electro teh nica
Post on 07-Dec-2015
229 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Conf. Dr. ing. Ilie SuarasanUniversitatea Tehnica
din Cluj-Napoca
Disciplina de baza in pregatirea specialistilor din ISA, (numai ET)
Disciplina tehnica abstracta, complementara in pregatirea specialistilor din II, IEI, ISM, SET, IM s.a.
Cunosterea tipurilor de masini electrice utilizate, dar si a principiilor de alegere a acestora in diverse actionari electrice
1. ELECTROSTATICA
2. ELECTROCINETICA
3. CIRCUITE DE CURENT CONTINUU
4. ELECTRODINAMICA
5. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV
6. CIRCUITE TRIFAZATE
1.1. Sarcina si campul electric Electronul are sarcina elementară negativă:
(Coulomb). Aceeaşi sarcină elementară, dar pozitivă, o are protonul:
Cqe1910602,1
Cq p1910602,1
Forţa care acţionează asupra un corp punctiform de probă, încărcat cu sarcina electrică q şi care explorează câmpul electric : vE EqF
[Ev]SI: 1 V / 1 m; [q]SI: 1 C = 1A x 1s, sau Ah, (1 Ah = 3600 As =3600 C)
Liniile de câmp dintre două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice diferite
12
122
12
2112 4 r
r
r
qqF
0 r
m
F
Nm
C,,
1094
12
2
90
ε este constanta dielectrică sau permitivitatea mediului.În tehnică se lucrează cu permitivitatea relativă:
34 r
rqE
i i
ii r
rqE
34
1
1.2. Potenţialul electric şi tensiunea electrică
s
s
sE
s
V
gradVE 04
1V
r
qV
Câmpul electrostatic este un câmp potenţial, definit ca o funcţie scalară de punct V(r), a cărei pantă de scădere locală după direcţia vectorului să fie egală cu proiecţia pe acea direcţie a intensităţii câmpului
electric:
, sau:
.
Vi i
i
r
dq
r
qV
4
1
FdrFdssdFdL cos
B
AAB AB
r
r
BABAc c
AB VVqrr
qqdr
r
qqFdrsdFL
EqF
11
440
20
BAAB c
B
c
BA sdEVsdEVV
Lucrul mecanic efectuat de corpul M, în deplasarea sa pe curba (c), între punctele A şi B:
BA rr 0sdE
ABc
AB sdEU
Pentru reprezintă teorema potenţialului electrostatic: circulaţia
intensităţii câmpului electric coulombian este nulă pe orice curbă închisă.Tensiunea electrică se defineşte ca fiind:
lucrul mecanic efectuat este nul, LAB=0 şi
BAAB VVU
Tensiunea electrica se defineste ca diferenţa de potenţial măsurată între două puncte ale curbei respective:
a cărui unitate de măsură în SI este voltul, fiind definit ca lucrul mecanic de 1 J, cheltuit pentru transportarea unei sarcini de 1 C.
D E
EED r 0
1.3. Caracterizarea dielectricilorCâmpul electric în interiorul corpurilor dielectrice este caracterizat de inducţia electrică şi intensitatea câmpului electric
Pentru dielectrici liniari şi izotropi există relaţia:Materialele electroizolante mai sunt caraterizate şi prin rigiditatea
dielectrică, Ed. Rigiditatea dielectrică depinde de natura materialului electroizolant, forma
electrozilor, distanţa dintre electrozi, condiţii atmosferice, etc.
S
AdD
qAdD
1.4. Legea fluxului electric
Fluxul electric se defineşte ca fiind:
Legea fluxului electric arată că fluxul electric , prin orice suprafaţă închisă este egal cu sarcina electrica q.
.
1.5. Condensatorul electric şi capacitatea electrică
U
qC
V
CF
1
11
Două conductoare separate de un dielectric, încărcate cu sarcinile +q, respectiv –q, reprezintă un condensator, caracterizat de capacitatea sa: si unitatea de masura
Condensatorul plan - două suprafeţe metalice, plane, (1 şi 2), de arie A, aflate la distanţa a, într-un mediu cu permitivitatea , încărcate cu sarcinile q. Valoarea inducţiei electrice si a
intensităţii câmpului electric între armături este, (în care este densitatea de sarcină pe suprafaţa A):
A
qD
A
qDE
Tensiunea aplicată armăturilor 1 şi 2 poate fi exprimată sub forma:iar capacitatea condensatorului plan, va fi:
A
qaEasdEU
2
1a
AC
1.6. Capacitatea echivalentă a condensatoarelor1.6.1. Conectarea în serie a condenstoarelor
qqq 21 nAB UUUU ,...,21
ne C
q
C
q
C
q
C
q ,...,
21
ne CCCC
1,...,
111
21
n
k ke CC 1
11
1.6.2. Conectarea în paralel a condenstoarelor
nqqqq ,...,21 ABnABABABe UCUCUCUC ,...,21
ne CCCC ,...,21
n
kke CC
11.7. Energia şi forţele câmpului electrostatic
C
qCUqUVVqWe
22
21 2
1
2
1
2
1
2
1
ctqk
Wef
ctVk
Wef
Pentru sisteme de corpuri izolate de surse, (dqk = 0), efectuarea lucrului mecanic se efectuează în contul energiei sistemului, iar pentru sisteme de corpuri conectate la surse care menţin constante potenţialele Vk .
2. ELECTROCINETICA studiază stările electrice ale conductoarelor parcurse de curenţi electrici de conducţie
2.1. Curentul electric şi tensiunea electromotoareIntensitatea curentului electric este caracterizată de cantitatea de sarcini electrice (dqS), care străbate o suprafaţă S, în unitatea de timp :dt
dqi S
S Local, starea electrocinetică se caracterizează prin densitatea curentului electric, mărime vectorială, funcţie de punct, a cărei componentă după direcţia unui vector este:
A
iJnJ
A
0
lim
S
S AdJiCurentul mai poate fi denumit ca fiind fluxul densităţii curentului prin suprafaţa dată, S:
Pentru întreţinerea unei stări electrocinetice staţionare este necesară existenţa unor câmpuri electrice imprimate:
io
i Fq
E1
Forţa electromotoare, sau tensiunea electromotoare (t. e. m.) reprezintă lucrul mecanic al forţelor neelectrice pentru a transporta un purtător cu sarcina electrică unitate pe curba :
eLq
sdFq
sdEo
io
i
11Pentru un regim electrocinetic staţionar se defineşte, t. e. m. corespunzătoare unei porţiuni de curbă c12,cu UM, în SI, [V] :
12c
ii sdEe
Prin generalizarea primei relaţii se ajunge la conservarea sarcinii electrice:
dt
dqi În regim electrocinetic staţionar, curentul este nul
prin orice suprafaţă închisă, iar teorema potenţialului electric staţionar mai poate fi scrisă şi sub forma: 0sdE 0
kku
2.2. Legea conducţiei electriceJEE i 1211
12ttttt
1
Unităţile de măsură ale rezistivităţii şi conductivităţii în SI sunt []SI = m, []SI = S / m, iar în tehnică se utilizează mm2/m, sau S m / mm2.Legea conducţiei electrice admite o justificare microscopică
simplă, asupra purtătorilor de sarcină, acţionează sistemul de forţe:
EqF oe ioi EqF vkF ff 0 vkEEq fio
vNqJ o if
o EEk
NqJ
2
A
iJ ds
A
iJdssdJ Pentru conductoare
filiforme:
1212121212 ccc
i
cc
i A
dsisdJ
A
AsdEsdEsdEE
sdEuc
f 12
12c
ii sdEe 12c A
dsR
Rieu if
Rieu ib eI = Ri, ub = Ri
A
l
A
lR
[R]SI = 1 , (Ohm), [G]SI = 1 S,
(Siemens)
2.3. Transformarea energiei în procesul de conducţieJEp j EqF oe vNqJ o JEvENqvNFp ooej
JEJJEJp iij 202 JpR JEp ig
V c
f
V
jJ iuJAsdEsdAEJdVpP12
))(()(
gRiiJ PPieRieRiiP 2)(
2.4. Pile şi acumulatoare electrice
3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU3.1. Convenţii şi
definiţiiO = L – N + 1
pb > 0, puterea este primită de receptor, sau este cedată
de sursă
ub + er = Ri - ub + eg = ri pb = ubi
3.2. Teoremele lui Kirchhoffa. Prima teoremă a lui Kirchhoff suma curenţilor
care intră este egal cu suma curenţilor care ies din nodul respectiv, sau suma curenţilor care converg spre un nod este nulă:
b. A doua teoremă a lui Kirchhoff suma căderilor de tensiune pe laturile ochiului independent este egală cu suma tensiunilor electromotoare existente în aceleaşi laturi, sau suma tensiunilor existente în laturile ochiului respectiv este nulă:
NK
KI 0
OK
KU 0
OK
KKOK
K IRE
3.3.2. Teorema rezistenţelor echivalente a. Conectarea în serie a rezistoarelor
nAB UUUU ...21
IRIRIRIR ne ...21
ne RRRR ...21
K
Ke RR
b. Conectarea în paralel a rezistoarelor nIIII ...21
n
ABABAB
e
AB
R
U
R
U
R
U
R
U ...21
ne RRRR
1...
111
21
K K
e
R
R1
1 K
Ke GG
3.3.3. Alte teoreme: a superpozitiei, Thevenin, Norton, metode sistemice - vezi curs
cK cK
KKKK IRIE 2
3.3.5. Teoremele de transfigurare
Δ → Y Y → Δ
312312
31231221
)(
RRR
RRRRR
312312
12312332
)(
RRR
RRRRR
312312
23123113
)(
RRR
RRRRR
312312
31121 RRR
RRR
312312
12232 RRR
RRR
312312
31123 RRR
RRR
321
3122312
)(
GGG
GGGGG
321
1233123
)(
GGG
GGGGG
321
2311231
)(
GGG
GGGGG
321
2112 GGG
GGG
321
3223 GGG
GGG
321
1331 GGG
GGG
4. ELECTRODINAMICA 4.1. Câmpul magnetic
vBvqF mA
NT
11
11
vp BmC vBliF Aimp
HHB r 0 r 0 ]/[,104 70 mH [H]SI =
1A/1mrsd
r
iHd
344.2. Materiale magnetice
V
mM
V
lim
0
)(0 MHB tp MMM tmt HM
ppmmp MHMHHMHB 0000 )1()(
rm 1
Diamagnetice caracterizate prin susceptivitate ct., f. mică, negativă . Ex: Ag, Cu, Bi. 0m 1rParamagnetice caracterizate prin susceptivitate f. mică, pozitivă, care scade cu temperatura. Ex: O2, Pt, Al, Mn.Feromagnetice caracterizate prin permeabilităţi relative şi susceptivităţi pozitive, de valori f. mari, (102 ÷105), dependente de intensitatea câmpului magnetic, iar depăşirea unei anumite temperaturi critice, numită temperatură Curie, determină pierderea proprietăţilor feromagnetice.
0m 1r
- materiale magnetice moi, caracterizate prin ciclu histerezis îngust şi un câmp coercitiv mic, utilizate pentru realizarea circuitelor magnetice ale maşinilor şi aparatelor electrice. Exemple: oţelul Et, cu un conţinut ridicat de siliciu, (2 şi 4)% Si, permalloy-ul, dynamax-ul, fonta şi altele;- materiale magnetice dure, caracterizate printr-un ciclu histerezis larg şi un câmp coercitiv mare, utilizate pentru realizarea magneţilor permanenţi ai excitaţiilor unor maşini electrice, sau a circuitelor magnetice din unele aparate electrice. Exemple: oţelul carbon călit, oţeluri AlNi, AlNiCo şi altele;- materiale ferimagnetice, denumite şi ferite, care prezintă o structură asemănătoare cu materialele feromagnetice moi sau dure, dar care sunt materiale semiconductoare caracterizate prin rezistivitate mare şi care prezintă caracteristici asemănătoare materialelor magnetice moi sau dure, cu utilizări multiple în informatică, transformatoare de înaltă frecvenţă, micromotoare, relee, microgeneratoare, etc.
4.3. Fluxul şi tensiunea magnetică
S
S AdB 0
AdB
MNc
m sdHU
sdHUmm
[]SI: 1 Wb, (Weber); [Um; Umm]SI: 1 A, sau 1 Asp., (Amper sau Amperspiră)
S
Smm AdJisdHUTeorema lui Ampere:
Solenaţia:
Legea circuitului magnetic:
S
AdJ
S
AdDdt
dsdH
4.4. Circuite magnetice
S
HABAAdB MN MN MNc c c
MNMN RA
dsHdssdHU
MNc
MNRA
ds
Circuite electrice Circuite magnetice
Tensiunea electrică:, [V]
Tensiunea magnetică:, [A], [A sp.]
Tensiunea electromotoare:, [V]
Tensiunea magnetomotoare:, [A], [A sp.]
Curentul electric:, [A]
Fluxul magnetic:, [Wb]
Rezistenţa electrică:, []
Reluctanţa magnetică:, [H-1]
Conductanţa electrică:, [S]
Permeanţa magnetică:, [H]
Legea lui Ohm: Teorema lui Ampere:
Prima teoremă a lui Kirchhoff: Legea fluxului magnetic:
A doua teoremă a lui Kirchhoff: Teorema lui Ampere:
12c
f sdEu MNc
m sdHU
12c
ii sdEe
sdHUmmi
AdJis s
s AdB
A
l
A
dsR
c
12
MNc
MN A
l
A
dsR
RG
1
MNR
1
Riub MNm RU
Nk
kI 0
Nk
k 0
Ok
kOk
k EU
Ok
kOk
kMNkR
4.5. Legea inducţiei electromagnetice
dt
de
S
AdBdt
d
dt
dsdEe
fN dt
dNe f
sdBvdtvsdBdt
dAdB
dt
dconstB
SconstB ..
S
sdBvAdt
BsdEe
4.6. Inductivităţi 1
111
1
1111 i
N
iL f
1
212
1
2121 i
N
iL f
4.7. Energia şi forţele câmpului magneticEnergia magnetică a bobinei de
inductivitate L:
Forţele câmpului magnetic:
LiLiWm
22
2
1
2
1
2
1
.const
mWf
.consti
mWf
5.1. Elemente ideale de circuit în regim variabila. Rezistorul ideal
0
dt
duusdEe bf
Riu f
Riub RiuR RGui
;
;
;
22RR GuRiiup
b. Bobina ideală
0
dt
duusdEe bf
0Riu f dt
deu S
b
LiS dt
diLuL dt
dWLi
dt
d
dt
diLiiup m
L
2
2
1
Pentru bobina reală cu rezistenţa firului conductor, R 0:
LRS
fb uudt
diLRi
dt
duu
c. Condensatorul c. Condensatorul idealideal
0
dt
duusdEe bf
0Riu f C
quu Cb
0)(
dt
duC
dt
dq
dt
qdi C
t
CC idtC
uu0
10
dt
dWCu
dt
d
dt
duCuiup e
CC
CC
2
2
1
d. Surse ideale de tensiune si de curent
gi esdEEe
0 Rieu if
bg ue ieiup gb e. Teoremele lui Kirchhoff generalizate pentru regim cvasistationar I teorema a II-a teorema
NK
Ki 0 ;0
sdE 0bKu
5.2. Circuite simple în regim tranzitoriua. Regimul tranzitoriu de stabilire a
curentului intr-o bobina
00 Uuu LR
0Udt
diLRi
R
UAeti
tL
R0)(
)0()0( ii > 0, <<, iar înaintea închiderii întrerupătorului, i(0 - ) = 0, 0)0()0( 0
R
UAii
tL
R
eR
Uti 1)( 0
R
UA 0
tL
R
L eUdt
diLu
0 R
L - constanta
circuitului
b. Regimul tranzitoriu de incarcare a unui condensator
00
UuuldEe CR
dt
duRCRiu C
R
0 CC u
dt
duRC
.
0)( UAetu RC
t
C
)0()0( CC uu > 0, <<, iar înaintea închiderii întrerupătorului, Uc(0 - ) = 0,
0)0()0( UAuu CC
0UA
RC
t
C eUtu 1)( 0RC
tC e
R
U
dt
duCti
0)(
τ= RC - constanta circuitului
5.3. Regimul permanent sinusoidal
5.3.1. Marimi periodice si sinusoidale)()( nTtiti
Tf
1
Tt
t
med idtT
I1
1
1
Tt
t
dtiT
I1
1
21
)sin(max tIiImax > 0 este amplitudinea; > 0 este pulsaţia; este faza iniţială;iar expresia (t + ) poartă
denumirea de faza mărimii sinusoidale
2 tTt
2
T fT
22
22
)(2cos12
)(sin1 max
0
2max
0
2max
0
22max
Idt
T
Idtt
T
IdttI
TI
TTT
)sin(2)sin(max tItIi
)sin(2 111 tIi
)sin(2 222 tIi
- defazajul mărimilor:
1 - 2 1 - 2
= 1 - 2 1 - 2 = 0, mărimi în fază;
1 - 2 = ± , mărimi în opoziţie;
1 - 2 = ± /2, mărimi în cuadratură
Operaţii cu mărimi sinusoidale.
Suma a două mărimi sinusoidale:
)cos(2 212122
21 IIIII
Multiplicarea cu o constantă :
. .
)sin(2' tIiDerivarea:
2sin2)cos(2
tItIdt
didefazată în faţă cu /2
Integrarea:
2
sin2)cos(2
t
It
Iidt defazată în urmă cu /2
Produsul a două mărimi sinusoidale: );sin(2 tIi )sin(2 tUu)]2cos()[cos()sin()sin(2 tUIttUIui
5.3.2. Caracterizarea circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal
)sin(2 tUu
)sin(2 tIi
Impedanţa circuitului: 0,...),,,( CLRZI
UZ
Defazajul :
0,...),,,(
CLR
)sin(2 tZ
Ui
Rezistenţa circuitului : 0coscos
Z
I
UR
Reactanţa: 0sinsin
Z
I
UX
Admitanţa: 01
U
I
ZY
Conductanţa: 0coscos
Y
U
IG
Susceptanţa: 0sinsin
Y
U
IB
Clasificarea circuitele de curent alternativ: - circuite pur rezistive: = 0;X = 0; B = 0; Z = R; Y = G;- circuite reactive: 0; X 0;B 0;- circuite reactive sau nedisipative: R = 0; G = 0; ;- circuite inductive: > 0; X > 0; B > 0;
- circuite pur inductive: R = 0; G = 0; Z = X; Y = B;- circuite capacitive: < 0; X < 0; B < 0;- circuite pur capacitive: R = 0; G = 0; Z = - X ; Y = - B;
;2
XZ ;BY
;2
;2
5.3.3. Puteri în regim permanent sinusoidal
tUu sin2 )sin(2 tIi
Puterea instantanee: p = u i tUIUIttUIp 2cos(cos)sin(sin2
Puterea activă: T
UIpdtT
pP0
cos1~
0cos 22 GURIUIP
Puterea reactivă: 0sin
UIQ 0sin 22
BUXIUIQ
Puterea aparentă: 022 YUZIUIS
Factorul de putere: 0cos1 S
Pk p
5.3.4. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal
tUu sin2 )sin(2 tIi
a. Rezistorul ideal
tURiu sin2
tR
U
R
ui sin
R
URIP
22
b. Bobina ideală
dt
diLu
2sin2)cos(2sin2
tILtILtU
2sin2
tL
Ui 0P
02
2
L
UILSQ
c. Condensatorul ideal
dt
duCi
2sin2cos2)sin(2
tUCtUCtI
UCI 2
2sin2
tUCi
02 UCC
IQ
d. Circuitul RLC serie
CLR uuuu
idtCdt
diLRiu
1
)cos(21
)cos(2)sin(2sin2
tIC
tILtRItU
22 1
CLR
UI
01
C
LXXX CL
22
2 UZ
RRIP
0
11 2
22
U
ZC
LI
CLQ
22 QPS
5.4. Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale
)sin(2)( tIti
)(2 tjeIi 1j ii
11 ii 22 ii Operatii cu marimi complexe: adunarea (sau scăderea):
2121 iiii
- multiplicarea cu o constantă:
ikki
- derivarea în raport cu timpul:ij
dt
id
dt
di ijeIjdt
id tj )(2
- integrarea în raport cu timpul: ji
dtiidt
j
ieI
jidt tj )(2
1
jIeI tjeIi 2
Operatii cu marimi complexe simplificate: adunarea (sau scăderea):
11 Ii 22 Ii 2121 IIii
- multiplicarea cu o constantă: Ikki
- derivarea în raport cu timpul: Ijdt
di
jI
idt - integrarea în raport cu timpul:
5.5. Caracterizarea în complex a circuitelor liniare
)sin(2 tUu jUeU
)sin(2 tIi jIeI 5.5.1. Impedanţa şi admitanţa complexăa. Impedanţa complexă
),...,,,,( CLRZI
UZ
)sin()cos()(
I
Uj
I
Ue
I
U
Ie
Ue
I
UZ j
j
j
jXRZeZ j ZZ }arg{Z
}Re{ZR
}Im{ZX
b. Admitanţa complexă: ),...,,,,(1
CLRYU
I
ZY
)sin()cos()(
U
Ij
U
Ie
U
I
Ue
Ie
U
IY j
j
j
jBGYeY j
YY
}arg{Y}Re{YG
}Im{YB
5.5.2. Puterea complexă
)sin()cos(* )( jUIUIUIeIUS j
jQPjUIUIUIeSeS jj sincos
UISS Sarg SUIP Recos SUIQ Imsin
5.5.3. Caracterizarea în complex a elementelor electrice ideale de circuit
a. Rezistorul ideal:
RR UIRUuRiu
RZI
U
RY
U
I 1
R
URISIU
22*
b. Bobina ideală:
LL UILjUudt
diLu
LjZI
U
Lj
LjY
U
I
11
L
UjLIjSIU
2
2*
c. Condensatorul ideal
CC UCj
IUuidt
Cu
1
Cj
CjZ
I
U
11
CjYU
I
221* CUjI
CjIUS
d. Circuitul RLC serie:
CLjRZ
I
U
1
22 1
1
11
CLR
CLjR
CLjR
YU
I
22 1* I
CLjRIIUS
6. CIRCUITE TRIFAZATE 6.1. Generalităţi, definiţii şi convenţii asupra mărimilor trifazate
3
4sin2
3
4sin
3
2sin2
3
2sin
sin2sin
33
22
11
tEtNBAdt
de
tEtNBAdt
de
tEtNBAdt
de
333
222
111
sin2
sin2
sin2
tXx
tXx
tXxSistem trifazat simetric:X1 = X2 = X3;1 - 2 = 2 - 3 = 3 - 1
Sistem trifazat de succesiune directă:
3
2133221
Sistem trifazat de succesiune inversă: Sistem omopolar:
3
2133221
0133221
6.2. Conexiuni trifazate
6.2.1. Conexiunea stea
111
11 YU
Z
UI N
N 222
22 YU
Z
UI N
N 333
33 YU
Z
UI N
N
NNN
NN YU
Z
UI 0
0 0101 NN UUU
0202 NN UUU
0303 NN UUU
NIIII 321
NN YYYY
YUYUYUU
321
3302201100
201012 UUU 302023 UUU 103031 UUU
0312312 UUU
*0
*3030
*2020
*1010
*0
*33
*22
*11
NNNNN
NNNNN
IUIUUIUUIUU
IUIUIUIUS
**3
*2
*1 NIIII
*330
*220
*110 IUIUIUS
fUU 10
3
2
20
j
f eUU
3
4
30
j
f eUU
jZeZZZ 321
3
4
13
4
3
4
3
303
3
2
13
2
3
2
2
202
1
101
jj
f
jf
jj
f
jf
jf
jf
eIeIeZ
U
Z
UI
eIeIeZ
U
Z
UI
eIeZ
U
Z
UI
0321 III
3
4
126
5
103031
3
2
122
302023
6201012 2
1
2
33
jj
l
jj
l
j
lf
eUeUUUU
eUeUUUU
eUjUUUU
3f
l
U
U
jQPeIUIUIUIUS jff 3*
330*220
*110
sin3sin3
cos3cos3
llff
llff
IUIUQ
IUIUPfl II
6.2.2. Conexiunea triunghi
31121 III 12232 III 23313 III 0321 III
12
1212
Z
UI
23
2323
Z
UI
31
3131
Z
UI
*323
*31312312
*3131
*3
*3123
*31
*112
*3131
*2323
*1212
IUIUUU
IUIIUIIU
IUIUIUS
lUU 12 3
2
23
j
leUU
3
4
31
j
leUU
jeZZZZ 312312
3
4
123
4
3
4
31
3131
3
2
123
2
3
2
23
2323
12
1212
jj
f
jl
jj
f
jl
jf
jl
eIeIeZ
U
Z
UI
eIeIeZ
U
Z
UI
eIeZ
U
Z
UI
3
4
13
4
623313
3
2
13
2
612232
62
1
2
3
31121 3
jj
l
jj
l
j
l
jj
f
eIeIIII
eIeIIII
eIeIIII
3
2
2332
j
leUUU
jQPeIUjeIU
eIUeIUIUIUS
jll
j
ll
j
ll
j
ll
32
1
2
33 6
3
4
3
2
66*332
*112
sin3
cos3
ll
ll
IUQ
IUP
fl UU
3f
l
I
I
top related