pendul

Determinarea acceleratiei gravitationale utilizand

pendulul simplu gravitational o Pendului simplu gravitational este un sistem fizic format dintr-un corp punctiform suspendat

la capatul unui fir inextensibil si imponderabil celalalt capat fiind prins intr-un punct fix. Lasat liber pendulul efectueaza oscilatii in plan vertical in jurul unei axe orizontale care trec prin punctul de suspensie sub actiunea greutatii. Se neglijeaza frecarile.

𝑇

𝐺

α

α 𝐺 cosα 𝐺 sinα A

B l

o Vrem sa determinam ecuatia de miscare a pendulului

o Pe directia OB tensiunea in fir face echilibru cu conponenta normala a greutatii:

𝑇 = 𝐺 𝑐𝑜𝑠𝛼 o Astfel incat miscarea are loc numai pe directia

tangentiala. Pornim de la legea a doua a lui Newton:

𝐹 = 𝑚𝑎

In cazul nostru 𝐹 = 𝐺 𝑠𝑖𝑛𝛼. Scrisa in modul relatia de mai sus devine:

−𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑚𝑎

O

𝐺 = 𝑚𝑔

(Semnul – apare pentru ca greutatea tangentiala se opune cresterii unghiului α)

Pendulul simplu gravitational o Definitia acceleratiei:

𝑎 =𝑑2𝑠

𝑑𝑡2 unde s este spatiul parcurs. In cazul nostru s este egal cu segmentul de cerc AB.

o Vrem sa scriem ecuatia de miscare functie de unghiul α. Atunci, din geometrie s= αl (adica segmentul de cerc este egal cu produsul dintre raza cercului – la noi este lungimea pendulului, l – si unghiul la centru. o Inlocuind in expresia acceleratiei avem:

𝑎 =𝑑2𝑠

𝑑𝑡2= 𝑙

𝑑2𝛼

𝑑𝑡2

o Inlocuim acceleratia in ecuatia de mai sus si avem

−𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑚𝑙𝑑2𝛼

𝑑𝑡2→ 𝑙

𝑑2𝛼

𝑑𝑡2+ 𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 →

𝑑2𝛼

𝑑𝑡2+

𝑔

𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

Pendulul simplu gravitational

o Notam 𝝎𝟐 =𝒈

𝒍 , unde ω se numeste pulsatie. Inlocuind in ecuatia de mai sus:

𝑑2𝛼

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

Care reprezinta ecuatia diferentiala a miscarii oscilatorii a penduluilui simplu. o Pendulul simplu izocron

o Daca unghiul α este sufuecient de mic si anume α <<1 rad sau α <50 atunci suntem in

aproximatia micilor oscilatii si putem face aproximatia:

sin α = tg α = α Ecuatia de miscare devine:

𝑑2𝛼

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝛼 = 0

o Aceasta se numeste ecuatia diferentiala a miscarii oscilatorii armonice unghiularea sau

ecuatia functiilor armonice

Pendulul simplu gravitational

o Solutia acestei ecuatii diferentiale liniare si omogene este:

𝛼 𝑡 = 𝛼𝑚𝑎𝑥sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

Ω 𝑡 =𝑑𝛼

𝑑𝑡= 𝜔𝛼𝑚𝑎𝑥 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

휀 𝑡 =𝑑Ω

𝑑𝑡= −𝜔2𝛼𝑚𝑎𝑥sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

Unde α (t) este elongatia, Ω(t) este viteza unghiulara si ε(t) este acceleratia unghiulara. o Se observa ca acceleratia unghiulara este proportionala ci elongatia dar cu semn opus.

Aceasta reprezinta o caracteristica generala pentru toate miscarile oscilatorii armonice:

휀 𝑡 = −𝜔2𝛼(𝑡)

Pendulul simplu gravitational

o Ne intereseaza perioada miscarii oscilatorii – timpul in care se efectieaza o oscilatie completa

𝑇 =2𝜋

𝜔; 𝜔 =

𝑔

𝑙;→ 𝑇 = 2𝜋

𝑙

𝑔

Din expresia pendulului se pot deduce Legile pendulului simplu izocron, si anume: 1. Legea substantei: Perioada nu depinde de masa pendulului

2. Legea izocronismului: Perioada pendulului nu depinde de amplitudinea unghiulara cu α<<5°.

Aceasta inseamna ca perioada este constanta pentru unghiuri mici. Ca urmare oscilatiile mici se fac cu aceeasi perioada adica sunt izocrone.

3. Legea lungimii: 𝑇 ≈ 𝑙

4. Legea acceleratiei: 𝑇 ≈1

𝑔

Pendulul simplu gravitational

- Constanta perioadei construit si aflat intr-un anumit loc pe suprafata Pamantului permite folosirea pendulului pentru reglarea mersului ceasurilor numite ceasuri cu pendul

- Primul ceas cu pendul (in poza de jos) a fost construit de

Christiaan Huygens (tipul din poza cu peruca)

- Ceasurile astronomice cu pendul gravitationalau amplitudini unghiulare de 1° 30’ si o eroare de 1s la 24 de ore.

- Ceasurile cu pendul sunt reglate astfel incat perioada sa fie T=2s ceea ce inseamna ca bat secunda. Lungimea pendulului in acest caz trebuie sa fie

𝑙 =𝑔𝑇2

4𝜋2

- Pentru o acceleratie normala standard g=9.80665m/s2 lungimea pendului trebuie sa fie l=1m.

- Exemple de pendule la

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum

Pendulul simplu gravitational

o Pendulul simplu anizocron

o Pentru unghiuri α>5° nu mai este valabila aproximatia sinα≈α, ai atunci pentru a afla perioada si elongatia trebuoe integrata ecuatia:

o Aceasta ecuatia nu se poate integra exact: se dezvolta in serie sinα dupa puterile lui α si se integreaza apoi termen cu termen.

o Perioada pendulului simplu anizocron arata in felul urmator:

𝑇 = 2𝜋𝑙

𝑔1 +

1

22 𝑠𝑖𝑛2𝛼

2+ +

1

22

32

42 𝑠𝑖𝑛4𝛼

2+ ⋯

o Se retin numai primii doi termeni si se accepta totusi si aproximatia sinα≈α.Atunci perioada

va fi:

𝑇 = 2𝜋𝑙

𝑔(1 +

𝛼2

16)

𝑑2𝛼

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

Tema pentru acasa

1. Intrati pe http://www.walter-fendt.de/ph14e/pendulum.htm . o Clic pe butonul reset o Setati lungimea pendulului la 10m o Setati unghiul α =2° (aproximatia micilor oscilatii- pendulul simplu izocron) o Apoi start (sau Resume). Pendulul a inceput sa oscileze. o Cronometrati timpul in care pendului executa 20 de oscilatii (cu un cronometru sau utilizand

cronometrul din parta stanga jos). Notati acest timp, t. Masurati acest timp de 10 ori in aceleasi conditii si notati fiecare valoare. La fiecare masuratoare veti obtine valori diferite ale timpului din cauza erorilor aleatoare.

o Perioada pendulului va fi raportul dintre timpul in care pendulul face 20 de oscilatii si numarul de oscilatii, T=t/20

o Calculati timpul mediu 𝑡 si eroarea patratica medie 𝜎𝑡:

o Calculati perioada medie 𝑇 =𝑡

𝑛 si eroarea patratice medie asociata: 𝜎𝑇 =

𝜎𝑡

𝑛

o Calculati acceleratia gravitationala medie utilizand formula:

𝑔 =4𝜋2𝑙

𝑇 2

o Calculati eroarea patratica medie a acceletatiei gravitationale :

휀𝑔 = 휀24𝜋2 + 휀𝑙

2 + 4휀𝑇2 = 2휀𝑇 = 2

𝜎𝑇

𝑇 → 𝜎𝑔 = 휀𝑔𝑔

.)( )110(10

1 N

1i

2

it tt

2. Luati 10 lungimi diferite ale firului si pentru fiecare lungime masurati timpul t in care pendulul face 20 de oscilatii. Masurati timpul doar o singura data. Calculati apoi perioada pendulului pentru fiecare lungime. o Treceti datele intr-un tabel de forma:

o Reprezentati grafic T2 functie de lungimea l. Veti obtine niste puncte experimentale care se aseaza aproximativ pe o dreapta. Ecuatia dreptei este:

𝑇2 =4𝜋2

𝑔𝑙 → 𝑦 = 𝑎𝑥cu a =

4𝜋2

𝑔

o Trasati o dreapta printre punctele exeprimentale care trece prin origine.

o Calculati a (panta dreptei) cu formula 𝑎 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 si eroarea lui a cu formula

o Calculati acceleratia gravitationala g =4𝜋2

𝑎 si comparati cu rezultatul de la 1.

o Calculati eroarea asociata lui g, 휀𝑔

Tema pentru acasa

T (s) …

l(m) …

휀𝑎 = (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖)

2𝑛𝑖=1

(𝑛 − 1) 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

Tema pentru acasa

3. Modificati din noi lungime-a pendulului fixand-o la 10m. Apoi setati unghiul α=10° (suntem acum in cazul pendulului simplu anizocron. o Masurati timpul t in care pendulul face 20 de oscilatii. Masurati timpul doar o singura data.

Calculati apoi perioada pendulului T=t/20. o Calculati acceleratia gravitationala utilizand perioada pendulului anizocron

o Comparati rezulatatul obtinut cu celelalte doua. o Calculati erorile absolute asociate lui T si g. Eroarea lui t se ia jumatate din cea mai mica

diviziune a cronometrului. Aceasta este δt=0.005s. o δT=δt/20.

𝑇 = 2𝜋𝑙

𝑔1 +

𝛼2

16→ 𝑔 =

4𝜋2𝑙

𝑇2 (1 +𝛼2

16)2

휀𝑔 = 휀4𝜋2 + 휀𝑙 + 2휀𝑇 + 휀1+

𝛼2

16

= 2휀𝑇 = 2𝛿𝑇

𝑇

→ 𝛿𝑔 = 휀𝑔𝑔