criterii de cedare utilizate pentru pamanturi
Post on 25-Oct-2015
169 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ŞCOALA DOCTORALĂ - UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI
Criterii de cedare utilizate pentru
pământuri Modele de calcul în ingineria geotehnică
Stare
posibilă
S2 S2
S1S3
S3
Stare
imposibilă
Intersecția cu linia
stării critice
Suprafața Roscoe
Suprafața Hvorslev
Echilibru limită
C4
O4
A4
B4
q/pe
p/pe
- s2
- s1
- s3
Îndrumător ştiinţific: Doctorand:
prof. dr. ing. Anton CHIRICĂ ing. ANGHEL Alexandra
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Cuprins Pagina 1 din 21
CUPRINS
Cuprinsul figurilor ..................................................................................................................... 2
1 Introducere ......................................................................................................................... 3
2 Criteriul de cedare Mohr – Coulomb ................................................................................. 4
2.1 Reprezentări grafice .................................................................................................... 4
2.2 Drum de efort .............................................................................................................. 6
3 Criteriul de cedare Drucker - Prager .................................................................................. 8
4 Criteriul de cedare Cam – Clay ........................................................................................ 10
4.1 Modelul Cam – Clay Original ................................................................................... 10
4.2 Modelul Cam – Clay Modificat ................................................................................ 13
5 Modelul de cedare Barcelona Basic (BBM) .................................................................... 15
5.1 Formularea criteriului. Efectul efortului net şi al sucţiunii ....................................... 16
5.2 Comportamentul elastic în cazul modelului BBM .................................................... 17
5.3 Comportamentul plastic în cazul modelului BBM .................................................... 18
5.4 Parametrii ce afectează curba Încărcare - Colapsibilitate ......................................... 18
6 Concluzii .......................................................................................................................... 20
Bibliografie .............................................................................................................................. 21
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Cuprinsul Figurilor Pagina 2 din 21
CUPRINSUL FIGURILOR
Figură 2.1: Reprezentarea 2D a dreptei Mohr – Coulomb în coordonate (s, ) ........................ 4
Figură 2.2:Reprezentarea grafică - 3D a criteriului Mohr – Coulomb în sistemul de
coordonate (s1, s2, s3) ............................................................................................................... 5
Figură 2.3: Reprezentarea grafică - 2D a criteriului de cedare Mohr – Coulomb în sistemul de
coordonate (s1, s2) ..................................................................................................................... 5
Figură 2.4: Reprezentarea dreptei Kf ......................................................................................... 6
Figură 2.5: Reprezentarea criteriului de cedare plastică Mohr – Coulomb ............................... 7
Figură 3.1: Suprafaţa de cedare Drucker – Prager este circumscrisă suprafeţei Mohr –
Coulomb ..................................................................................................................................... 8
Figură 3.2: Suprafaţa Drucker – Prager este înscrisă suprafeţei Mohr - Coulomb .................... 9
Figură 4.1: Suprafeţele de cedare în sistemul de coordonate (p, q, ) descrise de forfecarea a
trei probe .................................................................................................................................. 10
Figură 4.2: Reprezentarea suprafeţei de cedare a modelului Cam – Clay în planul (p, q) ...... 11
Figură 4.3: Teoria stării critice pentru cazul forfecării ............................................................ 11
Figură 4.4: Rezultatele încercărilor: a)de compresiune în edometru şi b) de compresiune în
triaxial ...................................................................................................................................... 12
Figură 4.5: Suprafaţa stării critice reprezentată în sistemul de coordonate (p, q, ) ............... 14
Figură 4.6: Reprezentarea (C.S.L.) pentru delimitarea zonei critice în coordonate relative
(p/pe, q/pe) ................................................................................................................................. 14
Figură 5.1: Linia normală de consolidare izotropă funcţie de sucţiune în coordonate (e,
ln(p)) ........................................................................................................................................ 15
Figură 5.2: Linia normală de consolidare reprezentată în coordonate (e, ln(s)) ...................... 15
Figură 5.3: Conturul zonei elastice conform modelului Barcelona Basic ............................... 17
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 3 din 21
1 INTRODUCERE
Pământul este un material mai complex cu o comportare non-liniară şi care adesea sub
acţiunea unei încărcari prezintă un comportament anizotropic şi dependent de timp. În
principiu comportamentul acestuia depinde de starile de încărcare, descărcare şi reîncărcare.
În momentul cedării prezintă un comportament non-liniar în care efortul este depentent de
rigiditate; prezintă deformaţii plastice şi dilatanţă eterogenă. S-a observat că după aplicarea
unei încărcari, respectiv descărcarea ei, pământul prezintă deformaţii remanente. Acest
coportament nu poate fi asumat ca fiind elastic-perfect plastic confom Mohr-Coulomb. Pe de
alta parte modelul de cedare Mohr-Coulomb are suficiente avantaje care îl fac favorabil.
Suplimentar la reprezentarea comportamentului pământului sub acţiunea încărcărilor
intervine reprezentarea tridimensională a stării de cedare, ceea ce complică lucrurile şi mai
mult. De-a lungul timpului au fost formulate mai multe criterii de cedare care să explice
condiţiile în care se produce cedarea materialului sub acţiunea unei încărcări. Dintre acestea
sunt criterii de cedare care folosesc doi sau mai multi parametrii de material.
Au fost propuse numeroase modele care să reprezinte starea de eforturi – deformaţii,
respectiv starea de cedare. Fiecare dintre modele prezintă avantaje şi limitări funcţie de
domeniul de aplicare. În 1985 Chen a propus trei criterii de evaluare a modelelor matematice
folosite. Primul dintre aceste este evaluarea teoretică a modelului, ce presupune respectarea
principiilor de baza ale mecanicii continue conform cărora trebuie să asigure continuitate,
stabilitate şi unicitate. Următorul criteriu de evaluare este cel experimental, în care datele
experimentale obţinute în urma încercărilor specifice să fie potrivite pentru modelul ales,
astfel încât să se poată detremina parametrii de material în urma încercărilor standard.
Ultimul criteriu este evaluarea numerică si computaţională a modelului, referitoare la usurinţa
de implementare a acestuia.
În general, se recomandă ca modelului de cedare a pământului ales să fie evaluat astfel încât
să existe un echilibru între mecanica continuă, reprezentarea cât mai realistică a
comportamentului pământului observată prin testarea în laborator, respectiv implementarea
cât mai simplistă.
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 4 din 21
2 CRITERIUL DE CEDARE MOHR – COULOMB
Teoria Mohr-Coulomb este un model matematic ce reprezintă răspunsul materialelor casante
sub acţiunea efortului de forfecare cât şi a efortului normal. În general această teorie se aplică
materialelor pentru care rezistenţa la compresiune depăşeşte rezistenţa la forfecare. În cazul
pământurilor acesta reprezintă rezistenţa la forfecare funcţie de efortul efectiv.
Legea de frecare a lui Coulomb este folosită pentru a determina combinaţiile dintre efortul de
forfecare şi efortul normal pentru care se produce ruperea. Cercul lui Mohr este utilizat
pentru determinarea planului principal corespunzător perechii de eforturi pentru care se
produce ruperea şi a unghiului de înclinare a planului.
Se poate observa că un material care cedează ţinând cont de legea de frecare a lui Coulomb
va avea deplasarea produsă în momentul cedării va face un unghi cu linia de cedare egal cu
unghiul de frecare internă al materialului. Ceea ce face să fie determinabilă rezistenţa
materialului comparând lucrul mecanic exterior produs de deplasare prin actiunea forţelor
exterioare cu lucrul mecanic produs de efortul şi deplasarea de pe linia de cedare. Conform
legii de conservare a enrgiei, suma acestora trebuie sa fie zero, ceea ce face posibilă
determinarea rezistenţa de cedare a materialului.
2.1 Reprezentări grafice
Criteriul de cedare Mohr – Coulomb este reprezentat grafic(2D) de o dreaptă denumită şi
înfăşurătoarea Mohr ce reprezintă toate perechile de valori pentru care masivul cedează.
Dreapta este obţinută prin reprezentarea pe ordonată a efortului de forfecare şi pe abscisă a
efortului normal aplicat. Ecuaţia dreptei este dată de relaţia:
tan c (2.1)
În care,
– efortul de forfecare;
– efortul normal aplicat;
– unghiul de frecare internă, reprezintă unghiul făcut de dreaptă cu orizontala;
c – coeziunea, reprezintă intersecţia dreptei cu ordonata.
s3
c
f
sf
s
Dreapta intrinsecă
Mohr-Coulomb
= s·tgf +c
f
s1
Figură 2.1: Reprezentarea 2D a dreptei Mohr – Coulomb în coordonate (s, )
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 5 din 21
Reprezentarea grafică, 3D, a suprafeţei de cedare Mohr – Coulomb în sistemul de coordonate
(s1, s2, s3) va avea forma unui con cu baza hexagonală. Ecuaţiile suprafeţei au următoarea
formă:
[
] c (2.2)
[
] c (2.3)
[
] c (2.4)
s1s3
s2
- s2
- s1
- s3
Figură 2.2:Reprezentarea grafică - 3D a criteriului Mohr – Coulomb în sistemul de
coordonate (s1, s2, s3)
s1
s3
Rt
Rc
Figură 2.3: Reprezentarea grafică - 2D a criteriului de cedare Mohr – Coulomb în sistemul de
coordonate (s1, s3)
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 6 din 21
2.2 Drum de efort
Revenind la reprezentarea în sistemul de coordonate (s, ), dreapta intrinsecă Coulomb
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor corespunzătoare tensiunilor tangenţiale
maxime aflate pe cercurile limită de tensiuni.
Criteriul de cedare Mohr - Coulomb mai poate fi reprezentat în sistemul de coordonate (s, t)
prin retrasarea dreptei intrinseci astfel:
[
] [
] (2.5)
s3
t=(s3-s1)/2
a s=(s3+s1)/2
Dreapta Kf
t = s·tgb +a
b
c·ctg(f)
45º
T’
b) Reprezentarea criteriului Mohr-Coulomb modificat
T
()
(s)
D.C.
s3
c s
Dreapta intrinsecă
Coulomb
= s·tgf +c
s1
f
c·ctg(f)
T
a) Reprezentarea criteriului Mohr-Coulomb
Figură 2.4: Reprezentarea dreptei Kf
Se va obţine astfel dreapta intrinsecă modificată denumită şi dreapta Kf, ce se defineşte ca
fiind locul geometric al punctelor de efort tangenţial maxim (max) pentru cercurile limită.
Ecuaţia dreptei Kf este dată de relaţia următoare:
(2.6)
în care,
- panta dreptei Kf;
a - tăietura dreptei Kf;
Între parametrii dreptei Kf şi parametrii dreptei Mohr – Coulomb există relaţii de
corespondenţă:
(2.7)
(2.8)
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 7 din 21
fSC=fR
Stare imposibilă
(cedare)
S2≡ Sst
S1
S3 Stare posibilă
(stabilitate)
Stare critică
(Echilibru limită)
s tga=Mc
SSL
S1
S3
Zona
stabilă
Linia stării critice (
C.S.L.)
q
p
q=p·MC
tga’=Mc
Compresiune
Extensie
q=p·Me
Linia K0Zona
instabilă
Zona
instabilă
sII
sIII
sI
SC=s·tg
fSC
I
II
III
a) Criteriul Mohr-Coulomb în sistemul (s, )b) Criteriul Mohr-Coulomb în sistemul (p, q)
Figură 2.5: Reprezentarea criteriului de cedare plastică Mohr – Coulomb
Reprezentarea criteriului de cedare Mohr – Coulomb în coordonate (p, q) conform Figură 2.5
‚q’ este corespondentul lui ‚’, ‚p’ este corespondentul lui ‚s’, iar M al lui ‚tgf’. Având în
vedere că cedare se produce sub f constant, fără variaţii de volum (v=0) dreapta
reprezentată în sistemul de coordonate (p, q) va fii omoloaga dreptei Mohr - Coulomb.
Aceasta se numeşte linia stării critice şi împarte planul (p, q) în două domenii: domeniul de
eforturi posibile (stabilitate) şi domeniul stărilor imposibile (cedare).
Pentru găsirea expresiei coeficientului de compresiune Mc care permite delimitarea zonelor
de stabilitate/cedare se porneşte de la expresia condiţiei de cedare plastică dată de criteriul
Mohr - Coulomb:
(
)
(2.9)
Împărţind relaţia (2.10) la relaţia (2.11) şi utilizănd relaţia (2.9) se va găsi valoarea
coeficientului de compresiune Mc. Conform (2.12) pentru toate perechile de valori (q, p)
raportul (q/p), pentru care probele sunt forfecate prin compresiune datorită deviatorului (q),
după ce au fost consolidate sub tensiunea medie (p), este constant şi egal cu Mc.
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 8 din 21
3 CRITERIUL DE CEDARE DRUCKER - PRAGER
Drucker – Prager este un model de cedare dependent de presiune, folosit pentru a determina
dacă materialul cedează în domeniul plastic sau prezintă deformaţii plastice. Acesta este o
variantă modificată a modelului von Mises, ce consideră că materialul atinge starea limită
atunci când cel de-al doilea invariant al efortului deviator, formulate de Cauchy, J2, depăşeşte
valoarea critică.
Suprafaţa de cedare Drucker – Prager reprezentată grafic 3D, în sistemul de coordonate
format din tensiunile principale, are forma unui con, iar expresia suprafeţei este dată de
relaţia (3.1).
√ A b (3.1)
în care,
– este primul invariant al stării de eforturi.
[
] – al doilea invariant al stării de eforturi din
planul deviatorului.
A şi B – sunt constante ale materialului determinate experimental.
Constantele A şi B se pot exprima funcţie de parametrii rezistenţei la forfecare ai materialului
f şi c. Având în vedere faptul că modelul Drucker – Prager este o versiune modificată a
modelului Mohr – Coulomb, ecuaţiile (3.2) şi (3.3) reprezintă expresiile celor doi parametrii
dacă suprafaţa Drucker – Prager este circumscrisă suprafeţei Mohr – Coulomb (Figură 3.1).
Dacă ne găsim în cazul de faţă însemnă că materialul este supus unei stări de compresiune,
specific pământurilor.
√ ; (3.2)
√ ; (3.3)
- s3
- s2
- s1
Suprafața de cedare
Drucker – Prager
Suprafața de cedare
Mohr – Coulomb
Figură 3.1: Suprafaţa de cedare Drucker – Prager este circumscrisă suprafeţei Mohr –
Coulomb
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 9 din 21
Dacă materialul este solicitat la întindere (mai puţin specific pământurilor) suprafaţa de
cedare Drucker – Prager este inscrisă suprafeţei Mohr – Coulomb. În acest caz expresiile
pentru constantele A şi B vor avea următoarele forme:
√ ; (3.4)
√ ; (3.5)
- s3
- s2
- s1
Suprafața de cedare
Drucker – Prager
Suprafața de cedare
Mohr – Coulomb
Figură 3.2: Suprafaţa Drucker – Prager este înscrisă suprafeţei Mohr - Coulomb
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 10 din 21
4 CRITERIUL DE CEDARE CAM – CLAY
Modelul Cam – Clay a apărut în anii ‘90 şi a fost propus pentru pământurile argiloase normal
consolidate sau supraconsolidate. Există două variante ale modelului una propusă de Roscoe
et al. în 1965 denumit, modelul Cam – Clay Original, iar în 1967 Burland a propus modelul
Cam – Clay Modificat. Versiunea modificată a modelului a fost generalizată pentru starea de
eforturi generală de către Roscoe şi Burland (1968). Este un model specific pământurilor
saturate, caracterizate de principiul efortului efectiv.
4.1 Modelul Cam – Clay Original
Modelul Cam – Clay original sau modelul stării critice presupune că toate pământurile vor
ceda după o suprafaţă unică de cedare în sistemul de coordonate (q, p’, e) delimitată de linia
stării critice. Spre deosebire de modelul Mohr – Coulomb ce defineşte starea de cedare
funcţie de eforturile tangenţiale din masivul de pământ, acest model se bazează atât pe
variaţiile de volum cât şi pe variaţia stării de eforturi.
Astfel, modelul Cam – Clay consideră că pământul cedează pentru o anumită stare de
tensiuni, dar şi pentru o anumită stare de îndesare caracterizată de indicele porilor. Deci, la
aceeasi stare de încărcăre pot exista multe stări de îndesare pentru care pământul să nu
cedeze, dacă porozităţiile se află sub linia critică de cedare.
Pentru a aprecia starea de eforturi a unui masiv de pământ din interiorul semispaţiului aflat la
o anumită adâncime şi supus unei anumite stări iniţiale de eforturi, trebuie să se stabilească
suprafaţa critică de cedare. Suprafaţa critică în planul (p, q) este reprezentată de dreaptă şi de
elipsă.
q’
p’ p’
1
23
1
2
3
B1
B2
B3
A1
A2
A3
A1 A2 A3
B1
B2
B3
Linia de consolidare
normală (LCN)
Proiecția curbei de stare
critică (LSC)
Proiecția curbei de stare
critică (C.S.L.)
Încercări nedrenate pe trei probe normal consolidate
Figură 4.1: Suprafeţele de cedare în sistemul de coordonate (p, q, ) descrise de forfecarea a
trei probe
Conform Figură 4.2 pentru toate combinaţiile de valori (p, q) aflate în zona posibilă pământul
are un răspuns elastic (punctul S1). Toate perechile de eforturi aflate deasupra suprafeţei
iniţiale de curgere se găsesc în zona de comportare plastică a materialului (punctul S3).
Punctele aflate pe suprafaţa iniţială de cedare semnifică începerea fenomenului de rupere
caracterizat de valorile de vârf ce se continuă cu valorile reziduale.
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 11 din 21
q
p
pc’ p’
Suprafața initială
de curgere
Stare imposibilă
(zona de comportare
plastică)
Linia stării criticeq f=
M c· p
S1
S2
S3
S4
Stare posibilă
(zona de comportare
elastică)
Suprafețe de
curgere cu f=ct
Figură 4.2: Reprezentarea suprafeţei de cedare a modelului Cam – Clay în planul (p, q)
Suprafaţa de cedare reprezentată în sistemul de coordonate (p, q) are următoarea formă,
descrisă de ecuaţia (4.1).
( )
(4.1)
unde,
– presiunea efectivă medie de preconsolidare;
s’
Linia de cedare D.C.
Stare
imposibilă
Stare
posibilă
( )f tanφ
'
1
sc
scsc
s
-=
scφ
uA
Pz -='
zs
Încercarea de forfecare directă
q
p
Linia stării critice
(C.S.L.)
Stare
imposibilă
Stare
posibilă
'f
f
p
M
q
=c
u3
I
3
2p 3
'
3
'
1' -=
=ss
Mc
'
f
f
p
qM =c
Încercarea de forfecare triaxială
()
sc
z
f
s
tan'
f
=
Figură 4.3: Teoria stării critice pentru cazul forfecării
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 12 din 21
a) Încercarea de compresiune în edometru
Linia consolidării
normale (L.C.N.)
e
'
zσStare
posibilă
Stare
imposibilă
q
p’Stare
posibilă
Stare
imposibilă
Linia consolidării
normale (L.C.N.)
Linia decomprimare /
recomprimare
b) Încercarea de compresiune în triaxial
Figură 4.4: Rezultatele încercărilor: a)de compresiune în edometru şi b) de compresiune în
triaxial
Diferenţa esenţială între criteriul de cedare plastică Mohr - Coulomb, exprimat funcţie de
tensiunile medii, şi criteriul Cam - Clay constă în faptul că în primul caz pentru toate
perechile de valori (p,q) care determină punctele S1, situate sub (CSL) pământul ar avea un
răspuns elastic, pe când, în al doilea caz domeniul de poziţionare al punctelor S1 este limitat
de segmentul de elipsă.
Originea sistemului de coordonate (, ln(p)) se consideră pentru o presiune convenţională
medie de consolidare izotropă (p 1,00 kPa), astfel încât ln(1) 0.
În aceste condiţii ecuaţia liniei stării critice în sistemul de coordonate (p, e≡) are următoarea
formă:
(4.2)
(4.3)
Pentru linia de consolidare normală ecuaţia (4.3) are următoarea formă:
(4.4)
în care,
- este indicele porilor sau volumul specific pentru presiunea convenţională
p p’ 100 [kN/m2], egală cu presiunea atmosferică.
Valoarea se poate determina şi analitic:
(
)
(4.5)
în care,
- presiunea medie sub care proba a fost izotropic consolidată;
- presiunea izotropă sub care s-a făcut descărcarea atingând porozitatea corespunzătoare
( ).
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 13 din 21
4.2 Modelul Cam – Clay Modificat
Deoarece modelul iniţial dădea deformaţii prea mari a apărut o variantă modificată a acestuia.
Acest model arată faptul că ideea creşterii nelimitate a rezistenţei la forfecare, prin creşterea
tensiunii normale nu este valabilă.
Domeniul stărilor posibile este limitat, pentru o probă consolidată la presiunea izotropă ‚p0’
de linia stării critice [ ] şi de segmentul de elipsă delimitat de punctele p0 şi MSL,
stările imposibile plasându-se în afara acestui domeniu.
q
p
p0
Urma suprafeței de
curgere F(p, q)=0
Linia stării critice
(C.S.L.)
Stare posibilă
MSL
1
Mc
Modelul Cam – Clay
Modelul Cam – Clay
modificat
Stare imposibilă
Parametrii Hvorslev (g, h) se obţin prin reprezentarea rezultatelor încercărilor de consolidare
în triaxial în coordonate relative şi împărţind la presiunea echivalentă se obţine proiecţia
suprafeţei Hvorslev descrisă de ecuaţia (4.6).
⁄ (
⁄ ) (4.6)
Presiunea echivalentă, pe, este presiunea izotropă sub acţiunea căreia proba din triaxial capătă
aceeaşi porozitate ca proba supusă acţiunii combinate a deviatorului, q, şi a presiunii, p.
Presiunea echivalentă a unei acţiunii (pi, qi) se determină din curba normală de consolidare cu
ajutorul relaţiei (4.7).
[ ] (4.7)
în care,
- este volumul specific sub acţiunea (p, q); - volumul iniţial;
Ţinând cont de relaţiile anterioare pentru coordonatele liniei stării critice rezultă:
[( ) ] (4.8)
în care,
- ecuaţia liniei stării critice;
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 14 din 21
Rezultă ecuaţia suprafeţei Hvorslev astfel:
[ ] (4.9)
S1
Linia de consolidare
normală (N.C.L.)
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
C1
C2
C3
C4
p
q
=1+e
Suprafața Roscoe
O1
O2
O3
O4
Suprafața Hvorslev
Curba stării critice
(C.S.L.)
Cedare prin
întindere
S2
S3
Figură 4.5: Suprafaţa stării critice reprezentată în sistemul de coordonate (p, q, )
În mod similar suprafaţa Roscoe, delimitează în sistemul de coordonate (p, q) stările posibile
şi imposibile de tensiuni, respectiv zonele de echilibru, de echilibru limită sau de cedare în
spaţiu 3D (Figură 4.5) şi în plan (Figură 4.6)
Stare
posibilă
S2 S2
S1S3
S3
Stare
imposibilă
Intersecția cu linia
stării critice
Suprafața Roscoe
Suprafața Hvorslev
Echilibru limită
C4
O4
A4
B4
q/pe
p/pe
Figură 4.6: Reprezentarea (C.S.L.) pentru delimitarea zonei critice în coordonate relative
(p/pe, q/pe)
În concluzie, starea în care se află un punct din interiorul semiplanului sau din corpul unui
masiv de pământ se poate stabili prin poziţiile punctelor (Si), prin coordonatele sale relative
sau în coordonate normale în sistemul (p, q, ). Astfel, în interiorul domeniului, sub linia
critică, se găsesc valorile pentru care masivul se află în echilibru (S1); deasupra liniei critice
sunt valorile pentru care masivul cedează (S3), iar pe linia critică sunt toate valorile pentru
care masivul se găseşte în starea de echilibru limită (S2).
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 15 din 21
5 MODELUL DE CEDARE BARCELONA BASIC (BBM)
Acest model reprezintă o extensie a modelului Cam – Clay Modificat şi a devenit foarte
popular în aplicaţiile ce folosesc metoda elementului finit pentru pământurile nesaturate.
Pământurile parţial saturate pot fi încărcate mecanic sau hidraulic prin mai multe metode,
adâugându-se chiar mai multe cicluri de încărcare/descărcare.
Modelul a fost propus în 1990 de Alonso et al. pentru studiul comportamentului pământurilor
nesaturate. Este un model de comportare elasto – plastic în care materialul se consideră că are
o comportare izotropică.
După cum am spus modelul este o extensie a modelului Cam – Clay Modificat la care s-a
adăugat efectul sucţiunii asupra rezistenţei la forfecare şi a rezistenţei la compresiune. Dacă
pământul este complet saturat modelul coincide cu varianta de la care s-a plecat. Modelul
foloseşte efortul net ‚s*’ şi sucţiunea ‚s’, ca fiind variabile independente. Reprezentarea
grafică a modelului va fi în sistemul de coordonate (p, q, s).
Linia normală de consolidare (N.C.L.) va fi reprezentată, de asemenea, funcţie de sucţiune. În
urma reprezentărilor grafice în cele două sisteme de coordonate (e, ln(p)) şi (e, ln(s)) se obţin
două pante ale liniei normale de consolidare. În Figură 5.1 se poate observa linia normală de
consolidare reprezentată la o valoare fixă a sucţiunii şi care are panta , iar în Figură 5.2 este
reprezentată N.C.L. ţinând cont de valoarea sucţiunii, având panta s. Presiunea maximă la
care a fost supusă proba la o valoare fixă a sucţiunii se găseşte pe linia de consolidare
normală şi se numeşte presiunea de preconsolidare, pp. Iar sucţiunea maximă la care a fost
supusă proba în trecut se numeşte sucţiunea specifică presiunii de preconsolidare, so.
p
e
pp
eB
eC
eA A
B
C’
N.C.L. pentru s > 0
A’
C
0
k
ppop o
N.C.L. pentru s = 0
(N.C.L.) luând în
considerare sucțiunea
lns
e
s0
eC
eA
si
A
B
C
eB
s
ks
Figură 5.1: Linia normală de consolidare
izotropă funcţie de sucţiune în coordonate
(e, ln(p))
Figură 5.2: Linia normală de consolidare
reprezentată în coordonate (e, ln(s))
În modelul Barcelona Basic panta liniei normale de consolidare, şi presiunea de
preconsolidare, pp, sunt exprimate funcţie de ppo şi o atunci când pământul este saturat
complet.
[
]
(5.1)
- (5.2)
în care,
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 16 din 21
– este presiunea de referinţa;
– indicele de compresiune, adică rigiditatea solului la cea mai mare valoare a sucţiunii;
– factorul de control al creşterii rigidităţii odată cu valoarea sucţiunii.
Se poate observa că pentru cazul pământului saturat valoarea sucţiunii este zero, = o, iar
pp= ppo. Odată cu creşterea valorii sucţiunii indicele de compresibilitate scade, de unde
rezultă că o creştere monotonică a compresibilităţii pământului funcţie de sucţiune este
asociată cu o descreştere a presiunii de preconsolidare. Astfel, reprezentând sucţiunea funcţie
de presiunea de preconsolidare va rezulta curba de Încărcare – Colapsibilitate. (Loading
Collapse). Aceasta este de fapt curba de curgere ce separă domeniul elastic de domeniul
elasto-plastic.
5.1 Formularea criteriului. Efectul efortului net şi al sucţiunii
Se consideră că pământul are un comportament elastic atunci când este încărcat – descărcat
izotropic. Indicele porilor se poate determina conform ecuaţiei (5.3) care este folosită de
modelul Cam-Clay pentru răspunsul elastic al pământului, iar modificările de volum conform
ecuaţiei (5.4).
(5.3)
(5.4)
în care,
– este indicele de încărcare-descărcare, se consideră independent de valoarea sucţiunii;
Pentru primul ciclu de încărcare cu aplicare a sucţiunii, indicele porilor şi modificările de
volum se vor afla astfel:
(5.5)
(5.6)
în care,
– indicele de compresiune plastică ce ia în considerare sucţiunea;
– presiunea atmosferică. Este utilizată în ecuaţia (5.5) pentru a evita problemele de
calcul atunci când se consideră pământul ca fiind saturat.
În Figură 5.2 sucţiunea ajunge în punctul C datorită creşterii umidităţii ceea ce corespunde
unui răspuns elastic al pământului în momentul după descărcare. Această valoare a sucţiunii
este denumită „sucţiunea de descărcare”, iar deformaţia elastică ce ia în considerare sucţiunea
în timpul etapelor de încărcare-descărcare este:
-
(5.7)
Etapele de încărcare-descărcare izotropă cu aplicare a sucţiunii includ doi parametri ce iau in
consideraţie sucţiunea: indicele de încărcare-descărcare, ks, şi indicele de compresibilitate, s.
Sucţiunea specifică presiunii de preconsolidare, so este importantă pentru a determina limita
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 17 din 21
zonei de comportare elastică atunci când sucţiunea creşte. Deci, zona elastică este
determinată de curba de curgere denumită Curba de creştere a sucţiunii (Suction Increase) şi
este reprezentată în sistemul de coordonate (s, p*).
s
p*
ppo
s0
Curba de Încărcare-
Colapsibilitate ( dominant)
Curba de creştere a sucțiunii
(s dominant)
k - factorul
de influență
ks
- fa
ctoru
l
de influență
Zona de
comportare
elastică
Figură 5.3: Conturul zonei elastice conform modelului Barcelona Basic
Pentru cazul general de încărcare-descărcare izotropă modificarea indicelui porilor raportată
la efortul net şi sucţiune, este pur elastică. Implicit şi modificările de volum, după cum
urmează:
(5.8)
(5.9)
în care,
, iar
Deformaţia volumică totală şi componenta ei plastică, pentru cazul general de încărcare
iniţială cu aplicarea efortului şi a sucţiunii au următoarea formulare:
(5.10)
( )
( )
(5.11)
în care,
şi
5.2 Comportamentul elastic în cazul modelului BBM
Contribuţia efortului net asupra curbei de încărcare – descărcare, dar şi ţinând cont de efectul
sucţiunii, este arătată de ecuaţia :
(
) (5.12)
în care,
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 18 din 21
– viteza principală de deformaţie elastică;
- efortul net principal;
pentru j = 1, 2, 3;
;
– reprezintă contribuţia sucţiunii asupra vitezei de deformaţie la încărcare –
descărcare (uscare – umezire);
5.3 Comportamentul plastic în cazul modelului BBM
Pentru formularea deformaţiei plastice trebuie să se ia în considerare funcţia de curgere, dar
şi potenţialul plastic. Pentru modelul de faţă sunt folosite două funcţii de curgere, una este
denumită curba de Încărcare – Colapsibilitate şi reprezintă compresiunea plastică datorată
creşterii efortului p* sau q, dau prin scăderea valorii sucţiunii. Forma generalizată a funcţiei
este:
( ) ( ) (5.13)
în care,
M – este panta liniei stării critice;
– reflectă extensia suprafeţei de curgere pe zona de tensiune cauzată de coeziunea
aparentă;
– este o constantă direct proporţională cu sucţiunea; în care este unghiul de
frecare internă, iar este unghiul de frecare internă ţinând cont de sucţiune.
Ideea modelului BB este că rezistenţa la forfecare creşte liniar cu sucţiunea, ceea ce înseamnă
că aceasta tinde către valori mari dacă sucţiunea tinde către valori mari. Rezultă că pentru
valori ale sucţiunii care tind către zero modelul se reduce la Cam-Clay Modificat. Comparativ
cu acesta modelul BB are o lege non-asociată de flux pentru f1, aceasta fiind definită astfel:
(5.14)
în care,
– reprezintă viteza de deformaţie plastică asociată curgerii în cazul curbei de Încărcare
– Colapsibilitate;
– este un coeficient de multiplicare plastică;
– este funcţia de potenţial plastică, fiind utilizată în conjuncţie cu funcţia f1.
( ) ( ) (5.15)
5.4 Parametrii ce afectează curba Încărcare - Colapsibilitate
Parametrul b cuprins între valorile 0.01 – 0.03kPa-1
, arată rata de creştere a presiunii de
consolidare cu sucţiunea. Forma curbei de curgere este influenţată de parametrul ∞. Raportul
∞/ o este cuprins între 0.2 – 0.7, iar pentru orice variaţie a lui ∞ se poate observa
modificările ale curbei de răspuns elastic. Această parte de răspuns elastic al materialului este
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 19 din 21
de asemenea influenţată de presiunea de referinţă, pc. Acest parametru este folosit în raport cu
ppo, astfel încât pentru valori mai mari decât 1 ale raportului ppo/pc, presiunea de
preconsolidare creşte cu sucţiunea. Dacă valoarea raportului devine 0, curba este o linie
dreaptă, ceea ce însemnă că presiunea de presocnsolidare nu mai este înfluenţată de sucţiune.
Pentru valori mai mici decât 1 ale raportului presiunea de preconsolidare descreşte cu
sucţiunea.
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Pagina 20 din 21
6 CONCLUZII
Modele de cedare descrise în lucrarea de faţă au fiecare avantaje, dezavantaje, dar mai ales
limitări. Important este ca modelul ales sa stimuleze cât mai bine comportamentul real al
pământului. De aceea este important ca înaintea alegeri unui model de cedare să se
În cazul modelului de cedare Mohr- Coulomb lucrurile sunt mai simple, deoarece foloseşte
doi parametri de bază caracteristici pământurilor, şi anume, unghiul de frecare internă f şi
coeziunea c.
Pentru cele modelel de cedare lucrurile sunt mai complexe, deoarece acestea au nevoie de
date obţinute din încercări experimentale.
Natura terenului, nivelul apei subterane, indici fizici, condiţiile climatice, sunt factori
importanţi ce trebuiesc luaţi în considerare la alegerea unui model de calcul.
Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra
Bibliografie Pagina 21 din 21
BIBLIOGRAFIE
[1]Abed, A.– Numerical modeling of Expansive Soil Behavior, Institut fur Geotechnik der
Universitat Stuttgart, Stuttgart, Germania, 2008
[2] Alonso EE, Gens A, Josa A. – A constitutive model for partially saturated soil,
Géotechnique 1990;40(3):405–30.
[3] Charles, W.W.Ng, Menzies, B. – Advanced unsaturated soil mechanics and
engineering, Taylor & Francis Group, London, 2007
[4] Cela, L.J.J., - Analysis of reinforced concret structures subjected to dynamic loads with
viscoplastic Drucker – Prager model, Applied Mathematical Modelling 22 (1998) 495±515
[5] Manjriker, G. – The Foundation Engineering Handbook, Taylor & Francis Group,
London, 2006
[6] Fredlund, D.G., Rahardjo H. – Soil mechanics for unsaturated soils, John Wiley & Sons,
Inc., USA, 1993
[7] Lu, N., Likos, W.J. – Unsaturated Soil Mechanics, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey,
Copyright 2004
[8] Pedroso, D.M, Farias, M.M., - Extended Barcelona Basic Model for soil under cyclic
loadings, Computers and Geotechnics 38 (2011) 731-740,
[9] Schanz, T. – Teoretical and numerical unsaturated soil mechanics, Springer, Verlag
Berlin Heidelberg, 2007
[10] Stanciu, A., Lungu, I. – Fu daţii – Fizica şi meca ica pămâ tu ui, Editura Tehnică,
Bucureşti, 2006
[11] http://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%E2%80%93Coulomb_theory
[12] http://en.wikipedia.org/wiki/Drucker%E2%80%93Prager_yield_criterion
[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Cam-clay_yield_surface
top related