aplicatii ale numerelor complexe in geometrie 101

Clasa a X-a

Aplicații ale numerelor complexe în geometrie

de

Manuela Prajea

Lecția de față iși propune să accesibilizeze metoda numerelor complexe în abordarea problemelor de geometrie, gradual fiind introduse și aplicațiile ce urmează breviarului theoretic. Lecția se adresează elevilor ce se pregătesc pentru examenul de bacalaureat sau admitere în învățământul superior în prima parte a ei, urmând ca în partea a doua gradul de adresabilitate să devină unul excusivist, accesibil și util elevilor care vizează olimpiadele școlare.

Summary:

În cele ce urmează vom considera reperul cartezian și prin vom desemna afixele punctelor .

Distanța dintre două puncte

Caracterizarea segmentului

Caracterizarea dreptei

Caracterizarea semidreptei

Afixul unui punct care împarte un segment într-un raport dat

coliniare ; sau, altfel spus :

Măsura unui unghi ( este pozitiv orientat)

Unghiul (pozitiv orientat) a două drepte

Coliniaritate

Paralelism

Perpendicularitate

prof.dr.Manuela Prajea, C.N.Traian, Dr.Tr.-Severin, e-mail:[email protected]

Clasa a X-a

Conciclicitate

Triunghiuri asemenea (pozitiv orientate)

Triunghiuri asemenea (negativ orientate)

Relația lui Sylvester

unde sunt ortocentrul, respectiv centrul cercului circumscris

Aria unui triunghi

Rotația de centru A și unghi

Aplicații

1. a) Arătați că punctele sunt coliniare.

b) Precizați natura triunghiului , unde .

c) Precizați natura triunghiului având vârfurile imaginile geometrice ale numerelor complexe .

d) Mijloacele laturilor unui triunghi au afixele . Aflați afixele vârfurilor sale.

e) Aflați aria triunghiului știind că , fiind centrul de greutate al triunghiului .

f) Dacă , aflați afixul punctului , unde .

g) Determinați știind că .

h) Arătați că , unde .

k) Arătați că patrulaterul este inscriptibil, unde .

2. Reprezentați în plan mulțimea punctelor al căror afix satisfac:

a) b) c) d) e) f)


Clasa a X-a

g) h) i) j) .

3. a) Dacă , aflați afixul vârfului al paralelogramului .

b) Dacă sunt vârfurile unui paralelogram și , determinați afixul celui de-al patrulea vârf .

c) Dacă , aflați afixele vârfurilor ale pătratului .

d) Dacă , determinați afixele vârfurilor ale pătratului .

e) Dacă , aflați afixul vârfului al triunghiului echilateral .

f) Determinați știind că imaginile geometrice ale numerelor complexe sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

g) Demonstrați că patrulaterul având afixele vârfurilor este dreptunghi.

h) Un pătrat are centrul în origine și un vârf de afix 1+2i. Aflați afixele celorlaltor vârfuri.

i) Determinați afixele centrului cercului circumscris respectiv ortocentrului unui triunghi ale cărui vârfuri sunt imaginile geometrice ale numerelor: .

j) Fie și . Arătați că triunghiul având afixele vârfurilor

este echilateral.

4. Aflați afixele vârfurilor triunghiului știind că mijlocul laturii are afixul și centrul de

greutatea al triunghiului are afixul

5. Fie un pentagon convex și mijloacele laturilor . Să se

arate că dreapta determinată de mijloacele segmentelor și este paralelă cu dreapta

.

6. Să se determine valoarea minimă a modului numărului complex a.î. . (OJ)

7. Fie numere complexe distincte. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

(i)

(ii) . ( Concurs Interjudețean)


Clasa a X-a

8. a) Dacă sunt numere complexe nenule și distincte a.î. și , arătați că

imaginile lor geometrice sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

b) Dacă sunt numere complexe nenule și distincte, având același modul si , arătați că ele sunt afixele vârfurilor unui dreptunghi.

9. Pe laturile ale se consideră punctele a.î. . Arătați că dreapta

conține centrul de greutate al .

10. Fie patrulaterul inscriptibil și ortocentrele triunghiurilor

. Arătați că patrulaterele și sunt congruente.

11. Fie patrulater convex, punctele care împart laturile în același raport și

mijloacele segmentelor . Arătați că sunt coliniare.

12. Se consideră un pentagon înscris într-un cerc. Arătați că ortocentrele triunghiurilor sunt vârfurile unui paralelogram. (Manuela Prajea, OL)

13. Fie ascuțitunghic și centrul cercului circumscris respectiv ortocentrul său. Dacă

sunt simetricele punctului O față de dreptele BC,CA,AB. Arătați că sunt centrul

cercului circumscris, respectiv ortocentrul (Manuela Prajea, OL)

14. În exteriorul paralelogramului se construiesc pătratele de

centre . Arătați că:

(i) este pătrat

(ii) este dreptunghi, unde .

15. Fie triunghiul și afixele vârfurilor sale. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) este echilateral

(ii)

(iii)

16. Fie triunghiul pozitiv orientat și afixele vârfurilor sale. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:


Clasa a X-a

(i) este echilateral

(ii)

(iii)

17. ( Teorema lui Pappus ) Dacă punctele împart laturile în același raport ,

atunci și au același centru de greutate.

18. În exteriorul se construiesc triunghiurile a.î. și

. Arătați că mijloacele segmentelor sunt vârfurile unui

paralelogram.

19. Dacă sunt numere complexe, demonstrați că următoarele afirmații sunt echivalente :

(i) (ii)

20. Arătați că, oricare ar fi avem :

21. Fie numere complexe de același modul a.î. Să se arate că unul din numerele

este egal cu (OJ)

22. Fie a.î. . Să se determine cu proprietatea că . (OJ)

18. Fie afixele vârfurilor triunghiurilor și . Dacă punctele au

afixele , atunci . (OJ)

19. Fie a.î. și . Arătați că . (OJ)

20. Se consideră triunghiurile echilaterale și mijloacele segmentelor

. Arătați că triunghiul este echilateral.

21. În exteriorul se construiesc triunghiurile echilaterale și .Dacă sunt respectiv

mijloacele segmentelor , arătați că este echilateral.

22. Fie patrulater convex a.î. și fie mijlocul lui . Dacă arătați că

este trapez. (OJ)


Clasa a X-a

23. a) Arătați că: ,

b) ( Teorema lui Pompeiu ) Dacă este echilateral și este un punct nesituat pe cercul său circumscris, atunci există un triunghi având lungimile laturilor egale cu

24. Se consideră triunghiul având și fie afixele vârfurilor

Arătați că este echilateral d.n.d.

(Manuela Prajea,Petre Sergescu)

2 5. ( Teorema lui Miquel ) Dacă sunt puncte arbitrare pe laturile ale ,

atunci cercurile circumscrise triunghiurilor au un punct comun.

26. În exteriorul patrulaterului convex se construiesc triunghiurile echilaterale . Să se arate că patrulaterele și au același centru de greutate.

27. Se consideră pentagonul inscriptibil Notăm cu ortocentrele triunghiurilor

și cu mijloacele laturilor și respectiv

Arătați că dreptele sunt concurente. (Dinu Șerbănescu, ON)

28. Fie o mulțime având proprietățile:

(i) dacă , atunci (ii) dacă , atunci

Arătați că . (Marcel Țena,ON)

29. Dacă și sunt tangentele duse la cercul unitate din punctul , arătați că , unde

sunt afixele punctelor considerate. (OJ)

30. În exteriorul triunghiului neechilateral se consideră triunghiurile asemenea a.î.să fie echilateral. Să se determine măsurile unghiurilor

(Nicolae Bourbăcuț, ON)

31. Fie numere complexe nenule de același modul și Demonstrați că

sunt afixele vârfurilor unui pentagon regulat. (Daniel Jinga,ON)

32. Fie triunghiul ascuțitunghic înălțime și Să se arate că este

bisectoarea d.n.d.dreptele sunt concurente.


Clasa a X-a

(Manuela Prajea, GM)

33. Pe laturile patrulaterului convex se construiesc triunghiurile echilaterale a.î. doar triunghiurile să nu aibă puncte comune cu interiorul

patrulaterului. Să se arate că:

(i) patrulaterul este paralelogram, eventual degenerat.

(ii) dreptunghi d.n.d. (Manuela Prajea)

34. Fie un punct situat în interiorul triunghiului și fie intersecțiile dreptelor cu dreptele respectiv. Dacă este centrul cercului înscris triunghiului atunci este ortocentrul triunghiului

(Manuela Prajea, Concursul GM)

35. Fie , a.î. și proiecțiile punctului pe . Dacă

este mijlocul lui , să se arate că .

(Short List)

36. a)Fie a.î. Să se arate că punctele

sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

b)Fie și fie mulțimea rădăcinilor de ordinul ale unității. Să se

determine numărul maxim de elemente ale unei mulțimi cu proprietatea că pentru

orice

(Vasile Pop,ON)

37. Dacă sunt afixele vârfurilor unui poligon convex pozitiv orientat, atunci aria sa este:

38. Fie patrulater convex și Dacă sunt mijloacele diagonalelor ,

arătați că


aplicatii ale numerelor complexe in geometrie 101

Documents