UNIVERSITATEA TITU MAIORESCUFacultatea de INFORMATIC

Conf. univ. dr. VALENTIN GRBAN

Curs pentru nvmntul la distan

BUCURETI 2010

UNIVERSITATEA Titu MAIORESCU BUCURETI Facultatea de Informatic nvmnt la Distan

ANALIZ MATEMATICAnaliza matematic este una din disciplinele de baz care, pentru profilul INFORMATIC, este impus de ctre Agenia Naional pentru Asigurarea Calitii n nvmntul Superior (ARACIS) ca esenial pentru pregtirea studenilor i pentru depirea procedurilor de evaluare i acreditare. Modul de prezentare a acestui material are n vedere particularitile nvmntului la distan, la care studiul individual este determinant. Pentru orice nelmuriri fa de acest material v rugm s contactai tutorele de disciplin care are datoria s v ajute oferindu-v toate explicaiile necesare. Disciplina de Analiz matematic i propune urmtoarele obiective specifice: nsuirea noiunilor fundamentale i a algoritmilor specifici de rezolvare a problemelor privind iruri i serii numerice i de funcii, limit, continuitate, calcul diferenial (una sau mai multe variabile), calcul integral; Formarea i dezvoltarea bazei matematice a studenilor pentru disciplinele fundamentale i de specialitate din anii superiori; Formarea i dezvoltarea aptitudinilor i deprinderilor de analiz logic, formulare corect i argumentare fundamentat, n rezolvarea problemelor tehnico-economice i de specialitate; Identificarea corect a tuturor dimensiunilor unei probleme matematice precum i a procedurilor ce pot fi utilizate pentru rezolvarea acesteia; O comparaie critic a metodelor de rezolvare evideniind, eventual, calea optim de soluionare. V precizm de asemenea c, din punct de vedere al verificrilor i al notrii, cu adevrat important este capacitatea pe care trebuie s o dobndii i s o probai de a rezolva toat tipologia de probleme aplicative aferente materialului teoretic prezentat n continuare. De aceea v recomandm s parcurgei cu atenie toate problemele rezolvate, s rezolvai problemele propuse prin testele de autoevaluare si temele de control; fii convini c examenul final apeleaz la tipurile de probleme prezente n seciunile menionate anterior. SUCCES!

Coordonator disciplin: Conf. univ. dr. Valentin Grban Tutori: Asist. univ. drd. Zanfir Veronica2

MODULUL 1 IRURI I SERII DE NUMEREn acest modul sunt prezentate, pe parcursul a dou lecii, principalele noiuni cu caracter teoretic referitoare la irurile i seriile de numere reale ( , k ) i de numere complexe ( , k ) i algoritmii specifici de rezolvare a problemelor care se refer la iruri i serii de numere: noiunile de convergen i limit a unui ir de numere (reale sau complexe) i de convergen i sum a unei serii de numere; criterii de convergen pentru iruri i serii de numere (reale, complexe din k ); algoritmi pentru calculul limitelor de iruri, n corelaie cu criteriile de convergen studiate; metode de calcul pentru determinarea sumei a numeroase clase de serii numerice convergente. Organizarea materialului este urmtoarea: la nceputul fiecrei lecii sunt prezentate pe scurt principalele rezultate teoretice, formule i algoritmi de rezolvare pentru problemele specifice temei studiate; urmeaz un numr semnificativ de probleme rezolvate, care acoper ntreaga gam a noiunilor teoretice i algoritmilor de rezolvare prezentai anterior; n finalul fiecrei lecii este propus un test de autoevaluare i la sfritul modulului o tem de control, problemele propuse fiind variate i ordonate dup gradul lor de dificultate i acoperind ntreaga tematic studiat n modulul respectiv. Materialul trebuie parcurs n ordinea sa fireasc prezentat n cuprinsul modulului, inclusiv n poriunea referitoare la aplicaii. Metoda de studiu va fi cea specific disciplinelor matematice, cu utilizarea expres a adnotrilor fcute cu creionul pe tot parcursul textului. Se recomand ntocmirea unui caiet de probleme. Pentru fiecare tip de exerciiu se recomand identificarea algoritmului i descompunerea acestuia n etape succesive. Se recomand studierea soluiilor problemelor rezolvate i rezolvarea complet a problemelor propuse n testele de autoevaluare i n tema de control propus. Timpul mediu necesar parcurgerii i nsuirii noiunilor teoretice, algoritmilor practici de rezolvare a problemelor, formrii deprinderilor practice de rezolvare i dobndirii competenelor anunate este de aproximativ 6-8 ore de studiu pentru fiecare lecie, ntr-un ritm de 2-3 ore zilnic.3

LECIA 1 1.1 iruri de numere reale. Puncte limit. ConvergenDefiniia 1.1.1. Fie irul ( xn ) n de numere reale. Un numr real a se

numete punct limit al irului considerat, dac n orice vecintate a sa se afl o infinitate de termeni ai irului. Notndu-se cu L mulimea punctelor limit pentru irul

( xn )n

,

marginea superioar a mulimii L se va numi limita superioar a irului, iar marginea inferioar a mulimii L se va numi limita inferioar a irului considerat. Se va scrie: sup ( L ) = limsup ( xn ) i inf ( L ) = liminf ( xn ) .n n

Exemple n 1) irul cu termenul general xn = sin , n , are ca puncte limit pe 4 2 2 1, , 0, , 1. 2 2 1 2) irul cu termenul general xn = , n * , va avea L = {0} , deci n limsup ( xn ) = liminf ( xn ) = 0 , irul fiind convergent.n n

Definiia 1.1.2. irul

numr x, astfel nct > 0, ( ) n ( ) , astfel nct pentru ( ) n n ( ) s se verifice xn x < . Numrul real x cu proprietatea de mai sus se numete limita irului ( xn )n i se va scrie lim ( xn ) = x . Dac un ir ( xn ) n este convergent, limitele sale superioar i inferioar sunt egale.Definiia 1.1.3. Un ir care are limita infinit sau un ir pentru care cele dou limite, inferioar i superioar, sunt diferite se numete ir divergent. Teorema lui Weierstrass. Orice ir monoton i mrginit este convergent.4n

( xn )n pentru ( )

se numete convergent, dac exist un

Teorema A = ( amn )( m, n )

Tplitz. Fie o matrice infinit de numere cu proprietatea c exist M * , astfel nct: * + *

reale

ak1 + ak 2 + ... + akm + ... M , ( ) k

*

.

Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1) pentru orice ir convergent de numere reale ( xn )n irul ( yn ) n definit prin yn =

ank xkk =1

este convergent i lim yn = lim xn ;n n

2) (i) lim anm = 0, ( ) m n n

*

;

(ii) lim ( an1 + an 2 + ... + anm + ...) = 1 .Consecina 1. Dac n Teorema Tplitz se modific punctul 2) (ii) n ( ) lim anm = l < , atunci afirmaia 1) devine ( ) lim yn = l lim xn .n

m 1

n

n

Teorema Cesaro-Stolz. Fie irul ( an ) n

cresctor lim

de

numere

pozitive,

cu

an +1 an a = l , va exista i lim n i cele dou limite vor avea aceeai n bn +1 bn n bn valoare. Indicaie de rezolvare: Se aplic Teorema Tplitz irului ( xn ) n , xn = an an 1 , iar irul dublu bn bn 1

n

lim bn = .

oarecare i ( bn ) n Atunci,

monoton exist

dac

( Anm )n,m

, Ank =

bk bk 1 , k n i Ank = 0, k > n . bn

b b b b n aceste condiii lim 1 0 x1 + ... + n n 1 xn = lim xn = l . n bn bn n b b b b a De asemenea, 1 0 x1 + ... + n n 1 xn = n , ( ) n * . bn bn bn Consecina 2. Dac ( an ) n , ( bn ) n sunt dou iruri de numere reale cu proprietile:

5

1) lim

bk = , bn n k =1 n

n

* +,

( ) n

;

2) ( ) lim an = a .

Atunci ( ) lim

a1 b1 + ... + an bn = a. n b1 + ... + bn

Criteriul radicalului Dac irul ( an ) n este convergent i are termenii pozitivi, atuncin

lim n a1 a2 ... an = lim an .n

Indicaie de rezolvare: Se aplic teorema Cesaro-Stolz pentru irurile ( lg an )n i bn = n . Atunci lg a1 + lg a2 + ... + lg an = lim lg an lim lg n a1 a2 ... an = lim lg an , n n n n n lim de unde rezult problemei. lg lim n a1 a2 ... an = lg lim ann n

(

) (

)

i de aici cerina

Criteriul raportului

Dac irul ( an ) n are termenii pozitivi, atunci lim n an = limn

an +1 , dac n an

ultima limit exist.Criteriul majorrii Dac an a bn i lim bn = 0 , atunci lim an = a .n n

O reciproc a teoremei Cesaro-Stolz Dac ( an ) n , ( bn ) n sunt dou iruri de numere reale cu proprietile:

, bn bn +1, ( ) n a 2) ( ) lim n = l ; n bn1) bn *

;

3) ( ) lim

bn = b n bn +1

\ {1} .

6

Atunci () lim

a n+1 a n = l. n bn +1 bn

Criteriul general de convergen al lui Cauchy. Condiia necesar i suficient ca un ir ( xn ) n s fie convergent este ca pentru ( ) > 0 ,

( ) n ( )

, astfel nct pentru

( ) n n ( )

i pentru

( ) p

*

s se

verifice x n + p x n < .

1.2 iruri recurenteo relaie de forma xn = f ( xn 1, xn 2 ,..., xn k ) , n > k cu x1, x2 ,..., xk cunoscui. Numrul natural k se numete ordinul relaiei de recuren.Recuren de ordinul 1 xn +1 = a xn + b, n 0, x0 Definiia 1.2.1. Un ir ( xn )n se numete ir recurent dac este definit de

. .

Cazul 1. a 0, b = 0 xn +1 = a xn xn = a n x0 , ( ) n

(1 a ) + b = 0 i rezult y n+1 = a y n y n = a n y0 i decib b xn = a n x0 + , ( ) n . + a 1 a 1 Recuren de ordinul 2

Cazul 3. b 0, a {0,1} xn +1 = a xn + b, ( ) n . Se caut un ir cu termenul general de forma yn = xn + , . y n+1 = a ( y n ) + b y n+1 = a y n + (1 a ) + b . Impunem condiia

Cazul 2. a = 1, b 0 xn +1 = xn + b xn = n b + x0 , ( ) n .

a xn +1 + b xn + c xn 1 = d , n 1, a, b, c, d .Observaie. Printr-o translaie a irului ( xn )n se poate obine o recuren de forma a xn +1 + b xn + c xn 1 = 0, n 1, a, b, c .

Pentru aceast problem se caut soluii de forma xn = r n , r 0 .

nlocuind aceasta n relaia de recuren, vom obine ecuaia a r 2 + b r + c = 0 numit ecuaia caracteristic asociat recurenei.

7

Se disting trei cazuri: Cazul I: Dac > 0 , ecuaia caracteristic are dou rdcini reale i distincte r1 , r2 .Lema 1. irurile cu termenii generali yn = r1n , zn = r2n , n , sunt soluii ale relaiei de recuren. Lema 2. Orice combinaie liniar a irurilor yn = r1n , zn = r2n , n , este soluie a relaiei de recuren. Lema 3. Soluia general ( xn )n a relaiei de recuren i irurile ( yn ) n ,

( zn ) n

sunt liniar dependente. Prin urmare, soluia general a relaiei de recuren este: xn = A r1n + B r2n , n , A, B .Cazul II: Dac = 0 r1 = r2 = r.

Lema 1. irurile cu termenii generali yn = r n , zn = n r n sunt soluii ale relaiei de recuren. Lema 2. Orice combinaie liniar a irurilor ( yn ) n , ( zn ) n este soluie a

relaiei de recuren. Lema 3. Soluia general ( xn )n a relaiei de recuren i irurile ( yn ) n ,

( zn ) n

sunt liniar dependente. Prin urmare, soluia general a relaiei de recuren este: xn = ( A + B n ) r n , n , A, B .Cazul III: Dac < 0 r1 = ( cos + i sin ) , r2 = ( cos i sin ) .

Lema 1. irurile cu termenii generali y n = n cos n i z n = n sin n sunt soluii ale relaiei de recuren. Lema 2. Orice combinaie liniar a irurilor ( yn ) n , ( zn ) n este soluie a

relaiei de recuren. Lema 3. Soluia general ( xn )n a relaiei de recuren i irurile ( yn ) n ,

( zn ) n

sunt liniar dependente. Prin urmare, soluia general a relaiei de recuren este: xn = n ( A cos n + B sin n ) , n , A, B .

Observaie. Pentru relaii de recuren de ordin superior lui doi se procedeaz similar, urmnd urmtoarele etape: 1) se scrie i se rezolv ecuaia caracteristic;8

2) se scrie soluia general a relaiei de recuren ca o combinaie liniar a soluiilor pariale.

1.3 iruri nFiek

k

___ = x = ( x1, x2 ,..., xk ) xi , ( ) i = 1, k . Elementele lui numesc puncte sau vectori.

k

se

Observaie. Pe mulimea k se definesc operaiile de adunare i nmulire cu numere reale prin: 1) x + y = ( x1 + y1, x2 + y2 ,..., xk + yk ) , ( ) x, y k ;2) x = ( x1, x2 ,..., xk ) , ( ) x k

(

k

, +,

) are o structur de spaiu vectorial peste corpul K., : X X K , (K = ,

, ( )

.

Definiia 1.3.1. Fie X k . O aplicaie se numete produs scalar pe mulimea X, dac:

)

1) x, x 0, ( ) x X , x, x = 0 x = ( 0,0,...,0 ) k ;

3) x1 + x2 , y = x1, y + x2 , y , ( ) x1, x2 , y X ; 4) x, y = y, x , ( ) x, y X , unde________

2) x, y = x, y = x, y , ( ) x, y X , ( ) K ;

y, x este conjugatul numrului

complex y, x . Pentru K = condiia 4) din definiia produsului scalar devine x, y = y, x , ( ) x, y X . Observaie. Pe spaiul vectorial forma x, y =

(

k

, +,

) se introduce produsul scalar de

xi yi .i =1 k

k

Definiia 1.3.2. Fie X pe X, dac:

. O aplicaie : X

+

se numete norm

1) x = 0 x = ( 0,0,...,0 ) k ;

2) x = x , ( ) x X , ( ) K ;9

3) x + y x + y , ( ) x, y X .

Observaie. Pe

(

k

, +,

) se introduce normax, x , ( ) x

k

2

:X

+

definit cu

ajutorul produsului scalar prin x 2 =

.

2 2 2 Rezult c x 2 = x1 + x2 + ... + xk .

Definiia 1.3.3. Fie a k i r + . Mulimea punctelor x care x a 2 < r se numete sfera deschis cu centrul n a i de raz r. Definiia 1.3.4. Fie a k i r + . Mulimea punctelor x care x a 2 r se numete sfera nchis cu centrul n a i de raz r.

k

pentru

k

pentru

sfera deschis devine mulimea Observaie. n cazul n care a punctelor x pentru care x a < r x ( a r , a + r ) . Notaie. Vom nota cu Br ( a ) sfera cu centrul n a i raza r.Definiia 1.3.5. Mulimea A k se numete deschis, dac pentru ( ) a A exist o sfer deschis Br ( a ) A .

Exemplu Intervaleledeschise n__ I k = x = ( x1, x2 ,..., xk ) ai < xi < bi , i = 1, k 2

sunt

mulimi

(

k

,

).

Definiia 1.3.6. Fie a k . O mulime V k se numete vecintate a punctului a, dac exist o mulime deschis inclus n V i care-l conine pe a.

Notaie. Vom nota cu V ( a ) mulimea tuturor vecintilor lui a.Definiia 1.3.7. Fie A k . Un punct a se numete punct de acumulare pentru A, dac ( ) V V ( a ) verific (V \ {a} ) A . Definiia 1.3.8. Se numete ir nk

definit prin f ( n ) = an , n

, unde an = an1 , an2 ,..., ank 10

(

, k

*

, o aplicaie f :

)

k

,

k

.

Notaie: ( an ) n . Exemplu irul ( an ) n n ( 1) n , n , an = sin , n 2 *

este din

2

.

Definiia 1.3.9. irul

( )

a0

k

,

astfel

nct

n > n() .

( an )n din k ( ) > 0, ( ) n ( )k

este convergent, dac exist pentru care

an a0

2

< ,

Observaie. Pentru an , a0 k

avem:2

ani a0i n ( )

i pentru

s avem an + p an

Teorema 1.3.11. Condiia necesar i suficient ca un ir ( an )n din

k

s fie convergent este ca el s fie ir Cauchy.

1.4 Aplicaii1.4.1 S se determine punctele limit pentru urmtoarele iruri:n +1 1 n cos n a) u n = a (1) + ; b) u n = 1 + ; c) u n = sin ;

n

n d) u n = ( 1)n n n ; e) un = (1 + cos n ) . n +1

n

n

4

11

1 1 1 + ; pentru n numr impar a n a 1 1 un = a + a ; deci, punctele limit sunt a i ; n a 1 b) e i ; e 2 2 c) 1, , 0, , 1; 2 2 d) 1, 1 ; 2k e) pentru n = 2k avem u2 k = 2 , deci lim u2 k = 2 . Pentru k 2k + 1 n = 2k + 1 avem u2 k +1 = 0 , deci lim u2 k +1 = 0 . Se obin punctele limit 2 i 0.a) pentru n numr par, un =k

Indicaie de rezolvare:

1.4.2 S se determine limitele inferioar i superioar pentru urmtoarele iruri: 1 + ( 1)n n + ( 1)n a) a n = ; 2 2n + 1 n 1 b) a n = n (1) + sin 2 n ; 4 n

c) a n = 1 +

1 1 n + ( 1) + cos n . 2 n 2

n

Indicaie de rezolvare: a) se determin punctele limit ale irului; pentru n numr par n 3 n 1 an = 1 + , iar pentru n numr impar a n = ; deci, 2n + 2 2 2n + 1 2 3 1 3 mulimea punctelor limit este L = , , de unde rezult c lim sup a n = 2 2 2 n 1 i lim inf a n = ; n 2 1 b) lim sup a n = 2 i lim inf a n = ; n 2 n 3 e c) limsup an = e + 1 i lim inf a n = . n 2 2 n 1.4.3 Folosind teorema lui Weierstrass s se studieze convergena urmtoarelor iruri:12

a) a n =

nn

(n!)

2

; b) an = a + an 1 , a > 0, a0 = 0 ;

2 a a n 1 1 a c) an = an 1 + , a 0 = 0, 0 < a < 1 ; , a > 0, a0 > 0 ; d) a n = 2 an 1 2 2 2 , a0 = 1 ; e) a n +1 = a n (1 a n ), 0 < a 0 < 1 ; f) an = 1 + an 1 a +b a + 2 bn 1 , 0 < a0 < b0 . g) an = n 1 n 1 , bn = n 1 2 3

Indicaie de rezolvare: a) irul ( an )n este cu termeni pozitivi, iar raportul an +1 1 ( n + 1) 1 1 1 = = 1 + < e < 1, ( ) n an n +1 n +1 n n +1 nnn n *

,

de unde rezult c irul este monoton descresctor. Cum toi termenii sunt pozitivi, irul va fi mrginit inferior de 0, deci este convergent. Pentru calculul limitei, dac l = lim a n , introducnd limita n relaia den

recuren a n +1 = a n

1 1 1 + , se va obine l = l 0 e , de unde l = 0 ; n +1 n b) irul ( an ) n este un ir de numere pozitive i monoton cresctor,n

n

demonstraie ce se poate realiza prin inducie matematic dup n. Presupunnd c ar exista l = lim a n , aceasta va trebui s verifice relaia de recuren, adic1 + 1 + 4a 1 1 + 4a , l2 = . 2 2 Cum l 2 < 0 nu convine, termenii irului fiind pozitivi, rezult ca limit posibil

l = a + l , de unde l 2 l a = 0 i se obin l1 =

l 1 . Cum irul este cresctor, adic a n 1 < a n i a1 = a < an , ( ) n , n 2 ,

rezult

a an 1 a a < 1, 1 = < 1, de unde < an an an an

a.

2 Din relaia de recuren ridicat la ptrat se va obine a n = a + a n 1 , adic a an 1 an = + < a + 1, ( ) n * , adic irul este mrginit superior, deci este an an convergent, iar l 1 este limita sa; c) convergent; d) convergent; e) convergent;

13

f) cum a0 > 0 rezult c an > 1, ( ) n

i an = 1 +

2an 1

0 , rezult c subirulk k

Cum ambele subiruri sunt i mrginite rezult c exist limitele lor, de forma l1 = lim a2 k , l 2 = lim a2 k +1 . 2 2 , a2 k + 2 = 1 + . Trecnd la limit n cele a2 k a2 k +1 2 2 dou relaii de recuren, obinem l 2 = 1 + , l1 = 1 + , echivalent cu l1 l2 ( l 2 l1 ) ( l1 l 2 2 ) = 0 . Dac l1 l 2 , rezult c l1 l 2 = 2 , adic l1 = 0 , ceea ce este fals. Rezult l1 = l 2 , deci irul este convergent; a +b a + 2 b0 < b0 , a1 < b1 . n continuare se g) a1 = 0 0 > a0 , b1 = 0 2 3 demonstreaz prin inducie matematic an < an +1 < bn +1 < bn , ( ) n , deci putem scrie a0 < a1 < ... < an < ... < bn < bn 1 < ... < b1 < b0 . Rezult c exist l1 = lim an i l 2 = lim bn i trecnd la limit n relaiile de recuren, obinem n acelai timp a2 k +1 = 1 +l1 = l 2 .n n

1.4.4 Folosind teorema Cesaro-Stolz, s se calculeze urmtoarele limite: 1 1 1 + + ... + p p p 1 + 2 + ... + n n 2 n; a) lim n ; b) lim , p + 1 > 0 ; c) lim p +1 n n n 2 n n 1 1 1 1 1+ + ... + 1 + + ... + n 2 2 n ; e) lim d) lim ; n n ln n n a n +b 1a+b a 2 +b 1 + 2 + ... + n n . ; g) lim f) lim + + ... + n n c + d n n n c 2+d c n+d

14

Indicaie de rezolvare: a) Cu notaiile din teorema Cesaro-Stolz se consider a n = n, bn = 2 n , de unde rezult lim a n = 0 ;n

1 ; p +1 a a 1 c) lim n +1 n = lim = 0; n bn +1 bn n n + 1 1 a an n +1 d) lim n+1 = lim = 1; n bn +1 bn n ln (n + 1) ln n 1 a a n + 1 = lim n + 1 + n = 2 ; e) lim n +1 n = lim n bn +1 bn n n + 1 n n n +1 f) 0; a g) . c

b)

1.4.5 S se calculeze limitele urmtoare: n n! n n a) lim n! ; b) lim ln n ; c) lim ; n n n n Indicaie de rezolvare: (n + 1)! = ; a) lim n n! = lim n n n! ln(n + 1) = 1; b) lim n ln n = lim n n ln n 1 c) ; e 1.4.6 Fie (u n )n un ir de numere pozitive, cresctor i divergent. u a) S se arate c dac lim n = , + \ {1} n u n 1 u + u 2 + ... + u n . = , atunci = lim 1 n un 1

i

15

b) S se arate c dac

un = , unde n u n p lim

+

\ {1} , atunci

u1 + u2 + ... + un p +1 lim = , ( ) p 1 . n un p 1c) S se arate c dac

u1 + u 2 + ... + u n =. n u1 + u 2 + ... + u n 1 limd) S se arate c daclim

un = , unde n u n 1 lim

+

\ {1} , atunci

u1 + u2 + ... + un = p +1, ( ) p 1 . n u1 + u2 + ... + un p

un = , unde n u n 1 lim

+

\ {1} , atunci

Indicaie de rezolvare: a) se consider an = u1 + u2 + ... + un , bn = un i se aplic Teorema Cesaro-Stolz; rezult un a u + ... + u n a a n1 un u n1 lim n = lim 1 = lim n = lim = lim = n bn n n bn bn 1 n u n u n 1 n u n 1 un 1 u n1 ; i deci = 1 u n p +1 u + ... + u n u1 + ... + u n u n u n1 b) 1 ; = ... u n p un u n1 u n2 u n p rezult

u1 + ... + u n p +1 ; = ... = n u n p 1 1 limc)

u1 + ... + un un u un 1 =1+ =1+ n = u1 + ... + un 1 u1 + ... + un 1 un 1 u1 + ... + un 1

=1+

un 1 . un 1 u1 + ... + un 1 un 1

Trecnd la limit i innd seama de punctul b), se va obine:

16

u1 + ... + u n 1 =. = 1+ n u1 + ... + u n 1 lim1.4.7 Utiliznd criteriul general de convergen al lui Cauchy, s se demonstreze convergena irurilor: sin a n sin a1 sin a 2 a) u n = + + ... + ; 2 2n 22 b) un =

cos a1 cos a2 cos an + + ... + ; n ( n + 1) 1 2 23 1 1 1 1 + + ... + ( 1)n1 ; n 2 3 4

c) u n = 1 d) u n = e) u n = f) u n = g) u n =

1 1 1 ; + + ... + [1 + 3(n 1)] (1 + 3n ) 1 4 4 71 1 1 ; + + ... + (n + 1)(n + 4 ) 25 36

1 1 1 ; + + ... + 1 2 2 3 n(n + 1)

cos nx cos x cos 2 x ; + + ... + 3 32 3n 1 1 h) u n = 1 + 2 + ... + 2 . n 2Indicaie de rezolvare: a) fiind dat > 0 arbitrar fixat, se va cuta un rang n ( ) , astfel nct*

pentru ( ) n n ( ) i pentru ( ) p un + p un =

s se verifice u n + p u n <

sin an + p sin an +1 1 1 + ... + n + p < n +1 + ... + n + p = n +1 2 2 2 2 1 1 1 1 + + ... + p 1 = n +1 2n +1 2 2 2 1 1 1 2p = 1 1 2n 2 1 1 1 p < n 2 2

=

17

1 ln 1 i cum lim n = 0 se poate gsi un rang, de exemplu n( ) = + 1, pentru n 2 ln 2 1 care un + p un < n < , ( ) n n ( ) , ( ) p * , deci irul este convergent; 2 1 1 1 c) u n + p u n = ; dac p este numr + ... + ( 1) p 1 n +1 n + 2 n+ p par, atunciun + p un = 1 1 1 1 + ... + = n +1 n + 2 n + p 1 n + p

1 1 1 1 1 1 = + + ... + < n +1 n + 2 n + 3 n + 4 n + p 1 n + p 1 1 1 1 1 1 1 1 < + + ... + = n +1 n + 2 n + 2 n + 4 n + 4 n+ p2 n+ p2 n+ p 1 1 1 = < . n +1 n + p n +1 Dac p este impar, atunci 1 1 1 1 1 un + p un = < + + ... + n+ p n +1 n + 2 n + 3 n + 4 1 1 1 1 1 1 1 < + + ... + + = n +1 n + 2 n + 2 n + 4 n + p 2 n + p 1 n + p 1 1 = . n +1 1 1 = 0 , se poate gsi un rang n( ) = 1 + 1 , pentru care n n + 1 1 un + p un < < , ( ) n n ( ) , ( ) p * , deci irul este convergent; n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 d) u n = 1 + + ... + = 3 1 1 + 3n , de 3 4 4 7 1 + 3(n 1) 1 + 3n Cum lim 1 1 1 1 1 1 < unde u n + p u n = < 1, lim a n = ; deci, u n nu are limit. b . n 1 a Dac a = 1 , lim u n = , n funcie de semnul lui b. Dac a < 1, lim un =n

Dac a = 1 , u2 p = u0 , u2 p +1 = b u0 , irul reducndu-se la dou puncte distincte, deci nu are limit. Rezult c irul are limit doar n cazul a < 1 .1.4.9 S se studieze convergena irurilor: a) x1 = 1, x2 = 3, xn + 2 = 5 xn +1 6 xn , n 1 ; x b) x1 = 0, x2 = 1, xn + 2 = xn +1 n , n 1 ; 4 2 c) x1 = , x2 = 1, xn + 2 = 2 xn +1 xn , n 1 . 219

Indicaie de rezolvare: a) ecuaia caracteristic este r 2 5 r + 6 = 0 r1 = 2, r2 = 3 i se aplic propoziia corespunztoare cazului I; obinem xn = c 2n + d 3n i punnd condiiile x1 = 1 i x2 = 3 , rezult c xn = 3n 1 , care este divergent; 1 1 b) ecuaia caracteristic este r 2 r + = 0 r1 = r2 = ; aplicndu-se 4 2 n n 1 1 propoziia corespunztoare cazului II, rezult xn = c + d n i 2 2 punnd condiia ca x1 = 0, x2 = 1 c = 4, d = 4 , rezult 1 1 x n = 4 + 4 n lim x n = 0 ; n 2 2 c) divergent.1.4.10 Fie a > b > 0 i dou iruri ( an )n i ( bn )n definite prin:2 2 an bn an +1 = , a0 = a i bn +1 = , b0 = b . an + bn an + bn

n

n

S se studieze a n +1 bn +1 i iruri.Indicaie de rezolvare:

bn+1 i s se deduc limitele celor dou a n +1

2 2 a n bn a n +1 bn +1 = = a n bn = ... = a 0 b0 = a b > 0 . a n + bn

2n+ 2 bn 1 bn +1 bn b . = = a = ... = a a n +1 a n n 1

2

4

b b a a+b b < 1 , rezult lim n +1 = 0 . n acelai timp, n +1 = n +1 , n a n +1 a n +1 a n +1 a a a+b = 0 . Se va obine astfel lim a n +1 = lim a n = a b i deci lim n +1 n n n a n +1 lim bn = 0 . Cumn

1.4.11 Se consider irurile (a n )n i (bn )n , care verific urmtoarele condiii: 1) termenii irului (bn )n sunt pozitivi;20

2) s n = b1 + b2 + ... + bn are limita infinit; a 3) lim n = l . n bn a + a 2 + ... + a n a n aceste condiii se verific lim 1 = lim n . n b1 + b2 + ... + bn n bn Indicaie de rezolvare:n

lim sn = , lim

an a a = l n l < , ( ) n n ( ) k l = k , k = 1,2,..., n. n bn bn 2 bk . Lund k = 1,2,..., n i nsumnd, se va 2

Rezult a k = (l k ) bk ; k < obinea1 + a2 + ... + an l= sn

a1 + a2 + ... + an = l ( b1 + b2 + ... + bn ) + 1 b1 + ... + n bn =

1 b1 + 2 b2 + ... + N bN N +1 bN +1 + ... + n bn + , sn sn

unde N = n( ) . Atunci a1 + a 2 + ... + a n b + ... + N bN b + ... + n bn l 1 1 + N +1 N +1 . sn sn sn 1 b1 + ... + N b N = 0, n sn lim iar b + ... + n bn N +1 bN +1 + ... + n bn N +1 N +1 < sn sn < bN +1 + ... + bn sn ( b1 + ... + bN ) = = 2 2 sn sn b1 + ... + bN 1 2 sn .

Rezult

a1 + a 2 + ... + a n b + ... + bn < . l < + 1 1 sn 2 2 sn

21

1.4.12 S se arate c dac lim a n = a i Bn = bn +1 + bn + 2 + ... + b2n cu

bn > 0 are limita egal cu b, atuncin

n

lim (a n +1 bn +1 + a n + 2 bn + 2 + ... + a 2 n b2 n ) = a b .

Indicaie de rezolvare:n

lim an = a

( ) > 0, ( ) n1 ( )

,

astfel nct pentru ( ) n n1 ( ) s rezulte a n a < . De asemenea, din lim Bn = b rezult c Bn b < , ( ) n n2 ( ) .

( ) M1 0 , astfel nct Bn M 2 , ( ) n n4 .

Cum irurile (a n )n i (Bn )n sunt convergente, ele sunt mrginite, adic an M1 ,

n

( ) n n3

i

( ) M 2 0 ,

astfel nct

Se noteaz a n a = n i Bn b = n i se consider Atunci n ( ) = max ( n1 ( ) , n2 ( ) , n3 , n4 ) .

an +1 bn +1 + ... + a2 n b2 n a b = ( n +1 + a ) bn +1 + ... + ( 2 n + a ) b2 n a b = = ( n +1 bn +1 + ... + 2 n b2 n ) + a Bn a b n +1 bn +1 + ... + 2 n b2 n + a Bn b < ( M + a ) , unde M = max(M 1 , M 2 ) . Rezultn

lim (a n +1 bn +1 + a n + 2 bn + 2 + ... + a 2 n b2 n ) = a b .

22

TEST DE AUTOEVALUARE

1 irurilor:

Folosind criteriul lui Cauchy, s se demonstreze divergena 1 1 + ... + ; 2 n 1 1 1 . + + ... + 1 2 n

a) u n = 1 +

b) u n = sin n ; c) u n = 2

2 b) xn +1 = xn 2 xn + 2, n 1, x1 [1, 2] ; 3 2 c) xn +1 = 3 xn 2, n 1, x1 = ; 2 1 d) xn +1 = 3 + , n 0, x0 = 3 . xn 3 S se arate c irul ( an ) n definit prin

S se studieze convergena irurilor: 2 a xn a) xn +1 = , a , a > 0 , cu x0 > 0 ; a + xn

n 1 2 a n = 1 1 ... 1 n + 1 n + 1 n + 1 este convergent i s se calculeze limita sa.4

1 S se arate c irul cu termenul general a n = 1 + nn n

n +1

este

1 1 convergent i s se deduc inegalitatea 1 + < e < 1 + . n 1 n S se calculeze limitele urmtoare: 1 a) lim n (n + 1)(n + 2 )...(2n ) ; n n (a + 1)(a + 2)...(a + n ) , a > 1 . b) lim n n n!523

LECIA 2 1.5 Serii de numere. Criterii de convergenDefiniia 1.5.1. Fie (a n )n un ir de numere reale i (s n )n un ir definit prin: s1 = a1, s2 = a1 + a2 ,..., sn = a1 + a2 + ... + an . Se numete serie de numere

reale asociat irului (a n )n , simbolul sale pariale. Seria

an , iar (sn )n se numete irul sumelorn =1

ann =1

de numere reale se numete convergent i are suma s, dac

i numai dac irul sumelor pariale (s n )n este convergent i are limita s;

an = s = nlim sn . Seria an n =1 n =1

de numere reale se numete divergent, dac

irul sumelor pariale este divergent.Criteriul general de convergen al lui Cauchy

ann =1

este convergent ( ) > 0, ( ) n ( )

, astfel nct*

a n +1 + ... + a n + p < , ( ) n n ( ) , ( ) p

.

Pentru p = 1 se obine:Criteriu necesar de convergen. Condiia necesar, dar nu i suficient,

ca o serie

ann =1

s fie convergent este ca lim a n = 0 .n

Exemplu 1 1 este divergent, cu toate c lim = 0 . Seria n n n n =1

24

1.6 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenCriteriul I al comparaiei

Fie

ann =1

i

bnn =1

dou serii cu termeni pozitivi, astfel ca an bn ,

( ) n n0 . Atunci:a) dac seria b) dac seria

bn este convergent, seria an ann =1 n =1

va fi convergent;

este divergent, seria

bn va fi divergent.n =1

n =1

Criteriul II al comparaiei

Fie

n =1

a n i

n =1

bn dou serii cu termeni pozitivi, astfel ca

an +1 bn +1 , an bn

( ) n n0 .

Atunci:a) dac seria b) dac seria

bn este convergent, seria an ann =1 n =1

va fi convergent;

este divergent, seria

bn va fi divergent.n =1

n =1

Criteriul la limit

Fie

n =1

a n i

n =1

bn dou serii cu termeni pozitivi, astfel ca lim

an = K. n bn

Atunci: a) dac 0 < K < + , cele dou serii au aceeai natur;b) dac K = 0 , iar seria

bnn =1 n =1

este convergent, seria

ann =1 n =1

va fi

convergent;c) dac K = + , iar seria

an

este divergent, seria

bn va

fi

divergent.

25

Criteriul rdcinii (al lui Cauchy)

Fie

ann =1

o serie cu termeni pozitivi. Dac exist un numr natural N in

un numr q ( 0,1) , astfel nct pentru ( ) n > N s avem este convergent, iar dac Corolar Fien

an q < 1 , seria

an 1, ( ) n > N , seria este divergent.

ann =1

o serie cu termeni pozitivi i lim n a n = . Atunci:n

a) dac < 1 , seria este convergent; b) dac > 1 , seria este divergent; c) pentru = 1 , criteriul nu se aplic. Criteriul raportului (al lui dAlembert)

Fie

ann =1

o serie cu termeni pozitivi. Dac exist un numr natural N i an +1 q < 1 , seria an

un numr q ( 0,1) , astfel nct pentru ( ) n > N s avemeste convergent, iar dacCorolar

an +1 1, ( ) n > N , seria este divergent. an

Fie

n =1

a n o serie cu termeni pozitivi i lim

a n+1 = . Atunci: n a n

a) dac < 1 , seria este convergent; b) dac > 1 , seria este divergent; c) pentru = 1 , criteriul nu se aplic.

Exemple1 1 1 1 1 1 + + 2 + 2 + ... + n + n + ... . S se arate c ea 2 3 2 2 3 3 un +1 un +1 > 1, iar liminf < 1. este convergent i c limsup n un un n Indicaie de rezolvare: 1 1 Seria are aceeai natur cu seria n + n . 3 n =1 21) Se consider seria

26

1 1 1 1 1 + n < n + n = n 1 , ( ) n n 2 3 2 2 2 rezult convergena seriei. Cum

, din criteriul I de comparaie

1 3n un = 1 2n

pentru n par

pentru lim supn

n impar

u n+1 un

3 n 1 pentru n par 2 2 = n 2 1 3 3 pentru n impar

u n+1 u = > 1, iar lim inf n+1 = 0 < 1. n u n un1 1 1 + 2 + 2 + 2 2 + ... + n + 2 n + ... este divergent 2 2 2

2) S se arate c seria

i limsupn

un +1 u > 1, iar liminf n +1 < 1 . n un un

Indicaie de rezolvare:

Seria are aceeai natur cu seria deoarece 1 + 2n > 2n , ( ) n . n 2 pentru

2n + 2n , 1n =1

care este divergent,

2 n un = 1 n 2

1 u n+1 2 n+1 pentru n par = 2 un pentru n impar 2 2 n+1 pentru n impar

n par

Rezult c limsupn

un +1 u = > 1 , iar liminf n +1 = 0 < 1 . n un un

Observaie. Criteriul raportului d numai condiii suficiente de convergen i divergen, aa dup cum rezult din exemplele anterioare.

27

Criteriul logaritmicFie

ann =1

o serie cu termeni pozitivi. Dac exist un numr natural N i

1 an un numr q > 1 , astfel nct pentru ( ) n > N s avem q > 1 , seria este ln n 1 ln an convergent, iar dac < 1, ( ) n > N , seria este divergent. ln n ln

Corolar 1 an Fie a n o serie cu termeni pozitivi i lim = . Atunci: n ln n n =1

ln

a) pentru > 1 , seria este convergent; b) pentru < 1 , seria este divergent; c) pentru = 1 , criteriul nu se aplic.

Criteriul lui Kummer

Fie

( cn )n

n =1 * + i

an

o serie cu termeni pozitivi. Dac exist un ir de numere un numr natural N i un numr > 0 , astfel nct

a cn n cn +1 > 0, ( ) n > N , seria este convergent. an +1 an 1 cn +1 0, ( ) n > N , i seria este divergent, Dac cn an +1 cn n =1

atunci seria

an este divergent.n =1* +,

Corolar Fie irul ( cn ) n seria cu termeni pozitivi astfel nct seria

1 este divergent. Atunci cn n =1

an este:n =1

28

a a) convergent, dac lim cn n cn+1 > 0 ; n a n+1 a b) divergent, dac lim c n n c n+1 0 . n a n+1

Exemplu Se consider seria

n a , a > 0 . n acest caz, cn = n , iar seria cnn n =1 n =1

1

, a < 1; n 2 (1 a ) 2an a an cn +1 = lim = , a > 1; este divergent; lim cn n an +1 a ( n + 1) n 2, a = 1, de unde rezult c seria este convergent pentru a (0,1) .Criteriul Raabe-Duhamel

Fie

ann =1

o serie cu termeni pozitivi. Dac exist un numr natural N i

a un numr > 1, astfel nct pentru ( ) n > N s avem n n 1 > 1 , an +1 a seria este convergent, iar dac n n 1 1, ( ) n > N , seria este an +1 divergent.

Corolar Fie a a n o serie cu termeni pozitivi i lim n n 1 = . Atunci: n a n +1 n =1 a) pentru > 1 , seria este convergent; b) pentru < 1 , seria este divergent; c) pentru = 1 , criteriul nu se aplic.

Criteriul de condensare al lui Cauchy

Fie

unn =1

o serie cu termeni pozitivi i descresctori, iar (a n )n un ir a n+1 a n s a n a n1

divergent de numere naturale, astfel nct irul cu termenul general fie mrginit. Atunci seriile

un i (an+1 an ) u an =1 n =1

n

au aceeai natur.

29

Observaie. irul (a n )n se alege cel mai frecvent ca fiind an = 2n , ( ) n , care satisface condiiile criteriului de condensare.Criteriul lui Bertrand

Seria

an cu termeni pozitivi este:n =1

a 1) convergent, dac lim ln n n n 1 1 > 1 ; n a n+1 a 2) divergent, dac lim ln n n n 1 1 < 1 . n a n+1

Exemplu Se consider seria

( + 1) ... ( + n 1) .n =1

n!

, < 2; an n ( 2 ) 1 lim ln n n 1 1 = lim ln n = 0, = 2; , n an +1 n n +1 , > 2,

de unde rezult c seria este convergent pentru > 2 i divergent pentru 2.Criteriul lui Gauss

Seria

ann =1

cu termeni pozitivi pentru care

, , iar irul ( n )n este mrginit, este: 1) convergent, dac > 1 sau dac = 1; > 1; 2) divergent, dac < 1 sau dac = 1 ; 1 .

an = + + n , unde a n+1 n n2

Exemplu Seria hipergeometric F (, , , x ) = 1 +

( + 1)...( + n 1) ( + 1)...( + n 1) n x = n! ( + 1)...( + n 1) n =1

= 1+ , , , x * +.

( + 1) ( + 1) 2 x+ x + ... 1 2! ( + 1)30

a n+1 ( + n )( + n ) = x x pentru n . (n + 1)( + n ) anDin criteriul raportului rezult c seria este convergent pentru x < 1 i divergent pentru x > 1 . 1 1+ 1+ an (n + 1)( + n ) = n n . = Pentru x = 1 a n+1 ( + n )( + n ) 1 + 1 + n n

2 1 = 1 + Se utilizeaz dezvoltarea 2 n n 1+ 1 + n n 1 i 2 1 = 1 + 2. n n 1+ 1 + n n 1 an + 1 n = 1+ + 2 , unde ( n )n este un ir a n+1 n n mrginit. Aplicnd criteriul lui Gauss, seria este convergent pentru > 0 i divergent pentru 0 . Se poate scrieCriteriul integral Mac Laurin-Cauchy

Fie seria

an , care se poate scrie sub forma an = f (n ), unden =1 n =1 n =1

funcia f este continu, pozitiv i monoton descresctoare. Atunci seria

ann =1

este:x

a) convergent, dac () lim F ( x ) < ; b) divergent, dac () lim F ( x ) = + ,

unde F este o primitiv a lui f. Exemple

x

1) S se studieze convergena seriei

n ln n ln(ln n ).n =3

1

31

Indicaie de rezolvare: f ( x) = 1 F ( x ) = ln ln ln x , iar lim F ( x ) = + , x x ln x ln ln x

deci seria este divergent.2) S se studieze convergena seriei

n ( ln n )1+ , > 0 .n =3

1

Indicaie de rezolvare: f (x ) =x

1 x (ln x )1+

F (x ) =

1 (ln x )

i cum lim F ( x ) = 0 rezult c seria este convergent.Criteriul lui Ermakov

Fie seria

an , care se poate scrie sub forma an = f (n ), unden =1 n =1 n =1

funcia f este continu, pozitiv i monoton descresctoare. Atunci seria

ann =1

este: f ex ex f ( x)

a) convergent, dac ( ) x0 1 , astfel nct b) divergent, dac ( ) x0 1 , astfel ca

( )

q < 1, x x0 ;

f ex ex f ( x)

( )

1, x x0 .

Exemplu S se studieze natura seriei

n ln n ( ln ln n )1+ , > 0 .n =3 1+

1

Indicaie de rezolvare: f (x ) = iar 1 x ln x(ln ln x )

(ln ln x )1+ lim x (ln x )

f e x e x (ln ln x )1+ = , f (x ) (ln x )

( )

= 0 , deci seria este convergent.32

1.7 Serii absolut convergente. Serii alternateDefiniia 1.7.1. O serie cu termenii oarecare convergent, dac seria modulelor

unn =1

se numete absolut

unn=1

este convergent.

Definiia 1.7.2. Dac seria

unn =1

este convergent, dar seria modulelor

unn =1

este divergent, seria se numete semiconvergent.

Teorema 1.7.3. O serie cu termeni oarecare absolut convergent este convergent.

Observaie. Reciproca teoremei nu este adevrat, deoarece exist serii convergente, dar care nu sunt absolut convergente. Exemplu: Seria lui Riemann

( 1)n n ,n =1

1

pentru > 1 este absolut

convergent, iar pentru 1 este semiconvergent. Observaie. Seriile cu termeni pozitivi sunt absolut convergente. Criteriile de convergen stabilite la seriile cu termeni pozitivi sunt valabile i pentru seriile absolut convergente.Teorema 1.7.4. Dac ntr-o serie absolut convergent se schimb ordinea termenilor n mod arbitrar, obinem o nou serie absolut convergent cu aceeai sum.

Observaie. Teorema este valabil i pentru seriile cu termeni pozitivi care sunt absolut convergente.Teorema lui Riemann. ntr-o serie de numere reale, semiconvergent, se poate schimba ordinea factorilor, astfel nct seria obinut s aib ca sum un numr dat.

33

Exemplu 1 1 1 1 1 + + ... + + ... . 2n + 1 2n + 2 2 3 4 Se pot schimba termenii n ordinea Fie seria semiconvergent S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + + ... , 2 4 3 6 8 2n + 1 2(2n + 1) 2(2n + 2 )

iar noua serie are suma

1 S . 2

Criterii de convergen simpl (semiconvergen)Criteriul lui Dirichlet

Dac seria

ann =1

se poate scrie sub forma

un vn , unde irul (u n )nn =1

este monoton i mrginit, iar seria este convergent.Criteriul lui Abel

vnn =1

este convergent, atunci seria

ann =1

Dac seria

ann =1

se poate scrie sub forma

u n vn , unde (u n )n este unn =1

ir de numere pozitive descresctor i convergent la zero, iar seria irul sumelor pariale mrginit, atunci seria Exemplu S se arate c seria x 2k , k . 1 + 2 + ... + n

vnn =1

are

ann =1

este convergent.

1

1

n =1

sin nx este convergent pentru n

34

Indicaie de rezolvare:

irul cu termenul general u n =

1+

1 1 + ... + n este monoton descresctor i 2 n

convergent la zero (utiliznd teorema Cesaro-Stolz), iar serian

sin nx are iruln =1

x 1 cos cos n + x 2 2 sin kx = , de unde sumelor pariale mrginit, deoarece x k =1 2 sin 2

k =1

sin kx

n

1 x sin 2

, x 2k , k .

Definiia 1.7.5. Se numete serie alternat o serie de forma

( 1)n u n ,n =1

unde uk 0, ( ) k

*

.

Criteriul lui Leibniz

Dac ntr-o serie alternat

( 1)n u nn =1

irul

(u n )n

este monoton

descresctor i are limita zero, atunci seria este convergent.

1.8 Operaii cu seriiFie

an i bn dou serii. Atunci seriile (an + bn ) , (an bn ) in =1 n =1 n=1 n =1

cn ,n =1

unde cn = a1 bn + a2 bn1 + ... + an b1 se numesc, respectiv, suma,

diferena i produsul seriilor

an i bn .n =1 n =1

35

Dac seriile seria

an i bnn =1 n =1

sunt convergente i au sumele A i B, atunci

(an bn ) este convergent i are suma A B .n =1

Teorema lui Abel

Dac seriile

an , bnn =1 n =1

i seria produs

cn sunt convergente i dacn =1

A, B, C sunt, respectiv, sumele lor, atunci A B = C .Teorema lui Mertens

Dac seriile

an , bn sunt convergente i cel puin una dintre ele esten =1 n =1

absolut convergent, atunci seria produsTeorema lui Cauchy

cnn =1

este convergent i A B = C .

Dac seriile

an , bnn =1 n =1

sunt absolut convergente, atunci seria produs

cnn =1

este absolut convergent.k

1.9 Serii n

. Serii de numere complexek

Fie irul ( an ) n de elemente dins1 = a1 s2 = a1 + a2 ... sn = a1 + a2 + ... + an ...

i

irul ( sn ) n se numete irul sumelor pariale pentru seria

an .n =1

36

Definiia 1.9.1. Seria

an este convergent, dac irul sumelor parialen =1

este convergent. Suma seriei este limita irului sumelor pariale.Criteriul general al lui Cauchy

Seria pentru

ann =1

de elemente din

k

este convergent dac i numai dacn+ p

( ) > 0 , ( ) n ( ) ,*

astfel nct

k = n +1

ak2

< , ( ) n > n ( )

i

( ) p

.

Consecin. Dac seria

ann =1

de elemente din

k

este convergent,

atunci lim ann

2

= 0 , iar aceasta reprezint o condiie necesar, dar nu suficient

de convergen a unei serii.Definiia 1.9.2. Se numete irul sumelor pariale pentru seria de numere

complexe

zn , irul ( sn )nn =1

, definit prin: s1 = z1 s2 = z1 + z2 ........... sn = z1 + z2 + ... + zn ...........

Definiia 1.9.3. Seria

znn =1

de numere complexe este convergent, dac

irul sumelor pariale este convergent.Teorema 1.9.4. Seria de numere complexe

zn , unden =1

zn = an + i bn ,

pentru ( ) n , este convergent dac i numai dac seriile de numere reale37

ann =1

i

bnn =1

sunt convergente. Dac

znn =1

este convergent i are suma

s = a + i b , atunci a =

an i b = bn .n =1 n =1

Criteriul lui Cauchy Seria de numere complexe

znn =1

este convergent dac i numai dac

( ) > 0, ( ) n ( ) , ( ) p * .

astfel nct

zn +1 + zn + 2 + ... + zn + p < , ( ) n > n ( ) i

Definiia 1.9.5. Fie

znn =1

o serie de numere complexe. Dac seria de

numere realeconvergent.

znn =1

este convergent, spunem c seria

znn =1

este absolut

Teorema 1.9.6. O serie de numere complexe absolut convergent este convergent. Definiia 1.9.7. Seriile de numere complexe convergente, pentru care seria modulelor nu este convergent se numesc serii de numere complexe semiconvergente. Teorema 1.9.8. Seria de numere complexe

zn , unde zn = an + i bn esten =1

absolut convergent dac i numai dac seriile de numere reale

ann =1

i

bn sunt absolut convergente.n =1

38

1.10 Aplicaii1.10.1 S se arate c urmtoarele serii sunt convergente i s se determine sumele lor: 1 1 1 1 2 n a) + ... + ( 1)n +1 n + ... ; b) + 2 + ... + n + ..., a > 1 ; 3 9 a a 3 a c)

(n =1

n + a +1 2 n + a + n + a 1 , a > 0 ; \ ; e)

)

1 d) , a ( a + n ) ( a + n + 1) n =1

ln 1 n2 ; 1n=2

f)

n =1

2n + 1 2n 1 4n 12

.

Indicaie de rezolvare: a) irul sumelor pariale are termenul general n 1 1 1 1 1 1 1 3 s n = + ... + ( 1)n +1 n = lim s n = , 1 n 3 9 3 4 3 1+ 3 1 deci seria este convergent i are suma s = ; 4 1 2 n b) s n = + 2 + ... + n . Pentru calculul limitei irului sumelor pariale a a a

x x x se consider funcia f ( x ) = + + ... + , x a a a n acelai timp,n

2

n

. Atunci s n = f (1).

x 1 x x n +1 a n x 1 n (n + 1)a + a n +1 a f (x ) = = n sn = . x a xa a (1 a )2 a n 1 aDeoarece a > 1 , rezult lim s n =n

a

(1 a )2

i astfel seria este convergent

i are suma s =

a

(1 a )

2

;

c) s = a a + 1 ;39

1 1 1 1 1 sn = lim s n = , deci a + n a + n +1 a + 1 a + n + 1 n a +1 1 ; seria este convergent i are suma s = a +1 1 e) s = ln ; 2 f) s = 1 .d) a n = 1.10.2 S se nsumeze seriile urmtoare date prin termenii generali: 1 , k ; a) u n = (n ) (n 1) ; b) un = n ( n + 1) ... ( n + k ) 4n n! ; c) u n = 4 ; d) u n = (x + 1)(x + 2 ) ... (x + n ) n + 2n 2 + 9 2 1 e) u n = arctg 2 ; f) u n = arctg 2 ; n n + n +1 ln (n + 1) ln n n 2 (n + 1)2 . g) u n = , n > 1 ; h) u n = n! ln n ln(n + 1) Indicaie de rezolvare: a) s n = (n ) (0 ), deci pentru lim ( n ) = l s = l ( 0 ) ;n

b) u n =

1 1 1 1 n(n + 1)...(n + k 1) (n + 1)...(n + k ) s = k k! ; k

2 2 c) n 4 + 2n 2 + 9 = ( n 1) + 2 ( n + 1) + 2 ; rezult

un =

an + b 1 ; x 1

( n 1)2 + 2 ( n + 1)2 + 2 ( n 1)2 + 2 ( n + 1)2 + 2

+

cn + d

=

1

1

s=

5 ; 6

d) s =

1 1 1 n ( n + 1) 1 e) arctg 2 = arctg = arctg n n + 1 = 1 1 1 n + n +1 1+ 1+ n ( n + 1) n n +1 1 1 = arctg arctg n n +140

sn = arctg1 arctgf) u n = arctg g) u n =

1 s = lim sn = arctg1 = ; n 4 n +1 1 1 arctg s = lim s n = ; n n 1 n +1 4

(n

22

1 +1

)

= arctg

1 1 1 1 1 ; sn = s = lim s n = n ln n ln (n + 1) ln 2 ln (n + 1) ln 2

h) s = lim s n = 27 e .n

1.10.3 Folosind criteriul lui Cauchy, s se studieze natura seriei

n , 1 .n =1

1

Indicaie de rezolvare:

Pentru 0 , se observ c lim 1

1

Pentru 0 < 1, se aplic criteriul lui Cauchy; deci: an +1 + ... + an + p =

n n

0 , deci seria este divergent. 1 p

( n + 1)

+ ... +

(n + p)n 2 n

(n + p)1

, ( ) p .

Lund p = n , se va obine a n +1 + ... + a n + p = 2

n1

i cum 1 0 rezult c nu se verific condiia din criteriul lui Cauchy, deci seria este divergent.1.10.4 Folosind criteriul lui Cauchy, s se demonstreze convergena

seriei

n , 2 .n =1

1

Indicaie de rezolvare:

an +1 + ... + an + p = 1 seria este convergent; an + n an a n 1 ; cum lim n = 1 (0, ) rezult pentru a ( 1,1) se compar cu seria n a + n n n =1 1 1

n

c seria va fi divergent; pentru a = 1 , seria este divergent, ea fiindh) divergent; i) convergent.

n +1;n =1

1

1.10.6 S se stabileasc natura urmtoarelor serii de numere pozitive: a)

(ln n )n

1

a c) , a 0 ; d) nn n =1

n =1

n =2 n

n +1 ; b) n n =1

n2

an , a > 0 ;n

1 a 1 + , a 0 ; n n =1n n

e)

(

( n + 1)( n + a ) n )n

, a > 0 ; f)

(n n 1)n ; n =1n +;

g) tg a + , a 0, ; h) n 2 n =1

an + b , a , b, c , d cn + d n =1

43

an i) , a > 0, p ; np n =1

j) a +

( 2 e )( 2 3 e )...( 2 n e ) an , a > 0 ;n=2 3 n

(n!)2 ; l) ( n + 1) a k) (2n )! ( n + 1)! n =1 n =1an m) , a 0 ; n) n! n =1

, a 0;

n =1

an , a 0 ; o) n!

nln x , x > 0 ;n =1

p) t)

nln( an+1)ln n , a > 0 ; r) (ln n )ln ln n . s) 4 n (n!)2 ;

1

1

(2n )!

1 n ; u) n! e n =1

n =1

n

a ( a + 1) ...( a + n 1) 1 , a > 0, n! n n =1

n =1

n =1

\ {a} ;

a ( a + r ) ...( a + nr r ) v) , a, b, r > 0, ; b ( b + r ) ...( b + nr r ) n =1

1 3 ... ( 2n 1) w) , a . 2 4 ... ( 2n ) n =1

a

Indicaie de rezolvare: a) convergent; b) lim n un = a e , de unde rezult c pentru a seria este divergent; pentru a = , u n = 1 + n ; e e n e c) convergent; 1 d) lim n u n = lim a 1 + = a , de unde rezult c pentru a < 1 seria n n n este convergent, pentru a > 1 seria este divergent, iar pentru a = 1 se obine

1 seria 1 + care este divergent; n n =1 a +1 e) lim n u n = , de unde rezult c pentru a < 1 seria este n 2 convergent, pentru a > 1 seria este divergent, iar pentru a = 1 , u n = 1 , deci seria este divergent;

n

44

f) convergent;

g) lim n un = lim tg a + = tg a , deci pentru a 0, seria este n n n 4 convergent, pentru a , seria este divergent, iar pentru a = , 4 4 2h) pentru a < c seria este convergent, pentru a c este divergent; u i) lim n+1 = a , deci pentru a < 1 seria este convergent, pentru a > 1 n u n seria este divergent, iar pentru a = 1 se obine seria armonic generalizat 1 , care este convergent pentru p > 1 i divergent pentru p 1; np n =1 u j) lim n+1 = a , deci pentru a < 1 seria este convergent, pentru a > 1 n u nn

lim u n = e 2 a 0 , deci seria este divergent;

u n+1 = 2 e n+1 ; deoarece seria este divergent, iar pentru a = 1 avem un 1 1 n +1 u 1 1 1 e < 1 + , rezult c e n+1 < 1 + n+1 > 1 = n i din criteriul III 1 n n un n n 1 de comparaie, seria este divergent; k) convergent; l) convergent; m) convergent; n) convergent; 1 ln an 1 o) lim = ln x , de unde rezult c pentru x < seria este n ln n e 1 1 convergent, iar pentru x > seria este divergent; pentru x = , se obine seria e e armonic divergent; p) pentru a > e seria este convergent, iar pentru a < e seria este divergent; 1 ln an r) divergent, deoarece lim = 0; n ln n s) divergent;45

1

1 n e 1 + u 1 n t) n n 1 = 1 + ; 1 un +1 n n e (1 + x ) x se consider funcia f : (0, ) R , definit prin f ( x ) = x determin limita acesteia n punctul x = 0 , se va obine:x 0 1

n

i se

lim f ( x ) =

u 1 e lim n n 1 = lim e n n u n +1 2

1 1 f = < 1, n 2

deci seria este divergent; u) pentru < a seria este divergent, pentru > a seria este convergent; v) pentru r < (b a ) seria este convergent, pentru r > (b a ) seria este divergent; w) pentru a < 2 seria este divergent, pentru a > 2 seria este convergent. 1 3 ... (2n + 1) 1 , de unde rezult Pentru a = 2 , se utilizeaz inegalitatea 2 4 ... (2n ) 2 n 1 3 ... (2n + 1) 1 c , deci seria este divergent. 4n 2 4 ... (2n ) 1.10.7 S se studieze natura seriei armonice generalizate:2

n , n =1

1

.

Indicaie de rezolvare: 1 Pentru 0 lim 0 , deci seria este divergent. n n Pentru > 0 a n = n > 0 este ir descresctor, deci seria armonic

generalizat are aceeai natur cu seria seria geometric cu raia 21

2 (2 )k k =1

k

=

(21 )k =1

k

, care este

. Deci, pentru 2

1

1 1 seria este

divergent, iar pentru 21 < 1 > 1 seria este convergent.

46

1.10.8 S se arate c seria

unn =1 n =1

cu termeni pozitivi i monoton .

descresctori are aceeai natur cu seria

n un

2

Indicaie de rezolvare: Se consider vn = u n2 + u n2 +1 + ... + u (n+1)2 . Rezult2 2 ( n + 1) 2 n 2 + 1 u 2 vn ( n + 1) n + 1 u 2 ( n +1) n

de unde

(n + 1) u (n+1)2 n =1

2(n + 1) u (n+1)2 vn 2 n u n2 i din criteriul I de2

comparaie seriile

un i n u nn =1 n +1

au aceeai natur.

1.10.9 S se stabileasc natura seriilor alternate: a) b) c) d)

( 1) ( 1)n =1 n =1 n =1

(n + 1)n+1 ; n n+2 10n 1 a + 10n 2 a + ... + 10 a + a , a > 0; 10n 2n + 1 3n 1 2 +1 ; 1 n 1 1 n +1 + ...

n +1

( 1)n+1 1 2 1

+ ... +

Indicaie de rezolvare:a) irul cu termenul general u nn+2

(n + 1)n+1 =n n+2

este un ir descresctor, deci

n +1 un +1 n 2 + 2n 1 1 deoarece = 1 seria este absolut convergent, pentru 0 seria este divergent, deoarece nu se verific condiia necesar de convergen a unei serii, iar pentru (0,1] , seria este semiconvergent, utiliznd criteriul lui Leibniz; e) pentru a < 1 seria este absolut convergent, iar pentru a > 1 seria este divergent, deoarece lim u n 0 ;f) pentru a = 1 seria este divergent, deoarece lim u n 0 , iar pentrun

a

\ {1,1} seria este absolut convergent;g) seria este absolut convergent, deoarece u n =48

n

nn+ 3

(

an

)

M n2

;

h) se utilizeaz criteriul raportului pentru seria modulelor i obinem c pentru x k , k + , k , seria este convergent i pentru 4 4 3 x k + , k + , k , este divergent; pentru x = k se obine seria 4 4 4 1 ; convergent ( 1)n +1 n +1 n =1

i) semiconvergent; j) pentru seria modulelor se aplic Raabe-Duhamel i obinem c pentru a 0 seria este absolut convergent, iar pentru a < 0 seria modulelor este divergent. Pentru a < 0 avemnot a ( a 1) ... ( a n + 1) n ( a )(1 a ) ... ( n a 1) n = ( 1) = ( 1) bn , n! n!

unde bn > 0, ( ) n

. Am obinut seria alternat

( 1)n =1

n

bn , pentru care

bn +1 n a = 1 , pentru a 1 ; deci, n acest caz irul ( bn ) n este cresctor i bn n +1 limita este nenul, deci seria este divergent. Pentru a ( 1, 0 ) irul ( bn ) n este descresctor i se demonstreaz c are limita zero. Pentru aceasta, fie bn = u1 + u2 + ... + un u + u + ... + un 1 . , bn 1 = 1 2 n n 1 Rezult c un = n bn ( n 1) bn 1 i nlocuind pe bn i pe bn 1 vom

inferior, el este convergent, deci irul ( un )n este convergent.n n

obine un = ( a ) bn 1, ( ) n . Cum irul ( bn )n este descresctor i mrginit

Fie l = lim bn , l1 = lim un i trecnd la limit n cele dou relaii de recuren obinute anterior, rezult c l = 0 . Utiliznd criteriul Leibniz, seria

( 1)n =1

n

bn este convergent.

1.10.11 S se arate c: a) suma dintre o serie convergent i una divergent este o serie divergent; b) exist serii divergente a cror sum este o serie convergent.49

Indicaie de rezolvare:a) fie

ann =1

o serie convergent i

bnn =1

o serie divergent; dac seria

(an + bn ) ar fi convergent, atunci diferena dintre aceasta i seria ann =1

ar

fi o serie convergent, dar diferena este seria divergent; rezult c seriab) seriile n

bn ,n =1

n =1

care este o serie

(an + bn ) este divergent;n =1 n +1

( 1) , ( 1)n =1 n =1

sunt divergente, dar suma lor este seria cu

suma egal cu zero, deci este o serie convergent.1.10.12 S se efectueze produsul seriilor absolut convergente

n! in =0

1

( 1) 1 i s se deduc de aici suma seriei n! n =0n

( 1)n 1 . n =0

n!

Indicaie de rezolvare: Seria valorilor absolute este

n!n =0

1

pentru ambele serii. Pentru aceasta,

1 1 1 irul sumelor pariale este 1 + + + ... + convergent ctre e, de unde rezult n! 1! 2! c ambele serii sunt absolut convergente. Din Teorema lui Cauchy seria produs

cnn =0

este absolut convergent i suma ei verific C = A B . Dar cn = 1 (1 1)n = 0 C = 0 . Cum A = e B = 0 . n! ( 1)n 1 =0. Deci, n! n =0

1.10.13 Se dau irurile

( an )n , ( bn )n50

definite prin formulele de

recuren:

an +1 =

an + bn 2 an bn , bn +1 = , n , a0 = a > b = b0 > 0 . 2 an + bn

a) S se demonstreze c cele dou iruri sunt convergente i c au aceeai limit l . b) S se studieze natura seriei

(l bn ) .n =0

Indicaie de rezolvare: a) se demonstreaz c irul (a n )n este monoton descresctor de termeni pozitivi, iar (bn )n este monoton cresctor, prin inducie matematic; notnd l 1 = lim a n i l 2 = lim bn i trecnd la limit n relaiile de recuren, rezult c l 1 = l 2 = l ;n n

b) seria numeric

(l bn )n =0

este cu termenii pozitivi i aplicndu-se

criteriul raportului, rezult c este convergent. x1 = b, xn = n a + (1 n ) xn 1, ( ) n 2 , unde a, b sunt fixate, astfel nct a < b . a) S se demonstreze c irul ( xn )n este convergent. b) Dac irul ( n )n este monoton cresctor, s se studieze natura seriei1.10.14 Fie ( n )n un ir de elemente din [0,1] i ( xn )n un ir definit prin

(a xn ).n =1

Indicaie de rezolvare: b) fie x = lim xn , = lim n x = a + (1 ) x x = a ; dac termenul general al seriei este u n = a xn , din criteriul raportului, rezult c a n +1 a + (1 n +1 ) xn u a xn +1 =1 0, xn +1 n , ( ) n 0, x0 = 1 ; 1 + xn22 2 b) xn + xn +1 > 0, ( ) n , xn +1 < xn , ( ) n ;

c) 0 < xn < 2, ( 2 xn ) xn +1 > 1, ( ) n . 3 S se arate c irul definit prin termenul general 1 1 1 este convergent i s i se calculeze limita. an = + + ... + n +1 n + 2 n+n 4 5 a)

+ ... + sin . S se calculeze lim sin n n +1 2n S se calculeze limitele irurilor urmtoare din2

(

n

ln n ,

(

n +1

( n + 1)! n n!)

)

:

n

;

n 1 n k 1 k b) sin , cos . n n n k =1 n k =1 n

6xn = 1 +

S se demonstreze convergena irului cu termenul general:

1 1 1 + +L + 2 n + 1, n 1 i s se arate c limita sa aparine n 2 3 intervalului ( 2, 1) .

7

2 = , s se calculeze tiind c 6 n2 n =1

1

n 2 (n + 1)2 .n =1

1

54

1 3 ... (2n 1) 1 8 S se studieze convergena seriei 2 4 ... (2n ) q , n n =1 1 1 3 ... (2n 1) 1 . tiind c 2 4 ... (2n ) 2 n 2n + 1

p

a1 = Fie irul definit prin . an = + an 1 , > 0, n 2 a) S se demonstreze c irul (a n )n este convergent i s se calculeze l = lim a n .9n

b) S se studieze natura seriei 10

(l an ) .n =1

a) S se studieze convergena irului ( x n )n cu x0 > 0 i definit 2 a xn prin xn +1 = , a , a > 0. a + xn b) S se studieze convergena seriei

(x n a ) .n =1 2

11

1 n 1 S se studieze natura seriei 1 + , din n n n =1

.

12 a)

S se calculeze sumele urmtoarelor serii de numere complexe:

2n + 3 1 + i ; n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1) n =1

b)

3n 1 n 2n + i n . 3 ( n + 2 )! n =1

55

BIBLIOGRAFIE RECOMANDAT PENTRU MODULUL 11. D. M. Btineu-Giurgiu, M. Btineu, V. Grban, Analiz matematic, Exerciii i probleme, Editura Militar, Bucureti, 1992 2. I. Colojoar, Analiz matematic, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983 3. M. Craiu, V. V. Tnase, Analiz matematic, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1980 4. M. Craiu, M. Rocule, Culegere de probleme de analiz matematic, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1976 5. N. Donciu, D. Flondor, Algebr i analiz matematic. Culegere de probleme, vol. I, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1978 6. I. P. Elianu, Principii de analiz matematic. Calcul diferenial, Editura Academiei Militare, Bucureti, 1976 7. P. Flondor, O. Stnil, Lecii de analiz matematic, Editura ALL, 1993 8. M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Manual de Analiz matematic, vol. I, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1966 9. E. Popescu, Analiz matematic. Structuri fundamentale, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureti, 1998 10. M. Rocule, Analiz matematic, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1973 11. M. Rocule, Culegere de probleme de analiz matematic, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1968 12. I. Sprinu, Elemente de analiz matematic, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureti, 2001 13. O. Stnil, Analiz matematic, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981

56

MODULUL 10 FORMULE INTEGRALE9.1 BREVIAR TEORETIC Formulele integrale sunt formule de legtur ntre integralele multiple, integralele curbilinii i integralele de suprafa fiind aplicaii particulare ale relaieiX

= d , unde este o form diferenial, d este difereniala saX

exterioar, iar X este un domeniu cu bord regulat, orientabil, orientrile lui X i X fiind asociate. Definiia 9.1. (i) Fie n spaiul euclidian real 2 triunghiul T1 cu vrfurile n punctele A 0 ( 0,0 ) ; A1 (1,0 ) ; A 2 ( 0,1) . Vom spune c triunghiul T1 este orientat pozitiv dac se consider pe mulimea vrfurilor sale relaia de ordine A 0 < A1 < A 2 . (ii) Un triunghi oarecare M1 ( a1, b1 ) , M 2 ( a2 , b2 ) , M3 ( a3 , b3 ) este orientat pozitiv dac i numai dac

a1 a2 a3

b1 1 b2 1 > 0 . b3 1

(iii) Un domeniu poligonal D a crui frontier este imaginea unei curbe simple i nchise este orientat pozitiv dac orice triunghi format din mulimea vrfurilor domeniului este orientat pozitiv. (iv) Fie D un domeniu compact din 2 a crui frontier este imaginea unei curbe simple i nchise. Vom spune c D este orientat pozitiv dac frontiera lui D este orientat pozitiv (orice linie poligonal format din puncte ale frontierei este pozitiv orientat). Observaia 9.2. Fie D un domeniu compact n spaiul euclidian 2 a crui frontier D este imaginea unei curbe simple i incluse. Fie A un punct arbitrar pe D . Notm C ( A ) curba simpla i nchis care are proprietatea c orienteaz pozitiv domeniul D avnd ca imagine D . Fie dou funcii astfel nct integrala P, Q : D

curbilinie

D P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

exist. Atunci pentru orice

A D

443

integrala

C ( A) P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

exist i nu depinde de A. Vom nota

D

P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy valoarea comun a acestor integrale.

Propoziia 9.3 (Formula lui Green-Riemann). Fie D 2 un domeniu compact avnd ca frontier o curb simpl, nchis rectificabil. Fie P, Q : D dou funcii continue pe D care admit derivatele pariale Q P continue pe D. i x y n aceste condiii integralele urmtoare exist i are loc relaia

D

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) d y =

Q P dxdy . D x y

Observaia 9.4. Fie D un domeniu compact avnd ca frontier o curb simpl nchis i rectificabil. Atunci are loc egalitatea 1 ariaD = xdy ydx . 2 Observaia 9.5. Fie S 3 o suprafa neted deschis definit de x = f ( u , v ) ;D

y = g ( u , v ) ; z = h ( u , v ) ( u , v ) D mrginit de o curb nchis, neted C = S , funciile f , g , h fiind funcie de clas C 2 pe D 2 . Vom alege pentru normala suprafeei S acea orientare care determin parcurgerea frontierei S n sens direct i vom numi aceast fa, faa superioar a lui S.Propoziia 9.6 (Formula lui Stokes). Fie

S S=

3

{( x, y, z ) x = f (u, v ) , y = g (u, v ) , z = h (u, v ) , (u, v ) D,

f , g, h C 2 ( D )

}

o suprafa orientat, neted, deschis mrginit de o curb nchis C. Fie D 3 un domeniu care conine suprafaa S i P, Q, R : D funcii continue care admit derivate pariale de ordinul I continue pe D.

trei

444

Atunci are loc egalitateaC

P ( x, y, z ) dx + Q ( x, y, z ) dy + R ( x, y, z ) dz = S

=

R Q Q P P R dzdx + dydz + dxdy. y z x y z x

Observaia 9.7. Formula lui Green se obine din formula lui Stokes dac C i S sunt n 2 (dac z = 0, dz = 0 ). Propoziie 9.8 (Formula lui Gauss-Ostrogradski). Fie 3 un volum mrginit de o suprafa S = nchis, neted orientat dup normala exterioar a corpului . Dac volumul este simplu n raport cu toate planele de coordonate i dac funciile P, Q, R : S sunt continue i admit derivate pariale continue pe , atunci are loc egalitateaS =

P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy =

=

P Q R + + dxdydz. x y z

( P, Q, R ) definit ntr-un domeniu V

Observaii 9.9. r (i) Dac se consider cmpul vectorial F ( x, y, z ) de componente3

prin

r r r r F ( x, y , z ) = P ( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k ,

dac funciile P, Q, R : V sunt continue i dac n este versorul normalei la r r r suprafaa S V , n = i + j + k , atunci fluxul vectorului F prin suprafaa orientat S va fi r = F nd = P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy .

S

S

(ii) Dac F este un cmp vectorial de componente P, Q, R de clas C 1 pe

V

3

, atunci se numete rotorul lui F vectorul

R Q r P R r Q P r rot F = k. i + j + y z z x x y Atunci formula lui Stokes devine r F dr = n rot F d ,

S

S

445

adic circulaia vectorului cmp de-a lungul unei curbe nchise este egal cu fluxul rotorului su prin orice suprafaa S ce se sprijin pe aceast curb nchis. (iii) Numim divergena cmpului vectorial r r r r F = P ( x , y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x , y , z ) k i notm P Q R . div F = + + x y zCu aceast definiie formula lui Gauss Ostrogradski devine

div F dv = F n d , S

adic integrala tripl a divergenei unui cmp vectorial continuu diferenial pe compactul simplu este egal cu fluxul cmpului prin suprafaa frontier a domeniului.

9.2 PROBLEME REZOLVATE1

Fie =

Green pentru calculul integralei curbilinii

{( x, y ) x

2/3

+ y 2 / 3 = a 2 / 3 , a > 0 . Se poate aplica formula lui

}

y y dx + 2 dy ? x2 + y 2 x + y2 y x , Q ( x, y ) = 2 2 x +y x + y22

Rezolvare. Fie D domeniul mrginit de curba . Funciile

P ( x, y ) =

nu sunt definite n punctul ( 0,0 ) D . S se calculeze urmtoarele integrale curbilinii, folosind formula lui Green:2

I=

( x

3

3 xy 2 dx + 3 x 2 y y 3 dy ,

)

(

)

unde este frontiera domeniului D= parcurs n sens pozitiv.

{( x, y ) x

2

+ y 2 R 2 , x 0, y 0 ,

}

446

Rezolvare. Fie

Se observ c P, Q C1 ( D ) , iar

P, Q : D , P ( x, y ) = x3 3 xy 2 , Q ( x, y ) = 3 x 2 y y 3 .P Q = 6 xy , = 6 xy . y x

I=

Q P dxdy = 12 xy dxdy = x y D D

= 12 cos sin d 3d =0 0

2

R

3R 2

4 2 0

sin 2d =

=

3R cos 2 3R 4 . = 2 2 0 2

4

2

3

I=

( xy + x + y ) dx + ( xy + x y ) dy,

unde este frontiera domeniului a a2 2 D = ( x, y ) x + y = , a > 0 , 2 4 parcurs n sens pozitiv. Rezolvare. Fie P, Q : D , P ( x, y ) = xy + x + y; Q ( x, y ) = xy + x y . P, Q C1 ( D ) iQ P = y + 1, = x +1 x y

I=

( y x ) dxdy = d sin D 0 0

a 2

2

a cos d = 2 a 3 2

=

a 3 2

3

0

( cos )

2 0

a 2 2 2

a 2 2 0

3

0

sin

2 0

a 3 . = 8

447

Folosind formula Gauss-Ostrogradski, s se calculeze integralele de suprafa de tipul al doilea:4

I=

4 xdydz 2 y dzdx + z dxdy ,2 2 S

unde S este faa exterioar a domeniului

V=

{( x, y, z ) x

2

+ y 2 4, z [ 0,3] .

}

Rezolvare. Fie P, Q, R : V

,

P ( x, y, z ) = 4 x, Q ( x, y, z ) = 2 y 2 , R ( x, y, z ) = z 2 . Observm c P, Q, R C1 (V ) i cP Q R + + = 4 4 y + 2z . x y z

Deci: I= = unde D=

V D

3 4 4 y + 2 z ) dxdydz = ( 4 4 y + 2 z ) dz dxdy = ( D 0

D

( 4 z 4 yz + z ) z =0 dxdy = (12 12 y + 9 ) dxdy,2

z =3

{( x, y ) x 0 0 2

2

+ y2 4 .

}

Avem

I = 21 dxdy 12 d 2 sin d = 21 4 0 = 84 .D

2

5

I=

x dydz + y dzdx + z dxdy,2 2 2 S

unde S este faa exterioar a cubului 0 x a, 0 y a, 0 z a, a > 0 .Rezolvare. Fie V = {( x, y, z ) 0 x a, 0 y a, 0 z a}448

I =2a

( x + y + z ) dxdydz =2 dx dy ( x + y + z ) dz =V 0 0 0 a a 2 0 0

a

a

a

= dx0

3 2 2 4 ( 2ax + 2ay + a ) dy = ( 2a x + a x ) dx = 3a .

6

I=

S

x3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy,

unde S este faa exterioar a sferei

x2 + y 2 + z 2 = R2 .Rezolvare. I =

3( xV

2

+ y 2 + z 2 dxdydz ,

)

unde V =

Trecnd la coordonate sferice, avem2

{( x, y, z ) x0

2

+ y2 + z 2 R2 .R R

}

I =3

0 0

5 d d sin d = 6 ( cos ) 0 52 2

12R5 = . 0 5

7 S se calculeze fluxul cmpului vectorial

F ( x, y, z ) = 2 xz , yz, x 2 + y 2 prin faa exterioar S a primului octant:

(

)

x 2 + y 2 + z 2 R 2 , x 0, y 0, z 0 .+ y 2 + z 2 R 2 , x 0, y 0, z 0 . r r Fluxul cmpului vectorial F este dat de integrala = F n d , unde SRezolvare. Fie V =

{( x, y, z ) x

2

S

}

este compus din suprafaa sferic a octantului i trei suprafee plane, iar n este normala exterioar la fiecare suprafa =

div F dxdydz = ( 2 z z ) dxdydz = zdxdydz .V V V

Trecem la coordonate sferice x = sin cos , y = sin sin , z = cos cu [ 0, R ] , 0, , 0, , J = 2 sin . Avem 2 2449

=

( cos )( sin ) d d d =3 0 0 0

2

2

R

=

R 4

4 2 0

cos sin d d =0

2

R 4

42 0

cos sin d =

R 4 . 16

Folosind formula lui Stokes, s se calculeze:8

I = x y 2 + z 2 dx + y z 2 + x 2 dy + z x 2 + y 2 dz ,

(

)

(

)

(

)

unde este curba dat de ecuaiile

x2 + y 2 + z 2 = R2 , x + y + z = 0 .Rezolvare.

I=

( 2 yz 2 yz ) dydz + ( 2 zx 2 xz ) dzdx + ( 2 xy 2 xy ) dxdy = 0 ,Se

Se este faa exterioar a suprafeei mrginit de curba .9

I = x 2 y 3dx + dy + dz , unde =

{( x, y, z ) x2

2

+ y2 = R2 , z = 0 .

}

Rezolvare. I =

3xSe

2 2

y dxdy , unde Se reprezint o suprafa mrginit

de curba , z = f ( x, y ) , ( x, y ) D =A=

{( x, y ) x

+ y 2 R 2 . Atunci

}

f f , B = , C = 1. x y

Rezult: I = 3

D R

x y C dxdy = 35

2

2

D

x y dxdy = 3 d cos 2 sin 2 d =0 0

2 2

R

5

2

3 5 R sin 4 = 3 d = d = . 32 = 0 4 8 8 0 0

= 2

R

6

10

I=

( z y ) dx + ( x z ) d y + ( y x ) dz ,

unde conturul poligonal

nchis = ABCA are vrfurile450

A (1,0,0 ) , B ( 0,1,0 ) , C ( 0,0,1) .Rezolvare. Ecuaia planului ( ABC ) este

x + y + z 1= 0. 1 1 1 Normala la planul ( ABC ) este , , . 3 3 3 Atunci

I =2

ABC

dydz + dzdx + dxdy = 2

OAB

3dxdy = 3 .

11 S se calculeze integrala curbilinie

AMO ( eO ( 0, 0 ) . Rezolvare. Fie

x

sin y my dx + e x cos y m dy ,

)

(

)

unde AMO este semicercul superior x 2 + y 2 = ax parcurs de la A ( a,0 ) la

P ( x, y ) = e x sin y my; Q ( x, y ) = e x cos y m.yA ( a,0 )

DO A ( a,0 )

x

Fig. 9.1

P, Q :

2

sunt funcii difereniabile. Funciile

P Q , : y x

2

.

P Q = e x cos y sunt i ele funcii continue. = cos y m i, respectiv, y x

Considerm curba determinat de reuniunea dintre arcul AMO i segmentul OA i aplicm formula lui Green pe acest contur nchis

451

AMO OA

x x ( e sin y my ) dx + ( e cos y m ) dy =

= unde D =

Q P dxdy = x y D

mdxdy,D

Trecnd la coordonate polare, integrala devine:

{( x, y ) xD

2

+ y 2 ax; y 0 . a cos 2 md d = 2 0 0 0

}

mdxdy =

(

m 2 a cos 2 d = 2

)

ma 2 = 4 Deci:

2 0

ma 2 . (1 + cos 2 ) d = 8

AMO

(e OA (

x

sin y my dx + e x cos y m dy +

)

(

)

+

e x sin y my dx + e x cos y m dy =

)

(

)

ma 2 . 8

x = t, t [ 0, a ] i O parametrizare pentru OA este y = 0,

OA (

e x sin y my dx + e x cos y m dy =

)

(

)

0 0dt = 0 .

a

Rezult deci c

AMO

(

ma 2 e sin y my dx + e cos y m dy = . 8x

)

(

x

)

12 S se calculeze

C

x 2 + y 2 dx + y xy + ln x + x 2 + y 2 dy ,

(

)

x = 2 + 2cos ; unde C este curba C : [ 0,2] . z = 2 + 2sin , Rezolvare. Curba C este cercul centrat n ( 2,2 ) i de raza 2 deci este o curb nchis.

452

y

2

O

2

xFig. 9.2

Fie D =

{( x, y ) ( x y )

2

+ ( y 2) 4 ;

2

}

P , Q : D ; P ( x, y ) = x 2 + y 2 ,

Q ( x, y ) = xy 2 + y ln x + x 2 + y 2 . Deoarece ( 0,0 ) D, P, Q sunt funcii continue i cu derivate pariale continue. Fiind satisfcute ipotezele formulei Green rezult

(

)

C=

x 2 + y 2 dx + y xy + ln x + x 2 + y 2 dy = 2 2 2

(

)

y dxdy =2

D

0 0 [ 2 + sin ] dd = 2 2 = 4 + 42 sin + 3 sin 2 dd = 20. 0 0 13 S se calculeze n dou moduri integrala

x + y =12 2

ex

2

+ y2

( ydx + xdy ) . [ 0, 2] .

Rezolvare. Prin calcul direct, o parametrizare a curbei C este

x = cos ; y = sin ,

453

y 1

O

1

1

x

1

Fig. 9.3

Integrala devine atunci

x + y =12 2

ex

2

+ y2

( ydx + xdy ) = 0

2

e sin 2 + cos 2 d = 2 e .

(

)

Deoarece curba C este o curb nchis i funciile sunt continue, cu derivate pariale continue pe D = Green:

{( x, y ) x2

2

+ y 2 1 se poate aplica formula lui ex2

}

x + y =12 2

ex

2

+ y2

( ydx + xdy ) =

x + y 12

+ y2

2

( 2 + 2x

2

+ 2 y 2 dxdy =

)

=2

0 0 (2 1

e 1 + 2 dd = ( e 1) 2 + 2 = 2 e.

)

14 S se calculeze integrala

C ( y z ) dx + ( z x ) dy + ( x y ) dz ,dac C este elipsa

x2 + y 2 = a2 , C :x z + = 1, a h

a>0 h>0

parcurs n sens trigonometric dac privim din partea pozitiv a axei Ox . Rezolvare. Elipsa considerat este un contur simplu, nchis, ce mrginete suprafaa x z D = ( x, y, z ) + = 1, x 2 + y 2 a 2 . a h 454

z

Oa a

y

xFig. 9.4

Funciile P ( x, y, z ) = y z; Q ( x, y, z ) = z x; R ( x, y, z ) = x y sunt funcii continue care admit derivate pariale continue. Atunci aplicnd formula lui Stokes, obinem

C ( y z ) dx + ( z x ) dy + ( x y ) dz = = 2dydz 2dz dx 2dxdy =D

= 22

x + y2 a

h + + 0 + 1 dxdy = 2 ( h + a ) a. a 2

15 S se calculeze integrala:

C ( y

2

z 2 dx + z 2 x 2 dy + x 2 y 2 dz ,

)

(

)

(

)

unde C este seciunea cubului 0 < x < a, 0 < y < 0, 0 < z < 0 cu planul 3 x + y + z = a parcurs n sens trigonometric, dac privim din partea pozitiv a 2 axei Ox . Rezolvare. Curba MNPQRS obinut prin intersecia cubului cu planul a 2 este un hexagon regulat de latur . Funciile 2P ( x, y , z ) = y 2 z 2 Q ( x, y , z ) = z 2 x 2 R ( x, y , z ) = x 2 y 2455

sunt funcii continue ce admit derivate pariale continue pe formula lui Stokes, vom obine

3

. Aplicnd

(yC

2

z 2 dx + z 2 x 2 dy + x 2 y 2 dz =

)

(

)

(

)

=

MNPQRS

( 2 y 2 z ) dydz + ( 2 z 2 x ) dz dx + ( 2 x 2 y ) dxdy.3 a 2

z

O MA N B

S

C

RC

OQ

3 a 2

y

A3 a 2

P

B

xFig. 9.5

Hexagonul MNPQRS fiind inclus n planul 3 x+ y+z= a 2cos = cos = cos = 1 3

obinem

C ( y

2

z 2 dx + z 2 x 2 dy + x 2 y 2 dz =

)

(

)

(

)

= 4

3 9 dxdy = a3. x + y + a x y dx dy = 6a 2 2 VAPQCT VAPQCT

456

16 S se calculeze integrala

C x dx + ( x + y ) dy + ( x + y + z ) d z ,dac C este curba

x = a sin t , C : y = a cos t , z = a ( sin t + cos t ) ,2

t [ 0, 2] .

Rezolvare. Curba C este elipsa obinut prin intersecia cilindrului x + y 2 = a 2 cu planul z = x + y i este o curb simpl nchis care mrginete domeniul D pe planul z = x + y . Funciile P ( x, y, z ) = x, Q ( x, y, z ) = x + y i R ( x, y, z ) = x + y + z fiind continue i cu derivate pariale continue putem aplica formula lui Stokes i vom obine:

C x dx + ( x + y ) dy + ( x + y + z ) d z = = +dy dz dz dx + dxdy = D17 S se calculeze

dxdy = a 2 .

x2 + y 2 a2

S y

2

z dxdy + xz dy dz + x 2 y dz dx ,

dac S este suprafaa exterioar a corpului din primul octant limitat de suprafeele z = x 2 + y 2 ; x 2 + y 2 = 1 i planele de coordonate.Rezolvare. Suprafaa paraboloidului z = x 2 + y 2 i cea a cilindrului se ntlnesc n z = 1 i deoarece funciile P ( x, y, z ) ; Q ( x, y, z ) i R ( x, y, z ) sunt continue i cu derivate pariale continue se poate aplica formula GaussOstrogradski i vom obine:= S

y 2 z dxdy + xz dy dz + x 2 y dz dx =

( y

2

+ z + x 2 dxdy dz =

)

= 2 2 x + y 1x, y > 0

0 ( x2

x2 + y 2

(

x 2 + y 2 + z dz dxdy =

)

=2

2

+y

2 2

x + y 1 x, y > 0

)

1 + x2 + y 2 2

(

)

2

3 dxdy = 2

/ 2 10

3 3d d = . 16 0 457

z

D

O

1

y

1x

Fig. 9.6

18

r r r r S se calculeze fluxul vectorului de poziie a = xi + yj + zk prin

suprafaa conului z = 1 x 2 + y 2 , z 0 . r Rezolvare. Fluxul vectorului a prin suprafaa considerat va fi

=

S xdydz + ydzdx + zdxdy .z

1

O

1 By

A

x

Fig. 9.7

458

Vom nchide suprafaa conului cu discul din planul xOy

vom aplica formula lui Gauss-Ostrogradski, deoarece ipotezele acesteia sunt ndeplinite

(x

2

+ y 2 1 i

)

S xdydz + ydzdx + zdxdy + =Dar

xdydz + ydzdx + zdxdy =

x 2 + y 2 1 z =0

(1 + 1 + 1) dxdydz.

x 2 + y 2 1 z =0

xdy dz + y dz dx + z dxdy = 0 i deci

=3

1 dxdy dz = 3 2 2 x + y 1

x2 + y 2

0

=3

x 2 + y 2 1

(

1 x 2 + y 2 dxdy = 3

)

dz dxdy = 2 1

0 0 (1 ) dd = .

19

S se calculeze fluxul vectorului a = x 2 i + y 2 j + z 2 k prin octantul

pozitiv al sferei x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( x > 0, y > 0, z > 0 ) . Rezolvare. Deoarece suprafaa considerat este deschis, o vom nchide adugnd planele de coordonate x = 0, y = 0, z = 0 . Fluxul vectorului a prin suprafaa considerat va fi: = Observm cz =0 x 2 + y 2 1, x , y > 0

x dydz + y dzdx + z dxdy .2 2 2 S

=

x 2dy dz + y 2dz dx + z 2dxdy =

x =0 x + y 1, y , z > 02 2

x 2dy dz + y 2dz dx + z 2dxdy =

=2

y =0 x + y 1, x , z > 02

x 2dy dz + y 2dz dx + z 2dxdy = 0.

459

Deoarece P ( x, y, z ) = x 2 , Q ( x, y, z ) = y 2 i R ( x, y, z ) = z 2 sunt funcii de clas C1 pe3

, suntem n condiiile formulei Gauss-Ostrogradski i

=unde =

( 2 x + 2 y + 2 z ) dxdydz ,

x = sin cos , [ 0,1]; : y = sin sin , 0, ; Trecnd la coordonate sferice 2 z = cos , 0, , 2 Jacobianul transformrii este J = 2 sin . Obinem: =2 =

{( x, y, z ) x

2

+ y 2 + z 2 1, x, y, z 0 .

}

0 0 0 ( sin cos + sin sin + cos ) (sin/ 2 / 2 0 / 2 0 2

/2 /2 1

2

sin d d d =

1 2 1 = 2

cos + sin 2 sin + sin cos dd =

)

0

3 2 2 sin + sin + sin cos d = . 2 8

20 S se calculeze integrala

S

x 2dy dz + y 2dz dx + z 2dxdy ,

dac S este suprafaa exterioar a conului

x2 y2 z 2 + = 0, z [ 0, b ] , a, b > 0 . a 2 a 2 b2Rezolvare. Deoarece suprafaa S este o suprafa deschis, o vom nchide

considernd discul D =2

{( x, y, z ) z = b, x2 2

2

+ y2 a2

}

D x dydz + y dzdx + z dxdy =

b 2dxdy = a 2b 2 .

x2 + y 2 a2

Deoarece funciile P ( x, y, z ) = x 2 , Q ( x, y, z ) = y 2 i R ( x, y, z ) = z 2 sunt funcii de clas C1 pe 3 i suprafaa S D este o suprafa nchis, putem aplica formula Gauss-Ostrogradski i vom obine:460

S x dydz + y dzdx + z dxdy + a b = ( 2 x + 2 y + 2 z ) dxdydz =2 2 2 2 2

=2

x2 + y 2 a

b a

b

x + y + z ) dz dxdy = ( x2 + y 2

x2 + y 2 b2 x2 + y 2 1 + 1 =2 ( x + y)b dxdy = 2 a a2 2 2 2 x + y a =2 Deci,

0 2

2 a

b 2 a 2 b 2 b 23 b 1 ( cos + sin ) + . 2 dd = 0 2 2 2a a22 2

a 2b 2 . x dydz + y dzdx + z dxdy = S 22

21 Fie forma diferenial de grad 1 i clas C pe ( x, y ) = ( x + y ) dx ( x y ) dy2 2

i curbele C1 i C2 avnd urmtoarele reprezentri parametrice x = t2; x = t; C1 = t [ 0,1]; C2 = t [ 0,1] . 2 y = t, y = t , S se calculeze diferena integralelor

I1 =

C i I 2 = C 1 2

n dou moduri: (i) prin calcul direct; (ii) cu ajutorul formulei Green. Rezolvare. (i) Folosind teorema de reducere a integralei curbilinie la o integral Riemann deducem:

I1 I 2 =

(1

2 t +t 0

)

2

1 2 2t t 2 t dt t 2 + t 0

(

)

(

) (t t )2 2

2

3 2t dt = . 5

461

1

t t2

0.5

0

0

0.2

0.4 t ,t2

0.6

0.8

1

Fig. 9.8(ii) Cum curba = C1 C2 este simpl, nchis i rectificabil. n plus, determin orientarea pozitiv a domeniului.

=

{( x, y )

2

x 2 y x , x [ 0,1] .2 2

}

Cum funciile P ( x, y ) = ( x + y ) i Q ( x, y ) = ( x y ) sunt polinomiale ele au derivate pariale continue pe , iar: I1 I 2 =

C C = C1 2

1

C = C C = .2 1

2

Folosind formula lui Green deducem:

I1 I 2 =

Q P dx d y = 4 x y

xdxdy .

Din teorema Fubini deducem:1 I1 I 2 = 4 0

x

x2

3 xdy dx = . 5

22 domenii:

Cu ajutorul integralei curbilinii s se calculeze ariile urmtoarelor

2 (i) D = ( x, y ) 2 x 2 + y 2 a 2 x 2 y 2 , x 0 , a > 0 ; (ii) D mrginit de imaginea curbei

(

)

(

)

x = 3cos t cos3t ; C : t [ 0,2] . y = 2sin t sin 2t ,462

Rezolvare.0.4

0.2

sin( t ) cos( 2 t )

0

0.2

0.4

1

0.5

0 cos( t ) cos( 2 t )

0.5

1

Fig. 9.9

(i) O reprezentare parametric a frontierei domeniului D este:

x = a cos cos 2 ; = D : y = a sin cos 2 ,

, . 4 4

Aceast curb este simpl, nchis i rectificabil. n plus, determin orientarea pozitiv a domeniului D. Aplicnd formula de exprimare a ariei unui domeniu (Green) cu ajutorul unei integrale curbilinii, obinem: 1 aria D = xdy y dx . 2 Folosind teorema de reducere la o integral Riemann deducem:

a2 aria D = 2 a2 = 2

cos3 sin 3 + sin cos 2 cos cos 2 d = / 4 cos 2 cos 2 /4

a2 cos 2d = . / 4 2/4

(ii) Curba C este simpl, nchis i rectificabil. n plus, determin orientarea pozitiv a domeniului D. Aplicnd formula de exprimarea a ariei unui domeniu cu ajutorul unei integrale curbilinii, obinem:

463

aria D = 1 2 1 = 2 =

1 2

C xdy ydx =2

0

2

( 3cos t cos3t ) ( 2cos t 2cos 2t ) ( 2sin t sin 2t )( 3sin 3t 3sin t ) dt = t + 4cos3 t + 16cos 4 t 8cos5 t dt = 6.4

(12 24cos

)

2.598

2 2 sin( t ) sin( 2 t )

0

2 2.598

4

4 2.828

2

0 3 cos( t ) cos( 3 t )

2

4 2.828

Fig. 9.1023 Folosind formula Stokes s se calculeze integrala curbilinie

I = y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz ,

unde este curba definit prin intersecia paraboloidului de revoluie y 2 + z 2 = 4 x cu cilindrul x 2 + y 2 = x, z 0 .

Fig. 9.11

464

Rezolvare. O reprezentare parametric a paraboloidului de revoluie y 2 + z 2 = 4 x ( z 0 ) este:

1 x = 2 , 0, 4 S : y = sin , , , 2 2 z = cos . Poriunea din paraboloid care se afl n interiorul cilindrului respect condiia: 1 4 sin 2 , , . 6 6 Cum P ( x, y, z ) = y 2 , Q ( x, y, z ) = z 2 i R ( x, y, z ) = x 2 au derivate pariale continue, iar suprafaa este cu plan tangent continuu pe poriuni, prin aplicarea teoremei Stokes obinem: I = 2

( z cos + x cos + y cos ) .S

Matricea derivatelor este: x M = x y y z 0 = z 2a cos sin , sin cos

iar coeficienii primei forme difereniale sunt 1 1 A = , B = sin , C = cos . 2 2 Prin teorema de transformare a integralei de suprafa ntr-o integral dubl, alegnd normala exterioar la suprafa, obinem: I =2 z ( , ) A( , ) + x ( , ) B ( , ) + y ( , ) C ( , ) dd ,

unde domeniul = ( , ) 04 1 sin 2 , , . 4 6 6

465

Dup prelucrri algebrice simple, folosind teorema Fubini se obine succesiv:I =2

1 2 1 2 cos sin sin cos dd = 8 2 1 4 sin 2 2 6 4 cos 0 6 6 6

=2

1 2 1 sin sin cos d d = 8 2

2 = 3

2 ( 4cos 3) (8cos

4cos 2 3 sin 4cos 2 3 3sin cos d = .

)

24 S se calculeze circulaia vectoruluiv = y 2 + z 2 i + z 2 + x2 j + y 2 + x2 k

(

) (

) (

)

de-a lungul curbei definit de reprezentarea parametric x = r (1 + cos t ) , : y = r sin t , z = 2r ( a r )(1 + cos t ) , t [ 0,2] , 2r > a > r > 0 .

Rezolvare. Prin eliminarea parametrului t se determin dou suprafee a cror intersecie este curba . Imaginea curbei se afl la intersecia sferei

x2 + y2 + z 2 = a2cu cilindrul x 2 + y 2 = 2rx, z 0 . Din teorema Stokes deducem:C(v ,) =

( y + z ) dx + ( z + x ) dy + ( x + y ) dz = = 2 ( y + z ) cos + ( z + x ) cos + ( x + y ) cos d. 2 2 2 2 2 2 S

Prin teorema de reducere a unei integrale de suprafa la o integral dubl deducem:

C(v ,) = 2

( y + z ) A + ( z + x ) B + ( x + y ) C dd ,

466

unde pentru suprafaa S am folosit reprezentarea parametric x = a cos sin , [ , ]; S : y = a sin sin , 0, ; 2 z = a cos , matricea derivatelor fiind a cos cos a sin cos a sin M = 0 a sin sin a cos sin coeficienii primei forme difereniale (alegnd sensul normalei exterioare) sunt: A = a 2 cos sin 2 , B = a 2 sin sin 2 , C = a 2 sin cos , iar domeniul este definit prin: = ( , ) a 2r a -arc cos 2r arc cos

2

a a 0, , arccos ,arccos . 2r 2r 2

n final, prin teorema Fubini, deducem c C ( v , ) este egal cu2

( 2a sin/ 2 3 0

2

( cos sin sin + cos cos + sin sin ) dd =

)

=2

a 2r a -arc cos 2r arccos

2 3 4 3 4r 2 a 2 a ( cos + sin + sin 2 ) d = a . 3 3 r2

25 Cu ajutorul teoremei Stokes s se calculeze integrala

I=

( z cos + x cos + y cos ) d ,S

unde S este jumtatea superioar a sferei x2 + y 2 + z 2 = R2 , R > 0 , iar , , sunt unghiurile fcute de normala exterioar la sfer cu axele de coordonate. Rezolvare. Vom cuta un cmp vectorial

v = P ( x, y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k

467

difereniabil astfel nct

R Q y z = z; P R = x; rot v = zi + xj + yk z x Q P x y = y. z2 i R ( x, y, z ) = 0 , deducem Q ( x, y, z ) = xy 2

(9.1)

Determinnd o soluie a sistemului (9.1) de forma P ( x, y, z ) = xz ,

z I = xz dx + xy dy , 2

2

x2 + y 2 = R2 ; unde este cercul z = 0. Din cele de mai sus deducem: I = xy dy =

0

2

R3 cos 2 sin d = 0 ,

unde pentru am folosit reprezentare parametric

x = R cos ; : y = R sin ,

[ 0,2] .

26 S se determine circulaia vectorului

v = yi 2 zj + xk de-a lungul elipsei definite ca fiind intersecia hiperboloidului 2x 2 y 2 + z 2 = R 2 , R > 0 , cu planul y = x . S se verifice rezultatul cu ajutorul teoremei Stokes. Rezolvare. (i) Ecuaia parametric a elipsei este:

x = R cos , : y = R cos , [ 0, 2] . z = R sin ,

468

Prin urmare:

C ( v , ) = vdr = ydx 2 zdy + xdz =

=R

2

2 0

( sin cos + 2sin

2

+ cos 2 d = 3R 2 .

)

(ii) Verificarea cu ajutorul teoremei Stokes Deoarece rot v = 2 i j k , deducem

C(v ,) =

rot v n d .S

Cum suprafaa S ce are ca bordur este poriunea din planul y = x aflat n interiorul hiperboloidului 2x 2 y 2 + z 2 = R 2 deducem v= iC(v ,) =

1 (i j ) 2 3 3 d = aria S . 2 2

S

Dar cum elipsa are semiaxele a = R 2 i b = R deducem

C(v ,) =

3 ab = 3R 2 . 2

27 Folosind teorema Gauss-Ostrogradski s se determine fluxul cmpului vectorial v = x3 i + y 3 j + zR 2k prin suprafaa domeniului = ( x, y, z ) 3

h 2 x + y 2 z h ; R, h R2

(

)

+

n direcia normalei exterioare. Rezolvare. Cum deducem: ( v , ) =

div v = 3 x 2 + y 2 + R 2

(

)

v n d = 3( x

2

+ y 2 + R 2 dxdy dz .