ALGEBRA (Clasa a XI-a)

Permutari:Def: Fie A={1,2,3,…,n}, se numeste permutare o functie bijectiva ;

. EX:

Not: (sau ) – multimea permutarilor de gradul “n”. =n!.OBS: Permutarea in care se numeste permutare identica si se noteaza cu “e”.Produsul (compunerea) permutarilor: Fie

Ex:

Inversa unei permutari: Cum - functie bijectiva - inversabila

. EX: .

Inversiunile unei permutari: Fie .

Pereche (i,j) se numeste inversiune a permutarii daca si numai daca .Not: m( ) – numarul inversiunilor permutarii .

EX: Fie .

Signatura (semnul) unei permutari: Fie , se numeste signatura permutarii

numarul . Pentr permutare

impara, iar pentru permutare para.Tm: Daca atunci ,”signatura produsului egal cu produsul signaturilor”.

Transpozitii:Def: Se numeste transpozitie o permutare care difera de permutarea identica doar prin pozitiile a doua elemente care sunt comutate. , Not: .

EX:

Proprietati: 1. (ij)=(ji)2. (ij) =(ij)3. (ij) =e

Descompunerea unei permutari in produs de transpozitii:

EX:

consideram transpozitia (daca (k)=k atunci se trece la (k+1))

consideram transpozitia

MATRICE

Fie M={1,2,3,…,m} IN, N={1,2,3,…,n} INDef: Se numeste matrice o aplicatie de forma .

Not: sau

- multimea matricelor cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe.De Neuitat: 1. A – matrice dreptunghiulara;

m=n A – matrice patratica;m=1 A – matrice linie;

n=1 A – matrice coloana;2. In cazul matricelor patratice:

a.) Se utilizeaza notatia - multimea matricelor patratice de ordinul “n”.

b.) Daca atunci

formeaza diagonala principala, iar formeaza diagonala secundara.

Opusa unei matrice: se numeste matricea

opusa a matricei A. Elementele matricei opuse sunt opusele elementelor matricei initiale.

EX:

Matricea nula:

Operatii cu matrici: I. Adunarea: se poate efectua doar daca matricele sunt de acelasi tip.

Fie si

Proprietati: - comutativitatea: A+B=B+A, ; - asociativitatea: (A+B)+C=A+(B+C),

; - element neutru: A+ = +A=A, ; - elemente simetrizabile:

. Inmultirea cu scalari:

.

De retinut: 1. La inmultirea unei matrice cu un scalar se obtine o alta matrice de acelasi tip la care fiecare element este inmultit cu scalarul respectiv;

2. Un scalar se poate scoate ca factor in fata unei matrici daca si numai daca el apare in descompunerea fiecaruia dintre elementele matricei initiale; 3. Egalitatea a

doua matrici:

II. Inmultirea matricelor:

Def: Fie

unde

Proprietatile inmultirii matricelor: - asociativa: ;

- inmultirea matricelor este distributiva fata de adunare la stanga daca

;- inmultirea matricelor este distributiva fata de adunare la dreapta

daca ; In cazul matricelor patratice (de acelasi tip):

- inmultirea se poate efectua in ambele sensuri, dar nu este

comutativa: ;- inmultirea este asociativa si distributiva fata de adunare si

la stanga si la dreapta;- operatia de inmultire admite ca element neutru matricea

unitate:

III. Transpusa unei matrice: Fie

Proprietati: ;

DETERMINANTI

Determinantii sunt numere care se calculeaza relativ la o matrice patratica. Ordinul determinantului este acelasi cu ordinul matricei al carei determinant se calculeaza.

Daca - se numeste

determinantul matricei A.Formula de calcul a determinantului de ordinul n este

pentru calculul determinantului de ordinul doi

, iar pentru calculul determinantului de ordinul trei OBS: un

determinant de ordinul “n” are n! termeni dintre care n!/2 cu “+” si n!/2 cu “-”.Proprietatile determinantilor: I. Proprietati care anuleaza determinantul:

Un determinant este nul daca:1. Are o linie (coloana) formata numai din zerouri;

2. Are doua linii (coloane) identice;3. Are doua linii (coloane)

proportionale; 4. Are o linie (coloana) combinatie liniara a celorlalte linii (col). Def: un numar este combinatie liniara a numerelor daca si numai daca

.

II. Proprietati care modifica valoarea determinantului: 1. Prin inmultirea elementelor unei linii (coloane) ale unui

determinant cu anumit numar “a” se obtine un determinant a carui valoare este de a ori mai mare decat valoarea determinantului initial;

2. Prin comutarea (schimbatrea locului) a doua linii (coloane) se obtine un determinant opus ca valoare determinantului initial;

III. Proprietati care nu modifica valoarea determinantului: 1. Determinantul matricei transpuse este egal cu

determinantul matricei initiale;2. Valoarea unui determinant ramane

neschimbata daca se scrie acesta ca suma a alti doi determinanti obtinuti prinscrierea elementelor unei linii (coloane) ca suma a doi termeni

;

3. Valoarea unui determinant ramane neschimbata daca la elemenetele unei linii (coloane) se adauga elementele altei linii (coloane) inmultite cu acelasi numar;

Calculul determinantilor: Fie

Minor de rdinul n-1: determinantul notat obtinut prin suplimarea liniei i si coloanei j.

Complement algebric al elementului : ;

- se numeste dezvoltarea determinantului dupa linia “i”.

- se numeste dezvoltarea determinantului dupa coloana “j”.

Determinanti VANDERMOND:

Rangul unei matrice. Matrice inversabile: Def; Fie . Rangul matricei A=r (si se noteaza rang A=r) daca si

numai daca exista un minor de ordinul r nenul si toti minorii de ordinul r+1 sunt nuli.Algoritm: 1. Se cauta un minor de ordinul doi nenul;2. Se calculeaza minori de ordinul trei obtinuti prin bordarea minorului de

ordinul doi cu cate o coloana si linia corespunzatoare;

3. Daca: - toti minorii de ordinul trei sunt nuli ; - exista minor de ordinul trei nenul se continua algoritmul (daca

se poate). Daca nu se poate ;OBS: 1. Daca matricea A este patratica atunci mai intai se calculeaza

determinantul acesteia. Daca daterminantul lui A diferit de zero atunci rang A este egal cu ordinul matricei, iar in caz contrar se porneste algoritmul;

2. Daca intr-o matrice nu avem minor de ordinul doi nenul atunci se cauta minor de ordinul unu nenul (orice element al matricei).

Matrice inversabile. Inversa unei matrice: problema inversabilitatii unei matrice se pune doar in cazul matricelor patratice.Def1: se numeste matrice singulara o matrice patratica al carei determinant este nul.Def2: se numeste matrice nesingulara o matrice patratica al carei determinant nu este nul.Def3: o matrice patratica este inversabila daca si numai daca

;Tm: o matrice patratica este inversabila daca si numai daca este nesingulara.Tm: daca - inversa matrice A,

( - adjuncta matricei “A”). Elementele

adjunctei sunt complementi algebrici ai elementelor matricei transpuse matricei “A”.Determinarea inversei unei matrice (algoritm):

1. Se calculeaza determinantul lui “A”; Daca det A=0 rezulta matrice singulara (nu este inversabila);

2. Se scie ;3. Se formeaza ;

4. .

Ecuatii matriceale: .

SISTEME DE ECUATII LINIARE

Forma generala: ;Ecuatie liniara: o ecuatie la care toate necunoscutele au puterea intai;

Matricea sistemului: matricea coeficientilor necunoscutelor ;

Matricea extinsa a sistemului: contine atat coeficiectii necunoscutelor cat si termenii

liberi: ;

Clasificarea sistemelor dupa natura lor: - compatibile (admit solutii):

- determinate: admit solutie unica (rangA=rang =numarul de necunoscute)- nedeterminate: admit o infinitate de solutii (rangA=rang <numarul de

necunoscute)- incompatibile :no admit solutii;

Sisteme CRAMER (compaibile determinate): sunt sistemele de n ecuatii liniare cu n necunoscute care au determinantul matricei sistemului nenul.Tm (regula lui CRAMER): solutia unui sistem de ecuatii liniare se determina cu ajutorul

fomulelor: ; este determinantul obtinut in urma

inlocuirii in determinantul matricii sistemului a coloanei coeficientilor lui cu coloana termenilor liberi.Sisteme de m ecuatii liniare cu n necunoscute:Tm (KROMECHER - KEPELLI): un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca rangul matricii extinse este egal cu rangul matricii sistemului: rangA=rang .Terminologie:

Minor principal: este minorul care da rangul matricii sistemului.Minori caracteristici:sunt minorii obtinuti prin bordarea minorului principal cu

elemente ale coloanei termenilor liberi si ale liniei corespunzatoare.Necunoscute principale: sunt necunoscute ai caror coeficienti formeaza minorul

principal.Necunoscute auxiliare (secundare): sunt necunoscutele sistemului diferite de cele

principale (se noteaza cu litere mici ale alfabetului grecesc si se trec in membrul drept).Ecuatii principale: sunt ecuatiile generate de minorul principal.Sistem compatibil simplu nedetermint: are o singura necunoscuta auxiliara.Siste compatibil dublu nedeterminat: are doua necunoscute auxiliare.

Tm (Rouché): un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.Algoritm:

1. se sciu A si ;2. se determina rang A;3. se calculeaza minorii caracteristici;

- daca exista un minor caracteristic diferit de 0 sistem incompatibil; - daca toti minorii caracteristici sunt nuli rang A=rang sistem compatibil;

4. se precizeaza necunoscutele principale si cele auxiliare;5. se scrie sistemul format din ecuatii principale;

se rezolva sistemul fie elementar fie folosind formulele lui Cramer (in functie de complexitate);

6. se scrie solutia sistemului.