r

Adalbert ANTAL

Ovidiu

rArfRU

ELEtlllEl'lTE PRIVIND PROIECTAREAANGRENAJELOR

EDITURA ICPIAF%^1998t

I r

ft .::

-1ANGRENAJE CU AXE PARALELE

2.77.

Angrenaje cilindrice cu dinfi inclinati2.17.1. Generalitl{i

Angrenajele cu axe paralele compuse din

roli cilindrice cu dinti inclinali (figua 2.48), in comparafie cu angrenajele cilindrice cu dinlidnepf, prezint6 urmitoarele avantaje: produc un zgomot mai redus, gradul de acoperire este mai mare gi ca i[mare capacitatea portanti este mai mare. Ca dezavantaje se pot menfiona: aparitria forfei oriale gi necesitatea utihznrii unor lagire radial-axiale. Rolile dinlate cu dinfi inclinati pot fi: cu

b.)

c.)

Fig.2.48. Roli dinlate cu dinli tnclinali: a) cu inclinare simpla; b) cu inclinare dubld, cu canal pe mijloc; c) cu din;i tn lt.recfiunea S-S

inclinare simpld (frgura 2.48, a) cu inclinare dubld cu canal pe mijloc (figura 2.48, b) 9i cu dinli in V (figura 2.48,c). La roflle dinlate cilindrice secfiunea N-N cu inclinare simpld gi duble p" = 8o....20", iar la rolile cu dinfi in V, 0" = 30o.'.45o. \\

'e2.17.2" Ele'mente gi dimensiuni geometrice

e

In figura 2.49 este dinli inclinafi. Dinfiiprezentatun angrenaj cilindric cuse

secfioneazi cu un plan normal N-

N gi cu un plan frontal S-S. in secfiunea frontald" flanculainietui este dupd o evolventi. in secfiunea normal6, degi flancul

exact nu este in evolventi se admite cE u fi o evolventi. MErimile din secliunea frontald se noteazi cu indicele t gi celedin secfiunea normalE cu indicele

Fig.2.49. Raportul mdrimilor laroata dinlatd cu dinli tnclinali jn se.cliunea froruald 5.,5. S.i in'i.e9liunga, noqnald,N-N.modulul normal m" gi modului frontal m,, existdrelafia:

n.

intre pasul normal P"

pasul frontal

pt ,

9i

resPectiv

cosP =

n rtr - trflo = -----: t - mn mt Pt fiDt

Q.r20)

unde

p este unghiul de inclinare a dinfilor pe cilindrul de divizare;69

r{

:l

{

'f,

Angrynaje cilindrice cu din(i tnclinati mn - modulul mdsurat

in secliunea normalA (modulul standardizat); m, - modulul mdsurat in sectiunea frontald; c" - unghiul de profil al cremalierei de referinfa in secfir.rnea normald (4" = 20"); c, - unghiul de profil al cremalierei de referintd in secliunea frontald. Unghiurile de profil sunt legate prin relatia:cos

B=

t"lj!tan

d,r

(2.r21)

...

, { ,.\-\ 'o4

DesfEgurAnd urma flancului dintelui obfinut prin seclionarea cu cilindrul de divizare gi cu cilindrul debaztt se obline figura 2.50, de unde se poate scrie: \

-\\\ de

Bo uncle tan Bo = tan p ! - cos c[t , se obtine

p,=1\=2n\,p ' tan tansau.

linand seama ci

Iq rFig. 2.50. DesJdsurarea urmei flancului tn plan. undebazd.

tan B, = tan B cos srpo este

(2.r22)

unghiul de irrciinar a dinliior pe cilindrul de

Pasul de bazd normal este: Puo

= Po cos crsin po

.

Din fisura 2.50 rczuItd:Pon

pn

sinpcr

I

sin po = sin p cosDe asemenea:

-

(2.r23)

PuoPu,

=

cos

po

=

Jindnd seama de relaliile (2.122) gi (2.123), se poate ob.tine:cos Bo

=

cos

F

cos cos

coflt

.

Q.r24\

Diametrele de divtzare ale rolilor dinfate cilindrice cu ciinli inclinati (figura 2.49) sunt:

dt =

mt z1

'

In = ---:=- zr

cosB '

t

(2.r2s)

dz=n,22=#rr.do, = d,

Q.126)

Diametrele cercurilor debazd, prin analogie cu rolile dinlate cilindrice cu dinli drepli, sunt:

'

cos

d,l zr cos d, , I r' , cosBun

m,

(2.r27)

d", = d, cos fli = ---+ z, cos d. i DL L , ' cosB L70

(2.r28)

L

ANGRENAJE CU AXE PARALELEDistanla axiald. elementard este:

^ zdr *

dz

mnp1,

*

zz)

i'*.p-"ot r, "o* cos p ' cos fl*,^a+,

Q.r2e)

Diametrele cercurilor de rostogolire sunt:

d,nr = d,

Ier 4t cos c[wr

(2.130)

d,"z = a,

I9Y,cos

dwt

^-+cos

r, p

cos flr cos c[wr

(2.131)

Distan[ele intre axe este (cazul general cu deplasdri de profil):

"n--

d*nt n dr*,

2

cos dr hn .zt * zz. - -'"o.%r-"*B2

cos dt cos &wt

Q.r32\

IJnghiul de angrenare se obline din relalia:

X, *X. + inv flt invc*, = tan dwr - dot = 2tan&n L zr*22cosflwt

(2.133)

Coeficientul de scurtare a iniltimii dintelui este: zl * zz cosd't

k = X, 4 Xr -

2 cos

B

'

--

cos dwr

Q.r34)

Diametrele cercurilor de cap sunt:

d", =ro[*

alxr+2h:

-

'-)

(2.r3s)

d.2 = Dn

I:+ "fcosp12xz + Zhl '= m"(2h.'

't,

(2.136)

ttiallimea dintelui angrenajului deplasat este:

h

,-.' -

k)

(2.r37)

Diametrele cercurilor de picior sunt:

dn = ho l:+

* 'l cosB2xr '*2xz

2h: - ra-)

(2.138)

dn = mo(*

-

2h:

- 2'.)

'

(2.r3e\

Pentru angrenajul zero (x, = 0 gi x, = 0) relaflile geometrice stabilite mai sus se modificd astfel:

0,nt =

tan a") dr _ --^---f = arctanl

frnl = rl

*'r) l* = & - ^,F, = 2*rp '

gi

tn2 = t2

*rp J ')

-,

,

nr-)

7l

cilindrice cu

dn = ro

t"ft - 2hi - ,".)

ei

dn=Dol#

-2h;

-,".)

.

tn cazui angrenajului zero-deplasat,lacar:e xr = -

xr, relaliile geometice

stabilite in cazul

d*, fwl lw

kh drr dn

do= dn=

In

l4 \ cosp22

I

-"I cos p

2.l7.3.Determinarea gradului de acoperireGradul de acoperire, in cazul angrenajelor cilindrice cu dingi inclinagi, este mai mare decAt cel al angrenajelor cilindrice cu dinli drepli gi se compune din doui par,ti: gradul de acoperire notat cu en gi gradul de acoperire suplimentar rezitat din inclinarea dintilcr ep . Astfel, gradul de acoperire total al angrenajului cilindric cu dinli inc.linali este:

8!=8o*8p.

(2.140)

Gradul de acoperire frontal se determina cu relafia (2.62) stabilitn la angrenajele cilindrice cu dinti drepfi, adictr:

eounde

= !.!-(tan c"r, -

tan o*J

*

u(tan

c"o

- tan oo)] ,

Q.r4rl

d." z d. cosflerr=+, cosc"rr-iE si o= j?. "d,d"z'zrGradul de acoperire suplimentar cauzat de inclinarea dinfilor (figura 2.51) este dat de relafia:

- _ ut "U-t _btanB _ bsinp R "."'2.17.4. Alegerea

Q.r42).

deplasirilor de profil

la

angrenajele cilindrice cu

dinfi inclinafiLa angrenajele cilindrice cu dinli inclinali deplas5rile specifice de profil sunt definite insecliunea normal[ pe dinte (figura 2.52). Secfion6nd cilindrul de divizare cu un plan normal pe dinte, dus prin punctul C, se obline o elipsd (figura 2.52).

-ANGRENAJE CU AXE PARALELE lungimea(2)-

c

2

cI

a.)

i-"---'I

cilindml

de

divizare

b.)Fig. 2.51. a) Gradul de acoperire suplimenrar; b) Mdrimile de angrenare la rolile dinlate cu clin{i tnclinali cu deplasare nuld.

d, fo=;-=

Ptaza

de

curburd

elipsei in punctul C este:

"!Do

secfiunea

N-N/ - )..--

fx-

pr\

.,d

d

F\

7*/

2 cosz B

Cu raza deoblinuti

curburd

se va imagina o

4P\

x

dinfata cilindricd

drepfi, numiti

roati cu dinfiroat2i

echivalentil avdnd modulul egal cu modulul normal, iar numirul de dinli al rolii echivalente se va determinadin relafia:

dn = 2ro

=

_ d.cos2 p

Q.r44)

sau

Fry.2.52. Legdtura tntre roata echivalentd (cilindricd cu dinli dreppi) Si roata cilindricd cu dinli tnclinapi

[o

Zo =

--i;

m^zt

cos" lt

73

cilindrice cade unde numdrul de dinti al

rotii echivalsnte

este:

,o=-J-. findnd seama cd roata echivalent6prelucra frrd sd apard subtdierea este17

*t'pp p.

Q

este cilindricd cu dinfi drepli, numdrul de dinli care se iar numirul minim de dinli care se poate prelucra la o ,

din[atd cilindricd cu dinli inclinali este:

znin

= =

17 cos3

Q.r(2.r

Practic, cu o subtiiere acceptabild, numhrul de dinli se poate admite:zmin 14 cos3.

Pentru evitarea fenomenului de subtbiere a dinlilor in cazul rolilor cilindrice cu dinti incli trebuie sd se utilizeze deplasdri de profil, a cdror valoare se poate obline din figura 2.53" Pornind de angrenarea in plan frontal dintre o cremalieri gi o roat[ dinlatn cilindricd cu din{i inclinali (figura 2.53 se poate scne:

h" . XDn * rsin2g,,sau

r ' tr"de rurde

., f,o ' Xhn sltr-4, 2*rB

ffinZ

r

,,+! (n..stn- dr

*)

.

linia de referintl

linia dgdivizare -(linia de rostogolire)

Fig. 2.53. Angrenarea

rolii dinlate cilindrice

cu dinli tnclinali cu cremaliera, in planfrontal.

linAnd seama de relalia (2.121), relalia (2.148) devine:

'= ffiDacise admite cos

2cos30/,_ \f_ . (h, -'/ltI

tan2a-).

;*p',1p.

.

(2.r4s)

tp =

, atunci din relafia (2.149) se poate obline:

z

= .2, stn- gn

(n"-

74

x)cos3

(2.1s0)

ANGRENAJE CU AXE PARALELE Din relalia (2.150) se poate determina deplasarea specifici de profil pentru.evitarea subtdierii:

.=+(,.,"-;fu)z^in

'

(2.1sr)

unde

2h:=

sin2 do

in cazul cdnd

se ia

*, *t

in considerare gi zona de racordare a cremalierei: 2cosF[h", ] p.o(l - sinsol - zmnsin2cr,

t

unde pentru profrl standardizat al cremalierei

h*o = 1,25

mo qi

p,o = 0,38 mo .

Deplasirile specifice de profil in Cazul angrenajelor cilindrice cu dinli inclinali se aleg, din hgura 2.33, sau se itabilesc cu relaliile (2.89) qi (2.90) in funclie de numerele de dinli a rolilorechivalente:

,", =

;h ei

z2

vuz

=

cos3 p

Exemplul de calcul 2.3SE se calculeze

modulul normal mn:F

dimensiunile geometrice ale unui angrenaj cilindric cu dinli inclinali cunoscind 2,5 mm, numerele de dinli z, = 19 ti zr= 60, iar unghiul de inclinare a dinJilor

= 15'.

RezolvareuDiametrele de divizare:

d, = -n^ = - ]f- lg = 49,175618 mm , cosp',' cos15' *o, ,, = -4-60 = 155,29143 mm . d, =cosp

"

cos15'

Distanla axialb elementari:

u=d,*dr= 2coscwr

-n zr*22= 2,5- 19 160 =102,23352mm. cos15' 2 cosP 2102.23352 =ffcos20,646896"

Se considerd distanla axiald dati (standardizatlt) a* = 100 mm. Unghiul de angrenare frontal:

a =-cosntNstas

= 0'9566718'

un, = 16'3792107"tan

c. -

tancos

fln

at = 20'646896"

'

P

-

tan

'

20]

cos 15"

= 0,376g0g7

,

invc*, = tandwt inv c,, = tan

flwr = tan 16,927907" tan20,646896"75

c, - dt =

-

180" 20'9!6-826" 180"

16'2T12!7'n = 0,00890762,

n

= 0,0164533'

Suma deplaslrilor specifice de profil:

xr *

L = (invd*, - inv ")ffi==

(0,008e0762

- 0,0r64s33)

- 0'8188997 .+

##

=

Coeficientul de scurtare a in[lfimii dintelui:

k = r,

* - cosg'wt - \ 4''cosct \ 2 cos p cos dwr

= -0nElgg9n= 0,0745082 .

-

2 cos

!6.,.* 9.cos20,646869" ---cos.16,9227907"

15"

cos16.927907"

-

Numerele de dinti ale rofilor dinfate cilindrice cu dinli drepfi echivalente:

n "nt =

=cos3tlr" =2r,ag2509, ,or= *2 = " l5o cosl p cos- p*' * *'\ *, = -t-l-t} * fo.s '2t2t\/

cosJ

uutJ ' uJa 11_^ =66.,s7634s.

15"

Deplasarea specificd de profil la roata 1:

_ -0,8188997 . f o., _ _-o;

2\

= - 0'0135594 .Deplasarea specific6 de profil

L

= (xr + x)

-

larcata2: xr = -0,8188997

- (-0,0135594) = -0,8053403 .15,7485086,

Verificarea rolilor dinfate la interferenfa de subtiiere:

--Z-g!-l!:- = ' sin'd,'sin220r646896 z, = 19 ) zili- = 15,74850E6 deci nu apare subtlierea; hi^ = ++(n"- - *) = tr - (- 0,80s3 4a3)l --zjll:E: = 28,051061 ,0,0r3sse4)lsin2

z** = +T+ (0". - t) = tr - (-

c,

sin2 20,646896.

zz= 60 > hti,^ = 28,051061Diametrele cercurilor de cap:

deci nu apare subtlierea

drl = [o=

zxt + 2h"- - 2kl/

\

2,5

- 2'0,0135594 + 2 .r,

- 2-o,o74sos2)

=

= 53'7352E rlrtr

d,2 =--

r) Bol

2\ * 2h" - 2kl.

2,51

- 2.0,80s3403 + 2 -r -

I

2.o,o74sos2)

=

= 155,89018 mm

76

ANGRENAIE CA AXE PARALELE Diametrele cercurilor de picior:

=

145,01473

mm

.

Diametrele cercurilor de rostogolire:

m_ cos cr d*l = = Zr5 --F"t aoror, cos15'. d*2 = [o

19

cos 20,646896" cos 161927907"

=

48,101267

mm

,

.*F

"t

cos

c[t

"o.

o*

-

"n*---r-

cos

2r5 uo cos 20,646896' = 151,89874 mm . trr

l5o

cos15,9279A7"

Diametrele cercurilor de bazil: du = d*, cos co, = 4E,tr01267' cos 16n9279$7" duz = d*z cos flwt = 151,89874'cos 161927907" tnaltimea dintelui:

= 46,01712 ED , = 745,31725 mm '

h

=

ro (rU -.. - k) = 2,5(2'l + 025 d-t

0,0745082) = 5,4387295mn '

Verificiri:

- 48,101267 151,89874 = 100 riltr , lsrAs= 2 Z =d,, - dn 53'73528 - 421857821 -.^'. . =5,f38795nln, O=--=T d-,Gradul de acoperire:

t&

+

- do - 53,89218 =-,

145,01473

= S,43B72Smm .

coso!.., = rlr

!dnr = w 53173528

= 0,8563671,

-

detl = 31,088896",

tanc",, = tan31r088896" = 016029742

d"' r-:::3:r7::= 0,9321651 cosotrt2 = i-x2 = r55,g92rg ='

&et2

= 2r,225rg" ,

i11

ttna.r, = tan 2122513" = 0J883791 ' tan g,, = tan 16,927907" = 0'3043553

," = bsinPo _ 37,5sin15" = 113576g9 , o n'2r5 t -o Ey = Eo * ep 1,705375 + 112357699 = 21941144977

= 1,705375

,

.

Angrenaje cilindrice

ca dinli

tnclina(i

2.17.5.

Calculul de rezistenfi al angrenajelor cilindrice cu din{i

inclina{i2.11.5.1.

Calculul fortelor

Aga cum s-a ardtat, sarcina de la un dinte la cel4lalt se transmite pe direclia normalei comune. Tindnd seami de sensul de rotalie al rofii 1 (roata motoare), asupra dintelui (figura 2.54),in planul normal N-N, acfioneazd fo\a normali Fpnl , czlre se descompune in fo4a radial[ F., gi fo4a tangenliali normali tr',o, . DescompunAnd forla tangentiald normald, se obline for,ta tangenfiald F,, qi

forla axiali F",

.

S-S

roa'tt2

F,r

roeta

-+-

I

roata

1

I

is

Fig. 2.54. Forlele in angrenajul cilindric cu din[i tnclina[i.Forla tangenlial5:

Frt.zunde

= ,-= owI,2

2T.

t

Q.1s2)

T,., este momenful de torsiune, inNmm; d*r: - diametrul cercului de rostogolire, in mm. Forla radiali: F.1,2 = X'rr,, tan c,o,

.

(2.1s3)

78

ANGRENATE CA AXE PARALELEFo4a axiald:F"1,2

= F,r,, tao=

P,n

F.r: '

cos ([cos 4wt

tan p

.

(2.1s4)

Forla normalb (figura 2.55):

n r bol.2 = '

Fu.,cos dwn cos pw

F,r,r.

(2.1ss)

cos c[wt cos Bo

Fig. 2.55. Forla normald in angrenajul cilindriccu dinli

profil x, = - xz $i Xr = Xz =0, d*r = c[,1, d*1,2 : drl in cazul angrenajelor cilindrice cu dinli inclinali apar forle axiale care necesitd un reazem.

inclinayi.

Pentru angrenajul cu deplasdri specifice de

pecial. Pentru anularea fo(elor axiale se folosesc angrenaje cilindrice cu inclinare dubli (figura2.48, b) sau cu danturd in V (figura 2.48, c).

2.l7.5.2.Stabilirea sensurilor forfelor axiale intr-un reductor cilindric

cu doui

trepte de reducere

prezentat

Pentru reductorul in figura 2.56 se

considerl dat sensul de rotalie pe

arborele 1 qi se cere ca pe, arborele 2 (intermediar) fo(a axiali rezultantd sa aiba valoareminimd.Forfa axiala rezultantd pe arborele 2'este:

Fu=F"z-F"s=d*+

2T^

--! d*zd,ns

tan P*,

-

2T^ _ _ tan B,n,,Pentru F" = 0 se obline urm[toarea relalie de leg[turi intre elementele geometrice:

Fig. 2.56. Sensurile:,forlelor in angrenajele cilinclrice cu dinli inclinali, fntr-un reductorcu doud trep"tg de reducere.

dr"r

- tao 0orr d- t"" B-

(2'rs6)

Din figura 2.56 rezdtd cd pe roata motoare \roata condusa

forla tangenliald F, frdneazi migcarea, iar pe

\

ajuta migcarea.

19

Angrenaje cilindrice cu dingi tnclinagi

2.l7.5.3.Calculul modulului

la

solicitarea de incovoiere

Efortul unitar la solicitarea de incovoiere, in piciorul dintelui, se calculeazi cu relafia (2.96) unde modulul se inlocuiegte cu modulul normal. Pentru a line seama de inclinarea dintilor se introduceun factor Yp , iar relafia (2.96) se transform6 astfel:

o"o =

#ft

Y"" Y*" Y. Yp

,

Q.rs7\

l2oa Pentru a lua in considerare condifiile de funcfionare gi erorile de execulie (precizia de execulie) relalia (2.157) se modificd astfel: or = oro Ko Kn KrF Kro s opp . (2.1s8) Valorile f,actorilor Kn , Ko , Krp ,Kr" $i efortul unitar admisibil la solicitarea de incovoiere o", roliie dinlate cilindrice cu din{i drepfi. Prin inlocuirea relaliei (2.157) in relafia (2.158) se poate determina modulul normal:

undeYo-t'

R0

se stabilesc ca la

Do)cos

dt

orp

Q.rse)

Penfu predimensionauea angrenajuiui se admit valorile x, = xz = 0, fl*t = dt , Kn = &p = 1,25, Kro = 1, Y" = 1, Yp = 1 gi relalia (2.159) devine: [o)

l,Ku = lr2.

(2.160)

Raportul f

\ -"/

ll

se va alege din tabelul 2.8.se vor lua din diagramele udtate

Factorii Y", $i Ys"de

in figurile 2.36 gi2.37 infirnclie de numdrul

dinli ai rolii

echive' znl,2 = dente

' ;Fdlasocitarea de presiune de contact

z'

2.l7.5.4.Calculul modulului

Eforul unitar la solicitarea de presiune de contact pntru angrenajele cilindrice cu dinli inclinali se exprimE finand seami de relalia (2.108), stabilitii pentru angrenajele cilindrice cu dinli drepF, care se modific[ prin introducerea factorului de inclinare al dintilor astfel:oHo =

ZHZEZ"Z,

Q.16r)

unde ZH =

2 cos Bocos2 c,,

tan c*,

este factorul zonei de contact (figura 2.57);

80

L

l

1

ANGRENAJE CU AXE PARALELE3,0

t

2r9 2,8

II

11z,o

N

7