Aplicatii ale numerelor complexe n geometrie

Motivatie: n cele ce urmeaza ne propunem sa gasim anumite proprietati simple, dar foarte eficiente ale numerelor complexe care nevor facilita rezolvarea unor teoreme clasice de geometrie plana (precum Teorema lui Napoleon), precum si alte probleme, care au ungrad sporit de dificultate n cazul n care se ncearca atacarea lor prin alte metode (elementare sau analitice). n cele ce urmeaza vomnota afixul unui punct din plan cu litera minuscula corespunzatoare.

Fie punctele A,B ,C ,Z trei puncte din plan.Au loc proprietatile:

1) Z AB z ab a R. De asemenea: Z (AB

z ab a R+, iar: Z (AB )

z ab a (0, 1).

2)Z A =

Z B , unde R\{1} z = a kb

1k .

3) m(Z1Z2Z3) = arg z3 z2z1 z2

sau altfel spus: m(Z1Z2Z3) = z3 z2z1 z2 = z3 z2z1 z2

(cos + i sin ).4) Masura unghiului dintre dreptele AB si CD este egala cu: arg

b ad c

sau arg

d cb a

. n particular AB CD b a

d c iR.De asemenea AB CD b a

d c R.

5) Punctele A,B ,C ,D sunt conciclice c ba b :

c da d R.

6) 4ABC 4DE F , avnd aceeasi orientare b ac a =

e df d . Orientarile diferite sunt descrise prin relatia:

b ac a =

e df d .

7) 4ABC este echilateral daca are loc una din relatiile:i)b ac a =

c ba b .

ii) a 2 + b 2 + c 2 = ab + b c + c a .

iii) a +b "+ c "2 = 0, cnd4ABC pozitiv orientat, iar a +b "2 + c " = 0, pentru orientarea negativa, unde " = cos 2pi3

+ i sin2pi

3.

iv) c a = "(b a ) n caz de orientare pozitiva si "(c a ) = b a , cnd orientarea este negativa, unde " = cos pi3+ i sin

pi

3.

8) Aria4ABC este data de valoarea absoluta a expresiei: i4

a a 1b b 1c c 1

. Daca4ABC este pozitiv orientat atunci: Aria(4ABC ) =1

2Im(ab + b c + c a ).

9) Daca A1A2 . . .An este un poligon convex orientat pozitiv, atunci: Aria(A1A2 . . .An ) =1

2Im(a1a2 +a2a3 + +ana1).

10) DacaZ = prAB (Z ), atunci: z =1

2

z +

b ab a z +a + b

|b |2 |a |2b a

. n particular, daca avem |a |= |b |=R , atunci z = 1

2

z +a + b ab

R 2z

.

11) Transformarile geometrice n coordonate complexe:

i) Translatia cu numarul complex a : z z +a .ii) Rotatia de centru P si unghi orientat R: z p + (cos + i sin )(z p ).iii) Omotetia de centru P si raport R: z (1)p +z .iv) Inversiunea de pol P si putere k R: z k

z p +p ; z 6= p .

Produsul real si produsul complexPrecum la vectori este definita notiunea de produsul scalar, tot asa putem introduce, ntr-o maniera simpla, un produs care asociaza

unei perechi de numere complexe, un numar real. De asemenea, este bine-cunoscut produsul vectorial a doi vectori. Tot asa vom definio notiune asemanatoare n cazul numerelor complexe, care va usura semnificativ abordarea problemelor de arie si coliniaritate, datoritaproprietatilor pe care le poseda.

1

Definitia 1: Produsul real

Numim produsul real a doua numere complexe a si b expresia data de:

a b = ab +ab2

.

2