int incredere n
Post on 07-Apr-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 1/22
INTERVALE DE INCREDERE SI TESTE
PENTRU PARAMETRII REPARTITIEI NORMALEN
; 2
Auxiliar: Repartitii de lucru deduse din repartitianormala ("CHI patrat", "Student", "Fisher")
(a) Repartitia "CHI patrat" cu r grade de libertate2 (r)
a fost introdusa la capitolul "Estimarea parametrilor"
De…nitie
Repartitia Gamma r2 ; 2 ; cu r 2 N se numeste repartitia
CHI Patrat cu r grade de libertate, avand densitatea derepartitie
f (y) =1
2r=2
r2
yr
21 exp
y
2
; y 0
M (Y ) = r
D2 (Y ) = 2r
Proprietate
Fie X 1;:::;X r variabile aleatoare independente, identicrepartizate Normal N (0; 1) : Atunci
Y =rX
i=1
X 2i
este repartizata 2 (r) :
(b) Repartitia Student cu r grade de libertate (t (r))
De…nitie:
Spunem ca o variabila aleatoare Z este repartizata t (r)daca are densitatea de repartie
f (z) =
r+12
p
r
r2
1 +z2
r
(r+1)=2
; z 2 R
1
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 2/22
Observatii
Pentru r = 1; repartitia t (1) se numeste "repartitia Cauchy"si pentru aceasta nu exista M (X ) :
M (jZ j) =2
1Z 0
z
1 + z2dz =
1
lim
b!1ln
1 + b2
= 1
Pentru r = 2; repartitia t (2) are M (Z ) = 0; iar M
Z 2
nuexista.
Pentru r > 2; repartitia t (r) are
M (Z ) = 0
D2 (Z ) =r
r 2
Proprietate
Fie X si Y variabile aleatoare independente, cu X N (0; 1) si Y 2 (r) : Atunci variabila aleatoare
Z =X q 1r Y
are repartitia t (r) :
Demonstratie:
f (X;Y ) (x; y) = f X (x) f Y (y) =
=1
2(r+1)=2p
r2
yr
21 exp
x2
2 y
2
; x 2 R; y 0
Consideram schimbarea de variabila
(z = xp
1r
y
y = y; z 2 R; y 0
respectiv transformarea inversa(x = z
q 1r y
y = y
2
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 3/22
de Jacobian p y=
p r: Atunci densitatea de repartite a vec-
torului aleator (Z; Y ) este
f (Z;Y ) (z; y) =1
2(r+1)=2p
r2
yr
21 exp
z2 y
2r y
2
p
yp r
; z 2 R; y 0
Densitatea marginala a lui Z este
f Z (z) =
1Z 0
f (Z;Y ) (z; y) dy =
=1p
r
r2
1
2(r+1)=2
1Z 0
yr+1
21 exp
y
2
1 +
z2
r
dy
Cu schimbarea de variabila
t =y
2
1 +
z2
r
obtinem
f Z (z) =1p
r
r2
r + 1
2
1 +
z2
r
(r+1)=2
; z 2 R
(c) Repartitia Fisher cu (r1; r2) grade de libertate (
F (r1; r2))
De…nitie:Spunem ca o variabila aleatoare Z este repartizata F (r1; r2)
daca are densitatea de repartie
f (z) =
r1r2
r1=2
r1+r22
r12
r22
zr121
1 +r1r2
z
(r1+r2)=2
; z 0
Proprietate
Fie X si Y variabile aleatoare independente, cu X
2 (r1)
si Y 2 (r2) : Atunci variabila aleatoare
Z =X
r1
Y
r2
are repartita F (r1; r2) :
3
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 4/22
Demonstratie
f (X;Y ) (x; y) = f X (x) f Y (y) =
=1
2(r1+r2)=2
r12
r22
xr121 y
r221 exp
x
2 y
2
; x; y 0
Consideram schimbarea de variabilaz = r2
r1 x
y
y = y; z 0; y 0
respectiv transformarea inversa
x = r1
r2yz
y = y
de Jacobian r1y=r2: Atunci densitatea de repartite a vec-torului aleator (Z; Y ) este
f (Z;Y ) (z; y) =1
2(r1+r2)=2
r12
r22
r1r2
r1=2
zr121y
r1+r22
1 exp
y
2
1 +
r1r2
z
;
z 0; y 0
Densitatea marginala a lui Z este
f Z (z) =
1
Z 0 f (Z;Y ) (z; y) dy =
=
r1r2
r1=21
r12
r22
z r121 1
2(r1+r2)=2
1Z 0
yr1+r22
1 exp
y
2
1 +
r1r2
z
dy
Cu schimbarea de variabila
t =y
2
1 +
r1r2
z
obtinem
f Z (z) = r1r2r1=2
r1+r2
2 r12 r2
2 z
r12 1 1 + r1r2
z(r1+r2)=2
; z 0
4
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 5/22
INTERVALE DE ESTIMARE (DE INCREDERE)
De…nitie
Fie modelul F = P X 1 cu 2 R si …e X 1;:::;X n variabilealeatore independente, identic repartizate (F ) : Fie 2 (0; 1)
si functiile A; B : S n ! R cu proprietatile:
i) A; B sunt masurabile si
A (x1;:::;xn) B (x1;:::;xn) 8 (x1;:::;xn) 2 S n;
ii) are loc relatia
P (A (X 1;:::;X n) B (X 1;:::;X n)) = 1
Atunci, pentru datele statistice (x1;:::;xn) ; intervalul
C n;1 (x1;:::;xn) = [A (x1;:::;xn) ; B (x1;:::;xn)]
se numeste interval de estimare pentru ; cu coe…cientulde incredere (1 ) (sau interval de incredere pentru ).
Propozitie
Fie modelul F = P X 1 cu 2 R si …e X 1;:::;X n vari-abile aleatore independente, identic repartizate (F ) : Pre-supunem ca exista o functie
g : S n ! R
cu urmatoarele proprietati:
g ((x1;:::;xn) ; ) continua si strict monotona ca functie in; 8 (x1;:::;xn)
g (; ) masurabila ca functie in (x1;:::;xn) ; 8 si variabilaaleatoare g ((X 1;:::;X n) ; ) are repartitia independenta de (o notam G).
Atunci, pentru orice 2 (0; 1) arbitrar …xat, exista C n;1 (x1;:::;xn)
interval de incredere pentru :
Demonstratie:Fie 2 (0; 1) si 2 arbitrari, …xati. Fie a () ; b () doua
cuantile ale repartitiei G = P g1 asa incat
P (a () g ((X 1;:::;X n) ; ) b ()) = G (b) G (a) = 1
5
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 6/22
Rezolvand doua inegalitati in ; putem scrie
f! j a () g ((X 1;:::;X n) (!) ; ) b ()g= f! j A (X 1;:::;X n) (!) B (X 1;:::;X n) (!)g
Rezulta ca
C n;1 (x1;:::;xn) = [A (x1;:::;xn) ; B (x1;:::;xn)]
este un interval de estimare pentru cu coe…cient de in-credere (1 ) :
Comentariu:Cuantilele a () ; b () nu sunt unic determinate prin con-
ditia G (b) G (a) = 1 , deci nici intervalul de incredere nueste unic. Este de interes sa construim cel mai scurtinterval de estimare cu coe…cient de incredere dat.
TESTE BAZATE PE INTERVALE DE INCREDERE
PENTRU IPOTEZA SIMPLA CU ALTERNATIVACOMPUSA
H : f = 0g; H A : f 6= 0g
Ne plasam in conditiile propozitiei anterioare, careasigura existenta unui interval de incredere pentru :
Pornim de la relatia
P 0 (a () g ((X 1;:::;X n) ; 0) b ()) = 1
Alegem REGIUNEA DE ACCEPTARE a ipotezei H :
f = 0g la pragul de semni…catie
An;1 (0) = f(x1;:::;xn) j a g ((x1;:::;xn) ; 0) bg
si REGIUNEA CRITICA pentru H :
f = 0
gla pragul de
semni…catie B = AC
n;1 (0)
Probabilitatea erorii de I tip este egala cu ;
P 0 ((X 1;:::;X n) 2 B) = 1 (1 ) =
6
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 7/22
Functia caracteristica operatoare a testului bazat peaceasta regiune critica este
OC () = P ((X 1;:::;X n) 2 An;1 (0))
APLICATIA 1
Interval de incredere si testul "z" pentru media uneirepartii normale cu dispersie cunoascuta
Modelul: P
X 1 = N ; 2 ; 2 cunoscut,
2R
Observatii: X 1;:::;X n v.i.i.r. N ; 2X N
;
2
n
p
n
X
N (0; 1)
Functiag ((x1;:::;xn) ; ) =
p n (x )
indeplineste conditiile din constructiile anterioare.
Pentru 2 (0; 1) …xat, …e a; b doua cuantile ale repartitieiN (0; 1) asa incat
P
a
p n
X
b
!= 1
a
p n (x )
b
=
x b
p n
x ap
n
C n;1 (x1;:::;xn) =
x b
p n
; x ap
n
Lungimea acestui interval de incredere este
l =p
n(b a)
Determinam acum cel mai scurt interval de increderepentru ;cu coe…cientul de incredere (1 ) :
7
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 8/22
Utilizand faptul ca b = b (a) ; conditiile
( F N (0;1) (b) F N (0;1) (a) = 1 minn
p n
(b a)o
conduc la f N (0;1) (b) db
da f N (0;1) (a) = 0dbda
1 = 0;
de unde obtinem
f N (0;1) (b) = f N (0;1) (a)
Rezultab = z1
2; a =
z1
2
si deci cel mai scurt interval de incredere este
C n;1 (x1;:::;xn) =
x z1
2
p n
; x + z1
2
p n
Consideram acum ipoteza H : f = 0g cu alternativa H A :f 6= 0g
P 0
z1
2
p n
X 0
z1
2
!= 1
An;1 (0) = (x1;:::;xn) j z12 p
n (x
0)
z12=
0 z1
2
p n
x 0 + z1
2
p n
Testul "z" se bazeaza pe regiunea critica
B = AC n;1 (0)
P 0 ((X 1;:::;X n) 2 B) =
OC () = P
z1
2
p n
X 0
z1
2
!=
= P z1
2 p n X
+
p n ( 0)
z1
2
!=
= F N (0;1)
z1
2
p n ( 0)
F N (0;1)
z1
2
p n ( 0)
8
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 9/22
APLICATIA 2
Interval de incredere si testul "t" pentru media uneirepartii normale cu dispersie necunoascuta
Modelul: P X 1 = N
; 2
; 2 necunoscut, 2 R
Observatii: X 1;:::;X n v.i.i.r. N
; 2
La "estimarea parametrilor" s-a demonstrat:
Proprietate
Fie X 1;:::;X n variabile aleatoare independente, identicrepartizate N ; 2 si …e E.V.M.
bV M = X
c2V M =
1
n
nXi=1
X i X
2Atunci bV M = X N
;
2
n
;
n
2 c2
V M 2 (n 1)
si cele doua componente ale E.V.M. sunt independente.
Constructie:S 2 =
n
n 1 c2
V M
p n
X
N (0; 1)
n 1
2 S 2 2 (n 1)
independenta
Z =
p n
X
,r 1
n 1
n 1
2
S 2 =
p n
X
S t (n
1)
Functiag ((x1;:::;xn) ; ) =
p n (x )
s
indeplineste conditiile din constructiile anterioare.
9
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 10/22
Pentru 2 (0; 1) …xat, …e a; b doua cuantile ale repartitieit (n
1) asa incat
P
a
p n
X
S b
!= 1
a
p n (x )
s b
=
x b
sp n
x asp n
C n;1 (x1;:::;xn) =
x b
sp n
; x asp n
Lungimea acestui interval de incredere este
l =s
p n(b
a)
Determinam acum cel mai scurt interval de increderepentru ;cu coe…cientul de incredere (1 ) :
Utilizand faptul ca b = b (a) ; conditiile(F t(n1) (b) F t(n1) (a) = 1
minn
sp n
(b a)o
conduc la f t(n1) (b) db
da f t(n1) (a) = 0dbda 1 = 0
;
de unde obtinemf t(n1) (b) = f t(n1) (a)
Rezultab = tn1;1
2; a = tn1;1
2
si deci cel mai scurt interval de incredere este
C n;1 (x1;:::;xn) =
x tn1;1
2
sp n
; x + tn1;1
2
sp n
Consideram acum ipotezaH :
f =
0g cu alternativaH
A:
f 6= 0g
P 0
tn1;1
2
p n
X 0
S
tn1;1
2
!= 1
10
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 11/22
An;1 (0) =
(x1;:::;xn) j tn1;1
2
p n (x 0)
s tn1;1
2 =
0 tn1;1
2
sp n
x 0 + tn1;1
2
sp n
Testul "t" se bazeaza pe regiunea critica
B = AC n;1 (0)
P 0 ((X 1;:::;X n) 2 B) =
OC () = P
tn1;1
2
p n
X 0
S
tn1;1
2
!=
= P tn1;1
2
p n X
S +
p n (
0)
S tn1;1
2! =
= F t(n1)
tn1;1
2
p n ( 0)
s
F t(n1)
tn1;1
2
p n ( 0)
s
Functia din R: t.test(x,...)
t.test(x, alternative = c("two.sided", "less", "greater"),mu = 0, conf.level = 0.95, ...)
Arguments
x a numeric vector of data values.alternative a character string specifying the alter-native hypothesis, must be one of "two.sided" (default),"greater" or "less".
mu a number indicating the true value of themean
conf.level con…dence level of the interval.
11
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 12/22
APLICATIA 3
Interval de incredere si testul "CHI patrat" pentrudispersia unei repartii normale cu medie cunoascuta
Modelul: P X 1 = N
; 2
; cunoscut, 2 2 (0; 1)
Observatii: X 1;:::;X n v.i.i.r. N
; 2
: Variabilele aleatoare
X i
; i = 1;:::;n
sunt i.i.r. N (0; 1) : Rezulta ca
1
2
n
Xi=1
(X i
)2
2 (n) :
Functiag
(x1;:::;xn) ; 2
=1
2
nXi=1
(xi )2
indeplineste conditiile din constructiile anterioare.
Pentru 2 (0; 1) …xat, …e 0 < a < b doua cuantile ale repar-titiei 2 (n) asa incat
P 2
a 1
2
n
Xi=1
(X i )2 b
!= 1
(a 1
2
nXi=1
(xi )2 b
)=
(1
b
nXi=1
(xi )2 2 1
a
nXi=1
(xi )2)
C n;1 (x1;:::;xn) =
"1
b
nXi=1
(xi )2 ;1
a
nXi=1
(xi )2#
Lungimea acestui interval de incredere este
l =nX
i=1
(xi )2
1
b 1
a
Cautam cel mai scurt interval de incredere pentru 2;cu
coe…cientul de incredere (1 ) :Utilizand faptul ca b = b (a) ; conditiile8<:
F 2(n) (b) F 2(n) (a) = 1
min
nP
i=1(xi )
2 1b 1
a
12
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 13/22
conduc la
f 2(n) (b)
dbda
f 2(n) (a) = 0
1b2 dbda + 1a2 = 0 ;
de unde rezulta
b2 f 2(n) (b) = a2 f 2(n) (a)
Aceasta ecuatie nu are o solutie analitica explicita, decinu putem obtine forma explicita a celui mai scurt intervalde incredere pentru 2; cu coe…cientul de incredere (1 ) :
Prin CONVENTIE, lucram cu
C n;1 (x1;:::;xn) =
"1
hn;1
2
n
Xi=1
(xi )2 ;
1
hn;2
n
Xi=1
(xi )2
#;
unde hn;2
si hn;1
2sunt cuantile ale repartitiei 2 (n) :
Consideram acum ipoteza H : f2 = 20g cu alternativa
H A : f2 6= 20g
P 20
hn;
2 1
20
nXi=1
(X i )2 hn;1
2
!= 1
An;1
20
=
((x1;:::;xn) j hn;
2 1
20
nXi=1
(xi )2 hn;1
2
)
= (20 hn;2
nX
i=1
(xi )2 20 hn;1
2)
Testul "CHI patrat" se bazeaza pe regiunea critica
B = AC n;1
20
P 2
0((X 1;:::;X n) 2 B) =
OC
2
= P 2
hn;
2 1
20
nXi=1
(X i )2 hn;1
2
!=
= P 2 hn;2
20
2
1
2
n
Xi=1
(X i
)2
hn;1
2
20
2! =
= F 2(n)
hn;1
2 2
0
2
F 2(n)
hn;
2 2
0
2
13
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 14/22
APLICATIA 4
Interval de incredere si testul "CHI patrat" pentrudispersia unei repartii normale cu medie necunoscuta
Modelul: P X 1 = N
; 2
; 2 R necunoscut, 2 2 (0; 1)
Observatii: X 1;:::;X n v.i.i.r. N
; 2
: Am demonstrat ca
1
2
nXi=1
X i X
2 2 (n 1) :
Functia
g (x1;:::;xn) ; 2 = 12
nXi=1
(xi x)2 = (n 1) s2
2
indeplineste conditiile din constructiile anterioare.
Pentru 2 (0; 1) …xat, …e hn1;2
si hn1;1
2cuantile ale repar-
titiei 2 (n 1) : Ca si in Aplicatia 3, obtinem
C n;1 (x1;:::;xn) =
(n 1) s2
hn1;1
2
;(n 1) s2
hn1;2
Consideram acum ipoteza H : f2
= 20g cu alternativaH A : f2 6= 2
0g
P 20
hn1;
2 1
20
nXi=1
X i X
2 hn1;1
2
!= 1
An;1
20
=
(x1;:::;xn) j hn1;
2 (n 1) s2
20
hn1;1
2
=
20 hn1;
2
n 1 s2 2
0 hn1;1
2
n 1
Testul "CHI patrat" se bazeaza pe regiunea criticaB = AC
n;1
20
P 2
0((X 1;:::;X n) 2 B) =
14
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 15/22
OC 2
= P 2 hn1;2
1
2
0
n
Xi=1 X i X 2 hn1;1
2! =
= P 2
hn1;
2 2
0
2 1
2
nXi=1
X i X
2 hn1;1
2 2
0
2
!=
= F 2(n1)
hn1;1
2 2
0
2
F 2(n1)
hn1;
2 2
0
2
15
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 16/22
APLICATIA 5
TESTUL FISHER PENTRU DREAPTA DEREGRESIE
La capitolul "Regresie" am stabilit urmatoarele rezul-tate:
Variabila aleatoare
SS resid =nX
i=1
X i ba bbyi
2
are proprietatea1
2x (1 2)
SS resid 2 (n 2)
Daca b = 0; atunci
1
2x (1 2)
SS regresie 2 (1)
1
2x (1 2)
SS total 2 (n 1)
iar variabilele 12x(1
2)
SS regresie si 1
2x(1
2)
SS resid sunt in-
dependente.
Formulam ipoteza H : fb = 0g cu alternativa H A : fb 6= 0g:
Daca H este adevarata, atunci variabila aleatoare
Z =1
2x (1 2)
SS regresie
1
n 2 1
2x (1 2)
SS residnotat
=SS regresie
SS resid
are o repartitie Fisher cu (1; n 2) grade de libertate.Pentru 2 (0; 1) arbitrar …xat, …e f (1;n2);1 cuantila de
rang (1
) a repartitiei Fisher cu (1; n
2) grade de liber-
tate.TESTUL FISHER: Regiunea critica pentru H : fb = 0g
esteB =
SS regresie
SS resid
f (1;n2);1
16
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 17/22
P (b=0)SS regresie
SS resid
f (1;n2);1=
Acest test este implementat in functia "anova" din R:
Testul Fisher prezentat aici este echivalent cu un test"t"; bazat pe urmatoarele fapte:
bbs 2x(12)
nP
i=1
(yiy)2
N (0; 1)
SS regresie = bb2n
Xi=1 (yi y)
2
1
2x (1 2)
SS resid 2 (n 2)
SS regresie si SS resid sunt variabile aleatoare independente,ceea ce implica bb si SS resid sunt variabile aleatoare indepen-dente. Atunci
bbs 2x(12)
nP
i=1
(yiy)2
,s 1
n 2 1
2x (1 2)
SS resid t (n 2)
TESTUL "t": Regiunea critica pentru H : fb = 0g lapragul de semni…catie este
B =
8>>>><>>>>: bb s
(n 2)nP
i=1
(yi y)2
p SS resid
tn2;1
9>>>>=>>>>; ;
unde tn2;1 este cuantila de rang (1 ) a repartitiei t (n 2) :
Si acest test este implementat in functia "anova" din R:
17
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 18/22
APLICATIA 6
COMPARAREA TRATAMENTELOR(COMPARAREA PARAMETRILOR A DOUA
REPARTITII NORMALE)
PROBLEMA DE BIOSTATISTICA:
Caracteristica de interes care este investigata poate… modelata printr-o variabila aleatoare cu reparti-tie normala N
; 2
(ex: nivelul colesterolului, nivelul
tensiunii arteriale sistolice, nivelul hemoglobinei, etc.)
Exista doua tratamente posibile T 1si T 2. EventualT 1 ="tratament" si T 2 ="placebo".
Se considera doua loturi independente, formate dinpacienti suferind de aceeasi boala, selectati in modindependent dintr-o populatie bine de…nita (ex: bar-bati, din mediul urban, in varsta 40 - 50 ani, suprapon-derali).
Pacientilor din primul lot li se administreaza T 1sicelor din al doilea lot li se administreaza T 2:Experimentul
este "blind", adica pacientii nu stiu ca primesc trata-mente diferite.
Se doreste identi…carea situatiei in care se obtin raspun-suri diferite la cele doua tratamente.
Model: T 1 = X 1 N
1; 21
; T 2 = X 2 N
2; 2
2
; X 1; X 2 vari-
abile aleatoare independenteObservatii:X 11; X 12;:::;X 1n v:a:i:i:r:N
1; 2
1
X 21; X 22;:::;X 2m v:a:i:i:r:N
2; 2
2
fX 11; X 12;:::;X 1n
g;f
X 21; X 22;:::;X 2m
g familii independenteIpoteze ce urmeaza a … testate:
H 1 :
21 = 2
2
; H 1A :
21 6= 2
2
H 2 : f1 = 2g ; H 2A : f1 6= 2g
18
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 19/22
Reamintim proprietatile E.V.M. pentru parametrii repar-titiei normale:
X 1 =1
n
nXj=1
X 1j N
1;
21
n
S 21 =1
n 1
nXj=1
X 1j X 1
2;
n 1
21
S 21 2 (n 1)
X 1;n 1
21
S 21 independente
X 2 =1
m
m
Xj=1
X 2j N
2;
22
m
S 22 =1
m 1
mXj=1
X 2j X 2
2;
m 1
22
S 22 2 (m 1)
X 2;m 1
22
S 22 independente
(a) Testul Fisher de comparare a dispersiilor,H 1 :
21 = 2
2
; H 1A :
21 6= 2
2
Folosind asociativitatea independentei, avem
1
n 1 n 1
21
S 21
1
m 1 m 1
22
S 22 =22
21
S 21S 22
F (n 1; m 1)
Reparametrizam si rescriem ipotezele H 1; H 1A :
=22
21
H 1 : f = 1g ; H 1A : f 6= 1gDaca ipoteza H 1 este adevarata, atunci S 21=S 22 F (n 1; m 1) :
Pentru 2 (0; 1) arbitrar …xat, …e f 1; si f 2; cuantile alerepartitiei F (n 1; m 1), cu proprietatea
F F (n1;m1) (f 2;) F F (n1;m1) (f 1;) = 1
19
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 20/22
Facem observatia ca aceasta relatie determina uniccuantilele pentru ca
Z F (n 1; m 1) =) 1
Z F (m 1; n 1)
deci avem si
F F (m1;n1)
1
f 1;
F F (m1;n1)
1
f 2;
= 1 :
Regiunea de acceptare a ipotezei H 1 : f = 1g este
An;m;1 ( = 1) =
(x11;:::;x1n; x21;:::;x2m) j f 1; s21
s22 f 2;
iar regiunea critica este B = AC n;m;1 ( = 1) : Probabilitatea
erorii de I tip este
P ( =1) ((X 11;:::;X 1n; X 21;:::;X 2m) 2 B) =
si functia caracteristica operatoare a testului este
OC ( ) = P
f 1; S 21
S 22 f 2;
= P
f 1; S 21
S 22 f 2;
=
= F F (n1;m1) ( f 2;) F F (n1;m1) ( f 1;)
Functia din R: var.test(x,y,...)
var.test(x, y, ratio = 1, alternative = c("two.sided","less", "greater"), conf.level = 0.95, ...)
Argumentsx, y numeric vectors of data values, or …tted linear
model objects (inheriting from class "lm").ratio the hypothesized ratio of the population vari-
ances of x and y.alternative a character string specifying the alter-
native hypothesis, must be one of "two.sided" (default),"greater" or "less".conf.level con…dence level for the returned con…-
dence interval.
20
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 21/22
(b) Testul "t" de comparare a mediilor,H 2 :
f1 = 2
g; H 2A :
f1
6= 2
gPresupunem ca s-a acceptat ipoteza de egalitate a dis-
persiilor, H 1 :
21 = 2
2
: Rezulta:
X 1 N
1;
2
n
X 2 N
2;
2
m
Folosind independenta, avem
X 1 X 2 N 1 2; 2 1
n +
1
mPe de alta parte,
1
2
(n 1) S 21 + (m 1) S 22
2 (n + m 2)
Folosind asociativitatea independentei,X 1 X 2
(1 2)q 21n + 1
m
,r
1
n + m 2 1
2((n 1) S 21 + (m 1) S 22) t (n + m 2)
Reparametrizam si rescriem ipotezele H 2; H 2A :
= 1 2
H 2 : f = 0g ; H 2A : f 6= 0gDaca ipoteza H 2 este adevarata, atunci
Z =X 1 X 2q
1n+m2
1n + 1
m
((n 1) S 21 + (m 1) S 22)
t (n + m 2)
Pentru 2 (0; 1) arbitrar …xat, …e tn+m2;1=2 cuantila derang
1
2
a repartitiei t (n + m 2) :
Regiunea de acceptare a ipotezei H 2 este
An;m;1 ( = 0) =
(x11;:::;x1n; x21;:::;x2n) j tn+m2;1=2 z tn+m2;1=2
Regiunea critica pentru H 2; la pragul de semni…catie este
B = AC n;m;1 ( = 0)
21
8/6/2019 Int Incredere N
http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 22/22
cu probabilitatea de eroare de tip I
P (=0) ((X 11;:::;X 1n; X 21;:::;X 2m) 2 B) =
si functia caracteristica operatoare
OC ( ) = P tn+m2;1=2 Z tn+m2;1=2
=
F t(n+m2)
tn+m2;1=2
,s 1
n + m 2
1
n+
1
m
((n 1) s21 + (m 1) s22)
!
F t(n+m2)
tn+m2;1=2
,s 1
n + m 2
1
n+
1
m
((n 1) s21 + (m 1) s22)
!
Functia din R: t.test(x,y,....)
t.test(x, y = NULL, alternative = c("two.sided", "less","greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,conf.level = 0.95, ...)
Argumentsx a numeric vector of data values.y an optional numeric vector data values.alternative a character string specifying the alter-
native hypothesis, must be one of "two.sided" (default),"greater" or "less".
mu a number indicating the di¤erence in means(if you are performing a two sample test).
paired a logical indicating whether you want apaired t-test.
var.equal a logical variable indicating whether totreat the two variances as being equal. If TRUE then thepooled variance is used to estimate the variance. Other-wise the Welch approximation to the degrees of freedomis used.
conf.level con…dence level of the interval.
22
top related