teoria placilor
Post on 10-Feb-2018
226 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 1/29
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 2/29
. Introducere
Calculul fâşiei:
• Încovoierea cilindrică a plăcilor •Cazuri particulare
Calculul fâşiei după Gorbunov -Posadov
Calculul plăcii, metoda Westergaard
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 3/29
Introducere
Plăcile rezemate continuu sunt utilizate în următoarele situaţii:
sisteme rutiere rigide; piste de aterizaj pentru aeroporturi;
fundaţii radier.
În prezent, sunt cunoscute următoarele modele fizice de calcul:
fâşia extrasă din placa luată în studiu (lăţimea fâşiei este egală cu
unitatea de lungime, de exemplu, 1 m.); placă propriu-zisă.
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 4/29
Calculul fâşiei - încovoierea cilindrică a plăcilor
Se consideră, pentru studiu, o placă dreptunghiulare de lungime mare,rezemată continuu pe mediu deformabil şi articulată de-a lungul marginilorsale. Din această placă, astfel definită, se detaşează transversal o fâşiei culăţimea egală cu unitatea, fig.7.1. Această fâşiei va fi soluţionată ca o grindă rezemată pe mediu deformabil. Mediul de deformare este de tip winklerian.
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 5/29
(x)q
(x)q
xl
xl
Z
X
(y)q
.c
m1
.b
.a
Calculul fâşiei - încovoierea
cilindrică a plăcilor
Fig.1. Placa rezemată pe mediu elastic
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 6/29
Tensiunile pe secţiunile transversale ale fâşiei, fig.2., se determină curelaţiile din rezistenţa materialelor, teoria barelor:
(7.1.)
(7.2.)
(7.3.)
z•I
)x(M=
y
y
xζ
y
yxy I•1
S•(x)T=η
12h
•
1=I3
y
Calculul fâşiei - încovoierea cilindrică a plăcilor
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 7/29
Calculul fâşiei - încovoierea
cilindrică a plăcilor
1=b
Z
Y
h
xζ zxη
z
dz
xζ xζ
ρ
(x)My (x)My
Fig.2. Fâşia solicitată la încovoiere şi tensiunile de pe
secţiunea transversală
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 8/29
În realitate, placa nu este formată din fâşii independente. Între fâşiiexistă o legătură (continuitate totală) conform căreia, deformaţiile transversaleale fiecărei fâşii să fie împiedicate. În consecinţă, se pot scrie următoarele
relaţii:
sau (7.4.)
(7.5.)
sau (7.6.)
Calculul fâşiei - încovoierea cilindrică a plăcilor
;0=yε
0;=)•-(E
1= xyy ζμζε
);•-(
E
1=
yxx ζμζε
xE
-1=
2
x ζμ
ε
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 9/29
Expresia curburii fâşiei este următoarea:
(7.)
sau 8.)
unde: (9.)
sau (10)
în care:
D reprezintă rigiditatea la încovoiere a secţiunii de calcul a plăcii.
Calculul fâşiei - încovoierea cilindrică a plăcilor
y•I
M(x)-=
1
ρ
2
2
2
-1
EI
M(x)-=
dx
wd
μ
2-1
EI=D
μ
)-12(1
Eh=D
2
3
μ
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 10/29
Prin două derivări succesive a relaţiei (7.10.) se obţine ecuaţia diferenţialăa suprafeţei mediane deformată a plăcii:
(11.)
Dar se cunoaşte
, (12.)unde:
- intensitatea încărcarea exterioară distribuite;
- intensitatea reacţiunii mediului,
în care:
reprezintă rigiditatea mediului de fundare;
- deplasarea verticală a unui punct din suprafaţa mediană a plăcii.
Dp
=dx
wd (x)
4
4n
p(x)-q(x)=(x)pn
(x)q
w•k=(x)p
k
w
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 11/29
În final, ecuaţia diferenţială a plăcii rezemate pe mediu winklerianrezultă de forma:
. (13.)
În cazul plăcilor încărcate cu sarcini uniform distribuite, de intensitate ,pentru care se fac notaţiile:
(14.)
şi , (15.)
soluţia generală a ecuaţiei (7.13.) este:
(16.)
(x)q=w•k+dx
wdD
4
4
4
D4
k
2
l=β
xl=l
l
x2ch
l
x2cosC+
+l
x2sh
l
x2cosC+
l
x2ch
l
x2sinC+
l
x2sh
l
x2sinC+
k
q=w
24
23
22
21
ββ
ββββββ
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 12/29
Constantele de integrare se determină din îndeplinirea următoarelorcondiţii:
deplasările sunt simetrice în raport cu axa OZ , rezultă:
;
pentru se constată că : şi
şi rezultă următorul sistem de ecuaţii cu două necunoscute şi :
. (17.)
0=C=C 32
2
l=x 0=)2
l=(xw 0=)dx
wd(
2l=x2
2
1 4
1 4
q C sin sh C cos ch 0k
C cos ch -C sin sh 0
C1 2C
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 13/29
Rezolvând sistemul de ecuaţii, rezultă cele două necunoscute :
(18.)
. (19.)
În final, deplasarea se calculează cu relaţia:
(20.)
ββ
ββ
ββββ
ββ
•2ch••2cos
sh•sin•2
k
q-=
ch•cos+sh•sin
sh•sin
k
q-=C
22221
ββ
ββ
ββββ
ββ
•2ch+•2cos
ch•cos•2
k
q-=
ch•cos+sh•sin
ch•cos
k
q-=C
22224
]l
x2ch•
l
x2cos•
2ch+2cos
ch•cos2-
-lx2sh•
lx2sin•
2ch•2cossh
•
sin2-1[D64l
•
q=w4
4
ββ
ββ
ββ
ββββββ
β
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 14/29
Deplasarea verticală , în diverse secţiuni, se determină cu următoarelerelaţii :
pentru secţiunea ,
, (21.)
pentru secţiunea :
. (22.)
0=x
)](-[1D64
l•q=w 04
4
βθβ
2
l=x
)(D24
l•q=
dx
dw1
3
βθ
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 15/29
Momentul încovoietor se determină, în diverse secţiuni, cu următoarelerelaţii: :
pentru o secţiune ,
, (23.)
pentru secţiunea :
. (24.)
În relaţiile de mai sus s-au introdus următoarele funcţii:
, (25.)
, (26.)
. (27.)
x
2
2
dx
wdD-=(x)M
0=x
)(8
ql=(x)M 2
2
βθ
:
ββ
βββθ
2ch+2cos
ch•cos2=)(0
ββ
ββ
ββθ
2ch+2cos
in2s-2sh
4
3=)(
31
ββ
ββ
ββθ
2ch+2cos
sh•sh2=)(
22
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 16/29
Primul caz particular
Se consideră placă rezemată pe mediu deformabil, fig. 3., acţionată pelaturile lungi de sarcini distribuite. Cele două laturi sunt libere. Acţiuniledistribuite pe lungimea de un metru se înlocuiesc cu încărcări concentrate deintensitate P.
Fig.7.3. Fâşia de placă încărcată cu forţe concentrate
Z
X
δ
w
2
l
PP
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 17/29
Reacţiunea mediului într-un punct oarecare este:
(28.)
Unde este soluţia determinată cu relaţia (7.20.), iar intensitatea sarcinii
distribuite, :. (29.)
Deplasarea se calculează prin exprimarea condiţiei de echilibru:
. (30.)
w)-k(=p δ
q
δ•k=q
∫2
l
0
wdxk-
2
lk=P δ
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 18/29
Al doilea caz particular
Se consideră o fâşie acţionată de o sarcină distribuită, de intensitate .Marginile sunt libere, fig.4.
Fig. 4. Fâşia acţionată de sarcini distribuite.
Z
X
δ
2
l
w
q
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 19/29
Reacţiunea mediului într-un punct oarecare este:
, (31.)
unde este soluţia determinată cu relaţia (20.), iar intensitatea sarciniidistribuite, , se calculează cu formula:
. (32.)
Deplasarea se află prin exprimarea condiţiei de echilibru:
. (33.)
w)+k(=p δ
w
δ•k=q
∫δ 2
l
00 wdxk+
2
lp=
2
lq
δ
Al doilea caz particular
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 20/29
Calculul fâşiei după Gorbunov-Posadov
Modelul considerat pentru terenul de fundare este liniar deformabil.Ecuaţia fibrei medii deformate a fâşiei în coordonate relative, fig. 5., este:
(34.)
unde:reprezintă săgeata fâşiei;
- abscisa reală măsurată din originea axelor de coordonate cetrece prin mijlocul fâşiei;
- semilungimea fâşiei;
- abscisa relativă a secţiunii fâşiei;
- reacţiunea terenului;
- sarcina exterioară.
)p(-)q(=)(v)-(1
IE IV2b
bb
ξξξμ
x
)(v ξ
l
l
x=ξ
)(p ξ
)(q ξ
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 21/29
Fig.7.5. Calculul fâşiei conform Gorbunov -Posadov:a. Fâşia acţionată de sarcină distribuită şi reacţiunea terenului; b. Terenul de fundare acţionat de reacţiunile de pe talpa fâşiei
X
x
x
r dr
Z
b.
)x(q
Z
Xa.
)x(p
)x(p
ll
Calculul fâşiei după Gorbunov-Posadov
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 22/29
Ecuaţia tasării terenului se determină cu expresia:
. (35.)
în care: - deplasarea (tasarea) suprafeţei terenului de fundare;
- abscisa relativă a celui punct al suprafeţei care se deplasează;
- distanţa relativă dintre acel punct al terenului de fundare;
- abscisa relativă a presiunii elementare care acţionează asupraterenului:
şi , ;
∫ξ
ξ
ρρξπ
μξ
)(1-
)+(1-0
20
C+d•ln•)p( E
)-2l(1-=)(w
)(w ξ
l
x=ξ
l
r=ρ
l
x=ξ
r+x=x
ρξξ += ρξ d=d
Calculul fâşiei după Gorbunov-Posadov
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 23/29
şi - modulul de deformaţie şi coeficientului lui Poissonpentru teren;
- constantă arbitrară.
Problema constă în a găsi legea de variaţie a reacţiunii . Condiţiilecare trebuie satisfăcute sunt:
echilibrul static trebuie să fie satisfăcut de sarcini şi reacţiuni;
săgeata fâşiei trebuie să fie egală cu tasarea terenului de fundare.
Se propune pentru exprimarea legii de variaţie a reacţiunii o serieexponenţială infinită, de formă:
(36.)
unde sunt coeficienţi necunoscuţi care urmează să fie determinaţi.
0E 0μ
C)(p ξ
......+a+.....+a+a+a=)(p ii
2210 ξξξξ
ia
Calculul fâşiei după Gorbunov-Posadov
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 24/29
Pentru aflarea coeficienţilor , se introduce relaţia (36.) în (34.) şi(35.), care se vor integra. Expresiile săgeţii şi fâşiei vor rezulta exprimate prinintermediul unor funcţii exponenţiale finite. Prin scrierea condiţiei deconlucrare:
(37.)
şi prin identificarea coeficienţilor ce stau pe lângă aceleaşi puteri ale lui , sedetermină constantele . ia
)w(=)(v ξξ
ia
Calculul fâşiei după Gorbunov-Posadov
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 25/29
Calculul plăcii, metoda Westergaard
Metoda datează din anul 1923.
Se consideră o placă rezemată pe un mediu winklerian şi încărcată ca înfig. 6.
Fig. 6. Placa rezemată pe mediu winklerian
aX
P
P
P
a/2a/2
1=b
Y
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 26/29
Reacţiunea mediului de fundare este de următoarea formă: . (38.)
Ecuaţia diferenţială a plăcii:
. (39.)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (7.38) este:
(40.)
unde se calculează cu relaţia :
, (41.)
şi reprezintă deplasarea unei fâşii de lungime infinită, de lăţime egală cuunitatea, paralelă cu axa OY şi solicitată de o sarcină .
kw=y)(x,p
D
y)p(x,=yddx
wd2+yd
wd+dx
wd22
4
4
4
4
4
∑∞
π
2,4,6..=mm0
a
xmcosY+w=w
)2
ysin+
2
y(cosl
2ak2
P=w 2y/-
0λ λ λ λ
0w
Calculul plăcii, metoda Westergaard
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 27/29
Ceilalţi termeni ai seriei satisfac condiţia de simetrie,exprimată astfel: tangenta la suprafaţa deformată după direcţia OX este egală cu zero în dreptul punctelor situate la jumătatea distanţei dintre sarcinileconcentrate.
Dacă se notează:
,
în cazul sarcinilor concentrate P, obţinem pentru deplasarea verticală maximăexpresia:
, (42.)
iar pentru reacţiunea mediului formula:
. (43.)
D
k=n
λ
D
k
8k
P=
8k
P=w
2
maxλ
D
k
8
P=kw=p maxmax
Calculul plăcii, metoda Westergaard
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 28/29
Tensiunea de întindere maxim pe faţa de jos a plăcii se calculează curelaţia:
(7.44.)
în care:
h reprezintă grosimea plăcii;
c- raza suprafeţei circulare pe care se admite că sarcina p este uniformdistribuită.
Tensiunea de întindere maxim în cazul în care forţele sunt aplicate pemarginea plăcii, fig. 7., se calculează cu relaţia:
(45.)0.71)-
kb
Eh(log
h
P)59.0+0.529(1=
4
3
2max μζ
1.724h>c c,=b
1.724h<c 0.675h.-h+1.6c=b 22
)kb
Eh(log
h
P)+0.275(1=
4
3
2max μζ
Calculul plăcii, metoda Westergaard
7/22/2019 Teoria placilor
http://slidepdf.com/reader/full/teoria-placilor 29/29
Fig.7. Placă acţionată pe contur şi în colţ cu forţe concentrate
P
P
P
Calculul plăcii, metoda Westergaard
top related