cap.3.4- circuite electrice monofazate

27
3.4. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT Circuitele de curent alternativ sunt circuitele electrice alimentate cu tensiuni electromotoare alternative, adică cu tensiuni periodice de valoare medie nulă; ele sunt monofazate dacă conţin o singură sursă de t.e.m. alternativă. 3.4.1. Mărimi alternative sinusoidale Mărimile electrice alternative sunt mărimi periodice de timp care au valoarea instantanee exprimată printr-o funcţie f, de regulă trigonometrică: (3.4.1) unde: u este valoarea instantanee a mărimii periodice; k - un număr întreg pozitiv sau negativ; T - o constantă, numită perioadă, egală cu cel mai mic interval de timp, după care se reproduce în aceeaşi ordine mărimea periodică u. Constanta T se măsoară în secunde; - pulsaţie sau frecvenţă unghiulară a mărimii periodice u. Pulsaţia se măsoară în rad/s. Inversul perioadei se numeşte frecvenţă: (3.4.2) şi are unitatea de măsură hertz [Hz]. Între frecvenţă, pulsaţie şi perioadă există relaţiile: (3.4.3) O mărimea periodică sinusoidală (de pildă, tensiunea) are expresia: u U t m sin( ) (3.4.4) unde: U m este valoarea maximă (de vârf); t - fază; - faza iniţială, adică în momentul iniţial (t = 0). Mărimea t = reprezintă un unghi geometric. În figura 3.4.1, , iar relaţia (3.4.4) se scrie: , iar în figura 3.4.2, şi relaţia (3.4.4) devine: Pentru două valori ale unor mărimi sinusoidale cu aceeaşi frecvenţă, dar cu faze iniţiale diferite:

Upload: ionut-valentin

Post on 14-Apr-2016

79 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

TRANSCRIPT

Page 1: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

3.4. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT

Circuitele de curent alternativ sunt circuitele electrice alimentate cu tensiuni electromotoare alternative, adică cu tensiuni periodice de valoare medie nulă; ele sunt monofazate dacă conţin o singură sursă de t.e.m. alternativă.

3.4.1. Mărimi alternative sinusoidale

Mărimile electrice alternative sunt mărimi periodice de timp care au valoarea instantanee exprimată printr-o funcţie f, de regulă trigonometrică:

(3.4.1)

unde:u este valoarea instantanee a mărimii periodice;k - un număr întreg pozitiv sau negativ;T - o constantă, numită perioadă, egală cu cel mai mic interval de timp, după care se

reproduce în aceeaşi ordine mărimea periodică u. Constanta T se măsoară în secunde; - pulsaţie sau frecvenţă unghiulară a mărimii periodice u. Pulsaţia se măsoară în rad/s.Inversul perioadei se numeşte frecvenţă:

(3.4.2)

şi are unitatea de măsură hertz [Hz].Între frecvenţă, pulsaţie şi perioadă există relaţiile:

(3.4.3)

O mărimea periodică sinusoidală (de pildă, tensiunea) are expresia:u U tm sin( ) (3.4.4)

unde:Um este valoarea maximă (de vârf); t - fază; - faza iniţială, adică în momentul iniţial (t = 0).

Mărimea t = reprezintă un unghi geometric.În figura 3.4.1, , iar relaţia (3.4.4) se scrie:

, iar în figura 3.4.2, şi relaţia (3.4.4) devine:

Pentru două valori ale unor mărimi sinusoidale cu aceeaşi frecvenţă, dar cu faze iniţiale diferite:

diferenţa fazelor iniţiale se numeşte defazaj: 1 2. Defazajul poate fi : 0 când mărimea u1 este înainte (defazată înainte) faţă de mărimea u2; 0 când mărimea u1 este în urmă (defazată în urmă) faţă de mărimea u2; = 0 când mărimile u1şi u2 sunt în fază.

Prin definiţie, valoarea medie a unei mărimi sinusoidale este nulă:

(3.4.5)

De aceea se utilizează pentru valoarea medie pe 12

T expresia:

(3.4.6)

Page 2: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

unde u are faza iniţială nulă: u = Umsin t. Introducând această valoare în relaţia (3.4.6) obţinem:

. (3.4.7)

În mod similar valoarea medie pentru curent este:

. (3.4.7 ')

Fig. 3.4.1 Fig. 3.4.2

Aceste valori se măsoară cu ajutorul aparatelor electrice de tip magnetoelectric cu redresor.Aparatele electrice de măsurat mărimile alternative nu măsoară nici valoarea medie, nici cea de vârf, ci valoarea efectivă definită prin expresia:

(3.4.8)

Expresia (3.4.8) se calculează înlocuind pe u = Umsin t:

(3.4.9)

În acest fel valorile instantanee ale tensiunii şi în mod similar ale curentului se scriu:

Dacă U este considerat fazor de referinţă (cu fază iniţială nulă, adică u = 0) iar i = se obţine:

(3.4.10)

unde este defazajul (în urmă) al curentului i faţă de tensiunea u.Sensul fizic al valorii efective a curentului constă în faptul că aceasta este egală cu acea

valoare constantă I a unui curent continuu care, trecând printr-un rezistor cu rezistenţa R, dezvoltă în timp de o perioadă T, aceeaşi energie calorică Q ca şi curentul sinusoidal i = Im sin(t - ) ce trece prin acelaşi rezistor, în acelaşi interval de timp:

Page 3: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Q RI T Ri dtT

2 2

0 (3.4.11)

din care rezultă că IIm

m 2

0 707, , I similar relaţiei (3.4.9).

Raportul dintre valoarea efectivă şi valoarea medie a aceleiaşi mărimi sinusoidale este constant:

K UUmed

2 2111, (3.4.12)

şi se numeşte factor de formă.

3.4.2. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale

Reprezentarea polară [1,2,13,27]. O funcţie sinusoidală de timp, de frecvenţă dată, este complet caracterizată de două valori scalare: amplitudine (sau de valoarea efectivă) şi faza iniţială. Un vector liber ( vector al cărui punct de aplicaţie este arbitrar) în plan este complet caracterizat de două valori scalare: modulul şi unghiul făcut de orientarea lui cu o axă de referinţă numit argumentul său. În ambele cazuri mărimea considerată (funcţia sinusoidală sau vectorul liber) este complet caracterizată de un număr pozitiv şi de valoarea unui unghi. Aşa dar se poate asocia fiecărei mărimi sinusoidale un vector liber în plan, şi reciproc:

u U t 2 sin( ) F (u) (3.4.13)Vectorii reprezentativi F (u) sunt numiţi fazori (vectori de timp) pentru a se preciza distincţia

faţă de mărimile fizice vectoriale definite în spaţiul fizic tridimensional (de pildă densitatea de curent J).În reprezentarea polară, fazorul asociat mărimii

sinusoidale este un vector liber fix, de modul egal cu valoarea efectivă a mărimii sinusoidale şi de argument egal cu faza iniţială a mărimii:u U t U 2 sin( ) (3.4.14) În această reprezentare apar numai elementele care o individualizează în raport cu celelalte mărimi de aceeaşi frecvenţă: valoarea efectivă şi faza iniţială.

Reprezentarea în complex a mărimilor electrice. Un număr complex se poate scrie sub forma (fig. 3.4.3):

Fig. 3.4.3

C a jb C j C e j (cos sin ) (3.4.15) unde:C este numărul complex; C - modulul numărului complex; a - partea reală; b - partea imaginară; - argumentul numărului complex;e - baza logaritmului natural.

Între aceste mărimi se pot scrie relaţiile:

C a b 2 2 ; tg ba

; j ej

1 2

(3.4.16)

Conjugatul numărului complex C :C * = a - jb = C e j (3.4.17)

Page 4: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

În general, numărul complex de modul unitar şi argument se numeşte operator de rotaţie. Dacă = /2 se obţine operatorul care ataşat unui fazor îl roteşte în sens trigonometric cu unghiul /2 . Conjugatul numărului complex C se notează cu C * şi se utilizează în raţionalizarea fracţiilor, precum şi în alte operaţii.

Operaţii cu numere complexe. Adunarea. Se consideră numerele complexe:C a j b1 1 1 C a j b2 2 2

a căror sumă:C C a a j b b1 2 1 2 1 2 ( ) ( )

reprezintă tot un număr complex de forma:C C C a j b C e j 1 2 (3.4.18)

unde:

a a a b b b arctg ba

1 2 1 2 , , .

Scăderea. Se consideră aceleaşi numere complexe. Se obţine:C C C a j b C e j 1 2 (3.4.19)

unde:

a a a b b b arctg ba

1 2 1 2, ,

Diferenţa este nulă numai dacă a1= a2 şi b1= b2, deci dacă C C1 2 .

Înmulţirea. Produsul a două numere complexe este tot un număr complex. Rezultă:C C C a jb a jb 1 2 1 1 2 2( )( )

C a a b b j a b a b ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1C a jb

sauC C C e C ej j

1 2 1 2 ( ) (3.4.20)unde:

C C C 1 2 şi 1 2 .Într-adevăr:

C a b C a b C C a b a b1 12

12

2 22

22

1 2 12

12

22

22 ; ; ( )( )

iar pe de altă parteC a a b b a b a b a b a b ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2

21 2 2 1

212

12

22

22 .

Deci:C C C 1 2 .

Apoi:

ba

ba

ba

ba

b a a ba a b b

1

1

2

2

1

1

2

2

1 2 2 1

1 2 1 21

deci argumentele celor două funcţii trigonometrice vor fi şi ele egale cu suma: 1 2 .Raportul a două numere complexe. Acest raport este tot un număr complex.

CCC

C e

C e

CC

e Cej

jj j 1

2

1

2

1

2

1

21 2

( ) (3.4.21)

în care:

Page 5: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

CCC

1

2 şi 1 2 .

Derivata. Derivata C ' a unui fazor în raport cu timpul este tot un fazor. Într-adevăr:

C ddt

C e j C e j Cj t j t' ( ) (3.4.22)

A deriva un fazor înseamnă a-i înmulţi modulul cu şi a-l roti în sens direct trigonometric cu unghiul /2.

Integrala. Integrala unui fazor în raport cu timpul este tot un fazor, rotit cu /2 în sens orar şi cu modulul de ori mai mic. Rezultă:

(3.4.23)

3.4.3.Circuite electrice neramificate cu rezistor, inductanţă şi condensator

Toate circuitele electrice de curent alternativ (c.a.) conţin rezistoare, inductanţe şi condensatoare distribuite în lungul circuitului sau localizate în anumite puncte ale circuitului. De regulă, rezistenţele, inductivităţile şi capacităţile distribuite se neglijează faţă de cele localizate sau se consideră incluse în acestea, în scopul de a simplifica calculul, erorile fiind practic, fără importanţă. Circuit cu rezistenţă. Se consideră un circuit cu rezistenţa R conectată la o sursă de t.e.m. cu valoarea instantanee (fig.3.4.4).

Prin circuit va circula un curent i uR

UR

t 2 sin sau unde I UR

este

valoarea efectivă a curentului.Puterea instantanee este prin definiţie:

(3.4.24)Mărimile u, i şi p sunt prezentate prin diagramele carteziană şi polară în figura 3.4.5, din care

rezultă că tensiunea şi curentul sunt în fază ( =0), iar puterea este mereu pozitivă, are o pulsaţie dublă 2 faţă de tensiune şi are o valoare medie P, dată de expresia:

(3.4.25)

De remarcat că puterea p nu poate fi reprezentată în acelaşi plan complex cu mărimile electrice u şi i, întrucât pulsaţia ei este diferită de a acestora.

Page 6: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Fig. 3.4.4 Fig. 3.4.5

Circuit cu inductanţă. Se consideră un circuit cu inductivitatea L (fig. 3.4.6) la care s-au neglijat rezistenţele sursei, conductoarelor şi a spirelor bobinei. T.e.m. instantanee a sursei esteu U t 2 sin care produce în spirele bobinei un curent i variabil ce determină, conform legii

inducţiei electromagnetice, o tensiune de inducţie eddt

Ldidt

.

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff circuitului din figura 3.4.6 şi notând cu uL

tensiunea aplicată bobinei, adică tensiunea u de la bornele acesteia, se obţine u u e L didtL şi deci

,de unde .

Produsul L = XL se numeşte reactanţă inductivă şi se măsoară în ohmi. Cum

cos sin( )

t t2

se obţine i I t 22

sin( ) , unde I U

XL reprezintă curentul efectiv din

circuit.

Puterea instantanee este p ui UI t t 22

sin sin( ) care prin transformarea produsului

funcţiilor trigonometrice conduce la p UI t sin 2 .Mărimile u, i şi p sunt reprezentate în diagramele din figura 3.4.7 din care se observă că,

curentul este în urma tensiunii cu unghiul /2. Puterea are alternanţe pozitive şi negative, cu pulsaţie dublă 2 faţă de tensiune şi are valoarea medie nulă pe o perioadă T

(3.4.26)

Page 7: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Fig. 3.4.6 Fig. 3.4.7

Energia consumată într-un sfert de perioadă este cedată înapoi sursei în următorul sfert de perioadă. Din figura 3.4.7 se constată că energia din primul sfert de perioadă este negativă:

deci cedată sursei. Energia W este egală în modul cu energia acumulată în câmpul magnetic al

bobinei. Cum IULm

2

şi ULIm

2, rezultă:

W LI LIm 12

2 2 . (3.4.27)

Circuit cu condensator. Considerăm un circuit cu condensator ideal (fără pierderi) conectat la sursa de t.e.m. cu valoarea instantanee u U t 2 sin , rezistenţa interioară a sursei şi a conductorului de legătură fiind neglijată (fig. 3.4.8).

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff şi ţinând seama de relaţia dintre sarcina q şi

capacitatea C a condensatorului uqC C

i dt uC 1 prin derivarea relaţiei

i C dudt

C ddt

U t ( sin )2 se obţine:

i C U t I t

2 22

cos sin( ) (3.4.28)

unde 1C

Xc se numeşte reactanţă capacitivă măsurabilă în ohm [] iar I UXc

reprezintă

curentul efectiv din circuit.Puterea instantanee este:p = ui = UI sin2t (3.4.29)

Page 8: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Fig. 3.4.8 Fig. 3.4.9

Variaţia în timp a mărimilor u, i şi p precum şi diagrama polară a tensiunii şi curentului sunt

reprezentate în figura 3.4.9, din care rezultă defazajul curentului înaintea tensiunii cu unghiul _

/2.Puterea instantanee are alternanţe pozitive şi negative cu pulsaţie dublă 2 faţă de tensiune

şi cu valoare medie nulă:

PT

uidt UIT

tT T

1 2 0

0 0

sin (3.4.30)

Energia absorbită într-un sfert de perioadă este:

(3.4.31)

identică cu energia câmpului electric al condensatorului:

W CU CUm 12

2 2 .

Din cele două relaţii de mai sus regăsim expresia reactanţei capacitive a condensatorului1

CUI

Xc .

3.4.4. Circuit cu rezistor, inductanţă şi condensator legate în serie

Considerăm circuitul din figura 3.4.10 în care sursa asigură o tensiune instantanee u U t 2 sin şi produce un curent instantaneu i ce determină căderile de tensiune instantanee uR, uL şi uC.

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff rezultă: (3.4.32)

sau:

Page 9: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

(3.4.33)

ce reprezintă ecuaţia integro_diferenţială a circuitului R, L, C serie.

Ţinând seama de diagramele polare (fazoriale) din figurile 3.4.5, 3.4.7 şi 3.4.9 şi luând ca fază de referinţă curentul I, care este acelaşi în toate elementele circuitului, rezultă diagrama din figura 3.4.11 şi de aici, desigur, relaţia:

U U U UR L C . (3.4.34) Fig. 3.4.10

Din triunghiul OAB se obţine că U U U UR L C2 2 2 ( ) ; cum însă U X I LIL L şi

U X IC

IC C 1

, rezultă:

(3.4.35)

în care mărimea electrică

Z R LC

2 21( )

(3.4.36)

se numeşte impedanţa circuitului, iar X X X LCL C

1 se numeşte reactanţa circuitului.

Impedanţa cât şi reactanţa se măsoară în ohm [].Defazajul dintre curent şi tensiune rezultă din triunghiul OAB:

tgU U

UX X

R

LC

RL C

R

L C

1(3.4.37)

de unde

arctgL

CR

1. (3.4.38)

Intensitatea curentului are valoarea instantanee:i I t 2 sin( ) . (3.4.39)Mărimile u, i şi p = ui sunt reprezentate în diagrama carteziană fig. 3.4.12 din care se poate

observa variaţia în timp a acestora, curentul fiind defazat în urma tensiunii când 0 (XL XC).

În ecuaţia (3.4.33): dacă multiplicăm termenii cu

se obţine:

sau(3.4.40)

adică se poate afirma că energia elementară "ui·dt" produsă de sursa de tensiune este, pe de o parte, transformată ireversibil în căldură în rezistenţa R, iar pe de altă parte, energia este absorbită sau cedată înapoi sursei, în anumite intervale de timp, de câmpul electric al condensatorului şi câmpul magnetic al bobinei.Pentru cazul în care în circuitul R, L, C serie, XL XC ( 0) acesta are un caracter capacitiv.

Page 10: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Fig. 3.4.11 Fig. 3.4.12

În figurile 3.4.13 şi 3.4.14 sunt prezentate diagrama fazorială precum şi variaţia în timp a mărimilor u, i şi p specifică acestei situaţii.Pentru acest caz, curentul instantaneu are valoarea:

i I t 2 sin( ) . (3.4.41)Pentru ambele tipuri de circuite (inductiv şi capacitiv) valoarea medie a puterii este pozitivă:

PT

ui dt UIT

t t dtT T

1 2

0 0

sin sin( )

sau

P UIT

t dt UIT

cos cos( ) cos 20

(3.4.42)

Dacă R = 0 şi X XL C , rezultă că

2 circuitul electric devine capacitiv, respectiv

inductiv. Dacă R = 0 şi X XL C , atunci = 0, circuitul trece într-un regim special numit

rezonanţă electrică.

Page 11: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Fig. 3.4.13 Fig. 3.4.14

3.4.5. Circuit cu rezistor, inductanţă şi condensator legate în paralel

Considerăm circuitul din figura 3.4.15 în care se cunosc elementele R, L şi C şi tensiunea instantanee u U t 2 sin .Curenţii din laturi au valorile efective:

I UR

IU

XUL

I UX

CU

R

LL

CC

(3.4.43)

Ţinând seama de defazajele curenţilor faţă de tensiunea comună precum şi de prima teoremă a lui Kirchhoff :

I I I IR L C se obţine diagrama polară (fig. 3.4.16).

F i g . 3 . 4 . 1 5

Fig. 3.4.16

Din această diagramă fazorială rezultă că I I I IR L C 2 2( ) sau ţinând seama de (3.208)se obţine:

Page 12: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

(3.4.44)

Defazajul dintre curentul I şi tensiunea U este dat de relaţia:

tgI I

IR

X XL C

R L C

( )

1 1(3.4.45)

Valoarea instantanee a curentului este i I t 2 sin( ) din care rezultă că variaţia în timp ale mărimilor u, i şi p = ui se pot reprezenta într-o diagramă carteziană similară cu cea din figura 3.4.12 dacă 0 sau similară cu cea din figura 3.44 dacă 0.Circuitul paralel poate fi transformat într-un circuit echivalent cu rezistenţa Re şi Xe (fig. 3.4.17).

Fig. 3.4.17

Putem scrie:

IUZ

U

R Xtg

XRe e e

e

e

2 2 ; corespunzătoare circuitului din figura 3.4.17.

Se obţin relaţiile de transfigurare:

(3.4.46)

Rezolvând sistemul dat de ecuaţiile (3.4.43) prin metoda substituţiei se determină mărimile:

R R

RX X

e

L C

1 1 12

2 ;

(3.4.47)

XR

X X

RX X

eL C

L C

2

22

1 1

1 1 1 ; (3.4.48)

Z R X R

RX X

Ze e e

L C

2 2

22

1 1 1 (3.4.49)

Dacă Xe 0, circuitul este inductiv, cu inductivitatea LX

ee

, iar dacă Xe 0, circuitul

echivalent este capacitiv, cu capacitatea CXe

e

1 .

Page 13: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Pentru circuitul paralel R-L se consideră C = 0, adică 1

0X

CC

. Rezultă:

RRX

R Xe

L

L

2

2 2 ; (3.4.50)

XR X

R Xe

L

L

2

2 2 ; (3.4.51)

Z R XRX

R Xe e e

L

L

2 22 2 (3.4.52)

tgXR

RX

e

e L (3.4.53)

Diagrama polară este reprezentată în figura 3.4.18.

Fig. 3.4.18 Fig. 3.4.19

Pentru circuitul paralel R-C se consideră L = , adică1 1 0

X CL

.

Rezultă:

RRX

R Xe

C

C

2

2 2 (3.4.54)

XR X

R Xe

C

C

2

2 2 (3.4.55)

Z R XRX

R Xe e e

e

C

2 22 2 (3.4.56)

tgXR

RX

e

e C (3.4.57)

Diagrama polară este reprezentată în figura 3.4.19.

Page 14: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

3.4.6. Puterea electrică activă, reactivă şi aparentă

Prin definiţie puterea electrică are valoarea instantanee p = ui, unde u reprezintă valoarea instantanee a tensiunii de alimentare a circuitului monofazat, cu fază iniţială nulă ( = 0),

, iar i este valoarea instantanee a curentului din circuit având defazajul faţă de u: .

Rezultă :p ui UI t t UI t 2 2sin sin( ) [cos cos( )] (3.4.58)

a cărei valoare medie pe o perioadă:

PT

UI t dt UIT

1 2

0

cos cos cos (3.4.59)

reprezintă puterea activă, măsurată în waţi [W].Puterea activă, definită ca viteză de scurgere în timp a energiei active este absorbită de

rezistoare - elemente de circuit active.Dacă un circuit conţine rezistenţe, inductivităţi şi capacităţi, atunci numai rezistenţele transformă energia electrică în energie calorică prin curentul de conducţie activ:

I Ia cos (3.4.60)puterea activă având valoarea:

P UI UI RIa cos 2 (3.4.61)Într-un circuit cu rezistenţa şi tensiunea electrică constante, puterea activă este constantă, deci

şi curentul activ Ia este constant, iar curentul din circuit depinde de defazajul al circuitului (fig. 3.4.20):

IIa

cos(3.4.62)

Pentru ca I să se apropie valoric de Ia este necesar ca mărimea cos , numită factor de putere să fie cât mai mare.

Fig. 3.4.20 Fig. 3.4.21 Fig. 3.4.22

În circuitele de curent alternativ, reactanţa inductivă sau capacitivă provoacă un schimb bilateral de energie între sursă şi circuit: curentul de conducţie realizat prin acest schimb de energie se numeşte curent de conducţie reactiv (fig. 3.4.20):

Ir = I sin (3.4.63)iar puterea respectivă

Q =UIr = UI sin = XI2 (3.4.64)se numeşte putere reactivă, cu unitatea de măsură volt-amper reactiv [var].

Page 15: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

Puterea reactivă, definită ca viteză de scurgere a energiei, este absorbită de bobinele şi condensatoarele din circuit într-un sfert de perioadă şi apoi cedată înapoi sursei în următorul sfert de perioadă.

Dacă în relaţia (3.4.64) Q > 0 ( > 0) circuitul este inductiv iar dacă Q < 0 ( < 0) circuitul este capacitiv. În aceste cazuri puterea respectivă se numeşte inductivă şi respectiv, capacitivă.

Din punct de vedere fizic, semnificaţia puterii reactive apare prin exprimarea energiilor câmpurilor magnetic şi electrice:

Q XI LC

I LI CU 2 2 2 212

12

12

( ) ( )

(3.4.65)

sau:Q W Wm e 2 ( ) . (3.4.66)Eliminând unghiul de defazaj din relaţiile puterilor activă şi reactivă:P = UI cosQ = UI sin

se obţine o mărime pozitivă:S P Q UI 2 2 (3.4.67)

numită putere aparentă şi care se măsoară în volt-amper [VA].Cele trei puteri se pot transpune în "triunghiul puterilor" reprezentat în figura 3.4.21.Dacă laturile triunghiului puterilor se împart la curentul eficace I se obţine "triunghiul

tensiunilor" (fig. 3.4.22) cu laturile:

Dacă laturile triunghiului tensiunilor se împart la curentul eficace se obţine "triunghiul impedanţelor" (fig. 3.4.23) cu laturile:

ZUI

RU

IU

IZR

cos cos

XU

IU

IZX

sin sin .

Triunghiul impedanţei se defineşte prin relaţia:Z R X2 2 2 (3.4.68)Dacă laturile impedanţelor se împart la pătratul impedanţei (Z2) se obţine "triunghiul

admitanţelor" (fig. 3.4.24) cu laturile:

YZ

Z Z

21

GR

Z

Z

Z ZY

2 2cos cos

cos

BX

Z

Z

Z ZY

2 2sin sin

sin

.

În aceste expresii Y este admitanţă, G conductanţă iar B susceptanţă.Triunghiul admitanţei se defineşte pe baza relaţiei:

Y G B2 2 2 (3.4.69)Acestor triunghiuri li se pot ataşa mai multe relaţii utile:

Page 16: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

S UI ZI UZ

YU 22

2 (3.4.70)

P S UI RI GU cos cos 2 2 (3.4.71)Q S UI XI BU sin sin 2 2 (3.4.72)

tg QP

XR

BG

(3.4.73)

cos PS

RZ

GY

(3.4.74)

Fig. 3.4.23 Fig. 3.4.24

Revenind la circuitul inductiv din figura 3.2.25 cu diagrama polară din figura 3.4.26, aceleaşi mărimi electrice pot fi prezentate în planul complex ca în figura 3.4.27.

În diagrama polară din figura 3.4.26, fazorul de referinţă fiind, între fazori există relaţia U U UR L .

Fig. 3.4.25

Fig. 3.4.26 Fig. 3.4.27

În reprezentarea complexă, faza iniţială este tot nulă pentru curentul I , dar între mărimile complexe se pot scrie relaţiile:

I I

şi:U U jU I R jXR L ( ) (3.4.75)Axele planului complex pot fi rotite în jurul originii, astfel încât axa reală să conţină fazorul

U (fig. 3.58).

Page 17: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

În acest caz se poate scrie:U U

şiI I jIa r (3.4.76)

precum şi conjugatul curentului:I I jIa r* (3.4.77)

Rezultă că dacă luăm ca fază de referinţă tensiunea, ceea ce corespunde situaţiilor practice, se obţine în planul complex pentru circuitul inductiv un defazaj ( 0), deoarece în acest plan unghiurile se măsoară de la axa reală spre mărimea complexă. De aceea, pentru calculul puterilor în complex se utilizează I * în loc de I , cu scopul de a se obţine din calcul valori pozitive pentru defazajul şi pentru puterea reactivă ale circuitului inductiv.

Fig. 3.4.28 Fig. 3.4.29

Comparând reprezentarea în complex a tensiunii şi a curentului conjugat cu triunghiul puterilor transpus în planul complex (fig. 3.4.29) se constată:

S U I* (3.4.78)deoarece:

S U I UI UIe Sej j * * (3.4.79)Rezultă:

S UIe UI j UI jUIj (cos sin ) cos sin

sauS U I P jQ * (3.4.80)

Deoarece puterea aparentă, ca mărime scalară, este dată de relaţia S P Q 2 2 , rezultă că aceasta se poate reprezenta în complex şi prin relaţia S U I P jQ * , care însă nu este utilizată.Relaţia (3.4.80) este relaţia de definiţie pentru expresia complexă a puterii aparente.Impedanţa complexă este dată de relaţia:

Z Ze R jXj (3.4.81)iar admitanţa complexă este definită prin relaţia:

Y Ye G jBj (3.4.82)iar conjugata admitanţei complexe:

Y Ye G jBj* (3.4.83)întrucât:

YZ Ze

Yej

j 1 1

Page 18: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

3.4.7. Legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff în formă complexă

Fie circuitul R, L, C serie prezentat anterior în figura 3.40 în care tensiunea acoperă căderile de tensiune pe elementele de circuit:

u u u uR L C sau

u Ri L didt C

i dt 1

Ţinând seama de proprietăţile numerelor complexe se poate transcrie relaţia de mai sus, considerând valorile eficace ca mărimi complexe:

U RI j LIj C

I 1

(3.4.84)

şi apoi succesiv:

U I R j Lj C

U I R j LC

( )

1

1

U I R jX I Z . (3.4.85)Ultima relaţie se numeşte legea lui Ohm în formă complexă.

Expresia se numeşte impedanţa complexă a circuitului în care R este rezistenţa

circuitului iar X X X LCL C

1 este reactanţa circuitului.

Teoremele lui Kirchhoff prezentate la regimul electrocinetic se pot extinde şi în regimul cvasistaţionar (regimul permanent sinusoidal, prescurtat c.a.):

(3.4.86)

(3.4.87)

notaţiile folosite având aceleaşi semnificaţii ca şi cele utilizate în paragrafele §3.2.4 şi anume: k reprezintă o latură de circuit, r un nod al circuitului electric iarp un ochi al aceleiaşi reţele.Relaţia (3.4.86) exprimă prima teoremă a lui Kirchhoff în c.a.:

suma algebrică a valorilor instantanee a curenţilor dintr-un nod electric este nulă. Relaţia (3.4.87) exprimă cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff în c.a.:

suma algebrică a valorilor instantanee ale tensiunilor electromotoare din laturile unui ochi electric ( buclă) este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune instantanee din laturile respective. Această exprimare nu se referă la bucle cuplate inductiv.

Transpuse în planul complex, relaţiile (3.4.86) şi (3.4.87) au forma:

(3.4.88)

. (3.4.89)

Pentru exemplificare, aplicăm aceste teoreme pentru nodul (fig. 3.4.30-a) şi bucla (fig. 3.4.30 - b): I I I I1 2 3 4 0 şi

Page 19: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

I R j

CI R3 3

34 4

1

.

Prima teoremă a lui Kirchhoff se aplică pentru (N_1) noduri, iar a II-a teoremă, pentru B

bucle independente, formându-se un sistem de L ecuaţii (L = N_1 +B ) unde L este numărul de laturi.

Fig. 3.4.303.4.8. Factorul de putere şi importanţa sa tehnico economică

Prin definiţie, factorul de putere este raportul dintre puterea activă P şi puterea activă maximă PM corespunzătoare aceloraşi pierderi pe o linie electrică, prin efect Joule:

(3.4.90)

unde, în regim sinusoidal, puterea activă maximă (cos = 1) este egală cu puterea aparentă (PM = S). Rezultă că dacă P şi U sunt constante, cos variază invers proporţional cu I.

Unele receptoare, cum ar fi: motoarele asincrone care merg cu sarcină mică sau în gol, transformatoarele de reţea care merg în gol, cuptoarele de inducţie, transformatoarele de sudură, etc., înrăutăţesc (micşorează) factorul de putere cos . Existenţa unui factor de putere redus are influenţe nefavorabile asupra reţelei de transport a energiei electrice.

Dacă, de pildă, Im este curentul maxim pe care îl poate debita o centrală electrică şi I este curentul unui receptor care are la borne tensiunea U şi absoarbe puterea activă P1 rezultă numărul de receptoare identice care pot fi conectate la această centrală:

nII

I UP

m m cos

1(3.4.91)

adică acest număr este direct proporţional cu factorul de putere cos .Un factor de putere redus prezintă ca dezavantaje o pierdere de tensiune U, de putere P şi

deci de energie W = Pt:

U ZI ZP

U

P ZI Z P

U

cos

cos

2

2

2 2

(3.4.92)

adică, aceste pierderi active sunt cu atât mai mari cu cât factorul de putere şi tensiunea sunt mai mici. În relaţia (3.4.92), Z este impedanţa liniei. Ca soluţie de reducere a pierderilor de energie se adoptă, pentru transportul energiei electrice, montarea unor transformatoare electrice ridicătoare (după generatoare) şi coborâtoare (înaintea receptorului) iar, pentru îmbunătăţirea factorului de

Page 20: Cap.3.4- Circuite Electrice Monofazate

putere, montarea în paralel cu receptorul a unor condensatoare pentru defazaj inductiv sau a unor bobine, în cazuri destul de rare, pentru defazaj capacitiv.

Dacă factorul de putere al unui receptor este cos şi, din motive tehnico economice, este necesară compensarea (acesta să crească până la valoarea cos ') rezultă că puterea reactivă a elementului compensator Qc (condensator sau bobină) este:

Q Q Q P tg tgc ' '( ) (3.4.93)unde:

- Q P tg este puterea reactivă a receptorului consumată la factorul de putere cos ;- Q P tg' ' este puterea reactivă a receptorului consumată la factorul de putere cos ' ; - P este puterea activă a receptorului.Dacă receptorul este inductiv (cazul cel mai des întâlnit în practică) elementul compensator

(condensatorul ) are capacitatea:

CQ

U

P tg tg

Uc

2 2

'

(3.4.94)

În mod similar se obţine şi inductivitatea elementului compensator (bobină) dacă receptorul este capacitiv:

L U

QU

P tg tgc

2 2

' (3.4.95)

Înainte de utilizarea condensatoarelor, pentru îmbunătăţirea factorului de putere sunt necesare măsuri, denumite "măsuri naturale" care, în principal, constau din:

limitarea mersului în gol al receptoarelor reactive (motoare asincrone, transformatoare de sudură, etc. ) şi funcţionarea acestora la o sarcină cât mai apropiată de cea nominală;

înlocuirea motoarelor şi a transformatoarelor supradimensionate.Factorul de putere mediu al unei unităţi sau subunităţi industriale se calculează cu relaţia:

cos

medmed rtg W

W

1

1

1

12 2 (3.4.96)

unde

tg

UI

UIWWmed

med

med

r

sin

cos (3.4.97)

în care, energia reactivă Wr şi energia activă W sunt înregistrate cu contoare, în acelaşi interval de timp t (lunar).

Dacă (cos)med are o valoare sub cea stabilită, unitatea consumatoare de energie electrică este obligată să plătească o anumită penalizare, cu atât mai mare, cu cât (cos)med este mai mic.