150321664 formule matematica bac m2
Post on 22-Jun-2015
667 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Formule de analiză matematică
Asimptote
• Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se calculează lim ( )
xf x
→+∞.
Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ • Asimptote oblice
Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:
[ ]
( )lim
lim ( )x
x
f xmx
n f x m x→+∞
→+∞
=
= − ⋅
Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ • Asimptote verticale
Se calculează 0
0
lim ( )x xx x
f x→<
şi 0
0
lim ( )x xx x
f x→>
.
Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie 0x x= .
Derivata unei funcţii intr-un punct:
0
00
0
( ) ( )( ) limx x
f x f xf xx x→
−′ =−
Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0:
0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x′− = −
Reguli de derivare:
2
( )( )( )( )
f g f gf g f gc f c ff g f g f g
f f g f gg g
′ ′ ′+ = +′ ′ ′− = −
′ ′⋅ = ⋅′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅
′ ′ ′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale Tabel cu derivatele funcţiilor compuse
( )
( )( )( )
2
3 2
4 3
1
2
01
( ) 2( ) 3( ) 4( )
1 1
12
ln
n n
x x
x x
x x
cxx xx xx xx n x
x x
xx
e e
e e
a a a
−
− −
′ =′ =
′ =
′ =
′ =
′ = ⋅
′⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
′ =
′ =
′ = −
′ = ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1ln
1logln
sin cos
cos sin1
cos1
sin1arcsin
11arccos
11
11
1
a
xx
xx a
x x
x x
tgxx
ctgxx
xx
xx
arctgxx
arcctgxx
′ =
′ =⋅
′ =
′ = −
′ =
′ = −
′ =−
′ = −−
′ =+
′ = −+
( )
( )( )( )
2
3 2
4 3
1
2
( ) 2( ) 3( ) 4( )
1
2
ln
n n
u u
u u
u u
u u uu u uu u uu n u u
uu u
uuu
e e u
e e u
a a a u
−
− −
′ ′= ⋅
′ ′= ⋅
′ ′= ⋅
′ ′= ⋅ ⋅
′ ′⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
′′ =
′ ′= ⋅
′ ′= − ⋅
′ ′= ⋅ ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
ln
logln
sin cos
cos sin
cos
sin
arcsin1
arccos1
1
1
a
uuu
uuu a
u u u
u u uutgu
uuctgu
uuu
uuu
uuarctgu
uuarcctgu
u
′′ =
′′ =⋅
′ ′= ⋅
′ ′= − ⋅
′′ =
′′ = −
′′ =−
′′ = −−
′′ =+
′′ = −+
Tabel cu integrale nedefinite
2
32
43
1
1
2
3
4
11 ln
ln
nn
x x
x x
xx
dx x C
xxdx C
xx dx C
xx dx C
xx dx Cn
dx x Cxe dx e C
e dx e C
aa dx Ca
+
− −
= +
= +
= +
= +
= ++
= +
= +
= − +
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin cos
cos sin
1cos
1sin
1 1
1 1 ln2
1 ln
1 ln
1 arcsin
xdx x C
xdx x C
dx tgx Cx
dx ctgx Cx
xdx arctg Cx a a a
x adx Cx a a x a
dx x x a Cx a
dx x x a Cx a
xdx Caa x
= − +
= +
= +
= − +
= ++
−= +
− +
= + + ++
= + − +−
= +−
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫ Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb
aa af x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫
Aplicaţii ale integralei definite
• Aria subgraficului unei funcţii Dacă : [ , ]f a b → este o funcţie continuă pozitivă atunci avem:
( ) ( )b
f aA f x dxΓ = ∫
• Volumul unui corp de rotaţie Dacă : [ , ]f a b → este o funcţie continuă atunci avem:
2( ) ( )b
f aV C f x dxπ= ∫
2
32
43
1
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )2( )( ) ( )3( )( ) ( )4
( )( ) ( )1
( ) ln ( )( )
( )
( )
( )ln
nn
u x u x
u x u x
u xu x
u x dx u x C
u xu x u x dx C
u xu x u x dx C
u xu x u x dx C
u xu x u x dx Cn
u x dx u x Cu x
e u x dx e C
e u x dx e C
aa u x dx Ca
+
− −
′ = +
′⋅ = +
′⋅ = +
′⋅ = +
′⋅ = ++
′= +
′ = +
′ = − +
′ = +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
2
2
2 2
2 2
2
2 2
sin ( ) ( ) cos ( )
cos ( ) ( ) sin ( )
( ) ( )cos ( )
( ) ( )sin ( )
( ) 1 ( )( )
( ) 1 ( )ln( ) 2 ( )
( ) ln ( ) ( )( )
u x u x dx u x C
u x u x dx u x C
u x dx tgu x Cu x
u x dx ctgu x Cu x
u x u xdx arctg Cu x a a a
u x u x adx Cu x a a u x a
u x dx u x u xu x a
′⋅ = − +
′⋅ = +
′= +
′= − +
′= +
+
′ −= +
− +′
= ++
∫∫
∫
∫
∫
∫
( )2
2 2
2 2
2 2
( ) ln ( ) ( )( )
( ) ( )arcsin( )
a C
u x dx u x u x a Cu x a
u x u xdx Caa u x
+ +
′= + − +
−′
= +−
∫
∫
∫
Formule de algebră
Ecuaţia de gradul doi
• Ecuaţia 2 0ax bx c+ + = .Se calculează 2 4b acΔ = − • Dacă 0Δ > atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula
1 2,2
bx xa
− ± Δ=
• Dacă 0Δ = atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula
1 2 2bx xa
= = −
• Dacă 0Δ < atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula
1 2,2
b ix xa
− ± −Δ=
• 2
1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − − • Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi 2 0ax bx c+ + = :
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
⎧ = + = −⎪⎪⎨⎪ = ⋅ =⎪⎩
• Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: 2 2 21 23 3 31 2
2
3
x x S P
x x S SP
+ = −
+ = −
Funcţia de gradul doi
:f R →R 2( )f x ax bx c= + +
Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul ,2 4bVa a
Δ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este min 4f
aΔ
= −
Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este max 4f
aΔ
= −
Progresii aritmetice
• Formula termenului general:
1 ( 1)na a n r= + − ⋅
• Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:
1( )2
nn
n a aS +=
• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:
2a c b+
=
Progresii geometrice
• Formula termenului general: 1
1n
nb b q −= ⋅ • Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:
1( 1)1
n
nb qS
q−
=−
• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: 2b a c= ⋅
Numere complexe z a bi= + este forma algebrică a unui număr complex
( )cos sinz r iθ θ= + este forma trigonometrică a unui număr complex unde:
• 2 2r a b= + este modulul numărului complex
• [0,2 )θ π∈ este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţia btga
θ =
2
2 2
1i
a bi a b
z a bi
= −
+ = +
= −
Formula lui Moivre ( ) ( )cos sin cos sinni n i nθ θ θ θ+ = +
Elemente de combinatorică
! 1 2 3 ....!
!( )!
!!( )!
n
kn
kn
n nP n
nAn k
nCk n k
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
=−
=−
Binomul lui Newton:
Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente. Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.
0 1 1 2 2 2( ) ... ...n n n n k n k k n nn n n n na b C a C a b C a b C a b C b− − −+ = + + + + + +
Formula termenului general din binomul lui Newton este 1k n k k
k nT C a b−+ =
Formule cu logaritmi loga b există dacă 0, 1, 0a a b> ≠ > log c
a b c a b= ⇔ = Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm log 1 0log 1ln1 0ln 1lg1 0lg10 1log log log ( )
log log log
log loglogloglog
1loglog
a
a
a a a
a a a
na a
ca
c
ab
a
e
A B A BAA BB
A n Abba
ba
==
====+ = ⋅
⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅
=
=
Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula:
.( ).nr cazuri favorabileP E
nr total cazuri posibile=
Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.
• Legea * este asociativă dacă ( ) ( )x y z x y z∗ ∗ = ∗ ∗ , ,x y z∀ ∈M • Legea * este comutativă dacă x y y x∗ = ∗ ,x y∀ ∈M • Legea * are element neutru e dacă x e e x x∗ = ∗ = x∀ ∈M • Un element x∈M se numeşte simetrizabil dacă x′∃ ∈M astfel incât x x x x e′ ′∗ = ∗ =
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă 3 2 0ax bx cx d+ + + = are rădăcinile 1 2 3, ,x x x atunci avem:
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
bx x xa
cx x x x x xa
dx x xa
⎧ + + = −⎪⎪⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎨⎪⎪ ⋅ ⋅ = −⎪⎩
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă 4 3 2 0ax bx cx dx e+ + + + = are rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x atunci avem:
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
bx x x xa
cx x x x x x x x x x x xadx x x x x x x x x x x xa
ex x x xa
⎧ + + + = −⎪⎪⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎪⎨⎪ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −⎪⎪⎪ ⋅ ⋅ ⋅ =⎩
Formule de trigonometrie
[ ]
[ ]
2 2
2 2
2 2
sin cos 1sin : 1,1sin( ) sincos : 1,1cos( ) cos
sin cos2
cos sin2
( )( )
sin 2 2sin cos sin 2sin cos2 2
cos2 cos sin1 cos2cos2 2cos 1 cos
2
cos2
x x
x x
x x
x x
x x
tg x tgxctg x ctgx
x xx x x x
x x xxx x x
π
π
+ =
→ −
− = −
→ −
− =
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠− = −− = −
= ⇒ =
= −+
= − ⇒ =
( )
( )
2 2
2
2
1 cos21 2sin sin2
sin 3 sin (3 4sin )cos3 cos (4cos 3)
sin( ) sin cos sin cossin( ) sin cos sin coscos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin
1
xx x x
x x xx x x
a b a b b aa b a b b aa b a b a ba b a b a b
tga tgbtg a btga tgb
tgatg a b
−= − ⇒ =
= −
= −
+ = +− = −+ = −− = +
++ =
− ⋅
− =1
sincoscossin
tgbtga tgb
xtgxxxctgxx
−+ ⋅
=
=
formula fundamentală a trigonometriei
funcţia sin este impară
funcţia cos este pară
Formule pentru transformarea sumelor in produse
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2sin cos2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
+ −+ =
− +− =
+ −+ =
+ −− = −
Formule pentru transformarea produselor in sume
sin( ) sin( )sin cos2
cos( ) cos( )cos cos2
cos( ) cos( )sin sin2
x y x yx y
x y xx y y
x y xx y
+ + −⋅ =
+ + −⋅ =
− − +⋅ =
y
3
2
3
2
331 3
333 1
tgx tg xtg xtg x
ctg x ctgxctg xctg x
−=
−
−=
−
2
2
2
2
2
2sin11cos12
11
2
txttxt
ttgxttctgxt
⎧ =⎪ +⎪
−⎪ =⎪ +⎨⎪ =⎪ −⎪ −⎪ =⎩
unde 2xt tg=
2
2
2
2
2
2sin 211cos2122
112
2
tgxxtg xtg xxtg x
tgxtg xtg xtg xctg xtgx
⎧ =⎪ +⎪⎪ −
=⎪ +⎪⎨⎪ =⎪ −⎪
−⎪ =⎪⎩
Ecuaţii trigonometrice fundamentale 1)Ecuaţia sin x a= are soluţii dacă şi numai dacă [ ]1,1a∈ − . In acest caz soluţiile sunt
{ }( 1) arcsin /kx a kπ∈ − + ∈k .
2)Ecuaţia cos x b= are soluţii dacă şi numai dacă [ ]1,1b . ∈ −In acest caz soluţiile sunt
{ }arccos 2 /x b k kπ∈ ± + ∈ . 3)Ecuaţia are soluţii ∀ ∈ . tgx c= cSoluţiile sunt { }arc /x tgc k kπ∈ + ∈ . 4)Ecuaţia are soluţii ∀ ∈ . ctgx d= dSoluţiile sunt { }arc /x ctgd k kπ∈ + ∈ .
[ ]2
2
sin(arcsin )
sin(arccos ) 11.1
cos(arccos )
cos(arcsin ) 1
x x
x xx
x x
x x
= ⎫⎪
= − ⎪∀ ∈ −⎬= ⎪⎪= − ⎭
Formule de geometrie
1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:
2 2 2cateta cateta ipotenuza+ = 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅ ⋅
3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este: 2 34
lAria =
4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele):
sin2
AB AC AAria ⋅ ⋅=
5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): ( )( )( )S p p a p b p c= − − − formula lui Heron
unde 2
a b cp + += este semiperimetrul.
6)Aria triunghiului dreptunghic este:
2cateta catetaAria ⋅
=
7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
2sin sin sin
a b c RA B C= = =
unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este:
2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y= − + −
9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este
1 2 1 2,2 2
x x y yM + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
10)Vectorul de poziţie al unui punct:
Dacă A(x,y) atunci OA x i y j= ⋅ + ⋅uuur r ur
http://matematica.noads.biz11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB
uuur este dat de formula:
2 1 2 1( ) ( )AB x x i y y j= − + −uuur r r
12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula:
1 1
2 1 2 1
x x y yx x y y− −
=− −
sau cu formula:
1 1
2 2
11 01
x yx yx y
=
13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul 0 0( , )A x y şi are panta dată m Este dată de formula:
0 0( )y y m x x− = −
14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă
1 1
2 2
3 3
11 01
x yx yx y
=
15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula
12ABCAΔ = ⋅ Δ
unde Δ este următorul determinant 1 1
2 2
3 3
111
x yx yx y
Δ =
16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă 0 0( , )A x y este un punct şi : 0d ax by c+ + = este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula:
0 0
2 2( , )
ax by cdist A d
a b
+ +=
+
17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:
2 1
2 1
y ymx x−
=−
18)Condiţia de coliniaritate a doi vectori in plan: Fie 1 1 1v a i b j= +
ur r r şi 2 2 2v a i b j= +
uur r r doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a vectorilor 1v
ur şi 2v
uur este:
1 1
2 2
a ba b
=
19)Condiţia de perpendicularitate a doi vectori in plan: Fie 1 1 1v a i b j= +
ur r r şi 2 2 2v a i b j= +
uur r r doi vectori in plan.Avem:
1 2 1 2 1 2 0v v a a b b⊥ ⇔ ⋅ + ⋅ =ur uur
(produsul scalar este 0) 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte 1d şi 2d sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică:
1 21 2 d dd d m m⇔ = Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: 1 1 1 1: 0d a x b y c+ + = şi 2 2 2 2: 0d a x b y c+ + =
atunci dreptele sunt paralele dacă 1 1
2 2
a ba b
= .
21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte 1d şi 2d sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu 1− adică:
1 21 2 1d dd d m m⊥ ⇔ ⋅ = −
Funcţia cosinus cos:R [ 1;1]→ − Exemple:
1cos3 2
cos 1cos0 1
cos 02
π
π
π
=
= −=
=
3 2cos4 2
3cos 02
cos2 1
7 3cos6 2
π
π
π
π
= −
=
=
= −
2250= 54π
00
3600= 2π -1
900=2π
1
3150= 74π
3000= 53π
2700= 32π
2400= 43π
3300= 116π 2100= 7
6π
1800=π
1500= 56π
1350= 34π
1200= 23π
600=3π
450=4π
300=6π
0
12
22
32
12
− 22
− 32
−
Funcţia sinus
sin:R [ 1;1]→ − Exemple:
3sin3 2
sin 0sin 0 0
sin 12
π
π
π
=
==
=
3 2sin4 2
3sin 12
sin 2 07 1sin6 2
π
π
ππ
=
= −
=
= −
00
3600= 2π
-1
900=2π
1
3150= 74π
3000= 53π
2700= 32π
2400= 43π
2250= 54π
3300= 116π 2100= 7
6π
1800=π
1500= 56π
1350= 34π
1200= 23π
600=3π
450=4π
300=6π
0
12
22
32
12
−
22
−
32
−
Funcţia tangentă
1500= 56π
450=4π
300=6π
3300= 116π
3150= 74π
00
3600= 2π
900=2π
3000= 53π
2700= 32π
2400= 43π
2250= 54π
2100= 76π
1800=π
1350= 34π
1200= 23π
600=3π
1
33
33
−
1−
3−
0
: \ /2
tg k kπ π⎧ ⎫+ ∈ →⎨ ⎬⎩ ⎭
Exemple: 3
6 3
33
tg
tg
π
π
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2tg π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
nu are sens
5 33 3
0
tg
tg
π
π
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠=
3
top related