ALGEBR , clasa a X - a

56 60Culegere de probleme

61Algebr X

a) 10100

b) 7950

c) 15050

d) 16500

e) 50100

f) 350

AL - X. 084 Pentru o progresie aritmetic suma primilor n termeni ai ei este

. S se determine primul termen a1 i raia r.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 085 S se determine raia i primul termen ale unei progresii aritmetice pen- tru care este suma primilor n termeni ai progresiei.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 086 ntr-o progresie aritmetic termenul al noulea i al unsprezecelea suntdai , respectiv , de cea mai mare i cea mai mic rdcin a ecuaiei:

.

Se cere suma primilor 20 termeni ai progresiei.

a) 15 b) 18 c) 22 d) 30 e) 40 f) 100AL - X. 087 Fie un ir avnd suma primilor n termeni , unde , pentru orice . S se determine a i b astfel nct irul s fie progresie aritmetic cu primul termen egal cu 2.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 088 Fie . S se determine raia unei progresii aritmetice n care primul termen este 3, iar raportul ntre suma primilor p termeni i suma primilor q termeni este .

a) 1

b) 2

c) 6

d) 5

e) 4

f) 3

AL - X. 089 Fie termenii unei progresii aritmetice cu raia . n funcie de i s se calculeze suma: .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL X. 090 Fie numere reale n progresie aritmetic de raie r. S se calculeze suma: .

a) r

b a1

c) 1

d) 0

e) n

f) 2nAL X. 091 S se determine numrul termenilor unei progresii aritmetice descresctoare dac simultan sunt ndeplinite condiiile :

(i) Raia satisface ecuaia

(ii)Primul termen satisface ecuaia :

(iii) Suma progresiei este cu 9 mai mic dect exponentul p al binomului n a crui dezvoltare termenul al patrulea conine pe b la puterea nti.

a) n = 5 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 10 e) n = 4 f) n=8

AL - X. 092 S se determine primul termen a1 i raia q pentru progresia geometric dac: .

a)

b) c)

d) e) f)

AL - X. 093 Suma a trei numere n progresie aritmetic este egal cu 12. Dac seadaug acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometric . S se afle aceste numere.

a) 5,4,7 i 15,14,13

b) 1,4,7 i 17,4,-9

c) 6,8,10

d) 1,3,5 i 17,15,13

e) 5,9,13 i 18,14,10

f) 2,4,6 i 1,4,9

AL X. 094 Trei numere sunt n progresie geometric. Dac se mrete al doilea cu 32, progresia devine aritmetic, iar dac se mrete apoi i al treilea cu 576, progresia devine din nou geometric. Care sunt cele trei numere?

a) 4,20,100 sau 1,-7,49;

b) 4,100,20 sau -7,1,49;

c) 100,4,20 sau 1,49,-7;

d) 2,4,6 sau 6,4,2;

e) 8,10,12 sau -3,-1,0;

f) 1,2,3 sau 49,50,51

AL X. 095 Pot fi numerele 7,8,9 elemente ale unei progresii geometrice?

a) Da n ordinea 7,8,9 cu o raie q(1

b) Da n ordinea 9,8,7 cu o raie q(1

c) Da n ordinea 7,9,8 cu o raie q(1

d) Da n ordinea 8,9,7 cu o raie q(1

e) Nu pot fi.

f) Da n ordinea 7,9,8 cu o raie q>1

AL X. 096 Calculai produsul primilor apte termeni ai unei progresii geometrice, cu cunoscnd suma lor i suma inverselor lor

.

a) 2186; b) 2187; c) 9837; d) ; e) ; f)

AL X. 097 S se calculeze suma

.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL X. 098 Fie n(N , n ( 3 i a1, a2 ,,an primii n termeni ai unei progresii geometrice cu . Dac i p= a1a2an , atunci :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL X. 099 Fie i dou progresii astfel nct prima s fie aritmetic i cea de a doua geometric, iar a1 = b1 = 3 i a 3 = b3 . S se determine aceste progresii dac a2 = b2 + 6 .

a) an = 12n 9,

an =12n + 9

b) an = 12n 9 an = 12n 6

bn = 3n sau bn = 3n

bn = 3n sau bn = 3nc) an = 12n 9 an = 3

d) an = 12n - 9 an = 3

bn = 3n sau bn = 3(-1) n-1 bn = 3n sau bn = 3(-1) ne) an = 12n + 9 an = 12n 9 f) an = 12n + 9 an = 12n 9

bn = 3(-1)n 1 sau bn = 3(-1)n bn = 3(-1) n sau bn = 3nAL X. 100 Fie un ir de numere reale n progresie geometric i

p(N*. S se calculeze suma

.

a)

b)

c)

d) e) f)

AL X. 101 S se calculeze expresia

.

a)

b)

c)

d)

e)

f) 1

AL X. 102 S se decid dac este progresie geometric un ir pentru care suma primilor si n termeni este ; n caz afirmativ precizai raia q a acesteia.

a)

b)

c)

d)

e) irul nu este progresie geometric

f)

AL X. 103 S se determine numerele reale x,y,z dac x,y,z sunt n progresie aritmetic cu raia nenul, x,z,y sunt n progresie geometric i x+y+z = 18.

a) - 24, 6, 12

b) 24, 6, -12

c) 6, 12, 0

d) -12, 12, 18

e) 12, -6, 36

f) 36, -18, 0

AL X. 104 S se determine valoarea parametrului real m astfel nct polinomul

s se devid cu x+1.

a) 0

b) 1

c) 3

d) 1

e) 1

f) 2

AL X. 105 S se determine ctul q i restul r al mpririi polinomului

la polinomul .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 106 S se determine gradul polinoamelor astfel nct f(7)=5 i

f(15)=9.

a) 2

b) Nu exist asemenea polinom

c) 3

d) 4

e) 6

f) 8

AL - X. 107 S se determine restul mpririi polinomului: ,

la polinomul .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 108 Un polinom P mprit la d restul , iar mprit la ,d restul . Fie R1 , respectiv R2 , resturile mpririi polinomului P(P(x)) la ,respectiv la . n funcie de i s se determine R1 i R2 .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 109 Fie P un polinom care mprit la are restul i ctul Q(x), iar mprit la are restul i ctul H(x). Fie restul mpririi lui Q(x) la i restul mpririi lui H(x) la . S se determine i .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 110 Fie P un polinom cu coeficieni reali. Dac resturile mpririi lui

P la i sunt egale, s se determine restul mpririi lui P

la polinomul .

a) b) c) P(a) d) e) f)

AL - X. 111 S se determine restul mpririi polinomului

la polinomul .

a) b) c) 0 d) e) f)

AL - X. 112 Fie . S se determine astfel nct restul mpririi lui f la s fie egal cu 5, iar restul mpririi lui f la

s fie egal cu 3, apoi s se gseasc restul mpririi lui f la .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 113 Se consider polinomul: .

S se determine parametrii astfel ca restul mpririi lui la

s fie 18 , iar restul mpririi lui la s fie egal cu 12 .

a)

b) c)

d) e) f)

AL - X. 114 Fie un polinom de grad cel puin doi. Dac f d restul 2prin mprirea la i , s se determine restul mpririi lui f la .

a) b) c) 1 d) 0 e) f) X

AL - X. 115 Fie , unde .

Determinai condiia necesar i suficient pentru ca polinomul f s fie divizibilprin polinomul .

a) b) c) d) e) f)

AL - X. 116 Un polinom mprit la x-1, x+1 i x+4 d respectiv resturile 15,7 i

80. S se afle restul mpririi polinomului prin .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 117 S se determine toate polinoamele de gradul trei care se divid la x-1, iar resturile mpririi la x-2, x-3 i x-4 sunt egale.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 118 S se determine parametrii reali m i n astfel nct polinomul

s fie divizibil prin polinomul .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 119 Determinai restul mpririi polinomului

la polinomul .

a)

b)

c)

d)

e)

f)

AL - X. 120 S se determine restul mpririi polinomului , prin polinomul .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 121 Fie P un polinom cu coeficieni reali de grad mai mare sau egal cu 3, iar

restul mpririi lui P prin produsul . S se determine m , n i p astfel nct resturile mpririi lui P prin i s fie, respectiv , , 3, .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 122 Determinai puterile naturale n pentru care polinomul

este divizibil prin .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 123 S se determine parametrii a,b( R astfel nct polinomul , s fie divizibil cu .

a) a = 12

b) a = 16

c) a = - 16

b = - 12

b = - 16

b = 16

d) a = 16

e) a = 15

f) a = 13

b = - 14

b = - 15

b = - 13

AL X. 124 S se determine restul R(x) al mpririi polinomului la x2+x+1, n ( N +.

a)

b)

c)

d) e) f)

AL - X. 125 S se determine polinomul de gradul trei, care mprit la d restul i mprit la d restul .a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 126 S se determine i astfel nct un cel mai mare divizor comun al polinoamelor i s fie un polinom de gradul doi.

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 127 Fie un polinom de grad mai mare sau egal cu 2, care ndeplinete simultan condiiile:

a) P mprit la X-1 d restul 3;

b) (X-1) P(X) -X(P(X+2)=1.

Atunci restul mpririi polinomului P(X) la X2-4X+3 este:

a) X-1

b) X+1

c) X+4d) X-4 e) 2x+5

f) 1

AL - X. 128 Fie . Determinai coeficienii polinomului f , dac .

a) b)

c) d)

e) f)

AL - X. 129 S se determine polinomul P(X) care satisface condiiile: , i P(0) = 24.

a) b)

c) d)

e) f)

AL - X. 130 S se determine toate polinoamele , astfel nct

pentru orice .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 131 Fie un polinom de grad oarecare, care pentru patru valori ntregi diferite este egal cu p, p fiind un numr prim. Pentru ce valori ntregi ale lui xavem ?

a) Nu exist b) Pentru orice c) Pentru

d) Pentru orice e) Pentru f) Pentru x numr prim

AL - X. 132 Dac polinomul are proprietatea c f(0) i f(1) sunt numere impare, atunci:

a) f are numai rdcini ntregi

b) f are numai rdcini ntregi pare

c) f are numai rdcini ntregi impared) f nu are rdcini ntregi

e) f are numai rdcini ntregi pozitivef) f are numai rdcini ntregi negative

AL - X. 133 S se determine toate valorile parametrilor pentru care existpolinoamecare verific identitatea

a) b) c)i

d)i e) f)

AL - X. 134 Fie polinomul . Care dinurmtoarele afirmaii sunt adevrate pentru orice valori ale numerelor reale a i b .

a) f are cel mult o rdcin real b) f nu are rdcini reale

c) f are 4 rdcini reale d) f are cel puin dou rdcini reale

e) f are cel mult dou rdcini reale f)este rdcin a polinomului

AL - X. 135 S se determine astfel nct rdcinile ale ecuaiei

, s verifice relaia .

a),

b),

c),

d),

e),

f)

AL - X. 136 Determinai ordinul de multiplicitate al rdcinii

a ecuaiei: .

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5

AL - X. 137 S se determine ordinul de multiplicitate al rdcinii 1 pentru polinomul

.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1997 f) 998

AL - X. 138 Fie . S se determine relaia dintre coeficienii a, b, c, d pentru care rdcinile lui P sunt n progresiearitmetic.

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 139 Fie polinomul . S se determine relaia dintre coeficienii a, b, c, d pentru ca rdcinile polinomului P sfie n progresie geometric.

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 140 S se determine valorile lui pentru care produsul a dou rdciniale ecuaiei este egal cu 1.

a) b) c) d) e) f)

AL - X. 141 Care este relaia dintre a i b atunci cnd ecuaia

, are o rdcin dubl.

a) b) c) d) e) f)

AL - X. 142 Artai c ecuaia , ,admite o rdcin x1 independent de m i apoi determinai m astfel nct:

i fiind celelalte rdcini ale aceleiai ecuaii.

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 143 S se afle rdcina real a ecuaiei , tiind c ea poate fi scris sub forma unde i .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 144 S se determine tiind c rdcinile ale ecuaiei

satisfac relaia .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 145 S se determine astfel nct rdcinile ale ecuaiei , s verifice egalitatea .

a) b) c) d) e) f)

AL - X. 146 Dac sunt rdcinile ecuaiei , s se calculeze expresia: .

a) b) c) d) e) f)

AL - X. 147 Se consider ecuaia , cu rdcinile . S se calculeze expresia: .

a) b) c)

d) e) f)

AL - X. 148 Dac sunt rdcinile ecuaiei,

, s se formeze ecuaia n y care are ca rdcini:

.

_941357787.unknown

_941363713.unknown

_1042969876.unknown

_1087622356.unknown

_1087637248.unknown

_1087639813.unknown

_1087641078.unknown

_1087643437.unknown

_1093934974.unknown

_1094968473.unknown

_1098697344.unknown

_1093941490.unknown

_1093942726.unknown

_1093942992.unknown

_1093942075.unknown

_1093941149.unknown

_1087643892.unknown

_1087643950.unknown

_1087643997.unknown

_1087646056.unknown

_1087643915.unknown

_1087643824.unknown

_1087643868.unknown

_1087643601.unknown

_1087643287.unknown

_1087643381.unknown

_1087643408.unknown

_1087643361.unknown

_1087643133.unknown

_1087643263.unknown

_1087641116.unknown

_1087640800.unknown

_1087640965.unknown

_1087641012.unknown

_1087640908.unknown

_1087640143.unknown

_1087640728.unknown

_1087639942.unknown

_1087639302.unknown

_1087639610.unknown

_1087639715.unknown

_1087639754.unknown

_1087639673.unknown

_1087639370.unknown

_1087639502.unknown

_1087639336.unknown

_1087637653.unknown

_1087639211.unknown

_1087639264.unknown

_1087639073.unknown

_1087637418.unknown

_1087637465.unknown

_1087637393.unknown

_1087636411.unknown

_1087636760.unknown

_1087637041.unknown

_1087637096.unknown

_1087636807.unknown

_1087636667.unknown

_1087636713.unknown

_1087636614.unknown

_1087636115.unknown

_1087636194.unknown

_1087636286.unknown

_1087636156.unknown

_1087636013.unknown

_1087636077.unknown

_1087635974.unknown

_1044189392.unknown

_1044189425.unknown

_1044189468.unknown

_1046852336.unknown

_1046852975.unknown

_1087622228.unknown

_1087622310.unknown

_1087622144.unknown

_1047447886.unknown

_1046852967.unknown

_1046852971.unknown

_1046852932.unknown

_1044189744.unknown

_1044189845.unknown

_1044189894.unknown

_1044189939.unknown

_1044189793.unknown

_1044189713.unknown

_1044189445.unknown

_1044189460.unknown

_1044189464.unknown

_1044189448.unknown

_1044189434.unknown

_1044189438.unknown

_1044189429.unknown

_1044189409.unknown

_1044189419.unknown

_1044189422.unknown

_1044189413.unknown

_1044189416.unknown

_1044189400.unknown

_1044189403.unknown

_1044189395.unknown

_1044189082.unknown

_1044189371.unknown

_1044189383.unknown

_1044189386.unknown

_1044189389.unknown

_1044189380.unknown

_1044189346.unknown

_1044189360.unknown

_1044189340.unknown

_1044189328.unknown

_1042971274.unknown

_1042971506.unknown

_1044188982.unknown

_1044189034.unknown

_1042971606.unknown

_1042971956.unknown

_1042971559.unknown

_1042971433.unknown

_1042971477.unknown

_1042971386.unknown

_1042970340.unknown

_1042970881.unknown

_1042970946.unknown

_1042970446.unknown

_1042970025.unknown

_1042970235.unknown

_1042969965.unknown

_941380659.unknown

_1042965401.unknown

_1042966521.unknown

_1042966982.unknown

_1042967129.unknown

_1042969710.unknown

_1042967098.unknown

_1042966862.unknown

_1042966936.unknown

_1042966712.unknown

_1042965629.unknown

_1042965982.unknown

_1042966159.unknown

_1042965669.unknown

_1042965523.unknown

_1042965583.unknown

_1042965449.unknown

_941382296.unknown

_977922445.unknown

_1042957479.unknown

_1042958776.unknown

_1042965275.unknown

_1042957585.unknown

_1006591766.unknown

_1006591848.unknown

_1006591599.unknown

_977922729.unknown

_941382575.unknown

_946292664.unknown

_977919789.unknown

_977919855.unknown

_946292797.unknown

_941382765.unknown

_941383549.unknown

_946291883.unknown

_941382974.unknown

_941382606.unknown

_941382369.unknown

_941382498.unknown

_941380895.unknown

_941380984.unknown

_941381007.unknown

_941381893.unknown

_941380939.unknown

_941380803.unknown

_941380862.unknown

_941380740.unknown

_941364851.unknown

_941365297.unknown

_941365827.unknown

_941365955.unknown

_941373387.unknown

_941373970.unknown

_941380605.unknown

_941373558.unknown

_941366152.unknown

_941373338.unknown

_941366283.unknown

_941366109.unknown

_941365898.unknown

_941365931.unknown

_941365859.unknown

_941365424.unknown

_941365715.unknown

_941365793.unknown

_941365582.unknown

_941365390.unknown

_941365409.unknown

_941365369.unknown

_941364937.unknown

_941365140.unknown

_941365280.unknown

_941365060.unknown

_941364882.unknown

_941364920.unknown

_941364865.unknown

_941364316.unknown

_941364429.unknown

_941364759.unknown

_941364806.unknown

_941364654.unknown

_941364374.unknown

_941364399.unknown

_941364343.unknown

_941364162.unknown

_941364207.unknown

_941364289.unknown

_941363880.unknown

_941364029.unknown

_941364083.unknown

_941363810.unknown

_941361212.unknown

_941362582.unknown

_941363199.unknown

_941363517.unknown

_941363600.unknown

_941363645.unknown

_941363561.unknown

_941363455.unknown

_941363494.unknown

_941363363.unknown

_941363083.unknown

_941363143.unknown

_941363163.unknown

_941363125.unknown

_941362891.unknown

_941363030.unknown

_941362780.unknown

_941361697.unknown

_941362252.unknown

_941362361.unknown

_941362468.unknown

_941362343.unknown

_941362121.unknown

_941362225.unknown

_941361959.unknown

_941361452.unknown

_941361602.unknown

_941361680.unknown

_941361588.unknown

_941361378.unknown

_941359257.unknown

_941360560.unknown

_941361096.unknown

_941361164.unknown

_941361194.unknown

_941361131.unknown

_941360740.unknown

_941361054.unknown

_941360587.unknown

_941360342.unknown

_941360453.unknown

_941360524.unknown

_941360384.unknown

_941359410.unknown

_941360044.unknown

_941359310.unknown

_941358533.unknown

_941359059.unknown

_941359204.unknown

_941358620.unknown

_941358800.unknown

_941358575.unknown

_941358183.unknown

_941358419.unknown

_941358480.unknown

_941358328.unknown

_941357871.unknown

_941357916.unknown

_941357829.unknown

_941304548.unknown

_941308004.unknown

_941309239.unknown

_941310090.unknown

_941357360.unknown

_941357688.unknown

_941357740.unknown

_941357541.unknown

_941357155.unknown

_941357182.unknown

_941357125.unknown

_941309400.unknown

_941309452.unknown

_941309879.unknown

_941309428.unknown

_941309345.unknown

_941309374.unknown

_941309326.unknown

_941308706.unknown

_941308942.unknown

_941309029.unknown

_941309167.unknown

_941308980.unknown

_941308815.unknown

_941308879.unknown

_941308771.unknown

_941308251.unknown

_941308338.unknown

_941308705.unknown

_941308279.unknown

_941308160.unknown

_941308190.unknown

_941308132.unknown

_941305883.unknown

_941306780.unknown

_941307150.unknown

_941307400.unknown

_941307521.unknown

_941307606.unknown

_941307674.unknown

_941307881.unknown

_941307639.unknown

_941307571.unknown

_941307476.unknown

_941307186.unknown

_941307330.unknown

_941307168.unknown

_941307119.unknown

_941307136.unknown

_941307014.unknown

_941306488.unknown

_941306533.unknown

_941306701.unknown

_941306505.unknown

_941306261.unknown

_941306443.unknown

_941306017.unknown

_941305152.unknown

_941305480.unknown

_941305810.unknown

_941305856.unknown

_941305536.unknown

_941305377.unknown

_941305406.unknown

_941305321.unknown

_941304840.unknown

_941304973.unknown

_941305013.unknown

_941304908.unknown

_941304699.unknown

_941304764.unknown

_941304649.unknown

_941299687.unknown

_941303650.unknown

_941304120.unknown

_941304205.unknown

_941304394.unknown

_941304465.unknown

_941304309.unknown

_941304163.unknown

_941304187.unknown

_941304136.unknown

_941303818.unknown

_941303976.unknown

_941304043.unknown

_941303842.unknown

_941303715.unknown

_941303796.unknown

_941303686.unknown

_941300859.unknown

_941301053.unknown

_941303406.unknown

_941303434.unknown

_941301084.unknown

_941300936.unknown

_941300986.unknown

_941300893.unknown

_941300524.unknown

_941300596.unknown

_941300678.unknown

_941300552.unknown

_941300074.unknown

_941300445.unknown

_941299722.unknown

_941281963.unknown

_941285641.unknown

_941299442.unknown

_941299568.unknown

_941299638.unknown

_941299503.unknown

_941285702.unknown

_941285735.unknown

_941285668.unknown

_941285271.unknown

_941285429.unknown

_941285516.unknown

_941285454.unknown

_941285365.unknown

_941285394.unknown

_941285325.unknown

_941284470.unknown

_941285129.unknown

_941285188.unknown

_941284507.unknown

_941284258.unknown

_941284371.unknown

_941284208.unknown

_941278071.unknown

_941278346.unknown

_941278419.unknown

_941278984.unknown

_941281764.unknown

_941278681.unknown

_941278376.unknown

_941278268.unknown

_941278305.unknown

_941278232.unknown

_941277480.unknown

_941277566.unknown

_941277600.unknown

_941277516.unknown

_941277321.unknown

_941277431.unknown

_941277127.unknown