mecanica constr
Post on 19-Jun-2015
615 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
1
Rigidul liber, condiţii de echilibru, probleme
Se spune despre un rigid că este liber atunci când poate ocupa orice poziţie în spaţiu, neavând nici o
obligaţie de natură geometrică, cum ar fi obligaţia ca un punct al său să rămână pe o curbă sau pe o
suprafaţă, sau să rămână fix în spaţiu. În această situaţie, poziţia pe care o ocupă rigidul liber depinde
exclusiv de sistemul de forţe ce acţionează asupra lui.
Astfel, se poate spune că echilibrul unui sistem de forţe ce acţionează asupra unui rigid este exprimat prin
şase ecuaţii scalare de echilibru, trei ecuaţii de proiecţie şi trei ecuaţii de momente relativ la axele de
coordonate.
Dacă asupra unui solid rigid liber care se găseşte în repaus acţionează un sistem de forţe, condiţia
necesară şi suficientă pentru ca rigidul să rămână în repaus (pentru echilibru) este:
(5.1)
în acest caz şi numai în acesta sistemul de vectori fiind în echilibru (cazul I considerat la reducerea
sistemelor de vectori alunecători, sistem echivalent cu zero).
0,0 OMR
Cap.05 STATICA RIGIDULUI
Având în vedere că şi , condiţiile (5.1) se pot scrie:
(5.2)
respectiv, considerând proiecţiile pe axele de coordonate carteziene:
(5.3)
iFR iiiO MFrM
0,0 ii MF
00
00
00
izi
iyi
ixi
MZ
MY
MX
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
2
În cazul sistemelor de forţe în plan – spre exemplu planul xOy, pentru care Zi = 0, Mix = 0 şi Miy = 0 – rămân
numai trei ecuaţii de echilibru distincte:
(5.4)
deci echilibrul unui sistem de forţe plane este exprimat prin trei ecuaţii scalare de echilibru, două ecuaţii de
proiecţie şi o ecuaţie de momente.
000 izii MYX
În cazul unui sistem de forţe paralele – alegând spre exemplu axa Ox în direcţia forţelor, caz în care Yi = 0,
Zi = 0 şi Mix = 0 – rămân distincte ecuaţiile:
(5.5)
iar dacă sistemul de forţe paralele este şi plan – planul xOy, pentru care şi Miy = 0 – rămân distincte numai
două ecuaţii de echilibru:
(5.6)
000 iziyi MMX
00 izi MX
În cazul unui sistem de forţe concurente, alegând originea sistemului de axe în punctul de concurenţă al
forţelor, înseamnă că Mix = 0, Miy = 0, Miz = 0 şi deci rămân distincte următoarele trei ecuaţii de echilibru:
(5.7)
care constituie de fapt ecuaţiile de echilibru (2.2) ale punctului material.
000 iii ZYX
În cazul unui sistem de cupluri vor fi identic satisfăcute cele trei ecuaţii de proiecţii, rămânând distincte ca
ecuaţii de echilibru numai cele de momente:
(5.8)000 iziyix MMM
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
3
În funcţie de natura necunoscutelor, se disting următoarele categorii în care sunt grupate problemele de
statica rigidului liber:
- probleme în care sunt cunoscute forţele ce acţionează asupra rigidului şi se caută poziţia de echilibru a
acestuia;
- probleme în care, cunoscându-se poziţia de echilibru a rigidului, se caută sistemul de forţe care îl
acţionează;
- probleme în care sunt parţial cunoscute atât poziţia de echilibru cât şi sistemul de forţe, şi se caută ca
acestea să fie determinate complet.
Având în vedere numărul ecuaţiilor distincte de echilibru, problemele de statica rigidului liber sunt în general
rezolvabile (determinate) dacă ele comportă determinarea a cel mult şase necunoscute scalare în cazul unui
sistem de forţe oarecare în spaţiu, respectiv a cel mult trei necunoscute scalare în cazul unui sistem plan de
forţe, a unui sistem de forţe paralele sau concurente, sau a unui sistem de cupluri.
În cazul când se cunosc forţele ce acţionează asupra
unui rigid în spaţiu, definirea poziţiei acestuia
comportă cunoaşterea a şase mărimi scalare, care pot
fi: cele trei coordonate xO, yO şi zO ale unui punct al
rigidului în raport cu un sistem de axe ortogonale fix
(O1x1y1z1), respectiv cele trei unghiuri , , şi (ale lui
Euler, precesia, rotaţia proprie şi nutaţia).
Luând în considerare posibilităţile de mişcare ale
rigidului liber în spaţiu, se spune despre acesta că are
şase grade de libertate.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
4
Un rigid are un reazem simplu (mobil) într-un punct A
al său, dacă punctul A este silit să rămână pe o
suprafaţă , considerată lucie, fixă şi foarte rezistentă.
Pentru definirea poziţiei unui rigid cu un reazem simplu
sunt necesari numai cinci parametri scalari, cum ar fi
coordonatele curbilinii ale punctului A şi cele trei
unghiuri ale lui Euler.
Rigidul supus la legături fără frecare, generalităţi, reazemul simplu (mobil), articulaţia,
încastrarea, condiţii de echilibru, determinarea grafică a reacţiunilor
În principiu, o problemă de echilibru a unui corp rigid supus la legături se poate rezolva în urma eliberării
acestuia, adică prin înlocuirea legăturilor cu forţe sau cupluri de legătură – reacţiuni. Astfel, rigidul poate fi
considerat liber sub acţiunea forţelor curente date şi a reacţiunilor, toate acestea fiind luate în considerare la
scrierea ecuaţiilor (condiţiilor) de echilibru.
Referitor la numărul de necunoscute scalare dintr-o problemă de echilibru a unui rigid în spaţiu supus la
legături (numărul reacţiunilor adunat cu cel al necunoscutelor ce definesc poziţia de echilibru), se spune că:
- problema este în general determinată atunci când numărul necunoscutelor este şase;
- problema este nedeterminată atunci când numărul necunoscutelor este mai mare decât şase;
- problema este în general imposibilă atunci când numărul necunoscutelor este mai mic decât şase.
Astfel, având în vedere posibilităţile de mişcare ale unui
rigid cu reazem simplu, acesta va avea numai cinci
grade de libertate.
Ştiind că în punctul A obligat să rămână pe suprafaţa lucie reacţiunea este normală la această suprafaţă,
se poate considera că, din punct de vedere mecanic, un reazem simplu poate fi înlocuit cu o forţă normală la
suprafaţa de sprijin.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
5
Atunci când un rigid prezintă mai multe reazeme simple, se poate spune că teoretic fiecare dintre acestea
micşorează din punct de vedere geometric numărul gradelor de libertate ale rigidului cu câte o unitate.
Pentru a imobiliza complet un rigid în spaţiu acesta va trebui să fie sprijinit de cel puţin şase reazeme simple
(dacă numărul acestora este mai mare decât şase, problema devine nedeterminată), iar în situaţia în care
rigidul se consideră în plan, pentru imobilizarea acestuia vor fi necesare trei reazeme simple.
Această condiţie necesară nu este şi suficientă întrucât pot apare
situaţii în care rigidul nu este imobilizat:
dacă suporturile celor şase reazeme ale unui rigid în spaţiu întâlnesc
o aceeaşi dreaptă, rigidul se va putea roti în raport cu aceasta;
dacă suporturile reazemelor sunt paralele cu un acelaşi plan, rigidul
se va putea translata în lungul normalei la acel plan;
dacă suporturile celor trei reazeme ale unei plăci plane sunt
concurente într-un acelaşi punct, placa se va putea roti în raport cu
punctul respectiv;
dacă suporturile reazemelor unei plăci plane sunt paralele, placa se
va putea translata pe direcţia normală la cea a suporturilor.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
6
Considerând un rigid sprijinit pe un plan în mai multe puncte A1,
A2, …, An, supus acţiunii unui sistem de forţe dat , ecuaţiile
de echilibru (de proiecţii şi de momente) se scriu:
(5.9)
în care X, Y, Z, MOx, MOy, MOz sunt proiecţiile vectorului
rezultant şi ale vectorului moment rezultant pentru sistemul de
forţe în raport cu axele de referinţă (xOy plan de sprijin), iar Ni
sunt scalarii reacţiunilor în punctele de sprijin.
jF
000
000
OziiOyiiOx
i
MxNMyNM
NZYX
Se observă că pentru a avea asigurat echilibrul rigidului, trei dintre condiţiile (5.9) (X = 0, Y = 0 şi MOz = 0)
trebuie să fie îndeplinite de către sistemul de forţe dat. În concluzie, pentru echilibru, sistemul de forţe dat
trebuie să se reducă la o forţă unică normală pe planul de sprijin.
În ceea ce priveşte stabilitatea unui rigid sprijinit pe un plan prin
intermediul unor reazeme simple unilaterale, se pune problema
ca scalarii reacţiunilor să fie toţi pozitivi. În această situaţie
rezultanta forţelor date trebuie să fie dirijată către planul de
sprijin, suportul ei întâlnind planul în interiorul poligonului de
sustentaţie (poligonul convex de arie minimă care conţine pe
laturi sau la interior toate punctele de sprijin).
Celelalte trei ecuaţii de echilibru servesc la determinarea reacţiunilor . Această problemă poate fi
determinată dacă rigidul prezintă numai trei puncte de sprijin, dar este posibil ca şi în această situaţie
problema să fie nedeterminată sau imposibilă (dacă cele trei puncte sunt coliniare).
iN
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
7
Unui rigid i se poate impune o axă fixă prin intermediul unei
articulaţii cilindrice. Rigidul cu axă fixă va avea un singur grad
de libertate (se poate doar roti în plan perpendicular pe această
axă), deci din punct de vedere geometric articulaţia cilindrică
reduce numărul gradelor de libertate cu cinci unităţi. Pentru
definirea poziţiei acestui rigid este necesar un singur parametru
scalar (unghiul ).
Din punct de vedere mecanic o articulaţie sferică poate fi înlocuită cu o reacţiune de modul şi direcţie
oarecare. Această reacţiune se poate descompune în raport cu axele ortogonale ale sistemului cartezian,
punându-se astfel în evidenţă faptul că o articulaţie sferică introduce într-o problemă de mecanică trei
necunoscute scalare (Rx, Ry, Rz). Astfel o articulaţie sferică poate fi privită ca trei reazeme simple situate în
acelaşi punct şi care nu au suporturile coplanare.
R
Se spune despre un rigid că are într-un punct O al său o
articulaţie sferică dacă acest punct este imobilizat (fix).
Pentru definirea poziţiei rigidului cu un punct fix sunt necesari
numai trei parametri scalari, spre exemplu cele trei unghiuri ale lui
Euler (, , şi ).
În ceea ce priveşte posibilităţile de mişcare ale rigidului, acesta va
avea trei grade de libertate, deci se poate spune că din punct de
vedere geometric articulaţia sferică micşorează numărul gradelor
de libertate ale unui rigid cu trei unităţi.
Din punct de vedere mecanic o articulaţie cilindrică poate fi înlocuită cu o forţă de modul şi direcţie
oarecare şi cu un cuplu de moment conţinut într-un plan normal pe axa de rotaţie. Forţa şi cuplul pot fi
descompuse în raport cu cele trei axe ortogonale, evidenţiindu-se faptul că în cazul general articulaţia
cilindrică introduce într-o problemă de mecanică cinci necunoscute scalare (Rx, Ry, Rz, Mx, My).
RM
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
8
În ceea ce priveşte componentele necunoscute Z1 şi Z2, ambele intervin
în una şi aceeaşi ecuaţie (cea raportată la axa de rotaţie Oz), iar pentru
a putea fi determinate este necesară o ecuaţie suplimentară (stabilită
din consideraţii privind deformaţiile rigidului).
Se observă că cea de a şasea condiţie (5.10) (Mz = 0) trebuie să fie îndeplinită de către sistemul de forţe dat.
Deci, pentru echilibru este necesar şi suficient ca momentul rezultant al sistemului de forţe dat în raport cu
axa de rotaţie să fie nul.
În cazul în care una dintre articulaţiile sferice ar fi transformată în
articulaţie cilindrică, componenta Z din aceasta ar fi nulă, deci problema
ar deveni determinată (spre exemplu pentru O2 articulaţie cilindrică, Z2 =
0, iar Z1 = -Z).
Dacă se consideră un rigid fixat prin intermediul a două articulaţii sferice O1
şi O2, asupra căruia acţionează un sistem de forţe dat , ecuaţiile de
echilibru (de proiecţii şi de momente) se scriu:
(5.10)
în care X, Y, Z, Mx, My şi Mz sunt proiecţiile rezultantei şi momentului
rezultant pentru sistemul de forţe dat în raport cu axele unui sistem
ortogonal, X1, Y1, Z1, X2, Y2 şi Z2 sunt proiecţiile scalarilor reacţiunilor şi
de mărime şi direcţie necunoscute ce se dezvoltă în articulaţiile sferice,
iar h1 şi h2 sunt cotele punctelor de articulare.
iF
000
000
22112211
212121
zyx MhXhXMhYhYM
ZZZYYYXXX
1R
2R
Totodată se observă că toate cele şase necunoscute ale problemei intervin numai în primele cinci ecuaţii
(5.10), deci problema este nedeterminată. Vor putea fi obţinute numai componentele în raport cu axele Ox şi
Oy ale reacţiunilor, din ecuaţiile raportate la aceste axe:
12
12
12
21
12
1
2
12
2
1hh
YhMY
hh
YhMY
hh
XhMX
hh
XhMX xxyy
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
9
În mod practic, se consideră vectorul rezultant şi vectorul moment rezultant al tuturor acestor reacţiuni, în
raport cu un punct O oarecare (de obicei centrul de greutate al secţiunii transversale în dreptul încastrării).
Din punct de vedere mecanic ar trebui ca încastrarea să fie
teoretic înlocuită cu atâtea reacţiuni , câte puncte de imobilizare
Ai se consideră pentru rigid.iR
Legătura care imobilizează un număr foarte mare de puncte ale
unui rigid, împiedecând orice posibilitate de mişcare a acestuia,
poartă denumirea de încastrare. Un rigid încastrat nu are nici un
grad de libertate, deci se poate spune că din punct de vedere
geometric încastrarea ia rigidului toate gradele de libertate.
Considerând proiecţiile Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz ale vectorilor rezultanţi forţă şi moment ale reacţiunilor, în
raport cu sistemul ortogonal de axe, se poate spune că în spaţiu o încastrare introduce şase necunoscute
scalare.
Echilibrul rigidului este exprimat de către ecuaţiile:
sau (5.11)
în care şi sunt vectorul rezultant şi momentul rezultant al reacţiunilor, iar şi sunt vectorul
rezultant şi momentul rezultant al sistemului de forţe dat .
00 jjiiji FrRrFR 00 OOMR MR
OMR OMR
jF
În concluzie, pentru cazul general al unui rigid având o legătură fără frecare asupra căruia acţionează un
sistem oarecare de forţe dat, condiţiile de echilibru se scriu:
(5.12)
în care sunt proiecţiile rezultantei şi momentului rezultant al sistemului de forţe
dat în raport cu axele sistemului ortogonal de axe carteziene, iar Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz sunt proiecţiile
rezultantei şi momentului rezultant ale reacţiunilor.
000
000
zzyyxx
zzyyxx
MMM
RRR
MMM
RRR
zyxzyx MMMRRR ,,,,,
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 STATICA RIGIDULUI
10
Se observă că fenomenul de frecare în cazul corpului rezemat este mai complex decât în cazul
punctului material.
Rigidul supus la legături cu frecare
Se consideră un corp supus acţiunii unui sistem de forţe dat , ce sprijină
prin intermediul unui reazem simplu având în mod teoretic un singur punct
de contact O. În realitate corpul se deformează astfel încât contactul se
realizează pe o mică suprafaţă, iar în fiecare punct al acestei suprafeţe se
dezvoltă o reacţiune de mărime şi direcţie necunoscută.
jF
iR
Reducând atât sistemul de forţe dat cât şi sistemul de reacţiuni în raport
cu punctul O, echilibrul este exprimat prin ecuaţiile:
(5.13)00 OO MR MR
Considerând proiecţiile rezultantelor forţe şi momente în raport cu normala
la suprafaţa de contact, respectiv cu planul tangent la această suprafaţă
în punctul O, ecuaţiile de echilibru devin:
(5.14)00
00
rtt
pnn
MT
MN
MR
MR
tinde să deplaseze corpul pe direcţie normală la suprafaţa de contact,
deplasare împiedecată de reacţiunea normală .nR
N
tinde să deplaseze – alunece – corpul în planul tangent la suprafaţa de
contact, deplasare împiedecată de reacţiunea tangentă – forţă de frecare.tR
T
are tendinţa de a roti corpul în jurul unei axe din planul tangent la
suprafaţa de contact – rostogolire –, rotire împiedecată de cuplul reacţiune
– cuplu de frecare de rostogolire.
tM
rM
are tendinţa de a roti corpul în jurul normalei la suprafaţa de contact –
pivotare –, rotire împiedecată de cuplul reacţiune – cuplu de frecare de
pivotare.
nM
pM
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI
1
Se observă că prima relaţie exprimă proprietatea că cele două forţe sunt egale în modul, respectiv au
aceeaşi direcţie şi sunt opuse ca sens, iar cea de a doua relaţie exprimă proprietatea că cele două forţe au
suport comun.
Generalităţi
Prin convenţie, două sau mai multe corpuri care se interacţionează formează un sistem de corpuri.
Forţele exercitate între două corpuri ale unui sistem poartă denumirea de forţe interioare, iar forţele
exercitate asupra corpurilor unui sistem ca urmare a acţiunii unor corpuri din afara sistemului respectiv poartă
denumirea de forţe exterioare.
Cap.06 SISTEME DE CORPURI
Se spune despre un sistem că este izolat atunci când asupra lui nu sunt exercitate forţe exterioare.
În virtutea principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele interioare sunt două câte
două egale în modul şi direct opuse. Astfel, dacă un punct material Aj
acţionează asupra altui punct material Ai cu forţa , atunci şi Ai
acţionează asupra lui Aj cu o forţă , egală în modul cu şi direct
opusă acesteia:
(6.1)
unde şi sunt vectorii de poziţie ai punctelor materiale Ai şi Aj.
ijF
jiF
ir jr
0 jiij FF 0 jijiji FrFr
ijF
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI
2
Condiţia de echilibru
Se ştie că pentru ca un punct material (corp) să fie în echilibru (să rămână în repaus) atunci când asupra lui
acţionează un sistem de forţe este necesar şi suficient ca rezultanta acestor forţe să fie nulă (sistemul de
forţe să fie echivalent cu sistemul zero).
Dacă se consideră un sistem de n puncte materiale Ai
asupra cărora acţionează forţele exterioare şi forţele
interioare , , …, , …, , condiţiile de echilibru
corespunzătoare tuturor punctelor materiale (necesare şi
suficiente pentru ca sistemul să rămână în repaus) se vor
scrie:
iF1iF 2iF ijF
inF
(6.2)0......................
.................................................................................
0..............
.................................................................................
0........................
0........................
1,321
1,1,321
222423212
111413121
nnninnnn
iniiiiiiii
ni
ni
FFFFFF
FFFFFFF
FFFFFF
FFFFFF
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI
3
Relaţiile (6.3) şi (6.4) exprimă condiţia pe care trebuie să o satisfacă forţele exterioare ce acţionează asupra
unui sistem de puncte materiale, ele reprezentând aşa numita teoremă a solidificării. Această denumire se
justifică prin faptul că un sistem deformabil de puncte materiale (corpuri) aflat în echilibru (repaus) sub
acţiunea unui sistem de forţe exterioare va continua să rămână în echilibru şi dacă va fi rigidizat prin
introducerea unor legături interioare suplimentare.
Teoreme
Întrucât forţele interioare sunt necunoscute, se urmăreşte uneori ca în condiţiile de echilibru utilizate să apară
numai forţele exterioare sistemului. Eliminarea forţelor interioare din relaţiile (6.2) se face prin adunarea
acestor relaţii membru cu membru. Având în vedere că forţele interioare se reduc două câte două, se obţine:
(6.3)0 iF
Se menţionează faptul că relaţiile (6.3) şi (6.4) constituie o condiţie
necesară pentru echilibru, dar nu şi suficientă. Astfel, spre exemplu
considerând un sistem format din două bare articulate acţionate de
două forţe exterioare egale şi direct opuse având acelaşi suport, deşi
relaţiile menţionate sunt satisfăcute, sistemul nu va rămâne în repaus.
Momentele forţelor interioare de asemenea se reduc două câte două. Astfel, multiplicând vectorial fiecare
relaţie (6.2) cu vectorul de poziţie corespunzător , iar apoi efectuând însumarea membru cu membru, se
obţine:
(6.4)0 ii Fr
ir
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI
4
Teorema echilibrului părţilor se enunţă astfel: dacă dintr-un sistem de puncte materiale (corpuri) aflat în
echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe se izolează o parte (subsistem), această parte va fi în echilibru sub
acţiunea forţelor ce revin punctelor materiale care o alcătuiesc.
Astfel, din totalitatea relaţiilor (6.2) se vor lua în considerare numai cele care exprimă echilibrul punctelor
materiale ce alcătuiesc porţiunea respectivă, relaţii ce vor fi satisfăcute întrucât întregul sistem este satisfăcut.
Statica sistemelor
Problemele de statica sistemelor de puncte materiale (corpuri) presupun în general determinarea tuturor
reacţiunilor (forţelor de legătură exterioare şi interioare), iar aceasta se poate realiza în două moduri:
- prin metoda izolării punctelor materiale (corpurilor), respectiv scrierea condiţiilor de echilibru pentru fiecare
punct în parte;
- prin utilizarea teoremei solidificării şi a teoremei echilibrului părţilor.
Pentru rezolvarea unei probleme de statică a unui sistem corpuri, acesta trebuie eliberat de legături prin
înlocuirea legăturilor (exterioare şi/sau interioare) cu reacţiunile corespunzătoare.
Astfel, pentru rezolvarea sistemului de bare din figura alăturată prin metoda izolării corpurilor, atât legăturile
la exterior (articulaţia A şi încastrarea D) cât şi cele dintre corpuri (articulaţiile B şi C) vor fi înlocuite cu
componentele reacţiunilor corespunzătoare.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI
5
Sunt multe situaţii în care interesează numai reacţiunile din legăturile exterioare (sau, dacă se studiază poziţia
de echilibru a sistemului de corpuri, interesează numai parametrii ce definesc configuraţia de echilibru). În
aceste situaţii se apelează la teorema solidificării şi la teorema echilibrului părţilor.
În aceste condiţii ecuaţiile de echilibru pentru fiecare bară în parte pot fi scrise:
Bara AB
02
0)(
00
00
hQhHM
VVY
QHHX
ABi
BAi
BAi
Se poate observa că metoda izolării corpurilor presupune scrierea şi respectiv rezolvarea unui număr relativ
mare de ecuaţii, în special în cazul sistemelor cu un număr mare de corpuri.
S-au obţinut în acest fel cinci ecuaţii din care pot fi determinate cele cinci forţe de legătură căutate, VA, HA, VD,
HD şi MD.
din acest sistem de nouă ecuaţii obţinându-se cele nouă forţe de legătură necunoscute:
222
QhM
PVVVV
QHHHH DDCBADCBA
Spre exemplu, dacă în cazul sistemului studiat anterior interesează numai reacţiunile în legăturile la exterior
(în reazemele la teren), după înlocuirea articulaţiei A şi a încastrării D cu componentele reacţiunilor
corespunzătoare, se procedează la solidificarea articulaţiilor B şi C şi la scrierea a trei ecuaţii de echilibru
pentru corpul astfel format, de exemplu: .0,0)(,0)( iAiDi XMM
În continuare, ţinând cont de teorema echilibrului părţilor, se poate scrie o ecuaţie de echilibru pentru bara AB,
respectiv una pentru bara CD: .0)(,0)( ,, CCDiBABi MM
Se menţionează că această a doua metodă poate fi completată cu metoda
izolării corpurilor dacă în continuare se caută şi forţele din legăturile interioare.
00)(
00
00
hHMM
VVY
HHX
CDDi
CDi
DCi
Bara CD
02
0)(
00
00
lPlVM
PVVY
HHX
CBi
CBi
CBi
Bara BC
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 06 SISTEME DE CORPURI
6
Notă. În studiul sistemelor de corpuri se poate apela la un procedeu prin care corpurile se reprezintă prin
puncte, iar legăturile dintre corpuri se reprezintă prin segmente de linie care unesc punctele corespunzătoare.
Se obţin astfel scheme ale sistemelor, denumite grafuri. Dacă o succesiune de linii reprezentând legăturile
într-un sistem de corpuri formează un poligon închis se spune că graful este cu ciclu, iar dacă liniile nu
formează un poligon închis se spune că graful este arborescent (fără ciclu).
Desigur că în practică se pot întâlni scheme de tip graf mixt.
La reprezentarea sistemelor de corpuri prin intermediul grafurilor se apelează în special în cazul în care se
caută să se determine parametrii ce definesc configuraţia de echilibru a sistemelor, în acest mod putându-se
scrie un număr minim de ecuaţii (în funcţie de alcătuirea sistemului studiat).
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
1
Generalităţi, ipoteze simplificatoare
Sistemele de bare articulate sunt deseori utilizate în tehnica construcţiilor, sub forma structurilor cu zăbrele
(în special metalice): grinzi de rezistenţă cu zăbrele la podurile metalice, stâlpi metalici de susţinere a
cablurilor, grinzi cu zăbrele la fermele de acoperiş ale clădirilor, maşini grele de ridicat cum ar fi macaralele
sau podurile rulante etc.
Cap.07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
Pentru a putea studia aceste sisteme de bare se impun două ipoteze simplificatoare:
a) Barele se consideră articulate în noduri. Deşi barele structurilor metalice sunt prinse între ele prin
intermediul unor plăcuţe metalice (numite gusee) prin nituire, deci rotirea liberă a capetelor de bară este
împiedecată ceea ce determină apariţia unor cupluri, s-a demonstrat prin calcule exacte (ce ţin cont de
deformaţii) că momentele acestor cupluri sunt relativ mici şi pot fi neglijate, astfel că barele pot fi
considerate ca articulate în noduri.
b) Forţele exterioare se consideră ca fiind aplicate numai în noduri. La realizarea acestor tipuri de
structuri se impun măsuri constructive astfel ca forţele exterioare utile să fie aplicate numai în noduri.
Desigur că există forţe exterioare, cum ar fi greutatea proprie a barelor, care nu sunt aplicate în noduri,
dar s-a arătat prin calcule exacte că efectul de încovoiere datorat greutăţii proprii este neglijabil. În mod
practic barele pot fi considerate rigide, iar greutatea proprie a acestora poate fi înlocuită cu câte două
forţe verticale aplicate în nodurile de la extremităţile barelor.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
2
Metoda izolării nodurilor
Această metodă se bazează pe teorema echilibrului părţilor, considerând nodurile ca “părţi” iar barele ca
legături. Nodurile sunt astfel puncte materiale acţionate de forţe concurente, forţele exterioare şi forţele
(eforturile) din bare.
Întrucât pentru un punct material în plan se pot scrie două ecuaţii de echilibru, ecuaţiile de proiecţie în raport
cu direcţiile principale ale planului, înseamnă că pentru aflarea forţelor de legătură, eforturi în bare şi reacţiuni
în reazeme, nodurile trebuie considerate în mod succesiv în aşa fel încât într-un nod studiat la un moment
dat să nu fie mai mult de două forţe necunoscute.
Procedeul se desfăşoară după cum urmează: se alege un nod în care sunt numai două forţe (eforturi)
necunoscute, nodul respectiv se eliberează de legături (bare) prin izolarea nodului şi încărcarea acestuia cu
forţele exterioare aferente şi cu forţele de legătură corespunzătoare, se scriu cele două ecuaţii de echilibru şi
se determină forţele necunoscute, se trece la un nod învecinat în care de asemenea apar numai două forţe
de legătură necunoscute pentru care se scriu cele două ecuaţii de echilibru, se continuă cu izolarea
succesivă a nodurilor până la epuizarea tuturor necunoscutelor.
Pentru verificarea rezultatelor calculelor, la final se apelează la teorema solidificării rigidizându-se toate
nodurile considerate iniţial ca fiind articulate. Grinda cu zăbrele, obţinută astfel ca un singur corp rigid, se
eliberează de legăturile din reazeme care se înlocuiesc cu reacţiunile corespunzătoare, acum cunoscute.
Sistemul de forţe exterioare care acţionează asupra grinzii, forţe în rândul cărora intră şi reacţiunile
evidenţiate, trebuie să fie în echilibru, adică trebuie să satisfacă cele trei ecuaţii care caracterizează echilibrul
unui sistem în plan, ecuaţii ce se vor scrie ca identităţi.
În cazul în care la un sistem de bare articulate nu există nici un nod în care de la început să fie doar două
forţe de legătură necunoscute, calculul se începe aplicând mai întâi teorema solidificării în vederea
determinării reacţiunilor prin intermediul celor trei ecuaţii de echilibru posibil a fi scrise pentru rigidul în plan.
Se continuă apoi cu calculul prin izolarea succesivă a nodurilor. Se va constata că la penultimul nod izolat
rămâne o singură forţă de legătură necunoscută, iar la ultimul nod nu va mai fi nici o forţă de legătură
necunoscută. Aceasta se datorează faptului că primele trei necunoscute ale problemei (reacţiunile) au fost
determinate cu alte ecuaţii decât cele de echilibru a nodurilor. Cele trei ecuaţii corespunzătoare ultimelor trei
forţe de legătură vor fi scrise ca identităţi şi vor fi folosite pentru verificarea rezultatelor calculelor.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
3
Astfel, se consideră sistemul de bare articulate din figură, pentru
care succesiunea izolării nodurilor este următoarea:
)2
160(cos
3060cos0)(
)2
360(sin
3
2060sin0)(
1312131
12121
PSSSH
PSPSV
i
iNodul 1
3,
3060sin60sin0)(
03
60cos60cos0)(
343234323
34323
PS
PSSSH
PSSV
i
i
Nodul 3
2
3060sin
360sin
3
20)(
32060cos
360cos
3
20)(
222
24242
PV
PPVV
PS
PPSH
i
i
Nodul 2
Nodul 4
0032
60cos3
0)(
2060sin
30)(
444
444
HPP
HH
PV
PVV
i
i
Verificarea echilibrului grinzii considerată ca un singur rigid: .0)(,0)(,0 24 iii MMH
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
4
În cazul sistemului de bare articulate din figură nu există iniţial un nod
cu cel mult două forţe de legătură necunoscute, deci calculul se
conduce după cum urmează.
2
30
22
320)(
2
30
22
320)(
00
551
115
1
PV
aPPa
aPaVM
PV
aPPa
aPaVM
HH
i
i
i
Determinarea reacţiunilor pe baza ecuaţiilor de echilibru scrise în urma
solidificării articulaţiilor grinzii cu zăbrele:
2
3060cos30)(
302
360sin0)(
13131
12121
PSPSH
PSP
SV
i
i
Izolarea succesivă a nodurilor:
Nodul 1
Nodul 2
3
2060cos360cos
30)(
3060sin360sin0)(
24242
23232
PSP
PSH
PSPPSV
i
i
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
5
2
3060cos30)(
302
360sin0)(
53535
54545
PSPSH
PSP
SV
i
i
Nodul 5
Se observă că aplicarea metodei izolării nodurilor reclamă o atenţie sporită pe parcursul derulării calculelor
succesive, întrucât o eroare săvârşită la un moment dat se transmite tuturor valorilor ulterioare. Eroarea va fi
semnalată doar la verificările finale, dar şi aici fără a putea fi localizată exact.
060cos360cos33
20)(
343060sin360sin0)(
4
434
PPP
H
PSPPSV
i
iNodul 4
verificare:
În ceea ce priveşte semnul din faţa valorilor obţinute pentru forţele de legătură, acesta indică sensul forţelor
respectiv, în cazul forţelor de legătură interioare (eforturi în bare) efectul acestora în material. Astfel, semnul
“plus” indică faptul că sensul presupus iniţial pe schiţa nodului izolat este cel corect, respectiv că efectul în
bară este de întindere. Dacă valoarea forţei de legătură se obţine cu semn “minus” însemnă că sensul
acesteia este în realitate invers sensului considerat iniţial, respectiv că efectul în bară este de compresiune.
Nodul 3
verificare:
02
360cos
32
360cos
30)(
060sin3
60sin3
0)(
3
3
PPPPH
PPP
V
i
i
verificare:
Un alt dezavantaj al metodei izolării nodurilor constă în faptul că atunci când interesează în mod special
efortul într-o anumită bară, este nevoie să fie determinate din aproape în aproape eforturile în toate barele
până la cea în cauză.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
6
Metoda secţiunilor
Această metodă – ce este cunoscută şi sub denumirea de metoda lui Ritter – permite determinarea efortului
căutat într-o bară oarecare a unui sistem de bare articulate, în mod direct, pe baza unei singure ecuaţii de
echilibru.
Metoda constă în secţionarea completă a sistemului cu zăbrele – ansamblul desfăcându-se în două părţi
distincte – în aşa fel încât să fie secţionată şi bara al cărei efort interesează în mod special.
În baza teoremei solidificării, articulaţiile celor două porţiuni se pot considera rigidizate.
Conform teoremei echilibrului părţilor, fiecare din cele două porţiuni obţinute trebuie să fie în echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare date aferente, a forţelor de legătură ce înlocuiesc reazemele aferente, respectiv a
forţelor de legătură ce înlocuiesc barele secţionate.
Având în vedere că pentru exprimarea echilibrului unei porţiuni rigide de structură cu zăbrele în plan pot fi
scrise trei ecuaţii de echilibru, înseamnă că secţionarea completă trebuie să pună în evidenţă (să
exteriorizeze) cel mult trei forţe de legătură interioare necunoscute (secţionarea nu trebuie să străbată mai
mult de trei bare cu efort necunoscut).
Pentru determinarea efortului care interesează se va apela la o ecuaţie de momente în raport cu punctul de
intersecţie al suporturilor celorlalte două forţe (eforturi) necunoscute. În cazul în care aceste două forţe au
suporturi paralele, se apelează la o ecuaţie de proiecţie în raport cu direcţia normală la suporturile paralele.
În situaţia în care în ecuaţiile de echilibru scrise pentru determinarea eforturilor căutate intervin şi forţe de
legătură ce înlocuiesc reazeme (reacţiuni), acestea vor fi determinate în prealabil apelându-se la teorema
solidificării aplicată întregului sistem cu zăbrele. Reacţiunile se obţin pe baza celor trei ecuaţii de echilibru
scrise pentru sistemul cu zăbrele rigidizat.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
7
Astfel, dacă în cazul sistemului cu zăbrele din figură se caută spre exemplu
numai eforturile în barele 4-6, 5-7 şi 8-9, se procedează după cum
urmează.
3
20230)( 4646,5
PSaPaSM IIi
Se execută secţionarea I-I, ce străbate trei bare printre
care şi bara 4-6, punându-se în evidenţă
(exteriorizându-se) eforturile din aceste bare. Se reţine
porţiunea superioară a cărei articulaţii se rigidizează, iar
din ecuaţia de echilibru scrisă în momente în raport cu
punctul de intersecţie 5 se obţine efortul căutat:
3
20230)( 5757,6
PSaPaSM IIIIi
Se execută secţionarea II-II, punându-se în evidenţă (exteriorizându-se) eforturile din
cele trei bare printre care şi cel din bara 5-7. Din nou se reţine porţiunea superioară,
efortul căutat obţinându-se din ecuaţia de momente în raport cu punctul de intersecţie 6:
Similar, în urma secţionării III-III, vor fi puse în evidenţă (exteriorizate) eforturile din trei
bare printre care şi cel din bara 8-9. Reţinând porţiunea superioară, efortul căutat se va
obţine dintr-o ecuaţie de proiecţii în raport cu direcţia orizontală:
3
2030cos0)( 8989
PSPSH
IIIIIIi
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 07 SISTEME DE BARE ARTICULATE
8
În cazul grinzii cu zăbrele din figură, pentru determinarea
eforturilor în bare trebuie stabilite în prealabil forţele de
legătură exterioare (reacţiunile). În urma rigidizării
articulaţiilor, reacţiunile se pot obţine pe baza următoarelor
trei ecuaţii de echilibru scrise pentru întregul ansamblu:
2
50
22
3
2
5
2
7
2
950)(
2
50
22
3
2
5
2
7
2
950)(
00
11111
1111
1
PV
aP
aP
aP
aP
aPaVM
PV
aP
aP
aP
aP
aPaVM
HH
i
i
i
Se menţionează faptul că în practică există cazuri de sisteme
cu zăbrele în care secţionarea completă străbate mai mult de
trei bare cu efort necunoscut. În general aceste situaţii este
posibil ca numai unele eforturi să fie determinate direct prin
metoda secţiunilor, iar pentru determinarea altora este
necesară aplicarea metodei izolării nodurilor.
În continuare, dacă se caută spre exemplu eforturile numai în barele 4-6, 4-5 şi 3-5, se procedează la
secţionarea I-I, iar în urma rigidizării articulaţiilor uneia din cele două porţiuni (de exemplu porţiunea din
stânga, mai scurtă) eforturile căutate se vor determina pe baza următoarelor ecuaţii de echilibru
independente:
32
110
2
3
2
5
2
30)(
30
2
560sin0)(
32022
32
2
5
2
30)(
3535,4
4545
4646,5
PSPa
aPaSM
PS
PPPSV
PSa
Pa
PaPa
SM
IIi
IIi
IIi
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
1
Generalităţi, ecuaţia generală, ecuaţii diferenţiale
Prin fir se înţelege un corp având una dintre dimensiuni (lungimea) sensibil mai mare decât celelalte două,
care are o flexibilitate foarte mare şi care se alungeşte foarte puţin sub acţiunea forţelor de întindere.
Astfel, se presupune că firele sunt perfect flexibile – însuşirea de a nu opune nici o rezistenţă atunci când i
se schimbă forma – şi inextensibile – însuşirea de a nu se alungi oricât de mare ar fi forţa de întindere.
Exemple de fire în tehnică: cablurile maşinilor de ridicat, cablurile funicularelor, cablurile podurilor
suspendate, cabluri electrice, funii etc.
Se consideră un fir solicitat de o încărcare oarecare, pe care se alege
un punct A ca origine de măsurare a arcelor şi un punct M, având
poziţia definită prin arcul AM = s denumit coordonată curbilinie a
punctului M.
Se secţionează firul în punctul M, iar pentru restabilirea echilibrului
celor două porţiuni se introduce perechea de forţe şi , egale în
modul şi direct opuse, pe cele două faţete ale secţionării.
TT
Cap.08 STATICA FIRELOR
Întrucât orice secţiune a firului se comportă ca o articulaţie (datorită
proprietăţii de flexibilitate perfectă), pe faţetele secţionării nu trebuie
introdusă şi o pereche de momente (ca în cazul unei secţionări printr-o
bară rigidă), iar în ceea ce priveşte direcţia forţelor şi , aceasta
este necunoscută.
TT
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
2
Dacă se consideră un al doilea punct M’ având poziţia definită de
coordonata curbilinie s+s, iar apoi se izolează elementul de fir MM’,
acesta va trebui să se găsească în echilibru sub acţiunea forţei
exterioare şi a forţelor interioare exteriorizate, şi .P )()( ssTsT
Sub formă vectorială, ecuaţiile de echilibru ale elementului se scriu:
(8.1)
unde momentele sunt raportate la extremitatea M’.
0''')('
0)()(
PMMsTMM
PssTsT
În urma împărţirii primei ecuaţii cu s şi a trecerii la limită s 0, se obţine:
(8.2)
în care prima limită este creşterea forţei interioare pe parcursul elementului de fir infinit mic , iar cea de a
doua limită reprezintă sarcina exterioară distribuită pe unitatea de lungime a firului (ca de exemplu
greutatea proprie, presiunea vântului, greutatea zăpezii etc., pe o unitate de lungime de fir).
0lim)()(
lim00
s
P
s
sTssT
ss
ds
Td
p
Astfel:
(8.3)
ceea ce reprezintă ecuaţia generală a firelor.
0 pds
Td
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
3
Efectuând aceleaşi operaţii asupra celei de a doua ecuaţii, se obţine:
(8.4)
Întrucât vectorul , fiind dirijat după coardă, este, la limită, tangent la curbă, înseamnă că şi vectorul
va fi, la limită, un vector tangent la curbă, iar modulul acestuia va fi egal cu unitatea întrucât lungimea arcului
tinde către lungimea coardei. Acest vector reprezintă deci versorul direcţiei tangente la arc şi se notează cu .
În ceea ce priveşte cea de a doua limită din relaţia (8.4), aportul acestuia poate fi neglijat pentru că raportul
reprezintă sarcina exterioară ce se distribuie pe o lungime reprezentată de vectorul care tinde la zero.
0'''lim)('
lim00
s
PMMsT
s
MM
ss
'MMs
MM
'
s
P
'''MM
Astfel, relaţia (8.4) este echivalentă cu:
(8.5)
ceea ce arată că cei doi vectori şi sunt paraleli, adică direcţia forţei interioare este tangentă la fir.
0T
T
Se poate scrie: (8.6)
unde T reprezintă scalarul forţei interioare, întotdeauna pozitiv întrucât firele nu pot fi supuse la compresiune.
TT
Relaţiile (8.3) şi (8.6) stau la baza rezolvării problemelor firelor. Pentru a raporta aceste relaţii la axele
sistemului de coordonate cartezian se notează cu px, py şi pz proiecţiile sarcinii , iar proiecţiile forţei
interioare se scriu în funcţie de cosinusurile directoare ale direcţiei tangentei:
(8.7)
p
T
ds
dzTTT
ds
dyTTT
ds
dxTTT zyx cos,cos,cos
Astfel, ecuaţia (8.3) se poate raporta la axele sistemului cartezian scriind:
(8.8)0,0,0
zyx p
ds
dzT
ds
dp
ds
dyT
ds
dp
ds
dxT
ds
d
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
4
Cele patru ecuaţii date de relaţiile (8.8) şi (8.9) reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale firelor în sistemul de
coordonate cartezian, iar prin rezolvarea lor se obţin cele patru necunoscute ale problemei firelor:
funcţiile x = x(s), y = y(s), z = z(s) ce definesc forma de echilibru a firului, respectiv funcţia T = T(s) care
reprezintă forţa în fir.
În general, problema poate fi rezolvată practic apelându-se şi la condiţiile la limită (ca de exemplu
coordonatele punctelor ce constituie extremităţile firului şi lungimea firului sau forţele fie la extremităţile firului
fie în anumite puncte caracteristice ale firului).
În ceea ce priveşte cosinusurile directoare ale tangentei într-un punct oarecare de pe fir, între aceştia trebuie
să existe relaţia:
(8.9)1
222
ds
dz
ds
dy
ds
dx
Pentru a raporta relaţiile (8.3) şi (8.6) la un sistem de coordonate
intrinseci (sistemul ce are originea în punctul oarecare M considerat
pe fir), se apelează la triedrul lui Frenet format din direcţiile tangenta
la fir în punctul considerat, normala principală (în planul firului) şi
binormala, a căror versori se notează , şi .
Se aminteşte prima formulă a lui Frenet
(8.10)
în care reprezintă curbura firului în punctul M, fiind raza de curbură.
1
ds
d
1
Introducând expresia (8.6) în relaţia (8.3), rezultă , adică ,
respectiv ţinând cont de expresia (8.10) şi de faptul că vectorul sarcinii exterioare se poate scrie
, se obţine: (8.11)
00)(
pds
dT
ds
dTp
ds
Td
pppp 0
ppp
T
ds
dT
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
5
Prin urmare se constată că în cazul firului neacţionat de sarcini exterioare scalarul forţei interioare este
constant (prima relaţie), iar forma de echilibru este o linie dreaptă (cea de a doua relaţie).
Se constată prin urmare că în cazul firului acţionat
numai de sarcini normale scalarul forţei interioare
este constant.
Ecuaţia vectorială (8.11) este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:
(8.12)
care reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale firelor în sistemul de coordonate intrinseci.
000
ppT
pds
dT
Fir neacţionat de sarcini exterioare, fir acţionat de sarcini normale, fir acţionat de greutatea
proprie (lănţişorul), fir acţionat de sarcini concentrate
Dacă sarcina exterioară este nulă atunci scalarul componentelor acesteia va fi de asemenea nul, ,
şi , iar relaţiile (8.12) conduc la , , .0000
T
ds
dTp 0p
0p 0p
Considerând un fir continuu petrecut peste scripeţi,
pentru care se neglijează atât greutatea proprie cât şi
frecările, încărcările exterioare vor avea numai
componentă normală pe fir, adică , şi
, şi deci .
00 pp
0ds
dT0p
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
6
Se consideră un fir omogen suspendat în punctele sale extreme A şi
B situate în planul vertical xOy, firul fiind acţionat numai de propria
sa greutate. Astfel proiecţiile sarcinii exterioare sunt ,
şi , iar ecuaţiile de echilibru (8.8) se scriu:
(8.13)
p ppp yx 0
0zp
000
ds
dzT
ds
dp
ds
dyT
ds
d
ds
dxT
ds
d
Din prima şi a treia relaţie se observă că şi sunt mărimi constante, care se vor nota în continuare
cu H şi, respectiv, cu C. Făcând raportul între aceste două constante se obţine:
de unde prin integrare rezultă (8.14)
în care cu C’ s-a notat o constantă de integrare.
ds
dzT
ds
dxT
dx
dz
H
C 'Cx
H
Cz
Ţinând cont de condiţiile de margine, adică particularizând relaţia (8.14) prin scrierea acesteia în punctele de
suspendare A(x=x1,y=y1,z=z1=0) şi B(x=x2,y=y2,z=z2=0), se obţine
din care, pentru cazul x1 x2, se deduce că şi . Prin urmare ecuaţia (8.14) devine z = 0 , ceea
ce arată că forma de echilibru a firului este o curbă situată în planul vertical (xOy) ce conţine punctele de
suspendare ale firului.
'0'0 21 CxH
CCx
H
C
0'0 CH
C
În cea de a doua ecuaţie din grupul (8.13), forţa interioară T se înlocuieşte în funcţie de constanta H, :
sau (8.15)dx
dsHT
pdx
dy
ds
dHp
ds
dy
dx
dsH
ds
d
0
Pentru integrarea acestei ecuaţii diferenţiale se înlocuieşte , ceea ce conduce la:
sau (8.16)
în care se face schimbarea de funcţie:
(8.17)
dxydxdx
dyds 2
2
'11
H
p
dxy
yp
dxy
dyH
22 '1
''
'1
'
uy sinh'
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
7
Ţinând seama de faptul că , relaţia (8.16) devine:
sau (8.18)
care prin integrare conduce la
(8.19)
în care C1 este o constantă de integrare.
uuy cosh'''
H
pu
H
p
u
uu
'
sinh1
cosh'
2
1CxH
pu
Reconsiderând schimbarea de funcţie (8.17), ţinând cont de (8.19), se poate scrie:
(8.17’)
de unde prin integrare se obţine:
(8.20)
în care C2 este o altă constantă de integrare.
1sinh' Cx
H
py
21cosh CCxH
p
p
Hy
Notând (8.21) rezultă (8.22)
ceea ce reprezintă ecuaţia lănţişorului, ce corespunde formei de echilibru a unui fir omogen greu.
ap
H 21cosh CC
a
xay
Dacă se raportează curba la un sistem particular de axe având axa Oy
de simetrie, iar vârful curbei este de ordonată a, constantele de
integrare C1 şi C2 se pot obţine din condiţiile: pentru x = 0 y = a şi
pentru x = 0 y’ = 0. Astfel: şi de unde
C1 = 0 şi C2 = 0.121 sinh0cosh CCCaa
Ecuaţia lănţişorului în raport cu sistemul de axe particular considerat este
prin urmare:
(8.23)a
xay cosh
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
8
În concluzie, problema firului acţionat de greutatea proprie este rezolvată din toate punctele de vedere:
forma de echilibru este dată de funcţia (8.22) sau (8.23), forţa în fir este dată de relaţia (8.24), iar lungimea
arcului de lănţişor este dată de formula (8.25).
Se consideră cazul practic al unui fir foarte întins acţionat numai de
greutatea proprie, suspendat în punctele de nivel A şi B, cu
deschiderea l, de lungime totală L şi de săgeată maximă f. Curba se
raportează la sistemul de axe xOy a cărui ordonată reprezintă axa de
simetrie, respectiv a cărui origine este situată în punctul C de săgeată
maximă a firului.
În secţiunea C, unde tangenta la curbă este orizontală deci ds = dx, se constată că forţa interioară este H.
Întrucât firul este foarte întins, înseamnă că forţa H este foarte mare în raport cu încărcarea p, deci raportul
dintre acestea două, notat cu a (8.21), este de asemenea foarte mare. Ţinând cont de acest lucru, în
dezvoltarea prin serii a expresiilor ce caracterizează lănţişorul, termenii ce conţin la numitor puteri mari ale lui
a pot fi neglijaţi.
Forţa interioară a firului raportat la sistemul particular de axe se obţine pe baza relaţiei în care se
înlocuieşte , funcţia y fiind exprimată prin relaţia (8.23):
(8.24)
dx
dsHT
dxyds 2'1
pya
xa
a
H
a
xH
a
xHyHT coshcoshsinh1'1 22
Lungimea unui arc de lănţişor, măsurată de la punctul C situat pe axa verticală (de simetrie) până în punctul
curent M de coordonată x, se calculează:
(8.25)a
xadx
a
xdx
a
xdxydss
xxx
sinhcoshsinh1'100
2
0
2
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
9
În aceste condiţii, dezvoltând ecuaţia curbei (8.23) se obţine:
(8.26)
iar dezvoltarea expresiei forţei interioare (8.24) conduce la:
(8.27)
Ceea ce arată că în cazul firelor foarte întinse acţionate de greutatea proprie forma curbei de echilibru
este aproximativ aceea a unei parabole, iar forţa interioară în lungul firului poate fi considerată aproximativ
constantă.
a
xa
a
x
a
xaa
a
xay
2!4!21cosh
2
4
4
2
2
paa
x
a
xpa
a
xpapyT
!4!21cosh
4
4
2
2
În ceea ce priveşte lungimea totală a firului, aceasta se obţine dublând expresia (8.25) în care x ia valoarea
jumătăţii deschiderii l:
(8.28)2
3
5
5
3
3
24!532!3822
2sinh2
a
ll
a
l
a
l
a
la
a
laL
Aceste ultime trei expresii se scriu în mod practic în funcţie de elementele geometrice ale firului. Pentru
aceasta mărimea a se determină pe baza condiţiei de margine: pentru .fyl
x 2
Introducând această condiţie în expresia (8.26) se obţine de unde (8.29)
şi deci:
(8.26’)
(8.27’)
(8.28’)
a
lf
8
2
f
la
8
2
2
2
4x
l
fy
f
plT
8
2
l
flL
3
8 2
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
10
Ţinând cont de cele stabilite pentru firele neacţionate de sarcini exterioare, porţiunile neîncărcate de fir AM,
M’N şi N’B sunt rectilinii, iar în lungul lor forţele interioare sunt constante (respectiv de modul T1, T2 şi T3).
În concluzie, un fir acţionat de sarcini concentrate are ca formă de echilibru o linie poligonală, forţele
interioare fiind constante în laturile poligonului. Problema formei respectiv a forţelor interioare în cazul unui fir
acţionat de sarcini concentrate se rezolvă prin metode elementare ale staticii.
În cazul unui fir acţionat de sarcini concentrate nu se mai poate aplica
ecuaţia diferenţială a firelor (8.3) stabilită pentru sarcini distribuite, în
locul acesteia considerându-se ecuaţiile de echilibru scrise pentru
punctele de aplicaţie ale sarcinilor concentrate oarecare:
în care cu s-au notat forţele interioare puse în evidenţă prin
secţionările firului.
00 232121 PTTPTT
321 ,, TTT
firul fiind considerat perfect flexibil, se poate scrie
şi
BDBDi
ADADi
HM
HM
0)(
0)(
,
,
EEBEi
CCACi
fM
fM
0)(
0)(
,
,
respectiv pentru determinarea forţelor interioare
EDEDxEBiCDCDxCAi
EDyEBiCDyCAi
BEBExBiACACxAi
BEyBiACyAi
TTHTTH
TVTV
TTHTTH
TVTV
0)(0)(
0)(0)(
0)(0)(
0)(0)(
Spre exemplu, problema firului cu schema din figură se poate rezolva parcurgând următoarele etape:
iar, pentru verificare se poate folosi
sau 0)(0)( DiDi HV
BAiABi VMVM 0)(0)( şi
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
AAAxAi
AAyAi
THTH
VTV
0)(
0)(
11
În cazul firelor foarte întinse (cu tensiuni mari), cu săgeţi relativ mici, încărcate cu sarcini ce pot fi considerate
ca fiind distribuite în lungul dreptei ce uneşte punctele de suspendare (de nivel), rezolvarea se poate face de
asemenea prin metodele elementare ale staticii.
Spre exemplu, problema firului cu schema din figură se poate rezolva pe baza următoarelor ecuaţii de
echilibru:
ACACi HM 0)( ,
iar HB, fie similar, fie ţinând cont de simetrie HB = HA
BAiABi VMVM 0)(0)(
22
plPVV BA sau ţinând cont de simetrie
şi
ACCAi HTH 0)(
respectiv, de asemenea ţinând cont de simetrie
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 08 STATICA FIRELOR
12
Global, fenomenul poate fi privit după cum urmează.
Considerând firul ce trece peste scripetele din figură
ca fiind perfect flexibil, cele două porţiuni ar fi tangente
la disc în extremităţile diametrului orizontal AB. Totuşi,
din cauza rigidităţii firul va opune o rezistenţă la
trecerea de la forma dreaptă la cea curbă şi respectiv
invers, rezistenţă pusă în evidenţă prin aceea că firul
va fi tangent la disc în extremităţile unui diametru
înclinat A’B’.
Rigiditatea firelor
În natură firele nu sunt perfect flexibile, ci au o rigiditate mai mare sau mai mică de care trebuie să se ţină
seama atunci când mărimea ei influenţează în mod sensibil rezultatele calculelor.
Deci pentru situaţia reală (naturală) echilibrul va fi exprimat prin următoarea ecuaţie de momente scrisă în
raport cu axul scripetelui:
de unde
adică din cauza rigidităţii, pentru ridicarea greutăţii Q este necesară o forţă P > Q.
0)()( 12 RPRQ QR
RP
1
2
Dacă se ţine seama şi de frecarea în lagărul de susţinere al scripetelui, ecuaţia de momente trebuie
completată astfel:
în care S = P + Q este reacţiunea în punctul de sprijin, este coeficientul de frecare în lagăr, iar r este raza
fusului scripetelui.
0)()( 12 SrRPRQ
Astfel de unde (8.30)
Se observă că raportul notat cu este întotdeauna supraunitar.
0)()()( 12 QPrRPRQ QQrR
rRP
1
2
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
1
Generalităţi
Se studiază câteva dispozitive simple utilizate frecvent în tehnică şi care sunt alcătuite dintr-unul sau mai
multe corpuri având mişcări (deplasări) simple: translaţii rectilinii şi uniforme, rotaţii uniforme în jurul unor axe
(eventual axe de simetrie ale corpurilor), respectiv combinaţii de asemenea mişcări.
Sistemele de forţe ce acţionează asupra acestor corpuri trebuie să fie în echilibru, prin urmare pentru
rezolvarea problemelor respective se vor folosi procedeele şi concluziile staticii.
Pârghia
Prin pârghie se înţelege un corp rigid cu o axă fixă de rotaţie,
acţionat de două forţe, una motoare şi una rezistentă ,
care au suporturile într-un acelaşi plan normal la axa de
rotaţie şi neîntâlnind această axă.
În mod curent, pârghiile sunt realizate din bare drepte, curbe
sau cotite.
QP
Neglijând frecările, ecuaţia de momente în raport cu axa de rotaţie se scrie:
de unde (9.1)
în care cu p şi q au fost notate braţele celor două forţe faţă de axa de rotaţie.p
qQPQqPp 0
Cap.09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
Ţinând seama şi de frecările în lagăr, ecuaţia de momente devine:
(9.2)
în care au fost introduse modulul reacţiunii S, coeficientul de frecare în lagăr 1 şi raza fusului r.
01 SrQqPp
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
2
Având în vedere că modulul reacţiunii este dat de expresia:
(9.3)
în care cu s-a notat unghiul dintre suporturile celor două forţe, ecuaţia (9.2) devine:
(9.2’)
cos222 PQQPS
0cos222
1 PQQPrQqPp
Rezolvând această ecuaţie de gradul doi în P, se obţine următoarea soluţie posibilă:
(9.4)
Qrp
rpqqprrpqP
22
1
2
222
1
22
1
22
1 sincos2cos
În cazul particular când cele două forţe au suporturile paralele, adică = 0, expresia forţei motoare devine:
(9.5)Q
rp
rqP
1
1
Comparând expresiile (9.5) şi (9.1), se constată că , ceea ce ilustrează faptul că din cauza
frecării forţa motoare este în realitate întotdeauna mai mare decât cea din cazul teoretic când se neglijează
frecarea în lagăr.
p
q
rp
rq
1
1
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
3
Scripetele, sisteme de scripeţi
Scripetele este un dispozitiv alcătuit dintr-un disc circular ce prezintă pe periferie un şanţ prin care trece un
cablu sau un lanţ. Dacă axa de rotire a discului este fixă, scripetele este denumit fix, iar în cazul când axa
este mobilă, scripetele este denumit mobil.
În cazul scripetelui fix, neglijând frecările şi rigiditatea firului, ecuaţia de
echilibru în momente raportate la axa discului se scrie PR – QR = 0 (unde
R este raza discului), din care rezultă:
P = Q (9.6)
iar dacă se ţine seama atât de frecarea în lagăr cât şi de rigiditatea firului,
forţa motoare este dată de expresia:
P = Q (9.7)
Se constată că, în cazul scripetelui fix, forţa motoare P inversează sensul forţei rezistente Q, dar prezintă
dezavantajul unei valori mai mari decât a acesteia.
Se constată că scripetele mobil prezintă avantajul că forţa motoare P este
mai mică decât forţa rezistentă Q.
în care > 1 a fost stabilit în expresia (8.30): , r fiind raza fusului scripetelui, 1 coeficientul de
frecare în lagăr, iar 1 şi 2 abaterile datorate rigidităţii firului.rR
rR
11
12
În cazul scripetelui mobil, neglijând frecările şi rigiditatea firului, din
ecuaţia de echilibru în momente în raport cu axa scripetelui PR – TR = 0
rezultă că P = T, iar în continuare din ecuaţia de echilibru a forţelor în
raport cu direcţia verticală T + P – Q = 0, se obţine:
(9.8)2
QP
Ţinând seama de frecarea în lagărul scripetelui şi de rigiditatea firului, din
ecuaţia de momente se obţine P = T, iar apoi din ecuaţia de proiecţii
rezultă: (9.9)QP
1
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
4
Pentru a obţine un raport cât mai mare între forţa rezistentă Q şi forţa motoare P se pot realiza dispozitive
alcătuite din mai mulţi scripeţi, sisteme de scripeţi.
Palanul este alcătuit din doi suporţi (mufle) pe care sunt
montaţi câte n scripeţi.
Se observă că, neglijând frecările şi rigiditatea firului, forţa în tot
lungul firului este aceeaşi şi egală cu forţa motoare P.
Considerând tronsoanele de fir ca fiind aproximativ verticale,
echilibrul muflei inferioare este reprezentat de ecuaţia
2nP – Q = 0, din care rezultă: (9.10)n
QP
2
Luând în considerare frecările în lagăre şi rigiditatea firului, forţa
în fir va fi diferită pe porţiuni: T1, T2, T3, …, T2n (respectiv T1, …,
T6 în cazul prezentat în figură). Se poate scrie că între aceste
forţe există următoarele relaţii:
P = T1 , T1 = T2 , T2 = T3 , …, T2n-1 = T2n (9.11)
de unde se deduce:
(9.12)nn
PT
PT
PT
PT
2233221 ,,,,
Pentru a găsi relaţia între forţa motoare P şi cea rezistentă Q
se procedează la izolarea muflei inferioare prin secţionarea a-a.
În acest fel firul a fost secţionat în 2·n puncte (2·3 = 6 puncte în
cazul prezentat în figură).
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
5
Palanul exponenţial este un sistem alcătuit dintr-un scripete fix şi
n scripeţi mobili (3, în cazul prezentat în figură).
Se face observaţia că discurile scripeţilor au fost aici considerate de raze egale.
Din echilibrul muflei inferioare rezultă:
Q = T1 + T2 + T3 + … + T2n (9.13)
care, ţinând seama de expresiile (9.12), devine: (9.13’)PQn
232
1...
111
Însumând progresia geometrică din paranteza acestei expresii, se obţine
de unde (9.14)PQn
11
1112
QP
n
n
1
)1(2
2
În urma secţionării firelor în n puncte (conform figurii), între forţele
interioare se pot scrie următoarele relaţii în care nu se consideră
efectul frecării şi al rigidităţii:
(9.15)
Prin înlocuire dintr-o expresie în cealaltă, se ajunge la:
(9.16)
2,,
2,
2, 3
22
11
QT
TT
TTTP n
n
QP
2
Ţinând seama de frecările în lagărele scripeţilor, respectiv de
rigiditatea firelor, relaţiile dintre forţe devin:
(9.17)
cu care prin înlocuire succesivă se obţine: (9.18)
QTT
TT
TTP n1
,,1
,1
, 32
211
QPn
n
)1(
1
Având în vedere dependenţa exponenţială a raportului dintre forţa rezistentă Q şi forţa motoare P
cu numărul scripeţilor mobili n, acest sistem de scripeţi poartă denumirea de palan exponenţial.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
6
Macaraua diferenţială este un dispozitiv alcătuit din doi
scripeţi, unul fix prevăzut cu două roţi (de raze R şi r) solidare
pe acelaşi ax, respectiv unul mobil (de rază R1).
În urma izolării scripetelui mobil prin secţionarea firului în două
puncte, se pot scrie următoarele ecuaţii de echilibru, două de
momente în raport cu axele de rotaţie ale scripetelor şi una de
proiecţii în raport cu direcţia verticală pentru forţele ce
acţionează asupra scripetelui mobil:
PR + T1r – T2R = 0 , T2R1 – T1R1 = 0 şi T1 + T2 – Q = 0.
Planul înclinat
Planul înclinat este un dispozitiv care serveşte la ridicarea şi coborârea corpurilor. Mărimea forţei motoare P
necesară pentru a putea ridica cu viteză constantă un corp de greutate Q (forţă rezistentă) pe planul înclinat
cu unghiul faţă de orizontală, se obţine pe baza ecuaţiei de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu
direcţia planului.
Neglijând frecările (planul este considerat luciu), din ecuaţia de proiecţii
P - Q·sin = 0 se obţine forţa motoare: P = Q·sin (9.20)
Din sistemul de ecuaţii astfel format, se deduc atât forţele în fir
cât şi forţa motoare:
respectiv (9.19)QR
rRP
rR
PRTT
221
Dacă se ţine seama de frecarea dintre corp şi planul înclinat (planul este
considerat aspru), atunci ecuaţiei menţionate trebuie să i se alăture şi ecuaţia
de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu direcţia normală la planul înclinat.
Astfel, din ecuaţiile P – Q·sin – N = 0, respectiv N – Q·cos = 0, se obţine
forţa motoare:
(9.21)
unde reprezintă unghiul de frecare (tan = ).
cos
)sin()cos(sin
QQP
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
7
Comparând expresiile (9.20) şi (9.21) se observă că forţa motoare necesară în cazul unui plan aspru de
înclinare este mai mare decât cea necesară unui plan luciu ( = 0) de aceeaşi înclinare.
Neîndeplinirea acestei condiţii reflectă faptul că forţa necesară pentru ridicarea corpului pe planul înclinat
este egală sau mai mare decât forţa de ridicare pe verticală, deci planul înclinat îşi pierde utilitatea.
Pana
Pana este un element de îmbinare demontabilă, având forma unei prisme
triunghiulare ce se introduce prin batere între două piese (A şi B).
La nivelul suprafeţelor de contact ale panei cu piesele laterale apar forţe
normale Ni şi forţe de frecare Ti = Ni.
Notând cu 2 unghiul la vârful panei, respectiv cu P forţa de batere, ecuaţia
de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu direcţia forţei P se scrie:
-P + 2Ni·sin + 2Ni·cos = 0
de unde P = 2Ni·(sin + cos) (9.23)
Forţa Q cu care pana împinge lateral piesele A şi B pe care sprijină se
obţine pe baza unei ecuaţii de echilibru a proiecţiilor forţelor în raport cu
direcţia perpendiculară pe cea a forţei de batere. Spre exemplu, din
echilibrul piesei A, Q - Ni·cos + Ni·sin = 0, se obţine:
Q = Ni·(cos - sin) (9.24)
Dacă în cazul planului luciu se observă că întotdeauna P < Q, pentru un raport similar în cazul planului aspru
este necesar ca , ceea ce se poate scrie sin(+) < sin(90-) . Rezultă deci condiţia:
+ 2 < 90 (9.22)
1cos
)sin(
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII
8
În situaţia în care pana este scoasă dintre cele două piese A şi B, sensul forţelor de frecare se inversează,
iar în consecinţă forţa de smulgere P va fi dată de relaţia:
P = 2Q·tan(-) (9.26)
Pentru echilibrul panei, se impune ca mărimea forţei P să fie cuprinsă între valorile determinate de expresiile
(9.25) şi (9.26).
Condiţia de autofixare (odată bătută, pana să rămână fixată) se obţine impunând ca expresia (9.26) a forţei
de smulgere să fie negativă:
2Q·tan(-) 0 , de unde (9.27)
Împărţind membru cu membru expresiile (9.23) şi (9.24), se obţine relaţia de legătură dintre forţa de batere P
şi forţa de împingere laterală Q:
(9.25)
relaţie din care rezultă că, cu cât unghiurile şi sunt mai mici, cu atât forţa de împingere Q este mai mare
pentru o aceeaşi forţă de batere P.
)tan(2sincos
cossin2
QQP
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
1
Cap.10 CINEMATICA PUNCTULUI
Pentru a defini o mişcare, funcţia (10.1) trebuie să îndeplinească următoarele condiţii impuse de fenomenul
mişcării: să fie continuă (drumul parcurs de punct nu poate prezenta întreruperi), să fie uniformă (drumul nu
se poate ramifica întrucât punctul material nu poate ocupa mai multe poziţii distincte în spaţiu în acelaşi
timp), respectiv să fie finită în modul şi derivabilă (primele două derivate reprezintă mărimi fizice).
Locul geometric al poziţiilor succesive ale punctului material în mişcare se numeşte traiectorie. Aceasta poate
fi o curbă (cazul unui punct care parcurge un cerc complet şi se opreşte), un arc de curbă (punctul parcurge
un arc de cerc şi se opreşte), respectiv o succesiune de arce de curbă suprapuse (punctul parcurgând un
cerc de mai multe ori în acelaşi sens sau oscilează de mai multe ori în ambele sensuri parcurgând un acelaşi
arc de cerc).
Elemente generale
Formularea problemei generale. Despre mişcarea unui punct se poate spune că este cunoscută dacă la orice
moment t poate fi determinată poziţia punctului faţă de un reper ales. Vectorul de poziţie al punctului faţă de
originea O a reperului se defineşte ca funcţie de timp:
(10.1))(trr
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
2
În coordonate carteziene, cele trei funcţii scalare
sunt abscisa x, ordonata y şi cota z, date sub forma:
(10.2)
iar vectorul de poziţie se scrie:
unde , şi sunt versorii axelor fixe.
)(,)(,)( tzztyytxx ktzjtyitxr )()()(
kji
Ca funcţie vectorială de timp, vectorul de poziţie poate fi definit cu ajutorul a trei funcţii scalare.
În coordonate cilindrice, cele trei funcţii scalare sunt
raza polară r, unghiul polar şi cota z, date sub forma:
(10.3))(,)(,)( tzzttrr
Astfel, dacă în cazul coordonatelor carteziene se consideră de exemplu funcţiile scalare x = 2t + 1, y = 2t – 1
şi z = 3t + 2, poziţia punctului la momentul începerii mişcării, respectiv la două secunde după începerea
mişcării se determină înlocuind t = 0, respectiv t = 2 în aceste expresii. Deci la momentul t = 0 punctul
material ocupă poziţia Mo(1,-1,2), iar la momentul t = 2 s punctul material ocupă poziţia M(5,1,8). În
continuare, eliminând parametrul t între funcţiile scalare date, se obţin ecuaţiile unei drepte în spaţiu:
Adică, în cazul considerat curba suport este o linie dreaptă, iar traiectoria este o semidreaptă
ce porneşte în punctul de coordonate Mo(1,-1,2).
3
2
2
1
2
1
zyx
Relaţiile (10.2) şi (10.3) sunt considerate ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, parametrul fiind timpul t.
Ecuaţiile curbei suport a mişcării (sub formă implicită, f(x,y,z) = 0 sau f(r,,z) = 0, sau sub formă explicită z =
f1(x,y) sau z = f1(r,)) se determină eliminând parametrul t între ecuaţiile parametrice.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
3
Considerând mişcarea definită de următoarele ecuaţii parametrice:
în care a şi sunt două constante, din cea de a treia ecuaţie se constată că
mişcarea este plană (având loc în planul xOy), iar ecuaţia curbei suport a
traiectoriei este:
Deci, pentru acest caz, curba suport a mişcării punctului material este un
cerc de rază a şi centru în origine, iar traiectoria este o infinitate de cercuri
suprapuse.
0,sin,cos ztaytax
222222 )sin(cos attayx
Dacă se consideră mişcarea din planul xOy reprezentată prin ecuaţiile
parametrice:
cu o constantă, eliminarea parametrului t conduce la
Astfel curba pe care se realizează mişcarea este o parabolă având Oy axă
de simetrie şi vârful în punctul A(0,-1). Întrucât cost şi cos2t iau valori
numai între -1 şi +1, înseamnă că x şi y pot lua valori de asemenea numai
între -1 şi +1, deci curba este parabola , iar traiectoria este o
infinitate de arce suprapuse peste MoAM1 (ca mişcare oscilatorie).
tytx 2cos,cos
121cos22cos 22 xtty
12 2 xy
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
4
Pentru caracterizarea mişcării unui punct material nu este suficientă numai cunoaşterea traiectoriei acestuia
(două mobile parcurgând aceeaşi traiectorie se pot mişca diferit, unul “mai repede”, altul “mai încet”).
S-a definit viteza ca fiind mărimea vectorială a cărei expresie matematică este derivata vectorului de poziţie
în raport cu timpul:
(10.4)
Vectorul viteză este tangent la traiectorie în punctul considerat la momentul t, iar sensul lui corespunde
sensului mişcării.
)]([ 1 LTT
Lvr
dt
rdv
Se consideră două mobile care la momentul t se găsesc în acelaşi
punct M ≡ M’ pe aceeaşi traiectorie şi având aceeaşi viteză , iar
la momentul t1 > t se vor afla în puncte diferite M1 şi M1’, având
respectiv vitezele şi diferite atât ca direcţie cât şi ca mărime.
Adică în acelaşi interval de timp t1 – t, vectorii viteză au variat în mod
diferit.
Mărimea care caracterizează variaţia în timp a vectorului viteză este
acceleraţia:
(10.5)
Mărimea vectorială a cărei expresie matematică este derivata vitezei
în raport cu timpul sau derivata a doua a vectorului de poziţie în raport
cu timpul.
)][
]([ 2
2
LTT
L
T
varv
dt
vda
'vv
'11 vv
Continuând derivarea vectorului de poziţie în raport cu timpul se obţin vectori numiţi acceleraţii de ordin
superior. Astfel, derivata a treia în raport cu timpul a vectorului de poziţie, , adică derivata acceleraţiei în
raport cu timpul, reprezintă acceleraţia de ordinul doi şi aşa mai departe (acceleraţia poate fi considerată
acceleraţie de ordinul întâi).
În mecanica clasică studiul mişcării se opreşte la acceleraţia de ordinul întâi.
r
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
5
Acceleraţia se obţine derivând vectorul de poziţie de două ori în raport cu timpul, în care se ţine seama de
faptul că derivatele versorilor axelor sunt nule:
(10.8)
Deci, proiecţiile acceleraţiei pe axele de coordonate sunt:
(10.9)
kzjyixrva
zayaxa zyx ,,
Componentele vitezei şi acceleraţiei
În coordonate carteziene
Date fiind coordonatele ca funcţii de timp, x = x(t), y = y(t) şi z = z(t), vectorul de poziţie se scrie
, iar viteza se obţine prin derivarea acestuia în raport cu timpul:
(10.6)
în care s-a ţinut cont de faptul că versorii axelor sunt vectori constanţi atât ca mărime , cât şi
ca direcţie şi sens, deci derivatele lor sunt nule.
Astfel, proiecţiile vitezei pe axele de coordonate sunt:
(10.7)
kzjyixr
kzjyixrv
zvyvxv zyx ,,
1 kji
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
6
În coordonate polare
Sistemul de coordonate este plan, utilizându-se pentru studiul mişcării unui punct
ce are o traiectorie plană. Reperul este format dintr-un pol O şi axa polară Ox, iar
poziţia unui punct se defineşte prin coordonatele r = OM, raza polară, şi unghiul
polar al razei polare faţă de axa Ox.
Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:
(10.10)
ecuaţia curbei suport a mişcării obţinându-se prin eliminarea parametrului t între aceste expresii (fie f(r,) = 0,
fie r = f1()).
)(,)( ttrr
Pentru a stabili direcţiile pe care se proiectează viteza şi
acceleraţia se procedează astfel:
- se consideră pe de o parte că este constant, iar r variază.
Dreapta OM pe care se poate deplasa punctul M reprezintă una din
direcţiile de proiectare, versorul ei notându-se (în sensul de
creştere al razei vectoare);
- se consideră pe de altă parte că r = OM = constant, punctul M
putând să descrie un arc de cerc de rază OM = r. Tangenta în M la
acest arc de cerc reprezintă cea de a doua direcţie de proiectare,
versorul ei notându-se (cu originea în O şi sensul de creştere al
unghiului ).
n
Versorii şi sunt perpendiculari şi definesc axele în raport cu care se proiectează vectorii viteză şi
acceleraţie în coordonate polare. Întrucât unghiul este variabil în timpul mişcării, însemnă că aceşti versori
îşi schimbă direcţia, deci derivatele lor în raport cu timpul sunt în general ne-nule. Derivatele respective se
obţin exprimând pe şi în funcţie de proiecţiile lor pe axele fixe ale sistemului cartezian xOy:
(10.11)
n
n
jinji cossin,sincos
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
7
Prin derivare în raport cu t, şi ţinând cont de faptul că derivatele versorilor axelor carteziene sunt nule, se
obţin:
(10.12)
)sin(cossincos
)cossin(cossin
jijin
njiji
Întrucât vectorul de poziţie se poate scrie: (10.13)
viteza, determinată prin derivarea acestuia în raport cu timpul, în care se ţine seama de expresiile (10.12),
rezultă:
(10.14)
Astfel, componentele vitezei în coordonate polare sunt:
(10.15)
rr
nrrrrrv
rvrv n ,
Derivând expresia vitezei (10.14) în raport cu timpul se obţine expresia acceleraţiei:
care, în urma introducerii expresiilor (10.12), conduce la:
(10.16)
Deci componentele acceleraţiei în coordonate polare sunt:
(10.17)
nrnrnrrra
nrrrrrnrnrnrra )2()( 2
rrarra n 2,2
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
8
În triedrul lui Frenet
După cum se ştie, triedrul lui Frenet este mobil, având originea în
punctul M, iar axele: tangenta la curbă, de versor în sensul de
creştere al arcului s, normala principală (în planul osculator al curbei),
de versor înspre centrul de curbură, respectiv binormala (normala
perpendiculară pe planul osculator al curbei), de versor .
Triedrul lui Frenet este caracterizat de următoarele relaţii diferenţiale:
în care reprezintă raza de curbură în punctul considerat.
1,
ds
d
ds
rd
Triedrul lui Frenet se utilizează atunci când traiectoria punctului material
este dată prin ecuaţia intrinsecă de forma:
(10.18)
în care s este arcul de curbă măsurat de la un punct fix dat M0 considerat origine a arcelor.
Mişcarea pe curba este definită de funcţia scalară:
(10.19)
numită ecuaţia orară a mişcării.
)(srr
)(tss
Prin derivarea vectorului de poziţie în raport cu timpul se obţine viteza:
(10.20)
Deci componentele vitezei pe axele triedrului lui Frenet sunt:
(10.21)
sdt
ds
ds
rdrv
0,0, vvvsv
Se observă (aşa cum de altfel este cunoscut din definiţie) că viteza este dirijată după tangenta
la traiectorie, iar scalarul ei este .sv
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
9
Derivând vectorul viteză se obţine acceleraţia:
de unde, ţinând seama de faptul că:
(10.22)
rezultă:
(10.23)
Astfel, componentele acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet sunt:
(10.24)
ssva
ss
dt
ds
ds
d
1
22 v
vs
sa
0,,22
avs
avsa
Se observă că acceleraţia are în cazul general proiecţii numai pe tangentă şi pe normala principală, deci
vectorul său este conţinut în planul osculator la curbă în M.
De asemenea se observă că acceleraţia tangenţială a poate fi pozitivă sau negativă (după cum este semnul
derivatei vitezei), dar acceleraţia normală a poate fi numai pozitivă (în sensul lui ), deci centripetă, întrucât
atât pătratul vitezei cât şi sunt cantităţi pozitive.
Dacă acceleraţia tangenţială într-un anumit interval de timp este nulă, însemnă că derivata scalarului vitezei
în raport cu timpul este nulă adică scalarul vitezei este o constantă (nu se schimbă). Această mişcare în care
punctul material parcurge arce egale în intervale de timp egale poartă denumirea de mişcare uniformă. Se
face observaţia că în cazul mişcării uniforme curbilinii ( ), acceleraţia nu este nulă întrucât are
componenta , datorită variaţiei direcţiei vitezei.
01
0
2
va
a
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
10
Exemple:
în mişcarea rectilinie de ecuaţie x = 3t + 7, punctul mobil are viteza v0 = 3,
iar la momentul iniţial se află în poziţia dată de x0 = 7;
pentru ecuaţia x = -4t + 10, viteza punctului mobil este v0 = -4 (în sens
invers axei), iar la momentul iniţial se află la x0 = 10;
Mişcări particulare ale punctului
a. Mişcarea unui punct este rectilinie şi uniformă dacă punctul se deplasează pe o linie dreaptă, scalarul
vitezei rămânând constant.
Datele problemei sunt: vx = v0 = const., y = 0, z=0 (10.25)
din care prin integrare se obţine: (10.26)100 Ctvdtvx Constanta de integrare C1 se determină din condiţia ca la momentul iniţial t = 0 punctul să se afle în poziţia
x0: x(t=0) = x0 = 0 + C1 C1 = x0
şi deci ecuaţia mişcării rectilinii (ecuaţia spaţiului) este:
x = v0t + x0 (10.27)
pentru ecuaţia x = t - 4, viteza punctului mobil este v0 = 1, iar la momentul
iniţial se află la x0 = -4.
În mod convenţional, funcţia (10.27) se reprezintă grafic,
obţinându-se diagrama mişcării rectilinii uniforme.
Ordonata la origine reprezintă spaţiul iniţial, iar tangenta
unghiului de înclinare reprezintă viteza punctului mobil
.0tan vx
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
11
Constantele de integrare C1 şi C2 se determină ştiind că la momentul iniţial t = 0 punctul se află în poziţia x0,
când are viteza v0: x(t=0) = x0 = 0 + 0 + C2 v(t=0) = v0 = 0 + C1 C1 = v0, C2 = x0.
b. Mişcarea unui punct este rectilinie uniform variată dacă punctul se deplasează pe o linie dreaptă astfel
încât scalarul acceleraţiei sale rămâne constant.
Datele problemei sunt: ax = a = const., y = 0, z = 0 (10.28)
din care prin integrare succesivă se obţine:
(10.29)21
2
112
)( CtCt
adtCatxCatdtax
Astfel, ecuaţia spaţiului în mişcarea rectilinie uniform variată este:
(10.30)
iar ecuaţia vitezei este:
(10.31)
00
2
2
1xtvatx
0vatv
Eliminând parametrul t între aceste relaţii se obţine expresia vitezei ca funcţie de spaţiu:
(10.32)
(10.33)
)(2
2
2
1
0
2
0
2
0
2
0
00
0
2
00
xxavv
a
vvxx
xa
vvv
a
vvax
a
vvt
Dacă punctul mobil pleacă din origine (x0 = 0) şi fără viteză iniţială (v0 = 0) ecuaţiile mişcării rectilinii uniform
variate devin:
(10.30’)
- formula lui Toricelli (10.31’)axv
a
vx
2
2
2
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
12
În funcţie de sensul relativ al vitezei şi acceleraţiei (deci în funcţie de semnul scalarilor lor), mişcarea uniform
variată poate fi accelerată sau întârziată. Astfel, dacă acceleraţia are acelaşi sens cu viteza (scalarul
acceleraţiei are acelaşi semn cu cel al vitezei), mişcarea este accelerată, iar dacă nu, este întârziată.
c. Mişcarea unui punct pe un cerc, circulară, se studiază în mod uzual
utilizând proiecţiile vectorilor viteză şi acceleraţie pe axele triedrului lui Frenet.
Se consideră ca funcţie de timp unghiul închis de raza OM, corespunzătoare
poziţiei oarecare a mobilului, cu raza origine OM0:
= (t) (10.34)
Având în vedere relaţia dintre unghiul şi arcul s, s = R, ecuaţia orară
(10.19) se poate scrie în cazul mişcării circulare:
s = R·(t) (10.35)
Exemple:
mişcarea de ecuaţie este accelerată pentru t > 0 întrucât
a = 3, v0 = 0 şi v = 3t (de acelaşi semn cu a);
2
2
3tx
mişcarea de ecuaţie este tot accelerată pentru t > 0
întrucât a = -3, v0 = 0 şi v = -3t (de acelaşi semn cu a);
2
2
3tx
mişcarea de ecuaţie este întârziată în intervalul
0 ≤ t < 2s întrucât în acest interval a = -4, v0 = 8 şi v = -4t + 8 (de
semn invers cu a), iar mai apoi, pentru t > 2s este accelerată
pentru că v devine negativă (de acelaşi semn cu scalarul a).
ttx 82 2
În ceea ce priveşte diagrama mişcării uniform variate, aceasta este o parabolă de gradul doi în t, panta curbei
într-un punct oarecare fiind viteza punctului mobil la momentul respectiv: .0tan vatvx
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
13
În cazul unei mişcări circulare uniforme, scalarul v rămâne constant, deci şi scalarul vitezei unghiulare este
constant. Astfel, prin integrarea relaţiilor (10.37) se obţine (în urma determinării constantei de integrare):
= 0t + 0 = 0 (10.38)
unde = 0 este viteza unghiulară constantă, iar 0 este unghiul la momentul iniţial.
Expresiile componentelor vitezei şi acceleraţiei (10.21 şi 10.24) devin:
(10.36)
în care raza de curbură este R, respectiv au fost folosite notaţiile
(10.37)
având semnificaţia de viteză unghiulară, respectiv acceleraţie unghiulară:
2222
R
R
RvaRRsaRRsv
tdt
d
tdt
d
tt
00limlim
Ecuaţiile dimensionale pentru şi sunt:
care în SI se exprimă în radiani pe secundă, respectiv radiani pe secundă la pătrat.
21
1
][
][][
1
][
][][
T
T
T
tT
Tt
În cazul unei mişcări circulare uniform variate, scalarul a rămâne constant, deci şi scalarul acceleraţiei
unghiulare este constant. Prin integrarea relaţiilor (10.37) se obţine (în urma determinării constantelor de
integrare):
(10.39)
unde = 0 este acceleraţia unghiulară constantă, iar 0 şi 0 sunt valorile corespunzătoare momentului
iniţial.
0000
2
02
1 ttt
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
14
d. Mişcarea pe cicloidă este cea descrisă de un punct
de pe periferia unui disc circular atunci când discul se
rostogoleşte fără să alunece pe o dreaptă în planul său.
Se consideră că centrul discului se deplasează uniform.
Condiţia de rostogolire fără alunecare se exprimă:
OI = arcMI (10.40)
Coordonatele punctului M la un moment oarecare t relativ la sistemul de axe cartezian (considerat în figură)
se scriu:
x = OM1 = OI – M1I = arcMI – MM2 = R – Rsin y = MM1 = IC – CM2 = R – Rcos (10.42)
acestea reprezentând ecuaţiile parametrice ale cicloidei.
Introducând expresia (10.41), se obţine exprimarea acestor ecuaţii în funcţie de timpul t:
x = R(t – sint) y = R(1 – cost) (10.43)
Se observă că OI = C0C = v0t, respectiv arcMI = R. Introducând aceste relaţii în (10.40) şi având în vedere
că v0 = R (prima relaţie 10.36), se obţine:
R = v0t de unde (10.41)ttR
v 0
Componentele vitezei şi acceleraţiei punctului M se obţin prin derivarea succesivă a expresiilor (10.43):
(10.44)
(10.45)tRya
tRxa
tRyv
tRtRRxv
y
x
y
x
cos
sin
sin
)cos1(cos
2
2
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
15
e. Mişcarea uniformă de viteză v0 a unui punct mobil
pe o elice de pas p, pe un cilindru circular drept de
rază R.
În coordonate carteziene corespunzătoare sistemului
de axe considerat în figură:
la momentul t punctul mobil se află în poziţia M pentru
care se observă arcA0M = A0M şi M1M = A0M1tan, iar
coordonatele sunt
x = OM1cos = Rcos
y = OM1sin = Rsin (10.47)
z = MM1 = A0M1tan = arcA0M1tan = R tan
În urma desfăşurării cilindrului se obţine o succesiune
de segmente de dreaptă, paralele între ele, ce fac cu
orizontala unghiul :
(10.46)R
p
2tan
proiecţiile vitezei în raport cu axele sistemului se obţin:
(10.48)
cu care modulul vitezei punctului mobil rezultă:
(10.49)
tancossin RzvRyvRxv zyx
costancossin 222222
R
Rvvvv zyx
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 10 CINEMATICA PUNCTULUI
16
Funcţia = (t) se determină punând condiţia ca modulul vitezei să fie o mărime constantă v0:
de unde (10.50)R
vv
Rv
cos
cos
00
Notând această mărime constantă , prin integrare (şi în urma stabilirii constantei de integrare) se
ajunge la = 0t + 0. Având în vedere că la momentul t = 0 punctul mobil pleacă din poziţia A0, înseamnă că
0 = 0, deci
= 0t (10.51)
0
Astfel proiecţiile vitezei pe axe devin:
vx = -R0sin0t vy = R0cos0t vz = R0tan (10.52)
iar prin derivarea lor în raport cu t, se obţin proiecţiile acceleraţiei:
ax = -R02cos0t ay = -R0
2sin0t az = 0 (10.53)
respectiv modulul acceleraţiei:
(10.54)2
0
222Raaaa zyx
În coordonate intrinseci corespunzătoare triedrului lui Frenet, ecuaţia orară a mişcării uniforme (10.19) se
scrie:
s = v0t + s0 (10.55)
care prin derivare succesivă conduce la componentele:
(10.56)
unde este raza de curbură a elicei.
2
0
2
0 0vs
asavsv
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
1
Definirea unui anumit punct P al rigidului presupune cunoaşterea coordonatelor sale în raport cu un sistem
de referinţă solidar cu rigidul, spre exemplu sistemul Oxyz ce formează triedrul mobil T. Întrucât punctul P nu
îşi schimbă poziţia relativ la acest sistem, coordonatele x, y şi z rămân constante pe parcursul mişcării.
Relativ la un sistem O1x1y1z1, ce formează triedrul fix T1, coordonatele x1, y1 şi z1 ale punctului P sunt
variabile în timpul mişcării.
Elemente generale
Formularea problemei generale. Mişcarea unui solid rigid este definită
atunci când se cunosc în orice moment poziţia, viteza şi acceleraţia unui
punct oarecare P al rigidului în raport cu un reper fix T1 (triedrul fix
O1x1y1z1). Aparent numărul necunoscutelor este foarte mare (câte trei
coordonate pentru fiecare punct al solidului), dar ţinând cont de condiţia
de rigiditate (distanţa între două puncte oarecare rămâne constantă),
numărul necunoscutelor independente este de fapt mult mai mic.
Poziţia triedrului mobil T relativ la triedrul fix T1 este determinată în fiecare moment t prin vectorul de poziţie
al originii O şi prin versorii axelor Ox, Oy şi Oz: .)(,)(,)(,)(00 tkktjjtiitrr
Cap.11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
Poziţia punctului P este definită faţă de sistemul de axe mobil prin vectorul de poziţie , respectiv faţă de
sistemul de axe fix prin vectorul de poziţie . Între vectorii de poziţie există următoarea relaţie:
(11.1)
r
1r
kzjyixrrrr 001
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
2
Întrucât coordonatele x, y şi z sunt cunoscute (punctul pentru care se caută să se determine mişcarea este
dat), înseamnă că necunoscutele problemei sunt numai funcţiile vectoriale şi
fiecare introducând câte trei necunoscute scalare (proiecţiile pe axe). Astfel numărul total de
necunoscute scalare este 12, dar nici acestea nu sunt independente. Versorii axelor unui triedru ortogonal
au modulul egal cu unitatea şi sunt ortogonali doi câte doi:
(11.2)
)(),(),(00 tjjtiitrr
)(tkk
000
111 222
ikkjji
kji
Semnificaţia vectorilor se determină pe baza proiecţiilor acestora pe axele triedrului mobil T
(produsul scalar dintre vector şi versorul axei în raport cu care se scrie proiecţia):
(11.4)
Aceste produse scalare sunt puse în evidenţă prin derivarea relaţiilor (11.2) în raport cu timpul:
(11.5)
Se observă că din cele nouă proiecţii trei sunt nule, iar celelalte şase sunt două câte două egale în modul şi
de semn schimbat, putând fi scrise:
(11.6)
unde x, y şi z sunt trei mărimi scalare.
kji ,,
kkjkik
kjjjij
kijiii
,,
,,
,,
0,0,0,02,02,02 ikikkjkjjijikkjjii
zyx jijiikikkjkj ,,
Distribuţia vitezelor. Viteza punctului P al rigidului în raport cu triedrul fix T1 se obţine prin derivarea expresiei
(11.1) în raport cu timpul:
(11.3)
în care reprezintă viteza punctului origine a triedrului mobil ( ), iar derivatele coordonatelor x, y şi z
(mărimi constante) sunt nule.
kzjyixrkzjyixkzjyixrrrrv 0001
0r
0v
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID
3
Deci tabloul (11.4) este antisimetric în raport cu diagonala principală şi poate fi scris:
(11.7)
0
0
0
xy
xz
yz
iar în consecinţă rezultă expresiile:
(11.8)jikkijkji xyxzyz ,,
Interpretând scalarii x, y, z drept proiecţii ale unui vector , atunci expresiile
reprezentate de tabloul (11.7) se pot scrie:
- formulele lui Poisson (11.9)
kji zyx
kkjjii ,,
Introducând aceste formule în relaţia (11.3) se obţine:
(11.10)
- formula lui Euler pentru distribuţia de viteze într-un rigid.rvkzjyixv
kzjyixvkzjyixvrvv
00
000
)(
)()()(
Distribuţia acceleraţiilor. Derivând expresia (11.10) în raport cu timpul se obţine acceleraţia punctului
oarecare P al rigidului:
(11.11)
în care reprezintă acceleraţia originii triedrului mobil ( ).
rrvva 0
0v0a
Notând totodată , respectiv ţinând cont de faptul că , se ajunge la:
(11.12)
- formula lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii într-un rigid.
rr
)(0 rraa
MECANICA CONSTRUCŢIILOR
An I – Inginerie Civilăsem.2, 14 săptămâni
nr.ore: 2c+2s / săpt.
nr. credite: 5,
mod de verificare a cunoştinţelor: E + NA
Facultatea de Hidrotehnică, U.P. Timişoara ş.l.dr.ing. Şerban-Vlad NICOARĂ
Februarie 2007
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 00 CUPRINS
2
CUPRINSCap.01 INTRODUCERE – Obiectul Mecanicii Construcţiilor; Spaţiu şi timp; Sistem de referinţă; Viteza,
acceleraţia; Masa; Impulsul; Interacţiunea mecanică, forţa; Principiile mecanicii; Lucrul mecanic; Energia cinetică;
Diviziunile mecanicii; Mărimi fizice; Unităţi de măsură.
STATICA
Cap.02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL – Punct material liber; punct material supus la legături; Sisteme de
forţe concurente; Condiţia de repaus; Axioma legăturilor; Legături ideale; Legături cu frecare.
Cap.03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI – Caracterul de vector alunecător; Momentul unui vector în
raport cu un punct, respectiv în raport cu o axă; Sisteme de vectori alunecători; Invarianţi, vector rezultant, vector
moment rezultant; Reducerea sistemelor de vectori alunecători; Sisteme particulare de vectori alunecători.
Cap.04 CENTRUL MASELOR – Centru de greutate; Proprietăţi; Momente statice; Centrul maselor la corpuri
omogene.
Cap.05 STATICA RIGIDULUI – Rigidul liber, condiţii de echilibru, probleme; Rigidul supus la legături fără frecare:
generalităţi, reazemul simplu (mobil), articulaţia, încastrarea, condiţii de echilibru, determinarea grafică a
recţiunilor; Rigidul supus la legături cu frecare.
Cap.06 SISTEME DE CORPURI – Generalităţi; Condiţia de echilibru; Teoreme; Statica sistemelor.
Cap.07 SISTEME DE BARE ARTICULATE – Generalităţi, ipoteze simplificatoare; Metoda izolării nodurilor;
Metoda secţiunilor.
Cap.08 STATICA FIRELOR – Generalităţi; Ecuaţia generală, ecuaţii diferenţiale; Fir neacţionat de sarcini
exterioare, acţionat de sarcini normale, acţionat de greutatea proprie (lănţişorul), acţionat de sarcini concentrate;
Rigiditatea firelor.
Cap.09 APLICAŢII TEHNICE ALE STATICII – Generalităţi; Pârghia; Scripetele, sisteme de scripeţi; planul
înclinat; pana.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 00 CUPRINS
3
CINEMATICA – mişcarea în raport cu un sistem de referinţă fix
Cap.10 CINEMATICA PUNCTULUI – Elemente generale; Componentele vitezei şi acceleraţiei; Mişcări
particulare.
Cap.11 CINEMATICA SOLIDULUI RIGID – Elemente generale; Mişcări particulare; Mişcarea generală.
DINAMICA
Cap.12 DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER – Formularea problemelor generale; Mişcarea punctului
material liber sub acţiunea greutăţii proprii; Mişcarea punctului material liber sub acţiunea unei forţe centrale.
Cap.13 TEOREMELE GENERALE ÎN CAZUL PUNCTULUI MATERIAL – Teorema impulsului; teorema
momentului cinetic; Teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic; Teoreme de conservare.
Cap.14 DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI – Generalităţi; Studiul calitativ a mişcării
pendulului simplu, respectiv pendulului sferic.
Cap.15 DINAMICA MIŞCĂRII RELATIVE A PUNCTULUI MATERIAL – Ecuaţia fundamentală, forţe
complementare; Sisteme inerţiale; Forţe complementare la suprafaţa Pământului (Pendulul Foucault); Repausul
relativ.
Cap.16 TEOREME GENERALE ÎN CAZUL SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE – Teorema impulsului;
Teorema momentului cinetic; Teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic; Putere mecanică, randament
mecanic.
Cap.17 MOMENTE DE INERŢIE – Generalităţi; Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele, respectiv
în raport cu axe concurente; Direcţii principale de inerţie, momente de inerţie principale; Rază de inerţie.
Cap.18 DINAMICA RIGIDULUI CU AXĂ FIXĂ – Ecuaţii de mişcare.
Cap.19 DINAMICA RIGIDULUI CU PUNCT FIX – Generalităţi; Relaţii; Ecuaţii de mişcare; Cazuri integrabilitate.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 00 CUPRINS
4
Cap.20 DINAMICA MIŞCĂRII GENERALE A RIGIDULUI – Ecuaţii generale.
Cap.21 MIŞCĂRI IMPULSIVE, CIOCNIRI – Generalităţi; teoremele generale ale dinamicii în cazul mişcărilor
impulsive; Ciocnirea centrală a două sfere; Ciocnirea unui solid liber având o mişcare oarecare.
VIBRAŢII MECANICE
Cap.22 ELEMENTE DE CINEMATICA VIBRAŢIILOR – Mişcarea periodică; Vibraţie armonică;Vibraţie modulată
în amplitudine, respectiv în frecvenţă; Compunerea vibraţiilor; Analiza armonică.
Cap.23 VIBRAŢII LINIARE CU UN GRAD DE LIBERTATE – Grade de libertate; Vibraţia liniară liberă
neamortizată; Vibraţia liniară liberă amortizată; Vibraţia liniară forţată fără amortizare; Vibraţia liniară forţată cu
amortizare; Impedanţa mecanică; Transmisibilitatea; Generalităţi privind combaterea efectelor dăunătoare ale
vibraţiilor; Noţiuni de teoria instrumentelor seismice.
Cap.24 VIBRAŢII LINIARE CU UN NUMĂR FINIT DE GRADE DE LIBERTATE – Vibraţii liniare libere fără
amortizare; Vibraţii liniare libere cu amortizare; Vibraţii liniare forţate.
Cap.25 VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE – Generalităţi; Coarda vibrantă; Vibraţiile longitudinale ale unei
bare elastice rectilinii; Vibraţiile la răsucire ale barei drepte; Vibraţiile la încovoiere ale barei drepte.
Cap.26 STABILITATEA MIŞCĂRII – Generalităţi; Stabilitatea unui sistem conservativ; Stabilitatea sistemelor
neliniare; Stabilitatea sistemelor neautonome.
Cap.27 VIBARŢII PARAMETRICE – Generalităţi; Stabilitatea vibraţiilor parametrice.
Cap.28 VIBARŢII NELINIARE – Generalităţi; Metode de determinare a perioadei vibraţiilor neliniare libere
neamortizate.
Cap.29 AUTOVIBRAŢII – Generalităţi; Autovibraţii produse de acţiunea rezistenţei aerului şi a portanţei;
Autovibraţii neliniare, vibraţii de relaxare.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
1
Cap.01 INTRODUCERE
Obiectul Mecanicii Construcţiilor
În mecanica teoretică clasică se studiază corpurile materiale, acestea aflându-se într-o permanentă
stare de mişcare.
Mişcare = orice schimbare, proces, care are loc în univers, începând cu mişcarea mecanică,
continuând cu mişcarea fizică, chimică şi biologică.
Mecanica teoretică clasică este ştiinţa naturii care studiază forma cea mai simplă de mişcare a
materiei, care constă din deplasarea relativă a corpurilor materiale “macroscopice” sau a unor părţi din
aceste corpuri. Se menţionează că studiul se limitează la acele deplasări care au loc cu viteze
neglijabile în raport cu aceea de propagare a undelor electromagnetice (respectiv a luminii) în vid.
Spaţiu şi timp
Pentru fenomenele care formează obiectul mecanicii clasice se consideră ca fiind satisfăcătoare:
- modelul spaţiului euclidian tridimensional E3 pentru spaţiul fizic – omogen, izotrop şi infinit, cu
metrica , respectiv
- modelul euclidian unidimensional E1 pentru timpul fizic – omogen, uniform, infinit şi variind într-un
singur sens.
2222 dzdydxds
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
2
Sistem de referinţă
Pentru a defini deplasarea unui corp, aceasta trebuie raportată la un alt corp care va fi denumit reper sau
sistem de referinţă. În principiu orice corp considerat rigid poate servi ca sistem de referinţă pentru o
mişcare mecanică.
Cel mai vechi sistem de referinţă folosit este sistemul geocentric (Ptolomeu), în care mişcările corpurilor
sunt raportate la Pământ, considerat fix.
Un alt sistem de referinţă, fundamentat ştiinţific, este sistemul heliocentric (Copernic) în care mişcările
corpurilor sunt raportate la Soare, considerat fix.
Având în vedere că rotaţia Pământului atât în jurul axei sale cât şi în jurul Soarelui sunt destul de lente, se
poate considera că pentru nevoile curente ale tehnicii (mecanicii clasice) sistemul geocentric conduce la
rezultate absolut satisfăcătoare în studiul mişcărilor mecanice ce au loc la suprafaţa Pământului (abaterile de
la legile lui Newton sunt foarte mici).
Viteza, acceleraţia
Se consideră deplasarea în raport cu un sistem de referinţă a unui
corp M de dimensiuni neglijabile, în mişcarea sa corpul ocupând
diferite poziţii.
Locul geometric al tuturor poziţiilor ocupate de corp poartă numele
de traiectorie.
Considerând pe traiectorie două poziţii infinit vecine M şi M’ pe
care corpul le ocupă la momentele t şi t+t, mărimea
reprezintă viteza medie în intervalul de timp (t, t+ t).t
arcMM
'
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
3
Când t tinde către zero se ajunge la noţiunea de viteză în punctul M, căreia i se atribuie în mod
convenţional o direcţie – tangentă la traiectorie – şi un sens – acela al mişcării:
(0.1) Întrucât se obţine
(0.1’) viteza unui corp într-un punct este egală cu derivata vectorului de
poziţie a acelui punct în raport cu timpul.
t
MMv
t
'lim
0
)()('' trttrOMOMMM
dt
rdv
Considerând vitezele corpului în cele două poziţii M şi M’,
diferenţa lor este
Împărţind această diferenţă cu intervalul de timp t se obţine o
mărime ce măsoară iuţeala cu care viteza variază în unitatea de
timp, denumită acceleraţie medie a corpului în intervalul de timp
(t, t+ t).
Când t tinde către zero se obţine acceleraţia în punctul M:
(0.2)
acceleraţia unui corp într-un punct este egală cu derivata a
doua a vectorului de poziţie a acelui punct în raport cu timpul.
)()( tvttvv
2
2
0lim
dt
rd
dt
vd
t
va
t
Se observă că acceleraţia poate fi nulă numai în cazul în care viteza este constantă, adică atunci când atât
direcţia cât şi modulul acesteia rămân constante în intervalul de timp t (cazul mişcării rectilinii şi uniforme).
a v
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
4
Masa
Se defineşte (Newton):
Cantitatea de materie m – numită masă – este dată prin produsul dintre densitatea şi volumul V al acesteia:
(0.3)
Se va considera că masa este o caracteristică constantă a unui corp.
Vm
Impulsul
Prin definiţie (Newton):
Cantitatea de mişcare – numită impuls – este dată de produsul dintre cantitatea de materie m şi viteza
a acesteia: (0.4)
În cazul unui sistem de puncte materiale de mase mi şi de viteze (cu i = 1,n), mişcarea mecanică este
caracterizată prin vectorul:
(0.4’)
H v
vmH
n
i
iivmH1
iv
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
5
Interacţiunea mecanică, forţa
Variaţia a impulsului unui sistem de puncte materiale într-un interval de timp t indică faptul că asupra
sistemului a fost exercitată o interacţiune mecanică. Atunci când pentru variaţia impulsului (măsura
interacţiunii mecanice într-un interval de timp) se consideră că t tinde către zero, se ajunge la noţiunea
de măsura a interacţiunii mecanice exercitate la un moment dat:
(0.5)
dt
Hd
t
H
t
0lim
H
Astfel, mărimea fizică vectorială care măsoară interacţiunea mecanică la un moment dat poartă
denumirea de forţă. În cazul unui corp material de dimensiuni neglijabile forţa depinde de poziţia sa, de
viteză şi de timp:
(0.6)),,( tvrFF
În sistemul cartezian de coordonate, proiecţiile vectorului forţă se vor scrie ca funcţii de coordonatele
punctului, de proiecţiile vectorului viteză pe axe şi de timp:
(0.6’)
),,,,,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
tdt
dz
dt
dy
dt
dxzyxZZ
tdt
dz
dt
dy
dt
dxzyxYY
tdt
dz
dt
dy
dt
dxzyxXX
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
6
Principiile mecanicii
Formulate de către Isaac Newton sub denumirea de “Axiomele sau Legile mişcării”, principiile mecanicii se
enunţă astfel:
Legea I. Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare uniformă în linie dreaptă, dacă nu
este constrâns să-şi schimbe starea de către forţe imprimate.
Legea II. Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este dirijată după linia
dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa.
Legea III. Reacţiunea este totdeauna contrară şi egală cu acţiunea, respectiv acţiunile reciproce a două
corpuri sunt totdeauna egale şi dirijate în sensuri contrare.
La aceste legi sunt adăugate o serie de corolare, dintre care se citează:
Corolarul I. Un corp sub acţiunea a două forţe unite descrie diagonala unui paralelogram în acelaşi timp
în care ar descrie laturile sub acţiunile separate ale forţelor.
Observaţii
1) În formularea legilor mişcării, denumirea de corp are sensul de punct material. Un corp de formă şi
dimensiuni ce nu pot fi neglijate va avea, atunci când nu este acţionat de nici o forţă, o mişcare mai
complicată decât cea de translaţie rectilinie şi uniformă.
2) Enunţurile formulate presupun că mişcarea este raportată la un sistem de referinţă absolut şi imobil.
3) Cea de a doua lege poate fi scrisă: sau, având în vedere că masa este
considerată constantă, respectiv considerând acceleraţia punctului material:
(0.7)
Fdt
vmd
dt
Hd
)(
Fam
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
7
Lucrul mecanic
Lucrul mecanic al unei forţe de modul şi direcţie constante în parcurgerea unei deplasări rectilinii de aceeaşi
direcţie poate fi scris sub forma produsului scalar .'AAF
În cazul unei forţe variabile al cărei punct de aplicaţie descrie o
traiectorie AB, divizată printr-un număr de puncte A1, A2, …, An,
lucrul mecanic se poate scrie în mod aproximativ de-a lungul
liniei poligonale AA1A2…AnB considerând că pe fiecare porţiune
forţa rămâne constantă ca modul şi direcţie:
Atunci când numărul punctelor de diviziune tinde către infinit,
lungimile laturilor liniei poligonale tind către zero, iar expresia
exactă a lucrului mecanic se obţine sub forma unei integrale
curbilinii:
(0.8)
BAFAAFAAFAAFAAF nnnnn 1132221110
ABAB
dzZdyYdxXrdFL )(
unde produsul scalar poartă denumirea de lucru mecanic elementar, este
forţa, X, Y şi Z sunt proiecţiile acesteia pe axele 0x, 0y şi 0z ale unui sistem ortogonal, este vectorul de poziţie
al punctului ei de aplicaţie, deplasarea elementară a punctului, iar dx, dy şi dz sunt proiecţiile deplasării pe
axe.
dzZdyYdxXrdF Fr
rd
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
8
Energia cinetică
Plecând de la expresia lucrului mecanic, pentru un singur punct material în parcurgerea unei traiectorii A0A se
poate scrie:
în care s-a notat mărimea scalară (0.9)
ce poartă denumirea de energia cinetică a punctului material considerat.
0
22
00
000
0000
)2
1()
2
1(
EEEEdE
mvdvmdvdvm
dt
rdvmdrd
dt
vdmrdamrdFL
AAAA
AAAAAA
AAAAAAAA
2
2
1mvE
În cazul unui sistem de n puncte materiale, energia cinetică este dată de expresia:
(0.9’)
n
i
iivmE1
2
2
1
Se observă că dacă se presupune că , rezultă că .00 E LE
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
9
Diviziunile mecanicii
În mod clasic, mecanica se compune din următoarele trei părţi:
Statica – în care se face abstracţie de mişcare şi se studiază forţele ce acţionează asupra unui corp sau
sistem de corpuri, determinându-se clasa sistemelor de forţe echivalente. De asemenea statica se ocupă cu
subclasa sistemelor de forţe care îşi fac echilibrul.
Cinematica – în care se studiază mişcarea corpurilor, făcând abstracţie de forţele care acţionează asupra lor.
Dinamica – în care se studiază mişcarea corpurilor sub acţiunea forţelor care acţionează asupra lor.
Mărimi fizice
În vederea dezvoltării noţiunii de mărime fizică sunt necesare trei condiţii pe care trebuie să le îndeplinească
o mulţime de obiecte fizice de aceeaşi natură pentru ca acestea să fie considerate din punctul de vedere al
unei anumite însuşiri:
a) posibilitatea stabilirii unei relaţii de echivalenţă, a unui criteriu care să permită repartizarea obiectelor
respective în clase de echivalenţă;
b) posibilitatea stabilirii unei relaţii de ordonare între clasele de echivalenţă, a unui criteriu prin care să se
aprecieze dacă, în ceea ce priveşte o însuşire oarecare, obiectele aparţinând unei clase sunt mai mari sau
mai mici decât obiectele aparţinând altei clase;
c) posibilitatea stabilirii unui criteriu de comparaţie care să permită şi stabilirea faptului de câte ori sunt mai
mari sau mai mici obiectele dintr-o anumită clasă de echivalenţă faţă de cele din altă clasă de echivalenţă.
Exemplu: obiecte fizice FORŢELE
însuşiri DIRECŢIA – stabileşte o relaţie de echivalenţă ce grupează în aceeaşi clasă forţele de
aceeaşi direcţie (paralele);
INTENSITATEA – stabileşte o relaţie de ordonare în funcţie de efectul (deformaţia)
produs de fiecare forţă.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
10
În ceea ce priveşte criteriul de comparaţie, se fac două convenţii: convenţia de intensitate zero (atunci când
efectul, deformaţia produsă, este nul, adică nu acţionează nici o forţă) şi convenţia de intensitate egală cu
unitatea.
Pe baza criteriului de comparaţie, fiecărei clase de mărimi fizice i se atribuie un număr abstract – valoare
numerică n a intensităţii – astfel încât o mărime fizică poate fi considerată ca un produs între valoarea
numerică atribuită şi unitatea de măsură: M = n·U.
Unităţi de măsură
Mărimile fizice din natură nu sunt independente, între ele subzistând anumite relaţii.
Se pot distinge totuşi câteva mărimi fizice independente – numite mărimi primitive sau fundamentale – în
funcţie de care toate celelalte mărimi – numite derivate – pot fi exprimate prin relaţii.
În consecinţă unităţile de măsură vor fi grupate în unităţi de măsură primitive sau fundamentale şi unităţi
de măsură derivate, toate alcătuind un sistem de unităţi de măsură. În funcţie de mărimile primitive
considerate, respectiv în funcţie de unităţile de măsură considerate pentru aceste mărimi, există diferite
sisteme de unităţi de măsură: sistemul fizic (mărimi primitive: lungime, durată, masă), sistemul tehnic (mărimi
primitive: lungime, durată, forţă), sistemul CGS (unităţi primitive: centimetrul, secunda, gramul), sistemul
internaţional SI (unităţi primitive: centimetrul, secunda, kilogramul).
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
Mărimea Simbol DimensiuniUnitate de măsură
notaţie denumire1 2 3 4 5
a) Mărimi primitive (fundamentale)
Lungime l L m metru
Timp (durată) t T s secundă
Masă m M kg kilogram
b) Mărimi derivate
Arie A; S L2 m2 metru pătrat
Volum V L3 m3 metru cub
Unghi plan , , …, --- rad. radian
Perioadă T T s secundă
Frecvenţă f T-1 Hz hertz
Pulsaţie (frecvenţă
unghiulară), p T-1 s-1 unu pe secundă
Viteză unghiulară T-1 rad/s radian pe secundă
11
Unităţi de măsură folosite în Mecanică, conform Sistemului Internaţional de unităţi de măsură
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
1 2 3 4 5
Acceleraţie unghiulară T-2 rad/s2 radian pe secundă
la pătrat
Viteză v LT-1 m/s metru pe secundă
Acceleraţie a LT-2 m/s2 metru pe secundă
la pătrat
Densitate (masă volumică) L-3M kg/m3 kilogram pe metru
cub
Densitate de suprafaţă a
maseiA; S L-2M kg/m2 kilogram pe metru
pătrat
Densitate de lungime a
maseil L-1M kg/m kilogram pe metru
Moment de inerţie al masei
(dinamic)J L2M kg·m2 kilogram metru
pătrat
Forţă F LMT-2 N newton
Presiune p L-1MT-2 N/m2 newton pe metru
pătrat
Greutate specifică
(volumică) L-2MT-2 N/m3 newton pe metru
cub
Momentul unei forţe (cuplu) M; M L2MT-2 N·m newton metru
Impuls H LMT-1 kg·m/skilogram metru pe
secundă
Moment cinetic K L2MT-1 kg·m2/skilogram metru
pătrat pe secundă
12
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 01 INTRODUCERE
1 2 3 4 5
Percuţie (impulsul forţei) P LMT-1 N·s newton secundă
Lucru mecanic L L2MT-2 J joule
Energie (mecanică) E; V; U; Et; W L2MT-2 J joule
Putere (mecanică) P L2MT-3 W watt
13
Prefixe şi simboluri pentru multipli şi submultipli zecimali
Submultipli Multipli
prefix simbol Factor de
multiplicare
prefix simbol Factor de
multiplicare
deci d 0,1 = 10-1 deca da 10
centi c 0,01 = 10-2 hecto h 100 = 102
mili m 0,001= 10-3 kilo k 1000 = 103
micro 10-6 mega M 106
nano n 10-9 giga G 109
pico p 10-12 terra T 1012
femto f 10-15
atto a 10-18
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL
1
Punct material liber; punct material supus la legături
Un punct material este liber atunci când poate ocupa orice poziţie în spaţiu, nefiind stânjenit de nici o
obligaţie geometrică. Poziţia punctului se defineşte, în general, prin trei parametrii scalari, independenţi între
ei (de ex. coordonatele carteziene x, y, z). Se spune că punctul material liber are trei grade de libertate.
Punctul material obligat geometric să ocupe anumite poziţii în spaţiu se spune că este supus la legături.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă are două grade de libertate (sunt necesari doi parametri
pentru a-i defini poziţia), un punct material obligat să rămână pe o curbă are un grad de libertate, iar un punct
material obligat să rămână într-un punct fix din spaţiu nu are nici un grad de libertate.
Dacă asupra unui punct material acţionează simultan două forţe, acestea pot fi înlocuite cu una singură –
numită rezultantă –, mărimea, direcţia şi sensul ei fiind date de diagonala paralelogramului construit cu
ajutorul vectorilor celor două forţe – principiul paralelogramului. În cazul când asupra punctului material
acţionează mai multe forţe, se ajunge prin extensie la construcţia numită poligonul forţelor.
Sisteme de forţe concurente
Atunci când un sistem de forţe acţionează asupra aceluiaşi punct de aplicaţie, se spune că forţele sunt
concurente, iar vectorii ce reprezintă aceste forţe se consideră vectori legaţi.
Cap.02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL
Cel mai general sistem de forţe concurente este echivalent cu o forţă unică – rezultanta
sistemului – egală cu suma vectorială a forţelor componente:
(2.1)
nFFF ,,, 21 R
n
i
iF1
R
În particular, dacă , sistemul de forţe este în echilibru.0R
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL
2
Axioma legăturilor
Orice legătură geometrică poate fi întotdeauna înlocuită cu o forţă denumită forţă de legătură (sau reacţiune).
Punctul material, eliberat de legături, acţionat de forţele date şi de reacţiune este echivalent din punct de
vedere mecanic cu punctul material supus la legături.
Relativ la axele de coordonate carteziene Ox, Oy şi Oz, această condiţie se scrie:
(2.2)0,0,0 iii ZYX
În cazul unui sistem de forţe plan, cea de a trei-a ecuaţie devine o identitate, rămânând numai două ecuaţii de
proiecţie:
(2.3)0,0 ii YX
În cazul unor forţe coliniare (spre exemplu pe axa Ox), condiţia de echilibru se exprimă printr-o singură
ecuaţie de proiecţie:
(2.4)0 iX
Condiţia de repaus
Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material liber, aflat iniţial în repaus, să continue să rămână în
repaus sub acţiunea unui sistem de forţe concurente este ca acest sistem de forţe să fie în echilibru.
Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material supus la legături să rămână în repaus este:
(2.5)0 RR
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 02 STATICA PUNCTULUI MATERIAL
3
Legături ideale
Prin legături ideale (sau lucii) se înţeleg legăturile la care forţele numite de frecare (componenta tangenţială a
reacţiunii) sunt nule. Asemenea legături nu există în realitate, dar pot fi curbe sau suprafeţe la care forţa de
frecare este atât de mică încât, într-o primă aproximaţie, aceasta poate fi neglijată. La aceste legături
reacţiunea prezintă doar componenta normală .NR
Condiţia de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală se scrie:
(2.6)0 NR
Legături cu frecare
În cazul curbelor şi suprafeţelor aspre, componenta tangenţială a reacţiunii, forţa de frecare, nu poate fi
neglijată. Proprietăţile forţei de frecare sunt: direcţia ei este tangentă la curbă sau suprafaţă, sensul ei este
invers tendinţei de alunecare, respectiv pentru ca punctul material să se găsească în repaus este necesar ca
modulul acestei forţe să respecte condiţia:
(2.7)
în care reprezintă coeficientul de frecare la alunecare.
T
NT
Condiţia de echilibru a punctului capătă următorul aspect geometric: suportul rezultantei a forţelor
efectiv aplicate trebuie să facă cu normala la plan un unghi mai mic decât unghiul de frecare.
R
Se consideră un punct material pe o suprafaţă aspră (coeficient de frecare )
acţionat de o forţă rezultantă , notându-se cu unghiul făcut de reacţiune
cu normala la suprafaţă, respectiv cu acelaşi unghi dar în cazul echilibrului
la limită. Se poate scrie:
(2.8)
în care este denumit unghi de frecare.
R
N
Ntg
N
Ttg
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
1
Caracterul de vector alunecător
Se consideră un corp rigid, adică un corp la care distanţa între oricare două puncte rămâne aceeaşi atunci
când asupra sa acţionează un sistem de forţe finite. Deşi în natură corpurile sunt deformabile, deci această
condiţie nu se realizează niciodată, totuşi materialele ce intervin în tehnică sunt de obicei foarte puţin
deformabile astfel încât, în mod aproximativ, deformaţiile lor pot fi neglijate.
Cap.03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
Astfel, două forţe egale în modul dar direct opuse, aplicate în
două puncte A şi B nu vor avea nici un efect asupra rigidului.
Fie o forţă aplicată într-un punct A al rigidului, respectiv două forţe egale şi opuse aplicate într-un punct B al
rigidului, pe suportul primei forţe. Se observă că efectul primei forţe nu se schimbă. Suprimând perechea de
forţe formată din cea aplicată în A şi cea de sens direct opus aplicată în B, nu se schimbă de asemenea
nimic în ceea ce priveşte efectul forţelor asupra rigidului.
Astfel, forţele care acţionează asupra unui rigid pot
fi reprezentate prin vectori alunecători (glisanţi).
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
2
Modulul momentului unui vector în raport cu un punct este egal cu produsul dintre modulul vectorului şi
distanţa de la punct la suportul vectorului (braţul vectorului în raport cu punctul).
Se observă că atunci când punctul în raport cu care se caută momentul se află pe suportul vectorului,
momentul vectorului este nul.
Momentul unui vector în raport cu un punct, respectiv în raport cu o axă
Definiţie: momentul unui vector în raport cu un punct O este produsul vectorial dintre vectorul de poziţie
al punctului de aplicaţie A al vectorului şi vectorul :
(3.1)
VVr
VrVMO )(
Astfel, momentul unui vector în raport cu un punct este un
vector de direcţie perpendiculară pe planul determinat de punct
şi suportul vectorului, având sensul dat de şurubul drept
respectiv modulul egal cu produsul .
(3.2)dVVMO )(
sinVr
dOBOAr sinsin
Proiecţiile momentului vectorului în raport cu punctul O pe axele sistemului cartezian se obţin ţinând seama
de proiecţiile vectorului de poziţie x, y, z (deci coordonatele punctului de aplicaţie A) şi de proiecţiile X, Y, Z
ale vectorului:
Mx = y·Z – z·Y , My = z·X – x·Z , Mz = x·Y – y·X (3.3)
V
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
3
Notând versorul axei , se poate scrie:
deci
(3.5)
momentul unui vector în raport cu o axă este produsul mixt
dintre vectorii , şi versorul al axei.
u
MVMuVM OO cos1)()(
uVruVMM O )()(
r V u
Oricare ar fi punctul O pe o axă, expresia momentului în raport cu acea axă este aceeaşi.
Definiţie: momentul unui vector în raport cu o axă este proiecţia pe această axă a momentului
vectorului în raport cu un punct O arbitrar de pe axă:
(3.4)
unde cu s-a notat unghiul vectorului faţă de axa .
V
cos)( VMM O
)(VMO
Se consideră axa , suportul D al vectorului şi perpendiculara
lor comună OA. Planul determinat de punctul O şi suportul D se
notează P. Dacă se consideră o paralelă D’ la suportul D şi se
notează cu unghiul format de axa cu D’, atunci se poate
scrie:
(3.6)
momentul unui vector în raport cu o axă este egal cu produsul
dintre modulul vectorului, lungimea perpendicularei comune d
dintre axă şi suportul vectorului şi sinusul unghiului dintre axă
şi vector.
V
sinsin)( dVVMM O
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
4
Se consideră un plan P normal la axa şi se descompune
vectorul în componentele - după o direcţie paralelă cu
planul P - şi - după o direcţie paralelă cu axa . Se observă
că momentul componentei în raport cu punctul O va fi
perpendicular pe planul P, deci pe direcţia axei , iar momentul
componentei în raport cu punctul O va fi cuprins în planul P,
deci perpendicular pe axa . Astfel rezultă:
(3.7)
momentul unui vector în raport cu o axă este egal cu
scalarul momentului proiecţiei a vectorului pe un plan P
normal pe axă, în raport cu punctul O în care axa înţeapă
planul.
V 1V
2V
uVrVrVMM O )()( 11111
V
1V
1V
2V
Momentul unui vector în raport cu o axă este nul atunci când suportul vectorului este coplanar cu axa.
Caracterizarea unui vector alunecător
În mod teoretic, pentru caracterizarea unui vector alunecător sunt
necesare cinci mărimi scalare independente: proiecţiile sale X, Y, Z în
raport cu cele trei axe de coordonate carteziene (aceştia determinând
şi parametrii directori ai dreptei suport) şi coordonatele punctului în
care dreapta suport înţeapă spre exemplu planul xOy (xo, yo, ceea ce
completează definirea dreptei suport).
V
În mod practic, pentru determinarea unui vector alunecător se
obişnuieşte să fie utilizate şase mărimi scalare: proiecţiile vectorului X,
Y, Z pe axe şi proiecţiile pe axe Mx, My, Mz ale momentului vectorului în
raport cu originea O a sistemului de axe. Aceste şase mărimi nu vor fi
independente, relaţia dintre ele fiind dată de produsul scalar nul dintre
vectorii şi (perpendiculari între ei):
X·Mx + Y·My + Z·Mz 0 (3.8)
V )(VMO
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
5
Din acestea se deduc diverse operaţii uzuale: înlocuirea unor vectori concurenţi cu rezultanta lor,
descompunerea unui vector după direcţii concurente, introducerea sau suprimarea unei perechi de vectori
egali în modul dar direct opuşi.
Pentru a recunoaşte dacă două sisteme de vectori alunecători aparţin aceleiaşi clase de echivalenţă este
necesar să fie puse în evidenţă elementele caracteristice clasei respective (mărimi care sunt aceleaşi pentru
toate sistemele echivalente între ele) – invarianţii unui sistem de vectori alunecători faţă de operaţiile
elementare de echivalenţă.
Sisteme de vectori alunecători
Considerând un sistem oarecare de vectori alunecători, cu vectorii acestuia se pot face unele operaţii simple
– operaţii elementare de echivalenţă – în urma cărora sistemul rezultat rămâne echivalent cu sistemul
iniţial: a) înlocuirea unor vectori concurenţi ai sistemului dat cu alţi vectori concurenţi în acelaşi punct şi
cu aceeaşi rezultantă
b) alunecarea unui vector pe suportul său.
Invarianţi, vector rezultant, moment rezultant
Toate sistemele de vectori alunecători echivalente cu un sistem dat (sisteme care se pot deduce din sistemul
dat printr-o succesiune de operaţii elementare de echivalenţă) formează o clasă de echivalenţă.
Invarianţii unui sistem de vectori alunecători sunt vectorul rezultant (suma geometrică a vectorilor ) şi
vectorul moment rezultant (suma geometrică a momentelor vectorilor în raport cu un punct O dat):
şi (3.9)
iViV
iV
iVR iiO VrM
Se poate enunţa proprietatea că suma momentelor unui sistem de n vectori concurenţi în raport cu un punct
O este egală cu momentul rezultantei sistemului în raport cu acelaşi punct O (Teorema lui Varignon):
(3.10)R rVrVrVr n21
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
6
Variaţia vectorului moment rezultant când se schimbă polul
Se consideră un sistem de vectori alunecători aplicaţi în punctele
Ai (i=1,n) şi doi poli distincţi O şi P. Vectorii de poziţie ai punctelor Ai
faţă de O se notează cu (i=1,n), iar faţă de P se notează cu
(i=1,n). Momentele rezultante faţă de cei doi poli se scriu:
iV
ir ir '
iiPiiO VrMVrM ',
Se observă că , deci se poate scrie:
Astfel (3.11)
POrr ii '
iiiiiiiP VPOVrVPOrVrM )('
R POMM OP
Pe baza acestei relaţii se enunţă următoarele proprietăţi:
1. Dacă într-un punct O cei doi invarianţi şi sunt nuli, atunci ei sunt nuli în orice alt punct P.
2. Dacă un sistem de vectori alunecători are vectorul rezultant nul, atunci momentul rezultant al
sistemului este acelaşi în orice punct din spaţiu.
3. Pe drepte paralele cu vectorul (vectorii şi sunt paraleli) momentul rezultant este constant.
4. Produsul scalar dintre vectorul rezultant şi vectorul moment rezultant este acelaşi oricare ar fi polul P
5. Proiecţia momentului rezultant pe direcţia vectorului rezultant este aceeaşi în orice punct din spaţiu
R OM
R
R RPO
OpOp MMPOMM RRRRRR )(
coscoscos,cos POPPOO MMMMMM RRRR
Produsul scalar al celor doi vectori şi
poartă numele de trinom invariant al
sistemului de vectori alunecători.
R OM
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
7
În consecinţă, teorema de echivalenţă se poate enunţa astfel: două sisteme de vectori alunecători sunt
echivalente dacă au acelaşi torsor într-un punct O.
Echivalenţa a două sisteme de vectori alunecători
Având în vedere cele prezentate până aici, se poate enunţa teorema de echivalenţă a două sisteme de
vectori alunecători: dacă două sisteme de vectori alunecători S’ şi S’’ au acelaşi vector rezultant
şi acelaşi vector moment rezultant în punctul O, atunci cele două sisteme sunt echivalente (se
pot deduce unul din altul printr-o succesiune de operaţii elementare de echivalenţă).
''' RR ''' OO MM
Reducerea sistemelor de vectori alunecători
În baza teoremei de echivalenţă, se urmăreşte înlocuirea unui sistem oarecare de vectori alunecători cu cel
mai simplu sistem care are acelaşi vector rezultant şi acelaşi vector moment rezultant ca şi sistemul dat.
Ansamblul celor doi vectori care reprezintă singurii invarianţi ai unui sistem de vectori alunecători faţă de
operaţiile elementare de echivalenţă poartă numele de torsor al sistemului de vectori alunecători:
(3.12)
),( OMR
),()( OO MS R
În funcţie de valorile vectorilor şi , corespunzători sistemului dat, se disting următoarele cazuri:
I. - sistemul dat este echivalent cu zero (nu ar avea nici un vector).
II. - sistemul dat este echivalent cu
un vector unic aplicat în O.
R OM
0,0 OMR
0,0 OMR
RV
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
8
IV. - acesta fiind cazul cel mai general în care se deosebesc două situaţii în funcţie
de trinomul invariant al sistemului dat:
deci vectorii şi sunt perpendiculari între ei, iar sistemul dat este echivalent cu
un vector unic
deci vectorii şi fac între ei un unghi oarecare diferit de 90, iar sistemul dat
este echivalent cu un vector şi un cuplu de moment .
0,0 OMR
0 OMR
0 OMR
R OM
R OM
RV
RVrM
III. - sistemul dat este echivalent cu un
cuplu, adică un sistem alcătuit din doi vectori şi
paraleli, egali în modul, dar opuşi şi acţionând pe suporturi
diferite situate într-un plan normal pe vectorul . Distanţa
d între suporturile celor doi vectori se dispune astfel încât
, iar sensurile vectorilor se dispun astfel încât
pentru vectorul moment să fie respectată regula şurubului
drept.
0,0 OMR
V V
OM
OMdV
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
9
Sisteme particulare de vectori alunecători
Sistemul de vectori alunecători concurenţi – ale căror suporturi trec printr-un acelaşi punct O. Întrucât în
această situaţie momentul rezultant este rezultă că: un sistem de vectori alunecători concurenţi în
punctul O se reduce la un vector unic trecând prin O, sau este echivalent cu zero (cazurile I şi II).
0OM
RV
Sistemul de vectori alunecători coplanari – ale căror suporturi
sunt conţinute în acelaşi plan P. Vectorul rezultant va fi situat în
planul P, vectorul moment rezultant va fi perpendicular pe planul
P şi deci, pentru cazul general când cei doi vectori sunt diferiţi de
zero, rezultă . Astfel, un sistem de vectori alunecători
coplanari se poate reduce fie la un sistem echivalent cu zero, fie
la un cuplu, fie la un vector unic.
0 OMR
Pentru un cuplu oarecare alcătuit din doi vectori şi având suporturile situate în planul P la distanţa d
între ele, momentul este acelaşi în orice punct din spaţiu. Momentul unui cuplu este un vector normal pe
planul cuplului şi al cărui modul este egal cu produsul dintre modulul vectorului şi braţul cuplului (distanţa între
suporturile celor doi vectori).
V V
Două cupluri sunt echivalente atunci când au acelaşi moment,
vectorul rezultant fiind nul întotdeauna. Astfel, un al doilea cuplu
având vectorii şi şi braţul d1, situat într-un plan P1 paralel
cu P, va fi echivalent cu primul cuplu dacă:
(3.13)
1V 1V
dVdV 11
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 03 SISTEME DE VECTORI ALUNECĂTORI
10
În cazul unui sistem de vectori alunecători paraleli , aplicaţi în
punctele Ai determinate de vectorii de poziţie (i=1,n), vectorul
rezultant şi vectorul moment rezultant se scriu:
(3.14)
(3.15)
în care reprezintă versorul direcţiei comune, iar cu Vi s-a notat
scalarul vectorului .
iV
ir
uVuVV iii )(R
urVuVrVrM iiiiiiO )(
u
iV
Vectorul rezultant va avea aceeaşi direcţie ca şi vectorii sistemului, iar vectorul moment rezultant va fi
ortogonal respectivei direcţii. Înseamnă că trinomul invariant va fi şi în consecinţă sistemul de
vectori alunecători paraleli se poate reduce fie la un sistem echivalent cu zero, fie la un cuplu, fie la un
vector unic.
0 OMR
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 CENTRUL MASELOR
1
Centrul de greutate
Câmpul gravitaţional de intensitate g existent la suprafaţa Pământului se manifestă prin aceea că un corp de
masă m este acţionat de o forţă:
(4.1)
Intensitatea g a câmpului gravitaţional este variabilă cu latitudinea şi altitudinea, iar vectorul este dirijat
aproximativ către centrul Pământului.
gmG
g
Cap.04 CENTRUL MASELOR (DE GREUTATE)
Totuşi, întrucât variaţia intensităţii este foarte mică, respectiv corpurile ce intervin într-o problemă de
mecanică sunt de obicei răspândite pe o regiune de dimensiuni neglijabile în raport cu cele ale Pământului,
câmpul poate fi considerat cu o bună aproximaţie ca fiind constant. Astfel, greutăţile ale diferitelor
puncte materiale de mase mi pot fi considerate forţe paralele, acestora putându-le fi aplicate concluziile
studiului vectorilor paraleli.
giG
Considerând un sistem de n puncte materiale Ai de mase mi şi de vectori de poziţie (i=1,n) în raport cu
originea O, suportul rezultantei a forţelor paralele va trece prin punctul C – denumit centru de greutate
– determinat de vectorul de poziţie:
(4.2)
ir
G iG
i
ii
G
rG
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 CENTRUL MASELOR
2
Înlocuind Gi = mi·g şi suprimând factorul g, rezultă:
sau (4.3)
vectorul de poziţie al centrului de greutate pentru un sistem discret de puncte materiale sau pentru un mediu
continuu.
i
ii
m
rm
dm
dmr
Se constată deci că vectorul de poziţie al centrului de greutate este independent de intensitatea câmpului
gravitaţional, el depinzând numai de distribuţia maselor mi. Astfel se ajunge la noţiunea mult mai generală de
centru al maselor unui sistem oarecare de puncte materiale (coincide cu centrul de greutate).
Pentru coordonatele centrului de greutate se obţin, după caz, expresiile:
(4.4) sau (4.5)
i
ii
C
i
ii
C
i
ii
Cm
zmz
m
ymy
m
xmx ,,
dm
dmzz
dm
dmyy
dm
dmxx CCC ,,
Proprietăţi
a) Dacă un sistem de puncte materiale are un plan, o axă sau un centru de simetrie, centrul maselor se află
în acel plan, pe acea axă sau în acel centru.
b) Dacă un sistem de puncte materiale S se compune dintr-un număr de n sisteme S1, S2, …, Sn ale căror
mase M1, M2, …, Mn şi centre de masă C1, C2, …, Cn se cunosc, atunci centrul de masă al sistemului S
se poate obţine considerând că masele sistemelor componente Mi sunt concentrate în centrele lor de
masă Ci:
c) Dacă un sistem de puncte materiale S poate fi considerat ca provenind dintr-un sistem S1 din care a fost
eliminat un sistem S2 şi dacă se cunosc masele M1, M2 şi centrele de greutate C1, C2 ale celor două
sisteme, atunci centrul de greutate al sistemului S se poate obţine considerând că în C1 şi C2 sunt
concentrate masele M1 şi M2:
i
ii
M
M
21
2211
MM
MM
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 CENTRUL MASELOR
3
Momente statice
Sumele care intervin ca numărători ai expresiilor (4.4) ale coordonatelor centrului maselor xC, yC, zC poartă
numele de momente statice în raport cu planele de coordonate.
Se defineşte ca moment static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan suma produselor dintre
masele punctelor materiale şi distanţele acestora la plan, distanţe considerate pozitive sau negative după
cum aceste puncte se află de o parte sau de alta a planului. Astfel, este momentul static în raport cu
planul yOz, coordonatele xi reprezentând distanţele punctelor sistemului la acest plan, respectiv în mod
similar şi sunt momentele statice ale sistemului în raport cu planele xOz şi xOy.
iixm
ii ym ii zm
Dacă momentul static în raport cu un plan este nul, atunci centrul maselor sistemului se află în acest plan.
Punând expresiile (4.4) ale coordonatelor centrului maselor sub forma:
(4.6)
se demonstrează teorema momentelor statice care exprimă proprietatea că momentul static al unui sistem
de puncte materiale în raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa M a sistemului şi distanţa (cu
semnul corespunzător) de la centrul maselor la plan. În mod echivalent se poate spune: momentul static al
unui sistem de puncte materiale nu se schimbă dacă sistemul dat se înlocuieşte cu un punct material situat în
centrul maselor şi având masa M a întregului sistem.
CiiCiiCii zMzmyMymxMxm ,,
Observaţie
În cazul unui sistem de puncte materiale situate într-un plan – spre exemplu xOy – sumele şi
vor fi interpretate ca momente statice în raport cu axele Oy şi Ox din planul respectiv, iar teorema
momentelor statice se modifică în mod corespunzător.
iixm ii ym
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 CENTRUL MASELOR
4
Centrul maselor la corpuri omogene
Considerând un mediu continuu din care se detaşează un volum foarte mic V ce conţine punctul A şi care
are masa m, raportul poartă numele de densitate medie, iar limita acestui raport când m şi V tind
simultan către zero, poartă numele de densitate în punctul A. Un corp este omogen atunci când
densitatea sa este aceeaşi în toate punctele, v = const.
V
m
dV
dmV
Pentru un corp omogen vectorul de poziţie al centrului maselor este dat de cea de a doua formulă din
expresia (4.3):
(4.7)
Iar coordonatele centrului maselor sunt date de expresiile:
(4.8)
dV
dVr
dV
dVr
dV
dVr
dm
dmr
V
V
V
V
dV
dVzz
dV
dVyy
dV
dVxx CCC ,,
În mod analog, se determină vectorii de poziţie, respectiv coordonatele centrului maselor în cazul unei plăci
omogene sau a unei bare omogene (fir omogen):
(4.9) (4.10)
şi
(4.11) (4.12)
în care s-a considerat densitatea superficială într-un punct ca fiind limita raportului între masa m a
unui element de placă şi aria A când acestea tind simultan către zero, respectiv densitatea liniară
ca fiind limita raportului între masa m şi lungimea s a unui element de bară când acestea tind simultan
către zero.
dA
dAr
ds
dsr
dA
dAzz
dA
dAyy
dA
dAxx CCC ,,
ds
dszz
ds
dsyy
ds
dsxx CCC ,,
dA
dmA
ds
dml
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
1
Definire, schematizare
Constructiile sunt sisteme complexe prin forma si dimensiuni, datorita materialelor din care sunt realizate,
respectiv prin scopurile carora le sunt destinate. In vederea desfasurarii calculelor este necesara asimilarea
constructiei reale prin intermediul uneia schematizate, care reflecta dimensiunile si proprietatile esentiale, si
care reprezinta structura schematizata a constructiei.
In vederea unei parcurgeri facile a calculelor de specialitate, structurile spatiale pot fi descompuse in structuri
schematizate plane, care la randul lor se descompun in elemente de structura (de rezistenta).
Cap.04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII –
NOTIUNI FUNDAMENTALE
Elementul de rezistenta este cea mai mica portiune dintr-o structura, care poate functiona independent fara
sa devina mecanism (fara sa fie instabila), si care poate fi confectionata si calculata in mod independent.
D.p.d.v. geometric, elementele structurilor de rezistenta se clasifica in functie de raportul dintre cele trei
dimensiuni (lungime / latime / inaltime) intrei categorii principale: bare, placi, masive.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
2
Barele
Bara este elementul de structura la care una din cele
trei dimensiuni (lungimea) este semnificativ mai mare
relativ la celelalte doua.
O bara se defineste prin sectiunea sa transversala –
sectiunea minma obtinuta prin intersectia barei cu un
plan – si prin axa ei – locul geometric al centrelor de
greutate a tuturor sectiunilor transversale.
In mod curent, o bara se raporteaza la sistemul de
referinta ortogonal avand originea in centrul de
greutate al sectiunii de capat din partea stanga, axa z
fiind axa barei, iar axele x si y fiind cuprinse in planul
sectiunii transversale (cu axa y orientata gravitational).Prin schematizare, bara este redusa la axa ei si la
sectiunea transversala.
In functie de forma axei, se disting:
bare drepte – a caror axa este dreapta, bare curbe – cand axa este curba.
Corespunzator pozitiei elementului, a directiei si sensului incarcarii, a modului de transmitere a sarcinilor catre
rezemari, respectiv corespunzator rigiditatii, barele poarta urmatoarele denumiri distincte: tirant (incarcarile
aplicate numai in lungul axei barei produc intinderea acesteia), stalp (incarcarile aplicate preponderent in
lungul axei barei produc comprimarea acesteia), grinda (incarcarile aplicate preponderent transversal pe axa
barei), arc (transmiterea sarcinilor se realizeaza prin impingeri laterale), fir (rigiditatea dupa directia
transversala poate fi neglijata intrucat raportul intre aria sectiunii transversale si lungime este extrem de mic).
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
3
In functie de forma si alcatuirea sectiunii transversale,
barele pot fi cu sectiune compacta sau cu pereti subtiri
(grosimile peretilor sunt mici in raport cu inaltimea si
latimea sectiunii in ansamblu)
Prin asamblare se pot obtine sisteme de bare: cadre, grinzi cu zabrele, arce cu tirant, alte sisteme complexe.
Placile
Placa este elementul de structura la care doua din
cele trei dimensiuni (lungimea si latimea) sunt
semnificativ mai mari relativ la cea de a treia.
O placa se defineste prin grosimea ei, h, si prin
suprafata sa mediana – locul geometric al
mijloacelor grosimii placii.
In mod curent, unei bare i se ataseaza sistemul de
referinta ortogonal avand axa y orientata normal la
suprafata mediana (in general cu sens gravitational),
iar axele x si z cuprinse in planul suprafetei mediane
(sau tangente la aceasta).Prin schematizare, placa este redusa la
suprafata ei mediana.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
4
In functie de forma suprafetei mediane, se disting:
placi plane – denumite dale atunci cand sunt incarcate perpendicular pe suprafata mediana, respectiv
denumite saibe sau grinzi perete daca sunt incarcate in planul suprafetei mediane,
placi curbe, denumite si panze, care pot fi cu simpla sau dubla curbura.
Atunci cand placile sunt atat de subtiri incat
rigiditatea lor dupa directia grosimii poate fi neglijata,
acestea sunt denumite membrane.
Masivele
Masivul este elementul de structura la care toate cele
trei dimensiuni sunt aproximativ de acelasi ordin de
marime:
fundatii, baraje, ziduri de sprijin etc.
Masivele nu se schematizeaza ci se reprezinta ca atare.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
5
Legaturi
Structurile se fixeaza in spatiu de o baza fixa de sprijin – fundatia la teren sau o alta structura invecinata.
Dispozitivele care fixeaza structurile in spatiu poarta denumirea de reazeme, iar legaturile care iau nastere in
acestea sunt denumite legaturi exterioare (legaturi din reazeme).
In ceea ce priveste barele unei structuri, acestea sunt fixate intre ele prin intermediul nodurilor, legaturile care
iau nastere in acestea fiind denumite legaturi interioare (legaturi din noduri). Nodurile pot fi rigide –
deplasarile relative ale capetelor barelor concurente sunt nule, sau articulate – fiind posibila rotirea relativa a
barelor concurente.
Incarcari
Incarcarea reprezinta totalitatea fortelor sau cuplurilor care sunt aplicate unei structuri din exteriorul sau din
interiorul acesteia (cu exceptia fortelor de legatura) ca efect al unei actiuni.
In mod schematic incarcarea se reprezinta prin vectori pentru care se precizeaza punctul de aplicatie,
orientarea, intensitatea, frecventa etc.
In functie de modul in care sunt aplicate pe structura, incarcarile pot fi:
de suprafata – presiunea unui fluid, actiunea vantului, actiunea zapezii, greutatea pieselor sustinute etc.
de volum sau masice – provin din distributia unei actiuni (determinata de campul gravitational, de campul
inertial, de campul termic etc.) in intreg volumul unui element de structura.
Dupa marimea suprafetei pe care este repartizata, incarcarea poate fi distribuita (suprafata pe care
actioneaza are dimensiuni comparabile cu ale intregului element) sau concentrata (suprafata pe care
actioneaza este foarte mica relativ la dimensiunile elementului respectiv).
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
6
In mod curent, incarcarea distribuita pe suprafata unei bare
se reduce in planul median al acesteia, echivalandu-se in
acest fel cu o incarcare distribuita in lungul axei barei.
Distributia incarcarilor de suprafata poate fi intalnita sub diverse forme:
uniforma (constanta), liniara, parabolica, oarecare.
Incarcarile concentrate se considera in unitati de forta (kN, daN) sau moment (kN.m, daN.cm), incarcarile
distribuite pe lungime in kN/m2 sau daN/cm2, iar incarcarile masice in kN/m3 sau daN/cm3.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 04 STRUCTURI IN CONSTRUCTII
7
In functie de variatia actiunii in timp, se disting
urmatoarele trei categorii:
incarcari statice – sunt aplicate in mod lent de la
zero pana la valoarea maxima, dupa care raman
constante (greutatea proprie, presiunea unui lichid,
impingerea pamantului, efectul variatiei de
temperatura etc.)
incarcari variabile periodic (ciclice) – intensitatea
se modifica in timp intre doua limite dupa o lege
periodica (incarcari oscilante -cele doua limite sunt de
acelasi semn, incarcari alternante -sensul de actiune
al celor doua limite este diferit, incarcari pulsatorii -
una din cele doua limite este zero)
incarcari dinamice – intensitatea creste brusc in
timp, putandu-se considera incarcarea ca fiind
aplicata cu intreaga intensitate, iar dupa un timp f
scurt se anuleaza.
Corespunzator frecventei cu care apar la anumite intensitati de-alungul perioadei de viata a unei structuri,
incarcarile sunt clasificate in:
incarcari permanente – se aplica in mod continuu cu intensitate constanta (greutatea proprie, impingerea
pamantului, efectul precomprimarii etc.)
incarcari temporare – actiunea variaza sensibil in timp, putand lipsi total in anumite perioade (greutatea
unor piese sustinute, presiunea unui fluid, actiunea zapezii, actiunea vantului, variatia temperaturii etc.)
incarcari exceptionale – actiunea se manifesta foarte rar (posibil niciodata pe parcursul existentei structurii)
si intamplator, putand ave caracter catastrofal (actiunea seismica, efectul distrugerii unor elemente, efectul
inundatiilor, efectul exploziilor etc.)
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
1
In expresiile dezvoltate pentru calcululele specifice elementelor de structura intervin anumite marimi care
depind de forma si dimensiunile sectiunii transversale: aria, momente statice, pozitia centrului de
greutate, momente de inertie, raze de inertie, module de rezistenta, pozitia sistemului de axe
principal.
Cap.05 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE
SECTIUNILOR TRANSVERSALE A BARELOR
Toate aceste marimi (mai putin aria), numite caracteristici
geometrice, se stabilesc relativ la urmatoarele sisteme de axe
impuse conventional: sistemul de axe oarecare (sistem de
referinta initial), sistemul de axe central (cu originea in centrul
de greutate al sectiunii transversale), sistemul de axe principal
(deasemenea cu originea in centrul de greutate al sectiunii
transversale).
In timp ce in cazul primelor doua sisteme enuntate pozitia axelor din
planul sectiunii transversale este cea cunoscuta, in cazul sistemului
principal pozitia axelor x si y este tot o caracteristica geometrica,
putand fi rotita in planul sectiunii transversale.
iii yOxyGx
xGy
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
2
Aria sectiunii transversale a unei bare intervine in expresiile de calcul ale deformatiilor de tip translatie a
sectiunii. Astfel, se spune ca aria unei sectiuni transversale caracterizeaza inertia la translatie a acesteia.
Prin conventie, se noteaza A, masurandu-se in [cm2] sau [m2].
Momentele statice ale unei sectiuni transversale caracterizeaza
pozitia acesteia in raport cu axele din planul sau (x si y). Prin definitie
momentele statice ale unei sectiuni transversale in raport cu axele
sistemului oarecare sunt date de expresiile:iii yOx
A
iix dAyS A
iiy dAxS
n
iiix AyS1
n
iiiy AxS1
Daca sectiunea transversala este alcatuita din figuri geometrice simple
(bara fiind alcatuita din mai multe elemente), integralele expresiilor de
definitie se transforma in sume:
in care n este numarul tuturor elementelor, Ai este aria sectiunii elementului i, iar si sunt distantele de la
axele sistemului de referinta oarecare in raport cu care se calculeaza momentele statice pana la centrul de
greutate al elementului i.
ixiy
Avand in vedere expresiile de definitie, momentele statice pot fi pozitive sau negative si se masoara
in [cm3] sau [m3].
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
3
Pentru a obtine pozitia centrului de greutate al unei sectiuni
transversale, expresiile de definire a momentelor statice vor fi puse
sub urmatoarea forma specifica considerand intreaga arie
concentrata in centrul sau de greutate G:
AyS Gix AxS Giy
din care, prin alaturarea expresiilor de definitie, se obtin formulele
urmatoare care determina pozitia centrului de greutate a sectiunii
transversale in raport cu un sistem de axe oarecare:
A
dAxx A
i
G
A
dAyy A
i
G
Daca sectiunea transversala este alcatuita din mai multe figuri geometrice simple (bara fiind realizata din mai
multe elemente) expresiile anterioare devin:
n
i
n
ii
G
A
Ax
x
1
1
n
i
n
ii
G
A
Ay
y
1
1
Observatie. Momentele statice ale intregii sectiuni transversale in raport cu axele sistemului central sunt nule.
intrucat si .
0 yx SS
0iy 0ix
Proprietate. Atunci cand sectiunea transversala are o axă sau un centru de simetrie, centrul de greutate se
află pe acea axă sau în acel centru.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
4
Momentele de inertie axiale ale unei sectiuni transversale intervin in expresiile de calcul ale deformatiilor
de tip rotire a sectiunii. Astfel, se spune ca momentul de inertie in raport cu o axa caracterizeaza inertia
sectiunii transversale la rotatie in raport cu axa respectiva.
Prin definitie momentele de inertie ale unei sectiuni transversale in raport
cu axele sistemului central sunt date de expresiile:
A
x dAyI 2
A
y dAxI 2
Momentul de inertie polar al unei sectiuni transversale intervine in
expresia deformatiei de tip rotire a acelei sectiuni in raport cu un punct,
denumit pol, din planul sau. Astfel, se spune ca momentul de inertie polar
caracterizeaza inertia sectiunii la rotirea in raport cu un pol, si este dat prin
definitie de urmatoarea expresie:
A
p dAI 2
Intrucat , se constata ca , ceea ce arata ca suma momentelor de inertie este
un invariant egal cu momentul de inertie polar.
222 yx yxp III
Momentul de inertie centrifugal al unei sectiuni transversale este prin definitie dat de urmatoarea
expresie:
AxydAyxI
Astfel, se spune ca momentul de inertie centrifugal caracterizeaza repartizarea materialului sectiunii
transversale in cele patru cadrane formate de axele sistemului central.
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
5
Se deduc urmatoarele doua proprietati ale momentului de
inertie centrifugal:
- daca sectiunea transversala prezinta axa de simetrie,
momentul de inertie centrifugal in raport cu un sistem de axe
ce contine axa de simetrie va fi nul
- daca sectiunea transversala nu prezinta axa de simetrie, la
fiecare rotire a sistemului ortogonal cu 90o momentul
de inertie centrifugal isi schimba semnul algebric
yGx
0)(22
AAxydAyxdAyxI
yxAA
yx IdAxydAyxI )( 90909090
Avand in vedere expresiile de definitie, momentele de inertie se masoara in [cm4] sau [m4].
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
6
In ceea ce priveste semnul momentelor de inertie ale unei sectiuni transversale, se observa ca cele axiale si
cel polar sunt intotdeauna cantitati pozitive, pe cand cel centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul, in functie
de repartitia materialului.
Sistemul de axe central in raport cu care momentul de inertie centrifugal se anuleaza (deci care determina o
repartitie uniforma a materialului in cele patru cadrane) poarta denumirea de sistem de axe principal.
Momentele de inertie in raport cu axele acestui sistem ( ) vor prezenta valori extreme.xGy
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
7
Razele de inertie (giratie) ale unei sectiuni transversale sunt definite prin urmatoarele expresii, numai fata de
axele sistemului principal:
A
Ii x
x A
Ii
y
y
Se observa ca razele de inertie pot fi numai marimi pozitive, masurandu-se in [cm] sau [m].
Modulele de rezistenta ale unei sectiuni transversale sunt definite prin
urmatoarele expresii, deasemenea numai in raport cu axele sistemului
principal:
respectiv
si
extrem
xx
y
IW
extrem
y
yx
IW
)(1
1 y
IW x
x )(2
2 y
IW x
x )(3
3 x
IW
y
y )(4
4 x
IW
y
y
Se observa ca modulele de rezistenta pot fi atat pozitive cat si negative, masurandu-se in [cm3] sau [m3].
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
8
In cazul sectiunilor compuse din mai multe figuri geometrice simple (bara este alcatuita din mai multe
elemente), pentru a ajunge la formulele de calcul ale momentelor de inertie se porneste de la situatia in care
pentru o sectiune transversala simpla se presupun cunoscute momentele de inertie centrale , si , si
se cauta momentele de inertie in raport cu un sistem de axe oarecare translatat fata de cel central cu
distantele a, respectiv b.
xI yIxy
I
iii yOx
ayyi bxxi
AaSaI
dAadAyadAydAaydAyI
xx
AAAAAiix
2
2222
2
2)(
Similar, pentru momentul de inertie in raport cu cealalta axa se obtine:
AbSbII yyiy 22
iar pentru momentul de inertie centrifugal:
AbaSbSaI
dAabdAybdAxadAyx
dAaybxdAyxI
xyyx
AAAA
AAiiiyix
))((
Dar in relatiile stabilite momentele statice se refera la intreaga sectiune in raport cu axele centrale, deci sunt
nule. Astfel se obtine:
AaII xix 2 AbII yiy 2 AbaII yxiyix
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
9
Aceste relatii se pot transpune pentru cazul sectiunilor compuse prin suprapunerea (insumarea) momentelor
de inertie scrise pentru fiecare element in parte, dar in raport cu axele sistemului central al intregii sectiuni.
Se considera translatia fiecarui sistem central elemental pana la sistemul central al intregii sectiuni
transversale.
n
iiixx AaII1
2)(
n
iiiyy AbII1
2)(
n
iiiiyixyx AbaII1
)(
in care , si sunt momentele de inertie centrale ale intregii sectiuni transversale
, si sunt momentele de inertie centrale elementale, ale fiecarei figuri geometrice
simple in raport cu sistemul central propriu
ai si bi sunt distantele de translatie de la axele centrale si la axele centrale elementale si
Ai sunt ariile fiecarei figuri geometrice simple componente ale sectiunii.
xI yIxy
I
ixI iyIiyixI
x y ixiy
10
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
Pentru a studia variatia momentelor de inertie cu rotatia axelor la o
sectiune oarecare, se considera ca pentru aceasta se cunosc
pozitia centrului de greutate G si momentele de inertie in raport cu
sistemul central de axe , si , si se cauta momentele de
inertie in raport cu un sistem de axe rotit fata de cel central cu un
unghi oarecare a, , si .
xI yIxy
I
axI ayI aayxI
Pornind de la relatiile de definitie ale momentelor de inertie scrise
pentru sistemul rotit:
A
x dAyI2
aa A
y dAxI2
aa A
yx dAyxI aaaa
in care se considera expresiile coordonatelor si in functie de
coordonatele sistemului central siax ay
x y
aaa sincos yxx aaa sincos xyy
se obtin urmatoarele formule de calcul:
aaaa 2cos2sin2
yx
yx
yx III
I
aaa 2sin2cos22
yx
yxyx
x IIIII
I
aaa 2sin2cos22
yx
yxyx
y IIIII
I
11
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
Prin definitie, sistemul de axe principal este sistemul de axe cu originea in centrul de greutate al sectiunii
transversale in raport cu care momentul de inertie centrifugal este nul (axele sistemului determina o repartitie
uniforma a materialului sectiunii in cele patru cadrane).
Relativ la acest sistem, momentul de inertie in raport cu axa x prezinta valoarea extrema maxima, iar
momentul de inertie in raport cu axa y prezinta valoarea extrema minima.
Determinarea pozitiei axelor sistemului principal .xGy
Astfel, pozitia rotita a sistemului de axe principal se va determina punand asupra momentului de inertie
doua conditii succesive:
- anularea primei derivate in raport cu unghiul a pentru obtinerea unui extrem,
- situarea celei de a doua derivate in raport cu a in domeniul negativ pentru obtinerea maximului.
axI
Prin impunerea primei conditii, , se ajunge la urmatoarea relatie: ,
care reprezinta o ecuatie trigonometrica avand o infinitate de solutii: unde .
0aa
d
dI x
yx
yx
II
Itg
22a
a n01 22 .....,,2,1,0n
Din intregul sir de solutii pot fi retinute ca posibile pentru problema numai unghiurile de rotire mai mici de 900
(intrucat la o rotire a sistemului de axe cu 900 momentul de inertie centrifugal isi schimba semnul algebric,
adica ar corespunde unei probleme noi, distincta). In vederea stabilirii celor doua solutii posibile pentru unghiul
de rotire 1, se reprezinta pe cercul trigonometric segmentul tangenta dat de relatia obtinuta.
Pornind de la axa origine x de masurare a unghiurilor, se retin cele doua unghiuri
(unul pozitiv si unul negativ) delimitate de diametrul determinat de segmentul tg2a,
deci se retin unghiurile de rotire care satisfac conditia:
21
12
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
Cele doua solutii posibile pentru unghiul de rotire determina cele doua valori extreme (maxima si minima)
pentru momentul de inertie axial . Astfel, in continuare pentru obtinerea valorii maxime se apeleaza la cea
de a doua conditie: .
xI
0
1
2
2
a
a
ad
Id x
In urma efectuarii acestei a doua derivari se obtine ca pentru satisfacerea conditiei se impune ca unghiul de
rotire al axei , 1, si momentul de inertie centrifugal , sa fie de semne contrare:
semn 1 ≠ semn ,
conditie care impune solutia corespunzatoare pentru unghiul de rotire din cele doua solutii posibile stabilite pe
cercul trigonometric.
xxy
I
xyI
Unghiul de rotire 1 asrfel stabilit defineste pozitia axei principale maxime x. Intrucat sistemul de axe este
ortogonal, pozitia axei y, minima, este deasemnea definita.xGy
In ceea ce priveste valorile momentelor de inertie relativ la sistemul de axe principal, acestea se pot obtine cu
ajutorul relatiilor stabilite prin studiul variatiei momentelor de inertie cu rotatia axelor, in care se considera ca
unghi de rotire marimea 1:
xx II 1aa
yy II 1aa
01
xyyx IIaaa
13
MECANICA CONSTRUCŢIILOR 05 CARACTERISTICI GEOMETRICE
Totusi, in practica se urmareste aplicarea unor relatii de calcul pentru momentele de inertie principale in care
sa nu intervina unghiul de rotire 1, pentru obtinerea acestora apelandu-se la expresia tangentei unghiului
dublu.
Astfel, pentru momentul de inertie in raport cu axa x se obtine:
1112sin2cos
22
aa
yx
yxyx
xx IIIII
II
Dar, din expresia tangentei unghiului dublu:
1
11
2cos
2sin
22
2
yxyx
yx
IItg
III
si deci:1
1
2
1
1
2
1 2cos222sin
2cos22cos
2cos22
yxyxyxyxyx
x
IIIIIIIIIII
in care:yxyx
yx
yx
yx III
II
II
Itg 22
2
2
1
21
4)(
)(
41
1
21
12cos
In consecinta, expresia de calcul pentru momentul de inertie in raport cu axa x se obtine:
iar expresia de calcul pentru momentul de inertie in raport cu axa y, in mod similar, se obtine:
yxyx
yx
x IIIII
I 22 4)(2
1
2
yxyx
yx
y IIIII
I 22 4)(2
1
2
top related