bazată pe filtrare. Utilizatorul este confruntat aici cuproblema distorsionării datelor prin alegerea inadecvată a filtrului sau a metodeide atenuare de zgomot. Din păcate, între datele utile şi cele parazite nu sepoate trasa o linie de demarcaţie clară, astfel că, indiferent de metoda de


10

prelucrare primară utilizată, o parte din datele utile riscă să fie eliminate, în timpce o parte din datele parazite riscă să fie interpretate ca date utile. Pentruadîncirea diferenţei dintre datele utile şi cele parazite, sunt necesare metode deprelucrare sofisticate, care complică în mod nedorit algoritmul de identificare. Înconsecinţă, utilizatorul trebuie sa proiecteze cu grijă experimentul de achiziţie adatelor, astfel încît SNR să aibă valori suficient de mari.

• Selectarea unui model matematic adecvat. Aceasta poate fi o problemă dificilă,în special cînd utilizatorul este confruntat cu un proces avînd comportamentneliniar pronunţat. Modelele uzuale de identificare sunt liniare. O manieră de aaborda neliniarităţile constă desigur în selectarea de modele neliniare, cucondiţia ca neliniarităţile să poată fi caracterizate din punct de vederematematic. O altă abordare ar fi bazată pe adaptarea şi implementarea uneireţele neuronale. (La baza Teoriei Reţelelor Neuronale [DuHa96], [TaI97] seaflă tot MCMMP ca tehnică de optimizare în faza de instruire a reţelei.) În fine,o a treia strategie, mai apropiată de domeniul IS, este utilizarea modelelorliniare, dar cu parametri variabili în timp, care se auto-adaptează sistematic, înfuncţie de datele achiziţionate.

• Variabilitatea proceselor în timp. Această caracteristică rezultă pur şi simplu dinfaptul că valorile adevărate ale parametrilor variază în timp. Astfel, se impunefolosirea de modele matematice cu parametri variabili în timp (ca în cazulneliniarităţilor). Problema principală care apare acum este legată deconsistenţa estimaţiilor. De această dată, estimaţiile parametrilor trebuie nunumai să tindă statistic (adică odată cu mărirea orizontului de măsură) lavalorile lor adevărate, ci să le şi urmărească evoluţia în timp cu preciziesuficient de mare. Cele două cerinţe sunt în mod evident opuse, astfel încîtprincipalul obiectiv al metodei de identificare utilizate (care nu poate fi decîtiterativă) este să asigure un bun compromis între capacitatea de urmărire aestimaţiilor şi precizia lor. Un alt compromis care trebuie realizat este cel dintreadaptablitatea modelului matematic şi robusteţea sa ca sistem dinamic. Estebinecunoscut faptul ca adaptabilitatea excesivă conduce la pierderea robusteţeisistemelor (adica a capacităţii lor de a rejecta cu anumite performanţeperturbaţiile ce conţin şocuri şi de a rămîne stabile). La rîndul ei, robusteţeaexcesivă conduce la slabe performanţe de urmărire (adică de adaptabilitate).

Deşi succinta prezentare din această introducere a focalizat discuţia asupradomeniului IS, ar trebui totuşi precizat că unele dintre tehnicile de identificare pot fiîntrebuinţate şi în scopul prelucrării semnalelor. În special în cazul în care procesuluistudiat nu i se pot pune în evidenţă semnalele de intrare, informaţia despre evoluţia sase află codificată în setul de date de ieşire, care este o serie de timp. Modelele seriilorde timp sunt frecvent utilizate în estimarea spectrală [OpSc85], [OpWi85], [PrMa96],predicţie [TeSt85], [StD96] sau filtrarea adaptivă [HaS86] – aplicaţii mai degrabă dePS decît de IS. Însă, între IS şi PS nu se poate trage o linie clară de demarcaţie, laintersecţia lor aflîndu-se metode şi tehnici extrem de moderne şi eficiente careservesc scopurilor ambelor domenii.

Aplicaţiile descrise în continuare oferă exemple practice sugestive care să ajuteînţelegerea noţiunilor teoretice prezentate în diferitele cursuri amintite (în special de ISşi PS) şi să sugereze cititorului că, în pofida aparenţelor date de aparatul matematicutilizat, domeniul IS este unul aplicativ.

11

CCaappiittoolluull 11

CCaarraacctteerriizzăărrii îînn ttiimmpp şşii ffrreeccvveennţţăăaallee pprroocceesseelloorr ssttooccaassttiiccee11..11.. AAnnaalliizzee ddee pprroocceess pprriinn mmeettooddee nnee--ppaarraammeettrriiccee

Obiectivul acestui capitol este de a prezenta cîteva aspecte practice legate deoperarea cu modele de identificare ne-parametrice. Aşa cum am amintit înIntroducere, modelele ne-parametrice oferă caracterizări (de regulă calitative) ale unuiproces stocastic atît în domeniul timpului, cît şi în cel al frecvenţei. În domeniultimpului, se poate efectua o analiză tranzitorie şi/sau o analiză statistică bazată pecorelaţie. În domenul frecvenţei, se poate realiza direct o analiză în frecvenţă (de tipFourier) şi/sau o analiză spectrală (statistică). În cadrul capitolului, se pune accentulpe analizele statistice (de corelaţie şi spectrale). Vom descrie însă pe scurt şi celelaltetipuri de analize.

A. Analiza tranzitorieAceast tip de analiză este specific aplicaţiilor de Teoria Sistemelor (TS) şi are ca

obiectiv evaluarea performanţelor de stabilitate şi robusteţe ale unui sistem plecînd dela răspunsurile sale la o intrare de tip treaptă unitară (răspunsul indicial) sau impulsunitar (răspunsul cauzal la impuls sau funcţia pondere) [IoV85], [StF00]. Graficele dinzona tranzitorie a acestor răspunsuri oferă însă şi posibilitatea de a identifica uniidintre parametrii sistemului liniar asociat (în special pentru sistemele de ordin I sau II).Este vorba despre constantele de timp dominante ale sistemului şi, eventual, cîştigulsău (sau factorul de amplificare).

În cazul în care ieşirea sistemului este perturbată în mod sensibl de zgomotnedeterminist, graficul din zona tranzitorie nu mai poate pune în evidenţă cu uşurinţăcaracteristicile sistemului, fiind necesară evaluarea curbei sale mediane în acest scop.

Modelul tranzitoriu este unul de precizie scăzută, chiar şi în cazul în care SNR arevalori ridicate, deoarece determinarea caracteristicilor procesului se efectuează prinmetode grafice. Acest model poate fi utilizat totuşi ca instrument auxiliar în alegereaunui model parametric adecvat, deoarece el furnizează informaţii grosiere preliminaredespre evoluţia procesului.

B. Analiza în frecvenţăÎn afara răspunsului indicial sau a răspunsului cauzal la impuls, un sistem dinamic

mai poate fi stimulat să răspundă “în frecvenţă”. Aceasta înseamnă că semnalul deintrare este o armonică elementară de pulsaţie 0ω :

)sin(][ 00 nunu ω= , N∈∀n . (22)

Este binecunoscut faptul că răspunsul unui sistem liniar (discret) asimptotic stabilla intrarea armonică (22) are acceaşi pulsaţie 0ω , dar amplitudinea şi faza pot fidiferite (cu fază negativă, datorită întîrzierii intrinseci provocate de sistem):

)sin(][ 00 φω += nyny , N∈∀n . (23)

Aspecte Practice în Modelarea şi Identificarea Sistemelor

12

În acest context, analiza în frecvenţă se bazează pe determinarea răspunsului înfrecvenţă al sistemului, care, prin definiţie, este TF a funcţiei pondere h :

∑∈

−==Zn

njjdef

j enheheH ωωω ][))(()( F , R∈∀ω . (24)

Notaţia utilizată în definiţia (24) nu este întîmplătoare. Dacă U şi Y suntTransformatele Z (TZ) ale semnalelor u , respectiv y , atunci funcţia de transfer asistemului se obţine fie cu ajutorul Teoremei de Convoluţie a TZ, fie aplicînd TZasupra funcţiei pondere a sistemului:

uhy ∗≡ ⇔ ))(()()()( zhzUzYzH Z== , yuhz CCC ∩=∈∀ . (25)

În (25), xC denotă zona de convergenţă a TZ (o coroană circulară centrată în origineaplanului complex) determinată de semnalul discret x (oricare ar fi el). Dacă cerculunitar aparţine zonei de convergenţă hC , atunci răspunsul în frecvenţă al sistemului

corespunde cu TZ a funcţiei pondere evaluată pe cercul unitar (adică pentru ωjez = ,R∈∀ω ).

Este evident că parametrii 0y şi φ din ecuaţia (23) pot fi exprimaţi prin:

)( 000

ωjeHuy = şi )(arg 0ωφ jeH= . (26)

Atunci se pot măsura amplitudinile 0u şi 0y împreună cu defazajul φ pentru diferite

pulsaţii 0ω , astfel încît răspunsul în frecvenţă să fie trasat grafic folosind egalităţile(26). Măsurarea defazajului nu este întotdeauna o operaţie simplă, mai ales în situaţiaîn care amplitudinile 0u şi 0y sunt diferite. Din fericire, defazajul se poate determina şi

pe altă cale, în cazul pulsaţiilor π2 -raţionale 000 /2 nmπω = (cu ∗∈N00 ,nm ), folosindurmătorul algoritm:

1. Se alege un orizont de măsură a ieşirii pe o durată finită şi întreagă,proporţională cu perioada armonicei de intrare: 000 /2 knkmN == ωπ , unde

∗∈Nk este un factor de proporţionalitate arbitrar ales.2. Se multiplică semnalul de ieşire y cu )sin( 0nω , respectiv )cos( 0nω , pentru

1,0 −∈ Nn . Se obţin 2 semnale:

++=+==

+−=+==

)2sin(2

sin2

)cos()sin()cos(][][

)2cos(2

cos2

)sin()sin()sin(][][

000

0000

000

0000

φωφωφωω

φωφωφωω

nyynnynnyny

nyynnynnynydef

c

def

s

.

(27)

3. Se evaluează media celor 2 semnale din (27) (sau se integrează pe durata1,0 −N ):

1. Caracterizări în timp şi frecvenţă ale proceselor stocastice

13

==

==

∑

∑−

=

−

=

φ

φ

sin2

][1

cos2

][1

01

0

01

0

ynyN

y

ynyN

yN

ncc

N

nss

. (28)

Rezultatul (28) s-a obţinut simplu, ţinînd cont că media unei armonice calculatăpe o durată proporţională cu perioada sa este nulă.

4. Se evaluează defazajul direct din (28):

=

=

∑

∑−

=

−

=1

00

1

00

)sin(][

)cos(][2atan2atan N

n

N

n

s

c

nny

nny

yy

ω

ωφ , (29)

unde prin “ 2atan ” am notat funcţia arc-tangentă extinsă la cele 4 cadrane aleplanului complex (adică ţinînd cont de semnele numărătorului şi numitorului).

Această tehnică este similară cu trasarea diagramelor Bode sau Nyquist (adică ahodografului) din TS [StF00].

Din păcate, procedeul anterior (în special algoritmul de mai sus) este extrem desensibil la perturbaţii nedeterministe. Deîndată ce măsurătorile sunt afectate de unzgomot, răspunsul în frecvenţă al procesului poate fi puternic distorsionat.

Atît analiza tranzitorie, cît şi analiza în frecvenţă sunt tehnici de identificare ne-parametrică utile în cazul proceselor cu o bună rejecţie a perturbaţiilor sau funcţionîndîn condiţii de izolare faţă de sursele de perturbaţii. Deîndată ce perturbaţiile joacă unrol important în comportamentul unui proces (adică SNR nu poate depăşi un anumitprag – de exemplu 4, adică semnal de 4 ori mai puternic decît zgomotul), mai potrivitear fi următoarele 2 tipuri de analiză.

C. Analiza bazată pe corelaţieAm amintit în Introducere despre ecuaţia lui Wiener-Hopf (ecuaţia (10)). Ea

reprezintă exemplul tipic de eliminare a zgmotului alb din datele măsurate, prinînlocuirea acestora cu secvenţe de covarianţă (sau corelaţie1) corespunzătoare.Definiţia practică a auto-covarianţei este dată de ecuaţia (9). În mod similar, se poateformula definiţia practică a covarianţei încrucişate.

În general, analiza bazată pe corelaţie se desfăşoară prin evaluarea secvenţelorde auto-covarianţă şi covarianţă încrucişată ale intrării şi ieşirii. Astfel, în cazulmodelelor ARMAX, o ecuaţie echivalentă exprimată cu ajutorul acestor secvenţe sepoate obţine prin multiplicarea ecuaţiei (1) cu ][ knu + pentru 0≥k şi aplicareaoperatorului de mediere statistică:

][)(][)(][)( 111 krqCkrqBkrqA ueuuy−−− += , N∈∀k . (30)

1 Secvenţa de corelaţie se obţine prin normalizarea secvenţei de covarianţă în gama [-1,+1]. Se poate arăta

că ]0[]0[][ yuuy rrkr ≤ , Z∈∀k şi ]0[][ yy rkr ≤ , Z∈∀k , folosind o inegalitate de tip Cauchy-Buniakowski-

Schwarz [StD9605].


14

De altfel, se poate verifica uşor că ecuaţia Wiener-Hopf este un caz particular alecuaţiei (30) pentru modelul de sistem cu răspuns finit la impuls (FIR – Finite ImpulseResponse), unde 1≡A şi 1≡C , în condiţiile în care intrarea nu este corelată cuzgomotul alb.

Ecuaţia (30) (sau oricare dintre cazurile particulare ale ei) constituie punctul deplecare în analiza bazată pe corelaţie. De regulă, covarianţa încrucişată dintre intrareşi zgomotul alb este nulă (intrare necorelată cu zgomotul), dar, în special în buclăînchisă, acastă prorpietate s-ar putea să nu se verifice. Menţionăm totuşi că obiectivuldin acest context nu este determinarea parametrilor modelului de lucru, ci evaluareaefectivă a secvenţelor de covarianţă şi reprezentarea lor grafică. Determinareaparametrilor modelului face obiectul metodelor de identificare parametrică.

D. Analiza spectralăElementul cheie din desfăşurarea analizei spectrale îl constitue densitatea

spectrală de putere, definită în (11). Este cunoscut faptul că densitatea spectrală aieşirii unui sistem dinamic liniar avînd funcţia de transfer H poate fi evaluată printr-orelaţie asemănătoare ecuaţiei (25) (obţinută cu ajutorul Teoremei de convoluţie, vezide exemplu, [OpSc85], [SoSt89], [PrMa96]):

)()()(2

ωφωφ ωu

jy eH= , R∈∀ω . (31)

Practic, (31) arată că spectrul sistemului (amplitudinea răspunsului în frecvenţă)este factorul care modulează densitatea spectrală a intrării. De asemenea, el poate fiestimat cu ajutorul celor 2 densităţi spectrale tot din ecuaţia (31).

Insuficienţa ecuaţiei (31) constă în faptul că nu permite şi determinareaargumentului/fazei răspunsului în frecvenţă al sistemului. Pentru aceasta, ar trebuiutilizată densitatea spectrală încrucişată dintre intrare şi ieşire, uyφ , definită similar cu

uφ sau yφ prin aplicarea TF asupra covarianţei încrucişate uyr . Astfel, se poate arăta

că [StD9605]:

)()()( ωφωφ ωu

juy eH= , R∈∀ω , (32)

ceea ce conduce la determinarea completă a răspunsului în frecvenţă al sistemului.Determinarea răspunsului în frecvenţă al sistemului din ecuaţia (32) se numeşte

estimare spectrală şi necesită estimarea celor 2 densităţi spectrale uφ şi uyφ .Folosirea definiţiilor în vederea estimării densităţilor spectrale este o abordare în carerezultatul suferă 3 tipuri de erori: prima datorată estimării secvenţelor de covarianţăprin formule aproximative, a doua datorată implementării definiţiilor densităţilorspectrale, care apelează la versiunea discretă a TF, numită şi Transformata FourierDiscretă (TFD) [OpSc85], [PrMa96] şi a treia datorată unor efecte numerice marginalecauzate de orizontul finit de măsură a datelor. Dacă primele două surse de eroare nupot fi atenuate decît prin metode numerice, legat de a treia există o soluţie alternativă.Astfel, utilizarea datelor de pe un orizont finit de măsură este echivalentă cuextragerea unei mulţimi finite dintr-un set infinit de date, prin modularea acestuia cu ofereastră dreptunghiulară avînd deschiderea corespunzătoare. Efectele numericemarginale sunt cauzate de flancurile abrupte ale ferestrei dreptunghiulare. Utilizareaunor ferestre cu flancuri netede poate conduce la atenuarea erorilor marginale, deşi


15

orice altă fereastră diferită de cea dreptunghiulară introduce distorsiuni la niveluldatelor măsurate.

În PS de asemenea se vorbeşte despre “estimarea spectrală”, dar prin metodespecifice acestui domeniu (în general bazate pe TFD), fără a apela la conceptul desistem. De fapt, estimarea spectrală este una dintre cele mai vechi probleme de PS,numai că în contextul acestui domeniu, se operează cu datele măsurate în mod directşi nu cu secvenţe de covarianţă. Utilizarea covarianţei şi a densităţii spectrale estespecifică domeniului IS, deoarece, în acest context, semnalele cu care se opereazăsunt în mod aprioric considerate ne-deterministe/stocastice.

Revenind la ecuaţiile de transformare (31) şi (32), este util să fie reaminit cădemonstrarea lor se bazează pe relaţii de transformare similare convoluţiei, dar încare intervin secvenţe de covarianţă (vezi [SoSt89] şi [StD9605]):

∑∑∈ ∈

−+=Z Zp q

uy qpkrqhphkr ][][][][ , Z∈∀k . (33)

∑∈

−=Zm

uuy mkrmhkr ][][][ , Z∈∀k . (34)

În ecuaţiile (33) şi (34), h este secvenţa pondere (răspunsul cauzal la impuls) alsistemului liniar.

11..22.. AAssppeeccttee pprraaccttiiccee îînn aannaalliizzaa pprroocceesseelloorr ssttooccaassttiicceeA. Procese total neautocorelate – zgomotul alb

Cea mai importantă caracteristică a unei perturbaţii stocastice constă în faptul căvalorile ei nu pot fi cunoscute sau măsurate în mod direct. Este însă posibilăestimarea lor folosind modele matematice adecvate. Un model deterministic precum

)sin()( ttv ω= este arareori potrivit pentru a caracteriza sau estima valorile uneiperturbaţii stocastice. Este mai naturală folosirea modelelor statistice pentrudescrierea acestui tip de perturbaţii.

Un exemplu simplu de proces stocastic îl reprezintă aruncarea unei monede.Ieşirile generate de acest proces pot fi asociate mulţimii 1,1 +− (de exemplu, 1−pentru cap şi 1+ pentru pajură). De fiecare dată cînd se efectuează un experiment dearuncare a monedei, se obţine un set de date de ieşire diferit. Secvenţa de ieşireprovenită de la un astfel experiment se numeşte realizare a procesului aleator.

Deoarece un proces aleator reprezintă o întreagă familie de realizări, descriereaacestuia prin intermediul modelelor deterministe nu este realistă, aceste modele fiindcapabile să descrie doar comportamentul unei anumite realizări şi nu a ansambluluide realizări. De aceea s-a apelat, într-o primă fază, la modele şi tehnici de Statistică,ele avînd avantajul de a extrage şi transfera în domeniul determinist informaţia cucaracter nedeterminist. Aşa cum s-a arătat în secţiunea precedentă, două tipuri deanalize ne-parametrice pot fi utilizate cu succes în descrierea proceselor stocastice:analiza bazată pe corelaţie şi analiza spectrală. De notat că atît funcţia de covarianţăcît şi funcţia de densitate spectrală sunt entităţi deterministe evaluate folosind orealizare a unui proces nedeterminist.


16

În cazul procesului de aruncare a monedei, caracteristica fundamentală constă înfaptul că fiecare realizare este independentă de celelalte, adică nu există nici ocorelaţie între evenimente (adică aruncări ale monedei). În termeni matematici, acestproces se poate descrie ca o secvenţă de variabile aleatoare independente N∈nny ][ ,

identic distribuite, de medie nulă 0][ =nyE şi varianţă unitară 1]0[ 2 == yyr σ .Secvenţa de auto-covarianţă este deci:

≠=

==−=0,00,1

][][][][ 0 kk

kknynyEkrdef

y pentru

pentruδ , Z∈∀k . (35)

Secvenţa de auto-corelaţie corespunzătoare aruncării monedei (35) arată că acestproces este total neautocorelat (adică obţinerea unei valori “cap” sau “pajură” în cursularuncării curente nu depinde de valoarea obţinută la aruncarea precedentă).

Aplicînd TF asupra secvenţei de auto-covarianţă (35) se obţine o densitatespectrală yφ constantă şi unitară (vezi definiţia (11)), ceea ce arată că procesulconţine toate componentele de frecvenţe. Datorită acestui fapt, procesul se mainumeşte şi zgomot alb, prin analogie cu următoarea experienţă de Fizică elementară.Un disc este împăţit în 7 sectoare egale, fiecare fiind colorat cu una din culorilefundamentale ale spectrului luminos: R-roşu, O-oranj, G-galben, V-verde, A-albastru,I-indigo, V-violet, ca în Figura 2.

Figura 2. Experimentul obţinerii culorii albe din spectrul ROGVAIV.

Culorile sunt ordonate în ordinea descrescătare a lungimii de undă caracteristicedin spectrul vizibil. Rotirea discului cu o anumită viteză conduce totuşi la o singurăculoare: albă. Efectul se datorează recombinării culorilor fundamentale care sunt înmod egal cantitativ prezente pe disc. În mod analog, unui proces cu densitatespectrală constantă (adică în care frecvenţele – “culorile” – sunt în mod egalreprezentate) i s-a asociat sintagma de “zgomot alb”.

Dacă unuia dintre sectoarele discului i se modifică aria, atunci culoarea disculuirotit nu mai rămîne albă. În Figura 3, sectorului de culoare roşie I s-a mărit suprafaţa.

Figura 3. Experimentul obţinerii unei nuanţe de roz din spectrul ROGVAIV.

Rezultatul este o nuanţă de roz pentru discul în rotaţie, paleta nuanţei depinzînd deproporţiile în care sunt reprezentate culorile fundamentale pe disc. Prin analogie, unuiproces stocastic al cărei densitate spectrală posedă cel puţin o armonică dominantă i

⇒

ROG

VAIV

AAllbb

⇒

ROG

VAI

VRRoozz


17

se asociază conceptul de zgomot colorat. Zgomotele colorate se obţin în general prinfiltrarea zgomotului alb.

Revenind la densitatea spectrală de putere, aria de sub curba acesteia calculatăpeste o anumită bandă de pulsaţii/frecvenţe reprezintă energia procesului în aceabandă. În particular, varianţa procesului este proporţională cu energia globală aacestuia (vezi relaţia de inversiune (12)):

∫+

−

==π

π

ωωφπ

σ dr uyy )(21]0[ 2 . (36)

Atunci cînd s-a făcut referire la procesul de aruncare a monedei ca un exemplu deproces generator de zgomot alb (adică al unor secvenţe aleatoare totalneautocorelate), s-a presupus de asemenea că el generează datele respectînd oanumită distribuţie de probabilitate (uniformă, în aces caz). Cunoaşerea apriorică adistribuţiei de probabilitate asociate unui proces stocastic este însă foarte dificilă, dacănu imposibilă. Din fericire, o mare categorie de procese stocastice sunt normaldistribuite, adică dupa o densitate de probabilitate Gaussiană:

( )

−−= 2

2

2)][(exp

21][

σσπynyny

def

p , Z∈∀n , (37)

unde y este media densităţii de probabilitate şi 2σ este dispersia sa (care măsoarădeschiderea clopotului lui Gauss). Pentru procesul avînd distribuţia de probabilitate(37) se mai scrie: ( )2,σyy N∈ (adică y aparţine clasei de procese normal

distribuite de medie y şi dispersie 2σ ). Procesul reprezentat de aruncarea monedeinu poate fi considerat normal (ci uniform) distribuit, decît în cazul în care monedautilizată sau mediul înconjurător prezintă imperfeţiuni ce favorizează apariţia maifrecventă a unei feţe. În acest caz, distribuţia este Gaussiană, de medie 1+ sau 1−(în funcţie de faţa monedei care iese mai frecvent în urma aruncărilor). În clasa

( )2,σyN se încadrează adesea procese cu distribuţie de probabilitate necunoscută,pe baza Teoremei Limită Centrală (TLC) din Statistică2.

Observaţie• Două procese stocastice total neautocorelate şi normal distribuite sunt şi independente.

Invers, două procese independente de medie nulă sunt total neautocorelate. Acesteimplicaţii arată ce legătură există între 2 concepte statistice diferite: neautocorelare şiindependenţă statistică. Independenţa statistică arată doar că probabilitatea apariţieisimultane a 2 evenimente independente este egală cu produsul probabilităţilor de apariţieseparată a lor. Procesele independente pot fi corelate dacă mediile lor sunt nenule.

B. Zgomote colorateIdentificarea Sistemelor folosind modele neparametrice urmăreşte să specifice

caracteristicile unui proces aleator cvasi-staţionar (adică avînd densitatea spectrală

2 Potrivit TLC, un ansamblu cel puţin numărabil de procese statistice cu densităţi de probabilitate arbitrare

constituie un proces aleator normal distribuit.


18

aproximativ constantă în timp) la trecerea printr-un sistem liniar sau filtru cauzal şistabil, a cărui funcţie de sistem este raţională:

∑≥

−−

−− ==

01

11 ][

)()()(

n

ndef

qnhqAqBqH . (38)

In definiţia (38), A şi B sunt polinoame (exprimate ca în definiţia (3)), iar h estesecvenţa pondere a filtrului, ca de obicei. Cauzalitatea şi stabilitatea se exprimăsimplu astfel [OpSc85]:

• Cauzalitate: 0][ =nh ,… 0<∀n ; • Stabilitate: ∞<∑≥0

][n

nh . (39)

Cauzalitatea este o proprietate ce determină în mod unic funcţia de auto-covarianţă a ieşirii (adică a zgomotului colorat) atunci cînd filtrul este stimulat la intrarecu un zgomot alb. Stabilitatea permite evaluarea răspunsului în frecvenţă al filtrului(adică asigură existenţa cercului unitar în zona de convergenţă a funcţiei de transfer –TZ a secvenţei pondere).

Caracteristicile de interes ale zgomotului colorat sunt media, secvenţa de auto-covarianţă şi densitatea spectrală. Am reamintit în paragraful 1.1 relaţiile detransformare ale secvenţelor de covarianţă şi densităţilor spectrale la trecerea unuisemnal stocastic printr-un sistem liniar (ecuaţiile (31)-(34)). Ele permit evaluareacaracteristicilor semnalului de ieşire dacă se cunosc deja caracteristicile filtrului.Pentru identificarea aceasuia, însa, se procedează invers: se observă caracteristicilesemnalelor de intrare şi ieşire, urmînd ca, pe baza lor, să se determine filtrul ce acondus la aceste caracteristici.

O clasă mare de perturbaţii poate fi descrisă prin filtrarea unui zgomot alb. Aceastaeste echivalentă cu utilizarea unui model de identificare de tip ARMA[na,nb], undepentru uşurinţa exprimării, polinomul C al modelului a fost renotat cu B . Următoareleexerciţii şi probleme de simulare se concentrează pe cîteva exemple de zgomotecolorate produse cu ajutorul unor modele ARMA.

11..33.. EExxeerrcciiţţiiii

EExxeerrcciiţţiiuull 11..11 Fie e un zgomot alb de medie nulă şi varianţă unitară care stimulează intrareaunui model AR[1]. Să se determine secvenţa de auto-covarianţă a zgomotuluicolorat rezultat, y .

EExxeerrcciiţţiiuull 11..22 Fie e un zgomot alb de medie nulă şi varianţă unitară care stimulează intrareaunui model MA[1]. Să se determine secvenţa de auto-covarianţă a zgomotuluicolorat rezultat, y . Dacă modelul MA are ordinul nc , să se arate că secvenţa deauto-covarianţă a ieşirii are suport finit (adică are un număr finit de valori nenule) şisă se determine dimensiunea maximă a suportului.


19

EExxeerrcciiţţiiuull 11..33 Prin filtrarea unui zgomot alb e de medie nulă şi varianţă unitară se obţine unzgomot colorat y cu densitatea spectrală:

ωωφ

cos25.175.0)(

−=y , R∈∀ω . (40)

Considerînd că filtrul utilizat are funcţia de sistem:

11

111

1)( −

−−

+=

qaqbqH , (41)

să se determine cei 2 parametri ai acestuia ( 1a şi 1b ). Pot fi ei determinaţi în mod

unic folosind numai analiza spectrală? Evaluaţi de asemenea varianţa 2yσ a

zgomotului colorat.

EExxeerrcciiţţiiuull 11..44 Analiza spectrală permite şi exprimarea echivalentă a modelelor proceselorstocastice, în scopul simplificării lor. Aceată tehnică este utilă de exemplu în cazulproceselor afectate de mai multe surse de zgomot. Prin definiţie, două modele deprocese stocastice sunt echivalente dacă densităţile spectrale de putere aleieşirilor lor sunt identice. Identitatea are loc dacă şi numai dacă secvenţele lor deauto-covarianţă sunt egale.Fie un proces ARMA[na,nc]:

][)(][)( 11 neqCnxqA −− = , ∗∈∀ Nn , (42)

unde ieşirea este x , iar varianţa zgomotului alb e se notează prin 2eλ . Să

presupunem că ieşirea modelului (42) este la rîndul ei afectată de un zgomot albaditiv, v , neocrelat cu e , avînd varianţa 2

vλ . Mai precis, ieşirea observabilă aprocesului stocastic este:

][][][ nvnxny += , ∗∈∀ Nn . (43)

Exprimarea modelului cu două surse de zgomot este incomodă. De aceea, secaută echivalarea sa cu un model de filtrare exprimat astfel:

][)()(][ 1

1

nwqAqBny −

−

= , ∗∈∀ Nn , (44)

unde w este un unic zgomot alb de varianţă 2wλ . Această echivalenţă este ilustrată

în Figura 4. Să se determine coeficienţii şi gradul polinomului necunoscutnb

nbqbqbbqB −−− +++= L110

1)( , precum şi varianţa 2wλ în funcţie de polinoamele

A , C şi varianţele 2eλ , 2

vλ , prin echivalarea celor două modele, în cazul1== ncna .


20

Figura 4. Două modele de procese stocastice echivalente.

Este modelul echivalent (44) unic determinat? Generalizaţi rezultatul pentru valoriarbitrare ale indicilor structurali na şi nc .

Indicaţie• Se vor determina şi apoi egala secvenţele de auto-covarianţă ale ieşirilor celor 2 modele,

plecînd de la ecuaţiile nedeterministe ale acestora şi exploatînd necorelarea zgomotelor.

11..44.. PPrroobblleemmee ddee ssiimmuullaarree

Se consideră următoarele 2 filtre de zgomot, cu funcţii de sistem de ordin 1 şi deordin 2 (respectiv):

11

111

1 1)( −

−−

+=

qaqbqH ; 2

21

1

22

111

2 1)( −−

−−−

+++=

qaqaqbqbqH , (45)

Cu ajutorul simulărilor care urmează, se vor analiza influenţele polilor şi zerourilorasupra funcţiei de covarianţă, densităţii spectrale şi caracteristicilor diferitelor realizăriobţinute prin filtrarea unui zgomot alb cu filtrele de tipul (45). Simulările se bazează peurmătoarele rutine disponibile, scrise în limbajul MATLAB (şi înregistrate pe DisculCompact ataşat):

# IISSLLAABB__11AA Apel: iissllaabb__11aa((CC,,AA,,NN,,ttaauu__mmaaxx,,nnrr)) ;; Modul de calcul al valorilor adevărate şi estimate pentru secvenţe de auto-covarianţă obţinute cu ajutorul unui proces ARMA[1,1]. Sunt trasate graficelesecvenţelor obţinute. Este de asemenea trasată o realizare a zgomotuluicolorat rezultat. Argumentele funcţiei sunt următoarele:CC polinomul MA (vector [1 c]);AA polinomul AR (vector [1 a]);ttaauu__mmaaxx pivotul maxim al secvenţelor de auto-covarianţă (implicit: 50);nnrr numărul realizărilor de generat (implicit: 1).

Fereastra grafică tipică: Figura 5.

# IISSLLAABB__11BB Apel: iissllaabb__11bb((xx,,yy,,SSNNRR)) ;; Modul care simulează dependenţa de SNR a polilor şi zerourilor unui modelARMA[2,2], determinat prin echivalarea sa cu un model AR afectat de 2zgomote necorelate (ca în Exerciţiul 4). Argumentele funcţiei sunt următoarele:xx partea reală a polilor modelului AR (implicit: 0.5);yy partea imaginară a polilor modelului AR (implicit: 0.5);SSNNRR raportul semnal-zgomot (implicit: 3).

Fereastra grafică tipică: Figura 6.

C/A +

v

e yB/A

wx y≡≡≡≡


21

Figura 5. Fereastra grafică tipică a rutinei IISSLLAABB__11AA.

Figura 6. Fereastra grafică tipică a rutinei IISSLLAABB__11BB.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1Covariance functions

k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2

4Realization (50 samples)

Discrete time

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5


k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2


Discrete time

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5


k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2


Discrete time

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5


k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2


Discrete time

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Poles (x) and zeros (o)

10-2

10-1

100

10110

-2

10-1

100

101 Spectral densities

ωωωω

ARWhite noiseARMA

AR

ARMAWhite

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Poles (x) and zeros (o)

10-2

10-1

100

10110

-2

10-1

100

101 Spectral densities

ωωωω

ARWhite noiseARMA

AR

ARMAWhite


22

# NNOOIISSEE Apel: nnooiissee((ooppeerraattiioonn)) ;; Modul de generare şi simulare a zgomotelor colorate produse de modelelestocastice (45). Argumentul funcţiei (ooppeerraattiioonn) este un şir de caractere dinmulţimea următoare:

cclloossee__nnooiisseecclloossee__nnooiissee__ddeeffiinniitt__nnooiisseemmoovvee__ppmmoovvee__zzmmoovveedd__ppmmoovveedd__zzmmoovviinngg__ppmmoovviinngg__zznnooiisseecclleeaarrsshhooww (implicit)ssyysstteemmwwiinniitt__nnooiissee

Fereastra grafică tipică: Figura 7 (interfaţă grafică prietenoasă, care permitevarierea în timp real a polilor şi zerourilor).

Figura 7. Fereastra grafică tipică a rutinei NNOOIISSEE.


23

# DD__SSPPEEKKTTRR Apel: [[ww,,ffii]]==dd__ssppeekkttrruumm((AA,,BB,,ssiiggmmaa22)) ;; Rutină auxiliară de evaluare a spectrului ieşirii unui filtru liniar discret stimulatcu un zgomot alb. Argumentele funcţiei sunt următoarele:AA numitorul funcţiei de transfer a filtrului (polinom);BB numărătorul funcţiei de transfer a filtrului (polinom);SSiiggmmaa22 varianţa zgomotului alb de la intrare.

Funcţia returnează:ww axa pulsaţiilor (ω );ffii densitatea spectrală yφ a zgomotului colorat (de ieşire).

# SSPPEEFFAACC Apel: [[aa,,ll22]]==ssppeeffaacc((rr)) ;; Rutină auxiliară de rezolvare a Problemei factorizării spectrale. Aceasta constăîn determinarea unui polinom:

nnn

def

azazzA +++= − L11)(

şi a varianţei 2λ cu proprietatea:

( )∑=

−− +=n

k

kk zzkrzAzA0

12 ][21)()(λ , (46)

pentru o secvenţă de covarianţă ][,],1[],0[ nrrr K . În mod normal, aceastăproblemă se poate formula pentru orice secvenţă de numere

][,],1[],0[ nrrr K , cu condiţia să fie pozitiv definită, adică verificîndinegalitatea:

]0[][ rkr ≤ , nk ,0∈∀ . (47)

Problema factorizării spectrale (46) este rezolvată în cazul determinării unuimodel AR[n] atunci cînd este stimulat de un zgomot alb şi se cunoaştedensitatea spectrală de putere a ieşirii (deci şi secvenţa de auto-covarianţă aieşirii, cu ajutorul formulei de inversiune (12)).Argumentul funcţiei ssppeeffaacc este rr – secvenţa de (auto-)covarianţă (vector).Funcţia returnează:aa coeficienţii polinomului AR (vector);

ll22 varianţa zgomotului alb 2λ cu care trebuie stimulat modelul AR pentru aobţine la ieşire exact secvenţa de auto-covarianţă rr.

PPrroobblleemmaa 11..11 Pentru a rezolva punctele următoare, se va utiliza funcţia NNOOIISSEE.

1. Să se testeze grafic dacă filtrul obţinut în Exerciţiul 1.3 (de tipul lui 1H dindefiniţia (45)) este corect.


24

2. Să se varieze polii filtrului 2H din definiţia (45) şi să se comenteze rezultateleobţinute cu ajutorul funcţiei NNOOIISSEE.

3. Unde trebuie amplasaţi polii filtrului 2H pentru a obţine un filtru trece jos?

4. Unde trebuie amplasaţi polii filtrului 2H pentru a obţine un vîrf de rezonanţă la1=ω ? Ce se poate spune despre conţinutul în frecvenţă al semnalului

analizînd realizările procesului?

5. Ce efect observaţi atunci cînd filtrul 2H are zeroul în vecinătatea cerculuiunitar?

PPrroobblleemmaa 11..22 Să se utilizeze modulul de simulare IISSLLAABB__11AA pentru a simula un proces stocasticde model ARMA[1,1]. De exemplu, pentru a genera un process de tip AR[1] cu unsingur pol in 0.9, se foloseşte sintaxa:

iissllaabb__11aa((11,,[[11 00..99]])) ;;

În mod implicit, modulul de simulare alege: NN==110000, ttaauu__mmaaxx==5500 şi nnrr==11.1. Să se analizeze maniera în care estimaţiile funcţiilor de covarianţă variază cu NN

(numărul de eşantioane) şi ttaauu__mmaaxx (pivotul maximal al secvenţei de auto-covarianţă) pentru diferite locaţii ale polilor.

2. Să se verifice faptul că estimaţiile funcţiilor de covarianţă tind către valorileadevărate pentru procese de tip AR[1] şi MA[1], pe măsură ce NN tinde cătreinfinit.

3. Să se verifice corectitudinea rezultatelor obţinute la Exerciţiile 1.1 şi 1.2.

PPrroobblleemmaa 11..33 Se consideră un proces stocastic asociat unui model AR[2] cu două surse dezgomot (ca în contextul Exerciţiului 1.4), pe care dorim să îl echivalăm cu unproces descris de un model ARMA[2,2], avînd o singură sursă de zgomot. Pentrusimulările care urmează, se va utiliza modulul IISSLLAABB__11BB.1. Să se analizeze maniera în care variază polii şi zerourile modelului ARMA

atunci cînd variază SNR. În acest context, SNR este definit prin raportul dintrevarianţa semnalului util x şi varianţa zgomotului aditiv v (cu notaţiile dinExerciţiul 1.4).

2. Să se studieze cazurile în care SNR tinde la infinit (semnalul domină zgomotul)şi SNR tinde la zero (zgomotul domină semnalul). Să se comentezemodificările înregistrate de densităţile spectrale.

25


IIddeennttiiffiiccaarreeaa mmooddeelleelloorr nnee--ppaarraammeettrriiccee22..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruu

O succintă descriere a modelelor ne-parametrice a fost prezentată în Capitolul 1.La rîndul ei, descrierea face referire la cadrul de lucru conturat în Introducere.Obiectivul acestui capitol este de a ilustra metodologia uzuală folosită în identificareane-parametrică. Problemele de simulare propuse pot fi abordate în cadrul mediului deprogramare MATLAB, cu ajutorul unor funcţii dedicate, aparţinînd bibliotecii specializateîn tehnici de IS (numită System Identification toolbox).

Aplicaţiile studiate utilizează două modele parametrice pentru a genera dateleutilizate în identificarea neparametrică. În acest fel, rezultatele de identificare obţinute(adică diagramele rezultate în urma analizelor ne-parametrice) pot fi uşor verificate.Cele 2 modele sunt: ARX[na,nb] şi OE[na,nb] (Output Error model – model de tip“eroare de ieşire”). Ambele aparţin clasei ARMAX definită prin ecuaţia (1). Mai precis,ecuaţiile celor 2 modele sunt următoarele:

][][)(][)( 11 nenuqBnyqA += −−:nb]ARX[na, , N∈∀n . (48)

][][)()(][ 1

1

nenuqAqBny += −

−

:nb]OE[na, , N∈∀n . (49)

Polinoamele A şi B din ecuaţiile (48) şi (49) sunt definite în relaţiile (3). În ambelemodele, perturbaţia e este considerată un zgomot alb Gaussian de medie nulă şi

varianţă 2λ , necorelat cu intrarea u . Se observă că zgomotul afectează ieşirile celordouă sisteme în mod diferit. Pentru sistemul descris de modelul ARX, perturbaţia eapare ca un zgomot de proces, în timp ce pentru sistemul descris de modelul OE,perturbaţia e apare ca un zgomot de măsură (i.e. care distorsionează ieşireamăsurată y ).

Următoarele polinoame particulare pot fi utilizate în cadrul simulărilor:

11 8.01)( −− −= qqA , 11)( −− = qqB . (50)

211 56.01.01)( −−− −−= qqqA , 211 3.05.0)( −−− += qqqB . (51)

De asemenea, zgomotul alb va fi generat cu ajutorul funcţiei MATLAB rraannddnn, dispersia

fiind fixată la valoarea 12 =λ . Pentru a pune în evidenţă erorile sistematice şidiferenţele dintre diferitele metode aplicate, vor fi iniţiate 100 de experimente, în urmacărora se vor produce 100 de realizări pentru fiecare model. Dacă s-ar lucra cu osingură realizare, unele rezultate ar putea fi dependente într-o măsură prea mare decaracterul aleator al datelor generate.

În aceest capitol, se vor studia trei metode de identificare ne-parametrică, pe bazăde: analiză tranzitorie, analiză de corelaţie şi analiză spectrală.


26


EExxeerrcciiţţiiuull 22..11 Verificaţi dacă cele 2 modele generale (48) şi (49) pot fi echivalate, în sensuldefiniţiei din Exerciţiul 1.4.

EExxeerrcciiţţiiuull 22..22 Determinaţi funcţiile pondere ale celor 2 sisteme liniare modelate de ecuaţiile (48)şi (49) pentru cazul general ARX[1,1] şi OE[1,1]. Particularizare: definiţiile (50).

EExxeerrcciiţţiiuull 22..33 Deduceţi relaţiile recurente verificate de funcţiile de auto-covarianţă ale ieşirii înfiecare din cele 2 modele (48) şi (49) pentru cazul particular în care polinoamelesunt definite ca în ecuaţiile (50). Evaluaţi SNR al celor 2 modele în cazul în caresunt stimulate cu treapta unitară şi comentaţi rezultatele obţinute.

EExxeerrcciiţţiiuull 22..44 Deduceţi relaţiile generale ale densităţilor spectrale de putere ale ieşirilor celor 2modele (48) şi (49) pentru cazul particular în care polinoamele sunt definite ca înecuaţiile (50). În acest caz particular, ca şi în cazul particular (51), deduceţirăspunsurile în frecvenţă ideale ale celor 2 modele (i.e. în absenţa zgomotului).


PPrroobblleemmaa 22..11 În cadrul acestei probleme, se va studia analiza tranzitorie. Modelele ARX (48) şiOE (49) vor fi simulate de 100 de ori cu intrarea treaptă:

∈≤

=100,10,1

9,0][

nn

nu (52)

(timp de cel cel mult 100 de perioade de eşantionare).a. Să se reprezinte grafic, într-o primă fereastră, răspunsul indicial ideal al

modelului ARX (48) & (50) (adică în absenţa zgomotului) plus prima realizare aieşirii. Într-o a doua fereastră, să se traseze media răspunsurilor obţinute (înprezenţa zgomotului), împreună cu răspunsul indicial ideal şi tubul deamplitudine a ieşirii oferit de deviaţia standard, ca în Figura 8. În acest scop, sevor folosi funcţiile MATLAB: ffiilltteerr, mmeeaann şi ssttdd. Observaţi că deviaţiastandard trebuie calculată luînd în considerare ansamblul statistic al realizărilorşi nu media acestor realizări. Ce rol credeţi ca are tubul de deviaţie standardastfel ilustrat? Denumiţi mini-simulatorul pe care l-aţi proiectat prin IISSLLAABB__22AA.

b. Studiaţi convergenţa ieşirii la răspunsul indicial ideal variind numărul derealizări ale procesului ARX în diferite rulări ale mini-simulatorului IISSLLAABB__22AA.Este aparent verificată ipoteza ergodică? (Oferiţi toate explicaţiile necesare.)

2. Identificarea modelelor ne-parametrice

27

Figura 8. Exemplu de analiză tranzitorie.

c. Imaginaţi o tehnică de estimare pe cale grafică a celor 2 parametri a şi b aimodelului ARX (48) & (50), folosind realizările ieşirii (mai precis zona tranzitoriea acestora).

d. Reluaţi simulările pentru modelul OE (49) & (50) (proiectaţi mini-simulatorulIISSLLAABB__22BB) şi comparaţi rezultatele cu cele ale simulatorului precedent.

e. Generalizaţi mini-simulatoarele IISSLLAABB__22AA şi IISSLLAABB__22BB pentru cazul unuimodel ARMAX[na,nb,nc] (adică proiectaţi mini-simulatorul general IISSLLAABB__22CC)utilizînd aceeaşi intrare (52) şi un zgomot alb de dispersie unitară. Rulaţisimulatorul în cazul modelelor ARX şi OE particularizate prin definiţiile (51).Comparaţi rezultatele celor 2 modele. Pot fi determinaţi parametrii unui sistemde ordin 2 (amplificare, supra-reglaj, pulsaţie de rezonanţă), afectat de zgomot,prin analiză tranzitorie, ca în cazul sistemelor de ordin 1? Dacă nu, argumentaţide ce. Dacă da, explicaţi în ce constă tehnica de identificare.

PPrroobblleemmaa 22..22 Această problemă se referă la analiza pe bază de corelaţie. Nucleul acestui tip deanaliză îl constituie ecuaţia Wiener-Hopf (10) descrisă în Introducere. Cu ajutorulacestei ecuaţii, se poate determina o mulţime finită de valori ale funcţiei pondere(răspunsul cauzal la impuls) asociate unui model de sistem cu ieşiri corupte dezgomot. Dorim să determinăm primele 50=M de valori ale funcţiei ponderefolosind cele 2 modele (48) şi (49). Acestea vor fi stimulate cu un SPAB bipolar delungime 100=N . Valorile semnalului de intrare sunt doar –1 şi +1. Se vor efectua100 de experimente.a. Să se reprezinte grafic, într-o primă fereastră, funcţia pondere ideală a

modelului ARX (48) & (50) (adică în absenţa zgomotului) plus funcţia pondere


28

estimată rezolvînd ecuaţia Wiener-Hopf, cu ajutorul datelor de intrare-ieşirecorespunzătoare primei realizări a procesului. (Folosiţi Exerciţiul 2.2 pentru aimplementa ecuaţia generală a funcţiei pondere ideale.) Într-o a doua fereastră,să se traseze media estimaţiilor obţinute (în prezenţa zgomotului), împreună cusecvenţa pondere ideală şi tubul de deviaţie standard din jurul mediei, ca înFigura 9. Şi în acest caz se vor folosi funcţiile MATLAB: ffiilltteerr, mmeeaann şi ssttdd.Denumiţi mini-simulatorul pe care l-aţi proiectat prin IISSLLAABB__22DD.

Figura 9. Exemplu de analiză be bază de corelaţie.

b. Reluaţi simulările pentru modelul OE (49) & (50) (proiectaţi mini-simulatorulIISSLLAABB__22EE) şi comparaţi rezultatele cu cele ale simulatorului precedent.

c. Modificaţi mini-simulatoarele IISSLLAABB__22DD şi IISSLLAABB__22EE astfel încît intrarea destimul să fie egală cu:

][8.01

][ 10 nuq

unudef

f −−= , N∈∀n , (53)

unde 6.0)8.0(1 20 =−=u este un factor de normare menit să egaleze

varianţele lui u (semnalul SPAB original) şi fu (versiunea filtrată a semnalului

SPAB). Denumiţi noile mini-simulatoare prin IISSLLAABB__22FF şi IISSLLAABB__22GG,respectiv. Observaţi că, de această dată, estimaţia secvenţei pondere pare a fideviată în ambele cazuri. Care credeţi că este cauza acestei proprietăţinedorite?

d. Pentru a diminua deviaţia estimaţiei secvenţei pondere, se pot aplica 2 tehnicide bază: pre-albire de date sau idealizarea matricii de auto-covarianţă a intrării.


29

Pre-albirea datelor. Funcţia MATLAB ccrraa efectuează analiza be bază decorelaţie însoţită de pre-albirea datelor, dacă utilizatorul o doreşte. Aceastăoperaţie constă în filtrarea datelor de intrare-ieşire cu ajutorul unui filtru IIRde tip AR[na]. Implicit, ordinul filtrului este 10=na , dar utilizatorul poatespecifica propria sa opţiune în acest scop. Albirea datelor (mai ales deintrare) conduce la diminuarea deviaţiei estimaţiei. În general, aceastătehnică este utilizată atunci cînd nu se cunosc suficiente informaţii despremaniera în care a fost generată intrarea.Apelul tipic al funcţiei ccrraa este:

[[iirr,,RR,,ccll]] == ccrraa((ddaattaa,,MM,,nnaa,,pplloott)) ;;

unde: ddaattaa este blocul de date măsurate (2 coloane: [[yy uu]]);

MM este numărul de valori ale secvenţei pondere ce trebuieestimate (implicit: MM==2200);

nnaa este ordinul filtrului de albire IIR-AR (implicit: nnaa==1100); dacănu se doreşte pre-albirea datelor, se poate seta nnaa==00;

pplloott este un parametru de afişare grafică; implicit: pplloott==11, careindică trasarea graficului funcţiei pondere estimate; alteopţiuni recunoscute sunt: pplloott==00 (trasarea de grafice esteinhibată) şi pplloott==22 (se trasează graficele tuturor funcţiilorde corelaţie implicate);

iirr este răspunsul cauzal la impuls (funcţia pondere) estimat(ă);

RR este o matrice care conţine următoarele informaţii decorelaţie: pe prima coloană se află pivoţii funcţiilor decovarianţă; pe coloana a doua se află valorile secvenţei decovarianţă a ieşirii (după pre-albire, dacă a fost cazul); pecoloana a treia se află valorile secvenţei de covarianţă aintrării (după pre-albire, dacă este cazul); aceste secvenţepot fi şi direct trasate grafic prin apelul: ccrraa((RR));

ccll este nivelul de încredere al estimaţiei funcţiei pondere.

Idealizarea matricii de auto-covarianţă a intrării. Dacă utilizatorul este lacurent cu metoda de generare a intrării şi poate evalua secvenţa sa deauto-covarianţă, atunci matricea ecuaţiei Wiener-Hopf (adică matricea (8)din Introducere) poate fi implementată direct. În acest context, rezolvareaecuaţiei (care presupune totuşi estimarea corelaţiei încrucişate dintreintrare şi ieşire) conduce la estimaţii cu deviaţie diminuată.

Folosind fiecare dintre cele 2 tehnici anterioare, să se modifice mini-simulatoarele IISSLLAABB__22FF şi IISSLLAABB__22GG pentru a testa diminuarea deviaţieiestimaţiei în cazul intrării (53). În cazul celei de-a doua tehnici, se va evaluaîntîi secvenţa de auto-covarianţă a intrării în formă completă. Pentru a construimatricea de auto-covarianţă a intrării, se poate folosi funcţia MATLAB ttooeepplliittzz(avînd în vedere că această matrice este de tip Toeplitz simetrică). Denumiţimini-simulatarele obţinute prin IISSLLAABB__22HH şi IISSLLAABB__22II (pentru modelul ARX)şi IISSLLAABB__22JJ şi IISSLLAABB__22KK (pentru modelul OE).


30

PPrroobblleemmaa 22..33 Ultimul tip de analiză, cea spectrală, va fi ilustrat în contextul acestei probleme.Prin analiza spectrală se urmăreşte estimarea răspunsului în frecvenţă al unuiproces furnizor de date, folosind ecuaţia (32) din Introducere. Ecuaţia poate firezolvată dacă se estimează mai întîi densitatea spectrală a intrării ( uφ ) şi

densitatea spectrală încrucişată a intrării şi ieşirii ( uyφ ). Funcţia MATLAB care

efectuează analiza spectrală plecînd de la date măsurate este ssppaa. Apelul tipic alacesteia este:

HH == ssppaa((ddaattaa,,MM,,ww)) ;;

unde: ddaattaa este blocul de date măsurate (2 coloane: [[yy uu]]);

MM este dimensiunea ferestrei Hamming aplicate datelor (implicit:MM == mmiinn((lleennggtthh((ddaattaa))//1100,,3300)));

ww este vectorul nodurilor de frecvenţă unde se doreşte estimatrăspunsul în frecvenţă al sistemului;

HH este răspunsul în frecvenţă al sistemului.

De notat că fereastra Hamming este una dintre cele mai convenabile pentruestimarea spectrală, avînd expresia:

12cos46.054.0][

−−=

MnnW π

, N∈∀n , (54)

unde M este deschiderea ferestrei, aşa cum se poate vedea în Figura 10.

Figura 10. Fereastra spectrală a lui Hamming.

Mini-simulatorul IISSLLAABB__22LL (al cărui listing este prezentat în secţiunea următoare)a fost proiectat pentru efectuarea analizei spectrale a modelului ARX (48) & (50), încazul în care sistemul este stimulat cu intrarea fu (definiţia (53) din problema

precedentă). Diagrama Bode afişată de funcţia IISSLLAABB__22LL este comparată curăspunsul în frecvenţă ideal dedus direct din ecuaţia modelului (48) (vezi Exerciţiul2.4), ca în Figura 11.

a. Efectuaţi cîteva simulări cu diferite valori ale deschiderii ferestrei (M ) pentrua observa influenţa acestui parametru asupra calităţii estimaţiei şi a propune ovaloare rezonabilă a lui.

b. Înlocuiţi semnalul de stimul fu din mini-simulatorul IISSLLAABB__22LL cu un zgomot

alb (sau un SPAB). Denumiţi noul simulator prin IISSLLAABB__22MM şi repetaţi

0 50 100-0.5

0

0.5

1

1.5 Hamming

0 50 100-0.5

0

0.5

1

1.5 Hamming


31

experimentul de la punctul precedent. Comparaţi rezultatele celor 2 mini-simulatoare IISSLLAABB__22LL şi IISSLLAABB__22MM pentru cele mai bune valori aledeschiderii ferestrei Hamming găsite în fiercare caz.

c. Proiectaţi mini-simulatoarele IISSLLAABB__22NN şi IISSLLAABB__22OO inspirate de cele 2 mini-simulatoare anterioare, dar pentru modelul OE (49) & (50). Efectuaţi din nou oanaliză comparativă.

d. Proiectaţi mini-simulatoarele IISSLLAABB__22PP, IISSLLAABB__22QQ, IISSLLAABB__22RR şi IISSLLAABB__22SSinspirate de cele 4 mini-simulatoare anterioare, dar pentru modelele ARX (48)& (51) şi OE (49) & (51). Repetaţi analiza comparativă.

Figura 11. Exemplu de analiză spectrală.

• CCoommeennttaarriiii pprriivviinndd pprrooiieeccttaarreeaa mmiinnii--ssiimmuullaattoorruulluuii IISSLLAABB__22LL.Rutina IISSLLAABB__22LL utilizează atît cîteva funcţii MATLAB (versiunea 6.*) dedicate în

special domeniilor IS şi TS, cît şi tipuri de structuri de date specifice domeniului IS(definite ca obiecte în biblioteca System Identification a mediului de programare).

Două astfel de structuri au fost create şi exploatate în cadrul rutinei, după cum esteexplicat în continuare.

DD este structura datelor de intrare-ieşire generate folosind ecuaţiile modeluluiales. Structura este creată cu ajutorul funcţiei (metodei) constructor iiddddaattaaasociată obiectului IIDDDDAATTAA (date de identificare). Cele 2 matrici de date uu (deintrare) şi yy (de ieşire) au dimensiunile identice: NN linii şi nnrr coloane. Fiecaredin cele nnrr experimente (realizări) ocupă cîte o coloană cu NN perechi de dateintrare-ieşire). Datele se regăsesc în cîmpurile DD..uu şi DD..yy ale structurii DD.Structura este mult mai complexă şi se compune din următoarele cîmpuri:


32

DDoommaaiinn:: ''''TTiimmee''//''FFrreeqquueennccyy''''NNaammee:: ''SSttrriinngg''

OOuuttppuuttDDaattaa:: [[11xx3377 cchhaarr]]yy:: ''SSaammee aass OOuuttppuuttDDaattaa''

OOuuttppuuttNNaammee:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''OOuuttppuuttUUnniitt:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''IInnppuuttDDaattaa:: [[11xx3366 cchhaarr]]

uu:: ''SSaammee aass IInnppuuttDDaattaa''IInnppuuttNNaammee:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''IInnppuuttUUnniitt:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

PPeerriioodd:: [[11xx5511 cchhaarr]]IInntteerrSSaammppllee:: [[11xx3366 cchhaarr]]

TTss:: [[11xx5544 cchhaarr]]TTssttaarrtt:: ''SSccaallaarr ((SSttaarrttiinngg ttiimmee))''

SSaammpplliinnggIInnssttaannttss:: [[11xx5511 cchhaarr]]TTiimmeeUUnniitt:: ''SSttrriinngg''

EExxppeerriimmeennttNNaammee:: [[11xx4433 cchhaarr]]NNootteess:: ''CCeellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

UUsseerrDDaattaa:: ''AArrbbiittrraarryy''

HH este structura datelor reprezentînd răspunsul în frecvenţă estimat folosindfuncţia MATLAB ssppaa (despre care am amintit). Răspunsurile în frecvenţăestimate folosind datele DD se regăsesc în blocul tri-dimensionalHH..RReessppoonnsseeDDaattaa, astfel: prima estimaţie se află în vectorulHH..RReessppoonnsseeDDaattaa((11,,11,,::)), a doua estimaţie se află în vectorulHH..RReessppoonnsseeDDaattaa((22,,22,,::)), etc. Sunt nnrr estimaţii în total. Fiecare estimaţieconţine KK date cu valori complexe (partea reală şi partea imaginară arăspunsului în frecvenţă). Numărul KK figurează printre argumentele funcţieiIISSLLAABB__22LL şi reprezintă numărul de noduri (echidistante) de frecvenţă în carese doresc estimate valorile răspunsului în frecvenţă. Ca şi în cazul structurii dedate, structura răspunsului în frecvenţă este mai complexă, incluzîndurmătoarele cîmpuri (din care se constată că funcţia specializată ssppaa poateoferi numeroase informaţii spectrale sau de corelaţie referitoare la datelemăsurate şi zgomot):

NNaammee:: ''ssttrriinngg''

FFrreeqquueennccyy:: [[11xx4488 cchhaarr]]

RReessppoonnsseeDDaattaa:: [[11xx4400 cchhaarr]]

SSppeeccttrruummDDaattaa:: [[11xx3388 cchhaarr]]

CCoovvaarriiaanncceeDDaattaa:: [[11xx6622 cchhaarr]]

NNooiisseeCCoovvaarriiaannccee:: [[11xx5577 cchhaarr]]

UUnniittss:: ''[[''rraadd//ss''||''HHzz'']]''

TTss:: ''ssccaallaarr''

IInnppuuttDDeellaayy:: ''NNuu--bbyy--11 vveeccttoorr''

EEssttiimmaattiioonnIInnffoo:: ''ssttrruuccttuurree''

IInnppuuttNNaammee:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

OOuuttppuuttNNaammee:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''


33

IInnppuuttUUnniitt:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

OOuuttppuuttUUnniitt:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

NNootteess:: ''AArrrraayy oorr cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''


VVeerrssiioonn:: ''IInntteerrnnaall UUssee''

UUttiilliittyy:: ''IInntteerrnnaall UUssee''

Axa celor KK noduri de frecvenţă (notată cu ff în cadrul rutinei IISSLLAABB__22LL) a fost

generată cu ajutorul funcţiei Matlab llooggssppaaccee, în scară logaritmică, între 210− şi π .Răspunsul ideal în frecvenţă al modelului de identificare a fost generat folosind funcţiaMATLAB ddbbooddee din cadrul bibliotecii Control (adică dedicată domeniului TS). Aceastareturnează magnitudinea şi faza răspunsului în frecvenţă (cu care se poate trasadiagrama Bode a sistemului – de unde şi denumirea funcţiei). În acest scop, sefolosesc axa de frecvenţe ff şi perioada de eşantionare TTss setată la valoarea 1 încadrul rutinei IISSLLAABB__22LL. De notat că atît axa de frecvenţe cît perioada de eşantionarese regăsesc în cele 2 structuri de date descrise mai sus.

Dacă numărul de realizări considerat (nnrr) este mare, funcţia ssppaa devine (mare)consumatoare de timp, deoarece ea a fost proiectată să estimeze răspunsul înfrecvenţă pentru fiecare pereche de seturi date de intrare şi de ieşire, nu numai pentruintrările şi ieşirile care corespund între ele. De exemplu, pentru 100 de realizări,funcţia ssppaa returnează 10000 de estimaţii ale răspunsului în frecvenţă (adică100×100), în loc de 100. Cele 100 estimaţii corecte se regăsesc totuşi pe diagonalastructurii HH, cum am explicat mai sus. Rutina IISSLLAABB__22LL evită acest efect prinspecificarea clară a fiecărei perechi de seturi de date intrare-ieşire corespondente.

Graficele magnitudinii şi fazei au fost trasate în axe logaritmice, pentru a scoate înevidenţa erorile de estimare. Aşa cum şi Figura 11 o ilustrează, estimaţiile sunt maipuţin precise la frecvenţe înalte, deoarece semnalul de intrare a fost generat prinfiltrarea de joasă frecvenţă a unui SPAB. Mini-simulatorul IISSLLAABB__22MM (proiectat sălucreze cu un zgmot alb) ar trebui să corecteze acest defect.

34


IIddeennttiiffiiccaarree ppaarraammeettrriiccăăpprriinn MMeettooddaa CCeelloorr MMaaii MMiiccii PPăăttrraattee

33..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruuObiectivul acestui capitol este de a familiariza utilizatorii cu metoda fundamentală a

domeniului IS, adică MCMMP (descrisă succint în Introducere). Pentru atingereaacestui scop, se pleacă de la contextul de lucru definit în Capitolul 2. Mai precis,modelele de proces ARX (48) şi OE (49) vor fi determinate cu ajutorul MCMMP încazurile particulare (50) şi:

211 32.04.01)( −−− −−= qqqA , 211 03.05.0)( −−− += qqqB . (55)

În cazul particular (55), se poate constata cu uşurinţă că fiecare polinom posedă cîte orădăcină parazită (adică de magnitudine sensibil mai mică decît cealaltă rădăcină saudecît unitatea).

Datele experimentale necesare estimării parametrilor necunoscuţi, adică

NnNn nynu ,1,1 ][][ == ∪=D , vor fi generate cu ajutorul modelelor avînd parametri

adevăraţi şi diferite intrări (în principal u şi fu din Problema 2.2). Zgomotul de

proces, e , este, ca de obicei, alb Gausian de dispersie unitară ( 12 =λ ). Dispersiazgomotului va fi de asemenea estimată folosind MCMMP. În cadrul problemelor desimulare, se vor efectua cîte 100 de experimente de identificare (ca în cazulproblemelor din Capitolul 2), în timp ce dimensiunea orizontului de măsură va fi

100=N .


EExxeerrcciiţţiiuull 33..11 Determinaţi ecuaţiile de estimare a parametrilor necunoscuţi (coeficienţi şidispersie zgomot alb) pentru modelului ARX (48) & (50), în formă completă,folosind relaţiile (19) şi (20) caracteristice MCMMP. Evaluaţi limitele teoretice aleparametrilor pentru o colecţie infinită de date. În ce condiţii parametrii estimaţi suntconsistenţi (adică tind la valorile adevărate)?

EExxeerrcciiţţiiuull 33..22 Determinaţi ecuaţiile de estimare a parametrilor necunoscuţi (coeficienţi şidispersie zgomot alb) pentru modelului ARX (48) & (55), folosind MCMMP.

EExxeerrcciiţţiiuull 33..33 Este posibilă utilizarea MCMMP pentru a determina parametrii modelului OE (49) &(50)? Dacă nu, argumentaţi răspunsul. Dacă da, determinaţi ecuaţiile de estimare aparametrilor necunoscuţi (coeficienţi şi dispersie zgomot alb), folosind MCMMP.Tot în acest caz, studiaţi consistenţa estimaţiilor.

3. Identificare parametrică prin MCMMP

35

EExxeerrcciiţţiiuull 33..44 Este posibilă utilizarea MCMMP pentru a determina parametrii modelului OE (49) &(55)? Dacă nu, argumentaţi răspunsul. Dacă da, determinaţi ecuaţiile de estimare aparametrilor necunoscuţi (coeficienţi şi dispersie zgomot alb), folosind MCMMP.

Indicaţie• Pentru a testa identificabilitatea modelelor OE, se recomandă exprimarea ecuaţiei (49)

într-o formă echivalentă de ecuaţie cu diferenţe, în care fiecare parametru necunoscutapare ca factor într-un singur termen. În acest fel, se poate observa cum ieşireamodelului este direct afectată de zgomotul alb.


PPrroobblleemmaa 33..11 Se studiază influenţa semnalului de intrare asupra calităţii estimaţiei oferite deMCMMP pentru modelele ARX (48) & (50), respectiv (48) & (55). Aceste modelevor fi stimulate de cîte 100 de ori cu fiecare din cele 2 intrări ale Problemei 2.2(adică u – un SPAB bipolar de lungime 100, avînd doar valorile –1 sau +1 şi fu –

un semnal de joasă frecvenţă generat ca în (53), prin filtrarea semnalului u ). Dupăachiziţia datelor de intrare-ieşire 100,1100,1 ][][ == ∪= nn nynuD , se vor

implementa relaţiile de calcul ale estimaţiilor parametrilor necunoscuţi dinExerciţiile 3.1 şi 3.2. Estimaţiile parametrilor vor fi mediate peste ansamblul celor100 de realizări şi li se va calcula deviaţia standard. Cele 4 mini-simulatoareobţinute vor fi denumite prin: IISSLLAABB__33AA (model ARX[1,1] & intrare u ), IISSLLAABB__33BB(model ARX[1,1] & intrare fu ), IISSLLAABB__33CC (model ARX[2,2] & intrare u ) şi

IISSLLAABB__33DD (model ARX[2,2] & intrare fu ).

a. Pentru fiecare mini-simulator, să se reprezinte grafic într-o figură erorile deestimare a răspunsului în frecvenţă după cum urmează.

În prima fereastră va fi trasat graficul erorii de estimare a amplitudiniirăspunsului în frecvenţă, adică media amplitudinii diferenţei dintrerăspunsul în frecvenţă ideal (în absenţa zgomotului) şi răspunsurile înfrecvenţă obţinute din cele 100 de realizări (după estimarea parametrilornecunoscuţi). Tubul de dispersie a amplitudinii se va evalua ca înproblemele din Capitolul 2 pentru fiecare eroare de estimare şi se va trasape acelaşi grafic.

În a doua fereastră va fi trasat graficul erorii de estimare a fazei răspunsuluiîn frecvenţă, adică media fazei diferenţei dintre răspunsul în frecvenţă ideal(în absenţa zgomotului) şi răspunsurile în frecvenţă obţinute din cele 100de realizări (după estimarea parametrilor necunoscuţi). Se va evalua tubulde dispersie a fazei pentru fiecare eroare de estimare şi se va trasa peacelaşi grafic.

Într-o a doua figură vor fi trasate graficul dispersiei estimate a zgomotului, (careeste obţinută în fiecare realizare a procesului) şi graficul valorii adevărate a


36

dispersiei zgomotului ( 12 =λ ). Afişaţi în cadrul figurii valorile parametriloradevăraţi şi media valorilor parametrilor estimaţi (calculată peste ansamblulrealizărilor). Un exemplu este ilustrat în Figurile 12 şi 13.

Figura 12. Exemplu de afişare a erorii de estimare cu MCMMP (răspuns în frecvenţă).

Figura 13. Exemplu de afişare a erorii de estimare cu MCMMP (dispersie zgomot).

3. Identificare parametrică prin MCMMP

37

Pentru determinarea răspunsurilor în frecvenţă se va utiliza funcţia MATLABddbbooddee (ca în cadrul problemelor de simulare din Capitolul 2). Nu va fi în nici uncaz utilizată funcţia de analiză spectrală ssppaa, deoarece răspunsul în frecvenţăestimat se va obţine prin combinaţia dintre MCMMP şi ddbbooddee. De asemenea,în cazul modelului ARX[2,2], funcţiile de covarianţă implicate de relaţiile deestimare ale MCMMP pot fi evaluate cu precizie ridicată folosind funcţia MATLABxxccoovv, dacă este utilizată cu atenţie.

b. Comentaţi rezultatele obţinute la punctul precedent. Observaţi influenţa tipuluide intrare asupra estimării rădăcinilor parazite din modelul particular (48) &(55). Dacă acest proces nu va putea fi stimulat decît cu intrări de joasăfrecvenţă, cum credeţi că s-ar putea estima (fie şi imprecis) rădăcinile parazite?

PPrroobblleemmaa 33..22 Dacă aţi ajuns la concluzia că modelele OE (49) & (50), respectiv (49) & (55) arputea fi identificate cu ajutorul MCMMP, reluaţi Problema 3.1 pentru cazul acestormodele. Denumiţi mini-simulatoarele obţinute prin IISSLLAABB__33EE (model OE[1,1] &intrare u ), IISSLLAABB__33FF (model OE[1,1] & intrare fu ), IISSLLAABB__33GG (model OE[2,2] &

intrare u ) şi IISSLLAABB__33HH (model OE[2,2] & intrare fu ).

PPrroobblleemmaa 33..33 Generalizaţi mini-simulatoarele anterioare şi denumiţi noile rutine prin IISSLLAABB__33II(pentru modele ARX[na,nb]) şi, dacă este cazul, IISSLLAABB__33JJ (pentru modeleOE[na,nb]). În acest scop, se poate utiliza funcţia de bibliotecă IS MATLAB numităaarrxx. Apelul tipic al acestei rutine este următorul:

tthheettaa == aarrxx((DD,,ssii)) ;;

unde: DD este structura datelor de intrare-ieşire, de regulă creată cu ajutorulfuncţiei (metodei) constructor asociată obiectului IIDDDDAATTAA (vezicomentariile privind proiectarea mini-simulatorului IISSLLAABB__22LL din finalulCapitolului 2);

ssii este vectorul indicilor structurali şi al întîrzierii modelului:

ssii == [[nnaa nnbb nnkk]],

unde nnaa este ordinul componentei AR, iar nnbb++nnkk este ordinulcomponentei X; practic, nnkk este numărul de coeficienţi nuli aipolinomului B , pînă la primul coeficient nenul de grad minim (adicăîntîrzierea intrinsecă a modelului); urmează cei nnbb coeficienţi nenuli.

Argumentul de ieşire tthheettaa este la rîndul său un obiect de tip IIDDPPOOLLYY (polinom deidentificare – în cazul modelelor SISO) sau IIDDMMOODDEELL (model general deidentificare în cazul modelelor MIMO). Un obiect IIDDMMOODDEELL conţine cîmpurile:

aa:: ''AA--ppoollyynnoommiiaall ((rrooww vveeccttoorr))''bb:: ''BB--ppoollyynnoommiiaall ((rrooww vveeccttoorr))''cc:: ''CC--ppoollyynnoommiiaall ((rrooww vveeccttoorr))''dd:: ''DD--ppoollyynnoommiiaall ((rrooww vveeccttoorr))''ff:: ''FF--ppoollyynnoommiiaall ((rrooww vveeccttoorr))''

ddaa:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff aa ((ssccaallaarr))''


38

ddbb:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff bb ((ssccaallaarr))''ddcc:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff cc ((ssccaallaarr))''dddd:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff dd ((ssccaallaarr))''ddff:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff ff ((ssccaallaarr))''nnaa:: ''oorrddeerr ooff AA--ppoollyynnoommiiaall ((ssccaallaarr))''nnbb:: ''oorrddeerr ooff BB--ppoollyynnoommiiaall ((ssccaallaarr))''nncc:: ''oorrddeerr ooff CC--ppoollyynnoommiiaall ((ssccaallaarr))''nndd:: ''oorrddeerr ooff DD--ppoollyynnoommiiaall ((ssccaallaarr))''nnff:: ''oorrddeerr ooff FF--ppoollyynnoommiiaall ((ssccaallaarr))''nnkk:: ''ddeellaayy ooff BB--ppoollyynnoommiiaall ((ssccaallaarr))''

IInniittiiaallSSttaattee:: [[11xx4455 cchhaarr]]NNaammee:: ''ssttrriinngg''

TTss:: ''ssaammppllee ttiimmee iinn sseeccoonnddss ((ssccaallaarr))''IInnppuuttNNaammee:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''IInnppuuttUUnniitt:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''OOuuttppuuttNNaammee:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''OOuuttppuuttUUnniitt:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

TTiimmeeUUnniitt:: ''ssttrriinngg''PPaarraammeetteerrVVeeccttoorr:: ''NNpp--bbyy--11 vveeccttoorr''

PPNNaammee:: ''NNpp--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''CCoovvaarriiaanncceeMMaattrriixx:: ''NNpp--bbyy--NNpp mmaattrriixx''

NNooiisseeVVaarriiaannccee:: ''NNyy--bbyy--NNyy mmaattrriixx''IInnppuuttDDeellaayy:: ''NNuu--bbyy--11 vveeccttoorr''AAllggoorriitthhmm:: [[11xx3388 cchhaarr]]

EEssttiimmaattiioonnIInnffoo:: [[11xx3399 cchhaarr]]NNootteess:: ''AArrrraayy oorr cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''


Evident, polinoamele A şi B se regăsesc în cîmpurile: tthheettaa..aa, respectivtthheettaa..bb. În tthheettaa..bb sunt salvaţi atît coeficienţii nenuli cît şi cei nuli (datoraţiîntîrzierii intrinseci) ai polinomului B . Ordinele polinoamelor sunt memorate întthheettaa..nnaa, respectiv tthheettaa..nnbb, iar întîrzierea intrinsecă – în tthheettaa..nnkk.

39


IIddeennttiiffiiccaarree ppaarraammeettrriiccăă pprriinnMMeettooddaa VVaarriiaabbiilleelloorr IInnssttrruummeennttaallee

44..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruuA. Metoda Variabilelor Instrumentale

Una dintre primele metode de identificare concepute plecînd de la MCMMP a fostMetoda Variabilelor Instrumentale (MVI). Aceasta este de regulă folosită în contextulmodelelor ARX, dar poate fi adaptată şi pentru alte modele (de exemplu OE sau chiarARMAX). În forma ei generală, estimaţia oferită de MVI este următoarea (sugerată deestimaţia dată de MCMMP – vezi ecuaţia (19) din Introducere):

= ∑∑

=

−

=

N

n

N

n

Tdef

N nynzN

nnzN 1

1

1][][1][][1ˆ ϕθ , (56)

unde vectorul instrumentelor (sau al variabilelor instrumentale) θnnz R∈][ poate fi

construit de către utilizator la fiecare moment de timp normalizat ∗∈Nn (în funcţie detipul modelului de identificare cu care se operează). Ecuaţia (56) trebuie completatăcu ecuaţiile (20) referitoare la zgomot.

Diferenţa fundamentală dintre ecuaţiile (19) şi (56) constă în faptul că estimaţia(19) oferită de MCMMP a rezultat în urma rezolvării problemei de optimizare (21), întimp ce estimaţia (56) oferită de MVI este pur şi simplu o definiţie. În mod evident, sepune atunci problema corectitudinii definiţiei şi consistenţei estimaţiei rezultate. Sepoate arăta că estimaţia (56) este bine definită şi consistentă dacă vectorulinstrumentelor este ales astfel încît:

][][ nnzE Tϕ este inversabilă şi 0][][ =nenzE . (57)

De notat că, spre deosebire de MCMMP, (57) arată că în MVI nu este absolutnecesar ca zgomotul e să fie alb (poate fi şi colorat), cu condiţia ca el să nu fie corelatcu instrumentele vectorului z . De altfel, în cazul modelelor ARX, se poate arăta căestimaţia oferită de MVI este consistentă în următoarele condiţii: modelul esteparsimonios (adică polinoamele A şi B sunt coprime) şi intrarea u este un zgomotalb necorelat cu zgomotul (nu neapărat alb) e . Acest rezultat arată superioritatea MVIasupra MCMMP, în cazul modelelor ARX: nu e necesar să presupunem că zgomotulde proces este alb, în schimb procesul trebuie stimulat cu o intrare fabricată artificialcare să aproximeze zgomotul alb.

Vectorul instrumentelor poate fi ales în mai multe moduri, în funcţie de modelul delucru. În cazul modelelor ARX, două alegeri sunt frecvente:

[ ] Tdef

nbnanunununz ][]2[]1[][ −−−−= L . (58)


40

şi:

[ ]Tfff

defnbnunununanunununz ][]2[]1[|][]2[]1[][ −−−−−−= LL , (59)

unde fu este un semnal obţinut prin filtrarea intrării, adică:

][)()(][ 1

1

nuqCqDnu

def

f −

−

= , ∗∈∀ Nn . (60)

În definiţia (60), polinoamele C şi D se aleg fie simplu, de forma: 1)( 1 =−qC ,ndqqD −− =)( 1 (cu N∈nd o întîrziere fixată), fie, mai sofisticat, de exemplu identice

cu polinoamele A , respectiv B estimate folosind MCMMP.

B. Criterii de alegere a structurii modelelorCondiţia de parsimonie exprimată printre cerinţele suficiente de consistenţă a

estimaţiei oferite de MVI se poate îndeplini printr-un proces iterativ de îmbogăţire astructurii modelului (plecînd de la modelul cel mai simplu), aşa cum a fost descris înIntroducere. Criteriile uzuale de evaluare a erorii dintre model şi proces (care conducla determinarea indicelui structural optim) sunt descrise în continuare.

a. Criteriul aplatizării erorii pătratice. În mod normal, modelul de identificare cuindicele structural θn este un caz particular de model cu indicele structural

1+θn . În acest fel, se poate utiliza funcţia criteriu din (21), adică:

( )∑=

−=N

n

def

N nny1

2][~][~)( θϕθV , S∈∀θ , (61)

unde: yyy −≡~ , ϕϕϕ −≡~ (datele se centrează pe medie), iar S estedomeniul de stabilitate al modelului matematic. Teoretic, funcţia criteriu:

( ) ][ˆˆ][ 2 θλθθ nNn NNN

def

N == VA , ∗∈∀ Nθn , (62)

descreşte odată cu mărirea dimensiunii estimaţiei Nθ (adică θn ). În definiţia

(62), am renotat dispersia estimată a zgomotului 2Nλ prin ][2 θλ nN , pentru a

pune în evidenţă dependenţa de indicele structural θn .

Practic, însă, aşa cum este sugerat în Figura 14(a), valoarea lui ][ θnNAdescreşte pînă la un anumit indice structural maxθn , după care începe săcrească, în principal din două cauze: acumularea erorilor de calcul şiparticularizarea prea accentuată a modelului la cazul datelor măsurate. Înaceste condiţii, indicele structural optim optθn este indicat de intrarea în zona

de aplatizare (adică de palier) a graficului lui NA . Astfel, indicele structuraloptim este selectat în funcţie de dispersia zgomotului, care este invers

4. Identificare parametrică prin MVI

41

proporţională cu precizia modelului. Deîndată ce nu se mai obţine o scăderesemnificativă a acestei dispersii, adică o creştere semnificativă a precizieimodelului, este inutilă mărirea complexităţii acestuia.

Figura 14. (a) Criteriul aplatizării erorii pătratice. (b) Criteriul FPE. (c) Criteriul AIC.

Un criteriu înrudit cu NA este NL , definit ca determinant al matricii decovarianţă a erorilor de predicţie cu un pas (exprimate mai jos, în ecuaţia (70)).În literatură, NL se mai numeşte şi funcţie de pierdere (loss function).

b. Criteriul descreşterii relative normalizate. Un criteriu alternativ se bazează peTestul F din Statistică, care exprimă cîştigul relativ de precizie înregistrat odatăcu creşterea complexităţi modelului:

]1[ˆ]1[ˆ][ˆ

][ 2

22

++−=

θλθλθλθ

nnnn

N

NNdef

NF , ∗∈∀ Nθn , (63)

Astfel, indicele structural optim este cel mai mic indice pentru careNnN /4][ ≤θF . Acest test arată că precizia trebuie să înregistreze un cîştig

suficient de mic în raport cu o valoare stabilită în mod adaptiv, în funcţie dedimensiunea orizontului de măsură, pentru a stopa creşterea complexităţiimodelului. Criteriul este util mai ales în cazul în care variaţia dispersieizgomotului cu θn prezintă un palier (ca în Figura 14(a)). În acest fel, spredeosebire de cazul criteriului precedent, aici alegerea indicelui structural optimse poate efectua într-o manieră automată, nesubiectivă.

c. Criteriul de penalizare FPE (Final Prediction Error). Existenţa unui palier lanivelul dispersiei de zgomot este în general nedorită. Mai precisă ar fideterminarea indicelui structural optim dintr-o gamă îngustă de valori.Îngustarea intervalului în care se află indicele structural optim se poate realizaprin aplicarea unei penalizări asupra dispersiei zgomotului. Criteriul FPE (adicăal erorii finale de predicţie) propune o penalizare cu factorul

)/()( θθ nNnN −+ , ca mai jos:

θθθλθnNnNnnFPE N

def

N −+= ][ˆ][ 2 , ∗∈∀ Nθn , (64)

Efectul penalizării este ilustrat în Figura 14(b), unde se observă îngustareasuportului palierului zonei de optim, deşi, în general, o uşoară aplatizare

θn

NA

maxθn0

(a)

θn

NFPE

0

(b)optθn optθn θn

NAIC

0

(c)optθn


42

persistă. În acest caz indicele structural optim rezultă efectiv prin rezolvareaurmătoarei probleme de minimizare:

][minargopt θθθ

nFPEn Nn ∗∈

=N

. (65)

d. Criteriile lui Akaike-Rissanen. Pentru a pune în evidenţă şi mai precis indicelestructural optim al modelului matematic ales, cercetătorul japonez H. Akaike apropus în [AkH69] aplicarea unei penalizări de tip logaritmic asupra dispersieizgomotului:

( )NnnnAIC N

def

Nθθλθ 2][ˆln][ 2 += , ∗∈∀ Nθn . (66)

Este bine ştiut faptul că aplicarea logaritmului conduce la ascuţirea extremelorunei funcţii (dar şi la apariţia unor extreme locale “ascunse”). Figura 14(c)sugerează acest efect. Între criteriile FPE (64) şi AIC (66) există o legătură, aşacum o demonstrează Exerciţiul 4.1. (De altfel, criteriul FPE a fost propus tot decătre Akaike.) Ambele criterii tind totuşi să supra-parametrizeze modelul ales,în timp ce criteriul aplatizării şi Testul F tind să îl sub-parametrizeze. Akaikepropune o generalizare a criteriului său, menită să corecteze efectul supra-parametrizării:

( ) NN

def

N NnnnGAIC αθθλθ 2][ˆln][ 2 += , ∗∈∀ Nθn . (67)

În definiţia (67), factorul de corecţie 1>Nα poate fi ales astfel: ]4,2[∈Nα(independent de N ) sau ))ln(ln(,)ln( NNN ∈α (adaptiv, în funcţie de N ).O altă generalizare a criteriului AIC, tot de tip adaptiv, a fost propusă de cătrecercetătorul finlandez J. Rissanen în [RiJ78]: )ln( NN =α . Aceastăgeneralizare conduce la o descriere de proces bazată pe un aşa numit modelde lungime minimală, descriere conformă Principiului parsimoniei.O majorare excesivă a factorului corector poate conduce însă la sub-parametrizare. De notat totuşi că sub-parametrizarea este mai puţin dezirabilădecît supra-parametrizarea, deoarece nu se doreşte în nici un caz pierderea deinformaţie printr-o modelare inadecvată a procesului. Şi în acest caz, indicelestructural optim rezultă prin rezolvarea unei probleme de minimizare:

][)(minargopt θθθ

nAICGn Nn ∗∈

=N

. (68)

Notă• J. Rissanen este autorul unei metode universale de compresie de date bazată pe

utilizarea contextelor [RiJ83]. Tot el introdus conceptul de “descriere de lungimeminimală” (Minimum Description Length) [RiJ78], care constituie o exprimare aPrincipiului parsimoniei şi care este utilizată şi în compresia datelor.


43

e. Criteriul gradului de potrivire. În practică, un criteriu extrem de utilizat atît pentruverificarea Principiului parsimoniei cît şi pentru validarea modelelor este celbazat pe evaluarea “potrivirii” (fitness) dintre model şi proces după următoarearelaţie:

−

−=

∑ ∑

∑

= =

=

N

n

N

n

N

nNdef

N

nyN

ny

nn

1

2

1

1

2

][1][

]ˆ,[1100][

θεθE [%], ∗∈∀ Nθn , (69)

unde prin ]ˆ,[ Nn θε s-a notat eroarea de predicţie cu un pas, definită astfel:

43421simulatedaten

realedatenyn N

Tdef

N θϕθε ˆ][][]ˆ,[ −= , ∗∈∀ Nn . (70)

Valoarea funcţiei de potrivire NE este exprimată în procente. Cu cît aceastaeste mai apropiată de 100%, cu atît modelul decodifică mai bine informaţiadespre comportamentul procesului furnizor de date şi va fi mai bine validat (însensul criteriilor de validare descrise în paragraful C). Adesea, ][ θnNE esteinterpretată ca procentaj al procesului care a fost “explicat” de către model sauvaloarea cuantificată a gradului de validare a modelului. Totuşi, limitasuperioară a funcţiei de potrivire NE depinde de cantitatea de zgomot de

proces care corupe datele măsurate, adică de SNR. Mai mult, NE poate aveaşi valori negative, în cazul erorilor de predicţie importante. În fine, o ultimăproprietate nedorită a acestui criteriu este cea a existenţei palierului depotrivire, similar cu palierul dispersiei zgomotului din Figura 14(a), cudeosebirea că graficul funcţiei de potrivire este concav şi nu convex. În acestecondiţii, indicele structural optim trebuie ales la intrarea în palierul de potrivire.

f. Criteriul reprezentării poli-zerouri. Un alt criteriu de verificare a Principiuluiparisimoniei (dar mai mult de tip subiectiv) se bazează pe reprezentarea poli-zerouri. Mai precis, polii şi zerorurile modelului determinat sunt reprezentaţi înplanul complex, împreună cu zonele aferente de încredere. O zonă deîncredere este reprezentată ca un disc circular de rază proporţională cudeviaţia standard a polului sau zeroului, centrat în acesta. Deviaţia standard seevaluează cu ajutorul diagonalei matricii de covarianţă a erorii de estimare (veziExerciţiul 4.2). Pe harta localizării polilor şi zerourilor se poate observa relativuşor orice pol şi zerou care ar trebui eliminaţi prin simplificare, datorităamplasării lor aproxmativ în aceeaşi vecinătate. Se poate stabili chiar o distanţăminimă între un pol şi un zerou, distanţă sub care polul şi zeroul pot ficonsideraţi identici. Simplificarea polilor şi zerourilor este necesară în spiritulPrincipiului parsimoniei. Adecvanţa modelului se poate testa prin verificarea a 3proprietăţi: stabilitate (polii modelului trebuie să se situeze în interiorul disculuiunitar), suprafeţele discurilor de încredere (care trebuie să fie cît mai mici) şiapropiere de harta poli-zerouri a procesului (dacă această hartă este


44

disponibilă). Mărimea suprafeţei unui disc de încredere este totuşi informaţiaesenţială: cu cît aceasta este mai redusă, cu atît modelul este mai precis, avîndşanse mai mari de validare.

În pofida naturaleţei lor, nici unul din criteriile descrise mai sus nu este “perfect”. Deaceea, se recomandă testarea tuturor criteriilor, înainte de a decide valoarea indiceluistructural optim. Este de dorit ca el să fie indicat de majoritatea criteriilor. Dar dacăfiecare criteriu indică o altă valoare, se va recurge doar la Testul F (care este criteriuldominant) şi, eventual, la unul dintre criteriile GAIC. O inspectare a reprezentării poli-zerouri este de asemenea recomandată.

C. Criterii de validare a modelelorOdată determinat, orice model matematic trebuie validat. Validarea constă practic

în comparaţia dintre un set de date achiziţionate şi setul de date simulate cu ajutorulmodelului, ambele fiind generate prin stimularea cu acelaşi semnal de intrare. Înaceastă secţiune, vom prezenta pe scurt doar 2 dintre metodele de validarecorespunzătoare MCMMP şi MVI, în cazul în care datele achiziţionate din proces au odistribuţie Gaussiană. (Alte distribuţii atrag după sine metode de validare diferite.)Ambele metode sunt bazate pe aşa numitul Test de albire, care va fi descris încontinuare.

Validarea modelelor determinate cu ajutorul MCMMP.Principiul care stă la baza criteriului de validare este următorul: dacă modeluldeterminat este adecvat, eroarea de predicţie dintre datele simulate şi celeachiziţionate tinde să fie un zgomot alb Gausian pe măsură ce orizontul demăsură creşte (de unde şi numele de Test de albire atribuit criteriului devalidare). Proprietatea de necorelare se exprimă prin:

0]ˆ,[]ˆ,[lim =−∞→ NNN

knnE θεθε , ∗∈∀ Nk , (71)

unde ]ˆ,[ Nn θε este eroarea de predicţie cu un pas, definită în (70).

Condiţia (71) are 2 dezavantaje majore: este greu (dacă nu imposibil) deverificat în practică şi nu face referire la tipul de distribuţie a erorii de predicţie.De aceea, o formă practică a testului de albire se bazează pe proprietăţiledistribuţiei Gaussiene de medie nulă şi deschidere N/0σσ = (adaptiv, în

funcţie de dimensiunea orizontului de măsură). Parametrul 0σ este determinatde gradul de corelaţie existent între valorile variabilelor aleatoare avînd aceastădistribuţie. Orice astfel de variabilă aleatoare produce valori într-un intervaloarecare ],[ ρρ +− cu un nivel de încredere )(ρN . Nivelul de încredereexprimă de fapt probabilitatea ca variabila aleatoare să producă valori înintervalul specificat, deci este egal cu aria de sub graficul distribuţiei peste acelinterval. Zgomotului alb Gaussian îi corespund intervale şi nivele de încrederetipice asociate din Tabelul 1. Informaţia din tabel poate fi fructificată înproiectarea versiunii practice a Testului de albire. Pentru aceasta, se evalueazămai întîi un număr de valori ale secvenţei de auto-corelaţie ερ asociate eroriide predicţie:


45

Tabelul 1. Intervale şi nivele de încredere tipice pentru validarea modelelor.

],[ ρρ +−

+−NN17.2,17.2

+−NN96.1,96.1

+−NN

808.1,808.1

)(ρN 97% 95% 93%

∑+=

−−

=N

knNN

defknn

kNkr

1]ˆ,[]ˆ,[1][ θεθεε ,

∈∀

4,0 Nk (auto-covarianţă);

]0[][][

ε

εερ

rkrk

def= ,

∈∀

4,0 Nk (auto-corelaţie). (72)

Evaluarea din (72) se opreşte la aproximativ un sfert din dimensiuneaorizontului de măsură, deoarece, dincolo de acest prag, erorile de calculacumulate devin importante. (În suma de definiţie a funcţiei de auto-covarianţărămîn din ce în ce mai puţini termeni.) Pasul următor este să se contorizezenumărul de valori ale secvenţei de auto-corelaţie ερ ce aparţin fiecăruia dinintervalele de încredere ale tabelului anterior. Acestea se normalizează apoi cunumărul total de valori calculate ale ερ (adică 14/ +N ) şi se exprimă înprocente. În final, se compară procentajele obţinute cu nivelele de încredere aletabelului. Pentru un interval de încredere ales, Testul de albire este pozitiv(adică modelul este validat) dacă procentul de valori ale lui ερ din interval estecel puţin egal nivelul de încredere corespunzător. Astfel, criteriul oferă 4 nivelede validare:

Nivel 0: nici unul din cele 3 Teste de albire nu este pozitiv (model şi/saumetodă de identificare invalide).

Nivel 1: doar unul din cele 3 Teste de albire este pozitiv (model şi/sau metodăde identificare la limita de validitate).

Nivel 2: două din cele 3 Teste de albire sunt pozitive (model şi/sau metodă deidentificare valide, dar cu validitate limitată; pentru anumite tipuri deintrări, modelul s-ar putea să nu funcţioneze corect).

Nivel 3: toate cele 3 Teste de albire sunt pozitive (model şi/sau metodă deidentificare valide, cu validitate extinsă la majoritatea covîrşitoare atipurilor de intrări).

Validarea modelelor determinate cu ajutorul MVI.Spre deosebire de modelele determinate cu ajutorul MCMMP, pentru modeleleestimate prin MVI principiul de validare este următorul: dacă modeluldeterminat este adecvat, eroarea de predicţie este asimptotic necorelată cuieşirea predictată centrată (adică obţinută prin simularea modelului, după ce s-ascăzut media), avînd totodată distribuţie Gausiană. Necorelarea valorilor eroriide predicţie cu cele ale ieşirii simulate centrate înseamnă:

0][]ˆ,[lim =−∞→

knynE NNNθε , Z∈∀k , (73)


46

unde:

NTN

Tdef

N nEnny θϕθϕ ˆ][ˆ][][ −= , ∗∈∀ Nn . (74)

Condiţia (73) are aceleaşi dezavantaje ca şi condiţia (71), astfel încît Testul practic dealbire este conceput în mod similar (folosind tot Tabelul 1). Singura deosebire constăîn evaluarea corelaţiei încrucişate dintre ε şi Ny în loc de auto-corelaţia lui ε . Astfelrelaţiile (72) trebuie înlocuite cu relaţiile următoare:

∑+=

−−

=N

knNN

def

y knynkN

krN

1, ][]ˆ,[1][ θεε ,

∈∀

4,0 Nk (covarianţă încrucişată);

]0[]0[

][][ ,

,N

NN

y

ydef

y rrkr

kε

εερ = ,

∈∀

4,0 Nk (corelaţie încrucişată). (75)

Observaţie• În practica IS, se obişnuieşte ca mulţimea de date achiziţionate din proces să fie împărţită

în două seturi: unul destinat estimării parametrilor şi altul destinat validării modeluluiobţinut. Este bine să nu se utlizeze acelaşi set de date atît pentru estimare cît şi pentruvalidare, deoarece, în acest fel, se elimină posibilitatea validării unor modele care suntmult prea acordate la setul de date de identificare achiziţionate. Datele simulate trebuieînsă generate cu aceleaşi intrări cu care au fost produse datele de validare, altfel modelulriscă să fie declarat invalid, deşi el este în realitate valid.

Obiectivul acestui capitol este de a realiza o comparaţie între metodele MCMMP şiMVI, plecînd de la identificarea unor modele ARX.


EExxeerrcciiţţiiuull 44..11

Arătaţi că între criteriile FPE şi AIC există următoarea corelaţie, pentru θnN >> :

( )][ln][ θθ nFPEnAIC NN ≅ , ∗∈∀ Nθn . (76)

EExxeerrcciiţţiiuull 44..22 Fie procesul stocastic descris de următoarea ecuaţie (de tip AR[1]):

][]1[][: nvnayny =−+P , ∗∈∀ Nn , (77)

unde v este un zgomot alb de medie nulă şi dispersie 2λ . Procesul furnizeazădatele de ieşire Nnny ,1][ ==D .

a. Să se estimeze parametrii necunoscuţi (coeficienţi şi dispersie de zgomot)pentru următoarele modele, folosind MCMMP şi setul de date măsurate:


47

],[]1[][: 11111 annyany ε=−+M , ∗∈∀ Nn ; (78)

],,[]1[]1[][: 222122212 aannyanyany ε=−+−+M , ∗∈∀ Nn . (79)

În ecuaţiile (78) şi (79), ε este eroarea dintre model şi proces, cu proprietatea:][],[ nvan =ε , respectiv ][]0,,[ nvan =ε .

b. Testaţi consistenţa estimaţiilor obţinute la punctul precedent (pentru coeficienţişi dispersii de zgomot).

c. Potrivit Teoremei fundamentale a MCMMP, dispersia erorii de estimaţie acoeficienţilor necunoscuţi este dată în general de:

( )( ) 1

1

2 ][][ˆˆ−

=

∗∗

=−− ∑

N

n

TTNN nnE ϕϕλθθθθ . (80)

Folosind această proprietate, evaluaţi dispersiile erorilor de estimare aleparametrului a din cele 2 modele, notate cu ]1[2

Nσ , respectiv ]2[2Nσ . (Pentru

modelul 2M , vectorul parametrilor adevăraţi este Ta ]0[=∗θ .) Arătaţi că:

])2[(lim])1[(lim 22NNNN

NN σσ∞→∞→

≤ . (81)

Ce semnificaţie are inegalitatea (81)?

d. Notaţi estimaţiile dispersiei prin ]1[2Nλ , respectiv ]2[2

Nλ (după indicele

structural al modelului utilizat). Evaluaţi criteriile NF (63) şi FPE (64) dedeterminare a indicelui structural optim pentru fiecare din cele 2 estimaţii.Rezultă din comparaţia lor că indicele structural optim este 1opt =θn ?

Argumentaţi răspunsul.

EExxeerrcciiţţiiuull 44..33 Deduceţi expresiile estimaţiilor oferite de MVI pentru un model ARX[1,1] şi unvector al instrumentelor de tipul (58). Studiaţi consistenţa lor şi precizaţi un set decondiţii suficiente pentru verificarea acestei proprietăţi. Determinaţi condiţiilegenerale de consistenţă în cazul în care nici intrarea nici zgomotul nu suntneapărat albe.

EExxeerrcciiţţiiuull 44..44 Reluaţi exerciţiul precedent pentru un vector al instrumentelor de tipul (59), undefiltrul aplicat intrării este determinat de estimaţiile coeficienţilor evaluate cuMCMMP. Dacă, prin şansă, MCMMP ar conduce chiar la valorile adevărate aleparametrilor necunoscuţi, arătaţi că estimaţiile oferite de MVI pentru cele 2 tipuri devectori ai instrumentelor (din acest exerciţiu şi din exerciţiul precedent) suntidentice. Care credeţi că este semnificaţia acestui rezultat interesant? Cum poate fiel exploatat?


48

Indicaţie• Identitatea a 2 estimaţii oferite de MVI se poate arăta pe 2 căi. Prima cale, mai laborioasă

(şi mai puţin elegantă), presupune calculul efectiv al estimaţiilor. A doua cale, maielegantă, se bazează pe o proprietate interesantă a estimaţiei MVI: invarianţa latransformări liniare ale vectorului instrumentelor. Încercaţi să demonstraţi aceastăproprietate şi apoi găsiţi transformarea liniară dintre cei 2 vectori ai instrumentelor dincadrul exerciţiului.

44..33.. PPrroobblleemmee ddee ssiimmuullaarreeMini-simulatoarele propuse pentru a fi proiectate în cadrul acestui capitol sunt

focalizate în jurul unui model ARX[2,2]:

( ) ( ) ][][5.0][7.05.11 2121 nvnuqqnyqq ++=+− −−−− , ∗∈∀ Nn , (82)

unde v este zgomotul de proces. Acesta este obţinut prin filtrarea zgomotului alb

Gaussian e de medie nulă şi dispersie 12 =λ , cu ajutorul următorului sistem curăspuns finit la impuls (FIR sau MA):

( ) ][2.01][ 21 neqqnv −− +−= , ∗∈∀ Nn . (83)

Practic, (82) şi (83) sunt ecuaţiile procesului furnizor de date (un proces de tipARMAX). Procesul este stimulat cu un SPAB bipolar avînd valorile +1 şi –1. Intrareau este necorelată cu zgomotul alb e . Datele generate NnNn nynu ,1,1 ][][ == ∪=D

sunt înregistrate pe un orizont de măsură de dimensiune 250=N . Pentru generareaşi stocarea datelor, se recomandă scrierea unei rutine separate, numite ggeennddaattaa, alcărei apel general să fie următorul:

[[DD,,VV,,PP]] == ggeennddaattaa((AA,,BB,,CC,,nnkk,,NN,,ssiiggmmaa,,llaammbbddaa)) ;;

unde: AA este vectorul coeficienţilor polinomului A(implicit: AA==[[11 ––11..55 00..77]]);

BB este vectorul coeficienţilor polinomului B (implicit: BB==[[11 00..55]]);CC este vectorul coeficienţilor filtrului C (implicit: CC==[[11 ––11 00..22]]);nnkk este întîrzierea intrinsecă a sistemului (implicit: nnkk==11);NN este dimensiunea orizontului de măsură (implicit: NN==225500);ssiiggmmaa este deviaţia standard a intrării SPAB (implicit: ssiiggmmaa==11);llaammbbddaa este deviaţia standard a zgomotului alb Gaussian

(implicit: llaammbbddaa==11);DD este obiectul de tip IIDDDDAATTAA (vezi Problema 2.3) corespunzător

datelor generate (intrarea se regăseşte în DD..uu, iar ieşirea în DD..yy);VV este obiectul de tip IIDDDDAATTAA corespunzător zgomotelor generate

(zgomotul alb se regăseşte în VV..uu, iar zgomotul colorat (adică MA-filtrat) în VV..yy);

PP este obiectul de tip IIDDMMOODDEELL (vezi Problema 3.3) corespunzătormodelului de proces furnizor de date.


49

Pentru uşurinţa proiectării acestei rutine, se poate apela la 2 funcţii Matlabdedicate, existente în biblioteca destinată domeniului IS: iiddppoollyy şi ssiimm (descrise încontinuare)

# IIDDPPOOLLYY Apel: MMiidd == iiddppoollyy((AA,,BB,,CC,,DD,,FF,,llaammbbddaa22,,TTss)) ;; Generează un obiect de tip model de identificare (IIDDPPOOLLYY sau IIDDMMOODDEELL) MMiidd,avînd structura descrisă în cadrul Problemei 3.3. Modelul corespunde ecuaţieigenerale:

][)()(][

)()(][)( 1

1

1

11 ne

qDqCnu

qFqBnyqA −

−

−

−− += , N∈∀n , (84)

unde A , …, F sunt polinoame corespunzătoare. (Restul notaţiilor din (84)sunt cunoscute.) În consecinţă, argumentele de intrare ale funcţiei sunt:AA ...... FF polinoamele modelului (exprimate sub formă de vectori cu

coeficienţii ordonaţi după puterile crescătoare ale lui 1−q ); de notatcă, în funcţie de tipul de model adoptat, unele dintre acestepolinoame pot lipsi, lor fiindu-le atribuite valori implicite; implicit,polinomul B este nul, în timp ce restul polinomelor sunt unitare; cutoate acestea, dacă, de exemplu, se doreşte generarea unui modelde tip OE, apelul tipic al funcţiei este:

MMiidd == iiddppoollyy((11,,BB,,11,,11,,FF,,llaammbbddaa22,,TTss)) ;;

(adică toate polinoamele trebuie specificate explicit);

llaammbbddaa22 varianţa zgomotului alb, adică 2λ (implicit: llaammbbddaa22==11);TTss perioada de eşantionare (implicit: TTss==11).

# SSIIMM Apel: [[yy,,yyssttdd]] == ssiimm((MMiidd,,uuee)) ;; Rutină care simulează comportamentul unui model de identificare MMiidd pentruintrări şi zgomote specificate în uuee. Argumentul MMiidd este un obiect de tip modelde identificare (IIDDPPOOLLYY sau IIDDMMOODDEELL), returnat, de exemplu, de rutinaiiddppoollyy. Argumentul uuee este fie un obiect de tip date de identificare (IIDDDDAATTAA,descris în contextul Problemei 2.3), fie o matrice formată din blocurile [[uu ee]],unde uu este matricea/vectorul intrărilor iar ee este matricea/vectorul zgomotelor.În cazul modelelor MIMO, fiecare coloană a matricilor uu sau ee reprezintă uncanal de intrare sau ieşire, după caz. Pentru sistemele SISO, uu şi ee suntvectori. Rezultatul simulării este returnat în yy (ieşirea sistemului), care areaceeaşi natură ca şi uuee (obiect IIDDDDAATTAA sau matrice/vector). Utilizatorul areposibilitatea de a cere calcularea deviaţiei standard a ieşirilor, care va fireturnată în yyssttdd.

Observaţie• Rutina MATLAB ssiimm are 2 exprimări (permise de filozofia programării orientate obiect). În

nucleul de funcţii generale, ea are rolul de a lansa în execuţie, prin program, simulatorulSIMULINK. Aceasta este definiţa de bază. În biblioteca de funcţii de IS, ea are rolul de a


50

simula funcţionarea unui model de identificare. Aceasta este forma supra-definită. Pentrua obţine o informaţie ajutătoare mai completă referitoare la ssiimm ca funcţie de bibliotecăIS, se poate executa comanda: hheellpp iiddmmooddeell//ssiimm.

Rutina ggeennddaattaa va fi practic apelată de 2 ori: prima dată pentru generarea datelorde identificare şi a doua oară pentru generarea datelor de validare. De fiecare dată sevor utiliza aceleaşi tipuri de intrări şi zgomote (adică SPAB bipolar şi zgomot albGaussian de dispersie unitară).

Estimarea modelelor pe baza datelor astfel generate se poate efectua cu ajutorulurmătoarelor rutine din cadrul bibliotecii de IS: aarrxx (pentru MCMMP, descrisă încontextul Problemei 3.3), iivv (pentru MVI şi modele ARX-SISO) sau iivv44 (pentru MVIşi modele ARX-MIMO). În general, se recomandă utilizarea rutinei iivv44. Dacă modeluleste de tip SISO, rutina iivv poate fi însă mai rapidă. În cadrul MATLAB 6.*, rutina iivv nufuncţionează corect, fiind înlocuită de iivv44. De aceea, vom descrie pe scurt aceastărutină ultimă rutină. Numele ei provine de la faptul că estimaţia este evaluată în 4etape de calcul:

1. Se identifică modelul în mod grosier, cu ajutorul MCMMP (rutina aarrxx).2. Modelul anterior este folosit pentru a genera vectorul instrumentelor plecînd de

la intrarea specificată în cadrul datelor măsurate, prin filtrare. Cu acest vector,se estimează un nou model ARX, folosind MVI.

3. Reziduurile modelului obţinut (adică erorile de predicţie) sunt asociate unui unuimodel AR de ordin foarte mare, care este identificat folosind din nou MCMMP.

4. Datele de intrare-ieşire originale sunt filtrate folosind modelul AR anterior.Parametrii modelului sunt estimaţi în final folosind datele rezultate (filtrate) şiacelaşi tip de vector al instrumentelor ca la pasul 2.

Această strategie (fundamentată teoretic în [LjL99]) şi implementată în cadrul rutineiiivv44 conduce la estimaţii de precizie ridicată, cu condiţia ca datele de intrare iniţiale săaproximeze zgomotul alb.# IIVV44

Apel: MMiidd == iivv44((DD,,ssii)) ;; Estimează parametrii unui model ARX folosind MVI. Modelul identificat rezultat,MMiidd, este returnat ca obiect IIDDMMOODDEELL. Estimarea se efectuează pe bazadatelor DD (obiect IIDDDDAATTAA) şi a informaţiei de structură ssii == [[nnaa nnbb nnkk]], undennaa şi nnbb sunt indicii structurali ai modelului, iar nnkk este întîrzierea instrinsecă.

În cadrul mini-simulatoarelor care urmează, se vor utiliza 2 dintre criteriile dedeterminare a structurii optime: descreşterea relativă normalizată (Testul F), adică NFdefinit în (63) şi Akaike generalizat de către Rissanen, adică GAIC definit în (67), cufactorul corector adaptiv )ln( NN =α . De asemenea, se vor reprezenta grafic

criteriul aplatizării NA , criteriul potrivirii NE şi localizarea poli-zerouri.

Particularitatea cea mai importantă a evaluării criteriilor de determinare a indiceluistructural optim în cazul modelelor cu cel puţin 2 polinoame (cum este şi ARX) constăîn faptul că argumentul funcţiei criteriu este vectorial. Aceasta deoarece indicelestructural global θn se exprimă ca o sumă de indici structurali parţiali – gradelepolinoamelor. În cazul modelului ARX: nbnan +=θ . Pentru fiecare valoare a lui θn


51

există un număr (finit) de posibilităţi de alegere a gradelor na şi nb . Pentru 1>θn ,numărul de posibilităţi este superior lui 1, deci na şi nb trebuie selectaţi dintr-omatrice de valori. Dacă Na şi Nb sunt valorile maxime ale gradelor polinoamelor,numărul total de indici structurali testaţi ajunge la 1)1()1( −+⋅+ NbNa (incluzînd şivalorile nule, dar nu simultan nule ale indicilor), deci matricea poate avea de exemplu

1+Na linii şi 1+Nb coloane, cu elementul (1,1) virtual (deoarece corespundevalorilor nule ale celor 2 indici structurali na şi nb ). Indicele generic al matricii este

]1,1[ ++ nbna , cu Nana ,0∈ şi Nbnb ,0∈ .

Se recomandă proiectarea a 2 rutine de calcul pentru criteriile de determinare astructurii optimale: FF__tteesstt22 şi GGAAIICC__RR22. Argumentele de intrare ale fiecărei rutine

sunt: o matrice NbNaN

×∈Λ R cu elementul generic: ],[]1,1[ 2 nbnanbna NN λ=++Λ(folosind notaţii naturale) şi N . Practic NΛ oferă valorile criteriului aplatizării. Ele se

obţin folosind direct modelul identificat MMiidd: ←],[2 nbnaNλ MMiidd..NNooiisseeVVaarriiaannccee. (Înmod asemănător, valoarea funcţiei de pierdere se obţine din MMiidd..eess..LLoossssFFccnn.)

În acest context, exprimarea criteriului NF va fi uşor diferită de definiţia originală

(63), deşi respectînd acelaşi principiu. Vecinii imediaţi ai lui ]1,1[ ++Λ nbnaN sunt

]1,2[ ++Λ nbnaN şi ]2,1[ ++Λ nbnaN . Aceasta sugerează, potrivit definiţiei (63),

scăderea liniilor şi coloanelor adiacente ale matricii NΛ pentru evaluarea criteriului

NF . Optimul va fi selectat din 2 matrici de valori astfel obţinute, suma indicilor săitrebuind să fie minimă. Exprimarea criteriului GAIC în versiunea Rissanen se poateface însă direct cu ajutorul definiţiei (67):

( ) )(],[ˆln],[ 2 nbnaNNnbnanbnaGAIC N

def

N ++= λ , Nana ,0∈∀ , Nbnb ,0∈∀ , (85)

urmînd ca optimul să fie selectat prin căutare directă în matricea de valori rezultată(care are aceleaşi dimensiuni ca şi NΛ ). Printr-o adaptare inspirată, valoarea oricăruicriteriu GAIC se poate obţine direct folosind modelul identificat MMiidd. Astfel, ffppee((MMiidd))returnează valoarea criteriului FPE (definiţia (64)).

Funcţia de potrivire NE poate fi evaluată indirect, cu ajutorul rutinei rreessiidd dinbiblioteca de IS, descrisă mai jos.# RREESSIIDD

Apel: EE == rreessiidd((MMiidd,,DD)) ;; Rutină care evaluează reziduurile (adică erorile de predicţie ale) modelului MMiidd(obiect IIDDMMOODDEELL) plecînd de la datele DD (obiect IIDDDDAATTAA). Rezultatul, EE, este totun obiect IIDDDDAATTAA. Erorile de predicţie se regăsesc în EE..yy, în timp ce EE..uu esteidentic cu DD..uu. Dacă rutina este apelată fără argument de ieşire, graficele auto-covarianţei erorii de predicţie şi al covarianţei încrucişate dintre erorile depredicţie şi intrări sunt trasate (adică este efectuată o analiză bazată pecorelaţie).


52

Odată ce erorile de predicţie au fost estimate, se poate implementa direct definiţia(69), unde datele măsurate la ieşire se preiau din obiectul de date DD (mai precis, elesunt salvate în DD..yy).

O alternativă de evaluare a funcţiei de potrivire constă în utilizarea funcţieiccoommppaarree din biblioteca de IS.

# CCOOMMPPAARREE Apel: [[yymm,,EENN]] == ccoommppaarree((MMiidd,,DD)) ;; Rutină care efectuează o comparaţie între datele de ieşire obţinute prinsimularea modelului MMiidd (obiect de tip IIDDMMOODDEELL) şi datele de ieşire măsuratesalvate în obiectul DD (de tip IIDDDDAATTAA), adică DD..yy. Pentru comparaţie, modeluleste stimulat cu aceeaşi intrare DD..uu cu care au fost generate datele DD. Funcţiareturnează valorile ieşirii simulate yymm şi, dacă se doreşte, valoarea de potriviredintre model şi proces EENN (adică NE din definiţia (69)). Între ieşirea simulată aunui model evaluată cu ajutorul acestei funcţii şi cea evaluată cu ajutorulfuncţiei ssiimm există o uşoară deosebire: în contextul funcţiei ssiimm, condiţiileiniţiale ale ecuaţiei cu diferenţe asociate modelului sunt nule; în contextulfuncţiei ccoommppaarree, valoarea iniţială (în origine) a ieşirii este unitară. Astfel, deexemplu, ieşirea simulată a unui model AR fără zgomot este nulă pentru ssiimm şiegală cu răspunsul cauzal la impuls pentru ccoommppaarree.Dacă rutina este apelată fără argumente de ieşire, graficele ieşirii măsurate şiieşirii simulate sunt trasate, iar gradul de potrivire dintre ele este afişat.

Reprezentarea poli-zerouri (împreună cu discurile de încredere) poate fi efectuatăfolosind funcţia de bibliotecă IS numită PPZZMMAAPP.

# PPZZMMAAPP Apel: ppzzmmaapp((MMiidd,,’’SSDD’’,,aallpphhaa)) ;; Rutină de reprezentare poli-zeroruri pentru modelul MMiidd (obiect de tipIIDDMMOODDEELL). Dacă argumentele de intrare ’’SSDD’’ şi aallpphhaa sunt precizate,discurile de încredere asociate polilor şi zerourilor sunt de asemenea trasate.Razele lor sunt egale cu deviaţiile standard multiplicate de valoarea lui aallpphhaa(care trebuie să fie un număr nenegativ). Dacă aallpphhaa==00 (care este şi valoareaimplicită), trasarea discurilor de încredere este inhibată. De regulă, pentru datecu distribuţie Gaussiană, aallpphhaa==33.

În biblioteca de IS din MATLAB, este propusă şi o altă abordare de selectare aindicilor structurali optimi, care are avantajul că poate fi generalizată la orice model dinclasa generată de ecuaţia (84), dar dezavantajul că doar criteriile lui Akaike-Rissanensunt evaluate. Testul F implică o manieră de implementare relativ complicată în acestcaz. Dacă este interesat, utilizatorul poate studia grupul de funcţii: aarrxxssttrruucc,iivvssttrruucc, sseellssttrruucc şi ssttrruucc.

Pentru validarea, modelelor, se recomandă proiectarea rutinelor vvaalliidd__LLSS(MCMMP) şi vvaalliidd__IIVV (MVI). Oricare din cele 2 rutine va returna un întreg între 0 şi3 care indică gradul de validare (după cum a fost explicat în paragraful C al primeisecţiuni). Rutinele pot folosi funcţia MATLAB xxccoorrrr pentru evaluarea secvenţelor decorelaţie.

În cadrul problemelor de simulare, se va considera că 8== NbNa .


53

PPrroobblleemmaa 44..11 Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__44AA care evaluează estimaţia(parsimonioasă a) modelului ARX asociat procesului (82) & (83), folosind MCMMP.Pentru aceasta, se vor parcurge următorii paşi:a. Se generează 2 seturi de date: unul pentru identificare şi altul pentru validare,

folosind rutina ggeennddaattaa.

b. Pentru fiecare model identificat cu ajutorul MCMMP (funcţia aarrxx), modelobţinut variind indicii na şi nb , se vor afişa 2 ferestre grafice: una pentruanaliza modelului folosind datele de identificare şi de validare, alta pentrureprezentarea poli-zeroruri cu discuri de încredere corespunzătoare unei razede 3 ori mai mari decît deviaţiile standard aferente (ca în Figurile 15 şi 16).După fiecare fereastră se inserează o pauză de aşteptare pentru a permiteutilizatorului să analizeze informaţiile afişate. Fiecare sub-fereastră a primeiferestre include 3 grafice aranjate pe verticală:

ieşirile măsurate şi simulate cu ajutorul modelului, grafic pe care se indicăşi valoarea funcţiei de potrivire, NE ;

eroarea de predicţie (reziduurile modelului), grafic pe care se indică şidispersia estimată a zgomotului, 2

Nλ ; secvenţa de auto-covarianţă a erorii de predicţie, grafic pe care se indică şiindexul de validare.

Modelele obţinute vor fi memorate în vederea selectării unuia dintre ele, înurma aplicării testelor de determinare a indicilor structurali optimi şi devalidare.

c. Se reprezintă grafic (în ferestre consecutive): suprafaţa dispersiei zgomotului în decibeli ( )lg(10 2

Nλ ) şi optimul selectatfolosind Testul F (vezi Figura 17);

suprafaţa funcţiei de potrivire ( NE ) pentru datele de identificare şi optimulselectat folosind tot Testul F, dar adaptat corespunzător (vezi Figura 18);

suprafaţa funcţiei de potrivire ( NE ) pentru datele de validare şi optimulselectat folosind Testul F adaptat (vezi Figura 19);

suprafaţa criteriului GAIC în versiunea Rissanen şi optimul indicat deaceasta (vezi Figura 20).

d. Se solicită utilizatorului să aleagă indicii structurali pe care îi consideră optimi.e. Pentru modelul ales, se afişează cele 2 ferestre grafice de la b. Modelul este

returnat de către mini-simulator, în vedera unei utilizări ulterioare. Serecomandă returnarea şi a seturilor de date de identificare şi validare.

După proiectarea mini-simulatorului IISSLLAABB__44AA, se vor iniţia cîteva rulări.

Rezultă mereu aceiaşi indici structurali optimi sau ei diferă de la o rulare la alta?Justificaţi răspunsul. Observaţi simplificarea polilor şi zerourilor apropiate dindiagrama poli-zerouri, pentru indici structurali mari. Care dintre criteriile dedeterminare a structurii optime are tendinţa de a sub-parametriza modelul şi care –de a supra-parametriza modelul?


54

PPrroobblleemmaa 44..22 Problema anterioară, 4.1, se va relua pentru cazul MVI cu instrumentele (58). Mini-simulatorul rezultat va fi denumit IISSLLAABB__44BB. În acest scop, se pot utilizamajoritatea funcţiilor mini-simulatorului IISSLLAABB__44AA. Excepţie face, de exemplu,testul de validare, care trebuie schimbat (se va proiecta rutina vvaalliidd__IIVV).Comparaţi rezultatele de estimare obţinute cu perfomanţele estimaţiei evaluatefolosind MCMMP.

PPrroobblleemmaa 44..33 Generalizaţi mini-simulatoarele anterioare astfel încît utilizatorului să i se permităsă îşi aleagă metoda de identificare (MCMMP sau MVI) şi instrumentele în cazulMVI. Tipul de model identificat rămîne acelaşi: ARX. Denumiţi noul mini-simulatorprin IISSLLAABB__44CC. Testaţi mini-simulatorul cu datele de intrare ale mini-simulatoarelorprecedente. Rulaţi apoi mini-simulatorul cu opţiunile: MVI şi instrumentele (59) &(60), unde, în prealabil, trebuie produs un model estimat folosind MCMMP.Comparaţi performanţele estimaţiilor obţinute cu MVI pentru cele 2 tipuri deinstrumente: (58) şi (59)-(60). Arătaţi avantajele şi dezavantajele fiecărei strategiide estimare.


55

Figura 15. Performanţele unui model estimat cu MCMMP.

Figura 16. Reprezentarea poli-zeroruri a unui model estimat cu MCMMP.


56

Figura 17. Dispersia estimată a zgomotului. Criteriul aplatizării şi Testul F.

Figura 18. Potrivirea cu datele de identificare.


57

Figura 19. Potrivirea cu datele de validare.

Figura 20. Criteriul Akaike-Rissanen.

58


IIddeennttiiffiiccaarree ppaarraammeettrriiccăă pprriinnMMeettooddaa MMiinniimmiizzăărriiii EErroorriiii ddee PPrreeddiiccţţiiee

55..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruuModelele de tip ARX, deşi extrem de utilizate în aplicaţiile de control automat

prezintă dezavantajul că nu oferă posibilitatea reprezenta comportamentul zgomotelorperturbatoare. Pentru aceasta, cel mai frecvent se operează cu modele ARMAXgenerale sau de tip Box-Jenkins (BJ). Ecuaţia unui model ARMAX este descrisă înIntroducere (definiţia (1)), în timp ce modelul BJ constituie un caz particular al claseigenerale de modele de identificare liniare (84), în care polinomul A este unitar (filtrude intrare independent de filtrul de zgomot):

][)()(][

)()(][:BJ 1

1

1

1

neqDqCnu

qFqBny −

−

−

−

+= , N∈∀n . (86)

Două metode pot fi utilizate în principal pentru a estima parametrii modelelorARMAX sau BJ: Metoda celor Mai Mici Pătrate Extinsă (MCMMPE) şi MetodaMinimizării Erorii de Predicţie (MMEP, care include MCMMPE în faza de iniţializare).Acestea vor fi descrise succint în continuare.

A. Metoda Celor Mai Mici Pătrate ExtinsăAplicarea MCMMP pentru estimarea unui model ARMAX/BJ nu este posibilă fără o

adaptare corespunzătoare, deoarece vectorul regresorilor contine valori alezgomotului (care nu pot fi măsurate) – a se vedea definiţia (5) din Introducere.Adaptarea se bazează pe o strategie de identificare cu 2 etape: estimarea valorilorzgomotului alb folosind un model ARX şi estimarea parametrilor modeluluiARMAX/BJ. Metoda rezultată este chiar MCMMPE.

Etapa 1. Estimarea valorilor zgomotului alb.

Datele de intrare-ieşire NnNn nynu ,1,1 ][][ == ∪=D sunt utilizate pentru a

identifica un model ARX de forma:

euqByqA +≡ −− )()( 11βα , (87)

unde polinoamele αA şi βB au grade suficient de mari (pînă la cîteva zeci de

coeficienţi) şi sunt obţinute prin operaţia de împărţire infinită trunchiată:

βββ

ααα

ββ

αα

nn

nn

qqqCqBqB

qqqCqAqA

−−−

−−

−−−

−−

+++==

+++==

L

L

111

11

111

11

1)()()(

1)()()(:ARMAX

, (88)

5. Identificare parametrică prin MMEP

59

βββ

ααα

ββ

αα

nn

nn

qqqFqCqDqBqB

qqqCqDqA

−−−−

−−−

−−−

−−

+++==

+++==

L

L

1111

111

111

11

1)()()()()(

1)()()(:BJ

. (89)

Vectorul regresorilor şi vectorul parametrilor necunoscuţi sunt, în acest caz:

[ ][ ]

=

∈∀−−−−−−=

βααβ ββααθ

βαψ

nn

defT

defT Nnnnununnynyn

LL

LL

11 |

,1,][]1[|][]1[][, (90)

Pentru estimarea parametrilor necunoscuţi din datele măsurate, se poate folosifie MCMMP, fie (mai indicat) MVI. Odată obţinută, estimaţia αβθ poate fi

utilizată pentru evaluarea valorilor zgomotului alb prin simularea modelului ARXidentificat:

[ ] αβαβ θψθε ˆ][][ˆ, nnyn Tdef

−= , Nn ,1∈∀ . (91)

Etapa 2. Estimarea parametrilor modelului ARMAX/BJ.Pentru modelul ARMAX, vectorul regresorilor ][nϕ din ecuaţia (5) seînlocuieşte cu un vector în care apar valorile estimate ale zgomotului alb:

[] .,1,]ˆ,[]ˆ,1[

][]1[][]1[][

Nnncnn

nbnununanynyndef

∈∀−−

−−−−−−=

αβαβ

αβ

θεθεϕ

LL

LLL . (92)

Definiţia (91) poate fi utilizată şi pentru modelul BJ, cu modificările următoare:nfndna += ; ndnbnb +← ; nfncnc +← (datorate exprimării modelului ca

un model ARMAX, prin aducerea la acelaşi numitor). Aplicînd MCMMP pentrunoile notaţii, se obţine o estimaţie a vectorului parametrilor necunoscuţi şi adispersiei zgomotului alb:

= ∑∑

=

−

=

N

n

N

n

Tdef

N nynN

nnN 1

1

1][][1][][1ˆ

αβαβαβ ϕϕϕθ ; (93)

( )∑=

−=N

nN

Tdef

N nnyN 1

22 ˆ][][1ˆ θϕλ αβ . (94)

În cazul modelului ARMAX, ecuaţiile (93) şi (94) rezolvă complet problema deidentificare (vectorul parametrilor necunoscuţi estimaţi Nθ are 3 componente,cîte una pentru fiecare polinom al modelului, conform definiţiei (5)).

În cazul modelului BJ, parametrii estimaţi se obţin din vectorul Nθ după o seriede operaţii. Mai întîi, se determină rădăcinile polinoamenlor corespunzătoare


60

celor 3 componente ale lui Nθ , notate, de exemplu, prin: DFA , BDB şi CFC(după factorii care contribuie la formarea lor – vezi ecuaţia (86)). Rădăcinilecomune (sau apropiate) ale polinoamenor DFA , BDB sunt rădăcinile

polinomului D , restul rădăcinilor lui BDB aparţinînd polinomului B . Similar,

rădăcinile comune (sau apropiate) ale polinoamenor DFA , CFC sunt rădăcinile

polinomului F , restul rădăcinilor lui CFC aparţinînd polinomului C . Coeficienţiicelor 4 polinoame se evalueaza apoi din rădăcinile lor.

Estimaţia oferită de MCMMPE are totuşi o precizie limitată, datorită mai multorsurse de eroare, principalele fiind aproximarea modelului cu un model ARX în primaetapă şi utilizarea valorilor estimate ale zgomotului în etapa a doua.

B. Metoda Minimizării Erorii de PredicţieErorile dintre model şi proces (notate prin Nnn ,1],[ ∈θε pentru fiecare vector al

parametrilor θ ) constituie totodată şi erori de predicţie (cu un pas) a ieşirii procesuluistocastic. Estimarea parametrilor se poate realiza atunci prin minimizarea următoruluicriteriu pătratic exprimat cu ajutorul erorilor de predicţie pe orizontul de măsură:

∑=

=N

n

def

N nN 1

2 ],[1)( θεθV , S∈∀θ , (95)

unde S este domeniul de stabilitate al modelului. Datorită acestui fapt, metoda deidentificare se numeşte MMEP şi estimaţia parametrilor oferită de ea rezultă prinrezolvarea unei probleme de optimizare:

)(minargˆ θθθ

NN VS∈

= . (96)

Pentru a rezolva problema (96), se foloseşte o metodă mai generală de optimizarecu criterii pătratice: Metoda Gauss-Newton (MGN). Potrivit acestei metode, optimuleste evaluat în mod recursiv cu precizie din ce în ce mai mare, după următoarearelaţie:

][][][ˆ]1[ˆ 1 krkRkk NNNN−−=+ θθ , 0≥∀k , (97)

unde:

[ ] [ ]( )[ ] [ ]

∇=

∇∇=

∑

∑

=

=N

nNN

def

N

N

n

TNN

def

N

knknN

kr

knknN

kR

1

1

][ˆ,][ˆ,1][

][ˆ,][ˆ,1][

θεθε

θεθε

θ

θθ

, 0≥∀k . (98)

Calculul efectiv al corecţiei kNkN rR ,1,

− din ecuaţia (97) necesită evaluarea erorii curente

de predicţie ]ˆ,[ ,kNn θε şi a gradientului acesteia ]ˆ,[ ,kNn θεθ∇ pentru fiecare moment

Nn ,1∈ . Ambele se calculează iterativ, folosind ecuaţiile modelului matematic ales.


61

a. Modelul ARMAX:

[ ]

[ ] [ ] ,0,][ˆ,ˆ][ˆ,1ˆ][ˆ]1[ˆ

][ˆ]1[ˆ][][ˆ,

,,1

,,1

,,1

≥∀−−−−−

−−−−−−

−−++−+=

kkncnckncnbnubnub

nanyanyanykn

NkncNk

knbk

knakN

θεθε

θε

L

L

L

(99)

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

≥∀−=∇

−∇−−−∇−

−−=∇

−∇−−−∇−

−−=∇

,0][ˆ,][ˆ,

][ˆ,ˆ][ˆ,1ˆ

][][ˆ,

][ˆ,ˆ][ˆ,1ˆ

][][ˆ,

,,1

,,1

kknkn

kncncknc

nkn

kncncknc

nkn

NN

NkncNk

uN

NkncNk

yN

c

bb

b

aa

a

θϕθεθεθε

ϕθεθεθε

ϕθε

εθ

θθ

θ

θθ

θ

L

L

(100)

unde:

=

=

=

=

=

ncll

nbjj

naii

c

b

adef

cba

,1

,1

,1

][][][

θθθ

θ şi

−−

−−=

=

=

=

=

ncl

nbj

nai

u

ydef

njnuiny

nnn

n

,1

,1

,1

]],1[[]][[]][[

][][][

],[θεϕ

ϕϕ

θϕ

ε

. (101)

Ecuaţiile (90) şi (100) se iniţializează de regulă cu valori nule.

b. Modelul BJ:

În acest caz, vectorul kN ,θ are aceleaşi 3 componente ca în definiţia lui θ din(101). Ca urmare, mai întîi se evaluează coeficienţii polinoamelor

kkkDF FDA ˆˆˆ, ≡ (de grad nfnd + ), kkkBD DBB ˆˆˆ

, ≡ (de grad ndnb + ) şi

kkkCF FCC ˆˆˆ, ≡ (de grad nfnc + ). Se folosesc apoi ecuaţiile iterative (90) şi

(100) pentru polinoamele anterioare (ecuaţii iniţializate de regulă cu valorinule). După aplicarea corecţiei, parametrii lui ]1[ˆ +kNθ sunt folosiţi pentru aproduce valorile curente ale parametrilor modelului ca în Etapa 2 a MCMMPE(adică prin identificarea zerourilor comune). Se observă că, de fapt, modelul BJse poate determina ca şi modelul ARMAX în cursul iteraţiilor (adică folosinddoar 3 polinoame în loc de 4), urmînd ca toate cele 4 polinoame să fieexplicitate doar în final prin tehnica identificării zerourilor comune.

În mod evident, odată ce estimaţia ][ˆ kNθ a fost obţinută, dispersia estimată azgomotului alb este:

[ ]( ) [ ] ( )][ˆ][ˆ,1][ˆ][ˆ,][1][ˆ1

2

1

22 kknN

kknnyN

k NN

N

nN

N

nNN

Tdef

N θθεθθϕλ V==−= ∑∑==

. (102)

Testul de stop al iteraţiilor (97) este unul din următoarele:


62

ηθθ <−+ ][ˆ]1[ˆ kk NN sau ηθθθ

<−+∈

][ˆ]1[ˆmax ,,,1

kk iNiNni

sau ( ) ( ) ηλλθθ <−+=−+ ][ˆ]1[ˆ][ˆ]1[ˆ 22 kkkk NNNNNN VV

sau max1 Kk ≤+ , (103)

unde 0>η (numit şi toleranţă) controlează precizia modelului, θn este lungimea

vectorului θ , indicele i denotă componenta i a vectorului, iar maxK este numărulmaxim de iteraţii impus (iniţial, 0=k ). Dacă inegalitatea aleasă din (103) este

verificată, ]1[ˆ +kNθ este considerată estimaţia “optimă” Nθ .Iniţializarea calculului iterativ (97) se poate efectua plecînd de la un model

determinat cu ajutorul MCMMPE, eventual mai puţin precis.Se poate arăta că dacă modelul ales este parsimonios (adică polinoamele sunt

coprime între ele – nu se mai poate simplifica nici o rădăcină comună) şi intrarea ueste un semnal persistent suficient de mare (cel puţin egal cu numărul parametrilornecunoscuţi), atunci estimaţia oferită de MMEP este consistentă.

Obiectivul acestui capitol este de a studia comparativ performanţele MCMMPE şiMMEP folosind modele ARMAX şi BJ de mai jos:

( ) ( ) ( ) ][

)(

2.01][

)(

5.0][

)(

7.05.111

21

1

21

1

21 ne

qC

qqnu

qB

qqny

qA

qq 44 344 214434421444 3444 21−

−−

−

−−

−

−− +−++=+− , ∗∈∀ Nn ;(104)

][

)(/)(7.05.11

2.01][

)(/)(7.05.11

5.0][

11

21

21

11

21

21

ne

qDqCqqqqnu

qFqBqq

qqny444 3444 21444 3444 21

−−

−−

−−

−−

−−

−−

+++−+

+−+= , ∗∈∀ Nn . (105)



Exprimaţi primele 4 iteraţii ( 4,1∈n ) şi ultima iteraţie ( θnNn >>= ) în evaluareaerorii de predicţie pentru un model ARMAX în general. Particularizare în cazulmodelelor ARMAX (104) şi BJ (105).


Exprimaţi primele 4 iteraţii ( 4,1∈n ) şi ultima iteraţie ( θnNn >>= ) în evaluareagradientului erorii de predicţie pentru un model ARMAX în general. Particularizareîn cazul modelelor ARMAX (104) şi BJ (105).

EExxeerrcciiţţiiuull 55..33 Descrieţi algoritmul implicat de MCMMPE în cazul unui model ARMA.


63

EExxeerrcciiţţiiuull 55..44 Descrieţi algoritmul implicat de MMEP în cazul unui model ARMA.

55..33.. PPrroobblleemmee ddee ssiimmuullaarreePentru problemele de simulare care urmează, se va urmări strategia adoptată în

cadrul simulărilor efectuate în capitolul precedent. Modelele de bază ale proceselorfurnizoare de date sunt (104) şi (105). Se recomandă proiectarea unei rutine degenerare a datelor mai generală decît ggeennddaattaa din cadrul capitolului precedent. Dacăse denumeşte această rutină prin ggeenn__ddaattaa, apelul tipic al acesteia ar trebui să fieurmătorul:

[[DD,,VV,,PP]] == ggeenn__ddaattaa((DDPP,,NN,,ssiiggmmaa,,llaammbbddaa,,bbiinn)) ;;

unde: DDPP este obiectul de tip IIDDMMOODDEELL (vezi Problema 3.3) corespunzătormodelului de proces furnizor de date; obiectul poate fi construit deexemplu cu ajutorul funcţiei iiddppoollyy, care a fost descrisă în secţiunea4.3; implicit, acest model este identic cu cel din definiţia (104)(ARMAX);

NN este dimensiunea orizontului de măsură (implicit: NN==225500);ssiiggmmaa este deviaţia standard a intrării SPAB (implicit: ssiiggmmaa==11);llaammbbddaa este deviaţia standard a zgomotului alb Gaussian

(implicit: llaammbbddaa==11);bbiinn este un parametru care arată tipul de intrări dorit: bbiinn==00 (intrare

SPAB Gaussiană); bbiinn~~==00 (implicit, intrare SPAB Gaussianăbipolară);

DD este obiectul de tip IIDDDDAATTAA (vezi Problema 2.3) corespunzătordatelor generate (intrarea se regăseşte în DD..uu, iar ieşirea în DD..yy);

VV este obiectul de tip IIDDDDAATTAA corespunzător zgomotelor generate(zgomotul alb se regăseşte în VV..uu, iar zgomotul colorat (adică MA-filtrat) în VV..yy).

PP este obiectul de tip IIDDMMOODDEELL corespunzător modelului de procesfurnizor de date.

Biblioteca de rutine dedicate IS conţine 2 rutine referitoare la ansamblul de metodeMCMMPE-MMEP, după modelul de identificare ales: aarrmmaaxx (pentru modele ARMAX)şi bbjj (pentru modele BJ).# AARRMMAAXX

Apel: MMiidd == aarrmmaaxx((DD,,ssii)) ;; Estimează parametrii unui model ARMAX folosind MMEP. Modelul identificatrezultat, MMiidd, este returnat ca obiect IIDDMMOODDEELL. Estimarea se efectuează pebaza datelor DD (obiect IIDDDDAATTAA) şi a informaţiei de structurăssii == [[nnaa nnbb nncc nnkk]], unde nnaa, nnbb şi nncc sunt indicii structurali ai modelului, iarnnkk este întîrzierea instrinsecă. Cu ajutorul acestei rutine se pot identifica atîtmodele AR cît şi modele ARMA unidimensionale (însă nu şi multi-dimensionale). Apelul rutinei este uşor diferit în acest caz:

• pentru modele AR: MMiidd == aarrmmaaxx((DD..yy,,nnaa)) ;;• pentru modele ARMA: MMiidd == aarrmmaaxx((DD..yy,,[[nnaa nncc]])) ;;


64

Observaţi că datele de identificare sunt specificate acum doar sub forma uneiserii de timp (DD..yy). Pentru identificarea modelelor AR, rutina apelează intern ofuncţie specializată numită aarr, care este diponibilă şi utilizatorului (cu apelsimilar lui aarrmmaaxx).O altă modalitate de a identifica modele AR şi ARMA este de a folosi obiectul DDîmpreună cu o informaţie de structură de forma: ssii == [[nnaa 00 00 00]] (AR) saussii == [[nnaa 00 nncc 00]] (ARMA). Rutina nu funcţionează însă decît dacă nnaa>>11 (nu şipentru nnaa==11). De aceea, se recomandă utilizarea rutinei cu argument serie detimp, pentru aceste modele.

# BBJJ Apel: MMiidd == bbjj((DD,,ssii)) ;; Estimează parametrii unui model BJ folosind MMEP. Modelul identificatrezultat, MMiidd, este returnat ca obiect IIDDMMOODDEELL. Estimarea se efectuează pebaza datelor DD (obiect IIDDDDAATTAA) şi a informaţiei de structurăssii == [[nnaa nnbb nncc nndd nnff nnkk]], unde nnaa, nnbb, nncc, nndd şi nnff sunt indicii structurali aimodelului, iar nnkk este întîrzierea instrinsecă. În principiu, algoritmulimplementat în cadrul acestei rutine este similar cu cel al rutinei aarrmmaaxx, cuadaptările de rigoare impuse de utilizarea modelului BJ.

Metoda implementată în cadrul acestor rutine este MMEP (dar cu iniţializare oferităde MCMMPE). Ambele rutine permit şi o serie de specificaţii mai tehnice privindperformanţele dorite ale algoritmilor implementaţi, cum ar fi: setarea toleranţei deprecizie, specificarea unui număr maxim de iteraţii, precizarea unei direcţiipreferenţiale de căutare a optimului, etc.

Alegerea structurii în cazul metodelor MCMMPE-MMEP ridică, în general,probleme de complexitate. În cadrul simulatoarelor, se vor utiliza criteriul aplatizării,Testul F, funcţia de potrivire şi criteriul GAIC-Rissanen, ca în cazul simulărilor dinCpitolul 4. Testul F depinde acum de cel puţin 3 indici structurali, astfel că evaluareasa ar trebui efectuată în acelaşi ciclu în care a fost determinat modelul curent.

Validarea modelelor se bazează pe aceleaşi criterii descrise în secţiunea 4.1(paragraful C). Indicii structurali maximi sunt: 5=== NcNbNa .

PPrroobblleemmaa 55..11 Biblioteca MATLAB dedicată domeniului IS nu dispune de funcţii explicite careimplementează MCMMPE. Să se proiecteze două astfel de funcţii: aarrmmaaxx__eepentru identificarea modelelor ARMAX şi bbjj__ee pentru identificarea modelelor BJ.Apelul tipic al lor ar trebui să fie similar altor funcţii cu obiectiv asemănător(estimarea parametrilor unui model cu structură dată; vezi de exemplu funcţiileaarrmmaaxx şi bbjj):

MMiidd == aarrmmaaxx__ee((DD,,ssii)) ;;

MMiidd == bbjj__ee((DD,,ssii)) ;;

Informaţia de structură are forma: ssii == [[nnaa nnbb nncc nnkk]] pentru modelul ARMAX şissii == [[nnaa nnbb nncc nndd nnff nnkk]] pentru modelul BJ. Încercaţi să folosiţi funcţiaaarrmmaaxx__ee în cadrul funcţiei bbjj__ee. Testaţi cele 2 rutine în cazul modelelor (104) şi(105) pentru cîteva seturi de indici structurali (inclusiv cei adevăraţi). Comentaţiprecizia de estimare a parametrilor.


65

PPrroobblleemmaa 55..22 Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__55AA care evaluează estimaţia(parsimonioasă a) modelului ARMAX asociat procesului (104), folosind MMEP.Pentru aceasta, se vor parcurge următorii paşi:a. Se generează 2 seturi de date: unul pentru identificare şi altul pentru validare,

folosind rutina ggeenn__ddaattaa.

b. Pentru fiecare model identificat cu ajutorul MMEP (funcţia aarrmmaaxx), modelobţinut variind indicii na , nb şi nc , se vor afişa 3 ferestre grafice: una pentruanaliza modelului folosind datele de identificare şi de validare şi alte douăpentru reprezentările poli-zeroruri (filtru sistem şi filtru zgomot) cu discuri deîncredere corespunzătoare unei raze de 3 ori mai mari decît deviaţiile standardaferente (ca în Figurile 21 şi 22). După fiecare fereastră se inserează o pauzăde aşteptare pentru a permite utilizatorului să analizeze informaţiile afişate.Fiecare sub-fereastră a primei ferestre include 3 grafice aranjate pe verticală:

ieşirile măsurate şi simulate cu ajutorul modelului, grafic pe care se indicăşi valoarea funcţiei de potrivire, NE ;

eroarea de predicţie (reziduurile modelului), grafic pe care se indică şidispersia estimată a zgomotului, 2

Nλ ; secvenţa de auto-covarianţă a erorii de predicţie, grafic pe care se indică şiindexul de validare.

Modelele obţinute vor fi memorate în vederea selectării unuia dintre ele, înurma aplicării testelor de determinare a indicilor structurali optimi şi devalidare.

c. Se afişează indicii structurali optimi selectaţi folosind: Testul F aplicat dispersiei estimate a zgomotului (adică erorii de predicţie); Testul F aplicat funcţiei de potrivire pentru datele de identificare; Testul F aplicat funcţiei de potrivire pentru datele de validare; criteriului GAIC în versiunea Rissanen.

d. Se solicită utilizatorului să aleagă indicii structurali pe care îi consideră optimi.e. Pentru modelul ales, se afişează cele 3 ferestre grafice de la b. Modelul este

returnat de către mini-simulator, în vedera unei utilizări ulterioare. Serecomandă returnarea şi a seturilor de date de identificare şi validare.

După proiectarea mini-simulatorului IISSLLAABB__55AA, se vor iniţia cîteva rulări.

Sunt indicii structurali adevăraţi indicaţi de către majoritatea criteriilor utilizate sauei diferă de la o rulare la alta? Justificaţi răspunsul.

PPrroobblleemmaa 55..33 Problema anterioară, 5.3, se va relua pentru modelul BJ (105). Mini-simulatorulrezultat va fi denumit IISSLLAABB__55BB. Testaţi mini-simulatorul şi comentaţi rezultatelede estimare obţinute.


66

Figura 21. Performanţele unui model estimat cu MMEP.

Figura 22. Reprezentarea poli-zeroruri a unui model estimat cu MMEP.

67


IIddeennttiiffiiccaarree rreeccuurrssiivvăă

66..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruuA. Algoritmi recursivi de identificare

Ipoteza parametrilor constanţi ai unui model (menţinuţi la aceleaşi valori peîntreaga durată a experimentului de identificare) se dovedeşte nerealistă în multecazuri de procese concrete analizate. Modelele intrare-ieşire ale unui mare număr deprocese ar trebui să evolueze la rîndul lor în timp. În multe situaţii, este necesarăestimarea şi reactualizarea parametrilor unui model simultan cu achiziţia de date.Modelul poate fi apoi utilizat pentru luarea unor decizii în timp real, ca în cazulaplicaţiilor de de control adaptiv, filtrare adaptivă, detecţie de defecte sau predicţieadaptivă. De aceea, terminologia IS a fost îmbogăţită cu noi concepte ca: identificarerecursivă, estimare adaptivă de parametri, estimare secvenţială sau algoritm deidentificare on-line. Aceste concepte sunt pe larg descrise în [LjL99] şi [SoSt89].

Identificarea recursivă a parametrilor trebuie să ia în considerare variaţia lor întimp, pentru a asigura nu numai precizia modelului, ci şi capacitatea de urmărire aacestor variaţii. Cele 2 proprietăţi sunt de fapt contradictorii: o precizie excesivăimplică rigiditate în urmărirea parametrilor, în timp ce o flexibilitate prea mare înurmărirea parametrilor atrage după sine imprecizia de estimare a lor. În general,compromisul dintre aceste două proprietăţi este controlat prin mărimea perioadei dereactualizare, pe a cărui durată parametrii sunt presupuşi constanţi. În contextuldescris mai jos, reactualizarea parametrilor se efectuează după fiecare perioadă deeşantionare, pentru a favoriza capacitatea de urmărire. De notat totuşi că preciziamodelului poate fi mai mult decît satisfăcătoare chiar şi în acest caz, dacă esteutilizată o metodă de identificare adecvată modelului. De exemplu, MCMMP învariantă recursivă (MCMMP-R) va fi mai puţin precisă decît MVI în variantă recursivă(MVI-R) în cazul modelului ARX.

Revenim la modelul ARMAX (1), care poate fi exprimat echivalent sub formă deecuaţie de regresie liniară (4). Metodele recursive pleacă de fapt de la ecuaţia (4) şipot fi utilizate pentru orice model care poate fi exprimat echivalent în acest mod.Pentru estimarea şi reactualizarea parametrilor la fiecare pas de eşantionare, sepoate folosi orice variantă a algoritmului descris în Figura 23. Semnalul instrumentalspecificat în datele de intrare permite utilizatorului să particularizeze algoritmul într-oprocedură de tip MVI-R. În afara procedurilor MCMMP-R şi MVI-R, utilizatorul poatede asemenea să particularizeze acest algoritm într-o procedură sugerată de MMEP învariantă recursivă (MMEP-R).

O versiune a MMEP-R este de asemenea utlizată în aplicaţii: Metoda de RegresiePseudo-Liniară Recursivă (MRPL-R). Aşa cum am amintit în capitolul precedent,MMEP apelează la Metoda Gauss-Newton pentru reactualizarea recursivă aparametrilor estimaţi. Aceasta se bazează pe o anumită manieră de aproximare (fieprin liniarizara reziduurilor (adică a erorii de predicţie), fie prin aproximarea matriciiHessian corespunzătoare erorii de predicţie).


Figura 23. Algoritmul recursiv de bază în IS.

MNewutili

ETeo

unddim

1

2

3

4

Date de intrare:a. ordinele modelului de identificare: na , nb , nc , nd şi nf ;b. o colecţie redusă de date intrare-ieşire măsurate (dacă este posibil):

000 ,1,1 ][][ NnNnN nynu ∈∈ ∪=D (cu 0N de ordinul zecilor cel mult);

c. un semnal instrumental extern: Nnnf ,1][ ∈ (eventual).

. Centrarea datelor pe medie: yyy −← , uuu −← (şi fff −← , dacă afost specificat).

. Dacă nu a fost specificat nici un semnal instrumental, vectorul variabilelorinstrumentale, z , este identic cu vectorul regresorilor ϕ . Altfel, z este definitca în (58) sau (59)-(60), dar folosind în general semnalul instrumental externf în locul intrării u (în particular, este posibil ca uf ≡ ).

. Iniţializare. Fie se setează arbitrar vectorul parametrilor 0θ şi matricea

θα nIP =0 (cu ∗+∈Rα ) (în cazul în care nu se dispune de setul de date redus

0ND ), fie se estimează valoarea iniţială a parametrilor ( 0θ ) folosind o metodăoff-line adecvată modelului particular utilizat (din clasa MCMMP-MVI) şi seegalează matricea 0P cu inversa matricii de covarianţă 0R folosită în calculul

lui 0θ (în cazul în care setul de date redus 0ND este disponibil).

. Pentru 1≥k :4.1. Se evaluează eroarea de predicţie curentă: 1

ˆ][][][ −−= kT kkyk θϕε .

4.2. Se evaluează vectorul auxiliar: ][1 kzPkk −=ξ .

4.3. Se evaluează cîştigul de senzitivitate: k

Tk

k k ξϕξγ

][1+= .

4.4. Se reactualizează inversa matricii kR , adică: 11 ][ −− −= kT

kkk PkPP ϕγ(cu evitarea inversării explicite a matricilor).

4.5. Se reactualizează vectorul parametrilor: ][ˆˆ1 kkkk εγθθ += − .

Date de ieşire: parametrii modelului ( kθ ) la fiecare pas de reactualizare 0≥k .

68

etoda Gauss-Newton este înrudită cu familia de metode de optimizare de tipton-Raphson (din care fac parte şi metodele de gradient). În cazul MRPL-R, este

zată o metodă de optimizare din această clasă [LjL99], [SoSt89].vitarea inversării matricii kR a fost posibilă graţie unei leme de inversiune din

ria Matricilor:

bAcbAcA

AbcA T

TT

1

1111

1)( −

−−−−

+−=+ , (106)

e A este o matrice inversabilă, iar b şi c sunt vectori de lungimi corespunzătoareensiunii matricii A .

6. Identificare recursivă

69

O variantă generalizată a algoritmului de identificare recursiv anterior este obţinutăprin aplicarea principiului ponderării datelor. În general, pentru a reactualiza parametriiestimaţi, nu este indicat să se ţină cont în egală măsură de toată istoria evoluţieiprocesului pînă la momentul curent, deoarece datele de intrare-ieşire foarte vechireprezintă comportamente neactuale, eventual eronate pentru momentul curent. Deacea, erorile de predicţie sunt ponderate cu ajutorul unei ferestre care aplică penalităţidatelor situate în trecut. Fereastra este de regulă dreptunghiulară (cu lungime maimică decît orizontul de măsură) sau exponenţială. Fie kw fereastra aplicată lamomentul curent al achiziţiei de date 1≥k . Atunci criteriul de optimizare din ecuaţiile(21) devine:

( )∑=

−=k

nk

def

k nnynw1

2][][][)( θϕθV , S∈∀θ , (107)

unde S este domeniul de stabilitate al modelului. Procedura rezultată prinminimizarea criteriului (107) depinde intim de tipul de fereastră utilizat. Vom descriecei 2 algoritmi rezultaţi prin utilizarea ferestrelor dreptunghiulară şi exponenţială.

Fereastra dreptunghiularăFereastra dreptunghiulară are lungimea M , cu NM < (unde N estelungimea orizontului de măsură). Considerăm, că momentul curent al achiziţieide date este k . Pentru simplitate şi eficacitate, algoritmul recursiv descris maijos poate fi rulat începînd cu 1+= Mk . Cît timp Mk < , se efectuează doarachiziţia datelor, fără estimarea parametrilor. Cînd Mk = , un algoritm deidentificare de tip off-line este utilizat pentru estimarea parametrilor iniţiali.

Fereastra, renotată prin kMw , , aplică o penalizare dură vechilor date prin

uitarea totală a lor. Mai exact, erorile de predicţie evaluate pentru momente detimp inferioare lui 1+−Mk sunt complet înlăturate şi nu mai participă lareactualizarea parametrilor curenţi. Numai datele achiziţionate între momentele

1+−Mk şi k sunt considerate (multiplicate de ponderi unitare). Vectorii ϕ şiz din cadrul algoritmului de bază din Figura 23 îşi păstrează totuşi definiţiileoriginale, independent de tipul de fereastră considerat. Fereastradreptunghiulară afectează matricea 1−

kP , exprimată recursiv astfel:

][][][][][][ 11

1

1 kkzMkMkzPnnzP TTk

k

Mkn

Tdef

k ϕϕϕ +−−−== −−

+−=

− ∑ . (108)

Pentru a inversa matricea (108), lema de inversiune (106) trebuie aplicată de 2ori succesiv. În consecinţă, se obţine algoritmul descris în Figura 24.Spre deosebire de algoritmul de bază din Figura 23, în acest caz, fereastradreptunghiulară necesită calcularea a 2 erori de predicţie, cîte una pentrufiecare latură a ferestrei. Complexitatea acestui algoritm este mai ridicată decîtîn cazul precedent, dar atît precizia cît şi capacitatea de urmărire suntîmbunătăţite.


Figura 24. Algoritmul recursiv cu fereastră dreptunghiulară.

1

2

3

4

Date de intrare:a. ordinele modelului de identificare: na , nb , nc , nd şi nf ;b. lungimea ferestrei dreptunghiulare: M ;c. o colecţie redusă de date intrare-ieşire măsurate:

MnMnM nynu ,1,1 ][][ ∈∈ ∪=D ;

d. un semnal instrumental extern: Nnnf ,1][ ∈ (eventual).



. Iniţializare. Se estimează valoarea iniţială a parametrilor ( 0θ ) folosind ometodă off-line adecvată modelului particular utilizat (din clasa MCMMP-MVI,cu datele MD ) şi se egalează matricea 0P cu inversa matricii de covarianţă 0Rfolosită în calculul lui 0θ .

. Pentru 1≥k :4.1. Se evaluează eroarea de predicţie la dreapta: 1

ˆ][][][ −−= kT

d kkyk θϕε .4.2. Se evaluează eroarea de predicţie la stînga:

1ˆ][][][ −−−−=− k

Ts MkMkyMk θϕε .

4.3. Se reactualizează matricea kP în 2 paşi:

• ][1 kzPkk −=ξ şi k

Tk

Tk

kk kPkPPξϕ

ϕξ][1

][ 111 +

−← −−− ;

• ][1 MkzPkk −= −ξ şi k

Tk

Tk

kk MkPMkPPξϕ

ϕξ][1

][ 11 −−

−+= −− .

4.4. Se reactualizează vectorul parametrilor:( )][][][][ˆˆ

1 MkMkzkkzP sdkkk −−−+= − εεθθ .


70

Fereastra exponenţialăÎnlăturarea bruscă a erorilor de predicţie produse de datele mai vechi poateprovoca erori marginale, în special în cazul proceselor cu dinamică rapidă şibogat conţinut în frecvenţe. Pentru astfel de sisteme (şi nu numai), anihilareacontribuţiei datelor mai vechi poate fi realizată prin intermediul unei ferestreexponenţiale, care aplică o penalizare treptată. Variaţia exponenţială estesimulată cu ajutorul unui parametru controlabil notatat cu ]1,0(∈λ şi denumit


71

factor de uitare. La momentul curent de achiziţie a datelor 1≥k , fereastraexponenţială are următoarea exprimare:

nkdef

k nw −= λ][ , kn ,1∈∀ . (109)

Potrivit definiţiei (109), criteriul pătratic (107) devine:

( )∑=

− −=k

n

nkdef

k nny1

2][][)( θϕλθV , S∈∀θ . (110)

Aceasta implică următoarea relaţie recursivă verificată de matricea 1−kP :

][][][][ 11

1

1 kkzPnnzP Tk

k

n

Tnkdef

k ϕλϕλ +== −−

=

−− ∑ . (111)

Lema de inversiune (106) poate fi acum aplicată direct asupra relaţiei (111). Înconsecinţă, algoritmul recursiv corespunzător ferestrei exponenţiale este celdescris în Figura 25.Evident, în acest caz, utilizatorul are posibilitatea de a controla mai fin procesulde penalizare a datelor învechite, prin stabilirea factorului de uitare dorit (deregulă între 0.95 şi 0.995). Factorii de uitare de valori din ce în ce mai miciconduc la o atenuare din ce în ce mai severă a erorilor produse de datelevechi. Se poate observa cu uşurinţă diferenţele dintre paşii 4.3, respectiv 4.4 aialgoritmilor din Figurile 23 şi 25. Dacă factorul de uitare este stabilit la valoareaunitară, se obţine chiar algoritmul de bază din Figura 23.O altă semnificaţie practică a factorului de uitare este dată de următoareainterpretare: măsurători mai vechi de )1/( λλλ −=T faţă de momentul curentsunt incluse în criteriul pătratic cu o pondere de aproximativ 36% din pondereamăsurătorilor celor mai recente ( λT se numeşte constantă de timp a memorieidatelor sau orizont de memorare a datelor).

Majoritatea algoritmilor de tip off-line pot fi transformaţi (exact sau aproximativ) înalgoritmi de tip on-line sau recursiv, de o manieră directă. Scopul principal al uneiastfel de operaţii este de oferi capacitatea de urmărie în timp a caracteristicilor unorprocese variabile şi sau neliniare. Modelarea neliniarităţilor unui proces prin aceastătehnică este posibilă în cazul în care clasa de modele (de exemplu, ARMAX) nu estepărăsită în cursul funcţionării. În caz contrar, este mai indicată o abordare orientată peneliniarităţi sau de tip multi-model (cu baleierea mai multor clase de modele).

Transformarea algoritmilor off-line în algoritmi on-line se realizează de regulă prin 2tehnici: modificarea agoritmului de bază (de exemplu, ca în definiţia (107)) sautrecerea la o abordare pe stare cu predicţia stărilor prin filtrare Kalman.

În afara utilizării ferestrelor, algoritmul de bază din Figura 23 mai poate fi modificatîn sensul utilizării metodelor de gradient (de tip Newton-Raphson) pentrureactualizarea vectorului parametrilor necunoscuţi. Există 2 abordări practice: cugradient ne-normalizat şi cu gradient normalizat. În ambele cazuri, matricea kP esteforţată să fie proporţională cu matricea unitară.


Figura 25. Algoritmul recursiv cu fereastră exponenţială.

Î

matalgoproppropde aa co

1

2

3

4

Date de intrare:a. ordinele modelului de identificare: na , nb , nc , nd şi nf ;b. factorul de uitare: ]1,0[∈λ (de regulă, ]995.0,95.0[∈λ );c. o colecţie redusă de date intrare-ieşire măsurate (dacă este posibil):

000 ,1,1 ][][ NnNnN nynu ∈∈ ∪=D (cu 0N de ordinul zecilor, cel mult);








. Pentru 1≥k :4.1. Se evaluează eroarea de predicţie: 1


4.2. Se vectorul auxiliar: ][1 kzPkk −=ξ .


Tk

k k ξϕλξγ

][+= .

4.4. Se reactualizează inversa matricii kR , adică: ( )11 ][1−− −= k

Tkkk PkPP ϕγ

λ(cu evitarea inversării explicite a matricilor).



72

n cazul algoritmului cu gradient ne-normalizat, matricea kP este proporţională cu

ricea unitară printr-o constantă ∗+∈Rγ , numită cîştig de gradient. În cazul

ritmului cu gradient normalizat, cîştigul γ este împărţit la fiecare pas cu un factororţional cu norma vectorului regresorilor. În al doilea caz, factorul deorţionalitate variază în funcţie de momentul curent de reactualizare. Ambele tipurilgoritmi sunt descrise în Figura 26. Mai multe detalii legate de raţionamentul carendus la aceştia se pot găsi în [LjL99].


Figura 26. Algoritmi recursivi de tip gradient.

Ssunbaz

Î

pleareguregu

und

cov

1

2

3

4

Date de intrare:a. ordinele modelului de identificare: na , nb , nc , nd şi nf ;

b. cîştigul de gradient: ∗+∈Rγ ;

c. o colecţie redusă de date intrare-ieşire măsurate (dacă este posibil):





. Iniţializare. Fie se setează arbitrar vectorul parametrilor 0θ (în cazul în care nuse dispune de setul de date redus

0ND ), fie se estimează valoarea iniţială a

parametrilor ( 0θ ) folosind o metodă off-line adecvată modelului particularutilizat (din clasa MCMMP-MVI) (în cazul în care setul de date redus

0ND este

disponibil). Se setează θγ nIP =0 .. Pentru 1≥k :

4.1. Se evaluează eroarea de predicţie: 1ˆ][][][ −−= k

T kkyk θϕε .4.2. Se reactualizează matricea kP astfel: 0PPk = (gradient ne-normalizat) sau

20 ][/ kPPk ϕ= (gradient normalizat).

4.3. Se reactualizează vectorul parametrilor: ][][ˆˆ1 kkPkkk εϕθθ −= − .


73

e constată cu uşurinţă că algoritmii din Figurile 23 (de bază) şi 26 (de gradient)t sensibil diferiţi prin maniera de evaluare a matricii kP . De altfel, MRPL-R esteată în principal pe algoritmii de gradient ca în Figura 26.n cazul trecerii la reprezentarea pe stare cu utilizarea filtrării Kalman, abordarea

că de la ipoteza ca parametrii adevăraţi ai procesului, ∗θ , variază în timp după olă cunoscută sub numele de “plimbare la întîmplare” (random walk). Mai precis,la de variaţie este următoarea:

][]1[][ nvnn +−= ∗∗ θθ , 1≥∀n , (112)

e v este un vector de zgomote albe Gaussiene, avînd matricea de auto-

arianţă ][][1 nvnvER T= (numită şi matrice de răspîndire).


Dacă 2λ este dispersia zgomotului alb e care apare în ecuaţia (84) a modeluluigeneral de identificare, atunci prin utilizarea filtrului Kalman se obţine algoritmulrecursiv din Figura 27. (Pentru detalii privind filtrarea Kalman se pot consulta [LjL99]şi/sau [SoSt89].) Acest algoritm, deşi oferă estimaţii de precizie ridicată este totuşi maicomplex decît predecesorii săi.

Figura 27. Algoritmul recursiv cu filtrare Kalman.

1

2

3

4

Date de intrare:a. ordinele modelului de identificare: na , nb , nc , nd şi nf ;b. matricea de răspîndire: 0>vR ;

c. dispersia estimată a zgomotului alb de proces: 2λ ;d. o colecţie redusă de date intrare-ieşire măsurate (dacă este posibil):


e. un semnal instrumental extern: Nnnf ,1][ ∈ (eventual).







. Pentru 1≥k :4.1. Se evaluează eroarea de predicţie: 1


4.2. Se evaluează vectorul auxiliar: ][1 kzPkk −=ξ .


Tk

k k ξϕλξγ

][2 += .

4.4. Se reactualizează matricea kP , adică: 11 ][ −− −+= kT

kvkk PkRPP ϕγ(cu evitarea inversării explicite a matricilor).



74


75

B. Rutine MATLAB pentru identificare recursivăBiblioteca de rutine dedicată IS conţine un număr de 6 funcţii care implementează

algoritmi recursivi: rraarrmmaaxx (pentru ARMAX şi MMEP-R), rraarrxx (pentru ARX şiMCMMP-R sau MVI-R), rrbbjj (pentru BJ şi MMEP-R), rrppeemm (pentru modele generaleşi MMEP-R), rrppllrr (pentru ARMAX şi MPRL-R) şi rrooee (pentru OE şi MMEP-R).Oricare dintre aceste funcţii poate fi apelată cu ajutorul unei comenzi cu următoareasintaxă tipică:

[[tthheettaa,,yypprreedd]] == rrnnuummee((DD,,ssii,,mmaa,,ppaa)) ;;

unde: DD este obiectul de tip IIDDDDAATTAA (vezi Problema 2.3) corespunzător datelorgenerate (intrarea se regăseşte în DD..uu, iar ieşirea în DD..yy);

ssii este vectorul indicilor structurali şi al întîrzierii modelului (ca în cazulrutinei ppeemm):

ssii == [[nnaa nnbb nncc nndd nnff nnkk]];mmaa este un argument care indică metoda de adaptare a algoritmului off-line

la algoritmul on-line (şir de 2 caractere):''ffff'' se va opera cu criteriu pătratic afectat de fereastră

exponenţială (i.e. cu factor de uitare; ''ffff'' = forgetting factor);''uugg'' se va utiliza o metodă de gradient (Newton-Raphson) ne-

normalizată (''uugg'' = unnormalized gradient);''nngg'' se va utiliza o metodă de gradient (Newton-Raphson)

normalizată (''nngg'' = normalized gradient);''kkff'' se va utiliza reprezentarea pe stare şi filtrarea Kalman (aici:

''kkff'' = Kalman filtering);ppaa este un parametru de adaptare corespunzător metodei de adaptare a

algoritmului off-line la algoritmul on-line, adică argumentului mmaa (scalarsau matrice):

λ factorul de uitare (scalar) pentru fereastra exponenţială (cîndargumentul mmaa este setat cu ''ffff'');

γ cîştigul dorit (scalar) în cazul utilizării algoritmilor de gradient (cîndargumentul mmaa este setat cu ''uugg'' sau ''nngg'');

vR matricea de răspîndire în cazul utilizării algoritmului bazat pefiltrare Kalman (cînd argumentul mmaa este setat cu ''kkff''); în acest

caz, parametrul 2λ (dispersia zgomotului alb) este considerat

implicit egal cu 1; dacă, în realitate, 2λ nu este unitară, se poatedemonstra că estimaţia parametrilor nu este afectată dacă sescalează matricile vR şi 0P cu valoarea estimată a sa (urmînd să

se lucreze tot cu 12 =λ , ca în cazul implicit).tthheettaa este matricea parametrilor estimaţi variabili în timp; fiecare linie a

matricii memorează valoarea parametrilor la un anumit moment detimp; numărul de linii este egal cu lungimea orizontului de măsură(adică a vectorilor DD..uu şi DD..yy); pe fiecare linie, parametrii sunt precizaţi


76

în ordinea alfabetică a numelor polinoamelor pe care le reprezintă ( A ,B , C , D , F );

yypprreedd este vectorul ieşirii predictate a procesului la fiecare moment de timp,folosind modelul matematic reactualizat; lungimea sa este egală culungimea orizontului de măsură.

Evident, nnuummee este unul din următoarele: aarrmmaaxx, aarrxx, bbjj, ppeemm, ppllrr sau ooee. Toaterutinele permit şi precizarea unor parametri suplimentari de intrare prin care să sepoată specifica o iniţializare dorită ( 0θ , 0P şi chiar ]0[ϕ ). Iniţializarea poate ficonstruită şi din valorile corespunzătoare obţinute prin întreruperea unui algoritmrecursiv. Apelul funcţiilor cu setul complet de argumente este următorul:

[[tthheettaa,,yypprreedd,,PP,,pphhii]] == rrnnuummee((DD,,ssii,,mmaa,,ppaa,,tthheettaa00,,PP00,,pphhii00)) ;;

unde: tthheettaa00 este vectorul iniţial al parametrilor;PP00 este matricea iniţială 0P ;

pphhii00 este vectorul iniţial al regresorilor ]0[ϕ .

PP este matricea finală NP ;

pphhii este vectorul final al regresorilor ][Nϕ .

Restul argumentelor funcţiei au fost deja explicitaţi mai sus.Biblioteca nu include şi vesiuni ale algoritmului bazat pe MVI-R. Utilizatorul este

aşadar invitat să proiecteze o rutină de tipul celor de mai sus, numită sugestiv rriivv.Pentru a nu complica proiectarea rutinei, se poate considera doar varianta de algoritmdin Figura 25 (cu fereastră exponenţială), utilizatorul avînd posibilitatea de a rulaalgoritmul de bază din Figura 23 prin specificarea factorului unitar cu valoarea unitară.Apelul tipic al rutinei ar trebui să fie următorul:

[[tthheettaa,,yypprreedd,,PP,,pphhii,,zz]] == rriivv((DD,,ssii,,ff,,llaammbbddaa,,tthheettaa00,,PP00,,pphhii00,,zz00)) ;;

unde: ff este semnalul instrumental (implicit: ff==DD..uu);llaammbbddaa este factorul de uitare ( ]1,0(∈λ ) (implicit: llaammbbddaa==11);

zz00 este vectorul iniţial al instrumentelor ]0[z ;

zz este vectorul final al instrumentelor ][Nz .

Restul argumentelor funcţiei au fost explicitate mai sus. De notat că parametriistructurali ssii conţin numai ordinele modelului ARX.

Obiectivul acestui capitol este de a efectua o comparaţie între 4 metode recursivede identificare: MCMMP-R, MVI-R, MMEP-R şi MRLP-R, în identificarea parametrilorunor modele din clasa ARMAX.


EExxeerrcciiţţiiuull 66..11 Descrieţi algoritmul MMEP-R folosind un model ARMAX şi algoritmul generalprezentat în Figura 23.


77

EExxeerrcciiţţiiuull 66..22 Justificaţi prin calcule adecvate algoritmul din Figura 24.

EExxeerrcciiţţiiuull 66..33 Justificaţi prin calcule adecvate algoritmul din Figura 25.

EExxeerrcciiţţiiuull 66..44 Să se demonstreze că, în cazul utilizării ferestrei exponenţiale (109), măsurătorimai vechi de )1/( λλλ −=T faţă de momentul curent sunt incluse în criteriulpătratic cu o pondere de aproximativ 36% din ponderea măsurătorilor celor mairecente, dacă factorul de uitare λ este situat într-o vecinătate a lui 1.

66..33.. PPrroobblleemmee ddee ssiimmuullaarreeDatele pe care toate mini-simulatoarele din cadrul capitolului le vor analiza sunt

generate de următorul model ARMAX[1,1,1], cu parametri constanţi sau variabili întimp:

( ) ( ) ][][1][][][][1 11

11

11 neqncnuqnbnyqna −−− ++=+ , ∗∈∀ Nn , (113)

unde u şi e sunt zgomote albe Gaussiene, de medie nulă şi dispersii unitare

( 122 == eu λλ ).

În cazul în care parametrii sunt constanţi, ei au următoarele valori:

7.0][ 101 −== ana , 6.0][ 101 == bnb , 9.0][ 101 −== cnc , ∗∈∀ Nn . (114)

Un set de parametri variabili în timp poate fi considerat următorul:

=Nnana

def π10cos][ 101 ,

=Nnbnb

def π4cossgn][ 101 ,

=Nncnc

def π18Sc][ 101 , ∗∈∀ Nn ,

(115)

unde “sgn” este notaţia pentru operatorul de luare a semnului, iar “Sc” este funcţia:

tttdef

/)sin()Sc( = (sinus cardinal sau sinus atenuat). Practic, 1a variază după o lege

armonică, 1b – după o lege de tip “tren de impulsuri”, iar 1c – după o lege hiperbolicăoscilatorie. Pe termen lung, modelul ARMAX (113) tinde să devină un model ARX.

Orizontul de măsură, N , care intervine şi în legile de variaţie a parametrilor (115),este specificat de utilizator, dar nu se poate situa sub 200.

Pentru generarea şi stocarea datelor, se recomandă scrierea unei rutine separate,numite ggddaattaa__vvpp, al cărei apel general să fie următorul:

[[DD,,VV,,PP]] == ggddaattaa__vvpp((ccvv,,NN,,ssiiggmmaa,,llaammbbddaa,,bbiinn)) ;;

unde: ccvv este un comutator care arată tipul de proces: cu parametri constanţidaţi de ecuaţiile (114) (ccvv==00) sau cu parametri variabili daţi deecuaţiile (115) (ccvv~~==00); (implicit: ccvv==00);


78

NN este orizontul de măsură (implicit: NN==225500);ssiiggmmaa este deviaţia standard a intrării SPA (implicit: ssiiggmmaa==11);llaammbbddaa este deviaţia standard a zgomotului alb Gaussian

(implicit: llaammbbddaa==11);bbiinn este un parametru care arată tipul de intrări dorit: bbiinn==00 (intrare

SPAB Gaussiană); bbiinn~~==00 (implicit, intrare SPAB Gaussianăbipolară);


VV este obiectul de tip IIDDDDAATTAA corespunzător zgomotelor generate(zgomotul alb se regăseşte în VV..uu, iar zgomotul colorat (adică MA-filtrat) în VV..yy);

PP este obiectul de tip IIDDMMOODDEELL (vezi Problema 3.3) corespunzătormodelului de proces furnizor de date; în cazul parametrilor constanţi(114): PP..aa==[[11 aa00]], PP..bb==[[00 bb00]], PP..cc==[[11 cc00]]; în cazulparametrilor variabili (115): PP..aa==[[11 aa]], PP..bb==[[00 bb]], PP..cc==[[11 cc]](unde aa, bb şi cc sunt vectorii de variaţie).

Se vor genera 2 seturi de date de dimensiune N : unul provenit de la procesul cuparametri constanţi ( cD ) şi altul – de la procesul cu parametri variabili ( vD ).

PPrroobblleemmaa 66..11 Mini-simulatorul IISSLLAABB__66AA efectuează o comparaţie între cele 4 metode deidentificare recursive menţionate, adică: MCMMP-R, MVI-R, MMEP-R şi MRPL-R,folosind setul de date cD . Primele 2 metode operează cu modelul ARX[1,1], întimp ce ultimele 2 – cu modelul ARMAX[1,1,1]. Pentru aprecierea performanţelorlor, sunt afişate 4 ferestre grafice care includ variaţiile parametrilor reali (aiciconstanţi) suprapuse peste variaţiile parametrilor estimaţi şi variaţia ieşirii simulatesuprapuse peste ieşirea reală (măsurată) a procesului (Figurile 28-31).a. Să se comenteze rezultatele obţinute cu ajutorul mini-simulatorului IISSLLAABB__66AA.

Care ar fi explicaţiile performanţelor mai slabe ale MCMMP-R în estimareaparametrului părţii AR?

b. Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__66BB, similar ca structură cuIISSLLAABB__66AA, dar care operează cu datele vD . Comentaţi rezultatele obţinute.

PPrroobblleemmaa 66..22 Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__66CC, care să afişeze performanţeleMCMMP-R (sau MVI-R) pentru iniţializările IP α=0 , cu 100,10,1,1.0,01.0∈α .

PPrroobblleemmaa 66..33 Rutinele recursive folosite în mini-simulatoarele din Problema 6.1 au posibilitateade a opera cu fereastra exponenţială aplicată erorii de predicţie. Să se proiectezemini-simulatorul IISSLLAABB__66DD, care să afişeze performanţele MCMMP-R (sau MVI-R)pentru următoarele valori ale factorului de uitare: 99.0,98.0,97.0,96.0,95.0∈λ .Comentaţi rezultatele obţinute în ultimele 2 probleme.


79

Figura 28. Performanţele MCMMP-R.

Figura 29. Performanţele MVI-R.


80

Figura 30. Performanţele MMEP-R.

Figura 31. Performanţele MRPL-R.

81


AApplliiccaaţţiiii ddee iiddeennttiiffiiccaarree rreeccuurrssiivvăă

77..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruuIdentificarea recursivă este utilizată în numeroase aplicaţii moderne (în special de

control adaptiv, filtrare adaptivă sau estimare spectrală). În cadrul acestui capitol,discuţia este axată pe două astfel de aplicaţii: aproximarea modelelor de complexitateridicată prin modele mai simple şi identificarea parametrilor fizici ai unui proces.Contextul de lucru al capitolului precedent este îmbogăţit aici cu cîteva noi abordări deidentificare.

A. Aproximarea modelelor complexeExistă multe situaţii în care dinamica procesului analizat este prea complexă pentru

a fi reprezentată de un model matematic precis. De cele mai multe ori, precizia estesacrificată în scopul atingerii unui anumit grad de eficienţă a algoritmilor de estimareparametrică. Modelele aproximative adoptate în aceste cazuri fac parte fie din clasagenerală (84), fie, mai des, din clasa ARMAX (1).

Pentru simplificarea discuţiei, să considerăm numai partea utilă a unui modelARMAX, descrisă de funcţia de sistem raţională ABH /≡ , ca în Figura 1. Aceastaaproximează cu o anumită precizie partea utilă din procesul de complexitate ridicată,notată prin ∗H . De regulă, modelul ARMAX nu poate reprezenta procesul pe întreagabandă de frecvenţe a răspunsului său în frecvenţă )( ωjeH ∗ , datorită complexităţiiacestuia şi a variabilităţii în timp, dar pot exista frecvenţe în jurul cărora precizia deaproximare este satisfăcătoare. Dacă aceste frecvenţe sunt cunoscute, procesulpoate fi stimulat cu un SPA(B) filtrat în aşa fel încît setul de date intrare-ieşire astfelgenerat să reflecte comportamentul procesului în jurul lor. Vom nota filtrul aplicatintrării prin F (de regulă un filtru de tip trece-bandă), în timp ce intrarea filtrată va fireferită prin fu . Astfel:

uqu f )( 1−≡ F . (116)

Convenim să re-notăm funcţia de sistem )( 1−qH prin ),( 1 θ−qH , pentru a pune maibine în evidenţă dependenţa acesteia de parametrii modelului. O schimbare similarăva interveni şi în notaţia răspunsului în frecvenţă.

În aceste condiţii, determinarea parametrilor modelului se poate efectua rezolvîndurmătoarea problemă de minimizare a erorii pătratice de estimare spectrală:

)(minargˆ θθθ

VS∈

= , unde:

∫+

−

∗ −=π

π

ωωω ωωφθθ deHeHe ujjj

def)(),()()()(

22FV , S∈∀θ . (117)

Ca de obicei, S este domeniul de stabilitate al modelului ARMAX.


82

Recunoaştem în definiţia (117) notaţia densităţii spectrale de putere a intrării.Evident, această definiţie este conformă cu definiţia (116). Pentru rezolvareaproblemei de optimizare anterioare poate fi utilizată o variantă a MMEP-R. Aceastacorespunde rutinei Matlab rraarrmmaaxx, din biblioteca IS (rutină descrisă indirect în cadrulcapitolului precedent).

Problema cea mai dificilă rămîne doar proiectarea adecvată a filtrului F ,deoarece, de regulă, nu se cunosc frecvenţele în jurul cărora modelul ARMAXaproximează satisfăcător comportamentul procesului. Folosirea frecvenţelor derezonanţă ale procesului constituie adesea o alegere inspirată, cu condiţia ca măcaraceste frecvenţe să poată fi cunoscute a priori, chiar şi imprecis. Determinareagrosieră a frecvenţelor de rezonanţă (sau a frecvenţelor naturale de oscilaţie) ale unuiproces se poate efectua, de exemplu, plecînd de la ecuaţiile diferenţiale rezultate dinaplicarea legilor Fizicii care guvernează funcţionarea acelui proces. În acest caz, seapelează la metode de identificare a parametrilor fizici semnificativi pentru proces(cum va fi descris în paragraful următor). O altă abordare, mai directă, este cea încare se trasează spectrul răspunsului în frecvenţă al procesului determinat grosier dindatele de intrare-ieşire obţinute cu intrarea ne-filtrată. Spectrul poate pune în evidenţăfrecvenţele dominante în jurul cărora ar trebui utilizat modelul ARMAX aproximant.Mai precis, din datele măsurate se obţine:

)()(

)(2

ωφωφω

u

yjeH ≅∗ , ],0[ πω ∈∀ , (118)

care se trasează grafic (în dB). Pe grafic se pot pune în evidenţă frecvenţeledominante sau dorite. Se recomandă determinarea cîte unui model ARMAX în jurulfiecărei frecvenţe selectate.

Presupunînd că a fost selectată o frecvenţă în jurul căreia dorim aproximareamodelului procesului complex cu un proces mai simplu, de tip ARMAX, filtrul F (de tiptrece-bandă) poate fi proiectat cu ajutorul tehnicilor cunoscute din PS. Existănumeroase metode de proiectare a filtrelor trece-jos, trece-sus, trece-bandă, stop-bandă, multi-bandă, etc. [PrMa96]. Cea mai mare parte dintre acestea suntimplementate în cadrul bibliotecii MATLAB dedicată domeniului PS. Ne vom opri doarasupra unei metode relativ simple, care permite şi proiectarea de filtre trece-bandă(tipul de filtru de interes în această aplicaţie): Metoda lui Butterworth.

Filtrele Butterworth sunt definite în contextul semnalelor analogice. Versiuninumerice ale acestora se pot obţine prin discretizare. Spectrul unui astfel de filtru este,prin definiţie, următorul:

Kc

defj 2

2

)/(11)(ΩΩ+

=ΩF , R∈Ω∀ , (119)

unde: ∗∈NK este ordinul filtrului, iar 0>Ωc este pulsaţia de tăiere (adică pulsaţiapentru care spectrul atinge valoarea de –3 dB în scară logaritmică sau, echivalent,

2/1 în scară liniară). Evident spectrul este monoton descrescător pentru pulsaţiipozitive. Mai mult, odată cu creşterea ordinul filtrului, caracteristicile sale în frecvenţăse îmbunătăţesc: pulsaţia de tăiere este abordată mai abrupt, iar lobii paraziţi dinbanda de stop sunt atenuaţi. Figurile 32 şi 33 arată caracteristicile cîtorva filtre.

7. Aplicaţii de identificare recursivă

83

Figura 32. Caracteristicile în frecvenţă ale filtrelor Butterworth de tip trece-jos.

Figura 33. Caracteristicile în frecvenţă ale filtrelor Butterworth de tip trece-bandă.


84

Definiţia (119) implică următoarea proprietate remarcabilă verificată de funcţia detransfer a filtrului:

( )Kcsss

22 /1

1)()(Ω−+

=−FF . (120)

Proprietatea (120) arată că polii funcţiei complexe )()( ss −FF sunt situaţi numai

pe cercul de rază cΩ în puncte echidistante:

+Ω±=±

Kjkjs ck 2

)12(exp π, 1,0 −∈∀ Kk . (121)

Funcţia de transfer )(sF fiind stabilă, ea extrage din mulţimea (121) numai polii cupartea reală negativă. Ceilalţi poli (simetrici) sunt produşi de )( s−F .

În proiectarea unui filtru Butterworth, se pleacă de la restricţia ca valoareaspectrului la o anumită pulsaţie precizată 0>Ωa să fie )1,0(∈aδ şi se ceredeterminarea ordinului său. Evident, folosind definiţia (119), ordinul filtrului rezultăimediat:

ΩΩ

−

=

c

a

a

a

Klog2

1log 2

2

δδ

, (122)

ţinînd cont că atenuarea creşte (adică aδ scade) odată cu creşterea ordinului filtrului(vezi Figurile 32 şi 33). Pentru a proiecta un filtru Butterworth avem deci nevoie deurmătoarele date: pulsaţia de tăiere cΩ şi ordinul K sau pulsaţia de tăiere cΩ şi

perechea ( )aaa jF δ=ΩΩ )(, .

Practic, filtrul Butterworth este de tip trece-jos. Pentru a proiecta un filtru de tiptrece-bandă, este suficient să se proiecteze 2 filtre de tip trece jos (cîte unul pentrufiecare pulsaţie de tăiere a benzii de trecere) şi să se scadă caracteristica filtrului debandă mai îngustă din cea de bandă mai largă.

Funcţia Matlab cu ajutorul căreia se poate proiecta un filtru Butterworth estebbuutttteerr, cu apelul tipic:

[[BB,,AA]] == bbuutttteerr((KK,,ffcc,,ttyyppee)) ;;

unde: KK este ordinul filtrului (întreg strict pozitiv); dacă ordinul trebuie obţinut cuajutorul relaţiei (122), se poate utiliza funcţia MATLAB bbuuttttoorrdd;

ffcc este frecvenţa de tăiere a filtrului, exprimată ca un număr în intervalul(0,1), cu valoarea unitară corespunzînd jumătăţii frecvenţei deeşantionare (conform Teoremei lui Shannon-Nyquist [StD9602a]); deexemplu, dacă sν este frecvenţa de eşantionare şi ffcc==00..77, atunci

frecvenţa de tăiere este scf ν35.0= ; pe scala pulsaţiei normalizate


85

(adică în gama ],0[ π , unde π corespunde jumătăţii frecvenţei de

eşantionare), pulsaţia de tăiere va fi πω 7.0=c ; în mod implicit, dacăffcc este scalar, se proiectează un filtru de tip trece-jos; se poate însăpreciza ffcc ca un vector cu 2 elemente subunitare, caz în care seproiectează un filtru de tip trece-bandă, de ordin 22**KK; frecvenţele salede tăiere sunt alese în funcţie de elementele lui ffcc;

ttyyppee dacă se doreşte proiectarea de filtre de tip trece-sus sau stop-bandă,se poate preciza aceasta prin argumentul opţional ttyyppee; astfel, ttyyppeepoate fi: ’’hhiigghh’’ (pentru filtrul trece-sus) sau ’’ssttoopp’’ (pentru filtrulstop-bandă, caz în care ffcc trebuie să fie un vector cu 2 elemente);

BB polinomul care defineşte numărătorul funcţiei de transfer a filtrului; esteun vector de lungime KK++11 (pentru filtrele trece-jos, trece-sus) sau22**KK++11 (pentru filtrele trece-bandă, stop-bandă), cu coeficienţii în

ordinea crescătoare a puterilor lui 1−z ;AA polinomul care defineşte numitorul funcţiei de transfer a filtrului; este un

vector de lungime KK++11 (pentru filtrele trece-jos, trece-sus) sau 22**KK++11(pentru filtrele trece-bandă, stop-bandă), cu coeficienţii în ordineacrescătoare a puterilor lui 1−z .

Funcţia bbuutttteerr oferă direct versiunea discretă a filtrului Butterworth, dar esteposibilă apelarea ei cu parametri suplimentari, în aşa fel încît să se obţină versiuneaoriginală (în timp continuu).

În practică, discretizarea unei funcţii de transfer continue se efectuează cu ajutorulurmătoarei transformări omografice (care asociază dreptele verticale din planulcomplex cu cercurile şi axa imaginară cu cercul unitar):

112

+−=zz

Ts

s

, (123)

unde sT este perioada de eşantionare. Cu alte cuvinte, înlocuind variabila Laplace scu termenul drept al egalităţii (123), în funcţia de transfer din timp continuu, se obţinefuncţia de transfer din timp discret (normalizat cu perioada de eşantionare).Reamintim că transformarea de discretizare ideală (dar neinversabilă) esteurmătoarea (care transformă dreptele verticale în cercuri) [LaID93], [LaID97]:

ssTez = . (124)

Utilizarea extrapolatorului de ordin zero (care constă în interpolarea valoriloreşantionate la stînga cu valori constante) permite adoptarea aproximării Padé atransformării (124), adică aproximarea cu un polinom Taylor de ordin 1 a exponenţialeicomplexe:

ssTz +≅ 1 ⇔ sT

zs 1−≅ . (125)

Aproximarea Padé este grosieră (deşi interesantă practic) şi nu conservă proprietateade a transforma verticalele în cercuri. Din aceste motive, transformarea (123), care


86

corespunde de fapt extrapolatorului de ordin 1 (şi constă în interpolarea cu drepteoblice valorilor eşantionate la stînga), este considerată mai precisă şi adesea adoptatăîn locul ei.

Teoretic discretizarea unei funcţii de transfer continue raţionale )(sH seefectuează cu ajutorul Teoremei Reziduurilor [SeS01], [SeS02]:

∑

−−=

poli

1Rez)1()(ssT

def

d ezsH(s)zzH . (126)

Revenind la aplicaţia de identificare, mai multe etape trebuie parcurse:1. Se stimulează procesul cu un anumit număr de semnale SPAB (de exemplu

100) şi se trasează media răspunsurilor în frecvenţă determinate folosindrelaţia (118).

2. După ce se stabileşte frecvenţa în jurul căreia se doreşte modelarea ARMAX şilărgimea de bandă, se proiectează filtrul Butterworth corespunzător, cu ajutorulcăruia se filtrează un semnal SPAB.

3. Semnalul rezultat este folosit pentru a stimula procesul în vederea culegeriidatelor intrare-ieşire de identificare (pe un orizont de măsură suficient de larg;de exemplu, cel puţin 200 de perechi de date).

4. Datele sunt întîi folosite într-un experiment de identificare ne-recursivă, înspecial pentru a determina ordinele modelului ARMAX.

5. În final, cu ordinele din etapa precedentă, se iniţiază un experiment deidentificare recursivă a modelului ARMAX, plecînd de la datele achiziţionate.

Pentru problemele de simulare, se va considera că procesul generator de dateeste descris de un model general de tip (84), cu urmatoarele polinoame stabile:

+=−+−=

−+−=+−=

+−=

−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−

21

3211

4211

4321

211

9.01)(65.085.121)(

18.02.01)(8.03.1)(

9.05.11)(

qqFqqqqD

qqqqCqqqqB

qqqA

. (127)

Se recomandă proiectarea unei rutine separate avînd rolul de a genera datele deidentificare folosind modelul (84) cu particularizarea (127). Apelul general al acesteirutine ar putea fi următorul:

[[DD,,VV,,PP]] == ggddaattaa__ccpp((uu,,llaammbbddaa)) ;;

unde: uu este intrarea de stimul a procesului (vector coloană); implicit, uu esteun SPAB Gaussian de lungime 250=N ;

llaammbbddaa este deviaţia standard a zgomotului alb Gaussian(implicit: llaammbbddaa==11);



87

VV este obiectul de tip IIDDDDAATTAA corespunzător zgomotelor generate(zgomotul alb se regăseşte în VV..uu, iar zgomotul colorat (adică filtrat)în VV..yy);

PP este obiectul de tip IIDDMMOODDEELL (vezi Problema 3.3) corespunzătormodelului de proces furnizor de date; parametrii din definiţiile (127) seregăsesc în: PP..aa==[[11 aa]], PP..bb==[[00 bb]], PP..cc==[[11 cc]], PP..dd==[[11 dd]] şiPP..ff==[[11 ff]].

B. Identificarea parametrilor fizici ai unui procesExistă aplicaţii în care procesul furnizor de date este caracterizat de un număr

relativ redus de parametri cu ajutorul cărora se pot exprima ecuaţiile diferenţiale defuncţionare deduse din legile Fizicii. Din acest motiv, parametrii dobîndesc atributul de“fizici”. Folosind în special MMEP, este posibilă estimarea parametrilor fizici din dateintrare-ieşire măsurate.

Două abordări sunt în general uzitate în estimarea parametrlor fizici ai unui proces.Ambele pleacă de la exprimarea funcţiei de transfer continue a procesului, )(sH , înaşa fel încît să se pună în evidenţă parametrii necunoscuţi. O primă abordare constăîn discretizarea funcţiei de transfer (cu perioada de eşantionare cu care suntachiziţionate datele intrare-ieşire) şi estimarea coeficienţilor funcţiei de transferdiscretizate. Parametrii fizici rezultă apoi din coeficienţii estimaţi. A doua abordareconstă în reprezentarea pe stare a sistemului continuu, cu precizarea unor parametride stare necunoscuţi corespunzători parametrilor fizici. Estimarea parametrilor destare se poate efectua direct din datele măsurate, după discretizarea modelului pestare.

Aplicaţia propusă în cadrul acestui capitol constă în identificarea parametrilor fiziciai unui motor de curent continuu caracterizat de următoarea funcţie de transfersimplificată (de ordin 2):

)1()(

TssKsH

def

+= , (128)

unde K (cîştigul) şi T (constanta de timp) sunt parametrii fizici ce trebuie identificaţi.Datele de intrare şi ieşire măsurate, NnNn nynu ,1,1 ][][ == ∪=D , sunt achiziţionate

cu o perioadă de eşantionare sT .

Potrivit primei abordări, prin discretizarea funcţiei de transfer (128), se obţine onouă funcţie de transfer de forma:

22

11

22

11

1)( −−

−−

+++=

zazazbzbzH

def

d , (129)

unde coeficienţii 1a , 2a , 1b şi 2b pot fi exprimaţi în funcţie de K şi T . Dependenţacoeficienţilor de parametrii fizici este neunică, fiind determinată de metoda dediscretizare aleasă. Estimarea parametrilor fizici decurge din valorile identificate alecoeficienţilor. Din punctul de vedere al IS, (129) este considerat un model fie de tipARX, fie de tip OE.


88

A doua abordare presupune reprezentarea pe stare a motorului de curentcontinuu. O astfel de reprezentare (neunică) este următoarea:

[ ]

=

+

=

)(0)(

)(0

)(00

)( 21

txty

tutxtx

β

θαθ

&, +∈∀ Rt , (130)

unde 1θ şi 2θ sunt parametrii de stare necunoscuţi care trebuie estimaţi, iar α şi βsunt 2 parametri constanţi arbitrar aleşi. Reprezentarea (130) corespunde formeicanonice a funcţiei de transfer continue (128), adică:

)/1(/)(TssTKsH

+= . (131)

De asemenea, reprezentarea (130) este ideală, în sensul că nu include şi perturbaţiileinterne şi/sau externe care corup procesul. Parametrii fizici se pot deduce apoi dinparametrii de stare (vezi Exerciţiul 7.4).

Estimarea parametrilor necunoscuţi se poate efectua prin discretizareareprezentării pe stare folosind perioada de eşantionare şi aproximarea derivateistărilor prin:

s

s

TtxTtxtx )()()( −+≅& , +∈∀ Rt , (132)

care corespunde eşantionorului de ordin zero. Reprezentarea discretă pe starecorespunzătoare este exprimată astfel (inclusiv perturbaţiile):

++=++=+

][][][][][)(][]1[

nvEnuDnxCnynwFtuBnxAnx

, N∈∀n , (133)

unde n este timpul normalizat (discret), iar v şi w sunt perturbaţii. Matricea A şivectorii B , C , D , F , E pot fi deduşi direct din reprezentarea în timp continuu, cu

aproximarea (132) şi definiţia: )(][ s

defnTxnx = .

În ultima problemă de simulare, modelul motorului de curent continuu va fi utilizatpentru a genera 2 seturi de date intrare-ieşire: unul cu parametrii fizici constanţi şi altulcu parametrii fizici variabili. Parametrii constanţi sunt:

40 == KK şi 5.00 == TT . (134)

Aceştia pot varia după următoarele legi, pe durata orizontului de măsură, de lamomentul iniţial arbitrar fixat la 0 , pînă la momentul final maxT :

+−= 133)(

max2max

2

0 Tt

TtKtK şi

π+=max

010sin

211

TtTT , ],0[ maxTt∈∀ . (135)


89

În mediul de programare MATLAB, bibliotecile dedicate domeniilor de IS şi TS suntfolosite pentru a proiecta programe ce simulează funcţionarea sistemelor continueinvariante la deplasări temporale (LTI – Linear Time Invariant Systems) şidiscretizarea acestora. Informaţii generale privind reprezentarea sistemelor continuese pot obţine cu ajutorul comenzii hheellpp llttiimmooddeellss. Astfel, există 4 tipuri de obiectecu care pot fi reprezentate sistemele continue:

Funcţii de transfer. Obiectul este creat sau convertit cu ajutorul funcţiei ttff(transfer function):

HH == ttff((BB,,AA,,TTss)) ;; sau HH == ttff((SSYYSS)) ;;

unde: BB este numărătorul funcţiei de transfer (vector, cu coeficienţii aranjaţiîn ordinea descrescătoare a puterilor variabilei complexe Laplacesau Z);

AA este numitorul funcţiei de transfer (vector, cu coeficienţii aranjaţi înordinea descrescătoare a puterilor variabilei complexe s sau z );

TTss este perioada de eşantionare; dacă este specificată, perioada deeşantionare indică generarea unei funcţii de transfer discrete;implicit, sau dacă TTss==00, funcţia de transfer este continuă;

HH este obiectul de tip TTFF corespunzător argumentelor de intrare;cîmpurile sale specifice sunt următoarele:HH..nnuumm numărătorul funcţiei de transfer (cîmp de celule

vectoriale; în cazul modelelor SISO, numărătoruleste stocat în HH..nnuumm11);

HH..ddeenn numitorul funcţiei de transfer (cîmp de celulevectoriale; în cazul modelelor SISO, numitorul estestocat în HH..ddeenn11);

HH..VVaarriiaabbllee cîmp care poate lua următoarele valori: ’’ss’’, ’’pp’’,’’zz’’, ’’zz^--11’’, ’’qq’’; arată tipul de sistem şimaniera de reprezentare a funcţiei de transfer:Laplace, exprimată în variabilele s sau p ; Z,

exprimată în variabilele z sau 1−z ; timp discret,exprimată în funcţie de operatorul 1+q ; acest cîmppoate fi setat ulterior de către utilizator.

SSYYSS este un obiect de tip ZZPPKK sau SSSS, care va fi convertit la un obiect detip TTFF; conversia se poate realiza şi cu ajutorul funcţiilor debibliotecă IS: zzpp22ttff, ssss22ttff (cu nume sugestive).

Poli-zerouri-cîştig. Obiectul este creat sau convertit cu ajutorul funcţiei zzppkk(zero-pole-gain):

HH == zzppkk((ZZ,,PP,,KK,,TTss)) ;; sau HH == zzppkk((SSYYSS)) ;;

unde: ZZ este vectorul zerourilor sistemului;PP este vectorul polilor sistemului;KK este cîştigul sistemului (scalar), obţinut pentru 0=s (în cazul

continuu) sau 1=z (în cazul discret);


90

TTss este perioada de eşantionare; dacă este specificată, perioada deeşantionare indică generarea unei funcţii de transfer discrete;implicit, sau dacă TTss==00, funcţia de transfer este continuă;;

HH este obiectul de tip ZZPPKK corespunzător argumentelor de intrare;cîmpurile sale specifice sunt următoarele:HH..zz zerourile funcţiei de transfer (cîmp de celule

vectoriale; în cazul modelelor SISO, zerourile suntstocate în HH..zz11);

HH..pp polii funcţiei de transfer (cîmp de celule vectoriale;în cazul modelelor SISO, numitorul este stocat înHH..pp11);

HH..kk cîştigul funcţiei de transfer (matrice; în cazulmodelelor SISO, numitorul este stocat în HH..kk);

HH..VVaarriiaabbllee cîmp care poate lua următoarele valori: ’’ss’’, ’’pp’’,’’zz’’, ’’zz^--11’’, ’’qq’’; arată tipul de sistem şimaniera de reprezentare a funcţiei de transfer:Laplace, exprimată în variabilele s sau p ; Z,

exprimată în variabilele z sau 1−z ; timp discret,exprimată în funcţie de operatorul 1+q ; acest cîmppoate fi setat ulterior de către utilizator.

SSYYSS este un obiect de tip TTFF sau SSSS, care va fi convertit la un obiect detip ZZPPKK; conversia se poate realiza şi cu ajutorul funcţiilor debibliotecă IS: ttff22zzpp, ssss22zzpp (cu nume sugestive).

Spaţiul stărilor. Obiectul este creat sau convertit cu ajutorul funcţiei ssss(state space):

HH == ssss((AA,,BB,,CC,,DD,,TTss)) ;; sau HH == ssss((SSYYSS)) ;;

unde: AA este matricea sistemului;BB este vectorul intrare-stare;CC este vectorul stare-ieşire;DD este factorul intrare-ieşire;TTss este perioada de eşantionare; dacă este specificată, perioada de

eşantionare indică generarea unei reprezentări discrete pe stare;implicit, sau dacă TTss==00, reprezentarea pe stare este continuă;

HH este obiectul de tip SSSS corespunzător argumentelor de intrare;cîmpurile sale specifice sunt următoarele:HH..aa matricea sistemului;HH..bb vectorul intrare-stare;HH..cc vectorul stare-ieşire;HH..dd factorul intrare-ieşire;

SSYYSS este un obiect de tip TTFF sau ZZPPKK, care va fi convertit la un obiect detip SSSS; conversia se poate realiza şi cu ajutorul funcţiilor debibliotecă IS: ttff22ssss, zzpp22ssss (cu nume sugestive).


91

Răspuns în frecvenţă. Obiectul este creat cu ajutorul funcţiei ffrrdd (frequencyresponse data):

HH == ffrrdd((FFRR,,oommeeggaa,,TTss)) ;; sau HH == ffrrdd((SSYYSS,,oommeeggaa)) ;;

unde: FFRR este răspunsul în frecvenţă al sistemului (Transformata Fourier afuncţiei pondere);

oommeeggaa este vectorul pulsaţiilor/frecvenţelor unde este evaluat răspunsulîn frecvenţă ([rad/s] sau [Hz]);

TTss este perioada de eşantionare; dacă este specificată, perioada deeşantionare indică generarea unui răspuns în frecvenţă discret;implicit, sau dacă TTss==00, răspunsul în frecvenţă este continuu;

HH este obiectul de tip FFRRDD corespunzător argumentelor de intrare;cîmpurile sale specifice sunt următoarele:HH..FFrreeqquueennccyy axa pulsaţiilor;HH..RReessppoonnsseeDDaattaa blocul matricial al răspunsului în frecvenţă; în

cazul sistemelor SISO, răspunsul în frecvenţăeste înregistrat în vectorulHH..RReessppoonnsseeDDaattaa((11,,11,,::));

HH..UUnniittss unitatea de măsură a axei frecvenţelor(’’rraadd//ss’’ sau ’’HHzz’’);

SSYYSS este un obiect de tip TTFF, ZZPPKK sau SSSS, care va fi convertit la unobiect de tip FFRRDD.

În afara cîmpurilor celor 4 obiecte de tip LLTTII descrise mai sus, există şi cîmpuri pecare le posedă toate obiectele LLTTII. Cel mai important este HH..TTss (dacă HH este unobiect LLTTII), care reprezintă perioada de eşantionare. În cazul sistemelor continue,acest cîmp este vid sau are valoarea nulă.

Biblioteca IS este dotată cu o serie de rutine care permit trecerea de lareprezentările continue la cele discrete şi reciproc. Cele mai importante sunt: cc22dd,dd22cc şi dd22dd, descrise în continuare.

# CC22DD Apel: [[HHdd,,GG]] == cc22dd((HH,,TTss,,mmeett)) ;; Converteşte un obiect LLTTII exprimat în timp continuu într-un obiect LTI exprimatîn timp discret. Argumentele funcţiei sunt următoarele:HH obiect LLTTII (de regulă de tip TTFF) exprimat în timp continuu;TTss perioada de eşantionare;mmeett metoda de extrapolare, care, în principal, poate fi: ’’zzoohh’’ (zero order

holder – extrapolator de ordin zero, implicit) sau ’’ffoohh’’ (first orderholder – extrapolator de ordin unu);

HHdd obiect LLTTII (de regulă de tip TTFF) exprimat în timp discret;GG matricea de transformare a condiţiilor iniţiale la trecerea din continuu în

discret, pentru iniţializări nebanale.

# DD22CC Apel: HH == dd22cc((HHdd,,mmeett)) ;; Converteşte un obiect LLTTII exprimat în timp discret într-un obiect LTI exprimatîn timp continuu. Argumentele funcţiei sunt următoarele:


92

HHdd obiect LLTTII (de regulă de tip TTFF) exprimat în timp discret;mmeett metoda de extrapolare, care implicit este ’’zzoohh’’ (zero order holder –

extrapolator de ordin zero);HH obiect LLTTII (de regulă de tip TTFF) exprimat în timp continuu.

# DD22DD Apel: HHdd22 == dd22dd((HHdd11,,TTss)) ;; Re-eşantionează un obiect LLTTII exprimat în timp discret. Argumentele funcţieisunt următoarele:HHdd11 obiect LLTTII (de regulă de tip TTFF) exprimat în timp discret, la o anumită

perioadă de eşantionare;TTss perioada de re-eşantionare;HHdd22 obiect LLTTII (de regulă de tip TTFF) exprimat în timp discret, la o nouă

perioadă de eşantionare.O rutină interesantă care realizează legătura dintre bibliotecile de TS şi IS este

iiddssss. Aceasta crează un model de tip reprezentare pe stare, plecînd de la descrieraexplicită a matricilor corespunzătoare. Reprezentarea pe stare este similară cu (133),dar, pentru iiddssss, zgomotele v şi w sunt identice (notate cu e ), E este nul, iar Feste notat cu K (deşi nu este cîştigul funcţiei de transfer asociate). Apelul tipic alrutinei este următorul:

MM == iiddssss((AA,,BB,,CC,,DD,,KK,,XX00,,TTss)) ;;

unde: AA,,......,,KK sunt matricile reprezentării pe stare dorite;XX00 este starea iniţială (implicit nulă);TTss este perioada de eşantionare; dacă este specificată, perioada de

eşantionare indică o reprezentare pe stare discretă; altfel, dacăTTss==00, se construieşte o reprezentare pe stare continuă; implicit,TTss==11 (reprezentare discretă pe stare);

MM este un obiect de tip IIDDSSSS, care corespunde reprezentării pe staredorite; cîmpurile sale sunt următoarele:

AA:: ''AA--mmaattrriixx ((NNxx--bbyy--NNxx mmaattrriixx))''

BB:: ''BB--mmaattrriixx ((NNxx--bbyy--NNuu mmaattrriixx))''

CC:: ''CC--mmaattrriixx ((NNyy--bbyy--NNxx mmaattrriixx))''

DD:: ''DD--mmaattrriixx ((NNuu--bbyy--NNyy mmaattrriixx))''

KK:: ''KK--mmaattrriixx ((NNxx--bbyy--NNyy mmaattrriixx))''

XX00:: ''iinniittiiaall ssttaattee ((NNxx--lleennggtthh vveeccttoorr))''

ddAA:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff AA--mmaattrriixx''

ddBB:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff BB--mmaattrriixx''

ddCC:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff CC--mmaattrriixx''

ddDD:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff DD--mmaattrriixx''

ddKK:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff KK--mmaattrriixx''

ddXX00:: ''ssttaannddaarrdd ddeevviiaattiioonn ooff XX00''

SSSSPPaarraammeetteerriizzaattiioonn:: ''ttyyppee ooff ppaarraammeettrriizzaattiioonn''

‘‘FFrreeee’’,, ‘‘CCaannoonniiccaall’’,, ‘‘SSttrruuccttuurreedd’’


93

AAss:: ''ffrreeee ppaarraammeetteerrss iinn AA ((sseett bbyy NNaaNN))''

BBss:: ''ffrreeee ppaarraammeetteerrss iinn BB ((sseett bbyy NNaaNN))''

CCss:: ''ffrreeee ppaarraammeetteerrss iinn CC ((sseett bbyy NNaaNN))''

DDss:: ''ffrreeee ppaarraammeetteerrss iinn DD ((sseett bbyy NNaaNN))''

KKss:: ''ffrreeee ppaarraammeetteerrss iinn KK ((sseett bbyy NNaaNN))''

XX00ss:: ''ffrreeee ppaarraammeetteerrss iinn XX00 ((sseett bbyy NNaaNN))''

SSttaatteeNNaammee:: [[11xx5533 cchhaarr]]

IInniittiiaallSSttaattee:: [[11xx5500 cchhaarr]]

nnkk:: [[11xx5533 cchhaarr]]

DDiissttuurrbbaanncceeMMooddeell:: [[11xx3322 cchhaarr]]

CCaannoonniiccaallIInnddiicceess:: ''RRooww vveeccttoorr oorr ''AAuuttoo''''

NNaammee:: ''ssttrriinngg''

TTss:: ''ssaammpplliinngg ppeerriioodd''

IInnppuuttNNaammee:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

IInnppuuttUUnniitt:: ''NNuu--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

OOuuttppuuttNNaammee:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

OOuuttppuuttUUnniitt:: ''NNyy--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

TTiimmeeUUnniitt:: ''ssttrriinngg''

PPaarraammeetteerrVVeeccttoorr:: ''NNpp--bbyy--11 vveeccttoorr''

PPNNaammee:: ''NNpp--bbyy--11 cceellll aarrrraayy ooff ssttrriinnggss''

CCoovvaarriiaanncceeMMaattrriixx:: ''NNpp--bbyy--NNpp mmaattrriixx''

NNooiisseeVVaarriiaannccee:: ''NNyy--bbyy--NNyy mmaattrriixx''

IInnppuuttDDeellaayy:: ''NNuu--bbyy--11 vveeccttoorr''

AAllggoorriitthhmm:: [[11xx3388 cchhaarr]]

EEssttiimmaattiioonnIInnffoo:: [[11xx3399 cchhaarr]]

NNootteess:: [[11xx3300 cchhaarr]]


Cîmpurile principale ale obiectului MM sunt: MM..AA, …, MM..KK, MM..AAss, …, MM..KKss, şi MM..TTss.Primele cîmpuri (MM..AA, …, MM..KK) includ numai valori numerice finite. Spre deosebire deacestea, cîmpurile MM..AAss, …, MM..KKss pot conţine şi valori de tipul NNaaNN, după cum indicăMM..SSSSPPaarraammeetteerriizzaattiioonn. Orice valoare NNaaNN arată că acel parametru este liber saunecunoscut. Astfel:

MM..SSSSPPaarraammeetteerriizzaattiioonn==‘‘FFrreeee’’ (implicit) indică faptul că toţi parametriimatricilor MM..AAss, MM..BBss, MM..CCss sunt setaţi cu NNaaNN, adică toţi parametrii matricilorMM..AA, MM..BB, MM..CC sunt liberi sau necunoscuţi; parametrii liberi/necunoscuţi dinMM..DD, MM..KK şi MM..XX00 sunt determinaţi de cîmpurile: MM..nnkk, MM..DDiissttuurrbbaanncceeMMooddeellşi MM..IInniittiiaallSSttaattee.

MM..SSSSPPaarraammeetteerriizzaattiioonn==‘‘CCaannoonniiccaall’’ indică faptul că matricile MM..AA, MM..BBşi MM..CC sunt exprimate în forma canonică de observabilitate, determinată deMM..CCaannoonniiccaallIInnddiicceess; parametrii liberi/necunoscuţi din MM..DD, MM..KK şi MM..XX00


94

sunt determinaţi de cîmpurile: MM..nnkk, MM..DDiissttuurrbbaanncceeMMooddeell şiMM..IInniittiiaallSSttaattee.

MM..SSSSPPaarraammeetteerriizzaattiioonn==‘‘SSttrruuccttuurreedd’’ indică faptul că parametriiliberi/necunoscuţi ai cîmpurilor MM..AA, …, MM..XX00 sunt indicaţi numai de poziţiilevalorilor NNaaNN din cadrul cîmpurilor MM..AAss, …, MM..XX00ss, stabilite de către utilizator.

De exemplu, pentru a construi reprezentarea pe stare (130) (în timp continuu), sepoate executa următoarea secvenţă de cod:

>>>> AA == [[--11 00 ;; 11 00]] ;;

>>>> BB == [[11 ;; 00]] ;;

>>>> CC == [[00 11]] ;;

>>>> DD == 00 ;;

>>>> KK == [[00 ;; 00]] ;;

>>>> XX00 == [[00 ;; 00]] ;;

>>>> MM == iiddssss((AA,,BB,,CC,,DD,,KK,,XX00,,00)) ;;

>>>> MM..AAss == [[NNaaNN 00 ;; 11 00]] ;; %% PPaarraammeetteerr:: tthheettaa11..

>>>> MM..BBss == [[NNaaNN ;; 00]] ;; %% PPaarraammeetteerr:: tthheettaa22..

>>>> MM..CCss == CC ;;

>>>> MM..DDss == DD ;;

>>>> MM..KKss == KK ;;

>>>> MM..XX00 == XX00 ;;

Mai multe informaţii relative la obiectele de tip IIDDSSSS se pot obţine cu comandaiiddpprrooppss iiddssss.

Un model reprezentat pe stare în timp continuu poate fi direct identificat folosindfuncţiile ppeemm (off-line) sau rrppeemm (on-line), ca în exemplul de mai jos:

>>>> MM__eesstt == ppeemm((DD,,MM)) ;;

unde DD este un obiect de tip IIDDDDAATTAA (vezi Problema 2.3) corespunzător datelorgenerate de procesul corespunzător reprezentării pe stare, iar MM este reprezentareape stare de mai sus. Deşi reprezentarea este în timp continuu, funcţia ppeemm efectueazăo discretizare în vederea identificării, preluînd perioada de eşantionare din obiectul DD.

Pentru problema de simulare din finalul acestui capitol, se recomandă proiectareaunei rutine de generare a datelor care să ofere valori obţinute plecînd de la funcţia detransfer (128) cu parametrii fizici constanţi (134) sau variabili (135). Rutina ar puteaavea următorul apel tipic:

[[DD,,VV,,PP]] == ggddaattaa__ffpp((ccvv,,KK00,,TT00,,TTmmaaxx,,TTss,,UU,,llaammbbddaa)) ;;

unde: ccvv este un comutator care arată tipul de proces: cu parametri constanţidaţi de ecuaţiile (134) (ccvv==00) sau cu parametri variabili daţi deecuaţiile (135) (ccvv~~==00); (implicit: ccvv==00);

KK00 este valoarea constantă a cîştigului (implicit: KK00==44);TT00 este valoarea constantei de timp (implicit: TT00==00..55 [secunde]);TTmmaaxx este durata simulării (implicit: TTmmaaxx==8800 [secunde]);TTss este perioada de eşantionare (implicit: TTss==00..11 [secunde]);


95

UU este amplitudinea intrării; semnalul de intrare va fi o formă de undădreptunghiulară bipolară (adică avînd numai valori pozitive şinegative), cu perioada egală cu 1/7 din durata totală a simulării;(implicit: UU==00..55);

llaammbbddaa este varianţa zgomotului alb care corupe datele măsurate la ieşireadin proces (implicit: llaammbbddaa==11);


VV este obiectul de tip IIDDDDAATTAA corespunzător zgomotului generat(zgomotul alb se regăseşte în VV..uu sau în VV..yy);

PP este obiectul de tip TTFF corespunzător modelului de proces furnizor dedate; în cazul parametrilor constanţi (134): PP..nnuumm11 şi PP..ddeenn11sunt numărătorul, respectiv numitorul funcţiei de transfer continue(128); în cazul parametrilor variabili (135): PP..nnuumm11 este vectorulvalorilor cîştigului K , iar PP..ddeenn11 este vectorul valorilor constanteide timp T pe durata simulării.

Rutina poate folosi funcţia de bibliotecă TS llssiimm pentru simularea unui sistemcontinuu cu parametri constanţi. (Cititorul este invitat să se informeze singur asupraacestei rutine.) Pentru simularea sistemului cu parametri variabili, se recomandădiscretizarea funcţiei de transfer la fiecare pas de eşantionare şi evaluarea ieşiriifolosind ecuaţia cu diferenţe asociată funcţiei de transfer discrete (129). Zgomotul va fiadăugat numai ieşirii, în final.

Se vor genera 2 seturi de date intrare-ieşire eşantionate: unul provenit de laprocesul cu parametri constanţi ( cD ) şi altul – de la procesul cu parametri variabili

( vD ).

Obiectivul acestui capitol este de a analiza performanţele metodelor de identificareîn cele 2 aplicaţii descrise mai sus.


EExxeerrcciiţţiiuull 77..11 Arătaţi legătura care există între definiţiile (116) şi (117).

EExxeerrcciiţţiiuull 77..22 Arătaţi că transformarea omografică de discretizare (123) asociază drepteleverticale ale planului complex cu cercuri.

EExxeerrcciiţţiiuull 77..33 Folosind aproximarea Padé (125), se constată că elementului integrator continuu(adică avînd funcţia de transfer s/1 ) îi corespunde următorul sistem discret(izat):

1

1

1)( −

−

−=

zzTzH s

d . (136)


96

a. Utilizaţi aproximaţia Padé pentru a deduce corespondentul discret alsistemului continuu de ordin 1:

TsKsH+

=1

)( , (137)

unde K este cîştigul iar T este constanta de timp ce caracterizeazăsistemul.

b. Folosind corespondenţa dintre aproximaţia Padé (125) şi transformarea idealăde discretizare (124), arătaţi că o mai bună exprimare a sistemului discretobţinut la punctul precedent este următoarea:

11

11

1)( −

−

+=

zazbzHd , cu: ( )

−=−=

−

−

TT

TT

s

s

eKbea

/1

/1

1 . (138)

Arătaţi că valorile coeficienţilor funcţiei de transfer discrete (138) se pot obţineşi folosind Teorema Reziduurilor (adică relaţia (126)).

c. Evaluaţi funcţia de transfer a sistemului discretizat corespunzător sistemuluicontinuu descris de funcţia de transfer (128) (sistem liniar simplificat asociatunui motor electric de curent continuu). Pentru aceasta, se vor utiliza mai întîiseparat transformările (123) şi (125), apoi Teorema Reziduurilor (126). Dinpunctul de vedere al IS, care ar fi dezavantajul utilizării transformării (123)?Arătaţi că este posibilă folosirea corespondenţei dintre aproximaţia Padé şitransformarea ideală de discretizare (ca în cazul punctului precedent) pentru adeduce o formă îmbunătăţită a funcţiei de transfer discrete. Pentru aceasta,se vor deduce coeficienţii 1a , 2a , 1b şi 2b în funcţie de constantele fizice Kşi T . (Se recomandă descompunerea funcţiei de transfer în fracţii simple.)Arătaţi că:

121 −=+ aa (139)

şi că parametrii fizici ai procesului se pot recupera direct din parametriiestimaţi ai funcţiei de transfer discrete cu ajutorul următoarelor relaţii:

)1( 2

21

aTbbK

s −+= ;

2212

212

ln))(1( aT

bbabbaTT s

s −=+−

+= . (140)

Care dintre cele 2 relaţii de evaluare a constantei de timp T ar trebui aleasăîn implementarea pe un mijloc automat de calcul? Justificaţi răspunsul.

d. Fie sistemul continuu de ordin 2, descris de următoarea funcţie de transfer:

200

2

20

2)(

ωςωω

++=

sssH , (141)

unde 0ω este pulsaţia naturală de oscilaţie, iar ς este factorul de amortizare.Dacă 1≥ς , polii funcţiei de transfer sunt reali. Dacă 1<ς , polii nu sunt reali.

Folosiţi Teorema Reziduurilor (în cazul extrapolatorului de ordin zero) pentru adeduce versiunea discretizată a sistemului. Mai precis, arătaţi că:


97

22

11

22

11

1)( −−

−−

+++=

zazazbzbzHd , (142)

unde:

=

−=2

2

1 2

ααβ

a

a,

++=

+−=

ςγωωβαα

ςγωωβα

022

01 1

b

b,

=

=

=

−=

−

s

defs

def

Tdef

def

T

T

e s

ωγ

ωβ

α

ςωω

ςω

sin

cos

1

0

20

, pentru 1<ς ; (143)

=

−=2

2

1 2

ααβ

a

a,

++=

+−=

ςγωωβαα

ςγωωβα

022

01 1

b

b,

=

=

=

−=

−

s

defs

def

Tdef

def

T

T

e s

ωγ

ωβ

α

ςωω

ςω

sh

ch

1

0

20

, pentru 1>ς ; (144)

=

−=−

−

s

s

T

T

ea

ea0

0

22

1 2ω

ω

, ( )

−−=

−+=−−

−

1

)1(100

0

2

1

sTT

Ts

Teeb

eTbss

s

ωω

ω

, pentru 1=ς . (145)

Dacă în urma unui experiment de identificare ar fi estimaţi coeficienţii funcţieide transfer discrete (142), arătaţi cum se pot determina parametrii fizici 0ω şiς din relaţiile (143)-(145).

e. Reluaţi exerciţiul de la punctul precedent pentru sistemul de ordin 2:

200

2

20

2)(

ωςωω

++=

ssssH , (146)

adică arătaţi că parametrii funcţiei de transfer discrete asociate sunt:

=

−=2

2

1 2

ααβ

a

a,

−=

=

12

20

1

bb

b αγωω

,

=

=

=

−=

−

s

defs

def

Tdef

def

T

T

e s

ωγ

ωβ

α

ςωω

ςω

sin

cos

1

0

20

, pentru 1<ς ; (147)


98

=

−=2

2

1 2

ααβ

a

a,

−=

=

12

20

1

bb

b αγωω

,

=

=

=

−=

−

s

defs

def

Tdef

def

T

T

e s

ωγ

ωβ

α

ςωω

ςω

sh

ch

1

0

20

, pentru 1<ς ; (148)

=

−=−

−

s

s

T

T

ea

ea0

0

22

1 2ω

ω

, sTseTbb 02

021ωω −=−= , pentru 1=ς . (149)

Notă privind discretizarea sistemelor continue• Acest exerciţiu sugerează maniera practică în care se efectuează discretizarea unei

funcţii de transfer raţionale continue fără poli multipli, cazul utilizării extrapolatorului deordin zero. Mai întîi se descompune funcţia de transfer continuă în fracţii simple (de ordin1 sau 2). Fracţiile de ordin 1 sunt asociate fie integratoarelor, fie sistemelor de ordin 1.Integratoarele se discretizează cu ajutorul aproximaţiei Padé (125). Sistemele de ordin 1se discretizează cu ajutorul relaţiilor (129), care sunt mai precise. Sistemele de ordin 2 sediscretizează cu ajutorul relaţiilor (143)-(145) sau (147)-(149).


Deduceţi valorile parametrilor necunoscuţi 1θ şi 2θ din reprezentarea pe stare(130) în funcţie de parametrii fizici K şi T din definiţia (128). Arătaţi că:

1

1θ

−=T şi 1

2

θαβθ−=K . (150)


PPrroobblleemmaa 77..11 Mini-simulatorul IISSLLAABB__77AA implementează primele 4 etape de identificare descriseîn finalul paragrafului A din secţiunea 7.1. Pentru aceasta, au fost utilizate o seriede rutine MATLAB de uz general sau din biblioteca dedicată domeniului IS (în afararutinei bbuutttteerr deja descrise), precum şi unele special proiectate de către autori.Practic, mini-simulatorul efectuează o identificare off-line a unui model ARMAX,plecînd de la modelul general (84) & (124). După afişarea graficului caracteristiciiaproximative în frecvenţă a procesului generator de date (Figura 34),performanţele modelului sunt ilustrate în următoarele grafice: caracteristicile înfrecvenţă ale filtrului Butterworth ales (Figura 35); spectrul real şi cel simulat alieşirii, împreună cu eroarea spectrală pe întreaga bandă de pulsaţii normalizate(Figura 36); spectrul real şi cel simulat al ieşirii, împreună cu eroarea spectrală pebanda de trecere a filtrului Butterworth (Figura 37).


99

a. Să se analizeze cu atenţie listingul mini-simulatorului IISSLLAABB__77AA şi să seenumere rutinele apelate. Apoi, să se determine ce reprezintă fiecare rutină,folosind eventual comanda hheellpp din mediul MATLAB.

b. Să se ruleze mini-simulatorul IISSLLAABB__77AA alegînd succesiv cîteva frecvenţe deinteres din spectrul procesului furnizor de date. Pentru fiecare frecvenţă, să sealeagă întîi un filtru Butterworth de tip trece-bandă (cu o lărgime de bandăcorespunzătoare) şi apoi un filtru Butterworth de tip trece-jos (cu o frecvenţă detăiere corespunzătoare). Comparaţi performanţele celor 2 alegeri pentru fiecarefrecvenţă aleasă. Observaţi dacă performanţele diferă mai mult pentrufrecvenţe înalte decît pentru frecvenţe joase şi motivaţi acest fenomen.

PPrroobblleemmaa 77..22 Mini-simulatorul IISSLLAABB__77AA returnează un set de date destinat identificăriirecursive a parametrilor (obiect de tip IIDDDDAATTAA), filtrul de intrare utilizat cu pulsaţia(sau pulsaţiile) de tăiere (structură specifică) şi modelul ARMAX determinatfolosind MMEP în variantă off-line (obiect IIDDMMOODDEELL). Proiectaţi mini-simulatorulIISSLLAABB__77BB care să efectueze o identificare on-line a modelului ARMAX folosinddatele furnizate, dar oferind posibilitatea utilizatorului să aleagă alţi indici structuralidecît cei propuşi de modelul off-line, dacă o doreşte. Dacă se aleg aceiaşi indicistructurali, este recomandabil să se utilizeze chiar modelul ARMAX off-line cainiţializare pentru procedura on-line. Performanţele modelului identificat vor fiafişate ca în cazul mini-simulatorului IISSLLAABB__77AA. Testaţi mini-simulatorul pentrudiferite frecvenţe din banda procesului, ca în problema precedentă (se vor alegeaceiaşi indici structurali pentru o frecvenţă selectată, indiferent de tipul de filtru).Comentaţi rezultatele obţinute şi efectuaţi o comparaţie cu cele din problemaprecedentă.

PPrroobblleemmaa 77..33 În cadrul acestei probleme, este propusă proiectarea a 4 mini-simulatoare deidentificare a parametrilor fizici: IISSLLAABB__77CC, IISSLLAABB__77DD, IISSLLAABB__77EE şi IISSLLAABB__77FF.Acestea operează cu seturile de date cD (IISSLLAABB__77CC şi IISSLLAABB__77DD), respectiv vD(IISSLLAABB__77EE şi IISSLLAABB__77FF). Datele pot fi generate folosind rutina ggddaattaa__ffppdescrisă în paragraful B al secţiunii 7.1. După generarea datelor, se efectueazăurmătoarele experimente de identificare:

Identificare off-line a parametrilor fizici constanţi (cu funcţiile ooee sau aarrxx),folosind tehnica discretizării funcţiei de transfer continue şi modelul de tip OEsau ARX (IISSLLAABB__77CC).

Identificare off-line a parametrilor fizici constanţi (cu funcţia ppeemm), folosindtehnica reprezentării pe stare (IISSLLAABB__77DD).

Identificare on-line a parametrilor fizici variabili (cu funcţiile rrooee sau rraarrxx),folosind tehnica discretizării funcţiei de transfer continue şi modelul de tip OEsau ARX (IISSLLAABB__77EE).

Identificare on-line a parametrilor fizici variabili (cu funcţia rrppeemm), folosindtehnica reprezentării pe stare (IISSLLAABB__77FF).


100

Toate cele 4 mini-simulatoare vor afişa grafic, în aceeaşi fereastră, variaţiile intrăriişi ieşirii procesului, ca în Figurile 38. A doua figură afişează variaţia ieşirii simulatefolosind modelul în timp discret şi a celei măsurate folosind modelul în timpcontinuu (vezi Figurile 39).În cazul parametrilor fizici constanţi, se vor afişa valorile adevărate şi cele estimateacestora ca mai jos:

<<IISSLLAABB__77CC>>:: PPhhyyssiiccaall ppaarraammeetteerrss::

TTrruuee EEssttiimmaatteedd

KK:: 44..00000000 44..00559977

TT:: 00..55000000 00..44441122

În cazul parametrilor fizici variabili, se va ilustra variaţia acestora împreună cuvalorile lor estimate, ca în Figura 40.Pentru a proiecta mini-simulatoarele, este util să se rezolve mai întîi exerciţiile degîndire propuse. În cazul reprezentării pe stare, se poate ţine cont de observaţiiledin paragraful B al secţiunii 7.1.

a. În urma simulărilor, se constată că modelele de tip OE sunt superioare celorde tip ARX din punctul de vedere al preciziei de identificare a parametrilornecunoscuţi. Care credeţi că este explicaţia acestui fapt?

b. Reprezentarea pe stare ar trebui să conducă la estimări mai precise aleparametrilor fizici. Justificaţi această afirmaţie. Este ea verificată în urmasimulărilor?

c. Variaţi constanta de timp 0T şi observaţi cum este influenţată precizia deestimare a parametrilor fizici dar şi SNR caracteristic datelor de ieşiremăsurate. Comentaţi rezultatele obţinute.

d. Variaţi cîştigul 0K şi comentaţi precizia cu care sunt estimaţi parametrii fiziciîn cele 4 mini-simulatoare.

e. Variaţi perioada de eşantionare şi comentaţi rezultatele obţinute.


101

Figura 34. O estimare grosieră a spectrului procesului furnizor de date.

Figura 35. Caracteristicile filtrului Butterworth ales.


102

Figura 36. Performanţele modelului ARMAX pe toată lărgimea de bandă.

Figura 37. Performanţele modelului ARMAX pe lărgimea de bandă a filtrului.


103

Figura 38. Date de intrare-ieşire furnizate de un motor de curent continuu:(a) cu parametri constanţi; (b) cu parametri variabili.

Figura 39. Ieşirea măsurată şi cea simulată ale motorului de curent continuu:(a) cu parametri constanţi; (b) cu parametri variabili.

Figura 40. Urmărirea parametrilor fizici ai motorului de curent continuu.

(a) (b)

(a) (b)

T

104


MMooddeellaarreeaa şşii pprreeddiiccţţiiaa sseerriiiilloorr ddee ttiimmpp

88..11.. CCoonntteexxttuull ggeenneerraall ddee lluuccrruuConceptul de serie de timp [TeSt85], [StD9603] desemnează un şir de date

înregistrat în urma evoluţiei unui proces, fără a putea cuantifica sau fără a cunoaştecauzele acelei evoluţii. Doar ieşirea procesului este monitorizată.

Eşantioanele unei serii de timp sunt achiziţionate la momente uniforme sau ne-uniforme de eşantionare. În primul caz, seria de timp este notată prin

NnsnTyny ,1)(][ ===D , unde sT este perioada de eşantionare aleasă. În al doilea

caz, seria de timp este Nnnty ,1)( ==D , unde Nn tttt <<<< LL21 sunt momentele

de eşantionare considerate. Alegerea unei perioade de eşantionare minime (notată totcu sT ) este necesară şi în cazul neuniform (eventual, ea este egală cu durata minimădintre 2 momente de eşantionare consecutive). Practic, mulţimea momentelor deeşantionare neuniforme poate fi considerată un subşir al şirului 0 ≥nsnT , astfel că:

sn nTt ≥ , N∈∀n . (151)

Orizontul de observabilitate al seriei de timp este întotdeauna finit: sNTT =max sau

NtT =max , unde ∗∈NN este numărul de date măsurate. Obiectivul principal almodelării unei serii de timp este predicţia comportamentului procesului furnizor dedate dincolo de orizontul de măsură. De regulă, această operaţie se efectuează pe unorizont de predicţie finit, la diferite momente de eşantionare consecutive echidistante( sTN )1( + , …, sTKN )( + , dacă perioada de eşantionare este constantă) sau

neuniforme ( 1+Nt , …, KNt + , dacă perioada de eşantionare este variabilă). De aceea,seriile de timp trebuie să fie consistente, adică să conţină un număr suficient de marede date măsurate ( N este cel puţin de ordinul zecilor). Orizontul de predicţie are o

dimensiune ∗∈NK mult mai mică (maxim 3 momente de timp), datorită dispersieierorii de predicţie care, de regulă, creşte exponenţial. Diminuarea dispersiei erorii depredicţie se poate realiza numai cu reactualizarea modelului seriei de timp în funcţiede noile date măsurate.

Modelul unei serii de timp ( My ) include 3 componente aditive: două de tip

determinist (tendinţa polinomială Ty , variaţia sezonieră Sy ) şi una de tip

nedeterminist (modelul AR al zgomotului care afectează datele măsurate, ARy ):

ARST yyyy ++≡M . (152)

Estimarea celor 3 modele matematice din (152) se bazează pe MCMMP. Algoritmiiefectivi de estimare au fost descrişi pe larg în [StD9603] sau se pot deduce din[TeSt85]. Vom prezenta succint în continuare numai principalele etape ale acestora.

8. Modelarea şi predicţia seriilor de timp

105

A. Estimarea modelului polinomial al tendinţeiTendinţa unei serii de timp modelează orientarea sa generală de-a lungul timpului,

fără a lua în considerare (pe cît posibil) variaţiile periodice ale datelor şi zgomotelecare le afectează. Media datelor măsurate constituie, de exemplu, un model grosier altendinţei acestora. Dreapta de regresie liniară îmbunătăţeşte aproximarea. Expresiagenerală a componentei tendinţă este de tip polinomial:

ppT tataaty +++= L10)( , R∈∀t , (153)

unde N∈p este gradul polinomului, necunoscut. Tot necunoscuţi sunt şi coeficienţii

acestuia, piia ,0 ∈ .

Pentru date eşantionate uniform, modelul (153) se poate particulariza în:ps

ppssT TnanTaanTy +++= L10)( , Z∈∀n , (154)

dacă perioada de eşantionare este cunoscută, sau, mai simplu, în:p

pT nanaany +++= L10][ , Z∈∀n , (155)

dacă perioada de eşantionare nu se cunoaşte cu precizie sau este consideratăunitatea de măsură a timpului.

Eşantionarea neuniformă induce utilizarea modelului în timp continuu (153), alecărui valori calculate în momentele de eşantionare ( NnnT ty ,1)( ∈ ) sunt puse în

corespondenţă cu datele seriei de timp.

Pentru generalitate, se notează cu nt momentul generic de eşantionare, indiferentde maniera de eşantionare (uniformă sau neuniformă). Evident, în cazul eşantionăriiuniforme, sn nTt = sau chiar ntn = . Altfel, are loc inegalitatea (151). În aceste condiţii,pentru estimarea modelului (153), trebuie rezolvată următoara problemă deminimizare pătratică (exprimată în funcţie de eroarea dintre proces şi model, sau deeroarea de predicţie cu un pas):

)(minargˆ θθθ

NN VS∈

= , unde: ( )∑=

−=N

nnT

def

N tyny1

2)(][)(θV , S∈∀θ , (156)

iar 1+⊆ pRS este domeniul de stabilitate al modelului matematic. Evident, prin1+∈ pRθ a fost notat vectorul coeficienţilor necunoscuţi piia ,0 ∈ , în ordinea

crescătoare a indicilor.Aplicînd MCMMP pentru rezolvarea problemei (156), se obţine:

NNN rR 1ˆ −=θ , (157)

unde:

pji

N

n

jin

def

N tN

R,0,1

1

∈=

+

= ∑ şi

pi

N

n

in

def

N nytN

r,01

][1

∈=

= ∑ . (158)


106

Implementarea relaţiilor (157) şi (158) în forma originală conduce de regulă la eroriimportante, matricea NR fiind dezechilibrată numeric. Datorită inegalităţii (151), sepoate observa că suma generică a matricii verifică următoarea proprietate:

11

11~ ++++

=

++

=

+ ∑∑ ≥ jis

jiN

n

jis

jiN

n

jin TNTnt , (159)

ceea ce implică faptul că elementele de pe diagonala matricii au ordine de mărimeextrem de diferite:

12125533 ,,,, ++ ps

psss TNTNTNNT K (160)

şi inversarea conduce la valori numerice extrem de dezechilibrate. Pentru a corectaacest fenomen, matricii NR i se aplică un operator diagonal de balansare (adică deechilibrare numerică) de forma:

=

sps

psss

def

NNTTNNTNTNT

B 111diag L . (161)

Cu definiţia (161), ecuaţia (157) se poate exprima echivalent astfel:

( ) NNNNNNN rBBRBB1ˆ −

=θ . (162)

În (162), inversarea matricii dintre paranteze se poate efectua acum cu precizie. Seobservă de asemena că matricea de balansare nu se inversează explicit niciodată.

O altă proprietate interesantă utilă implementării metodei de estimare parametricăeste recurenţa verificată de matricile NR şi vectorii Nr pentru diferite grade ale

polinomului tendinţă. Astfel, dacă NR este renotată cu pNR , , iar Nr cu pNr , (pentru a

pune în evidenţă gradul polinomului), atunci se constată cu uşurinţă că:

=

∑∑∑

∑

∑

==

−

=

=

−

=

−

N

n

pn

N

n

pn

N

n

pn

N

n

pn

N

n

pn

pN

pN

tN

tN

tN

tN

tN

RR

1

2

1

12

1

1

12

1

1,

,

111

1

1

L

M şi

=

∑=

−N

n

pn

pN

pN nytN

rr

1

1,

, ][1 , (163)

matricile pNR , fiind, în plus simetrice. Recurenţele (163) arată de fapt că efortul de

calcul depus pentru a evalua matricea inversabilă şi vectorul liber pentru un anumitgrad p poate fi conservat la evaluarea acestora pentru gradul următor, 1+p .

Alegerea gradului polinomului tendinţă se poate efectua apelînd la criteriilestructurale descrise în Capitolul 4. De subliniat că nu se pot trasa linii de demarcaţienete între cele 3 componente ale unei serii de timp. Acest lucru este ilustrat din plin depolinomul tendinţei. Dacă gradul său este prea mare, componenta sezonieră tinde săfie parţial înglobată în modelul tendinţei. Dacă gradul acesteia creşte şi mai mult,


107

atunci şi zgomotele care afectează datele tind să fie parţial modelate prin tendinţă. Ungrad prea mic conduce la o modelare grosieră a tendinţei, o parte din informaţia eifiind preluată de celelalte 2 componente. Este deci recomandabil ca modelul să fieparsimonios, adică tendinţa să aibă un grad mic, dar suficient, pentru a discriminatendinţa de celelate 2 componente cu o bună acurateţe.

După construcţia modelului tendinţei, valorile simulate ale acestuia se scad dinvalorile seriei de timp iniţiale, rezultatul fiind o serie de timp staţionarizată:

pnpnnT

deftataanytynyny −−−−=−= L10sta ][)(][][ , Nn ,1∈∀ . (164)

B. Estimarea componentei sezoniereSeria de timp staţionarizată constituie punctul de plecare pentru determinarea

următoarei componente, cea sezonieră. Componenta sezonieră a unei serii de timpexprimă fenomenul de repetabilitate din evoluţia procesului care a furnizat datelemăsurate. Ea este modelată cu ajutorul a P valori succesive numite coeficienţisezonieri, care sunt replicaţi prin periodicitate pe durata orizontului de măsură. Noulsemnal discret obţinut, Sy , este periodic, de perioadă sPT , unde ∗∈NP , iar sT esteperioada de eşantionare stabilită conform convenţiilor de la punctul precedent.

Prelungirea prin periodicitate a coeficienţilor sezonieri se efectuează simplu încazul eşantionării uniforme. În cazul eşantionării neuniforme, după determinaracoeficienţilor sezonieri, este necesară o interpolare înaintea prelungirii prinperiodicitare. Interpolarea poate fi polinomială (liniară sau cu polinomul lui Lagrange)sau cu funcţii spline cubice (de preferat).

În mod convenţional, coeficienţii sezonieri (parametrii necunoscuţi ai modelului)sunt notaţi prin 1,Sy , …, PSy , , în timp ce indicele structural este numărul P (perioada

în timp normalizat) – de asemenea necunoscut.Determinarea componentei sezoniere se bazează pe două abordări (în care

intervine MCMMP): una temporală (Metoda Wittacker-Robinson) şi alta frecvenţială(Metoda periodogramei Schuster).

1. Metoda Wittacher-Robinson (în timp)Coeficienţii sezonieri se pot obţine folosind media temporală a unor submulţimide date consecutive staţionarizate.Dacă seria de timp este eşantionată neuniform, atunci seria staţionarizatăpoate fi interpolată şi apoi re-eşantionată uniform, la momente de timp de tipul

smT , unde Mm ,1∈ , cu NM > . Perioada de eşantionare sT , dacă nu esteprecizată, va fi aleasă egală cu durata minimă dintre momentele de eşantionareadiacente. Pentru uşurinţa exprimării, se poate considera interpolarea liniară.Astfel, 1sta,y – versiunea interpolată liniar a seriei staţionarizate – are

următoarea exprimare:

])1[][(]1[)( stasta1

1stasta,1 −−

−−+−=

−

− nynyttttnytynn

ndef

,

),[ 1 nn ttt −∈∀ , Nn ,2∈∀ . (165)


108

Prin re-eşantionarea semnalului (165), se obţine setul de date

MmsmTy ,1sta,1 )( ∈ , unde 5.0/max += sTTM (rotunjire la cel mai apropiat

întreg).

În cazul eşantionării uniforme, NM = şi ][)( stasta,1 mymTy s = , Mm ,1∈∀ .

Pentru fiecare 2/,2 MP∈ , setul de date MmsmTy ,1sta,1 )( ∈ este segmentat

într-un număr de PMK /= seturi de date consecutive (numite şi cadre)aranjate într-o matrice, pe linii:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

+−+−

++=

sss

sss

sss

def

KPTyTPKyTPKy

PTyTPyTPyPTyTyTy

Y

sta,1sta,1sta,1

sta,1sta,1sta,1

sta,1sta,1sta,1

sta

2)1(1)1(

2)2()1(2

L

MOMM

L

L

. (166)

Ultimele date (care nu pot constitui un segment complet) se pierd.

Calculînd media fiecărei coloane a matricii staY , se obţin coeficienţii sezonieri:

( )( )∑−

=+=

1

0sta,1,

1 K

ks

def

pS TpkPyK

y , Pp ,1∈∀ . (167)

Urmează interpolarea coeficienţilor sezonieri în cazul eşantionării neuniforme.Astfel, componenta sezonieră este exprimată pe o perioadă de următorulsemnal continual (obţinut prin interpolare liniară):

( )1,,1,1,)1()(~

−− −−−+= pSpSs

spS

def

S yyT

Tptyty ,

),)1[( ss pTTpt −∈∀ , Pp ,1∈∀ , (168)

unde, datorită periodicităţii, PSS yy ,0, = . Pe întregul orizont de măsură,

componenta sezonieră )(•Sy este exprimată în timp continual prin replicareaconsecutivă a semnalului (168) de un număr corespunzător de ori. În timpdiscret, semnalul sezonier continual trebuie re-eşantionat la aceleaşi momentede timp ca şi seria de timp originală: )(][ nSS tyny = , Nn ,1∈∀ .

De notat că interpolarea induce distorsiuni ale semnalului periodic rezultat. Încazul interpolării liniare, distorsiunile pot fi mai importante decît pentruinterpolarea cu funcţii spline cubice. Operaţiile de interpolare şi re-eşantionarenu mai sunt necesare în cazul în care seria de timp a fost eşantionată uniform.Alegerea unei componente sezoniere adecvate se efectuează baleind gama deperioade posibile între 2 şi 2/M . Fie PSy ~, componenta sezonieră discretă

de perioadă P (eventual eşantionată neuniform). Dintre toate componentelesezoniere

2/,2~, MPPSy ∈ se va alege aceea care conduce la o eroare pătratică

minimă faţă de seria staţionarizată. Mai precis, perioada optimă rezultă prin


109

rezolvarea următoarei probleme de minimizare a erorii pătratice dintre model şiprocesul furnizor de date:

][minarg

2/,2,0 PP

MPt V

∈= , unde: ( )∑

=−=

N

nPS

defnynyP

1

2~,sta ][][][V , 2/,2 MP∈∀ .(169)

Deorece criteriul V este discret, minimizarea acestuia se poate efectua printr-oprocedură de căutare exhaustivă, cu condiţia ca numărul total al perioadelorposibile, 2/M , să fie suficient de mic (de ordinul zecilor de mii, cel mult).Dacă acest număr este prea mare (sute de mii, milioane, etc.), determinareaminimului se poate realiza folosind algoritmi de căutare evoluţionişti (algoritmulde anealizare, algoritmi genetici, algoritmi de ascensiune montană, etc.)[RuNo95], [MiM95].Atunci cînd numărul perioadelor posibile este mic, alegerea perioadei optime sepoate realiza şi pe cale grafică, după trasarea variaţiei criteriului V , ca înFigura 41.

Figura 41. Determinarea perioadei optime cu Metoda Wittacker-Robinson.

Graficul lui V poate pune în evidenţă mai multe minime locale situate laperioade multiple ale unei perioade date. Acestea indică de fapt doar perioadade bază, deoarece un semnal periodic de perioadă P este periodic şi deperioadă nP , cu 2≥n .Dacă seria staţionarizată nu posedă componentă sezonieră, graficul criteriuluiV este fie aproape constant, fie extrem de oscilant cu numeroase minime

locale situate în jurul aceleiaşi valori.

2. Metoda periodogramei Schuster (în frecvenţă)Potrivit Teoriei lui J. Fourier, componenta sezonieră fiind un semnal periodic,poate fi aproximată punctual cu o sumă finită de armonice elementare:

( )∑=

+≅M

mnmmnmmnS tbtaty

0)cos()sin()( ωω , Nn ,1∈∀ . (170)

2M2 P0,t P

V


110

Numărul maxim al armonicelor, M , poate fi ales în aşa fel încît să fie inferiorlui )2/(max sTT (adică 2/N în cazul eşantionării uniforme). Acest număr

poate fi ales şi mai mare, dar, dincolo de )2/(max sTT , armonicele au puterispectrale nesemnificative în raport cu puterile armonicelor anterioare, datorităTeoremei de eşantionare Kotelnikov-Shannon-Nyquist [StD9603], [StD9602a].Pulsaţiile armonicelor sunt alese să fie echidistante (chiar şi în cazuleşantionării neuniforme). Se poate arăta că dacă momentele de eşantionaresunt multipli raţionali ai perioadei de eşantionare, atunci o reprezentare Fouriercorectă se obţine alegînd următorul set de pulsaţii [StD99]:

s

def

m NTmM πω 02= , Mm ,0∈∀ , (171)

unde 0M este restul împărţirii celui mai mic multiplu comun (cmmmc) al

numitorilor numerelor raţionale Nnsn Tt ,1/ ∈ la N . În cazul eşantionării

uniforme, 10 =M . Pulsaţia de eşantionare Ns /2πω = controlează rezoluţia înfrecvenţă, care este de dorit să fie cît mai bună, deoarece, în acest fel, preciziade determinare a perioadei optime a componentei sezoniere este mai mare.Rezoluţia creşte odată cu scăderea pulsaţiei de eşantionare, adică odată cumărirea numărului de date achiziţionate, N . Condiţia ca momentele deeşantionare să fie multipli raţionali ai perioadei de eşantionare nu esterestrictivă, deoarece, în practică, se operează numai cu numere raţionale.Pentru a estima parametrii necunoscuţi ai modelului sezonier (170), adică

Mmma ,1 ∈ şi Mmmb ,0 ∈ (coeficienţii Fourier), trebuie rezolvată o problemă de

minimizare a erorii pătratice dintre model şi proces:

)(minargˆ12

θθθ

MMM

V+∈

=R

, unde: ( )∑=

−=N

nnS

def

M tyny1

2)(][)(θV , 12 +∈∀ MRθ , (172)

unde θ este vectorul coeficienţilor Fourier. De notat că, deoarece seria de timpa fost staţionarizată, coeficientul Fourier 0b este aproximativ nul (el esteproporţional cu media datelor, codificînd componenta staţionară a acestora).Rezolvarea problemei (169) se poate efectua prin metoda clasică (anulareagradientului criteriului MV ). Rezultă următoarele estimaţii ale coeficienţilorFourier:

MMM rR 1ˆ −=θ , (173)

unde:

=

∈=∈=

∈=∈=

∑∑

∑∑

Mji

N

nnjni

Mji

N

nnjni

Mji

N

nnjni

Mji

N

nnjni

M

tttt

ttttR

,1,1,1,1

,1,1,1,1

)cos()cos()cos()sin(

)cos()sin()sin()sin(

ωωωω

ωωωω; (174)


111

=

∈=

∈=

∑

∑

Mi

N

nni

Mi

N

nni

pN

tny

tnyr

,11sta

,11sta

,

)cos(][

)sin(][

ω

ω. (175)

Matricea MR din (174) devine diagonală în cazul în care seria de timp esteuniform eşantionată. Aceasta conduce la exprimarea coeficienţilor Fourier înformă completă:

=

=

∑

∑

=

=N

nnmm

N

nnmm

tnyNb

tnyNa

1sta

1sta

)cos(][2

ˆ

)sin(][2

ˆ

ω

ω, Mm ,1∈∀ . (176)

După estimarea coeficienţilor Fourier, se poate trasa graficul periodogrameiSchuster, care este definită prin:

22 ˆˆ][ mm

defbam +=P , Mm ,1∈∀ . (177)

Valorile periodogramei aproximează puterile spectrale ale armonicelor dincomponenţa seriei de timp staţionarizate. Armonica dominantă se poatedetermina prin evaluarea punctului de maxim al periodogramei, adică prinrezolvarea următoarei probleme de maxim:

][maxarg,1

0 mmMm

P∈

= . (178)

Indexul pulsaţiei optime, 0m , conduce direct la perioada optimă a componenteisezoniere în timp continuu:

000

0

2MmNTT s

m==

ωπ

. (179)

În timp discret, perioada optimă se obţine prin rotunjire la cel mai apropiatîntreg:

+=

+=

21

21

00

0,0 Mm

NTTPs

f . (180)

Ca şi în cazul abordării anterioare (în timp), rezolvarea problemei (178) sepoate realiza practic prin căutarea exhaustivă a maximului său direct de pegraficul periodogramei (ca în Figura 42). De altfel, graficul periodogrameiconduce la aceleaşi concluzii ca şi cel al erorii pătratice din cazul metodeianterioare.

Abordarea în frecvenţă completează demersul anterior, bazat pe estimareacomponentei sezoniere direct în domeniul timpului, în sensul că, pentru a decideperioada optimă a componentei sezoniere, trebuie comparate perioadele oferite deambele metode.


112

Figura 42. Determinarea perioadei optime cu Metoda periodogramei Schuster.

Astfel: Dacă graficul criteriului V şi cel al periodogramei P sunt grupate într-o bandăde %10± în jurul mediilor lor, seria de timp nu posedă componentă sezonieră.

Dacă ft PP ,0,0 = (caz destul de rar), atunci perioada în timp discret este

ft PPP ,0,00 == .

Dacă ft PP ,0,0 ≅ (adică dacă tP ,0 şi fP ,0 diferă cu o valoare mică în raport cu

valorile lor, se preferă Metoda Wittacker Robinson (deoarece introduce maipuţine erori de calcul). Aşadar, în acest caz: tPP ,00 = .

Dacă una din cele două perioade o divide pe cealaltă, se va alege perioadaoptimă în mod natural: ,min ,0,00 ft PPP = .

Dacă perioadele tP ,0 şi fP ,0 sunt total diferite, se vor lua în calcul şi alte valori

rezultate din extremele locale ale criteriului V şi periodogramei P . Se va alegeo pereche de valori apropiate ale perioadei (dacă este posibil) şi se va selectaperioada oferită de minimul local corespunzător al criteriului V . Dacă nu sepoate stabili nici o corespondenţă între valorile posibile ale perioadelor rezultateîn urma celor 2 abordări, se poate considera că seria de timp nu posedăcomponentă sezonieră.

Alegerea perioadei optime a componentei sezoniere constituie punctul cel maidelicat al modelării seriilor de timp. În afara celor 2 abordări, se pot utiliza în acestscop şi o serie de informaţii apriorice legate de procesul furnizor de date, dacă suntcunoscute. De exemplu, seria de timp a ratei şomajului înregistrat lunar într-o anumităţară va avea probabil o perioadă de 12 luni (considerînd că perioada de eşantionareeste de 1 lună).

Odată ce perioada componentei sezoniere a fost stabilită, coeficienţii sezonieri seevaluează după procedeul descris în cadrul metodei Wittacher-Robinson (definiţiile(165)-(166), cu 0P în loc de P şi numărul de cadre K evaluat corespunzător).

P

2N

P

1 m0 m


113

Dacă există, semnalul periodic asociat, Sy , se obţine apoi tot în maniera descrisăîn cadrul Metodei Wittacker-Robinson (prelungire prin periodicitare şi, eventual, re-eşantionare). Dacă seria de date nu posedă componentă sezonieră, aceasta esteasimilată cu un semnal nul. Prin scăderea componentei sezoniere din seria de datestaţionarizată se obţine semnalul perturbator al datelor:

)(][][ sta nS

deftynynv −= , Nn ,1∈∀ . (181)

C. Estimarea componentei nedeterministe (aleatoare)Dacă tendinţa şi componenta sezonieră ale seriei de timp au fost corect

determinate, setul de date Nnnv ,1][ ∈ , obţinut după extragerea lor din seria de timp,

are caracteristicile unui zgomot colorat rezidual. Filtrul de zgomot poate fi de tip FIRsau IIR. În primul caz, se poate opera cu un model de identificare de tip MA. În aldoilea caz, este utilizat modelul AR. Filtrele de tip FIR sunt de asemenea utlizatepentru a aproxima filtre de tip IIR, dar funcţiile pondere au, în general, o lungimeridicată. Vom adopta în continuare filtrul de tip IIR.

Modelul AR este unul dintre primele modele de identificare utilizate în aplicaţii, înspecial datorită simplităţii şi a posiblităţii de a estima parametrii în manieră recursivă.Reamintim că ecuaţia modelului AR este următoarea:

−=

=−++−+

][][][

][][]1[][

02

1

mnmeneE

nenanvanvanv na

δλL

, Nn ,1∈∀ , (182)

unde parametrii necunoscuţi sunt coeficienţii naiia ,1 ∈ (asamblaţi într-un vector

nana R∈θ ) şi dispersia zgomotului alb 2λ . Indicele structural al modelului (necunoscut

şi el) este 1≥na . În general, indicele structural maxim nu depăşeşte valoarea 6=Napentru majoritatea seriilor de timp.

Determinarea modelului AR (182) se bazează pe MCMMP. Astfel, pentru fiecareindex structural Nana ,1∈ , parametrii necunoscuţi estimaţi din zgomotul colorat sunturmătorii:

nanana rR 1ˆ −=θ ; ( )∑=

−=N

nna

Tnana nnv

N 1

22 ˆ][][1ˆ θϕλ , (183)

unde:

[ ]][]1[][ nanvnvndef

Tna −−−−= Lϕ ; (184)

naji

N

n

N

n

Tnana

def

na jnvinvN

nnN

R,1,11

][][1][][1

∈==

−−== ∑∑ ϕϕ ; (185)

nai

N

n

N

nna

def

na invnvN

nvnN

r,111

][][1][][1

∈==

−−== ∑∑ϕ . (186)


Implementarea relaţiilor (183)-(186) se poate realiza mai eficient observînd cămatricea naR este Toeplitz simetrică (adică este generată de prima linie sau coloană),

iar majoritata elementelelor vectorului nar se regăsesc printre elementele matricii naR .Relaţii de recurenţă similare celor de la (163) pot fi de asemenea puse în evidenţă cuuşurinţă.

Pentru a evita inversarea matricii naR se poate utiliza Algoritmul Levinson-Durbin[PrMa96], pe care îl vom prezenta în continuare. Acesta permite estimarea recursivă acoeficienţilor modelului AR[na], în funcţie de coeficienţii modelului AR[na-1]. Pentru ailustra aceste relaţii recursive, coeficienţii modelului AR[na] se notează cu inaa , ,

nai ,1∈∀ . De asemenea, se notează cu vr funcţia de auto-covarianţă aproximativăestimată din datele reziduale (adică termenul din dreapta al relaţiei aproximative (9)).Algoritmul este descris în Figura 43.

Figura 43. Algoritmul Levinson-Durbin.

Rale procmodpoliDe de

înde

∀nordi

1

2

Date de intrare: seria de date reziduale: Nnnv ,1][ ∈ .

. Iniţializare:

( )

−=+=

−=

21,11,1

21

1,1

ˆ1]0[ˆ]1[ˆˆ]0[ˆˆ]0[ˆ]1[ˆˆ

arrar

rra

vvv

v

v

λ.

. Pentru Nana ,2∈ :

( )

( )

−=

−∈∀+=

++−+−=

−

−−−

−−−−

2,

21

2

,1,,1,

1,11,121

,

ˆ1ˆˆ

1,1,ˆˆˆˆ

]1[ˆˆ]1[ˆˆ][ˆˆ1ˆ

nananana

inanananainaina

vnanavnavna

nana

a

naiaaaa

ranaranara

λλ

λL

.

Date de ieşire: coeficienţii tuturor modelelor AR[na], cu na∈1,2,…,Na.

114

elaţiile algoritmului au fost deduse prin exploatarea unor proprietăţi remarcabilematricilor Toeplitz simetrice. De altfel, folosind acest algoritm, se poate proiecta oedură eficientă de inversare a matricilor Toeplitz simetrice. Se poate arăta căelul AR determinat cu ajutorul Algoritmului Levinson-Durbin este stabil (rădăcinile

nomului auto-regresiv sunt situate în discul unitar al planului complex) [PrMa96].asemenea, coeficienţii nanaa ,ˆ se mai notează prin nak şi se mai numesc coeficienţireflexie. Ei joacă un rol important în estimarea dispersiei zgomotului alb, care

plinesc funcţia de eroare de predicţie cu un pas. Se poate arăta că 1ˆ <nak ,

1≥a , ceea ce arată că estimaţia dispersiei zgomotului alb ( 2naλ ) scade odată cu

nul modelului. Cu toate acestea, aşa cum arată paragraful următor, precizia


115

predicţiei cu mai mulţi paşi a modelului AR nu se îmbunătăţeşte în mod necesar odatăcu ordinul acestuia.

Alegerea modelului optimal al componentei nedeterministe se realizează folosindcriteriile structurale descrise în Capitolul #4. Se poate utiliza şi graficul dispersiei 2

naλîn acest scop. Odată ce ordinul optim ( 0na ) a fost selectat, modelul matematic alcomponentei aleatoare este dat de următoarea ecuaţie omogenă recursivă (cudiferenţe):

===

=−++−+

][][;];2[]2[];1[]1[

0][ˆ]1[ˆ][000 ,1,

navnayvyvy

nanyanyany

ARARAR

ARnanaARnaAR

L

L, Nn ,1∈∀ , (187)

De notat că zgomotul alb rezidual lipseşte din ecuaţia (187). El va interveni (prindispersia sa) în faza de predicţie.

De asemenea, se poate observa că maniera de eşantionare a seriei de timp nueste importantă în modelarea componentei aleatoare. Cu toate acestea, dacă seria detimp a fost eşantionată neuniform, modelul ARy ar putea fi determinat dupăinterpolarea zgomotului colorat rezidual şi re-eşantionarea sa uniformă. Modelulobţinut este la rindul său interpolat şi apoi re-eşantionat neuniform. Însă cele 2interpolări distorsionează, de regulă, rezultatul final.

D. Predicţia seriei de timpModelul complet al seriei de timp (152), conţine 2 componente deterministe ( Ty şi

Sy ) şi una nedeterministă ( ARy ). De aceea, prognoza seriei de timp nu se realizeazădoar prin extrapolarea celor 3 componente pe orizontul de predicţie, ci şi prinestimarea preciziei valorilor predictate. Aceasta este determinată de dispersia erorii depredicţie. Singura componentă care oferă posibilitatea de a estima eroarea depredicţie este cea nedeterministă.

În IS se operează cu conceptul de predictor optimal, care oferă prognoze cu eroarede predicţie minimală. În cazul modelului AR, dacă se notează prin ]|[ˆ NkNyAR +valoarea predictată la momentul kNt + din N date măsurate, predictorul optimal estedescris de următoarele relaţii recursive:

+≥−−−−+−

∈−+−−−

−+−−−+−

≤+

=+−

1,]|[ˆˆ]|1[ˆˆ

,1,][ˆ][ˆ]|1[ˆˆ]|1[ˆˆ

0,][

]|[ˆ

00,1,

00,,

1,1,

000

000

00

nakNnaNyaNkNya

naknakNvaNva

NNyaNkNya

kkNv

NkNy

ARnanaARna

nanakna

ARknaARnadef

AR

L

L

L

(188)

Pentru a evalua precizia valorii predictate ]|[ˆ NkNyAR + , se apelează la modelulAR (182), cu ajutorul căruia se poate estima eroarea de predicţie:

]|[ˆ][][ˆ NkNykNvkNe AR +−+=+ , Kk ,0∈∀ , (189)


116

şi dispersia acesteia, notată cu 2kσ . După o serie de calcule elementare în care

intervine definiţia (188), se poate arăta că erorile de predicţie verifică ecuaţia:

,,1,][

][][ˆˆ]1[]1[ˆˆ][ˆ 000,01, 000

NkkNe

nakunakNeakukNeakNe nanana

∈∀+=

=−−+++−−+++ L(190)

unde 0u este treapta unitară discretă, iar 0][][][ˆ =−= NvNvNe .

Plecînd de la ecuaţia (190), se pot deduce expresiile dispersiilor erorilor depredicţie. De exemplu, primele 3 estimaţii ale dispersiei de predicţie sunt următoarele:

221 λσ = ⇒ 22

1 0ˆˆ naλσ = ; (191)

( )21,

222 0

ˆ1 naa+= λσ ⇒ ( ) ( )21,

21

21,

222 000

ˆ1ˆˆ1ˆˆ nanana aa +=+= σλσ ; (192)

( )( )22,21,

21,

223 000

ˆˆˆ1 nanana aaa −++= λσ ⇒

⇒ ( )( ) ( ) ( )22,21,

22

21,

22

22,

21,

21,

222 0000000

ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ1ˆˆ nanananananana aaaaaa −++=−++= σσλσ . (193)

Evident, relaţiile (191)-(193) arată că dispersia erorii de predicţie creşte( L≤≤≤ 2

322

21 ˆˆˆ σσσ ), ceea ce implică o deteriorare a preciziei prognozei pe măsură

ce momentele de predicţie se îndepărtează de orizontul de măsură.Valorile predictate ale seriei de timp se obţin astfel:

]|[ˆ][][]|[ˆ NkNykNykNyNkNy ARST +++++=+ , Kk ,1∈∀ . (194)

Acestea sunt de regulă figurate pe graficul seriei de timp împreună cu precizia deestimare, reprezentată de intervalele (segmentele verticale):

[ ]kk kNykNy σσ ˆ3][,ˆ3][ ++−+ , Kk ,1∈∀ , (195)

considerînd că zgomotul alb rezidual este şi Gaussian. Practic, valoarea predictată seaflă în acest interval cu probabilitate superioară lui 90%. Evident, cu cît intervalul estemai larg, cu atît precizia de predicţie este mai slabă.

Obectivul acestui capitol este de a determina şi utiliza modelele de predicţie aleunor serii de timp.


EExxeerrcciiţţiiuull 88..11 Deduceţi estimaţia (157)-(158) a parametrilor necunoscuţi care exprimă modelulpolinomial al tendinţei unei serii de timp.

EExxeerrcciiţţiiuull 88..22 Exprimaţi relaţiile de interpolare cu funcţii spline cubice ale seriei staţionarizate dedate eşantionate neuniform. Reamintim că funcţiile spline cubice sunt polinoamede gradul 3 care verifică proprietăţile următoare:a. coeficienţii lor trebuie reactualizaţi pentru fiecare pereche de noduri de

eşantionare/interpolare adiacente;


117

b. oricare două funcţii spline adiacente coincid în nodurile deeşantionare/interpolare;

c. derivatele de ordin 1 ale oricăror două funcţii spline adiacente coincid înnodurile de eşantionare/interpolare;

d. pentru nodurile de eşantionare/interpolare extreme, funcţiile spline şi derivatelelor de ordin 1 sunt obligate să verifice condiţii iniţiale şi finale impuse (deregulă, valori nule ale derivatelor).

EExxeerrcciiţţiiuull 88..33 Deduceţi estimaţia (173)-(175) a parametrilor necunoscuţi care exprimă modelulcomponentei sezoniere a unei serii de timp. Demonstraţi că, în cazul în care seriaeste eşantionată uniform, parametrii se pot exprima în forma completă (176).

Indicaţie• Se poate ţine cont de următoarea relaţie a lui Poisson:

][2exp 0

1

0ZNkNj

NknN

n−=

±∑

−

=δπ , Z∈∀k ,

unde ZN este mulţimea multiplilor întregi ai lui N , iar 0δ este impulsul unitar discret sausimbolul lui Kronecker.

EExxeerrcciiţţiiuull 88..44 a. Proiectaţi o procedură de inversare a matricilor Toeplitz simetrice folosind

Algoritmul Levinson-Durbin din Figura 43.b. Demonstraţi că erorile de predicţie verifică ecuaţia (190).c. Deduceţi estimaţiile dispersiilor erorilor de predicţie pentru primii 3 paşi de

predicţie (ecuaţiile (191), (192) şi (193)).

88..33.. PPrroobblleemmee ddee ssiimmuullaarreeUn număr de 15 serii de timp sunt puse la dispoziţia utilizatorilor. Acestea sunt

înregistrate sub forma unor fişiere MATLAB care, odată apelate, încarcă în memorieseria de date în variabila yy (vector linie) şi semnificaţia datelor în variabila de tip textttiitt (adică titlul seriei de timp). Seriile de timp sunt descrise succint în Tabelul 2, careprecede variaţiile lor grafice din finalul capitolului. Cu excepţia ultimelor 3 serii de timp,celelate 12 serii sunt eşantionate uniform. Ultimele 3 serii de timp sunt eşantionateneuniform, vectorul linie dd conţinînd momentele de eşantionare.

PPrroobblleemmaa 88..11 Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__88AA care returnează modelulparsimonios al tendinţei unei serii de timp. Apelul tipic al rutinei va fi următorul:

[[yyTT,,yyssttaa,,dd,,tthheettaa__TT]] == IISSLLAABB__88AA ;;

unde: yyTT este vectorul linie al valorilor polinomului tendinţă calculate în

momentele de eşantionare (adică NnnT ty ,1)( ∈ ), yyssttaa este vectorul linie al

datelor staţionarizate (yyssttaa==yy--yyTT), dd este vectorul linie al momentelor deeşantionare, iar tthheettaa__TT este vectorul coloană al coeficienţilor estimaţi ai


118

modelului. Utilizatorul va avea posibilitatea să aleagă pe oricare din cele 15 seriide timp sau o serie de date proprie înregistrată în acelaşi format ca seriile de timpdisponibile. De asemenea, pentru alegerea indicelui structural optim al modelului(adică a gradului polinomului), se poate folosi funcţia MATLAB ggiinnppuutt, cu ajutorulcăreia se pot citi în mod direct coordonatele oricărui punct al unui grafic de funcţieafişat pe ecran. Astfel, de exemplu, dacă se foloseşte criteriul aplatizării,utlizatorul va indica punctul de început al palierului dispersiei erorii de predicţie(adică )(θNV ) pe cale grafică, urmînd ca programul să stabilească automatordinul optim al modelului (prin aproximare la cel mai apropiat întreg). Se vor afişagraficele seriei de timp iniţiale, tendinţei selectate şi seriei de timp staţionarizate.

PPrroobblleemmaa 88..22 Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__88BB care returnează modelulcomponentei sezoniere a unei serii de timp. Apelul tipic al rutinei va fi următorul:

[[yySS,,vv,,PP00]] == IISSLLAABB__88BB((yyssttaa,,dd)) ;;

unde: yyssttaa este vectorul linie al datelor staţionarizate, dd este vectorul linie almomentelor de eşantionare, yySS este vectorul linie al valorilor componentei

sezoniere calculate la momentele de eşantionare (adică NnnS ty ,1)( ∈ ), vv este

vectorul linie al zgomotului colorat rezultat după extragerea componenteisezoniere din seria de date staţionarizată (vv==yyssttaa--yySS), iar PP00 este perioadadiscretă a componentei sezoniere. Pentru alegerea perioadei optime a modelului,se poate folosi funcţia MATLAB ggiinnppuutt. Se vor afişa graficele seriei de timpstaţionarizate, componentei sezoniere şi zgomotului colorat rezidual.

PPrroobblleemmaa 88..33 a. Să se proiecteze mini-simulatorul IISSLLAABB__88CC care returnează modelul

componentei aleatoare a unei serii de timp. Apelul tipic al rutinei va fi următorul:[[tthheettaa,,llaammbbddaa22,,ee]] == IISSLLAABB__88CC((vv,,dd)) ;;

unde: vv este vectorul linie al zgomotului rezidual colorat, dd este vectorul linie almomentelor de eşantionare, tthheettaa este vectorul coloană al coeficienţilor

estimaţi ai predictorului AR optimal (adică 00 ,1, ˆ naiinaa ∈ ), llaammbbddaa22 este

dispersia estimată a zgomotului alb rezidual (adică 20naλ ), iar ee este vectorul

linie al valorilor zgomotului alb rezidual. Pentru alegerea ordinului optim almodelului, se poate folosi funcţia MATLAB ggiinnppuutt. De asemenea, pentruestimarea parametrilor, se recomandă implementarea Algoritmului Levinson-Durbin. Se vor afişa graficele zgomotului colorat rezidual, al componenteialeatoare şi al zgomotului alb rezidual. Indicaţi raportul semnal-zgomot estimat(SNR) pe graficul zgomotului alb rezidual (în deciBeli).

b. Folosind cele 3 mini-simulatoare anterioare, să se proiecteze mini-simulatorulIISSLLAABB__88DD care returnează valorile predictate ale unei serii de timp pe unorizont de predicţie precizat. Apelul tipic al rutinei va fi următorul:

[[yypprreedd,,ssiiggmmaa22,,dd]] == IISSLLAABB__88DD((KK)) ;;


119

unde: yypprreedd este vectorul linie al seriei de timp predictate, ssiiggmmaa22 estevectorul line al dispersiilor erorilor de predicţie corespunzătoare (adică

Kkk ,12ˆ ∈σ ), dd este vectorul linie al momentelor de predicţie, iar KK este

dimensiunea orizontului de predicţie. Utilizatorul va avea posibilitatea să aleagăpe oricare din cele 15 serii de timp sau o serie de date proprie înregistrată înacelaşi format ca seriile de timp disponibile. Modelul seriei de timp va ficonstruit restrîngînd seria de timp la un număr de eşantioane egal cu KN − ,pentru a testa precizia acestuia pe orizontul de predicţie. În afara graficelorafişate de către mini-simulatoarele IISSLLAABB__88AA,,BB,,CC, se vor afişa în finalgraficele seriei de timp măsurate si predictate, împreună cu intervalul deprecizie al fiecărei valori predictate.


120

Tabelul 2. Serii de timp disponibile pe Discul Compact.

Fişier(Figură)

Semnificaţie

SSTT0011..MM(Figura 44)

Rata lunară a numărului de şomeri din SUA între Ianuarie 1973 şiiulie 1985 [%].


Circulaţia monedei belgiene măsurată lunar, timp de 10 ani, între1980 şi 1990 [miliarde BFr].


Media lunară a numărului de pete solare observate între 1976 şi1989.


Distanţa lunară parcursa la U.K. Airlines pe cursele interne între1982 şi 1989 [mii km].


Rata lunară a şomajului în Marea Britanie între 1978 şi 1989 [%].


Rata lunară a şomajului în Franţa între 1980 şi 1990 [%].


Rata lunară a şomajului în Canada între 1979 şi 1989 [%].


Veniturile lunare realizate din impozitele pe telefoane, într-o regiunedin SUA [milioane USD].


Media lunară a timpului mediu de lucru săptămînal în SUA între 1979şi 1989 [ore].


Numărul lunar al bolnavilor operaţi de amigdalită la Spitalul 23August din Bucureşti, între 1982 şi 1990.


Intensitatea conştiinţei colective pe Terra măsurată lunar între 2000şi 2004 la Kings College în Londra [mH].


Intensitatea radio cosmică măsurată la radio-telescopul dinIndianapolis (SUA) între 2001 şi 2004 [mV DC].


Rata de conversie între USD şi ROL începînd cu 15 octombrie 2001.


Rata de conversie între EURO şi ROL începînd cu 10 ianuarie 2002.


Rata de conversie între USD şi EURO începînd cu 10 ianuarie 2002.


121

Figura 44. Rata lunară a numărului de şomeri din SUA.

Figura 45. Circulaţia monedei belgiene măsurată lunar, timp de 10 ani.


122

Figura 46. Media lunară a numărului de pete solare observate.

Figura 47. Distanţa lunară parcursa la U.K. Airlines pe cursele interne.


123

Figura 48. Rata lunară a şomajului în Marea Britanie.

Figura 49. Rata lunară a şomajului în Franţa.


124

Figura 50. Rata lunară a şomajului în Canada.

Figura 51. Veniturile lunare din impozitele pe telefoane în SUA.


125

Figura 52. Media lunară a timpului mediu de lucru săptămînal în SUA.

Figura 53. Numărul lunar al bolnavilor operaţi de amigdalită la Spitalul 23 August.


126

Figura 54. Intensitatea conştiinţei colective pe Terra măsurată lunar.

Figura 55. Intensitatea radio cosmică măsurată la radio-telescopul din Indianapolis.

11 septembrie 2001

11 martie 2004


127

Figura 56. Cursul de schimb USD-LEI (eşantionare neuniformă).

Figura 57. Cursul de schimb EURO-LEI (eşantionare neuniformă).


128

Figura 58. Cursul de schimb USD-EURO (eşantionare neuniformă).

129

AAnneexxaa AA

DDeesspprree bbiibblliiootteeccaa ddee rruuttiinnee MMAATTLLAABBddeeddiiccaattee IIddeennttiiffiiccăărriiii SSiisstteemmeelloorr

Biblioteca de Identificare a Sistemelor din cadrul mediului de programare MATLAB6.* (adică System Identification Toolbox) este scrisă folosind tehnologia programăriiorientate obiect şi conţine numeroare rutine extrem de utile care pot fi direct apelate.Rutinele corespund în principiu conceptelor şi metodelor specifice domeniului IS, aşacum sunt descrise în principal în [SoSt89] şi [LjL99].

Primele informaţii despre utilizarea bibliotecii se pot obţine cu ajutorul comenzilor:iiddhheellpp (specifică bibliotecii) sau hheellppwwiinn (generală), urmată de selectareabibliotecii din colecţia de biblioteci afişate.

Prima comandă (iiddhheellpp) afişează un mico-manual al bibliotecii, pe care îl vomreproduce şi noi în această anexă. A doua comandă (hheellppwwiinn) este însărecomandată pentru accesarea informaţiilor detaliate legate de rutinele bibliotecii. Denotat că biblioteca deţine şi o interfaţă grafică convivială (Graphical User Interface –GUI) care ar putea fi utilizată pentru demonstrarea unor rezultate de simulare.

Comanda generică de estimare a parametrilor unui model este următoarea:

MMiidd == iidd__ffuunnccttiioonn((DD,,MMss)) ;;

unde: iidd__ffuunnccttiioonn este funcţia de identificare utilizată (de exemplu: ppeemm – folosindMetoda Minimizării Erorii de Predicţie; aarrxx – folosind un modelARX şi MCMMP; iivv – folosind un model ARX şi MVI, etc.).

DD este un obiect de tip date de identificare (IIDDDDAATTAA), descris deexemplu în contextul Problemei 2.3; pentru a obţine mai multeinformaţii, se poate executa comanda iiddhheellpp ddaattaa.

MMss este o variabilă care defineşte structura modelului; comandaiiddhheellpp mmooddeell oferă informaţii despre tipurile de structuri demodele acceptate în cadrul bibliotecii; în principiu, există 4 maricategorii de modele:1. Cutie neagră de tip intrare ieşire (iiddhheellpp iioobbbb).2. Cutie neagră de tip reprezentare pe stare (iiddhheellpp ssssbbbb).3. Cutie neagră în timp continuu (iiddhheellpp sssscctt).4. Cutie neagră de tip reprezentare pe stare cu structură

internă definită de utilizator fie în timp continuu, fie în timpdiscret (iiddhheellpp ssssssttrruucctt).

MMiidd este modelul rezultat în urma identificării, un obiect de tipulmodel de identificare (IIDDMMOODDEELL, descris de exemplu încontextul Problemei 3.3); pentru informaţii suplimentare, sepoate executa comanda iiddhheellpp eevvaalluuaattee (care va ilustramodul în care poate fi evaluat/comparat modelul).

De notat că biblioteca a fost concepută pntru operarea cu modele MIMO, în cazulunei colecţii de experimente de identificare. Aceasta înseamnă că obiectele construite


130

conţin informaţii atît despre numărul de intrări şi ieşiri, cît şi despre experimente(indicele experimentului curent, numele său (dacă este cazul), numărul total deexperimente, etc.). Filozofia de identificare a modelelor MIMO este în principiuurmătoarea: pentru fiecare canal de intrare şi de ieşire este propus un model SISOcorespunzător datelor achiziţionate şi informaţiei de structură indicate/determinate.Ansamblul lor este apoi compactat într-o matrice constituind modelul MIMOoperaţional. Astfel, de exemplu, unui proces ARX cu 3 intrări şi 2 ieşiri i se vorpropune un număr de 3×2=6 modele SISO, ansamblul lor fiind integrat într-o matricecu 2 linii şi 3 coloane:

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

123

123

122

122

121

121

113

113

112

112

111

111

1

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

qH . (196)

Pentru a simula funcţionarea modelului, se apelează la Principiul superpoziţiei: toatecontribuţiile care afectează o anumită intrare sunt adunate. În particular, pentruexemplul anterior, ieşirea simulată este produsă după următoarea relaţie:

≡

≡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

3

2

1

123

123

122

122

121

121

113

113

112

112

111

111

2,

1,

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

uuu

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

yy

yM

MM . (197)

Ecuaţia (197) simuleză un comportament mai aproape de cel real al procesuluifurnizor de date dacă elementele matricii H ar fi determinate simultan din datele deintrare-ieşire măsurate şi nu pe fiecare canal în parte. Aceasta conduce însă laproceduri de identificare mai complicate, de complexitate proporţională cu numărul deintrări şi ieşiri ale modelului ales. De exemplu, un model MIMO-ARX cu 2 intrări şi 2ieşiri poate fi identificat cu ajutorul a 2 modele BJ:

+

≡

≡

−−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

21

221

21

11

121

11

2

1

122

122

121

121

112

112

111

111

2

1

)()()()(

)()(

)()(

)()(

)()(

eqAqAeqAqA

uu

qAqB

qAqB

qAqB

qAqB

yy

y ⇔

⇔ .

++≡

++≡

−

−

−

−

−

−

−

−

22122

122

1121

121

2

12112

112

1111

111

1

)()(

)()(

)()(

)()(

vuqAqBu

qAqBy

vuqAqBu

qAqBy

. (198)

Determinarea parametrilor modelelor BJ (198) conduce la un model mai precis decîtcel obţinut prin identificarea cîte unei funcţii de transfer pentru fiecare canal separat,

Anexa A

131

datorită faptului că, în general, modelele MIMO nu prezintă decuplări între canale.Modelul (197) funcţionează bine doar în cazul decuplării totale, cînd, de fapt, matricea(196) este diagonală.

Sub-modele ale unui model MIMO pot fi de asemenea selectate (vezi iiddhheellppcchhaannnneellss pentru mai multe detalii).

Pentru a începe lucrul cu biblioteca de IS, este recomandat să se ţină cont deurmătoarele sugestii (obţinute prin execuţia comenzii iiddhheellpp aaddvviiccee):

Utilizatorii începători sunt invitaţi să opereze cu ajutorul interfeţei graficeconviviale (GUI). Aceasta se lansează cu comanda iiddeenntt. Fereastra graficăde bază afişată este ilustrată în Figura 59. Înainte de prima utilizare, este binesă se selecteze opţiunea Demo of the Toolbox din meniul Help al ferestrei.

Figura 59. Fereastra grafică tipică a interfeţei bilbiotecii de IS.

În cursul utilizării interfeţei, se va acorda atenţie următoarelor aspecte:a. Inspectarea datelor achiziţionate pentru a sesiza şi înlătura erorile

grosolane.b. Datele ar trebui segmentate în 2 submulţimi. Prima va fi utilizată pentru

estimarea parametrilor, în timp ce a doua va fi utilizată pentru validareamodelelor identificate. O rutină de bibliotecă capabilă să efectueze validareamodelelor este ccoommppaarree.

c. În cazul în care datele au o provenienţă necunoscută sau au fost generatede un proces neliniar, este bine ca, la început, să se testeze cît de adecvată


132

este utilizarea unui model liniar. Acesta se poate realiza prin alegerea unuimodel reprezentat pe stare, identificat cu ajutorul uneia din comenzileurmătoare: MMiidd == ppeemm((DDii)) sau MMiidd == nn44ssiidd((DDii)), unde DDii reprezintăsegmentul de date dedicat identificării. Celălalt segment de date, DDvv, dedicatvalidării poate fi folosit la pasul următor pentru a testa adecvanţa modelului(adică maniera în care un sistem liniar poate reproduce datele). Aceasta serealizează cu comanda: ccoommppaarree((DDvv,,MMiidd)).

d. Înainte de alegerea structurii modelului este bine să se detecteze întîrzierileintrinseci cu ajutorul funcţiilor iimmppuullssee sau sstteepp aplicate datelor şimodelelor identificate cu diferiţi indici structurali. Întîrzierile detectate pot fiapoi specificate în model prin intermediul variabilei nnkk.

e. Pentru modelele MIMO suficient de complexe, este mai eficient să seelaboreze o strategie de identificare în care să se testeze mai mulţi indicistructurali şi mai multe întîrzieri posibile. Aceasta poate fi mareconsumatoare de timp, însă. Pentru a remedia (fie şi parţial) acest neajuns,se poate utiliza executa comanda:

MMiidd == nn44ssiidd((DDii,,1188,,’’ccoovv’’,,’’nnoonnee’’)) ;;

O altă comandă, iiddhheellpp nnoottee, oferă cîteva informaţii generale suplimentare,cum ar fi:

Tehnologia programării orientate obiect permite funcţiilor să partajeze acelaşinume cu funcţii din alte biblioteci sau din nucleul mediului de programareMATLAB. Pentru a obţine informaţiile explicative referitoare la funcţiile dinbiblioteca de IS prin comanda hheellpp, este indicat ca numele funcţiei să fieprecedat de numele iiddmmooddeell//. De exemplu: hheellpp sstteepp va oferi informaţiireferitoare la funcţia sstteepp din cadrul bibliotecii de rutine dedicate domeniuluiTS, în timp ce hheellpp iiddmmooddeell//sstteepp va conduce la afişarea informaţieireferitoare la funcţia sstteepp din biblioteca de IS.

Unele proprietăţi de estimare sunt moştenite de obiecte pe tot parcursulsesiunii MATLAB, chiar dacă funcţia care le-a folosit si-a încheiat execuţia. Deexemplu, să presupunem că dorim identificarea unui model ARMAX dupămaximum 5 iteraţii:

MMiidd == aarrmmaaxx((DDii,,[[22 22 22 11]],,’’MMaaxxIItteerr’’,,55)) ;;

Numărul maxim de iteraţii este în acest caz moştenit şi de obiectul MMiidd(modelul de identificare rezultat). Re-identificarea aceluiaşi model pentru unnou set de date se poate efectua cu comanda:

MMiidd == aarrmmaaxx((DDii__nneeww,,MMiidd)) ;;

În acest caz, tot maximum 5 iteraţii sunt efectuate. Dacă se doreşte schimbareaacestei proprietăţi de la 5 la 20 de iteraţii se poate proceda în unul dinurmătoarele moduri:

MMiidd == aarrmmaaxx((DDii__nneeww,,MMiidd,,’’mmaaxxii’’,,2200)) ;; (indirect)

MMiidd..AAllggoorriitthhmm..MMaaxxIItteerr == 2200 ;; (direct)

MMiidd == aarrmmaaxx((DDii__nneeww,,MMiidd)) ;;

Anexa A

133

Dacă algoritmului de identificare i s-au setat alte opţiuni decît cele implicite şise doreşte reutilizarea acestuia cu opţiunile ne-implicite, configuraţia opţiunilorpoate fi salvată în cadrul unei structuri virtuale de opţiuni. Aceasta poate fiulterior folosită ori de cîte ori este necesar. De exemplu, să presupunem căalgoritmului de Minimizare a Erorii de Ieşire i s-au setat următoarele opţiuni:

MMiidd == ooee((DDii,,[[22 22 11]],,’’lliimm’’,,00,,’’mmaaxxii’’,,4400,,’’ttooll’’,,00..0000000011)) ;;

Acestea sunt întîi salvate într-o structură virtuală de opţiuni:

mmyyaallgg == MMiidd..AAllggoorriitthhmm ;;

apoi reutilizate:

MMiidd__nneeww == ppeemm((DDii__nneeww,,33,,’’aallgg’’,,mmyyaallgg)) ;;

FFIIGG

>>>> gglloobbaall FFIIGG ;; %% DDeeccllaarraaţţiiee vvaarriiaabbiillăă gglloobbaallăă.. >>>> FFIIGG == nn ;; %% IInniiţţiiaalliizzaarree ((ccuu nn ddoorriitt,, ee..gg.. 11))..

IISSLLAABB__11AA IISSLLAABB__11BB DD__SSPPEEKKTTRR NNOOIISSEE SSPPEEFFAACC

IISSLLAABB__22AA IISSLLAABB__22BB IISSLLAABB__22CC IISSLLAABB__22DD IISSLLAABB__22EE IISSLLAABB__22FF IISSLLAABB__22GG IISSLLAABB__22HH IISSLLAABB__22II IISSLLAABB__22JJ IISSLLAABB__22KK

IISSLLAABB__22LL IISSLLAABB__22MM IISSLLAABB__22NN IISSLLAABB__22OO IISSLLAABB__22PP IISSLLAABB__22QQ IISSLLAABB__22RR IISSLLAABB__22SS

IISSLLAABB__33AA IISSLLAABB__33BB IISSLLAABB__33CC IISSLLAABB__33DD IISSLLAABB__33EE IISSLLAABB__33FF IISSLLAABB__33GG IISSLLAABB__33HH IISSLLAABB__33II IISSLLAABB__33JJ

IISSLLAABB__44AA IISSLLAABB__44BB IISSLLAABB__44CC FF__TTEESSTT22 GGAAIICC__RR22 GGEENNDDAATTAA VVAALLIIDD__LLSS VVAALLIIDD__IIVV

IISSLLAABB__55AA IISSLLAABB__55BB AARRMMAAXX__EE BBJJ__EE GGAAIICC__RR33 GGEENN__DDAATTAA VVAALLIIDD__LLSS

IISSLLAABB__66AA IISSLLAABB__66BB IISSLLAABB__66CC IISSLLAABB__66DD GGDDAATTAA__VVPP RRIIVV

IISSLLAABB__77AA IISSLLAABB__77BB IISSLLAABB__77CC IISSLLAABB__77DD IISSLLAABB__77EE IISSLLAABB__77FF GGDDAATTAA__FFPP GGDDAATTAA__CCPP

IISSLLAABB__88AA IISSLLAABB__88BB IISSLLAABB__88CC IISSLLAABB__88DD

137

RReeffeerriinnţţee bbiibblliiooggrraaffiiccee

[AkH69] Akaike H. – Fitting Autoregressive Models for Prediction, Ann. of Institutefor Statistical Mathematics, Vol. 21, pp. 243-247, 1969.

[AsEy71] Åström K.J., Eykhoff P. – System Identification – A Survey, Automatica,Vol. 7, pp. 123-167, 1971.

[CaDL96] Carter D.L. – Rolling Element Bearing Condition Testing Method andApparatus, United States Patent No. 5,477,730, December 26, 1996.URL: www.uspto.gov/go/ptdl

[DuHa96] Dumitrescu D., Hariton C. – Reţele Neuronale – Teorie şi Aplicaţii, EdituraTEORA, Bucureşti-Sibiu, România, 1996.

[EyP74] Eykhoff P. – System Identification: Parameter and State Estimation,Wiley, London, UK, 1974.

[EyP81] Eykhoff P. – Trands and Progress in System Identification, PergamonPress, Oxford, UK, 1981.

[GoPa77] Goodwin G.C., Payne R.L. – Dynamic System Identification: ExperimentDesign and Data Analysis, Academic Press, New York, USA, 1977.

[HaS86] Haykin S. – Adaptive Filter Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NewJersey, USA, 1986.

[IFAC80] IFAC – Tutorial Section on System Identification, Automatica, Vol. 16,1980.

[IFAC82] IFAC – Special Issue on System Identification, Automatica, Vol. 18, 1982.[IoV85] Ionescu V. – Teoria Sistemelor. Sisteme Liniare., Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, România, 1985.[KaRa76] Kashyap R.L., Rao A.R. – Dynamic Stochastic Models from Empirical

Data, Academic Press, New York, USA, 1976.[LaID93] Landau I.D. – Identification et Commande des Systèmes, Hermès, Paris,

France, 1993.[LaID97] Landau I.D. – Identificarea şi Comanda Sistemelor (traducere în limba

română), Editura Tehnică, Bucureşti, România, 1997.[LjGl94] Ljung L., Glad T. – Modeling of Dynamic Systems, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, N.J., 1994.[LjL99] Ljung L. – System Identification - Theory for the User, Prentice Hall,

Upper Saddle River, N.J., 2nd edition,1999.[MeLa76] Mehra R.K., Lainiotis D.G. – System Identification – Advances and Case

Studies, Academic Press, New York, USA, 1976.[MiM95] Mitchell M. – An Introduction to Genetic Algorithms, The MIT Press,

Cambridge, Massachusetts, USA, 1995.[OpSc85] Oppenheim A.V., Schafer R. – Digital Signal Processing, Prentice Hall,

New York, USA, 1985.[OpWi85] Oppenheim A.V., Willsky A.S. – Signals and Systems, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, N.J. 1985.

http://www.uspto.gov/go/ptdl


138

[PITC71] Penescu C., Ionescu G., Tertişco M., Ceangă E. – IdentificareaExperimentală a Poceselor Automatizate, Editura Tehnică, Bucureşti,România, 1971.

[PrMa96] Proakis J.G., Manolakis D.G. – Digital Signal Processing. Principles,Algorithms and Applications., third edition, Prentice Hall, Upper SaddleRiver, New Jersey, USA, 1996.

[RiJ78] Rissanen J. – Modeling by Shortest Data Description, Automatica, No. 14,pp. 465-471, 1978.

[RiJ83] Rissanen J. – A Universal Data Compression System, IEEE Transactionson Information Theory, Vol. IT-29, pp. 656-664, 1983.

[RuNo95] Russel S.J., Norvig P. – Artificial Intelligence – A Modern Approach,Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1995.

[SoSt89] Söderström T., Stoica P. – System Identification, Prentice Hall, London,UK, 1989.

[StF00] Stratulat F. – Teoria Sistemelor. Analiza Asistată de Calculator aSistemelor Liniare., MATRIX-ROM, Bucureşti, România, 2000.

[SeS01] Şerban S. – Sisteme Dinamice Liniare – Aplicaţii Numerice, Printech,Bucureşti, România, 2001.

[SeS02] Şerban S. – Sisteme Liniare, Printech, Bucureşti, România, 2002.[StD99] Ştefănoiu D. – On Non Uniform Sampling of Signals, CSCS-12

International Conference, Bucharest, Romania, pp. 405-410, May 25-30,1999.

[StD9602a] Ştefănoiu D. – Introducere în Prelucrarea Numerică a Semnalelor (notede curs), Centrul de multiplicare al Universităţii “Politehnica” din Bucureşti,România, Februarie 1996.

[StD9602b] Ştefănoiu D. – Tehnici de Calcul în Prelucrarea Numerică a Semnalelor(note de curs şi îndrumar de laborator), Centrul de multiplicare alUniversităţii “Politehnica” din Bucureşti, România, Februarie 1996.

[StD9603] Ştefănoiu D. – Identificarea Experimentală a Sistemelor – Serii de Timp(îndrumar de laborator), Centrul de multiplicare al Universităţii“Politehnica” din Bucureşti, România, Martie 1996.

[StD9605] Ştefănoiu D. – Identificarea Experimentală a Sistemelor – Probleme deSeminar, Centrul de multiplicare al Universităţii “Politehnica” dinBucureşti, România, Mai 1996.

[TaI97] Tăbuş I. ş.a. – Commande Numérique et Intelligence Artificielle enAutomatique (capitolul: Réseaux de Neuronnes), Editura Tehnică,Bucureşti, România, 1997.

[TeSt80] Tertişco M., Stoica P. – Identificarea şi Estimarea Parametrilor Sistemelor,Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, România, 1980.

[TeSt85] Tertişco M., Stoica P. – Modelarea şi Predicţia Seriilor de Timp, EdituraAcademiei Române, Bucureşti, România, 1985.

[TSP87] Tertişco M., Stoica P., Popescu Th. – Identificarea Asistată de Calculatora Sistemelor, Editura Tehnică, Bucureşti, România, 1987.

apmis

Documents