3. metode Şi tehnici de investigare a …omicron.ch.tuiasi.ro/~thmalu/asm_modelarea...
Post on 26-Dec-2018
238 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
3. METODE ŞI TEHNICI DE INVESTIGARE A PROPRIETĂŢILOR
MECANO - REOLOGICE ALE HÂRTIILOR
3.1. TEHNICI ŞI CONDIŢII EXPERIMENTALE
Pentru cercetarea comportării mecano-reologice a produselor
papetare, supuse acţiunii unor solicitări exterioare de deformare, este necesar
să se stabilească dependenţa dintre efort şi deformaţie, precum şi variaţia
acestor parametri în timp. In esenţă, se urmăreşte stabilirea unei legi de
variaţie a deformaţiei funcţie de efort, obţinută ca o caracteristică a probei de
tipul:
∆l = f(F) (3.1)
unde: ∆l - deformaţie
F - efortul
Dacă se solicită hârtia la un efort constant în timp, şi se înregistrează
deformaţia ei, se obţine o curbă de fluaj /31, 32, 44/.
Dacă se menţine constantă deformaţia şi se urmăreşte variaţia efortului
în timp, obţinem fenomenul de relaxare a hârtiei /2,31/.
a b Fig. 3.1. Reprezentarea curbelor de fluaj (a) si relaxare (b)
1- revenirea elastică instantanee; 2- revenirea finală; 3-deformaţia remanentă
Comportarea reologică a materialelor se analizează cu ajutorul relaţiilor
dintre efortul unitar, deformaţii şi viteze de deformare, precum şi prin evoluţia
acestor parametri în timp. O astfel de corelaţie complexă este definită prin
ecuaţia reologică de stare a materialului. Ea se obţine prin modelare
reologică sau numerică.
2
Determinările mecano-reologice ale hârtiilor se efectuează în anumite
condiţii standard: lungimea epruvetelor este de 180 mm, lăţimea de 15 mm;
standardele nu interzic însă utilizarea epruvetelor cu lungimi de 100 mm.
Probele sunt însă, obligatoriu, condiţionate înaintea efectuării testelor.
Durata minimă de expunere a epruvetelor în atmosfera climatizată este
de 4 ore pentru hârtiile ce au în compoziţie celuloze, paste semichimice sau
mecanice, a căror gramaj este de maxim 80 g/m2 şi au un grad de încleiere de
maxim 1,5 mm; produsele papetare cu gramajul cuprins între 80 şi 300 g/m2
şi un grad de încleiere mai mare de 1,5 mm, se climatizează minim 12 ore.
Conform STAS 3975-67, temperatura se menţine constantă la 20 OC ± 2 OC şi
umiditatea relativă a aerului la 65 %± 2%.
Testele mecano-reologice se efectuează în aceleaşi condiţii de
climatizare, respectiv la o temperatură de 20 OC ± 2 OC şi o umiditate relativă a
aerului de 65% ± 2%.
Pentru testele de fluaj durata solicitării este variabilă, deseori
utilizându-se 15 minute; revenirea din fluaj se înregistrează pentru acelaşi
interval de timp.
De obicei, solicitarea aplicată pentru efectuarea curbelor de fluaj la
hârtie variază între 60 - 75 % din efortul la rupere, iar la descărcare - funcţie
de modelul reologic pe care-l utilizăm de 0 până la 25 % din efortul la rupere.
Pentru aceste teste se pot utiliza diferite tipuri de dinamometre, în
special cele de tip INSTROM. Cele mai performante aparate sunt dotate cu
incinte climatizate ale blocului de măsură. Aparatele moderne sunt echipate
cu calculatoare şi softuri performante, ceea ce permite condiţii stabile de
determinare, precum şi prelucrarea mărimilor urmărite în aceste încercări
mecano-reologice specifice.
3.2. DETERMINAREA CARACTERISTICILOR REOLOGICE PRIN
TESTE DE SOLICITARE LA INTINDERE
3.2.1. CURBELE EFORT-DEFORMAŢIE
Prin intermediul curbelor efort-deformaţie se urmăreşte stabilirea legii
de variaţie a deformaţiei funcţie de efort. Analizându-se grafic curba acestei
variaţii se disting următoarele domenii (vezi fig. 2.1.):
Segmentul OA - dependenţă liniară între deformaţie şi solicitare,
descrisă de legea lui Hooke. In acest domeniu sunt manifestate proprietăţile
3
elastice ale hârtiei şi în baza acestei legi se poate determina modulul de
elasticitate, ca raportul dintre efortul unitar şi deformaţie:
E = σ/ ε = tg α (3.2)
unde: α - panta curbei în domeniul elastic
σ = F/So - efortul unitar la întindere, N/mm2
ε = (∆l/ lo)*100 - deformaţia sau alungirea specifică, %
Deformaţia totală se compune din deformaţia elastică (∆le),
(reversibilă), deformaţia vâsco-elastică (∆lv-e) şi cea plastică (∆lpl.), care este
remanentă.
∆l = ∆le + ∆lv-e + ∆lpl (3.4)
Dacă raportăm această evoluţie la secţiunea iniţială a epruvetei
(So) şi la lungimea sa iniţială (lo), obţinem o relaţie de forma:
ε = f(σ) (3.5)
Reprezentarea grafică a acestei funcţii este denumită “caracteristica
convenţională a materialului” /2/.
In sens fizic, modulul de elasticitate (modulul Young) reprezintă
valoarea efortului unitar necesar pentru a produce o deformaţie de 100 % a
materialului. In cazul unor hârtii cu fibre puternic orientate, valoarea lui în
direcţia de orientare, poate fi de ordinul 1010 N/m2, deci cu un ordin de
mărime mai mic decât în cazul oţelului /73/.
Tensiunea sau efortul unitar la care se înregistrează prima abatere de
la liniaritate a curbei se numeşte limită de elasticitate .
Segmentul AB - este caracterizat prin apariţia fenomenelor vâsco-
elastice. Rigiditatea hârtiei scade, începe să se manifeste elasticitatea
neliniară şi apar deformaţii remanente. In acest caz, cea mai mare parte din
energia de deformare se pierde ireversibil, comparativ cu domeniul elastic, în
care proba se comportă ca un acumulator de energie /72/.
Segmentul BC - apare când destrucţia este precedată de fenomene
ce reduc rezistenţa probei, ca de exemplu, apariţia fisurilor, ruperea
legăturilor interfibrilare, sau chiar a fibrelor, etc. /2/. Punctul C se defineşte,
obişnuit, ca efort la rupere (Fr).
La descărcarea probei, caracteristica urmăreşte traseul DO1 care - la
majoritatea materialelor - exprimă o dependenţă liniară între solicitare şi
deformaţie. Faptul că cele două traiectorii ale caracteristicii: domeniul elastic
AB şi revenirea la descărcare DO1 sunt paralele, justifică faptul că materialul
îşi menţine proprietăţile elastice iniţiale. Din aria cuprinsă între abscisă şi
curba efort-deformare se determină caracteristica, denumită generic, T.E.A. şi
4
care reprezintă energia adsorbită de probă în timpul testării la întindere ş88ţ.
Legătura între lucrul mecanic determinat în mod convenţional şi TEA este dată
de relaţia :
[ ] [ ][ ] [ ]TEA J m
L N m
b m l m
mec, /
2 =∗
∗ (3.6)
unde: L - lucrul mecanic; b - lăţimea epruvetei; l - lungimea epruvetei. Fig. 3.2. Energia adsorbită la întindere ş88ţ
Curbele succesive de încărcare-descărcare pun în evidenţă unele
aspecte importante ale comportării reologice.
Din figura 3.3, se pot diferenţia:
Segmentul liniar AB - care indică faptul că în condiţiile unor eforturi
mici hârtia manifestă proprietăţi net elastice. In acest domeniu, după
încetarea acţiunii exterioare, proba revine la dimensiunile iniţiale.
Segmentul de dreaptă CD - care dovedeşte că la eforturi de
încărcare mai mari au loc în hârtie fenomene de curgere - deformaţiile fiind
remanente ş74ţ.
Porţiunea de curbă BC - demonstrează că hârtia prezintă un caracter
vâsco-elastic. La o nouă încărcare, se remarcă apariţia unei bucle de
histerezis, după care curba caracteristică îşi reia evoluţia din punctul în care a
avut loc prima descărcare /2, 3, 5, 75/.
Fig. 3.3. Curbe succesive de încărcare – descărcare pentru o hârtie supusă la deformaţii cu viteză constantă
Se poate afirma că hârtia se comportă ca şi cum ar fi păstrat în
“memorie” drumul iniţial al procesului şi nu ar fi intervenit o nouă fază de
încărcare-descărcare a sarcinii.
5
Drept consecinţă a unor cicluri de încărcare-descărcare se înregistrează
creşterea limitei de elasticitate, adică se realizează o “condiţionare
mecanică” a hârtiei /2, 3, 75/.
Testul de întindere la distanţa zero dintre cleme, “zero-span”,
oferă informaţii despre rezistenţa fibrei, fiind util pentru aprecierea
rezistenţei limită a hârtiei dar şi în unele calcule privind modelul matematic al
curbei efort-alungire.
Evoluţia curbelor efort-deformaţie depinde de o serie de factori :
Influenţa vitezei de deformare. Brecht şi colaboratorii /64/ au
stabilit că există o relaţie exponenţială între sarcina de rupere şi viteza de
întindere (până la o viteză de deformaţie de 110 mm/sec.) a hârtiei, de forma:
σ εr
ba v= ∗ (3.7)
unde: σ r - efortul unitar la rupere, şN/mm2ţ;
vε - viteza de alungire (mm/sec);
a - constanta ce reprezintă sarcina de rupere a hârtiei la o viteză
de întindere de 10 m/min;
b - constanta de material (pentru o hârtie de ambalaj din
celuloză sulfat,
b = 0,41- 0,45) /44/.
La creşterea vitezei de solicitare, hârtiile preiau eforturi mai mari, fără
să înregistreze şi o modificare majoră a alungirii. Reversibilitatea deformaţiei
este deci mai accentuată la viteze de deformare mai mari, prezentând un
caracter elastic mai pronunţat şi suportând eforturi dinamice superioare
condiţiilor statice de testare /20, 72/.
Influenţa dimensiunilor probei. Datele experimentale obţinute de
diverşi cerce- tători /2, 3/ pe epruvete mai mari de 20 mm, indică faptul că în
intervalul de uscăciune de 20-87 %, caracteristicile efort-deformaţie nu
depind, practic, de dimensiunile epruvetelor, indiferent de valorile eforturilor
aplicate sau al deformaţiilor considerate.
La micşorarea lungimii epruvetelor, efortul de rupere şi deformaţiile
cresc (figura 3.4) /145/.
6
Fig. 3.4. Influenţa lungimii epruvetelor asupra curbelor efort-deformaţie (v =0,024 %/sec)
• La distanţa “zero” între cleme, se percepe, după cum s-a menţionat
anterior, rezistenţele fibrelor individuale.
• Intre 0 - 20 mm, rezistenţa care se înregistrează depinde atât de
rezistenţa fibrelor, cât şi de valoarea legăturilor interfibrilare.
• La lungimi ale epruvetelor mai mari de 20 mm, efortul măsurat indică
îndeosebi intensitatea legăturilor interfibrilare din foaia de hârtie.
Rezistenţa la întindere oferă informaţii asupra rezistenţei celui mai slab
punct din produsul papetar testat. Datorită acestui fapt, cu cât va creşte mai
mult lungimea epruvetei, rezistenţa măsurată a hârtiei va scădea,
deoarece creşte probabilitatea de a include puncte (sau zone) mai slabe
/88/.
De asemenea, odată cu creşterea lungimii iniţiale a epruvetei, creşte
şi alungirea relativă a acesteia /89/.
Influenţa solicitărilor anterioare Printr-o presolicitare a hârtiei se
produc, într-o anumită măsură, destrucţii ireversibile, cum ar fi ruperea
legăturilor de hidrogen, sau chiar a microfibrilelor. Influenţa acestora asupra
profilului curbelor efort - deformare este ilustrată în fig. 3.5 /2,3/.
Aceste destrucţii sunt mai puternice în cazul unor presolicitări
lente. Când presolicitarea este realizată cu viteza mare, structura iniţială a
hârtiei se menţine aproape în totalitate.
Fig. 3.5. Diagramele efort - alungire funcţie de solicitările anterioare pentru o hârtie Clupak
7
3.2.2. CURBELE DE FLUAJ ŞI RELAXARE
In cazul comportării reologice a hârtiei se întâlnesc frecvent aşa
numitele “post-efecte”. Ele includ fenomenele de fluaj şi relaxare.
In general, prin fluaj se înţelege proprietatea materialului de a-şi
modifica în timp starea tensională şi de deformaţie /74/.
Prin urmărirea variaţiei deformaţiei în timp, şi prin intermediul curbelor
de fluaj, se stabileşte funcţia de fluaj, care defineşte deformaţia
corespunzătoare tensiunii egală cu unitatea.
( )F tk
k
σε
σ, = (3.8)
unde : σk- efortul constant la care este supusă proba, kgf/cm2
ε - deformaţia, mm
Când pe curba de fluaj apare o deformaţie instantanee ( ε ei), ea este
prezentă şi pe curba de recuperare (de fluaj invers) în momentul anulării
tensiunii. Restul deformaţiei se recuperează lent, curba de fluaj invers
tinzând asimptotic către o valoare constantă, ε∞ , denumită deformaţie
remanentă /74/.
Testele de relaxare se realizează cu probe netensionate anterior.
Epruveta este adusă brusc la o deformaţie constantă, după care, se urmăreşte
variaţia tensiunii în timp. La timpul t deformaţia se reduce la zero, ceea
ce poate necesita uneori o tensiune negativă (de exemplu, forţe de
compresiune). Pe baza rezultatelor obţinute se trasează curba de relaxare şi
se deduce funcţia de relaxare :
( )R tk
k
εσ
ε, = (3.9)
Această funcţie defineşte tensiunea corespunzătoare unei deformaţii
egale cu unitatea. In cazul hârtiilor, este mai eficientă folosirea curbelor de
fluaj. Prin prelucrarea - grafică sau analitică - a acestor curbe, folosind şi un
model reologic adecvat, se pot obţine parametrii reologici ce caracterizează
hârtia respectivă supusă anumitor solicitări.
Condiţiile experimentale (climatizare, viteza de solicitare, domeniul şi
mărimea sarcinilor aplicate, etc.) afectează, de asemenea, evoluţia curbelor
efort-deformaţie.
Influenţa efortului de încărcare. Dacă se supune hârtia la tensionări
diferite, iar apoi se descarcă “la zero”, deformaţia totală va prezenta trei
8
domenii distincte: revenirea elastică imediată (εe), revenirea elastică întârziată
(εei), şi deformaţia permanentă, sau plastică (εpl ). La testarea hârtiilor pe un
aparat tip INSTROM, utilizând tensiuni cuprinse între 20 şi 95 % din
valoarea efortului la rupere, s-a găsit că, atât timp cât alungirea totală este
sub 0,2 - 0,25 % din valoarea maximă, nu se înregistrează alungiri plastice
/19, 20, 64/. Totodată, la eforturi de încăr-care situate sub 20 % din sarcina
de rupere, hârtiile prezintă un caracter net elastic /98/. Deformaţiile plastice
apar, de regulă, la încărcări peste 45% din efortul la rupere, respectiv la
peste 1,2% din valoarea maximă a alungirii /20/.
Fig. 3.6. Evoluţia curbelor de fluaj direct şi invers pentru o hârtie Clupak cu sarcina de încărcare ş133ţ
Influenţa duratei de solicitare. Dacă o bandă de hârtie este
tensionată până la o anumită valoare a deformaţiei, forţa necesară menţinerii
acestei deformări scade în timp, adică se realizează o relaxare a
tensiunilor. Durata la care tensiunea scade până la 1/e din valoarea ei iniţială
se defineşte ca “timp de relaxare”.
Fenomenele “ timp-dependente” explică “efectul
de memorie Kohlrausch” al hârtiei: după
solicitare, hârtia tinde să revină la starea ei
iniţială, netensionată. La descărcare, ea “îşi
aminteşte” stările tensionale şi intensitatea
deformaţiilor suferite, încercând să le repete din
nou /72/.
Fig. 3.7. Curbe de relaxare a tensiunilor
9
3.2.3. ALTE METODE DE INVESTIGARE ALE PROPRIET|}ILOR
MECANO-REOLOGICE A HÂRTIEI
In ultimii ani s-au elaborat metode noi de evaluare a proprietăţilor
mecano-reologice ale hârtiilor ş11, 13, 16, 23, 24, 29, 34, 80, 81, 82, 131ţ.
In baza acestor studii, au putut fi analizate prin metode sonice
(frecvenţe cuprinse între 5-100 KHz), proprietăţile elastice şi parametrii
vâsco-elastici ai hârtiilor funcţie de temperatură şi umiditate. S-a ajuns la
concluzia că între viteza sunetului şi efortul unitar de solicitare al hârtiei există
o anumită corelaţie, în baza căreia se pot obţine informaţii utile asupra
structurii şi proprietăţilor mecanice ale hârtiei /13/.
* * *
Pentru a urmări proprietăţile mecanice ale produselor papetare, Batten
apelează la teoria structurală de reţea a legăturilor de hidrogen, dezvoltată de
Perkins şi Mark /14, 76,78,79/.
El calculează, cu ajutorul unor relaţii semiempirice, geometria şi
intensitatea legăturilor de hidrogen necesară obţinerii unei hârtii ideale,
izotrope şi o corelează cu modulul lui Young /14, 76, 79/. In consecinţă,
autorul propune pentru caracterizarea hârtiilor din punct de vedere mecano -
reologic un nou parametru, denumit “modulul elastic izotrop”. Această teorie a
fost puternic controversată /76,77,78/.
O altă modalitate de apreciere a proprietăţilor mecanice ale hârtiei
constă în determinarea modulului dinamic al forfecării prin metoda oscilaţiilor
de torsiune /11, 24/. Prin acest procedeu se poate stabili numărul şi calitatea
contactelor interfibrilare pe unitatea de volum a hârtiei.
Alte tehnici recomandă interferometria cu raze laser (LSI) pentru
determinarea modulului elastic şi a coeficientului Poisson /26/.
Pentru măsurarea “on-line” a proprietăţilor de rezistenţă a hârtiei, s-a
apelat la urmărirea tensiunii dezvoltate în procesul de uscare, de care depind,
în mare măsură, proprietăţile mecanice finale ale hârtiei. S-a demonstrat că
între tensiunea la uscare, tensiunea în stare umedă şi modulul elastic există
o strânsă legatură /19/.
10
3.2.4. CAUZELE ŞI FACTORII CARE DETERMINĂ
REZISTENŢA LA RUPERE A HÂRTIEI
In ceea ce priveşte modul în care are loc propagarea efortului şi a
lucrului mecanic consumat în solicitarea la întindere a hârtiei, până la
destrucţia şi respectiv ruperea finală a structurii, s-au emis numeroase
ipoteze.
Se consideră că efortul aplicat la testul de întindere, în funcţie de
direcţia în care acesta este aplicat - pe longitudinalul sau transversalul foii - se
distribuie atât asupra fibrelor, cât şi asupra legăturilor interfibrilare. Se
realizează un efect de întindere şi de forfecare, ultimului acordândui-se o
importanţă mai mare /112/.
In ceea ce priveşte lucrul mecanic consumat pentru ruperea structurii
fibroase (a foii de hârtie), există opinii contradictorii.
Conform teoriei formulată de Van der Akker /113/, lucrul mecanic
consumat la rupere este datorat celor două procese care se manifestă
concomitent:
1. întinderea fibrelor individuale, sub acţiunea forţei de tracţiune până
la rupere;
2. “extragerea” fibrelor individuale din reţeaua fibroasă, în sens
contrar acţiunii forţelor de frecare.
In esenţă, teoriile emise asupra distribuţiei lucrului mecanic la rupere se
diferenţiază prin aceea că unii autori consideră că acesta este consumat, în
principal, pentru ruperea fibrelor /116, 117, 118/. S-a afirmat chiar că lucrul
mecanic consumat pentru ruperea fibrelor ar reprezenta 90 % din valoarea
totală a lucrului mecanic consumat la rupere /116/.
Alţii sunt de părere că lucrul mecanic în momentul ruperii s-ar consuma
dominant, pentru disocierea şi respectiv destrucţia legăturilor fibră-fibră
/113/.
In sfârşit, o seamă de cercetători sunt de părere că lucrul mecanic
necesar ruperii structurii s-ar repartiza - neegal - atât pentru desfacerea
legăturilor interfibrilare, cât şi pentru ruperea fibrelor componente ale
structurii /114, 117/.
Seth şi Page /118/ au prezentat unele rezultate experimentale menite
să demonstreze aportul rezistenţei fibrelor individuale asupra rezistenţei la
rupere a structurii fibroase.
11
S-a evidenţiat existenţa unei dependenţe exponenţiale între rezistenţa
“zero span” şi rezistenţa la rupere a hârtiei, ca structură consolidată. Valoarea
exponentului este mică pentru foile slab legate şi mai ridicată, de circa 2,
pentru cele bine legate /118/.
Rezistenţa la rupere a hârtiei = k*(rezistenţa “zero - span”)n (3.11)
unde: k - constantă dependentă de material;
n - constantă exponenţială care indică gradul de legare a fibrelor
individuale în structura consolidată
Pentru a argumenta acest fapt, s-a determinat rezistenţa la rupere
pentru diverse grade de hidroliză a fibrelor, funcţie de logaritmul rezistenţei
“zero-span”. S-a constatat că panta dreptelor obţinute prezintă aceeaşi
valoare, deşi gradele de hidroliză sunt diferite.
Pentru celuloza din răşinoase, s-a demonstrat experimental că, valoarea
constantei exponenţiale n creşte odată cu legarea fibrelor individuale în
structura consolidată. In acest caz rezistenţa la rupere a hârtiei atinge o
valoare maximă, n ≅≅≅≅ 2, indiferent de creşterea ulterioară a legării.
La celuloza din foioase, exponentul n este mai mic. El creşte treptat,
odată cu intensificarea legării. Aceste rezultate justifică ipoteza că lucrul
mecanic consumat la ruperea fibrelor reprezintă o cotă mult mai însemnată
din valoarea lucrului mecanic consumat la rupere decât s-a crezut până în
prezent. In cazul structurilor fibroase parţial consolidate, lucrul mecanic de
rupere se datorează atât ruperii fibrelor, cât şi ruperii legăturilor fibră - fibră.
La structuri complect consolidate, proporţionalitatea dintre rezistenţa la
rupere şi pătratul rezistenţei fibrei sugerează că lucrul mecanic de rupere a
fibrelor individuale are o pondere semnificativă asupra valorii lucrului mecanic
dezvoltat la rupere /116/.
In dezacord cu această poziţie, Pöttschke susţine că rezistenţa hârtiei
este determinată în principal de valoarea forţelor de legare interfibrilară /94,
119/.
Kallmes a demonstrat că energia forţelor de legare depăşeşte atât
valoarea rezistenţei de întindere a fibrelor individuale, cât şi pe cea a
rezistenţei la forfecare dintre fibre /112/.
Dacă asupra unei structuri fibroase acţionează un anumit timp un efort
constant, după depăşirea unui prag, a unei limite de solicitare, pot apare
12
anumite procese şi la nivelul microstructurii. Aceasta evoluează în paralel, cu
efecte cumulative specifice.
In acest mod, porţiunile de fibre pliate sau cutate din structura hârtiei
sunt îndreptate şi orientate în sensul direcţiei de solicitare.
In general acest proces este reversibil la aplicarea unor eforturi
sub 25 % din sarcina de rupere, când legăturile interfibrilare nu sunt afectate.
Deci aici are loc doar o modificare elastică a structurii fibroase.
Dacă efortul de solicitare depăşeşte o anumită limită, pot apare şi
efecte vâscoelastice, sau chiar plastice. Funcţie de intensitatea şi durata
solicitării, procesul poate deveni ireversibil.
In timpul uscării, datorită diferenţelor de contracţie a fibrelor în
lungime şi grosime, apar porţiuni de fibre microcomprimate care pot fi în
proporţie de maxim 25% din lungimea totală a fibrelor orientate în sensul de
mers al maşinii de fabricaţie. Datorită acestor fibre microcomprimate,
structura internă a hârtiei este modificată.
Ruperea suprafeţelor de legare în masa structurii are loc succesiv,
funcţie de gradul de ancorare în structură, şi de lungimea fibrelor. Fenomenul
a fost pus în evidenţă, încă de mai multă vreme. Iniţial, sunt desprinse
suprafeţele mici de legare, precum şi fibrele mai labile din structură.
Fiecare rupere a unei legături modifică transferul efortului. Pe
măsură ce procesul ruperii avansează, devin disponibile tot mai puţine
elemente de transfer ale efortului. Prin urmare, efectul tensiunii creşte,
fiind afectate şi fibrele mai lungi sau porţiunile de structură mai bine
ancorate, cu suprafeţe de legare mai mari /112/.
La creşterea în continuare a efortului de solicitare, apar simultan şi alte
procese destructive care afectează noi suprafeţe de legare şi noi zone ale
fibrelor din structură.
In acest caz, deformaţiile elastice datorate transferului de efort prin
fibre se suprapun şi modifică punţile de legare dintre suprafeţele fibrelor.
Prin urmare, limita de rezistenţă a structurii, în ansamblul ei,
corespunde fazei în care legăturile interfibrilare sunt total distruse. Situaţia
este mai frecventă când apare o concentraţie mai mare de suprafeţe de
legare labile.
La descărcare, la eliberarea de sub sarcină, are loc o revenire a
întinderii elastice a fibrelor, o anumită “reconstituire” a locurilor de legare,
13
dacă acestea nu au fost distruse ireversibil. Acest proces este definit şi ca
“fluaj primar” /94/.
La o nouă solicitare, la valori mai mari ale tensiunii, cele mai
afectate sunt zonele microcomprimate.
In cazul testelor de relaxare, deformaţiile elastice ale fibrelor şi ale
suprafeţelor de legare se cumulează şi acţionează asupra structurii în sensul
prezentat mai sus. După depăşirea limitei maxime de rezistenţă, legăturile
interfibrilare încep să cedeze.
14
5.3.1. MODELE UTILIZATE LA CARACTERIZAREA PROPRIETĂŢI
REOLOGICE UNICE
Modelele analoge mecanice sunt constituite din unul sau mai multe
elemente (de natură mecanică) cuplate între ele. Supuse la solicitări, ele
reproduc - mai mult sau mai puţin fidel -comportamentul corpurilor reale
[74].
Elementele mecanice sunt considerate a fi lipsite de masă şi posedă o
proprietate unitară. Se utilizează frecvent următoarele elemente mecanice:
Solidul lui Hooke (resortul sau arcul elicoidal), posedă numai
proprietatea de elasticitate instantanee. Deformaţia este aici proporţională
cu efortul; la descărcare, aceasta se recuperează în întregime.
Considerând resortul elicoidal de lungime L asupra căruia acţionează o
forţă F1 care acţionează asupra lui, se înregistrează deformaţia instantanee
∆L1, care rămâne constantă atâta timp cât forţa persistă. Când forţa
încetează, resortul revine instantaneu la forma iniţială, datorită “memoriei”
faţă de această stare. In acest caz, între forţă şi deformaţie există o
proporţionalitate directă:
F1 = k *∆L1 (5.3)
unde: k - constanta resortului.
Fig. 5.3. Modelul mecanic al solidului lui Hooke: a) resort; b) reprezentarea spaţială a comportării resortului
Comparând ecuaţia resortului cu ecuaţia reologică a solidului perfect
elastic:
σ = E * εel (5.4)
unde: σ - efortul unitar tangenţial;
E - modulul de elasticitate;
εel - deformaţia elastică,
15
şi identificând parametrii solicitării, rezultă că resortul este analogul
mecanic al solidului lui Hooke [2, 3, 74].
Fluidul lui Newton. Modelul mecanic al fluidelor cu comportare
newtoniană este reprezintat de un amortizor. Acest model se caracterizează
printr-o relaţie liniară între viteza de deformaţie şi tensiune:
F = k * dL
dt (5.5)
unde: F - efortul aplicat tijei pistonului, determină deplasarea
acestuia cu dL
k - este constanta amortizorului;
dL
dt - este viteza de deformaţie.
Fig. 5.4. Modelul mecanic al fluidului Newton
a) amortizorul; b) reprezentarea spaţială a comportării amortizorului
Fluidul newtonian supus la o forfecare simplă se comportă după o ecuaţie
similară :
τ η η γ= ∗ = ∗•
dv
dx (5.6)
unde: τ - efortul de forfecare; η - vâscozitatea dinamică;
•
γ - gradientul de viteză.
Plasticul St.-Venant imaginează un corp perfect plastic, care se
deformează ireversibil şi numai după ce efortul a atins un anumit prag al
tensiunii. Elementul mecanic care descrie acest comportament reologic este
patina (figura 5.5) .
Patina este pusă în mişcare numai când forţa F1 aplicată acesteia
egalează forţa de frecare statică:
F1 = Ff (5.7)
In continuare, pentru a o menţine în echilibru la o viteză constantă de
deplasare, forţa F trebuie menţinută la valoarea forţei de frecare cinematice
(fig.5.5,b).
Comparând ecuaţia reologică a corpului plastic St-Venant:
16
τ=τo (5.8)
cu ecuaţia (5.7), caracteristică patinei, rezultă că patina reprezintă modelul
mecanic al plasticului St.-Venant.
Fig. 5.5. Modelul mecanic al plasticului St. - Venant: a-patina; b-încărcarea statică şi cinetică; c-reprezentarea spaţială a comportării patinei
Patina lui Kepes. Aceasta este formată dintr-un corp cu frecare fără
prag de tensiune. Modelul este astfel conceput încât forţa de frecare este
proporţională cu deplasarea (deformaţia):
-k kf fγ τ γ• •
< <
Fig. 5.6.Patina lui Kepes
In structura modelelor mecanice se pot folosi de asemenea şi
următoarele elemente:
Limitator de deformaţie, care se ataşează în general unui alt
model, mecanic atunci când există restricţii în deplasarea acestuia într-un
sens sau în ambele sensuri. Cât timp limitatorul nu face contact, forţa este
nulă, modelul urmându-şi evoluţia sa normală. După realizarea contactului,
oricât de mare ar fi efortul aplicat , deplasarea nu depăşeşte limita impusă [2,
3, 74].
17
Fig. 5.7.
Limitatoare de
deformaţie
Limitator de viteză , care se utilizează atunci când viteza de
deformaţie nu poate depăşi o anumită valoare critică, indiferent de mărimea
solicitării.
5.3.2. MODELE PENTRU CORPURI CARE POSED| SIMULTAN
DOUĂ PROPRIETĂŢI REOLOGICE
Pentru a descrie corpurile care posedă simultan două proprietăţi
reologice, s-au propus mai multe modele analog mecanice, dar se consideră ca
reprezentative două dintre ele: modelul Maxwell şi modelul Kelvin - Voigt.
Modelul Maxwell este format din două elemente: un resort şi un
piston, cuplate în serie (figura 5.8).
Fig. 5.8. Modelul Maxwell : a) - prezentarea convenţională a modelului
b) - curba de fluaj, c) - curba de relaxare
Deformaţia totală a modelului este formată din suma dintre
deformaţia elastică şi cea vâscoasă:
ε ε εt e v
= + (5. 9 )
18
Derivând în raport cu timpul, obţinem:
d
dt
d
dt
d
dt
t e vε ε ε
= + (5.10)
Conform legii lui Newton, pentru fluide normal vâscoase, avem:
σ ηε
= ⋅d
dt
v (5.11)
de unde rezultă că: d
dt
vε σ
η= (5.12)
Conform legii lui Hooke, aplicată corpurilor perfect elastice, avem :
σ ε= ⋅Eel. (5.12)
iar prin derivare în raport cu timpul, obţinem:
d
dtE
d
dt
elσ ε
= ⋅ . (5.13)
Din această relaţie obţinem :
d
dt E
d
dt
elε σ. = ⋅
1 (5.14)
Inlocuind în relaţia (5. 10), obţinem ecuaţia reologică a modelului:
d
dt E
d
dt
tε σ σ
η= ⋅ +
1 (5.15)
Ecuaţia de fluaj pentru o solicitare constantă σo , are următoarea
formă:
( )ε σση
tE
to
o= ⋅ + ⋅1
(5.16)
Primul termen, independent de timp, reprezintă deformaţia
instantanee, iar al doilea - deformaţia vâscoasă.
Ecuaţia de fluaj reprezintă o dreaptă cu panta σo/η . La timpul tk, când
solicitarea se îndepărtează, deformaţia elastică este recuperată, şi corpul
rămâne doar cu deformaţia vâscoasă.
Funcţia de fluaj se obţine prin împărţirea ecuaţiei (5. 16) la σo .
( )F tE
t= +
1
η (5.17)
Relaxarea se realizează pentru o deformaţie constantă (εe) şi se
urmăreşte evoluţia efortului in timp.
Din ecuaţia (5.15) , înlocuind pe εt cu εo , obţinem :
εσ σ
ηoE
d
dt= ⋅ +
1 (5.18)
de unde rezultă că :
19
d
dtE
o
σε
ση
= ⋅ −
(5.19)
Prin integrare obţinem:
( )σ ε ηt E e
o
Et
= ⋅ ⋅− ⋅
(5.20)
Notând raportul η/E = trel. (timpul de relaxare), avem forma
simplificată a relaţiei (5.20):
( )σ εt E eo
t
trel= ⋅ ⋅
−
(5.21)
Funcţia de relaxare rezultă din împărţirea ecuaţiei (5.20) la εo :
( )R t E e
t
trel= ⋅−
. (5.22)
Ecuaţia de relaxare poate lua o formă de genul:
( )σ ηt a e
t
trel= ⋅ ⋅ −
−
1 . (5.23)
unde: η - vâscozitatea;
E - modulul de elasticitate;
a - viteza de deformaţie;
σo- tensiunea constantă;
εo - deformaţia constantă.
Dacă considerăm t→∞ , din ecuaţia (5.23) obţinem că σ = a .η. In acest
caz se presupune că sistemul resort - amortizor este în echilibru, iar curba de
relaxare a atins starea de saturaţie [50,47].
Comportamentul reologic al materialului depinde în cazul acestui
model şi de timpul de testare (t*). Astfel, dacă t* >> trel. , atunci apare mai
evident caracterul vâscos al modelului. Dacă t* << trel., acţiunea fenomenului
elastic este mai puternică decât a celui vâscos, iar modelul Maxwell se
comportă ca un corp ideal elastic.
Dacă t* are acelaşi ordin de mărime cu timpul de relaxare, se pun în
evidenţă în aceeaşi măsură şi fenomenul elastic, şi cel vâscos.
Modelul Kelvin - Voigt redă de asemenea, comportamentul reologic
al unui corp vâsco-elastic. Este compus dintr-un amortizor şi un resort, legate
în paralel (fig. 5.10). Modelul posedă în plus elasticitate întârziată. Fiind
cuplate în paralel, cele două elemente prezintă deformaţii egale. In acest
caz, solicitarea totală este egală cu suma solicitărilor din fiecare model:
σt = σe + σv (5.24)
20
Substituind termenii din partea dreaptă a egalităţii cu
componentele corespunză-toare din legea lui Hooke şi a lui Newton, aplicate
frecării simple, obţinem:
σ ε ηε
= ⋅ + ⋅Ed
dt (5.25)
Ecuaţia (5.25) reprezintă ecuaţia reologică a modelului Kelvin -
Voigt.
Fig. 5.10. Modelul Kelvin-Voigt: a) - modelul mecanic; b) - curba de fluaj;
c) - evoluţia deformaţie-timp la eliberarea instantanee a sarcinii
Dacă asupra corpului se aplică o tensiune σo constantă, corpul se
deformează; dacă timpul de solicitare creşte foarte mult, deformaţia tinde
către o limită ε.
Ecuaţia de fluaj a acestui model se obţine prin integrarea ecuaţiei
(5.25), scrisă sub forma:
( )d
dtE
εη
σ ε= ⋅ − ⋅1
(5.26)
( )εσ η
tE
eo
Et
= ⋅ −
− ⋅
1 (5.27)
Termenul η/E are dimensiunile unui timp. şi se numeşte timp de
întârziere. El reprezintă timpul în care deformaţia atinge 0,63 din valoarea sa
finală. Făcând limita deformaţiei, pentru t→∞ , obţinem:
( ) ( )ε εσ
t tEt
o= =→∞
lim (5.28)
Dacă împărţim ecuaţia de fluaj la σo , obţinem funcţia de fluaj:
21
( )F tE
e
t
ti= ⋅ −
−11 (5.29)
In cazul modelului Kelvin-Voigt tensiunea nu se relaxează la deformaţie
constantă. Prin urmare, funcţia de relaxare nu are sens.
Modelul depinde de timpul de acţiune a sarcinii de încărcare (t*). Astfel,
dacă t*<<ti , modelul se comportă ca un fluid vâscos.
Integrând relaţia (5.25) , obţinem:
εη
σ ε= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅1 1
dtt
dt
i
(5.30)
Din aceeaşi relaţie, prin rearanjarea termenilor, se obţine următoarea
formă:
σ ηε
ε= ⋅ + ⋅
d
dt ti
1 (5.31)
Pentru t*<< ti , σ ηε
= ⋅d
dt , de unde rezultă că
d
dt
ε ση
= .
In acest caz, intervenind în relaţia (5.30), avem:
ε ε
ησηt
E
i
=⋅
= (5.32)
care reprezintă panta pentru prima porţiune a curbei de fluaj.
Dacă t* >>ti , atunci modelul prezintă o comportare elastică, aparent,
indepen-dentă de timp.
In relaţia (5.31) , pentru t* >>ti , termenul d
dt
ε→ 0 , astfel
încâtσ ηε
= ⋅t
i
.
Cum tE
i=
η, rezultă că σ ε= ⋅E .
In acest caz, viteza de variaţie a deformaţiei este practic egală cu
zero. Fenomenele se desfăşoară ca şi cum deformarea şi revenirea ar avea loc
instantaneu. O deformaţie remanentă se înregistrează doar în cazul în care
timpul de solicitare al probei este de acelaşi ordin de mărime cu timpul de
retardare (de întârziere).
Modelul Maxwell-Thomson (Zener) Acest model pune în evidenţă
proprietăţile elastice instantanee şi elasticitatea întârziată [74]. Se compune
dintr-un resort, înseriat cu un corp Kelvin -Voigt. El este echivalent cu
modelul Poynting-Thomson, iar în literatu-ră se mai întâlneşte sub denumirea
22
de modelul Zener. In figura 5.11 se prezintă schema modelului şi curbele de
fluaj şi relaxare.
La încărcare apare o deformaţie instantanee e , urmată de o deformaţie
elastică întârziată, ε2. Deformaţia totală este dată de suma deformaţiilor
anterioare:
εt =ε1+ε2 (5.33)
Pentru elementul Kelvin-Voigt avem:
σ ηε
ε= ⋅ + ⋅2
2
2 2
d
dtE (5.34)
înlocuind pe ε1 = σ/E1, şi prin separarea termenilor în ε2 din ecuaţia (5.34),
după integrare obţinem:
E E d
dtE
E d
dt
1 2
2
1
2
2
+⋅ + = ⋅ ⋅ +
ησ
ση
εε
(5.35)
Fig. 5.11. Modelul Maxwell - Thomson
a) - modelul mecanic, b) - curba de fluaj, c) - curba de relaxare
Relaţia (5.35) este ecuaţia reologică a modelului Maxwell -
Thompson.
Dacă introducem notaţiile : tr = η2/E2 ; ti = η2/(E1 + E2)
şi KE=E1E2/(E1+E2), atunci ecuaţia se transcrie sub forma:
σσ
εε
+ ⋅ = +
t
d
dtK t
d
dtr E i
(5.36)
La efort constant, σo , ecuaţia (5.36) se simplifică, iar prin integrare la
condiţia iniţială:
ε(t) = σo /E1 pentru t = 0,
se obţine:
23
( ) ( )εσ
σtE E E
eo
o
t ti= + +
− −
1 1 2
1 11 / (5.37)
Relaţia (5.37) descrie ecuaţia de fluaj a modelului Maxwell-Thomson .
Curba de fluaj tinde asimptotic către o dreaptă paralelă cu abscisa, a
cărei ordonată reprezintă deformaţia maximă:
( )ε εσ
σk
t
o
ot
E E E= = + +
→∞lim
1 1 2
1 1 (5.38)
Pentru a obţine ecuaţia de relaxare, se consideră ε=εk=constant, şi se
impune condiţia iniţială : la t = 0, σ=σo , când σ(t) va deveni :
( ) ( )σ ε σ εt K K eE k E k
t tr= ⋅ + − ⋅ − / (5.39)
5.4. MODELE ANALOG-MECANICE SUSCEPTIBILE PENTRU
EVIDENŢIEREA CARACTERISTICILOR REOLOGICE
ALE HÂRTIILOR LA SOLICITAREA DE INTINDERE
Conform opiniei lui Rance, încercările de modelare reologică a
comportării hârtiei la solicitarea de întindere au în vedrere următoarele
particularităţi: [38, 50]
1) Este necesar să fie considerate condiţiile tehnologice ale procesului de
fabricaţie al hârtiei respective;
2) Cercetările reologice asupra hârtiei trebuie să evidenţieze
comportamentul său înainte şi în timpul ruperii, întrucât ruperea reprezintă un
fenomen frecvent în procesul tehnologic;
3) Trebuie specificat că modelarea reologică a hârtiei se referă la aspectul
macroscopic, şi mai puţin la cel al microstucturii.
4) Investigaţiile reologice ale hârtiei trebuie să fie dominant de natură
structurală, nu fenomenologică.
Cele mai frecvente modele utilizate pentru a reproduce comportamentul
reologic al hârtiei, sunt modelele analoge mecanice, primele fiind elaborate
încă din anii ‘40 [38].
24
5.4.1. MODELUL POYNTING-THOMPSON
Modelul reologic Poynting-Thompson cu trei parametri reflectă într-o
anumită măsură, comportarea reologică a hârtiei [38,50].
Acest model este alcătuit dintr-un model Maxwell cuplat în paralel cu
un resort (figura 5.12). In faza iniţială, sub acţiunea sarcinii σo este
următoarea: se deformează doar resorturile. In continuare, se deplasează
toate cele trei elemente ale modelului.
La descărcare, în prima fază are loc scăderea tensiunii din ambele
resorturi, în timp ce pistonul amortizorului îşi continuă cursa descendentă.
Viteza de mişcare a pistonului scade treptat, devenind în cele din urmă
egală cu zero. In această fază rămâne sub tensiune resortul E2, legat în serie
cu pistonul amortizorului.
Când viteza de deplasare a pistonului devine egală cu zero, partea de
model corespunză-toare cuplării în serie E2 -η2 prezintă tensiune doar în
resortul E2. In resortul E1 tensiunile continuă să se relaxeze. Incepe să se
relaxeze parţial şi pistonul amortizorului.
Fig. 5.12. Modelul Poynting-Thompson, unde: B = E1 + E2 ; E = E1 ; n =
η2 /E2
a) - modelul mecanic; b) - curba de fluaj; c) - curba de relaxare
In final se realizează un echilibru stabil între deformaţiile şi tensiunile
elementelor componente ale modelului.
Modelul Poynting - Thompson este descris de următoarea ecuaţie
reologică :
25
( )ση σ
εη ε
+ ∗ = ∗ + ÷2
2
12
2
1 2ΕΕ
ΕΕ Ε
d
dt
d
dt (5.40)
unde : σ - sarcina ce acţionează asupra modelului;
η2
2Ε = trel. - timpul de relaxare;
E1 - modulul static de elasticitate;
(E1 + E2 ) - modulul de elasticitate instantaneu
Ecuaţia de relaxare a modelului este de forma :
σ ε εη
( )t E Eo o
t
= ∗ + ∗ ∗∗
1 2 e-E2
2 (5.41)
Modelul Poynting - Thompson evidenţiază unele din caracteristicile
hârtiei, cum ar fi elasticitatea şi efectele de postacţiune în hârtie, fiind însă
absent fenomenul postactiunii plastice .
5.4.2. MODELUL BÜRGER
Mason, analizând procesul de deformare al hârtiei în timpul solicitării de
întindere, stabileşte că deformaţia totală reprezintă efectul cumulat al
întinderii unor fibre (a), al ruperii fibrelor (b), glisării fibrelor nelegate (c),
precum şi al deplasărilor relative ale fibrelor legate (d). Prima componentă
este echivalentă întinderii elastice, componentele (b) şi (c) deformaţiei
vâscoase, iar ultima componentă (d) - întinderii vâsco - elastice. El propune
un model mecanic cu 4 parametri : modelul "Bürger" (figura 5.13,b); Barthel
şi Kleinert [93] prezintă acest model sub denumirea de modelul lui Rebinder ,
între cele două versiuni, neexistând însă nici o deosebire (figura 5.13,a).
Acest model se obţine prin cuplarea în serie a unui model Maxwell cu
unul de tip Kelvin-Voigt. Prezenţa amortizorului şi a resortului liber, precum
şi cuplarea în paralel a unui resort cu un amortizor, conferă modelului
vâscozitate, elasticitate instantanee şi elasticitate întârziată.
26
Fig. 5.13. a - Modelul Rebinder
b - Modelul Bürger ;
Curbele de fluaj direct şi invers, precum şi curba de relaxare pentru
modelul Burger sunt prezentate în fig.5.14 [43].
Fig. 5.14. Modelul Bürger : a) - curba de fluaj; b) - curba de relaxare
Ecuaţia reologică diferenţială a modelului se stabileşte pe consideraţia
că deformaţia totală constituie suma deformaţiilor unui model Maxwell (ε1) şi
al unuia Kelvin-Voigt (ε2 ).
ε = ε1 +ε2 (5.42)
Derivând în raport cu timpul, se obţine:
dε/dt = dε1 /dt + dε2 /dt (5.43)
şi respectiv,
d2ε/dt2 = d2ε1 /dt2 + d2ε2 /dt
2 (5.44)
Pentru modelul Maxwell :
dε1 /dt = 1/E1 *dσ/dt + σ/η1 (5.45)
Derivând în raport cu timpul, ecuaţia (5.45), ia forma:
d2ε1 /dt2 = 1/E1 *d
2σ/dt2 + 1/η1*dσ/dt (5.46)
Pentru solidul Kelvin - Voigt există relaţia:
σ = E2*ε2 + η2dε2 /dt (5.47)
Derivata acesteia în raport cu timpul este:
dσ/dt = E2*dε2/dt + η2 d2ε2 /dt
2 (5.48)
27
Inlocuind derivata dε1/dt din relatia (5.45) în relaţia (5.43), se calculează
dε2/dt :
dε2/dt = dε/dt - 1/E1*dσ/dt - σ/η1 (5.49)
Prin substituirea derivatei dε2 /dt din expresia (5.46) cu relaţia (5.49),
rezultă :
d2ε2/dt2 = 1/η2 *dσ/dt - E2/η2 *(dε/dt - 1/E1*dσ/dt - σ/η1 ) (5.50)
In sfârşit, după înlocuirea derivatei de ordinul doi a deformaţiei în
raport cu timpul şi rearanjarea termenilor se obţine ecuaţia generală de
stare reologică:
d2 σ/dt2 + A*dσ/dt + B*σ = E1*d2ε /dt2 + E1E2 /η2*dε/dt (5.51)
unde: A = E1/η1 + E2 /η2 + E1/η2 ;
B = E1E2 /(η1η2 )
Ecuaţia (5.51.) se poate scrie într-o formă generalizată, astfel:
&& & && &σ σ σ ε ε+ ∗ + ∗ = ∗ + ∗A B C D (5.52)
unde: C = E1; D = E1E2 /η2
Funcţia de relaxare a modelului Bürger este:
Φ(t) = E1exp(-k/2)*(exp(k/2*t)-1/k(A+k-2E1/η2))sh(k/2*t) (5.53)
unde: k A B= − ∗2 4
In acest model tensiunea scade deci lent, iar după un anumit timp se
anulează .
5.4.3. MODELUL DUBLU MAXWELL
Modelul dublu Maxwell oferă o imagine generală, mai apropiată de
comporta-mentul real al hartiei (figura 5.15). Acest model este constituit din
două modele Maxwell, cuplate în paralel, caracterizate prin parametri diferiţi
[2, 3, 97].
Fig. 5.15.Modelul dublu Maxwell
28
Tensiunea totală care acţionează asupra modelului este egală cu suma
tensiunilor din cele două elemente Maxwell:
σ =σ1 + σ2 (5.54)
Conform ecuaţiei de fluaj a modelului Maxwell, valorile tensiunilor în
cele două ramuri au forma:
σσ
ηε
1 1
1
1= − + ∗
t
d
dt
d
dtrel . (5.55)
σσ
ηε
2 2
2
2= − + ∗
t
d
dt
d
dtrel . (5.56)
In aceste expresii, timpii de relaxare sunt diferiţi în cele două ramuri
ale modelului Maxwell, şi anume:
trel.1=η1/E1 ; trel.2=η2/E2 (5.57)
Inlocuind σ1 si σ2 din ecuaţiile (5.55) şi respectiv (5.56) în relaţia (5.54),
se obţine ecuaţia de stare reologică a modelului dublu Maxwell:
d2σ/dt2 + (trel1+trel.2)dσ/dt + (trel1+trel.2)*σ = (E1+E2)d2ε/dt2 +
(E1trel.2+E2trel.1)dε/dt (5.58)
Sau, scrisă sub forma:
σ σ σ ε ε+ + = +A A B B1 2 1 2& && & (5.59)
unde : AE E1
1
1
2
2
= +η η
; AE E2
1 2
1 2
=∗
∗
η η
B1 1 2= +η η ; BE E
E E2
1 2
1 2
1 2=+
∗∗ ∗η η
Ecuaţia de relaxare a modelului are următoarea formă:
σ ε εη η( ) ( )t E e E eo
Et
o
Et
= − +∗ ∗
1 211
1
2
2 (5.60)
In sfârşit, împărţind relaţia (5.60) la εo , se obţine funcţia de
relaxare:
F t E e E e
Et
Et
( ) = +− ∗ − ∗
1 2
1
1
2
2η η (5.61)
29
Dacă principiul lui Boltzmann este valabil pentru acest model, atunci
pentru o solicitare a modelului în timpul t1, efectele din cele două ramuri
se cumulează.
Funcţie de comportamentul hârtiei solicitate, se disting trei cazuri:
- curbe care ating starea de saturaţie înainte de momentul ruperii (trelaxare < 5
secunde);
- curbe care nu ating starea de saturaţie înaintea ruperii;
- curbe pentru care timpul de relaxare este mai mare de 200 secunde.
5.4.4. MODELUL ÜNGER-PÖETSCHKE
Ünger şi Pöetschke elaborează un model cu şapte parametri, pentru
descrierea comportării reologice a hârtiei. Acest model este adecvat pentru
încărcare, descărcare şi apoi pentru o nouă încărcare a hârtiilor supuse la
întindere (figura 5.16) [43, 94].
Potrivit autorilor, în cazul încărcării cu o sarcină, modelul acţionează în
totalitatea sa, iar la descărcare doar prin componenta Maxwell-Thomson a
modelului integral.
In conformitate cu recomandarea autorilor, încărcarea se face cu o
sarcină de 0,75 din efortul la rupere, iar descărcarea cu o valoare de 0,25
din efortul la rupere [94].
La o nouă încărcare, acţionează componenta Bürger a modelului. Prin
urmare, descrierea comportării hârtiei la încărcare şi descărcare se poate
face numai în anumite condiţii limită, cu ajutorul componentelor modelului
menţionat.
30
Fig. 5.16. Modelul Ünger - Pöetschke
La descărcare s-a remarcat o suprapunere între revenirea deformaţiei
elastice şi revenirea deformaţiei vâsco-elastice, fapt reprezentat în acest
model prin elementul Maxwell-Thomson.
Ecuaţiile ce descriu dependenţa deformaţiilor de efort în cazul modelului
Ünger-Pöetschke sunt de forma:
Ydesc. M-T (t) = ∆σE /FEo + ∆σE /FE1 *(1-exp(-E1 /η1 *t)) =
= ∆σE /F(1/Eo +1/E1) - ∆σE /FE1 *exp(-E1 /η1 *t)
Ydesc. M-T (t) = K1 - K2 exp(-K3*t) (5.62)
Yînc. U-P (t) = Yînc M-T + Yînc.B (5.63)
Yînc. U-P (t) = ∆σE /FEo + ∆σE /FE1 *(1-exp(-E1 /η1 *t)) + ∆σB /FE2 +
+ ∆σB /FE3*(1-exp(η3/E3*t)) ;
Yînc. U-P (t) =∆σE /FE1*(1-exp(-E1 /η1 *t)) + ∆σB /Fη2*t + ∆σE /FEo +
+ ∆σB /FE2 + ∆σB /FE3* exp(-E3/η3*t) =
Yînc. U-P (t) = K2(1-exp(-K3t)) + K4t + K5 + K6exp(-K7t) (5.64)
31
Din expresia constantelor K1 până la K7 se pot determina parametrii
reologici care intră în alcătuirea modelului, adică Ei ; ηi ; trel. ; tret..
Secvenţele de calcul ale parametrilor reologici sunt următoarele
(conform figurii 5.17) [94,133] :
K1 = ∆σE/ F*(1/E2 + 1/E3) (5.65)
K2 = ∆σE/FE1 ⇒ E1 = ∆σE/FK2 (5.66)
K3 = E1/η1 ⇒ η1 = E1/K3 (5.67)
K4 = ∆σB /Fη2 ⇒ η2 = ∆σB /F K4 (5.68)
K6 = ∆σB /FE3 ⇒ E3 = ∆σB /F K6 (5.69)
K7 = E3/η3 ⇒ η3 = E3/ K7 (5.70)
K6 = ∆σE /FEo + ∆σB /F*(1/E2 +1/E3) (5.71)
(K5 - K6 ) ⇒ E2 = ∆σBEo /((K5 - K6 )*FEo-∆σE) (5.72)
Din relaţia [(K5+K4tB)-(K1-K2)] rezultă modulul de elasticitate Eo :
Eo = ∆σE / F [K1- K4tb + K2(∆σB/∆σE* E1/η1*tB - 1)] (5.73)
Modelul care
acţionează
Evoluţia curbei corespunzătoare
Determinarea parametrilor modelului
Determinarea parametrilor din evoluţia curbei de descărcare (evoluţia
curbei de fluaj invers)
y(t)=K1+K2exp(-K3t) K1 → E1 ↓ K3 → E1/η1 → η1
Determinarea parametrilor din evoluţia curbei de încărcare (curba de
fluaj direct)
y(t)=K2(1-exp(-3t))+ +K4t + K5 - -K6 exp.(-K7t) K4 → η2 K6 → E3 → η3 K7 → E3/η3 → η3 (K5+K4t2)-(K1+K2)→ Eo↵
(K5-K6)→1/Eo-1/E2→
E2↵ Fig. 5.17. Determinarea parametrilor reologici din curba de fluaj direct şi
invers
în care:
F - o constantă a modelului (care de obicei se consideră egală cu unitatea);
∆σE - efortul la încărcare,N/mm2;
∆σB - efortul la descărcare,N/mm2.
32
Prin folosirea datelor menţionate mai sus, se obţin termenii:
trel. = 1/K3 ; tret.1. =η1 /E1 ; tret.2 = η3 /E3 (5.74)
Pentru calculul valorilor constantelor k5 şi k6, se apelează la curba
redusă de fluaj, de forma:
Y*(t) = Yînc(t) - Ydesc(t) =K*5+ K4t + K6exp(-K7t) (5.75)
unde: K*5 = ∆σB /F
*(1/E2 + 1/E3) (5.76)
5.4.5. ALTE MODELE PROPUSE IN ACEST SCOP
In paragrafele de mai sus s-au prezentat cele mai semnificative modele
analog-mecanice susceptibile pentru evidenţierea caracteristicilor reologice ale
hârtiilor supuse la solicitarea de întindere.
In literatura de specialitate există însă numeroase alte modele care
încearcă să explice comportamentul reologic al hârtiilor supuse la solicitarea
de întindere.
Astfel, Ivarson şi Steenberg au propus un model reologic cu patru
parametri (figura 5.18).
Fig. 5.18. Modelul mecanic propus de
Ivarson si Steenberg [38]
Aceiaşi autori susţin că pentru viteze mari de deformare, modelul
Darmstadt (fig.5.19) descrie mai corect comportarea reologică a hârtiilor
supuse la întindere [93].
Fig. 5.19. Modelul Darmstadt
33
După Brecht, Gottsching şi Baumgarten [94], o reflectare mai bună a
proprietăţilor reologice ale hârtiei se poate obţine prin cuplarea in serie a
modelului Bürger cu un element St.-Venant (figura 5.20).
Fig. 5.20. Modelul Brecht-
Göttsching-Baumgarten
Badusov [38, 50] propune un model cu cinci parametri, prin care
doreşte să pună în evidenţă deformaţiile ireversibile şi concentraţiile locale de
tensiune din banda de hârtie .
Fig. 5.21. Modelul propus de Badusov
Pentru a descrie anumite proprietăţi reologice ale hârtiilor supuse la
diverse solicitări, în tabelul 5.1 se prezintă o sinteză a componentelor
constituente şi modele analog-mecanice , precum şi ecuaţiile de stare
reologică a acestora [50].
*
* *
34
Deşi aceste modele nu sunt perfecte, ele permit totuşi analiza
comportamentului reologic al hârtiilor, pentru anumite situaţii concrete, şi
prefigurarea evoluţiei în timp a caracteristicilor la variaţia în timp a
efortului sau deformaţiei.
Cunoscându-se aceste caracteristici mecano-reologice, produsele
papetare se pot utiliza în limitele optime, fără a necesita solicitarea acestora la
valorile maxime (de rupere) . Pe de altă parte, având corelaţiile cantitative şi
calitative dintre caracteristicile materialului, precum şi parametrii tehnologici,
se pot realiza produse papetare cu proprietăţi prestabilite, solicitate de anumiţi
beneficiari.
6. DESCRIEREA MODELULUI REOLOGIC CONSIDERAT
PENTRU CALCULUL PARAMETRILOR REOLOGICI
Pentru interpretarea curbei de fluaj s-a apelat la modelul Bürger,
considerat de noi ca fiind mai adecvat pentru descrierea comportamentului
reologic al hârtiilor. Evoluţia comportamentului vâsco-elastic prin intermediul
acestui model poate fi explicată în următoarele secvenţe (figura II.5) [122] :
Fig. II.5. Descrierea comportării vâsco-elastice utilizându-se modelul Bürger
(a) Inaintea solicitării la întindere, materialul şi modelul se află în stare de
echilibru (repaus);
35
(b) In momentul aplicării tensiunii constante σo, aceasta este preluată de către
resortul E1 şi amortizorul η1. Totodată, tensiunea este distribuită, în mod
egal, îi în elementul Kelvin -Voigt.
(c) Ansamblul Kelvin-Voigt , cu cele două elemente dispuse paralel, E2 şi η2,
începe să se extindă lent. Viteza de alungire scade pe măsură ce creşte
partea din tensiunea σo preluată de resortul E2 , până când amortizorul η2
nu mai suportă extinderi suplimentare, iar E2 este complet extins.
(d) Din momentul în care resortul E2 este complet întins, deformaţia începe să
decurgă cu viteză constantă, odată cu extinderea amortizorului η1.
Curgerea vâscoasă continuă, şi amortizorul η1 se extinde până la
îndepărtarea sarcinii σo .
(e) ~n momentul îndepărtării tensiunii, resortul E1 se contractă rapid, revenind
la lungimea sa iniţială.
(f) Datorită legării în paralel a resortului E2 cu amortizorul η2, energia
acumulată în resortul E2 tinde să contracte întreg ansamblul Kelvin-Voigt,
viteza de contracţie fiind controlată de valoarea vâscozităţii η2. Fenomenul
se desfăşoară până la recuperarea completă a deformaţiei elementului η2.
(g) Deoarece asupra amortizorului η1 nu acţionează nici o forţă pentru
recuperarea alungirii sale, el rămâne în stare extinsă, ceea ce corespunde
deformaţiei vâscoase remanente.
Ecuaţia de fluaj pentru acest model este :
YE E
tE
eB
o o o t ti= + + − −σ σ σ
1 2 2
1* * ( )/ (II.1)
Evaluarea cantitativă a parametrilor E1; E2; η1; η2 , respectiv ti,
precum şi a componentelor deformaţiilor εe ; εve ; εp , se poate realiza
pe cale grafică [133].
Considerând expresia din relatia (II.1) în care YB reprezintă deformaţia
totală, şi separând termenii în t, obţinem
YE E
tE
eB
o o o o t tret= + + − −σ σ ση
σ
1 2 1 2
* * / . (II.2)
unde t = t ret. = η2 / E2 , denumit timp de retardare.
Notând termenul liber şi coeficienţii ecuaţiei funcţie de timp, cu
constante Ki , ecuaţia (II.2) devine:
ΥB = k 1 + k 2*t - k 3*eK t-4* (II.3)
36
unde:
k 1 = σo * ( l / E1 + l / E2 ) (II.4)
k 2 = σo / η1 (II.5)
k 3 = σo / E2 (II.6)
k 4 = E2 / η2 (II.7)
Metoda de calcul grafic a parametrilor reologici este redată în figura
II.5.
Odată stabilite constantele geometrice, se pot determina parametrii
reologici ai modelului, sistematica de calcul fiind menţionată în schema
următoare:
k 1 k 2 η1 E1 k 3 E2
k 4 η2
Fig. II.5. Calculul geometric al principalelor elemente
de calcul pentru modelul Bürger
Pentru deformaţiile înregistrate la un moment dat, funcţie de solicitarea
constantă σo , se pot scrie următoarele ecuaţii pentru:
- deformaţia elastică instantanee: εe.i. (t) = σo / E1 = εo (II.8)
- deformaţia vâsco-elastică: εv.e. (t) = σo / E2* ( l - e-t/ tret.) = k 3*(1 4--e
K t* )
(II.9)
37
- deformaţia vâscoasă (remanentă): εv (t) = σo / η1* t = k 2 * t (II.10)
- deformaţia totală avem:εT ( t ) = εe.i. (t) + εv.e. (t) + εv. (t) (II.11)
Tabelul II.1. Valorile timp - deformaţie experimentale şi calculate pentru o
hârtie de ambalaj din celuloză kraft (70 g/m2) solicitată la un efort unitar de
31 N/mm2
Timp, sec ε exp., mm εcalc., mm
1,1 0,9128 1,025269 1,2 1 1,026283 1,3 1,0319 1,027292 1,4 1,0466 1,028297 1,7 1,06066 1,031283 3 1,0741 1,043753
4,6 1,0872 1,058107 6,2 1,1 1,071441 8,5 1,1114 1,088966 11,3 1,1233 1,107952 15,6 1,13599 1,132775 20,9 1,15 1,157423 26,1 1,1667 1,176552 34,1 1,18389 1,198669 44,3 1,2 1,217925 55,7 1,2121 1,231978 69,4 1,2227 1,242855 88,3 1,2328 1,252387 104,7 1,2432 1,258268 135,7 1,255 1,267166 159,8 1,2694 1,273409 175,2 1,284 1,277305 212 1,3 1,286519
244,6 1,3136 1,29465 283,3 1,3261 1,304295 325,6 1,3381 1,314836 376,2 1,35 1,327445 446,9 1,3625 1,345063 507,8 1,3751 1,360239 574,7 1,3877 1,376909 661,2 1,4 1,398464 792,4 1,4108 1,431158 880,8 1,4214 1,453187
E1 = 3,06.103 MPa
E2 = 14,26.103 MPa
η1 = 12,46.106 MPa.s
η2 = 29,75.104 MPa.s
38
Proba 2.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 200 400 600 800 1000
timp, sec
def.
,m
m
defc.,mm
def.,mm
def=1.2337+2.4919e-4*t-0.2119exp(-0.0475*t) r2 =0,95
Fig. II.6. Curbele deformaţie - timp experimentale şi calculate pentru o hârtie de ambalaj din
celuloza kraft (70 g/m2) solicitată la un efort unitar de 31 N/mm2
Def.calc., mm
Def.inreg., mm
top related