curs 5 mdf 2015new
Post on 24-Feb-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 1/109
CURS_5_MDF_2015/2016 1
Capitolul 3
Clasificarea ecuaţiilorcu derivate parţiale
S.l.dr.ing.mat. Alina Bogoi
Metode cu Diferenţe Finite
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 2/109
CURS_5_MDF_2015/2016 2
Clasificarea EDP cu doua variabile
Concluzie -Forma generală( 2 variabile)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 3/109
CURS_5_MDF_2015/2016 3
Problemă numeric bine pusă(stabilă)
(Numerically Well-Posed )
Soluţia numerică să existe (existenţa)
Soluţia numerică să fie unică (unicitea)
Soluţia numerică să depindă continuu dedatele iniţiale şi la limită
Algoritmul trebuie să fie stabil
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 4/109
CURS_5_MDF_2015/2016 4
EDP cu caracter mixt :
EDP reprezentative
2 22
2 2
1:(1 ) 0
1:
subsonic
supersonic
M M
M x y
Curgerea staţionară, compresibilă
subsonică/supersonică
① : regiune subsonică
② : linie sonică (M=1)
③ : regiune supersonică
①①③
②
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 5/109
CURS_5_MDF_2015/2016 5
Reprezentarea soluţiei EDP(2D-exemplu)
Există 3 căi de reprezentare a soluţiei.
Familii de curbe ce
depind de 2 variabileindependente (unaconstantă şi unavariabilă).
x1
t1
),( 11 t xT
Reprezentarea 3D a
funcţiei T(x,t)
Valoarea funcţiei estevizualizată în punctele
gridului.
T=3.5
T=5.2t=ct
x
T
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 6/109
CURS_5_MDF_2015/2016 6
Definiţii
1. Consistenţă : O schemă cu diferenţe finite a EDP
este consistentă dacă aceasta aproximează EDP atât
timp cât ∆x
0. 2. Stabilitatea : O schemă numerică este stabilă dacă
orice eroare introdusă in ecuaţia cu diferenţe finite nu
amplifică soluţia.
3. Convergenţă : O schemă cu diferenţe finite esteconvergentă dacă soluţia schemei numerice se a propie
de soluţia EDP când ∆x 0.
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 7/109
CURS_5_MDF_2015/2016 7
Discretizarea ecuaţiei ---------> ecuaţia continuă
Discretizarea soluţiei ---------> soluţia continuă
discretizare din ce în ce mai fină
Convergenţa
Consistenţa
Stabilitatea
Teorema Lax-Richtmeyer
Teorema Lax-Richtmeyer
Soluţia discretizată să fie mărginită.
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o schemă numerică
să fie convergentă, este ca aceasta să fie stabilă şi consistentă.
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 8/109
CURS_5_MDF_2015/2016 8
Teorema de echivalenţa Lax-Richtmeyer:
Fie o schema cu diferenţe finite care aproximează
o problemă cu valori iniţiale bine-pusă.Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o
schemă să fie convergentă, este ca aceasta să
fie stabilă şi consistentă.
Definiţii
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 9/109
CURS_5_MDF_2015/2016 9
Consistenţa Diferenţelor Finite1 j-1 j j+12 N N+1
<------------------------------- L ---------------------------------->
Dezvoltarea în serie Taylor :
2 3
1
2 31
1 1' '' ( ) ''' ( ) ....
2! 3!
1 1' '' ( ) ''' ( ) ....2! 3!
j j j j j
j j j j j
x x x
x x x
1,........, 1 j j x x j N
x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 10/109
CURS_5_MDF_2015/2016 10
Consistente dacă … sunt mărginite
1
1 1
1 1 2'' ''' ( ) ..
2! 3!' .
j j
j j j E x x E unde x
Diferenţe finite înainte Consistente dacă … sunt mărginite
1
2 2
1 1 2'' ''' ( ) ..
2! 3!' .
j j
j j j E x x E unde x
Diferenţe finite înapoi
1 1 1 2''' ( ) ..
3!' .
2
j j
j j E x E unde x
Diferenţe finite centrate
" "', , j j
"', j
Consistenţa Diferenţelor Finite
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 11/109
CURS_5_MDF_2015/2016 11
Analiza de stabilitate von Neumann
Analiza stabilităţii von Neumann verifică cum progresează
modurile Fourier de la un pas de timp la altul.
Se consider ă o Soluţie Posibilă (i.e. un mod Fourier ,k , alesarbitrar dintre toate modurie posibile care intervin într-o soluţie)
calculată într -un anumit punct x.
u( x,t ) U (t )eikx
i 1
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 12/109
CURS_5_MDF_2015/2016 12
Analiza de stabilitate von Neumann
Avansând cu soluţia în timp cu un pas
( , ) ( ) jikxn n ikjh
j j n nu u x t U t e U e
x j jh
u jn1 u( x j,t n1) U n1eikjh
gU neikjh
unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de ampli f icare
u( x,t ) U (t )eikx
i 1
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 13/109
CURS_5_MDF_2015/2016 13
Dacă |g| > 1 soluţia creşte în amplitudine şi devine instabilă.
Dacă |g| < 1 soluţia este amortizată.
Analiza de stabilitate von Neumann
u j
n1 u( x j,t n1) U n1eikjh
gU neikjh
unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de ampli f icare
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 14/109
CURS_5_MDF_2015/2016 14
Strategia analizei von Neumann este:
I) Se introduce soluţia posibilă în schema numerică
II) Se determină factorul de amplificare, g , în funcţie de
pasul grilei, ∆x , şi de pasul de timp, ∆t.
Analiza de stabilitate von Neumann
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 15/109
CURS_5_MDF_2015/2016 15
Capitolul 5
Ecuaţia hiperbolică
S.l.dr.ing.mat. Alina Bogoi
Metode cu Diferenţe Finite
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 16/109
CURS_5_MDF_2015/2016 16
Ecuaţia hiperbolică
Fie
Doua caracteristici reale
Curbe (Liniile) caracteristice
0 c 4 AC 4 B c C 0 B 1 A
0 c 2 2 2
xx
2
tt
,,
c A2
AC 4 B B
dt
dx 2
Viteza de
propagare dx /dt
const ct x
const ct x
0 cdt dx
0 cdt dx
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 17/109
CURS_5_MDF_2015/2016 17
Metod a Caracteristic ilor
Caracteristicile( = x ct,
= x + ct )
0 0 c xx
2
tt
=c c
, , d g( ) , f ( ) g( )
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 18/109
CURS_5_MDF_2015/2016 18
Interpreta rea Fizică
0 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
tt xx f g
f g f x ct g x ct
x
t
= x ct = x + ct
Domeniul de
Dependenta
Domeniul de
Influenta
P(x,t)
Initial conditions
Condiţii la
limită
Condiţii la
limită
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 19/109
CURS_5_MDF_2015/2016 19
Problemă de propagare în timp pe directiicaracterisitice
x
t
= x ct = x + ct
Domeniul de
Dependenţă
Domeniul de
Influenţă
P(x,t)
Conditii Initiale
Condiţii la
limită
Condiţii la
limită
= x ct, = x + ct
)()(
g f 0 xx tt
Interpreta rea Fizică
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 20/109
CURS_5_MDF_2015/2016 20
Ecuaţia Hiperbolică ( Domeniul Infinit )
02 xxtt
ucu
)()0,(
)()0,(
x g xu
x f xu
t
Condiţii Initiale
),0(),(),( t x
2
0 u
( ) ( ) ( )
t x t x
tt x t t x x x xx
u cu cu
u cu c u c cu c u
OBS:
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 21/109
CURS_5_MDF_2015/2016 21
Domeniul de Dependenţă
P 1 : t = t 1
P 2 : t = t 2
P 3 : t = t 3
Initial conditions
Condiţii
la limită
E
F
C
D
A B
Ecuaţiile Hiperbolice
Condiţii la
limită
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 22/109
CURS_5_MDF_2015/2016 22
Ecuaţia Hiperbolică ( Domeniul Infinit )
02 xxtt ucu
)()0,(
)()0,(
x g xu
x f xu
t
Condiţii Initiale
),0(),(),( t x
ct x
ct x
dy y g c
ct x f ct x f t xu )(2
1)]()([
2
1),(
Soluţia D’Alembert
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 23/109
CURS_5_MDF_2015/2016 23
x-ct=constantx+ct=constant
x
t
(x,t)
Ecuaţia Hiperbolică -curbe
caracteristice
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 24/109
CURS_5_MDF_2015/2016 24
x-ct=constantx+ct=constant
x
t
(x,t) Punctul (x,t) este influenţat
doar de condiţiile iniţiale
mărginite doar de curbele
caracteristice.
ct x
ct xdy y g cct x f ct x f t xu )(2
1
)]()([2
1
),(
Ecuaţia Hiperbolică -curbe
caracteristice
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 25/109
CURS_5_MDF_2015/2016 25
x-ct=constantx+ct=constant
x
t
(x,t) Regiunea mărginită de
caracterisitici este denumită
domeniul de dependenţă al
EDP.
Ecuaţia Hiperbolică -curbe
caracteristice
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 26/109
CURS_5_MDF_2015/2016 26
Examplu: Ecuaţia Hiperbolică
(Domeniul Infinit)
0 xxtt uu
0)0,(
)exp()0,( 2
xu
x xu
t
C.I.
),0(),(),( t x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 27/109
CURS_5_MDF_2015/2016 27
t=.01 t=.1
t=1 t=10
Examplu: Ecuaţia Hiperbolică
(Domeniul Infinit)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 28/109
CURS_5_MDF_2015/2016 28
02 xxtt ucu
)()0,(
)()0,(
x g xu
x f xu
t
C. I.
),0(),(),( T bat x
Ecuaţia Hiperbolică (Domeniul finit)
)(),(
)(),(
t t bu
t t au
C. L.
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 29/109
CURS_5_MDF_2015/2016 29
x-ct=constantx+ct=constant
x
t
(x,t)
x=bx=a
Ecuaţia Hiperbolică -curbe
caracteristice- domeniul finit
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 30/109
CURS_5_MDF_2015/2016 30
x-ct=constantx+ct=constant
x
t
(x,t)
x=bx=a
Valorile sunt influenţate de
valorile la limită. Reprezintă
informaţii care intră în domeniu.
Ecuaţia Hiperbolică -curbe
caracteristice- domeniul finit
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 31/109
CURS_5_MDF_2015/2016 31
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor 2 0
( ,0) ( )
( ,0) ( )
tt xx
t
u c u
u x f x
u x g x
h- pas în spa ţiu şi k pas în timp
h
k
tx
)(),(
)(),(
t t bu
t t au
),0(),(),( T bat x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 32/109
CURS_5_MDF_2015/2016 32
Eroarea de Trunchiere Similar
Eroarea de Trunchiere O(h2 + k2)
1 1 1 12 2
4 4 6 62 2 4 4
4 4 6 6
1 1( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )
1 12 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ...4! 6!
i n i n i n i n i n i n
i n i n i n i n
u x t u x t u x t u x t u x t u x t k h
u u u uk x t h x t k x t h x t t x t x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 33/109
CURS_5_MDF_2015/2016 33
02 xxtt ucu
21 1
1 12 2
12 2 0( ) ( )n n n n n n
i i i i i i
cu u u u u u
k h
Explicităm
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor
( , )
n
i n iu x t u
1n
iu
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 34/109
CURS_5_MDF_2015/2016 34
Schema presupune
valorile lui u la 3
nivele diferite de timp.
h
k
tx
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i ic k u u u u u u
h
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor ( , ) n
i n iu x t u
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 35/109
CURS_5_MDF_2015/2016 35
Schema nu poate fi folosită pentru j=0,1.
h
k
tx
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
U la momentul iniţial.
ui,0 = f(xi)
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor
2 0
( ,0) ( )
( ,0) ( )
tt xx
t
u c u
u x f x
u x g x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 36/109
CURS_5_MDF_2015/2016 36
Aproximăm condiţia iniţială .
h
k
tx
iii
iii
f kg u
x g uuk
1,
0,1, )(1
)()0,(
)()0,(
x g xu
x f xu
t
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor(metoda I)
U la momentul iniţial.
ui,0 = f(xi)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 37/109
CURS_5_MDF_2015/2016 37
Aproximăm condiţia iniţială .
h
k
t
x
21 2
2
2
2 3 21 1 1
, ,0( ,0) ( ,0)
2
, 1 ( )2
i i
i i
i i i i i
u x t u x u k u x x O k
k t t
u x t f x kg x f x f x O k kh
)()0,(
)()0,(
x g xu
x f xu
t
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor-metoda II
U la momentul iniţial.
ui,0 = f(xi)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 38/109
CURS_5_MDF_2015/2016 38
Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?
h
k
tx
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor2 2
1 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 39/109
CURS_5_MDF_2015/2016 39
h
k
tx
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor
Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 40/109
CURS_5_MDF_2015/2016 40
h
k
tx
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor
Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 41/109
CURS_5_MDF_2015/2016 41
h
k
tx
Metoda diferenţelor finite aplicată
ecuaţiei undelor
Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 42/109
CURS_5_MDF_2015/2016 42
Domeniul de dependenţă numerică
h
k
tx
Ce valori discrete influenţează ui,j+1 ?
2 21 1
1 122 2( )n n n n n n
i i i i i i
c k u u u u u u
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 43/109
CURS_5_MDF_2015/2016 43
CFL (Courant, Friedrichs, Lewy)
Condition
Instabilă: parte a domeniul fizic este înafara domeniului
discret de dependenţă.
h
k
tx
x-ct=constantx+ct=constant
C di i CFL (C F i d i h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 44/109
CURS_5_MDF_2015/2016 44
Posibil stabil: domeniul fizic este în interiorul
domeniului discret de dependenţă.
h
k
tx
x-ct=constantx+ct=constant
Condiţia CFL (Courant, Friedrichs,
Lewy)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 45/109
CURS_5_MDF_2015/2016 45
Condiţia CFL (Courant, Friedrichs,
Lewy)
Limita de instabilitate: domeniul de dependenta fizic este
al PDE este egal cu domeniul discret de dependenţă al
PDE.
h
k
tx
x-ct=constantx+ct=constant
C di i CFL (C F i d i h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 46/109
CURS_5_MDF_2015/2016 46
O condiţia necesară pentru ca schema să fie stabilă
este ca pentru fiecare punct din mesh, domeniul de
dependenţă al ecuaţiei să fie în interiorul domeniul
discret de dependenţă.
c xt
chk
/
/
Condiţia CFL (Courant, Friedrichs,
Lewy)
C di i C (C i d i h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 47/109
CURS_5_MDF_2015/2016 47
Condiţia CFL (Courant, Friedrichs,
Lewy)
Constanta c este viteza sunetului.
Condiţia CFL afirmă că unda nu poate să străbată mai
mult de o celulă într -un singur interval de timp.
1
/t x c
c t x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 48/109
CURS_5_MDF_2015/2016 48
Exerciţiu seminar Implementaţi un program numeric pentruecuaţia hiperbolică dx=0.25 , T=1 :
Soluţia Exactă
( , 0) sin( ),
( , 0) 0,
(0, ) 0,
(1, ) 0.
t
u x x
u x
u t
u t
0,( , ) (0,1) (0,1)tt xxu u x t
( , ) cos( )sin( )u x t t x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 49/109
CURS_5_MDF_2015/2016 49
Analiza de stabilitate von Neumann
Analiza stabilităţii von Neumann verifică cum progresează
modurile Fourier de la un pas de timp la altul.
Se consider ă o Soluţie Posibilă (i.e. un mod Fourier ,k , ales
arbitrar dintre toate modurie posibile care intervin într-o soluţie)
calculată într -un anumit punct x.
( , ) ( ) ikx
k
k
u x t U t e
i 1
u( x,t ) U (t )eikxi 1
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 50/109
CURS_5_MDF_2015/2016 50
Analiza de stabilitate von Neumann
Avansând cu soluţia în timp cu un pas
( , ) ( ) jikxn
j j n nu u x t U t e
x j jh
1 1
1( , ) jikxn n
j j nu u x t U e
gU n
eikjh
unde g = U n+1 /U n este definit ca factor de amplificare
u( x,t ) U (t )eikx
i 1
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 51/109
CURS_5_MDF_2015/2016 51
Dacă |g| > 1 soluţia creşte în amplitudine şi devine instabilă.
Dacă |g| < 1 soluţia este amortizată.
Analiza de stabilitate von Neumann
u j
n1 u( x j,t n1) U n1eikjh
gU neikjh
unde g = U n+1
/U n
este definit ca factor de amplificare
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 52/109
CURS_5_MDF_2015/2016 52
Strategia analizei von Neumann este:
I) Se introduce soluţia posibilă în schema numerică
II) Se determină factorul de amplificare, g, în funcţie de
pasul grilei, h, şi de pasul de timp, .
Analiza de stabilitate von Neumann
Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 53/109
CURS_5_MDF_2015/2016 53
Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia
Exact Disipativ sau Difuziv Dispersiv
Natura schemei numerice depinde de natura ordinului de eroare cel maimic trunchiat.
•Eroarea este Disipativă dacă derivata principală de trunchiere din
dezvoltarea Taylor este pară : (da /dx)2p
•Eroarea este Disipersivă dacă derivata principală detrunchiere din dezvoltarea Taylor este impară: (da/dx)2p+1
Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 54/109
CURS_5_MDF_2015/2016 54
Eroarea de tip Disipaţia şi Dispersia
Exact Disipativ sau Difuziv Dispersiv
Difuzie sau Disipaţie
xxa
Dispersie
xxxa
Netezire discontinuităţilor Oscilaţii fără semnificafizică
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 55/109
CURS_5_MDF_2015/2016 55
Scheme Monotone
(Scheme non-oscilatorii)
Schemele monotone pentru
ecuaţia liniar ă de advecţie
cu viteză constantă de propagare sunt acelea pentru
care coeficienţii sunt non-
negativi.
1 ( ,.... ,...., )n n n ni i s i i r a H a a a
O schemă monotonă satisface:
0 ,n
k
H k
a
1 1
1 1 n n n n
i i i ia a i a a i
Depistează schemele numerice carenu produc oscilaţii care nu ausemnificaţie fizică.
C i l l 4
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 56/109
CURS_5_MDF_2015/2016 56
Capitolul 4
Ecuaţia liniară de
advecţie
S.l.dr.ing.mat. Alina BogoiMetode cu Diferenţe Finite
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 57/109
CURS_5_MDF_2015/2016 57
Scopurile prezentării
EDP de ordinul al I (ecuaţia deadvecţie)
Metoda FTCS
Metoda Lax
Metoda upwind Godunov de ord. I Metoda Leapfrog (Metoda CTCS)
Metoda Lax-Wendroff
Metoda FTCS implicită
Metode Multi-Pas Metoda Richtmyer
Metoda Lax-Wendroff
Metoda MacCormack
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 58/109
CURS_5_MDF_2015/2016 58
EPD de ordinul I in (x,t)
Linia Caracteristică:
= Ax Bt = const
Din relatia: d = 0
0
( ,0) ( )
t x Au Bu
u x f x
( , ) ( ) ( )u x t f f Ax Bt
A
B
dt
dx
Ecuaţia liniară de advecţie
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 59/109
CURS_5_MDF_2015/2016 59
u = f( )=ct de-a lungul direcţiei caracteristice
= constant
dt A panta
dx B
t = t 0
t = t 1
t = t 2
t = t 3
Linia
Caracteristică = 1 = 2 = 3
d = 0
x
t
Ecuaţia liniară de advecţie
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 60/109
CURS_5_MDF_2015/2016 60
0
0
. . ( ,0) ( )
a ac
t xC I a x a x
Una din cele mai simple EDP hiperbolice este
ecuaţia liniară de advecţie
O soluţie analitică a ecuaţiei de advecţie a fost
determinată prin metoda caracteristicilor .
Ecuaţia liniară de advecţie
0t x
Ea Fa G
E=1, F=c,
G=0
dx
dt c
0
0
( , ) ( )( , ) ( )
( ,0) ( ) ( )
a x t f x ct a x t a x ct
a x a x f x
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 61/109
CURS_5_MDF_2015/2016 61
Exemplu: Modularea unui puls Gaussian
2
002
( )( , 0) exp cos ( )
2
x xa x t k x x
unde x 0 şi
dau poziţia înălţimea perturbaţiei
impuls.
x 0 = 0 şi = 0.1
Ecuaţia liniară de advecţie
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 62/109
CURS_5_MDF_2015/2016 62
2
002
( )( , 0) exp cos ( )
2
x xa x t k x x
Ecuaţia liniară de advecţie
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 63/109
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 64/109
CURS_5_MDF_2015/2016 64
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
0a a
ct x
ai
n1
ai
n
k c ai1
n
ai1n
2h
ai
n1 ai
n kc
2h
ai1n ai1
n
Este simplu de programat, dar complet nefolositoare
pentru că este instabilă!!!
Diferenţa înainte Diferenţa centrate
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 65/109
CURS_5_MDF_2015/2016 65
ai
n1 ai
n kc
2hai1n ai1
n
c = 1, k= 0.02, h=0.02
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 66/109
CURS_5_MDF_2015/2016 66
ai
n1 ai
n kc
2hai1n ai1
n
c = 1, k= 0.02, h=0.02
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
M t d F d Ti C t d S (FTCS)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 67/109
CURS_5_MDF_2015/2016 67
ai
n1 ai
n kc
2hai1n ai1
n
c = 1, k= 0.02, h=0.02
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
M t d F d Ti C t d S (FTCS)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 68/109
CURS_5_MDF_2015/2016 68
ai
n1 ai
n kc
2hai1n ai1
n
c = 1, k= 0.02, h=0.02
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 69/109
CURS_5_MDF_2015/2016 69
ai
n1 ai
n kc
2hai1n ai1
n
c = 1, k= 0.02, h=0.02
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 70/109
CURS_5_MDF_2015/2016 70
ai
n1 ai
n kc
2hai1
n ai1n
Metoda FTCS este instabilă
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
Ecuaţia liniară de advecţie
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 71/109
CURS_5_MDF_2015/2016 71
ţ ţ
Studiul stabilităţii metodei FTCS folosind analiza de
stabilitate von Neumann.
Se consideră o soluţie de forma:
um
n
U n
eikmh
Inserând în schema FTCS 1
1 12
n n n n
m m m m
dt ca a a a
h
U n1eikmh U neikmh dt c2h
U neik (m1)h U neik (m1)h
g
U n1
U n 1
dt c
2h e
ikh
e
ikh
Metoda Forward Time Centered Space (FTCS)
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 72/109
CURS_5_MDF_2015/2016 72
Ecuaţia liniară de advecţie
g U n1
U n 1
dt c2h
eikh eikh
1 i
dt ch sin(kh)
2
2
1 sin ( ) 1
dt c
g khh
Necondiţionat instabilă
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 73/109
CURS_5_MDF_2015/2016 73
Metoda Lax-Friedrichs
Metoda Lax este o variantă modificată a metodei FTCS.
ai
n1 ai
n kc
2h
ai1n ai1
n Metoda FTCS
Media dintre vecini
ai
n1 12
ai1n ai1
n kc2h
ai1n ai1
n
The Lax Method
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 74/109
CURS_5_MDF_2015/2016 74
1
2 2
ikh ikhnikh ikh
n
e eU dt c g e e
U h
cos( ) sin( )
dt c
kh i khh
2
21 sin ( ) 1 dt c
g khh
Condiţionat stabilă
Metoda Lax-Friedrichs
1c dt
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 75/109
CURS_5_MDF_2015/2016 75
Metoda Lax-Friedrichs
Metoda Lax este stabilă dacă
1c dt
h
Pasul de timp maxim posibil este astfel
max
hdt k
c
Condiţia Courant-
Friedrichs-Lewy!
Condiţia CFL apare în special în scheme de tip
hiperbolic!
Condiţia CFL!
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 76/109
CURS_5_MDF_2015/2016 76
c = 1, k= 0.02, h=0.02 -> ck/h = 1
ai
n1 12
ai1n ai1
n
kc2h
ai1n ai1
n
Metoda Lax -Friedrichs
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 77/109
CURS_5_MDF_2015/2016 77
1
1 1
1 1(1 ) (1 )
2 2
n n n
i i i
kc kca a a
h h
c = 1, k= 0.02, h=0.02 -> ck/h = 1
Metoda Lax-Friedrichs
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 78/109
CURS_5_MDF_2015/2016 78
c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9
Metoda Lax-Friedrichs
1
1 11 1(1 ) (1 )2 2
n n n
i i ikc kca a ah h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 79/109
CURS_5_MDF_2015/2016 79
Dacă pasul de timp este mai mic decât cel maxim posibil ,observăm că pulsul se atenuează pe măsură ce se
avansează în timp.
ai
n1 1
2
ai1n ai1
n
kc
2h
ai1n ai1
n
1
1 1 1 1
12
2 2 -n n n n n n n
i i i i i i i
kca a a a a a a
h
ai
n1
- ai
n
k h
2
2kh2 ai1
n ai1n 2ai
n
c2h
ai1n ai1
n
2 2
2 2
a a a
t x x
hc
k
Difuzie Numerică
Metoda Lax-Friedrichs
Schema u
pwind
de ordinul I de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 80/109
CURS_5_MDF_2015/2016 80
Schema u pwind de ordinul I de tipGodunov
Schemele de tip upwind folosesc conceptul de caracteristică.
tn+1
tn
x j
Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)
c >0
Schema u
pwind
de ordinul I de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 81/109
CURS_5_MDF_2015/2016 81
tn+1
tn
x j
1
1 0( , )n n n n
i i i i
ck a a a a k h
h
Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)
Diferenţa înainte Diferenţa înapoi
k
h h
Sc e a upw d de o d u de t pGodunov
Schema u
pwind
de ordinul I de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 82/109
CURS_5_MDF_2015/2016 82
Condiţionat stabilă 0 1ck
h
n+1
Domeniul real
de dependenţă
Domeniul numeric de dependenţă
nx
x
t
xc
t
p xi x1i x
/ 0dx dt c
t xdt dx //
o o
o
1
1 , 0n n n n
i i i i
ck a a a a
hc
p pGodunov
Schema u
pwind
de ordinul I de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 83/109
CURS_5_MDF_2015/2016 83
1
1 , 0n n n n
i i i ick a a a ah
c
tn+1
tn
x j
k
h h
Caracteristica prin punctul (x j, tn+1)
Schema u pwind de ordinul I de tipGodunov
Schema u
pwind
de ordinul I de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 84/109
CURS_5_MDF_2015/2016 84
• Pentru ambele cazuri şi
1max( ,0) ( ) 0
2
1min( ,0) (2
,
) 0
c c c c
c c c
tc tc
x x
c
0c 0c
• Schema devine:
1
1 1( ) ( )n n n n n n
i i i i i ia a a a a a
definim:
p pGodunov - forma generală
Schema u
pwind
de ordinul I
I
de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 85/109
CURS_5_MDF_2015/2016 85
• Pentru ambele cazuri şi
1max( ,0) ( ) 0
2
1min( ,0) (2
,
) 0
c c c c
c c c
tc tc
x x
c
0c 0c
• Schema devine:
1
1 2 2 1(3 4 ) ( 4 3 )2 2
n n n n n n n n
i i i i i i i i
c ca a a a a a a a
x x
definim:
p pGodunov - forma generală
Schema u
pwind
de ordinul I
II
de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 86/109
CURS_5_MDF_2015/2016 86
• Pentru ambele cazuri şi
1max( ,0) ( ) 0
21
min( ,0) ( ) 02
c c c c
c c c c
0c 0c
• Schema devine:
1
1 1 2
2 1 1
(2 3 6 )6
( 6 3 2 )
6
n n n n n n
i i i i i i
n n n n
i i i i
ca a a a a a x
ca a a a
x
definim:
p pGodunov - forma generală
Schema u
pwind
de ordinul I de tip
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 87/109
CURS_5_MDF_2015/2016 87
11 , 0n n n n
i i i ick a a a ah
c
c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9
p pGodunov
Scheme Monotone
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 88/109
CURS_5_MDF_2015/2016 88
Scheme Monotone
Schemele monotone pentru ecuaţia liniar ă de advecţie cu viteză constantă de
propagare sunt acelea pentru care coeficienţii sunt non-negativi.
1
( ,.... ,...., )n n n n
i i s i i r a H a a a
O schemă monotonă satisface:
0 ,n
k
H k
a
Example: Schema Godunov -upwind .
1
1
1
( )
(1 ) , 0 1
n n n n
i i i i
n n
i i
dt a a c a adx
dt dt dt H c a c a c
dx dx dx
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 89/109
CURS_5_MDF_2015/2016 89
Dacă disipaţia numerică (difuzia)
este pozitivă schema este stabilă
2
1 2
1 1 2 3 12 6
n n n n
i i i i xx xxx
ck ch cha a a a a a
h
Dezvoltând:
De asemenea condiţia CFL
1
h
t U
asigură un coeficient de difuzie pozitiv
Disipaţie xx
f
Dispersie xxx
f
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 90/109
CURS_5_MDF_2015/2016 90
1 11 1
1 1 2 2
1 1
2 2
0( , )
n n n ni i i i
n n n n
i i i i
a a a ac
t x
ck a a a a k h
h
Metoda Leapfrog (Metoda CTCS)
Ecuaţia liniară de advecţie
Diferenţa centrată în timp Diferenţa centrată în spaţiu
Necesită stocare mai
mare datorită timpuluide la pasul n-1 !!!
Condiţionat stabilă 1ck
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 91/109
CURS_5_MDF_2015/2016 91
Schema Lax- Wendroff ❖Din dezvoltarea în serie Taylor
❖obţinem:
❖Plecând de la ecuaţia de advecţie :
2 23
2
( )( , ) ( , ) 0( )
2!
a a t a x t t a x t t t
t t
2 21 3
2
( )0( )
2!
n n
i i
a a t a a t t
t t
aa
xt c
2
2
22
2
a a ac c c
t x
a
x xt t
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 92/109
CURS_5_MDF_2015/2016 92
Schema Lax- Wendroff
❖
❖Aplicăm diferenţe centrate
Metoda Lax-Wendroff
2
2
2
22
a a ac c c
t x
a
x xt t
2 21 2
2
( )
2
n n
i i
a t aa a c t c
x x
2)(0 x
1 2 21 1 1 12
21 ( )2 2 ( )
n n n n n
n n i i i i ii i
a a a a aa a c t c t
x x
))(,)((0 22 xt
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 93/109
CURS_5_MDF_2015/2016 93
ai
n1 ai
n ck 2h
ai1n ai1
n c2k 2
2h2 ai1
n ai1n 2ai
n
c = 1, k= 0.018, h=0.02 -> ck/h = 0.9
Schema Lax- Wendroff
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 94/109
CURS_5_MDF_2015/2016 94
ai
n1 ai
n ck 2h
ai1n ai1
n
c2
k 2
2h2 ai1
n ai1n 2ai
n
c = 1, k= 0.01, h=0.02 -> ck/h = 0.5
Schema Lax- Wendroff
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 95/109
CURS_5_MDF_2015/2016 95
ain1 ai
n ck 2h
ai1n ai1
n
c2
k 2
2h2 ai1
n ai1n 2ai
n
c = 1, k= 0.02/3, h=0.02/3 -> ck/h = 0.5
Schema Lax- Wendroff
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 96/109
CURS_5_MDF_2015/2016 96
ai
n1 ai
n ck
2hai1
n ai1n
c2k 2
2h2 ai1
n ai1n 2ai
n
Schema Lax- Wendroff
Condiţionat stabilă 1ck
h
Ecuaţia liniară de advecţie
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 97/109
CURS_5_MDF_2015/2016 97
Formularea Implicită
❖Se obţine un set de ecuaţii algebrice.
❖Matrice tridiagonală se rezolvă cu metoda THOMAS
11 1
1 12
n nn ni ii i
a a ca a
t x
))(),((0 2 xt
Metoda Forward Time Central Space (FTCS implicită)
1 1 11 11 1
2 2n n n ni i i ia a a a
ţ ţ
Necondiţionat stabilă ck
h
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 98/109
CURS_5_MDF_2015/2016 98
❖o metodă implicită.
❖ sistem tridiagonal de ecuaţii.
1 1 1
1 1 1 112 2
n n n n n n
i i i i i ia a a a a ac
t x x
2 2
(( ) ,( ) )O t x Metoda combinată:
Ecuaţia liniară de advecţie
Metoda Crank-Nicolson: θ =0.5
Metoda FTCS implicită: θ =1
Metoda Crank
-
Nicolson
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 99/109
CURS_5_MDF_2015/2016 99
Metoda Crank Nicolson
Metodă
Implicită Sistem
Tridiagonal
MetodaTho
mas
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
02 2 2
4 4 4 4
n n n n n n
j j j j j j
n n n n n n
j j j j j j
a a a a a ac
t x x
c c c ca a a a a a
n
n+1
j 1 j j+1
c/4
c/4
c/4
c/41
1
Exemplu
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 100/109
CURS_5_MDF_2015/2016 100
sin(10 ), 0 0.1( ,0)
0, 0.1 1
x xTa x
x
t = 0 t = 8.0
0.8
c t
CFL x
Schem
a
Upwind : c = 0.8
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 101/109
CURS_5_MDF_2015/2016 101
p
Schem
a
Lax
-
Wendroff : c = 0.8
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 102/109
CURS_5_MDF_2015/2016 102
Schem
a
Crank
-
Nicolson : c = 0.8
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 103/109
CURS_5_MDF_2015/2016 103
Oscilatorie
1 kc
Stabilitate
Euler-Explicit --
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 104/109
CURS_5_MDF_2015/2016 104
1
1 1 2
n n n n
i i i i
kca a a a
h
11 1 1 11
2 2n n n n ni i i i ikca a a a a
h
1
1
11
0,
, 0
n n n n
i i i i
n n n ni i i i
ck a a a a
h
ck a a a ah
c
c
ai
n1 ai
n ck
2hai1
n ai1n
c2k 2
2h2 ai1
n ai1n 2ai
n
1ck
h
Lax-Friedrichs – C.S.
1
1 1
1 12
n nn ni ii i
a a c a at x
Euler-Explicit --N.I
1 1 1
1 1 1 112 2
n n n n n n
i i i i i ia a a a a ac
t x x
Godunov-upwind
– C.S.
Lax-Wendroff – C.S.
Euler-Implicit – N.S.
Crank-Nicolson:
θ =0.5 – N.S.
StabilitateMetode Multi-Pas
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 105/109
CURS_5_MDF_2015/2016 105
1
21 1 1 1
1 11 2 2
1 1
1( ) ( )
2 4
( ) , 22
nn n n n
i i i i i
n nn n
i i i i
a t u u u u u
x
a t a t u u u u
x x
1
2
1 1 12
1 11 2 2
1 1
2 2
1( ) ( )
2 2
( ), 1
nn n n n
i i i ii
n nn n
i ii i
a t u u u u u
x
a t a t u u u u
x x
*
1
1 * * *
1
( )
1( ) ( ) , 1
2
n n n
i i i i
n n
i i i i i
a t u u u u
x
a t a t u u u u u
x x
Richtmyer -- C.S.
Lax-Wendroff – C.S.
Mac ormack
– C.S.
0Uff
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 106/109
CURS_5_MDF_2015/2016 106
FTCS
Necondiţionat
instabilă
UpwindStabilă pentru
Implicit
Necondiţionatstabilă
Lax-FriedrichsCondiţionat
stabilă pentru
0 xt
Uf f
02
11
1
h
f f U
t
f f n
j
n
j
n
j
n
j xxx xx
f Uh
f U
t 2
22
2162
01
1
h
f f U
t
f f n
j
n
j
n
j
n
j xxx
xx
f Uh
f Uh
1326
12
22
1
xxx xx
f Uh
f Uh 2
2
13
1
2
0
2
1
1
1
1
1
h
f f U
t
f f n
j
n
j
n
j
n
j xxx xx
f t U Uh f t U
232
2
3
1
6
1
2
0
2
2/
11
11
1
h
f f U
t
f f f
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
1
0t
Uff
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 107/109
CURS_5_MDF_2015/2016 107
Leap FrogStabilă pentru
Lax-Wendroff IStabilă pentru
Lax-WendroffII
La fel ca LW-I Stabilă pentru
MacCormack
La fel ca LW-IStabilă pentru
0 xt
Uf f
022
11
11
h
f f U
t
f f n
j
n
j
n
j
n
j xxx
f Uh
16
2
2
xxxx
xxx
f Uh
f Uh
23
22
18
16
1
1
1
0
2
2
2
2
1122
11
1
h
f f f t U
h
f f U t
f f
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
02/
2/)(11
2/1
2/1
h
f f U
t
f f f n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
0
2/1
2/1
2/1
2/1
1
h
f f
U t
f f n
j
n
j
n
j
n
j
1
01
h
f f U
t
f f n
j
n
j
n
j
t
j
0
2/1
1
h
f f U
t
f f f t
j
t
j
t
j
n
j
n
j
TemaImplementarea aproximării:
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 108/109
CURS_5_MDF_2015/2016 108
Implementarea aproximării:
Prin:
2
3 0
( , 0) x
t x
x t e
hvggddf
Geometrie :
11 1 1
4, 4, i N i N
x x x x h
Schemă :n
in
in
i 11 )()1(
dx
dt 3
Condiţia Iniţială :
0 , 0i i x t
Condiţia de Frontieră :
1
0 0n 1
0 0 11n n n
N
N=10,40,160,320
t=10
M d M l i P
7/25/2019 Curs 5 Mdf 2015new
http://slidepdf.com/reader/full/curs-5-mdf-2015new 109/109
Metode Multi-Pas
Pas Predictor:
Pas Corector step:
*
1( )
n n n
i i i i
a t u u u u
x
1 * * *
1
1
( ) ( )2
n n
i i i i i
a t
u u u u u x
Metoda Mac ormack
))(,)((0 22 xt
ck
top related