regulatoare automate - curs 5 - ing electrica

Regulatoare Automate

Sisteme liniare de ordinul IIRăspunsul în frecvenţă al sistemelor liniare

Scop:

Prezentarea sistemelor liniare de ordinul II

Prezentarea răspunsului sistemelor liniare la intrări armonice (sinusoidale);

Învăţarea procedurii de trasare a caracteristicilor logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie pentru un sistem cu timp continuu;

Analiza sistemelor liniare utilizând caracteristicile în frecvenţă.

Regulatoare Automate

2.8.3 Sistemul

de ordinul

II cu timp

continuu

( ) 22

2

2 ω+⋅ξω+ω

=ss

sH ω pulsaţia

naturală

a sistemului

ξ factorul

de amortizare

1≥ξ )(sH are 2 poli

reali în

zona

de stabilitate

10 <ξ< )(sH are 2 poli

complex conjugaţi, în

zona

de stabilitate

22,1 1 ξ−ω±ξω−= js

,0=ξ )(sH

−C

are 2 poli

complex conjugaţi ω±= js 2,1pe

axa

imaginară

sistemul

fiind

oscilant

0<ξ are poli

în +C deci

în

zona

de instabilitate

−C

)(sH

Răspunsul

sistemului

la o intrare

treaptă

unitară

este: ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ α+ξ−ω

ξ−−=

ξω−2

21sin

11 tety

t

ξξ−

=α21

arctg

22211)(

sssH

τ+ξτ+=

ω=τ /1

Un sistem

de ordinul

II cu

timp

continuu

şi amplificare

unitară

( ( ) 10 =H ) are funcţia

de transfer

de forma:

Regulatoare Automate

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

εσ

t1 ti

Răspunsul

unui

sistem

de ordinul

II la o intrare

treaptă

unitară

Suprareglajul21 ξ−

ξ⋅π−

=σ e

Timpul

tranzitoriu tte ttt

ξω−

≥⇒≤ξϖ−⇒≤ξω− )02.0ln()02.0ln(02.0ξω

≥⇒4

it

Parametrii

principali:

Regulatoare Automate

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

pH(s)=w 2/(s2+2*csi*w *s+w 2)

timp [sec]

ampl

tudi

ne

1 ,5

0,707 0,6

0,4

0,2

0,1

0

Figura 7.3 Răspunsul

sistemului

de ordinul

II pentru

diverşi

factori

de amortizare

Regulatoare Automate

2.8.4 Sistemul

de ordinul

II cu timp

discret

( )dd

d

azazbzb

zH01

201

++

+= dddd aabb 0101 1 ++=+

Tsez 2,12,1 = T

dT

d eaTea ω⋅ξ−ω⋅ξ− =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ξ−ω⋅−= 2

02

1 ,1cos2

unde:

Notă:Caz

particular

frecvent

întâlnit

în

practică

al

unui

sistem

de ordinul

II având

funcţia

de transfer:

)()(

assbsH+

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

== −

−−

Ta

eab

abT

bTe

ae

ab

abT

b aTdaT

aTd 1

0,2,1

0,2

2

0

2

1

aTd

aTd eaea −− =−−= 01 ,1

Regulatoare Automate

2.9 Răspunsul în frecvenţă al sistemelor liniare la intrări armonice

2.9.1 Caracteristicile

amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie

La intrarea unui sistem cu timp continuu având funcţia de transfer )(sH

se aplică un semnal armonic de forma: ( ) 0, ≥= ω tetu tj la ieşire se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )ω−

=⋅=js

sHsusHsy 1 ( ) )(1)(~

sHjs

jHsy +ω−

ω=

fracţie

raţională

strict proprie)(~

sH

)(sH )]([)( 1 syty −= LÎn

cazul

în

care sistemul

descris

prin este

extern strict stabil, răspunsul

lui va

fi:

( ) ( )tyejHty tj~

)( +ω= ω( ) )]([

~1

~sHty −= L componenta tranzitorie

tjejH ωω)( compomenta

de regim

permanent a răspunsului.

( ) ( ) )(ωϕ⋅

ω

⋅ω=ω j

)A(

ejHjH321

)(ωϕ

amplitudine-plusaţie)(ωAfază-plusaţie

Caracteristicile

Bode

definesc

răspunsul

în

frecventă

al unui

sistem

liniar

Regulatoare Automate

0.1 1 10 100 1000

-1 0 1 2 3

Utilizarea

scării

logaritmice

la reprezentarea

caracteristicilor

de frecvenţa

)lg(ω

ω

Caracteristicile

de frecvenţă

ale elementelor

standard

( ) ( )

( ) ( )∏ ∏

∏∏

= =

==

τ+ξτ+τ+⋅

τ+ξτ+τ+⋅

==1 2

21

1 1

22

1

22

1

211

211

)()()( n

k

n

lllk

q

m

jjj

m

ii

ssss

sssk

spsrsH

k factorul de amplificare de regim staţionar

qs 0>q 0<qnumărul de integratoare (dacă ) sau derivatoare (dacă )

kis ,1 τ+ polinoamele de ordinul 1 în

s ale numaratorului

si

numitorului

2,

2.21 ljlj ss τ+ξτ+ polinoame de ordinul 2 în

s

Scriere sub forma unui

produs de elemente standard : ( ) ( ) 21211

1, nnmmqrsHsHr

ii +++++==∏

=Trasarea

analitică

a caracteristicilor

de frecvenţă

se bazează

pe

proprietatea

logaritmului

Notă:

În Matlab, trasarea caracteristicilor de frecvenţă logaritmice se face utilizând funcţia bode.BABA lglg)lg( +=⋅

Regulatoare Automate

1. Elementul

constant

kjHksH =ω= )(,)( -

Amplitudinea: ||lg20)(|,|)( kAkA dB =ω=ω

- Faza: ( )⎩⎨⎧

<π−>

=ωϕ000

kk

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

-1

-0.5

0

0.5

1

Phas

e (d

eg)

20*lg(k),k=2

utilizând

Matlab>>num = [2];>>den = [1];>>bode(num,den);

Caracteristicile

de frecvenţă

pentru

elementul

constant

Regulatoare Automate

2.Elementul integrator

211)(,1)(π

−⋅

ω=

ω=ω=

je

jjH

ssH -

Amplitudinea:

- Faza:

( ) ω−=ω

=ωω

=ω lg201lg20,1)(dB

AA

2)( π

−=ωϕ

100

101

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-20

-15

-10

-5

0

5

Mag

nitu

de (d

B)

-20 dB/dec

H (ω)

ϕ(ω)

Caracteristicile

de frecvenţă

pentru

elementul

integrator

Notă: O panta de -20dB / decadă este echivalentă cu -6dB / octavă

Regulatoare Automate

-

Amplitudinea:

- Faza:

3. Elementul

derivativ

2)(,)(π

⋅ω=ω=ω=j

ejjHssH

-5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

+20 dB/dec

( ) ω=ωω=ω lg20;)( dBAA

2)( π=ωϕ

Caracteristicile

de frecvenţă

pentru

elementul

derivativ

Caracteristicile

de frecvenţă

aleelementului

derivativ

sunt

înoglindă

cu cele

ale elementuluiintegrator faţă

de abscisă.

Regulatoare Automate

4. Elementul

de întârziere

de ordinul

I

τ+=

ssH

11)(

constanta

de timpτ

-

Amplitudinea: ( )221

1

τω+=ωA

( ) 2222

1lg201

1lg20 τω+−=τω+

=ω dBA

-Faza: ( )ωτ−=ωϕ arctg)(

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ωt

-20 dB/dec

tω =

Caracteristicile

de frecvenţă

pentru

elementul

de întârziere

de ordinul

I

arată

o uşoară

atenuare

de 3dBpână

la pulsaţia

de tăiere, astfel

încâtla atingerea

ei

amplitudinea

ieşirii

este

redusă

la:

Caracteristica reală )(ωA

707.021)( ≈=ωA

( ) [ ]⎩⎨⎧

ω>ωτω−ω∈ω

=ωt

tdBA

,lg20,0,0

pulsaţia de tăiere sau de frângereτ=ω1

t

0>τ 0>τ

dB33.0102lg102lg20 −=⋅−=−=−

Regulatoare Automate

5. Elementul

de avans de ordinul

I

τ+= ssH 1)(constanta

de timpτ 0>τ

( ) ( )ωτ⋅−τω+=ωτ+=ω arctgjejjH 2211

( ) 221lg20 τω+=ω dBA

( )ωτ=ωϕ arctg)(

-

Amplitudinea:

- Faza:

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

+20 dB/dec

ω t

ω t

Figura

8.6 Caracteristicile

de frecvenţă

pentru

elementul

de avans

de ordinul

I

Regulatoare Automate

6. Elementul

de

întârziere de ordinul

II

2222

2

211

2)(

τ+ξτ+=

ω+ωξ+ω

=ssss

sH

-

Amplitudinea:

( ) ( ) 222222 41lg20 ωτξ+ωτ−−=ω dBA

- Faza:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ=ω>ω

−ωτξτω

+π−

τ=ω≤ω

ωτ−ξτω

−=ωϕ

τ

τ

11

2

112

22

22

arctg

arctg

0>τ constanta

de timp

0≥ξ factorul de amortizare

τ<<ω1 ( ) 01lg20 =−≈ω dBA

τ>>ω1 24 )()( ωτ>>ωτ ( ) τω−=ωτ−≈ω lg40lg20 44

dBA

( ) [ ]⎩⎨⎧

ω>ωτω−ω∈ω

=ωt

tdBA

,lg20,0,0

Caracteristica )(ωA este formată din două drepte -

una constantă 0)( =ω dBA tω≤ω-

una având panta de -40 dB / decadă (sau -12dB / octavă) pentru

pentru

tω>ω

Regulatoare Automate

-80

-60

-40

-20

0

20H(s)=1/(1+2*csi*tau*s+tau2*s2)

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

ξ=0.10.5

10.707

-40 dB/dec

−π/2

−π

ϕ(ω)

(ω)H

ω

ω

Figura

8.7 Caracteristicile

de frecvenţă

pentru

elementul

de întârziere

de ordinul

II

Regulatoare Automate

ea fiind

cu atât

mai

importantă

cu cât este

mai

mare

707.00 <ξ<

707.0=ξ

707.01 >ξ>

Caracteristica reală )(ωA

arată

o uşoară

atenuare

de 3dB până

la pulsaţia

de tăieredupă

care scade

cu 40 dB / decadă

arată

o uşoară

amplificare

în

apropierea

pulsaţiei

de tăieredupă

care scade

cu 40 dB / decadă.

0=ξ tinde către ∞ în dreptul

pulsaţiei

de tăiere unde

există

un puinct

de discontinuitate

arată

o atenuare

mai

mare de 3dB până

la pulsaţia

de tăiere

ξ

ξ

Caracteristica

de faza )(ωϕ porneşte din 0 ( ) 0lim0

=ωϕ→ω

şi tinde către ( ) π−=ωϕ∞→ω

lim

La pulsaţia de tăiere defazajul este2

)( π−=ωϕ t

Regulatoare Automate

7. Elementul

de avans

de ordinul

II

( ) 2221 sssH τ+ξτ+=

0>τ constanta

de timp

factorul de amortizare0≥ξ

-

Amplitudinea

( ) ( ) 222222 41lg20 ωτξ+ωτ−=ω dBA

- Faza:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ=ω>ω

−ωτ

ξτω−π

τ=ω≤ω

ωτ−

ξτω

=ωϕτ

τ

11

2

112

22

22

arctg

arctg

Notă: Caracteristicile

de frecvenţă

ale elementului

de avans

de ordin

II sunt

în

oglindă

cu cele

ale elementului

de întârziere

de ordin

II faţă

de abscisă.

Regulatoare Automate

Trasarea

caracteristicilor

de frecvenţă

logaritmice

Exemplu Să se traseze manual şi cu ajutorul Matlab, caracteristicile Bode, pentru funcţia de transfer:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 45321

2622

10110110110110110

sssssssH −−−

−−

+++++

=

a) Trasarea manuală

Tabela 8.1 Pulsaţiile

de tăiere

corespunzătoare

zerourilor

şi

polilor

funcţiei

de transfer

Zerourile(rădăcinile numărătorului)

Pulsaţii de tăiere

Polii(rădăcinile numitorului)

Pulsaţii de tăiere

zerou

de ordin 2 - , pol de ordin 2

zerou

de ordin 1 , pol de ordin 1

zerou

de ordin 2 , pol de ordin 4

0=s

210−=s

610−=s

210=ωt

610=ωt

10−=s

310−=s

510−=s

10=ωt

310=ωt

510=ωt

La prima pulsaţie de tăiere 21 10−=ωt

( ) ( )( )( ) ( )( )

34422

2512

1010

10110111011011010)( ≅

+++

++=

−−

−−

= jjjjjjjH

ωω

( ) dBjHdB

6010lg20)10( 3 ==

Regulatoare Automate

2O← 2P O P 4P 2O

510=ωt;101=ωt310=ωt

210− 110− 1 110 210 310 410 510 610 710 810 sec/rad

0=ωt ;102=ωt610=ωt

80

40

0

40−

80−

dBe

amplitudin

Figura 8.10 Caracteristica

logaritmică

amplitudine-pulsaţie

Regulatoare Automate

210 − 110 − 1 110 210 310 410 510 610 710 810:sec/rad

grad

ein

Faza

o180 o

180 o

180 o90

o45

o45

o 0

o180

−

o270

−

o180

−

o180

−

o180

o90

o0

o90−

o180−

o270−

Figura 8.12 Caracteristica

logaritmică

fază-pulsaţie

Regulatoare Automate

b) utilizând Matlab

>>s = tf('s')>>y = 10*s^2*(1+s/10^2)*((1+s/10^6)^2)/((1+s/10)^2*(1+s/10^3)*(1+s/10^5)^4);>>w = logspace(-2,8,100);

% genereaza

un vector de 100 de

puncte, %pe o scara logaritmica, de la 10-2 pana la 108

>>bode(y,w)>>grid

-100

-50

0

50

100M

agni

tude

(dB)

10-2

100

102

104

106

108

-270

-180

-90

0

90

180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura

8.13 Caracteristicile

Bode obţinute

cu Matlab

Regulatoare Automate

2.9.2 Analiza

sistemelor

liniare

pe

baza

caracteristicilor

de frecvenţă

În cazul sistemelor de reglare automate, caracteristicile de frecvenţă logaritmice pot fi utilizate pentru:* Proiectarea regulatoarelor* Analiza sistemelor de reglare

RH PH*y ε yu

Regulator Proces

−+

Figura

8.14 Schema unui sistem de reglare în buclă închisă

Funcţia

de transfer în buclă inchisă)(1)()(sH

sHsHbd

bdbi +

=

-

Margine de amplitudine AM >2 (6dB);Valorile limită ale indicatorilor

de robustete, necesare asigurării unui grad de robusteţe acceptabil:

-

Marginea de fază ϕM oo 6030: ÷-

Marginea de întârziere: > T= perioada de eşantionare;

-

Marginea de modul: >0.5 (-6dB).

Notă: Indicatorii de robusteţe margine de amplitudine şi de fază se pot obţine în Matlab

cu funcţia margin.

Regulatoare Automate

ϕM AM1.Exemplu

Să se determine marginea de fază , marginea de amplitudine şi pulsaţiile corespunzătoare lor pentru funcţia de transfer:

( )sss

sH++

=23

107

101

2>>num

= [0 0 0 2];>>den

= [1/10 7/10 1 0];>>w

=logspace(-1,2,100); % genereaza

un vector de 100 de%puncte, pe o scară logaritmica, %de

la 10-1 pana la 102>>[mag,phase] = bode(num,den,w); %calculeaza

raspunsul

in frecventa>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(mag,phase,w) %caluleaza

MA şi Mϕ

şi %pulsaţiile

lor>>mag

= 20*log10(mag);>>subplot(211), semilogx(w,mag)>>subplot(212), semilogx(w,phase)

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

ampl

itudi

ne (d

ecib

eli)

10-1 100 101 102-270

-225

-180

-135

-90

frecventa (rad/sec)

faza

(gra

de)

ϕM

AM

Gm

= 3.5017Pm

= 35.7871Wcg

= 3.1623Wcp

= 1.5224Marg. amplitudine: Gm

= 3.5017 (10,881 dB), la 3,1623 rad/sMarg. fază: Pm

=35,787 deg, la 1,5224 rad/sec)

Caracteristicile

Bode cu evidenţierea

marginii

de fază şi

de amplitudine