1

”LIVIU TĂTAR” - 2016

Clasa a XI-a

REZOLVARE

Problema 1

A. Un resort elastic între două corpuri identice. În desenul a din figura alăturată, cele două

corpuri identice, fiecare cu masa m, aflate pe un suport plan orizontal, sunt conectate la capetele unui

resort elastic liniar, având constanta de elasticitate k.

Printr-un impuls de scurtă durată i se imprimă

corpului 1 viteza ,v 0

orientată aşa cum indică

desenul.

a) Să se determine deformarea maximă a

resortului şi vitezele celor două corpuri

corespunzătoare acestei stări. Resortul rămâne

liniar. Se neglijează frecările.

Rezolvare

a) Din momentul startului, viteza corpului 1 începe să scadă, iar viteza corpului 2 începe să

crească, în timp ce resortul se comprimă. Există un moment în evoluţia sistemului, când vitezele celor

două corpuri devin egale, pentru ca apoi viteza corpului 2 să depăşească viteza corpului 1, ceea ce are

drept consecinţă o creştere a lungimii resortului. Însemnează că în momentul egalării vitezelor celor două

corpuri, lungimea resortului este minimă, sau, ceea ce este echivalent, deformarea sa prin alungire este

maximă.

Concluzie: atunci când deformaţia resortului este maximă, vitezele celor două corpuri sunt

identice.

În acord cu legile de conservare a energiei şi a impulsului, rezultă:

;

2222

v2

max

2

2

2

1

2

0 xkmumum

;v 210 mumum

;2v2

max

22

0 xm

ku

;2v0 u ;v2

10u

2 1

b

a m m

m m 0v

1 2

0v

k

uu

1 uu

2 2

1

m m 0v

1 2

k

2

;2

v0maxk

mx

;2

vv

2

max

2

02

0 xm

k

;2

v 22

0 xkm

;2

v

2

1

2

2

0

2

max mxk

.2

1c0maxdef,p, EE

Concluzie: energia potenţială maximă de deformaţie a sistemului este jumătate din energia cinetică

iniţială a sistemului.

B. Ciocnirea a două sfere identice. În desenul b din figura anterioară, cele două sfere metalice

identice, fiecare cu masa m, sunt în repaus pe un suport plan orizontal. Printr-un impuls de scurtă durată

sfera 1 dobândeşte viteza ,v 0

orientată aşa cum indică desenul.

Să se determine vitezele celor două sfere după ciocnire, dacă în procesul de ciocnire căldura

eliberată reprezintă 1 % din energia potenţială maximă de deformaţie a acestora.

Rezolvare

b) Se ştie că atunci când o sferă aflată în repaus, este ciocnită perfect elastic de o altă sferă,

identică, având viteza ,v 0

după ciocnire sfera proiectil îi transmite sferei fixe întreaga sa energie cinetică,

astfel încât sfera lovită dobândeşte viteza ,v 0 iar sfera proiectil se opreşte.

Problema propune însă o ciocnire ne elastică a două sfere, atunci când energia sistemului nu se

mai conservă sub forma energiilor mecanice. În bilanţul energetic al procesului trebuie inclusă şi căldura

eliberată.

Din problema precedentă ştim că:

- energia potenţială de deformaţie a sistemului are valoarea maximă în momentul când, în procesul

ciocnirii, vitezele celor două corpuri deformate sunt egale, v, aşa cum indică figura alăturată;

- energia potenţială maximă de deformare este jumătate din energia cinetică iniţială a sistemului.

Rezultă:

;c0maxdef,c,maxdef,p, EEE

;2

v

2

v2c0

2

0

2

maxdef,p, Emm

E

2 1

m m

1 2

0v

2u

1u

v

3

;2

v2 2

maxdef,c,

mE

;2

1

2

v

2

1c0

2

0maxdef,p, E

mE

;2

1c0maxdef,c,c0 EEE

;2

1c0maxdef,c, EE ;

2

v

2

1

2

v22

0

2 mm ;v

2

1v 0

;2

c0

maxdef,p,

EEQ

;2

v

22

2

0

2

2

2

1 mQ

mumu

;2

v

4

v

22

2

0

2

0

2

2

2

1 mmmumu

;2

1v2

0

2

2

2

1

uu

;v995,0 2

0

2

2

2

1 uu

;v021 mmumu

;v

;2

1v

021

2

0

2

2

2

1

uu

uu

;v

;2

v2

021

2

021

uu

uu

;04

vv

2

0

10

2

1

uu

;112

v0

1 u

;112

v02 u

;0112

v0

min,11 uu ;400

vv002,0 0

01 u

;v112

v0

0

max2,2 uu .v997,0 02 u

4

”LIVIU TĂTAR” - 2016

Clasa a XI-a Problema 2

Oscilații armonice. Un pendul este constituit dintr-un fir subţire şi inextensibil, cu lungimea l, având

un capăt suspendat de un suport fix şi purtând la celălalt capăt un corp foarte mic, cu masa m, electrizat

cu sarcina Q > 0. Pe verticala punctului de suspensie al firului pendulului, deasupra acestuia, la înălţimea

h, este fixat un alt corp foarte mic, electrizat cu sarcina q < 0.

a) Să se demonstreze că oscilaţiile mici ale acestui pendul, efectuate în plan vertical sunt armonice

şi să se determine perioada acestor oscilaţii, cunoscând acceleraţia gravitaţională, g şi permitivitatea

absolută a aerului, 0. Pentru ce valori ale sarcinii electrice Q, oscilaţiile mici ale pendulului sunt

armonice.

b) Într-un acelaşi punct sunt prinse de un suport fix capetele a două fire izolatoare, foarte uşoare,

inextensibile, fiecare cu lungimea l, purtând la capetele opuse corpuri identice, foarte mici, fiecare cu masa m,

electrizate cu sarcinile q1 şi respectiv q2, având semne identice. Sistemul astfel format este în echilibru, firele

celor două pendule, aflându-se într-un acelaşi plan vertical, formează unghiul 20. Să se demonstreze că oscilaţiile foarte mici ale celor două pendule, efectuate în acelaşi plan

vertical, simetrice în raport cu verticala punctului comun de suspensie, sunt armonice şi să se determine perioada acestor oscilaţii, cunoscând acceleraţia gravitaţională, g, şi permitivitatea absolută a acrului, 0. Caz particular: 0 foarte mic.

c) Unul dintre cele două pendule este fixat apoi în poziţie verticală, iar celălalt pendul este în echilibru, într-un acelaşi plan vertical, unghiul dintre firele lor fiind 0.

Să se demonstreze că oscilaţiile mici ale pendulului liber, efectuate în acelaşi plan vertical, în raport cu poziţia sa de echilibru, sunt armonice şi să se determine perioada acestor oscilaţii. Caz particular: 0 foarte mic.

Rezolvare a) Pentru deviaţii unghiulare mici, distanţa dintre cele două corpuri electrizate este aproximativ

(h + l), astfel încât, aşa cum indică figura 1, forţa rezultantă, perpendiculară pe direcţia firului, responsabilă de oscilaţiile pendulului, este:

Fig. 1

5

F = mg sin – 4

12)( lh

qQ

sin;

)sin(

h =

sin

l;

h l( –);

(h + l) = l ;

F mg – 4

12)( lh

qQ

;

= lh

l

;

F = mg

3)(41

lh

lqQ; y l;

F = mg

3)(41

lh

lqQy ;

k = l

mg

3)(41

lh

lqQ;

F = ky ; F= –k y

,

ceea ce dovedeşte că oscilaţiile pendulului sunt armonice.

În aceste condiţii, rezultă:

k = m2 = m

2

24

T

;

T = 2

3)(41

lh

lqQg

l

.

b) Pentru starea de echilibru a sistemului, reprezentată în desenul a din figura 2, avem:

6

Fig. 2

mg sin0 = Fe0 cos0;

Fe0 = 4

12

21

4r

qq.

În timpul oscilaţiilor sistemului, când deviaţia unghiulară instantanee este + , forţa

responsabilă de oscilaţiile fiecărui pendul este:

F = mg sin – Fe cos;

F = mg sin(0 + ) – Fe cos(0 + );

Fe = 4

12

21

)(4 rr

qq

;

F = mg(sin0 cos + cos0 sin) – Fe(cos0 cos + sin0 sin),

astfel încât, pentru oscilaţii foarte mici, rezultă:

cos 1; sin ;

Fe = 4

12

21

4r

qq2

1

r

r;

Fe Fe0

r

r21 ;

F = mg sin0 + mg cos0 - Fe0

r

r21 cos0 +

7

+ Fe0

r

r21 sin0;

F = mg cos0 + 2mg sin0r

r +

0

02

cos

sin

mg

r

r21 ;

r = l sin0;

r + r = l sin = l sin(0 + ) = l(sin0 + cos0 );

r = l cos0 ; s = l ; r = cos0 s;

F =

0

0

2

0cos

sincos3

l

mg s – 2

l

mgsin0(s)

2;

(s)2 = l

2()

2 0;s y ;

F l

mg

0

02

cos

cos21

;

;cos

cos21

0

02

l

mgk

F = ky ; F

= –k y

,

ceea ce dovedeşte că oscilaţiile pendulului sunt armonice.

În aceste condiţii, rezultă:

k = m2 = m

2

24

T

;

T = 20

2

0

cos21

cos

g

l.

Caz particular: 0 foarte mic; cos0 1;

T = 2g

l

3.

c) Corespunzător stării de echilibru a sistemului, reprezentată în desenul a din figura 3, avem:

Fig. 3

8

mg sin0 = Fe0 cos2

0 ;

Fe0 = 2mg sin2

0 ; Fe0 = 4

12

21

r

qq.

Când pendulul oscilează, forţa responsabilă de oscilaţiile sale este:

F = mg sin – Fe cos2

;

F = mg sin(0 + ) – Fe cos2

1(0 + );

Fe = 4

12

21

)( rr

qq

;

F = mg(sin0 cos + cos0 sin) – Fe(cos2

0 cos2

+ sin

2

0 sin2

),

astfel încât, pentru oscilaţii foarte mici, rezultă:

cos 1; sin ;

cos2

1; sin

2

2

;

Fe = 4

12

21

r

qq2

1

r

r;

Fe Fe0

r

r21 ;

F = mg sin0 + mg cos0 – Fe0 cos2

0

r

r21 + + eoF sin

2

0

r

r21

2

;

F = mg cos0 + 2mg sin0r

r + mg sin

2

0

r

r21 ;

r = 2l sin2

0 ;

r + r = 2l sin2

= 2l sin

2

1(0 + ) = 2l(sin

2

0 cos2

+ cos

2

0 sin2

) =

= 2l(sin2

0 + cos2

0

2

);

r = l cos2

0 ;

s = l ; r = cos2

0 s;

F =

1cos

2cos 0

0

l

mgs -

l

mg

2sin0(s)

2;

(s)2 = l

2()

2 0;

9

F 1coscos00

2 l

mgy ;

k = 1coscos 002

l

mg;

F = ky ; F= –k y

,

ceea ce dovedeşte că oscilaţiile pendulului sunt armonice.

Rezultă:

k = m2 = m

2

24

T

;

T = 2

1cos

2cos

1

00g

.

Caz particular: 0 foarte mic;

T = 2g

l

3.

10

”LIVIU TĂTAR” - 2016

Clasa a XI-a

Problema 3 Circuite electrice. La bornele unui generator electric se conectează în serie două voltmetre identice,

iar la bornele unuia dintre voltmetre se conectează un ampermetru. Indicaţiile celor trei instrumente de

măsură sunt: U1 , U2 > U1 , I .

a) Să se determine indicaţiile celor trei instrumente de măsură, dacă şi ampermetrul este

conectat în serie cu cele două voltmetre. Să se determine indicaţiile celor trei instrumente de măsură

dacă toate ar fi conectate în paralel la bornele generatorului. (Atenţie: în practică, ampermetrul nu

trebuie conectat direct la bornele generatorului!) Rezistenţa electrică interioară a generatorului este

neglijabilă.

b) În desenul din figura 1 este reprezentată caracteristica volt-amper [graficul dependenţei I =

f(U)] pentru două dispozitive electrice, conectate în paralel, unul dintre ele fiind un rezistor R cu

rezistenţa electrică R = 100 ohmi, iar celălalt dispozitiv este un element necunoscut, Z.

Utilizând datele din grafic să se traseze caracteristica volt-amper pentru elementul necunoscut

din circuit.

Fig. 1 Fig. 2

c) În schema din figura 2 cele trei ampermetre sunt identice. Cunoscând indicaţiile ampermetrelor A1 şi respectiv A2, precum şi tensiunea electromotoare a generatorului, E, să se determine indicaţia ampermetrului A3 şi rezistenţa necunoscută Rx. Se neglijează rezistenţa electrică interioară a generatorului.

11

Rezolvare

a) Dacă cele trei instrumente de măsură sunt conectate aşa cum se precizează în enunţul

problemei (primul desen din figura 1), rezultă:

Fig. 1

U1 = RVI1 = RAI; RA = I

U1 ;

U2 = RVI2 = RV(I1 + I ) = U1 + RVI;

RV = I

UU 12 ;

E = U1 + U2.

În aceste condiţii, dacă cele trei instrumente de măsură sunt conectate în serie, aşa cum indică al

doilea desen din figura 1, rezultă:

Is = AV2 RR

E

=

12

21

2

)(

UU

IUU

;

U1 = U2 = RVIs = 12

21

22

2 UU

UU

.

Dacă cele trei instrumente de măsură s-ar conecta în paralel la bornele generatorului, atunci

indicaţiile lor ar fi:

I = A

R

E = I

U

UU

1

21 ;

U1 = U2 = E = U1 + U2.

b) Deoarece rezistorul R şi dispozitivul necunoscut Z sunt conectate în paralel, tensiunile de la

bornele lor sunt egale, iar intensitatea curentului principal este egală cu suma intensităţilor curenţilor prin

cele două dispozitive:

UR = UZ = U;

I = IR + IZ.

Caracteristica volt-amper a rezistorului cu rezistenţa R = 100 fiind semidreapta care trece prin

origine, IR, reprezentată în figura 2, atunci caracteristica volt-amper a dispozitivului necunoscut, IZ, se obţine

prin scăderea „punct cu punct” a celor două caracteristici:

12

Fig. 2

IZ = I = IR = IZ (U),

graficul său fiind o semidreaptă descendentă.

c) Din schema reprezentată în figura 3, unde sunt indicate sensurile curenţilor prin laturile reţelei,

rezultă:

Fig. 3

I2 RA = I1(RA + Rx);

Rx = RA

1

1

2

I

I;

I3RA = I2RA + (I1 + I2)Rx;

I3 = I2 + 1

2

1

2

2

I

II ;

13

E = I3RA + (I1 + I2 + I3)Rx;

Rx =

12

31

321II

IIIII

E

.