01. metoda eliminarii a lui gauss
Post on 02-Aug-2015
276 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Metoda eliminării a lui Gauss ExerciseSă se rezolve sistemele:
1. , Soluţia este:
2. , Soluţia este: ,
3. , Nu are soluţie.
SolutionMetoda pivotului aplicată acestui sistem are următoarea formă:
Page 1 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
1. .
Soluţia sistemului se citeşte pe coloana din ultimul tabel şi este .
Matricial, operaţiile pentru fiecare pivot sunt următoarele (folosind matrici elementare):
,
Page 2 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
,
.
Identitatea matricială obţinută pornind de la matricea iniţială şi terminând cu matricea
finală (folosind matrici elementare) este:
.
Page 3 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
2. .
Se observă că algoritmul nu mai poate fi continuat deoarece în ultimul tabel ultima linie (corespunzătoare
necunoscutelor) este nulă. Deoarece şi elementul corespunzător coloanei este nul, rezultă că sistemul este
compatibil nedeterminat.
Soluţia sistemului este
Page 4 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
3.
Sistemul este incompatibil.
Fiind dată matricea , să se calculeze .
Exercise
Page 5 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Soluţie:
Page 6 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Page 7 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Proba:
Sa se rezolve urmatoarele sisteme:
Page 8 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
1. Atasam matricii determinantul
care este diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru
determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a
pivotul urmator este a
Page 9 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
si, in final, a
2. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
Page 10 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
3. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
4. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Page 11 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
5. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
Page 12 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
6. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
Page 13 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
si, in final, a
7. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
Page 14 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
8. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor.
Facem o permutare intre liniile 1 si 2.
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
9. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Page 15 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
10. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
Page 16 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Facem o permutare intre liniile 3 si 2.
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
11. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
Page 17 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
12. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
Page 18 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
si, in final, a
13. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
Page 19 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
14. Atasam matricii determinantul care este
diferit de 0 deci putem rezolva sistemul prin metoda pivotului pentru determinarea solutiilor
Pastram ca pivot elementul a si avem:
urmeaza a pivotul urmator este a
si, in final, a
15. , Solutia este:
Ex: 1/101
Page 20 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Sa se rezolve:
a)
S. C. D. ;
A b
Page 21 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
b)
S. C. D. ;
c)
A b
Page 22 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.D.;
Ex: 2/102
Sa se rezolve:
a)
A b
A b
Page 23 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.N.
b)
A b
Page 24 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.N.;
Ex:3/103
Sa se rezolve:
a) ,
A b
Page 25 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S. C. DN.
b)
S. C. DN.
Ex: 4/105
Sa se rezolve:
A b
Page 26 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
a) (A)
Daca m S.C.D
Daca m=1, Sistemul devine:
A= (A)
Page 27 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.DN.
Daca m=-1, Sistemul devine:
A= (A)
Page 28 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.DN.;
b)
Daca m=5, S.C.N.;
Page 29 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Daca m S.C.D
c)
Page 30 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Daca m 1, Sistemul devine:
Daca m=1, Sistemul devine:
Ex:5/106
Sa se rezolve:
Page 31 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Daca m 0, n 1,Sistemul devine:
Daca m=0, Sistemul devine:
Page 32 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Deoarece b S.I
Daca m 0, n=1, Sistemul devine: (A)
daca m ,S.I.
daca m= stemul devine
Page 33 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.N.;
Ex:6/107
Sa se rezolve:
Page 34 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
S.C.D.;
Page 35 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Ex:7/108
Sa se determine astfel ca determinantul principal al sistemului sa fie de rang doi si sistemul compatibil.
Daca S.C.
Ex: 8/109
Sa se determine m astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat.
Page 36 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Sistemul este compatibil determinat
Ex: 9/109
Sa se determine parametrii astfel incat sistemul sa fie compatibil nedeterminat.
Page 37 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Daca , S.C.N
Ex: 10/110
Sa se rezolve sistemul matricial
Se considera .Sistemul se scrie:
Page 38 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Page 39 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Ex: 11/110
Sa se rezolve sistemul matricial:
Fie cu
Se inmulteste la dreapta ecuatia a doua cu si se obtine:
Page 40 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Daca din prima ecuatie a sistemului se scade aceasta ecuatie si se obtine:
Aceasta egalitate o inmultim la dreapta cu inversa matricii
care este si se gaseste
Ex:1/112
Sa se rezolve:
Page 41 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Ex: 2/112
Sa se rezolve:
Page 42 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Ex: 3/112
Sa se rezolve:
Page 43 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Ex: 4/112
Sa se rezolve:
Page 44 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
3.1 Fie sistemul de ecuatii liniare :
a. Cate solutii de baza are sistemul ?
b. Determinati, daca este posibil , trei solutii de baza.
Rezolvare :
a. Fie A= . Intrucat rezulta ca sistemul este
dublu nedeterminat iar o solutie de baza are cel mult doua componente nenule.
Page 45 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
b. Trebuie sa eliminam din sistem o ecuatie,de exemplu pe a doua; vom gasi
solutiile de baza (care sunt in numar de cel mult ) pentru sistemul :
Vom nota cu a vectorul corespunzator variabilei , .
Am obtinut solutiile de baza :
, ,
3.2 Fie sistem de ecuatii liniare :
Baza Necunoscute Principale
Page 46 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Care dintre vectorii de mai jos sunt solutii de baza ale sistemului dat :
a. ; b. ; c. ; d. ; e. .
Rezolvare :
Intrucat , o solutie de baza pentru sistemul dat trebuie sa indeplineasca conditiile :
-Sa fie un vector in .
-Sa verifice sistemul.
-Sa aiba cel mult doua componente nenule si vectorii corespunzatori acestora sa fie liniar independenti.
a. deci nu poate fi solutie de baza.
b. , dar are trei comonente nenule, deci nu poate fi solutie de baza.
c. , verifica sistemul , iar componentele , corespund vectorilor ,
care formeaza baza in . Deci este solutie de baza.
d. , are doua componenete , care corespund vectorilor , care sunt
liniar independenti. Vectorul nu este insa solutie de baza a sistemului, deci nu poate fi solutie de baza.
e. deci nu poate fi solutie de baza.
3.3 Fie sistemul de ecuatii liniare :
Page 47 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
a. Calculati toate solutiile de baza.
b. Scrieti vectorul in baza data de vectorii unde este
vectorul corespunzator lui .
Rezolvare: Folosind metoda Gauss-Jordan pentru solutionarea problemei avem :
Page 48 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Din aceste calcule reiese ca , deci solutia de baza trebuie sa aiba
maximum doua componente nenule. Din iteratiile rezulta ca solutiile
de baza sunt : , , .
b. Deoarece nu formeaza baza, problema nu are sens.
3.4 Sa se scrie toate solutiile de baza ale sistemului :
care contin nenuli.
Rezolvare : Deoarece , rezulta ca o solutie de baza contine doar pe si .
Din primele doua relatii avem :
Sistemul are deci o singura solutie de baza care indeplineste conditia ceruta.
3.5
Calculati toate solutiile de baza ale sistemului :
Page 49 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Rezolvare :
Observam ca nu este baza in , deci nu poate da o solutie de baza.
3.6
Sa se determine o solutie de baza a sistemului :
Rezolvare : Sistemul de ecuatii liniare corespunzatoare este :
Baza Necunoscutele principale
Page 50 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Deoarece , formeaza o baza in putem cauta o solutie de baza luand
Varianta 1 : Avem
Varianta 2 : Notam cu B matricea bazei respective ,adica .
Avem si adica
3.7
Fie vectorii :
, , , , ,
a. Sa se scrie sistemul corespunzator ecuatiei vectoriale :
b. Sa se determine solutia de baza corespunzatoare bazei .
Rezolvare :
a. Obtinem sistemul de ecuatii liniare :
Page 51 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
b. Avem deci o solutie de baza trebuie sa aiba cel mult trei componente nenule. Fie matrice bazei
Solutia de baza corespunzatoare este . Aplicam metoda eliminarii complete.
Solutia de baza este :
3.8 Fie sistemul de inecuatii :
Page 52 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Sa se scrie sistemul de inecuatii atasat , sa i se afle solutiile de baza si , dintre acestea,
solutiile corespunzatoare sistemului de inecuatii.
Rezolvare :
Inmultim relatia a doua cu si introducem variabilele de compensare :
Baza Necunoscute principale
,
Page 53 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
In total sunt cel mult solutii de baza.
3.9
Fie sistemul de inecuatii :
Scrieti sistemul de ecuatii atasat, aflati trei solutii de baza ale lui si
solutiile corespunzatoare ale sistemului de inecuatii.
Rezolvare : Inmultim relatia a doua si a treia cu si adaugam :
,
,
,
Page 54 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
, ,
,
Baza Necunoscute Principale
,
Page 55 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
3.10 Fie sistemul de inecuatii :
a. Scrieti sistemul de ecuatii atasat, aflati cinci solutii de baza ale
lui si solutiile corespunzatoare sistemului de inecuatii.
b. Fie
Pentru care din solutiile de baza de la a. f isi atinge maximul ?
Rezolvare : Sistemul de ecuatii este :
Avem :
Baza Necunoscute principale
Page 56 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
a.
Observam ca nu este solutie a sistemului de inecuatii ( ). Avem :
b.
Observam ca pentru isi atinge maximul; solutia este degenerata deoarece nu are doua componente
nenule.
Rezolvati urmatoarele sisteme folosind metoda pivotului :
5) 6)
Page 57 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
19) 20)
Page 58 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
21)
Page 59 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
5)
Page 60 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
6)
Page 61 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
7)
Page 62 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
8)
Page 63 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
18)
Page 64 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
19)
Page 65 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Page 66 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Page 67 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
9)
Page 68 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
11)
Page 69 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
12)
Page 70 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
14)
Page 71 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
15)
Page 72 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
16)
Page 73 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
17)
Page 74 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
10) Sistemul nu are solutii diferite de 0
13) Sistemul are solutii diferite de 0
Alegem rang A=2 x=necunoscuta secundara=
2.1/pg 11
Sa se rezolve sistemele de ecuatii liniare:
Page 75 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
Rezolvare: Metoda Gauss
b b
Page 76 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
2.2/pg 12
Sa se rezolve sistemul:
afland si ,unde este matricea sistemului.
Rezolvare:
A I b
Page 77 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
2.3/pg 13
Sa se rezolve ecuatia matriciala , unde:
Rezolvare:
Page 78 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
2.4/pg 14
O matrice nesingulara de ordinul (3,3) are inversa:
Dterminati matricea
Rezolvare:
Page 79 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
This document created by Scientific WorkPlace 4.0.
Page 80 of 8001MetodaGauss.htm
19.04.2008http://cristiann.ase.ro/01MetodaGaussHTML/01MetodaGauss.htm
top related