curs 4 - serii numerice cu termeni oarecare. serii de puteriandreea.arusoaie/cursuri/scurs4.pdfserii...
Post on 27-Jun-2020
19 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CURS 4Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri
A. Arusoaiee-mail: andreea.arusoaie@info.uaic.ro
Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html
Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi
22 Octombrie, 2019
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 35
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 35
Serii cu termeni oarecare
I Spunem ca seria∞∑n=1
xn este o serie cu termeni oarecare, daca termenul
general al seriei, xn, nu are acelasi semn pentru orice n ∈ N∗.
I Un caz particular de serii cu termeni oarecare ıl reprezinta seriile alternate de
forma∞∑n=1
(−1)nyn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 35
Serii cu termeni oarecare
Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1
(−1)n+1 1
neste convergenta.
Solutie: Notam xn = (−1)n+1 1
n, n ∈ N∗. Pentru orice n, p ∈ N∗, avem:
|xn+1 + . . .+ xn+p| =∣∣∣∣(−1)n+2 1
n+ 1+ . . .+ (−1)n+p+1 1
n+ p
∣∣∣∣≤ 1
n+ 2− 1
n+ 3+ . . .+ (−1)p−1 1
n+ p≤ 1
n+ 1.
Cum limn→∞
1
n+ 1= 0, rezulta ca,
∀ε > 0,∃nε ∈ N∗, n ≥ nε, p ∈ N∗ : |xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,
Conform testului de convergenta al lui Cauchy, rezulta ca∞∑n=1
(−1)n+1 1
n(C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 35
Serii cu termeni oarecare
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 35
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn = x1 + . . .+ xn, n ∈ N∗.Daca
1 sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;
2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton descrescator cu limn→∞
yn = 0,
atunci seria∞∑n=1
xnyn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 35
Criteriul lui Dirichlet
Demonstratie: Cum (Sn)n∈N∗ este marginit, exista M > 0 : |Sn| ≤M , ∀n ∈ N∗. Pede alta parte, cum sirul (yn)n∈N∗ este convergent la 0, avem:
∀ ε > 0, ∃nε ∈ N∗, : |yn| <ε
2M, ∀n ≥ nε.
Mai mult, cum (yn)n∈N∗ este descrescator, avem yn > 0, ∀n ∈ N∗.Aplicand criteriul general al lui Cauchy de convergenta pentru seria cu termenul generalxnyn, obtinem ca, ∀ε > 0, ∃nε ∈ N∗(de mai sus), : ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N∗, avem:
|xn+1 yn+1 + . . .+ xn+pyn+p|= |(Sn+1 − Sn) yn+1 + (Sn+2 − Sn+1) yn+2 + . . .+ (Sn+p − Sn+p−1) yn+p|
= |−Snyn+1 + Sn+1(yn+1 − yn+2) + . . .+ Sn+p−1(yn+p−1 − yn+p) + Sn+pyn+p|
≤Myn+1 +M(yn+1 − yn+2) + . . .+M(yn+p−1 − yn+p) +Myn+p.
Asadar, vom obtine
|xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| ≤ 2Myn+1 < ε.
Prin urmare, seria∑n∈N∗
xnyn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 8 / 35
Exemplu
Exemplu: Seria∞∑n=1
cosn√n
este convergenta.
Solutie: Fie xn = cosn si yn =1√n
, Sn := cos 1 + cos 2 + . . .+ cosn. Avem:
2 sin1
2· Sn = 2 sin
1
2· cos 1 + 2 sin
1
2· cos 2 + . . .+ 2 sin
1
2· cosn
=
[sin
(1 +
1
2
)− sin
(1− 1
2
)]+ ...+
[sin
(n+
1
2
)− sin
(n− 1
2
)]= sin
(n+
1
2
)− sin
1
2= 2 sin
n
2· cos n+ 1
2, n ∈ N∗.
Deci |Sn| ≤1∣∣∣∣sin 1
2
∣∣∣∣ =1
sin1
2
, ∀n ∈ N∗, adica (Sn)n∈N∗ este marginit.
Pe de alta parte, sirul (yn)n∈N∗ este descrescator si convergent la 0.
Conform criteriului lui Dirichlet, rezulta ca seria∞∑n=1
cosn√n
este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 9 / 35
Criteriul lui Abel
Teorema
Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ doua siruri de numere reale. Daca
1 seria∞∑n=1
xn este convergenta;
2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,
atunci seria∞∑n=1
xnyn este convergenta.
Demonstratie: Cum sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit, atunci el esteconvergent; fie ` = lim
n→∞yn. Presupunem ca (yn)n∈N∗ este descrescator.
Notam yn = yn − `, n ∈ N∗. Atunci (yn)n∈N∗ este descrescator, cu limn→∞
yn = 0.
Din criteriul lui Dirichlet, obtinem ca seria∞∑n=1
xnyn(C). Mai mult, avem
∞∑n=1
`xn(C). Astfel, obtinem ca seria∞∑n=1
xn(yn + `)(C), adica seria∞∑n=1
xnyn(C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 10 / 35
Exemplu
Exemplu: Seria∞∑n=1
(sinn
n· cos 1
n
)este convergenta.
Solutie: Este usor de demonstrat ca seria∞∑n=1
sinn
neste convergenta.
Cum sirul
(1
n
)n∈N∗
este monoton descrescator si convergent la 0, luand valori
ıntre 0 si 1, iar functia cosinus este descrescatoare pe[0,π
2
], rezulta ca sirul
(yn)n∈N∗ , yn = cos1
neste crescator.
Pe de alta parte, (yn) este marginit, deoarece functia cosinus este marginita.
Asadar, conform criteriului lui Abel, rezulta ca seria∞∑n=1
(sinn
n· cos 1
n
)(C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 11 / 35
Serii alternate. Criteriul lui Leibniz
Spunem ca seria∞∑n=1
xn este alternata, daca xn · xn+1 ≤ 0,∀n ∈ N∗.
Orice serie alternata poate fi scrisa astfel:∞∑n=1
(−1)nyn, unde yn ≥ 0,∀n ∈ N∗.
Teorema (Criteriul lui Leibniz)
Daca (yn)n∈N∗ este un sir de numere reale pozitive, descrescator si convergent la
0, atunci seria∞∑n=1
(−1)nyn este convergenta.
Demostratie: Folosim criteriul lui Dirichlet.
Exemplu: Seria∞∑n=1
(−1)n 1n
este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 12 / 35
Serii absolut convergente
Definitie
Spunem ca seria de numere reale∞∑n=1
xn este
i) absolut convergenta, daca∞∑n=1
|xn| este convergenta - notam∞∑n=1
xn(AC);
ii) semiconvergenta, daca∞∑n=1
xn este convergenta iar∞∑n=1
|xn| este divergenta -
notam∞∑n=1
xn(SC).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 35
Serii absolut convergente
Observatie: Pentru serii cu termeni pozitivi, absoluta convergenta esteechivalenta cu convergenta.
Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1
(−1)n+1 1
neste semiconvergenta deoarece
∞∑n=1
(−1)n+1 1
n(C), ınsa
∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n+1 1
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1
n(D) (seria armonica simpla).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 14 / 35
Serii absolut convergente
Propozitie
Daca o serie de numere reale este absolut convergenta, atunci ea este convergenta.
Demonstratie: Fie∞∑n=1
xn o serie absolut convergenta.
Fie ε > 0; deoarece∞∑n=1
|xn|(C), exista nε ∈ N∗ astfel ıncat
|xn+1|+ . . .+ |xn+p| < ε,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗.
Insa cum |xn+1 + . . .+ xn+p| ≤ |xn+1|+ . . .+ |xn+p|, obtinem
|xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,∀n ≥ ne,∀p ∈ N∗.
Conform teoremei lui Cauchy, seria∞∑n=1
xn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 35
Produsul Cauchy al doua serii
Definitie
Fie∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn doua serii de numere reale.
Se numeste produs Cauchy al seriilor∞∑n=1
xn si∞∑n=1
xn, seria∞∑n=1
zn, unde
zn = x1yn + x2yn−1 + . . .+ xny1 =
n∑k=1
xkyn−k+1.
Teorema lui Mertens
Fie∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn doua serii de numere reale. Daca∞∑n=1
xn(AC) si∞∑n=1
yn(C),
atunci produsul Cauchy al seriilor∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn este convergent. Mai mult,
suma acestuia este egala cu produsul sumelor celor doua serii.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 35
Produsul Cauchy al doua serii
Propozitie
Produsul Cauchy al doua serii absolut convergente este o serie absolutconvergenta.
Observatie: Produsul Cauchy al doua serii convergente nu este ın mod necesarconvergent.
Spre exemplu, pentru xn = (−1)n 1√n+1
si yn := xn, seriile∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn sunt
convergente, ınsa produsul Cauchy al lor nu este o serie convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 35
Criteriul radacinii
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
n√|xn| = ` ∈ R, atunci:
i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D);
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 35
Criteriul raportului -D’Alembert
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
|xn+1||xn|
= ` ∈ R, atunci:
i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 35
Criteriul lui Raabe-Duhamel
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
n
(|xn||xn+1|
− 1
)= ` ∈ R, atunci:
i) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(D).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 35
Reprezentarea p-adica a numerelor reale
Teorema
Fie p ∈ N∗ \ {1}. Daca (an)n∈N∗ este un sir de numere naturale, asa ıncat
0 ≤ an < p, ∀n ∈ N∗, atunci seria∞∑n=1
anpn
este convergenta, iar suma sa este un
numar real ıntre 0 si 1.
Teorema
Fie p ∈ N∗ \ {1} si a ∈ (0, 1]. Atunci exista un unic sir de numere naturale(an)n∈N∗ , ce satisfac 0 ≤ an ≤ p− 1, ∀n ∈ N∗ si multimea{n ∈ N∗ | an 6= p− 1} este infinita astfel ıncat
∞∑n=1
anpn
= a (1)
Relatia (1) se numeste reprezentarea p−adica a numarului real a.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 35
Aproximarea seriilor
Teorema de aproximare a sumei unei serii alternate
Fie seria∞∑n=1
(−1)nxn, cu (xn)n∈N∗ descrescator si convergent la 0, si fie S suma
acestei serii iar (Sn)n∈N∗ sirul corespunzator al sumelor partiale. Atunci:
|S − Sn| < xn+1,∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 35
Aproximarea seriilor
Teorema de aproximare a sumei unei serii absolut convergente
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale, S suma sa si (Sn)n∈N∗ sirul sumelor partiale.
Atunci,
i) daca exista λ < 1 si n0 ∈ N∗ astfel ıncat n√|xn| ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci
∞∑n=1
xn(AC) si avem:
|S − Sn| ≤λn+1
1− λ,∀n ∈ N∗;
ii) daca exista λ < 1 si n0 ∈ N∗ astfel ıncat
∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣ ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci
∞∑n=1
xn(AC) si avem:
|S − Sn| <|xn+1|1− λ
,∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 35
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 35
Serii de puteri
Definitie
Fie (an)n∈N un sir de numere reale.Se numeste serie de puteri centrata ın y0 ∈ R o serie de forma
a0 + a1(y − y0) + . . .+ an(y − y0)n + . . . =
∞∑n=0
an(y − y0)n, y ∈ R. (2)
Termenii an se numesc coeficienti ai seriei.Daca facem schimbarea de variabila x = y − y0, seria (2) se poate scrie ın forma
a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx
n + . . . =
∞∑n=0
anxn. (3)
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 35
Serii de puteri
Teorema (Abel)
Pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn, exista un numar R, 0 ≤ R ≤ +∞, numit
raza de convergenta a seriei de puteri∞∑n=0
anxn, astfel ıncat:
i. Seria∞∑n=0
anxn(AC) pentru orice x ∈ (−R,R);
ii. Seria∞∑n=0
anxn(D) pentru orice x ∈ R \ [−R,R].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 35
Serii de puteri
Putem rescrie teorema lui Abel si astfel:
Pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn, exista R, 0 ≤ R ≤ +∞ asa ıncat:
i) daca R = 0, atunci unicul punct de (absoluta) convergenta pentru seria∞∑n=0
anxn este x = 0;
ii) daca R > 0, atunci seria∞∑n=0
anxn(AC) pe intervalul (−R,R);
iii) daca 0 < R < +∞, atunci seria∞∑n=0
anxn(D) pe (−∞,−R) ∪ (R,+∞);
iv) daca R = +∞, atunci seria∞∑n=0
anxn(C) pe R;
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 35
Serii de puteri
Daca notam
Dc - domeniul de convergenta -{x ∈ R |
∞∑n=0
anxn(C)
},
Dac - domeniul de absoluta convergenta -{x ∈ R |
∞∑n=0
anxn(AC)
},
atunci, pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn au loc urmatoarele incluziuni:
(−R,R) ⊆ Dac ⊆ Dc ⊆ [−R,R].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 35
Determinarea razei de convergenta
Propozitie
Fie∞∑n=0
anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.
Daca exista ρ = limn→∞
n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei
∞∑n=0
anxn este
R =
0, cand ρ = +∞;
1
ρ, cand 0 < ρ < +∞;
∞, cand ρ = 0.
Daca nu exista limn→∞
n√|an|, vom calcula R similar, doar ca de data asta,
ρ = lim supn→∞
n√|an|.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 29 / 35
Exemplu
Sa se studieze convergenta seriei∞∑n=0
3nxn.
Pentru a determina raza de convergenta, calculam
limn→∞
n√|an| = lim
n→∞n√3n = 3.
Rezulta ca, R =1
limn→∞
n√|an|
=1
3.
Asadar, seria∞∑n=0
3nxn este convergenta (absolut) pe
(−1
3,1
3
).
Daca x =1
3, atunci lim
n→∞an = 1, deci seria este divergenta.
Daca x = −1
3, se aplica acelasi rationament.
In concluzie, seria este convergenta pentru x ∈(−1
3,1
3
)si divergenta pentru
x ∈(−∞,−1
3
]∪[1
3,+∞
).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 30 / 35
Determinarea razei de convergenta
Propozitie
Fie∞∑n=0
anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.
Daca exista ` = limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ ∈ R, atunci raza de convergenta este data de
R =
0, cand ` = +∞;
1
`, cand 0 < ` < +∞;
∞, cand ` = 0.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 31 / 35
Exemplu
Sa se studieze convergenta seriei de puteri∞∑n=1
1
n(n+ 1)xn.
Daca notam cu an = 1n(n+1) , atunci avem
` = limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
1(n+1)(n+2)
1n(n+1)
= limn→∞
n
n+ 2= 1 > 0.
Prin urmare, raza de convergenta este R = 1.
Pentru x = 1, avem∞∑n=1
1
n(n+ 1)(C) (criteriul Raabe-Duhamel / CCIII utilizand
ca termen de comparatie∞∑n=1
1
n2).
Pentru x = −1, seria devine∞∑n=1
(−1)n
n(n+ 1)(C) (criteriul lui Leibniz).
Prin urmare, multimea de convergenta a seriei de puteri este [−1, 1].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 32 / 35
Exemple de serii de puteri
1. Seria nula: an = 0, n ∈ N. In acest caz, R =∞, Dac = Dc = R.
2. Seria geometrica,∞∑n=0
xn. Avem R = 1, Dac = Dc = (−1, 1).
3. Seria∞∑n=0
n!xn: R = 0, Dac = Dc = {0}.
4. Seria∞∑n=1
1
nαxn, cu α ∈ R. Avem R = 1 si Dac =
{(−1, 1), α ≤ 1;[−1, 1] , α > 1;
,
Dc =
(−1, 1), α ≤ 0;[−1, 1), α ∈ (0, 1] ;[−1, 1] , α > 1;
.
5. Seria exponentiala,∞∑n=0
xn
n!. Avem R = +∞, Dac = Dc = R. Mai mult
∞∑n=0
xn
n!= ex.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 33 / 35
Exemple de serii de puteri
6. Seriile trigonometrice,∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!x2n+1 si
∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n.
Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem
sinx =
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!x2n+1, ∀x ∈ R;
cosx =
∞∑n=0
(−1)n
(2n)!x2n, ∀x ∈ R;
7. Seriile hiperbolice,∞∑n=0
1
(2n+ 1)!x2n+1 si
∞∑n=0
1
(2n)!x2n.
Avem R =∞, Dac = Dc = R. Mai mult, avem
shx =
∞∑n=0
1
(2n + 1)!x2n+1 :=
ex − e−x
2, ∀x ∈ R;
chx =
∞∑n=0
1
(2n)!x2n :=
ex + e−x
2, ∀x ∈ R;
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 34 / 35
Bibliografie
Anca Precupanu - Bazele analizei matematice, Editura Polirom, Iasi, 1998.
V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica,Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom,Bucuresti, 2006.
M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”FairPartners”, Bucuresti, 2011.
Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLADepartment of Mathematics, Los Angeles, 2015.
M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:PowerSeries), Imperial College London, Department of Computing, 2016.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 35 / 35
top related