www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Analiza subiectelor date la examenele de bacalaureat in 2013 + model BAC 2014, Filiera Mate_Info

Continuare: Subiectul III In pregatirea pentru rezolvarea exercitiilor Subiectului III de la examen trebuie sa aveti in vedere 2 capitole mari: analiza de clasa a XI-a si cea de clasa a XII – a. Subiectul III este format din 2 exercitii, fiecare cu 3 subpuncte, cate unul din fiecare capitol. Notare: 30 de puncte. Acest capitole sunt vaste. Totusi sunt notiuni care, daca le stapaniti, va ajuta sa rezolvati punctele a) si b) de la fiecare exercitiul. Sunt anumite subpuncte pe care le-am regasit la fiecare examen. 1. Limite de siruri, limite de functii, asimptote, continuitate, derivabilitate. Aici avem urmatoarele subcapitole:

Limite de siruri Limite de functii. Asimptote. Continuitate Derivabilitate si aplicatii ale derivabilitatii in studiul functiilor.

De retinut ca o parte din aceste notiuni se pot folosi in rezolvarea exercitiului 2 (exemplu: “Aratati ca functie F(x) este o primitiva a functiei f(x)” sau “Aratati ca F(x) este crescatoare, unde F(x) este o primitiva a functiei f(x)” sau calculul unei limite dintr-o integrale).

Analizand subiectele date in anii anteriori am constata ca acestea contin:

A. exercitii in care se cere studiul monotoniei unei functii si/sau punctele de extrem pe un interval sau studiul concavitatii/convexitatii unei functii si/sau punctele de inflexiune.

B. exercitii privind calculul derivatei unei functie intr-un punct sau pe tot intervalul sau ecuatia tangentei la graficul functiei intr-un punct.

C. exercitii in care se cere determinarea asimptotelor unei functii. D. exercitii in care se cere demonstrarea unor inegalitati. E. exercitii in care se cere determinarea solutiilor ecuatie f(x) = m, unde f:R R si mR. F. exercitii in care se cere calculul unor limite de functii. G. exercitii in care se cere calculul unor limite de siruri.

Prezentam succint modul de rezolvare al acestor tipuri de exercitii: A. a) studiul monotoniei functiei f: DR si/sau punctele de extrem pe un interval:

Se calculeaza f'(x), derivata functiei f(x). Se determina punctele in care f'(x) se anuleaza, daca exista. Acestea sunt puncte de

extrem pentru f(x), daca apartin domeniului de definitie si are loc o schimbare de semn. Pe intervalul pe care f'(x) 0, functia f(x) este crescatoare, iar pe intervalul pe care

f'(x) 0, functia f(x) este descrescatoare (daca avem inegalitate stricta “ > ” sau “ < ” atunci functia este strict crescatoare, respectiv strict descrescatoare).

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

b) studiul concavitatii/convexitatii functiei f: DR si/sau punctele de inflexiune: Se calculeaza f"(x), derivata de ordinul II, a functiei f(x). Se determina punctele in care f"(x) se anuleaza, daca exista. Pe intervalul pe care f"(x) > 0 functia f(x) este convexa. Pe intervalul pe care f"(x)< 0

functia este concava. Daca de o parte si de cealalta a punctului in care f"(x) se anuleaza, f"(x) are semne

diferite, atunci acel punct este punct de inflexiune pentru f(x).

B. a) De stiut ca ax

lim ax

)a(f)x(f = f'(a). Deci daca se cere sa calculati o astfel de limita si

f(x) este derivabila in a, calculati derivata in punctul respectiv.

b) Daca f este derivabila in punctul a care apartine graficului functiei f(x) atunci ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul a este: y – f(a) = f'(a)(x - a).

C. Asimptote: exista 3 tipuri de asimptote: orizontale, verticale, oblice.

a) O functie are asimptota orizontala y = a la graficul functiei spre + daca exista si este

finita x

lim f(x) = a. Asemanator in cazul - . In cazul cand nu exista asimptota orizontala

cautam asimptota oblica. b) O functie are asimptota oblica y = mx + n la graficul functiei spre + daca exista si sunt

finite x

limx

)x(f = m si x

lim (f(x) – mx) = n. Asemanator in cazul - .

c) O functie are asimptota verticala x = b, daca f(x) are una din limitele laterale in punctul b

infinita.

D. In general in rezolvarea acestor exercitii se aplica derivabilitatea si monotonia functiilor.

E. In general in rezolvarea acestor exercitii se foloseste sirul lui Rolle astfel: Se consider functia g(x) = f(x) – m. Se calculeaza g' pe domeniul maxim de derivabilitate. Se determina radacinile x1, x2, x3, … ale ecuatiei g'(x) = 0. Se determina semnul lui g in punctele de mai sus si limitele la - si + ale lui g:

xlim g(x), g(x1 ), g (x2) ... , si

xlim g(x) (sirul lui Rolle).

In functie de semnul valorilor de mai sus se stabileste, daca ecuatiei g(x) = 0 are solutii pe fiecare interval.

Se concluzioneaza. (vezi: Model BAC Mate_Info 2013)

F. Trebuie sa studiati limitele de functii, metode de calcul, cazuri de nedeterminare. Pot aparea exercitii in care se aplica regula lui L’Hospital (cazuri simple).

G. Trebuie sa studiati limitele de siruri, criteriul minorarii la + , criteriul majorari la - ,

criterii de convergenta. (vezi: Model BAC Mate_Info 2013)

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

La adresele de mai jos puteti sa descarcati urmatoarele materiale: http://www.matematicon.ro/definitii-formule-matematice/128-functii-elementare-proprietati-grafic - graficele si proprietatile functiilor elementare.

http://www.matematicon.ro/definitii-formule-matematice/129-functii-elementare-limite - limitele functiilor elementare. http://www.matematicon.ro/definitii-formule-matematice/111-functii-derivabile-elementare - formulele de derivarea ale functiilor elementare. http://www.matematicon.ro/definitii-formule-matematice/185-formule-de-derivare-a-functiilor-compuse - formulele de derivarea ale functiilor compuse. Daca stiti formulele de derivare si rezolvarea macar a unei parti din aceste tipuri de exercitii puteti obtine puncte care va vor permite sa luati examenul. Aceste puncte pot face diferenta intre a lua examenul si a-l pica.

Formulele de derivare se invata rezolvand cat mai multe exercitii, in care se aplica aceeasi formula. Repetati-le la intervale de o zi, la inceput si incercati sa le aplicati in exercitii mai complicate. Vedeti unde ati gresit si unde trebuie sa insistati. Dupa perioada de fixare, repetati aceste formule la intervale mai lungi de timp.

Exercitii in care sa se studieze continuitate unei functii nu au aparut la examen. Puteti sa accesati gratuit de pe pagina noastra – clasa a XI-a -Continuitatea functiilor elementare. Operatii cu functii continue. – Lectie teoretica si Exercitii. 2. Primitiva unei functii, integrale nedefinite, integrale definite, calculul ariei unei suprafete si a

volumului unui corp de rotatie Aici avem urmatoarele subcapitole:

Primitive. Integrala definita pe intervalul [a,b]. Sume Riemann. Formula Leibniz – Newton Proprietati ale integralei definite (liniaritate, monotonie, etc), teorema de medie,

integrabilitatea functiei continue. Metode de calcul a integralelor definite. Aplicatii ale integralei definite in calculul ariei unei suprafete sau a volumului unui corp

de rotatie. Analizand subiectele date in anii anteriori am constata ca avem urmatoarele tipuri de exercitii: A. Exercitii in care se folosesc notiuni din analiza de clasa a XI – a, de genul

Aratati ca F(x) este crescatoare, unde F(x) este o primitiva a functiei f(x). o Studiati semnul lui f(x) si determinati monotonia lui F(x) in functie de semnul lui f(x). (F(x) este o primitiva a lui f(x)F(x) este derivabila si F'(x)= f(x) ).

Aratati ca F(x) este convexa/concava, unde F(x) este o primitiva a functiei f(x). o Studiati semul lui f'(x) si determinati convexitatea/concavitatea lui F(x) in functie de

semnul lui f'(x). (F(x) este o primitiva a lui f(x)F(x) este derivabila si F'(x)=f(x)F"(x) = f'(x)).

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

B. Exercitii in care se cere calculul unor primitive sau a unor integrale definite. La adresa http://www.matematicon.ro/definitii-formule-matematice/101-tabel-primitive - gasiti tabelul de primitivele ale functiilor elementare. Nu uitati operatia de integrare este inversa operatiei de derivare. Daca stiti formulele de derivare le veti putea invatat usor si pe cele de integrare. Invatati metodele de integrare prin parti, de schimbare de variabila si a integrarea functiilor rationale si aplicarea lor cel putin in cazuri simple. In general, exercitiile de calcul care s-au dat la examen au fost destul de simple.

La examen incercati sa calculati integrala chiar daca nu reusiti sa duceti calculul pana la capat. In functie de unde va opriti este posibil sa obtineti 1 – 3 puncte.

C. Exercitii in care se cere demonstrarea unei ineglitati ce contine o integrala definita. Se folosesc

proprietatile integralei definite. (vezi sesiunea BAC 2013 Mate_Info). D. Exercitii in care se cere calculul limitei unui sir – folosind sumele Riemann (vezi sesiunea BAC

2012 Mate_Info). E. Exercitii de genul: Se da un sir de integrale definite si se cere sa se studieze convergenta

acestuia si/sau limita lui. In aceste cazuri in general se foloseste Teorema lui Weierstrass: Orice sir monoton si marginit este convergent. (vezi sesiunea BAC 2010 Mate Info)

F. Exercitii in care se cere calculul ariei unei suprafete sau a volumul unui corp de rotatie. Scrieti formula, de exemplu:

A = b

adx)x(f reprezinta aria suprafetei delimitate de graficul functiei

f: [a, b] R, unde f(x) 0 si axa OX,

V= b

a

2 dx)x(f reprezinta volumul corpului obtinut prin rotirea subgraficului

functiei f: [a, b] R, in jurul axei Ox, inlocuind a, b si f(x) cu valorile date. Puteti sa obtineti pana la 2 puncte pe formula.

Observatie: In functie de semnul functie f(x) pe intervalul [a, b] formula ariei poate fi diferita. Recomandarile facute in aceste articole au ca scop sa va ajute sa va pregatiti pentru examen si sa va orienteze spre anumite capitole si notiuni care sa va maximizeze rezultatul, tinand cont de timpul ramas pana la examen. Ideea de baza este sa abordati exercitii din toate subiectele si sa incercati sa le rezolvati macar partial daca nu reusiti in totalitate. Nu uitati ca exista exercitii in care numai daca scrieti corect formula puteti lua 1 – 2 puncte.