algebra

Algebra liniara,geometrie analitica si diferentiala

Nicolae DanetUniversitatea Tehnica de Constructii Bucuresti

Catedra de Matematica

Anul universitar 2004-2005

Cuprins

Prefata ix

1 Calcul vectorial clasic 11.1 Vectori legati. Spatiul vectorial E3O . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Vectori liberi. Spatiul vectorial V 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Produse de vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Produsul scalar a doi vectori liberi . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Produsul vectorial a doi vectori liberi . . . . . . . . . . . . 221.3.3 Produsul mixt a trei vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 Dublu produs vectorial a trei vectori . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Vectori reciproci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Planul si dreapta n spatiu 352.1 Planul n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Dreapta n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Fascicule de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Probleme referitoare la distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5 Probleme referitoare la unghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Spatii vectoriale 573.1 Notiunea de spatiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Baze. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 Matricea de trecere de la o baza la alta . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5 Spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6 Spatii unitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Operatori liniari 1074.1 Operatori liniari. Proprietati generale . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2 Matricea unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

iii

iv CUPRINS

4.4 Forma diagonala a matricei unuiendomorsm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.5 Operatori liniari autoadjuncti (hemitici) . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Forme patratice 1395.1 Forme liniare pe Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2 Forme biliniare pe Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4 Reducerea formelor patratice la expresia

analitica canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.1 Metoda lui Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4.2 Metoda lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 Conice 1576.1 Ecuatiile canonice ale conicelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.2 Schimbarea reperelor ortonormate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3 Ecuatia generala a unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.4 Centrul unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.5 Reducerea conicelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.5.1 Cazul conicelor cu centru unic ( 6= 0) . . . . . . . . . . . 1746.5.2 Cazul conicelor fara centru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.6 Intersectia unei conice cu o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.7 Tangentele la o conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.8 Axele unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.9 Asimptotele unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7 Cuadrice 2097.1 Ecuatiile canonice ale cuadricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.1.3 Hiperboloidul cu o pnza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.1.4 Hiperboloidul cu doua pnze . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.1.5 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.1.6 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.1.7 Alte forme canonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.2 Generarea suprafetelor conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.2.1 Generarea suprafetelor conice . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.2.2 Generarea suprafetelor cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . 2257.2.3 Generarea suprafetelor de rotatie . . . . . . . . . . . . . . 227

7.3 Ecuatia generala a cuadricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.4 Centrul unei cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.5 Reducerea cuadricelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . 232

CUPRINS v

8 Curbe plane 2478.1 Notiunea de curba plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.2 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.3 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.4 Cercul de curbura al unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.5 Punctele multiple ale unei curbe plane

denite implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.6 nfasuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . . . . . . . 271

9 Curbe n spatiu 2799.1 Notiunea de curba n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.2 Tangenta si planul normal la o curba n spatiu . . . . . . . . . . . 2819.3 Lungimea unui arc de curba. Parametrizare naturala . . . . . . . 2829.4 Triedrul lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2849.5 Formulele lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.6 Calculul curburii si al trosiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2879.7 Interpretarea geometrica a curburii si a torsiunii . . . . . . . . . . 2889.8 Curbe cu parametrizare oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

10 Suprafete 29310.1 Notiunea de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29310.2 Curbe oarecare pe suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . 29810.4 A doua forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . 303

A Relatii de echivalenta 311

vi CUPRINS

Lista gurilor

6.1 Sistem de axe pentru obtinerea ecuatiei canonice a elipsei . . . . . 1576.2 Reprezentarea graca a elipsei x

2

a2+ y

2

b2 1 = 0 . . . . . . . . . . . 159

6.3 Sistem de axe pentru obtinerea ecuatiei canonice hiperbolei . . . . 1596.4 Reprezentarea graca a hiperbolei x

2

a2 y2

b2 1 = 0 . . . . . . . . . 1616.5 Reprezentarea graca a unei hiperbole si a hiperbolei conjugate

corespunzatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.6 Reprezentarea graca a unei parabole . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.7 Translatia n punctul C(x0; y0) si rotatia de unghi . . . . . . . . 168

7.1 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.2 Hiperboloidul cu o pnza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.3 Hiperboloidul cu doua pnze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.4 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.5 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.6 Generarea unei suprafete conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.7 Generarea unei suprafete cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.8 Generarea unei suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

vii

viii LISTA FIGURILOR

Prefata

Aici se va scrie textul

ix

x PREFATA

Capitolul 1

Calcul vectorial clasic

1.1 Vectori legati. Spatiul vectorial E3OVom nota cu E3 multimea punctelor din spatiul intuitiv geometric, iar cu

E2 multimea punctelor din plan. Notiunile pe care le vom studia n continuarevor denite n E3: Ele ramn valabile, cu particularitatile de rigoare, n E2:Dreptele si planele sunt considerate ca submultimi de puncte ale lui E3: Produsulcartezian al lui E3 cuE3; adica multimea tuturor perechilor ordonate (A;B);undeA;B 2 E3; se noteaza cu E3 E3: Deci, E3 E3 = f(A;B) j A;B 2 E3g:

Se numeste vector legat sau segment orientat orice pereche ordonata depuncte (A;B) 2 E3 E3: Un vector legat (A;B) se va nota n continuare cu!AB si va reprezentat printr-o sageata sub forma A ! B: Vectorul

!BA

se numeste vectorul opus lui!AB sau, pe scurt, opusul lui

!AB: Daca A = B;

vectorul !AA se numeste vectorul nul.La un vector legat nenul

!AB (A 6= B); distingem urmatoarele elemente:

- punctul A, numit originea sau punctul de aplicatie al vectorului!AB;

- punctul B; numit vrful sau extremitatea lui !AB;- dreapta AB; numita dreapta suport sau, simplu, suportul vectorului

!AB;

- sensul vectorului!AB este sensul de parcurgere al segmentului [AB] de la

originea A la extremitatea B:

Distanta de la A la B; adica lungimea segmentului [AB]; se numeste normavectorului !AB si se noteaza cu k!ABk: Lungimea segmentului [AB] se poate notasi sub forma j!ABj; caz n care denumirea este de modulul vectorului !AB. Vomprefera denumirea de norma si notatia k!ABk; deoarece n felul acesta este maivizibila diferenta dintre vectori si scalari: norma se aplica vectorilor, iar modulul

1

2 CAPITOLUL 1. CALCUL VECTORIAL CLASIC

scalarilor. Deci,

k!ABk = dist(A;B):

Vectorul nul!AA are norma egala cu zero.

Doi vectori legati!AB si

!CD se numesc:

- egali , A = C si B = D; i.e., au aceeasi origine si acelasi vrf;

- coliniari , au aceeasi dreapta suport, i.e., AB = CD;

- paraleli , suporturile lor sunt drepte paralele, i.e., AB jj CD:

Spatiul vectorial E3O al vectorilor legati cu originea n punctul O

Fie O un punct x n E3: Notam cu E3O multimea tuturor vectorilor legati cuoriginea n punctul O; i.e.,

E3O = f!OA j A 2 E3g:

Pe multimea E3O introducem doua operatii: una interna (ntre vectorii aparti-nnd multimii E3O) si alta externa (ntre vectorii din E

3O si numerele reale).

Adunarea vectorilor din E3OPentru !OA si !OB; doi vectori din E3O; se deneste suma

!OA+

!OB

def=

!OC;

unde punctul C este simetricul punctului O fata de mijlocul segmentului [AB]:Acest mod de a deni suma a doi vectori legati din E3O este cunoscut sub numelede regula paralelogramului.

1.1. VECTORI LEGATI. SPATIUL VECTORIAL E3O 3

Adunarea vectorilor are urmatoarele proprietati:

1) (!OA+

!OB)+

!OC =

!OA+(

!OB+

!OC); 8 !OA;!OB;!OC 2 E3O; i.e., adunarea

este asociativa.2) !OA+!OB = !OB+!OA; 8 !OA;!OB 2 E3O; i.e., adunarea este comutativa.3) Vectorul nul

!OO este element neutru pentru adunare, i.e.,

!OA +

!OO =

!OA; 8!OA 2 E3O:

Vectorul nul !OO a notat n continuare cu !0 :4) Pentru orice vector !OA 2 E3O exista un vector

!OA0 2 E3O astfel nct

!OA+

!OA0 = !0 :

Punctul A0 apartine drepteiOA si este simeticul lui A fata de O: Vectorul!OA0 se

numeste vectorul opus lui !OA sau, simplu, opusul lui !OA; si se noteaza !OA:Aceste proprietati arata ca multimea E3O mpreuna cu operatia de adunare a

vectorilor este un grup comutativ.

nmultirea vectorilor din E3O cu scalari (numere reale)Pentru !OA un vector din E3O si 2 R se deneste produsul

!OA

def=

!OB;

unde B este punctul din E3 determinat astfel:a) pentru 0; B apartine semidreptei [OA astfel nct k!OBk = k!OAk:b) pentru < 0; B apartine dreptei OA; dar nu se aa pe semidreapta [OA;

astfel nct k!OBk = jjk!OAk:


Vectorul !OB = !OA se numeste produsul dintre scalarul (numarul real) si vectorul !OA: Din denitia de mai sus rezulta urmatoarea proprietate a normeivectorilor din E3O :

k!OAk = jjk!OAk; 8 2 R:

nmultirea cu scalari a vectorilor din E3O are urmatoarele proprietati:

1) 1!OA = !OA; 8 !OA 2 E3O:2) ()!OA = (!OA); 8; 2 R si 8 !OA 2 E3O:3) ( + )

!OA =

!OA +

!OA; 8; 2 R si 8 !OA 2 E3O; i.e., nmultirea cu

scalari este distributiva fata de adunarea scalarilor.4) (!OA+!OB) = !OA+!OB; 8 2 R si 8 !OA; !OB 2 E3O; i.e., nmultirea

cu scalari este distributiva fata de adunarea vectorilor.

Faptul ca multimea E3O este dotata cu cele doua operatii, de adunarea avectorilor si de nmultire a vectorilor cu scalari, si aceste operatii au proprietatilepuse n evidenta mai sus se exprima n limbaj matematic spunnd ca E3O este unspatiu vectorial real.

Vectori liniar dependenti sau independentiFie !OA1;!OA2; : : : ;!OAn vectori din E3O: O suma de forma

1!OA1 + 2

!OA2 + + n!OAn;

unde 1; 2; : : : ; n sunt numere reale, se numeste combinatie liniara a vecto-rilor

!OA1;

!OA2; : : : ;

!OAn:

Vectorii!OA1;

!OA2; : : : ;

!OAn se numesc liniar dependenti daca exista sca-

larii 1; 2; : : : ; n; nu toti nuli, astfel nct

1!OA1 + 2

!OA2 + + n!OAn = !0 :

Faptul ca scalarii 1; 2; : : : ; n nu sunt toti nuli se scrie analitic sub forma21+

22 + + 2n 6= 0 sau j1j+ j2j+ + jnj 6= 0:

Vectorii !OA1;!OA2; : : : ;!OAn se numesc liniar independenti daca nu suntliniar dependenti. Mai precis, vectorii

!OA1;

!OA2; : : : ;

!OAn sunt liniar indepen-

denti daca din egalitatea

1!OA1+ 2

!OA2+ + n!OAn = !0 ;


unde 1; 2; : : : ; n 2 R; rezulta 1 = 2 = = n = 0: Cu alte cuvinte,vectorii

!OA1;

!OA2; : : : ;

!OAn sunt liniar independenti daca singura combinatie

liniara egala cu vectorul nul este combinatia liniara cu toti coecientii egali cuzero.

Interpretarea geometrica a notiunii de liniar dependenta sauindependenta

n continuare vom da interpretarea geometrica a notiunii de liniar dependenta.n mod implicit, prin negare, va rezulta si interpretarea geometrica a notiunii deliniar independenta. Vom studia, pe rnd, cazurile a doi, trei si patru vectori.

Cazul a doi vectori.

Propozitia 1.1.1 Fie !OA1 si !OA2 doi vectori nenuli din spatiul vectorial E3O:Urmatoarele armatii sunt echivalente:

1) Vectorii!OA1 si

!OA2 sunt liniar dependenti.

2) Unul dintre ei este multiplu de celalalt (de exemplu, exista 2 R astfelnct !OA2 = !OA1):

3) Vectorii!OA1 si

!OA2 sunt coliniari.

Demonstratie. 1) ) 2) Presupunem ca vectorii !OA1 si !OA2 sunt liniar de-pendenti. Atunci exista scalarii 1; 2; nenuli simultan, astfel nct

1!OA1 + 2

!OA2 =

!0 :

Fie, de exemplu, 1 6= 0: Atunci !OA2 = 21

!OA1: Notam = 2

1si obtinem

relatia ce trebuia demonstrata.2) ) 1) Fie 2 R astfel nct !OA2 = !OA1: Atunci vectorii !OA1 si!

OA2 sunt liniar dependenti deoarece exista scalarii si 1; nenuli, astfel nct!OA1 !OA1 = !0 .2) , 3) Echivalenta este adevarata conform denitiei produsului dintre un

scalar si un vector din E3O:

Corolarul 1.1.2 Vectorii !OA1 si !OA2 sunt liniar independenti daca si numaidaca sunt necoliniari.

Cazul a trei vectori.

Propozitia 1.1.3 Fie!OA1;

!OA2;

!OA3 trei vectori din spatiul E3O nenuli si astfel

nct nu exista nici o pereche de vectori coliniari printre ei. Atunci urmatoarelearmatii sunt echivalente:

1) Vectorii !OA1;!OA2;!OA3 sunt liniar dependenti.2) Unul dintre vectori este o combinatie liniara a celorlalti doi (de exemplu,

exista 1; 2 2 R astfel nct !OA3 = 1!OA1 + 2!OA2):3) Vectorii !OA1;!OA2;!OA3 sunt coplanari.


Demonstratie. 1) ) 2) Presupunem ca vectorii !OA1;!OA2;!OA3 sunt liniardependenti. Atunci exista 1; 2; 3 2 R; nu toti nuli, astfel nct

1!OA1 + 2

!OA2 + 3

!OA3 =

!0 :

Fie, de exemplu, 3 6= 0: Atunci !OA3 = 13

!OA1

23

!OA2: Daca notam

1 = 13

si 2 = 23

obtinem!OA3 = 1

!OA1+2

!OA2; adica relatia ce trebuia

demonstrata.

2)) 1) Daca exista 1; 2 2 R astfel nct !OA3 = 1!OA1 + 2!OA2 , atuncivectorii

!OA1;

!OA2;

!OA3 sunt liniar dependenti deoarece exista trei scalari reali

1; 2 si 1; evident, nu toti nuli, astfel nct 1!OA1 + 2

!OA2 1!OA = !0 :

2) ) 3) Daca !OA3 = 1!OA1 + 2

!OA2; atunci vectorul

!OA3 se aa situat

n planul determinat de vectori !OA1 si !OA2: Vectorii !OA1 si !OA2 determina unplan deoarece, conform ipotezei, sunt necoliniari.

3) ) 2) Fie !OA1;!OA2;!OA3 trei vectori coplanari din E3O. !OA1 si !OA2 indnecoliniari putem scrie vectorul !OA3 ca o combinatie liniara a acestor doi vectori.n acest scop, prin punctul A3; vrful vectorului

!OA3; se duc dreptele d1 k OA2

si d2 k OA1: Fie A01 = d1 \ OA1 si A02 = d2 \ OA2: Atunci, conform reguliiparalelogramului, avem !OA3 = !OA01 +

!OA02: Deoarece

!OA01 este coliniar cu

!OA1

ei sunt liniar dependenti, deci exista 1 2 R astfel nct!OA01 = 1

!OA1: Analog,

exista 2 2 R astfel nct!OA02 = 2

!OA2: Folosind regula paralelogramului si

relatiile anterioare, obtinem!OA3 =

!OA01 +

!OA02 = 1

!OA1 + 2

!OA2:

Observatia 1.1.4 Daca!OA3 = 1

!OA1 + 2

!OA2; atunci, n limbaj algebric, se

spune ca vectorul!OA3 este o combimatie liniara a vectorilor

!OA1 si

!OA2.

Aceeasi relatie, interpretata n limbaj geometric, reprezinta descompunerea vec-torului

!OA3 dupa vectorii

!OA1 si

!OA2.

Corolarul 1.1.5 Vectorii!OA1;

!OA2;

!OA3 sunt liniar independenti daca si nu-

mai daca sunt necoplanari.


Cazul a patru vectori.

Propozitia 1.1.6 Orice patru vectori din E3O sunt liniar dependenti.

Demonstratie. Fie !OA1;!OA2;!OA3;!OA4 patru vectori din E3O:Cazul 1: Doi dintre vectori, de exmplu !OA1 si !OA2, sunt coliniari. Atunci,

conform propozitiei 1.1.1, exista 2 R astfel ca !OA2 = !OA1: Scriind aceastaegalitate sub forma

!OA1 1!OA2 + 0!OA3 + 0!OA4 = !0 ; rezulta ca cei patru

vectori sunt liniar dependenti.Cazul 2: Trei dintre vectori, de exemplu !OA1;!OA2;!OA3; sunt coplanari.

Atunci, conform propozitiei 1.1.3, exista 1; 2 2 R astfel ca !OA3 = 1!OA1 +2

!OA2. Scriind aceasta egalitate sub forma 1

!OA1+2

!OA21!OA3+0!OA4 = !0 ,

rezulta ca cei patru vectori sunt liniar dependenti.Cazul 3: Presupunem ca printre cei patru vectori nu exista perechi de vectori

care sa e coliniari si nici triplete de vectori care sa e coplanari. Vezi gura demai jos.

Notam cu 1 planul determinat de vectorii!OA1 si

!OA2 si cu 2 planul de-

terminat de vectorii !OA3 si !OA4: Fie d dreapta de intersectie a acestor plane.Prin punctul A4 construim dreptele d1 k d si d2 k OA3: Notam cu B punctul deintersectie al dreptei d2 cu planul 1 si cu C punctul de intersectie al dreptei d1 cudreapta OA3: Prin punctul B construim dreapta d3 k OA1; care intersecteaza peOA2 n punctul B2. Ducem apoi prin B dreapta d4 k OA2 si notam cu B1 punctuln care aceasta dreapta intersecteaza pe OA1: Aplicnd regula paralelogramuluide sumare a doi vectori avem

!OA4 =

!OB +

!OC =

!OB1 +

!OB2

+

!OC:


Tinnd seama de coliniaritatea vectorilor !OB1 cu !OA1; !OB2 cu !OA2 si !OC cu!OA3; rezulta existenta scalarilor 1; 2; 3 astfel nct sa avem relatiile!OB1 = 1

!OA1;

!OB2 = 2

!OA2;

!OC = 3

!OA3: Atunci obtinem

!OA4 = 1

!OA1 + 2

!OA2 + 3

!OA3:

Relatia anterioara scrisa sub forma

1!OA1 + 2

!OA2 + 3

!OA3 1!OA4 = !0

demonstreaza ca, si n acest caz, cei patru vectori sunt liniar dependenti. Propozitia anterioara are doua consecinte foarte importante.1. Ea arata ca numarul maxim de vectori liniar independenti din spatiul

vectorial E3O este 3: Numarul maxim de vectori liniar independenti dintr-un spatiuvectorial se numeste dimensiunea spatiului respectiv si se noteaza prescurtatdim: Deci dim(E3O) = 3:

2. Propozitia 1.1.6 arata ca daca!OA;

!OA1;

!OA2;

!OA3 sunt patru vectori din

E3O; atunci exista scalarii 1; 2; 3 astfel nct are loc egalitatea

!OA = 1

!OA1 + 2

!OA2 + 3

!OA3:

Se spune n acest caz ca vectorii!OA1;

!OA2;

!OA3 constituie un sistem de

generatori pentru spatiul vectorial E3O: Daca scrierea de mai sus este unica,atunci multimea B =

n!OA1;

!OA2;

!OA3

ose numeste baza a spatiului vectorial

E3O:

O prima relatie ntre notiunile denite mai sus este pusa n evidenta de propo-zitia de mai jos.

Propozitia 1.1.7 Fie O;A1; A2; A3 patru puncte necoplanare din E3: Atunci,multimea B =

n!OA1;

!OA2;

!OA3

oeste o baza a spatiului vectorial E3O daca si

numai daca vectorii!OA1;

!OA2;

!OA3 sunt liniar independenti si constituie un

sistem de generatori pentru E3O:

Demonstratie. Presupunem mai nti ca multimea B =n!OA1;

!OA2;

!OA3

oeste o baza a spatiului vectorial E3O. Atunci vectorii

!OA1;

!OA2;

!OA3 sunt liniar

independenti, deoarece, n caz contrar (adica daca ar liniar dependenti), nbaza propozitiei 1.1.3 ar rezulta ca sunt coplanari, ceea ce este imposibil deoarecepunctele O;A1; A2; A3 nu sunt situate n acelasi plan. Vectorii

!OA1;

!OA2;

!OA3

formeaza un sistem de generatori ai spatiului vectorial E3O deoarece, conformobservatiei de mai sus, orice alt vector !OA din E3O se scrie ca o combinatie liniaraa acestor vectori.


Reciproc, sa presupunem ca multimea B =n!OA1;

!OA2;

!OA3

oeste liniar in-

dependenta si constituie un sistem de generatori pentru E3O: Atunci, orice vector!OA 2 E3O se scrie sub forma

!OA = 1

!OA1 + 2

!OA2 + 3

!OA3: (1.1)

Presupunem ca scrierea nu ar unica, deci ar exista scalarii 1; 2; 3 astfel nctvectorul

!OA ar avea si scrierea

!OA = 1

!OA1+ 2

!OA2 +3

!OA3:

Prin scaderea celor doua relatii obtinem

(1 1)!OA1 + (2 2)!OA2+ (3 3)!OA3 = !0 :

Deoarece vectorii!OA1;

!OA2;

!OA3 sunt liniar independenti, rezulta 1 1 = 0;

2 2 = 0; 3 3 = 0; deci 1 = 1; 2 = 2; 3 = 3: Aceasta arata cascrierea (1.1) este unica, deci B =

n!OA1;

!OA2;

!OA3

oeste o baza a spatiului E3O:

Corolarul 1.1.8 Oricare trei vectori nenuli si necoplanari formeaza o baza aspatiului vectorial E3O:

Fie !OA si !OB doi vectori nenuli. Prin unghiul dintre vectori !OA si !OB sentelege acel unghi dintre semidreptele [OA si [OB care are masura 2 [0; ]:Unghiul unghiul dintre doi vectori !OA si !OB va notat sub forma \(!OA;!OB); iarmasura sa cu m \(!OA;!OB): Pentru simplitatea scrierii, masura unghiului dintredoi vectori va notata cu o litera greceasca ; '; :

Doi vectori!OA si

!OB se numesc perpendiculari, sau ortogonali, daca

masura unghiului dintre ei este egala cu 900: Multimea B =n!OA1;

!OA2;

!OA3

ose numeste baza ortogonala a spatiului E3O daca este o baza si vectorii careo compun sunt ortogonali doi cte doi. Multimea B =

n!OU1;

!OU2;

!OU3

ose

numeste baza ortonormata daca este o baza ortogonala si ecare vector din eaare norma egala cu 1:


O perechea (O; B) formata dintr-un punct x O; numit origine, si o baza Bdin E3O se numeste reper. Daca baza B este ortogonala reperul (O; B) se numestereper ortogonal, iar daca B este o baza ortonormata reperul (O; B) se numestereper ortonormat. Pentru ca bazele ortonormate prezinta multe avantaje, carevor puse n evidenta ulterior, de regula, se lucreaza cu repere ortonormate.

FieO;B =

n!OU1;

!OU2;

!OU3

oun reper ortonormat. Dreptele OU1; OU2;

OU3, pe care se considera sensurile date de vectorii bazei, se numesc axe de coordo-nate. Pentru orice punct P 2 E3O vectorul

!OP se scrie n baza

B =n!OU1;

!OU2;

!OU3

on mod unic sub forma

!OP = 1

!OU1 + 2

!OU2 + 3

!OU3:

Atunci pozitia punctului P n spatiul E3 este perfect determinata de tripletulde numere reale (1; 2; 3) si reciproc, orice triplet (1; 2; 3) determina un


unic punct P 2 E3: Vom nota acest lucru sub forma P (1; 2; 3): (1; 2; 3)se numesc coordonatele punctului P n raport cu reperul ortonormat considerat.De regula, aceste coordonate se noteaza cu (xP ; yP ; zP) pentru a indica faptul caapartin punctului P: Atunci cnd nu este nici un pericol de confuzie se scrie pursi simplu P (x; y; z):

Directia unui vector legatNotam cu D multimea tuturor dreptelor din E3: Vom spune ca doua drepte

d1; d2 2 D au aceeasi directie daca ele sunt paralele sau coincid. Notiunea deaceeasi directie deneste pe multimea D o relatie de echivalenta. Mai precis,daca d1; d2 2 D si denim

d1 v d2 , d1 = d2 sau d1 jj d2;atunci obtinem o relatie de echivalenta pe D: Vom nota cu d^ clasa de echivalentaa dreptei d fata de relatia de mai sus, i.e., d^ = fd0 2 D j d0 v dg: Prin directiadreptei d vom ntelege multimea d^, adica fasciculul de drepte d0 din spatiucare sunt paralele cu d:

Prin directia unui vector legat nenul !AB se va ntelege directia drepteisuport AB: Directia vectorului nul !AA este nedeterminata. Vom spune ca doivectori legati nenuli

!AB si

!CD au aceeasi directie daca dreptele lor suport au

aceeiasi directie, ceea ce nseamna ca AB = CD sau AB k CD:Vectori legati care au acelasi sens (aceeasi orientare)Pe orice dreapta d se pot stabili, n mod intuitiv, doua sensuri de parcurs.

Unul dintre sensuri se va numi sensul pozitiv, si va indicat printr-o sageata launul dintre capetele dreptei, iar celalalt sensul negativ. Indicarea unui sens peo dreapta se face prin considerarea unui vector legat

!OU de norma 1 si alegnd

ca sens pozitiv pe dreapta sensul vectorului!OU:

Vom spune ca vectorii legati!AB si !CD au acelasi sens daca au aceeasi

directie si daca:1) n cazul n care

!AB si

!CD sunt paraleli, vrfurile lor, B si D; se aa n

acelasi semiplan determinat de dreapta AC care uneste originile A si C n planuldeterminat de dreptele suport.


2) n cazul n care !AB si !CD sunt coliniari sensul lor coincide cu unul dinsensurile dreptei suport.

Dupa cum se observa din denitia data, putem vorbi de vectori care auacelasi sens numai daca acestia au aceeasi directie. De aceea, n loc de vec-tori care au acelasi sens, se mai foloseste denumirea de vectori care au aceeasiorientare.

1.2 Vectori liberi. Spatiul vectorial V 3

Vectori echipolentiDoi vectorii legati !AB si !CD se numesc echipolenti si se scrie !AB v !CD;

daca au acelasi sens (deci implicit au aceeasi directie) si aceeasi norma.Fie

!AB v !CD: Pentru a da o alta caracterizare vectorilor echipolenti vom

analiza cele doua situatii:1) !AB si !CD au suporturi paralele. Atunci:!AB v !CD , gura ABCD este un paralelogram , segmentele [AD] si [BC]

au acelasi mijloc (punctul M).

2)!AB si

!CD au acelasi suport. Atunci:!

AB v !CD , segmentele [AD] si [BC] au acelasi mijloc, punctulM: (Intuitivaceasta nseamna ca daca am putea deplasa segmentul [AB] acesta s-ar puteasuprapune peste [CD]:)

1.2. VECTORI LIBERI. SPATIUL VECTORIAL V 3 13

Se obtine astfel urmatoarea armatie echivalenta cu denitia relatiei de echipo-lenta:

!AB v !CD , segmentele [AD ]si [BC] au acelasi mijloc:

Vectori liberiRelatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea

S = f!AB j A;B 2 E3g a tuturor vectorilor legati (segmentelor orientate). Eamparte multimea S n submultimi disjuncte numite clase de echivalenta. Unvector liber este o astfel de clasa de echivalenta. Mai precis, prin vectorul

liber de reprezentat !AB; notat d!AB; se ntelege multimea tuturor vectorilor legati!A0B0 care sunt echipolenti cu !AB.

d!AB def= f!A0B0 2 S j !A0B 0 !ABg:Pentru simpcarea scrierii vom nota vectorii liberi cu litere mici ~a;~b;~c; : : : :

Pentru a pune n evidenta ca vectorul liber ~a are ca reprezentat vectorul legat!AB vom scrie ~a =d!AB sau !AB 2 ~a: Un vector liber ~a de reprezentant !AB trebuieimaginat ca n gura de mai jos:

El va reprezentat sub forma

Daca ~a este un vector liber si!AB este un reprezentat al sau, atunci:

- directia lui ~a este directia dreptei suport AB;- sensul lui ~a este sensul dat de reperezentantul !AB tuturor vectorilor !A0B 0

care sunt echipolenti cu !AB;


- norma lui ~a este prin denitie norma reprezentantului !ABk~ak = k!ABk:

Din denitia relatiei de echipolenta rezulta ca directia, sensul si norma unuivector liber nu depind de repezentatul ales deoarece doi vectori echipolenti auaceeasi directie, acelasi sens si aceiasi norma.

Vom nota cu V 3 multimea tuturor vectorilor liberi din spatiu. Prin V 2 vomntelege multimea tuturor vectorilor liberi dintr-un plan.

Adunarea vectorilor liberiFie ~a; ~b doi vectori liberi din V 3: Alegem un punct O; oarecare n spatiu, si

apoi din ecare vector liber ~a si ~b consideram reprezentatul cu originea n O :!OA 2 ~a si !OB 2 ~b: Construim suma vectorilor legati !OA si !OB conform reguliiparalelogramului obtinnd astfel vectorul !OC = !OA+!OB: Notam cu ~c vectorulliber de reprezentant !OC; i.e., ~c =d!OC: Denim atunci

~a+ ~bdef=~c;

ceea ce nseamna

~a+ ~b =d!OA+ d!OB def= \!OA+ !OB = d!OC = ~c:

Denitia sumei a doi vectori data mai sus este corecta, adica ea nu depindede alegerea punctului O: Acest fapt rezulta din modul n care este denita relatiade echipolenta.

Reprezentantul !OC al sumei se poate construi si sumnd vectorii !OA 2 ~a si!AC 2 ~b conform regulii triunghiului. Atunci

~a + ~b =d!OA+

d!AC

def=

d!OC = ~c:


Propozitia 1.2.1 Adunarea vectorilor liberi are urmatoarele proprietati:1) (~a+ ~b) +~c = ~a + (~b +~c); 8~a; ~b;~c 2 V3; i.e., adunarea este asociativa.2) ~a+ ~b = ~b+ ~a; 8~a; ~b 2 V3; i.e., adunarea este comutativa.3) Exista un vector ~0 2 V 3 astfel nct ~a+ ~0 = ~a; 8~a 2 V3:4) Pentru orice vector ~a 2 V3 exista un vector ~a02 V3 astfel nct ~a+ ~a0 = ~0:

Vectorul ~a0 se noteaza cu ~a si se numeste opusul lui ~a:

Aceasta nseamna ca multimea vectorilor liberi V 3 dotata cu operatia deadunare este un grup comutativ.

nmultirea cu scalari a vectorilor liberiFie ~a 2 V3 si 2 R: Consideram un punct O oarecare din spatiu si e!

OA reprezentantul cu originea n O a vectorului liber ~a: Construim vectorul!OB =

!OA si notam cu ~b vectorul liber de reprezentant

!OB: Denim atunci

~adef= ~b;

ceea ce nseamna

~a =d!OA def= [!OA = d!OB = ~b:

Se poate demonstra ca denitia de mai sus este corecta, adica vectorul ~anu depinde de alegerea punctului O:

Propozitia 1.2.2 Operatia de nmultire cu scalari a vectorilor liberi are urma-toarele proprietati:

1) 1~a = ~a; 8~a 2 V3:2) (~a) = ()~a; 8; 2 R si 8~a 2 V3:3) ( +)~a =~a+~a; 8; 2 R si 8~a 2 V3:4) (~a+ ~b) = ~a+~b; 8 2 R si 8~a; ~b 2 V3:

Corolarul 1.2.3 Multimea vectorilor liberi V 3, dotata cu operatiile de adunaresi de nmultire cu scalari a vectorilor liberi, este un spatiu vectorial real.

Vom spune ca vectorii liberi nenuli ~a si ~b sunt coliniari daca reprezentantilor care au originea ntr-un punct O oarecare din spatiu, !OA 2 ~a si !OB 2 ~b; suntcoliniari.


Propozitia 1.2.4 Fie ~a si ~b doi vectori liberi nenuli. Urmatoarele armatii suntechivalente:

1) ~a si ~b sunt liniar dependenti.2) Unul dintre vectori este multiplu de celalalt (i.e., exista 2 R astfel nct

~b =~a):3) ~a si ~b sunt coliniari.

Corolarul 1.2.5 n spatiul vectorial V 3 doi vectori liberi nenuli sunt liniar in-dependenti daca si numai daca sunt necoliniari.

Vom spune ca vectorii liberi nenuli si necoliniari doi cte doi ~a; ~b;~c suntcoplanari daca reprezentanti lor care au originea n acelasi punct O oarecare dinspatiu,

!OA 2 ~a; !OB 2 ~b; !OC 2~c; sunt coplanari.

Propozitia 1.2.6 Fie ~a; ~b si ~c trei vectori liberi nenuli si necoliniari doi ctedoi. Urmatoarele armatii sunt echivalente:

1) ~a; ~b si ~c sunt liniar dependenti.2) Unul dintre vectori este combinatie liniara a celorlati doi. De exemplu,

exista ; numere reale, nu ambele nule, astfel nct ~a =~b + ~c:3) ~a; ~b si ~c sunt vectori coplanari.

Corolarul 1.2.7 n spatiul vectorial V 3 trei vectori liberi nenuli si necoliniaridoi cte doi sunt liniar independenti daca si numai daca sunt necoplanari.

Propozitia 1.2.8 Oricare trei vectori liberi nenuli si necoliniari doi cte doi caresunt necoplanari formeaza o baza a spatiului vectorial V 3:

Prin unghiul dintre vectorii liberi nenuli ~a si ~b se ntelege unghiul dintrereprezentantii lor care au originea ntr-un punct oarecare O;

!OA 2 ~a si !OB 2 ~b:

Proiectia ortogonala a unui vector pe directia altui vector

Fie ~a si ~b doi vectori liberi nenuli. Notam cu ~a0 =~a

k~ak versorul1 directiei

date de vectorul ~a: Construim vectorul liber ~b0; proiectia vectoriala ortogonala a1Prin versor se ntelege un vector a carui norma este egala cu 1.


vectorului liber ~b pe directia lui ~a: Vectorul ~b0 va numit proiectia ortogonalaa lui ~b pe directia lui ~a: Deoarece ~b0 este coliniar cu ~a exista un numar real astfel nct

~b0 = ~a0:

Numarul real ; pentru care are loc egalitatea ~b0 = ~a0; se numeste marimeaalgebrica a proiectiei ortogonale a vectorului ~b pe directia lui ~a si se noteaza = pr~a~b:

Propozitia 1.2.9 1) Marimea algebrica a proiectiei ortogonale a vectorului ~b pedirectia lui ~a satisface egalitatea

pr~a~b = k~bkcos ; (1.2)unde este masura unghiului dintre vectorii ~a si ~b:

2) Marimea algebrica a proiectiei ortogonale are urmatoarele proprietatia) pr~a(~b1 + ~b2) = pr~a(~b1) + pr~a(~b2):b) pr~a(~b) = pr~a(~b); 8 2 R:

Baza ortonormata canonica a spatiului V 3

Fie O un punct oarecare din spatiu. Consideram baza ortonormatan!OU1;

!OU2;

!OU3

o: Notam cu~i vectorul liber de reprezentant

!OU1, cu~j vectorul

liber de reprezentatnt !OU2 si cu ~k vectorul liber de reprezentant !OU3: Deci~i = d!OU1;~j= d!OU2; ~k = d!OU3:

Atunci multimea B = f~i; ~j; ~kg este o baza ortonormata a spatiului vectorialal vectorilor liberi V 3 numita baza canonica.

Observatie. La o baza conteaza vectorii care o compun si ordinea n careacestia sunt considerati. Pentru a atrage atentia asupra ordinii n care suntconsiderati vectorii n baza vom scrie, atunci cnd va nevoie, B = [~i; ~j; ~k]:Aceasta nseamna ca multimea B0 = [~j; ~k;~i]; care este formata din aceeasi vectorica si B dar ntr-o alta ordine, este o baza diferita de baza B = [~i;~j; ~k]: De regula,atunci cnd vom scrie baza sub forma B = f~i; ~j; ~kg vom ntelege ca vectorii careo compun ~i; ~j; ~k sunt considerati n ordinea n care sunt scrisi.


Propozitia 1.2.10 Orice vector liber ~a 2 V 3 se scrie n baza canonica [~i; ~j; ~k]n mod unic sub forma

~a =a1~i + a2~j+ a3~k: (1.3)

Numerele reale a1;a2;a3, n aceasta ordine, se numesc componentele vectorului~a n raport cu baza canonica f~i;~j; ~kg: Ele denesc n mod unic vectorul ~a conformformulei (1.3). Vom scrie acest lucru sub forma ~a = (a1; a2; a3):

1.3. PRODUSE DE VECTORI LIBERI 19

1.3 Produse de vectori liberi

1.3.1 Produsul scalar a doi vectori liberi

Denitia 1.3.1 Se numeste produs scalar al vectorilor ~a si ~b numarul real,notat ~a ~b; denit prin formula

~a ~b =(

k~akk~bk cos\(~a; ~b); daca ~a 6= ~0si ~b 6= ~0;0; daca ~a = ~0 sau ~b = ~0:

Propozitia 1.3.2 (Proprietatile geometrice ale produsului scalar)1) Produsul scalar a doi vectori liberi nenuli este egal cu zero daca si numai

daca vectorii sunt ortogonali, i.e.,

~a ~b = 0, ~a ? ~b:2) Produsul scalar a doi vectori liberi nenuli este egal cu produsul dintre norma

unuia dintre vectori nmultita cu marimea algebrica a proiectiei ortogonale aceluilat vector pe directia primului, i.e.,

~a ~b = k~akpr~a(~b) = k~bkpr~b(~a): (1.4)

Demonstratie. 1) Presupunem ca ~a ~b = 0: Atunci k~akk~bk cos\(~a; ~b) = 0:Vectorii ~a si ~b ind nenuli, normele lor sunt diferite de zero. Prin urmare

cos\(~a;~b) = 0; deci m\(~a; ~b) = 2; i.e., ~a ? ~b:

Reciproc, daca ~a ? ~b; atunci cos\(~a;~b) = 0; deci ~a ~b = 0:2) Rezulta din denitia produsului scalar si a relatiei (1.2). Mai precis, avem

~a ~b =k~akk~bkcos\(~a; ~b)| {z }pr~a(~b)

= k~akpr~a(~b):

Analog se demonstreaza a doua varianta ~a ~b =k~bkpr~b(~a): Propozitia 1.3.3 (Proprietatile algebrice ale produsului scalar)

Produsul scalar are urmatoarele proprietati:1) ~a ~b = ~b ~a; 8 ~a;~b 2 V 3; i.e., produsul scalar este comutativ.2) (~a) ~b = ~a (~b) = (~a ~b); 8 2 R:; 8 ~a; ~b 2 V 3; i.e., produsul scalar

este omogen n ecare din variabilele sale.

3)

((~a+ ~b) ~c = ~a ~c+ ~b ~c~a(~b +~c) = ~a ~b+ ~a ~c 8 ~a;

~b;~c 2 V 3; i.e., produsul scalar estedistributiv fata de adunarea vectorilor.

4) ~a2 = k~ak2; 8 ~a 2 V 3 si k~ak2 > 0 pentru ~a 6= ~0: Se spune ca produsul scalareste pozitiv denit.


Demonstratie. Armatiile 1), 2) si 4) rezulta imediat din denitia produsuluiscalar. Demonstratia armatiei 3) se bazeaza pe formula (1.4) si aditivitateaproiectiei ortogonale. Avem

(~a+ ~b) ~c = k~ckpr~c(~a+ ~b) = k~ckpr~c(~a) + k~ckpr~c(~b) = ~a ~c+ ~b ~c: O atentie speciala merita acordata proprietatii 4). De aici rezulta o formula

de calcul pentru norma unui vector

k~ak =p~a2;

formula analoaga celei de la numere reale jxj =px2; x 2 R: Notatia ~a2 not= ~a ~a

se foloseste numai pentru produsul scalar

Propozitia 1.3.4 (Expresia analitica a produsului scalar)Fie ~a si ~b doi vectori liberi a caror scriere n baza canonica f~i; ~j; ~kg este

~a =a1~i+ a2~j+ a3~k; ~b =b1~i + b2~j+ b3~k:

Atunci:1) Produsul scalar al vectorilor ~a si ~b este egal cu suma produselor compo-

nentelor celor doi vectori, i.e.,

~a ~b = (a1~i + a2~j+ a3~k)(b1~i + b2~j+ b3~k) = a1b1+ a2b2 + a3b3: (1.5)

2) Norma vectorului ~a =a1~i + a2~j+ a3~k este data de formula

k~ak = ka1~i+ a2~j + a3~kk =qa21 + a

22 + a

23: (1.6)

3) Cosinusul unghiului dintre vectori nenuli ~a si ~b este dat de relatia

cos(d~a;~b) =

~a ~bk~akk~bk

=a1b1+ a2b2 + a3b3p

a21 + a22 + a

23

pb21+ b

22 + b

23

: (1.7)

Demonstratie. 1) Folosind faptul ca produsul scalar este distributiv fata deadunarea vectorilor si omogen n ecare din variabilele sale, avem

~a ~b = (a1~i + a2~j+ a3~k)(b1~i + b2~j+ b3~k)= a1b1~i ~i+ a1b2~i ~j + a1b3~i ~k+

a2b1~j ~i + a2b2~j ~j + a2b3 ~j ~k+a3b1 ~k ~i + a3b2 ~k ~j+ a3b3 ~k ~k:

Deoarece baza canonica f~i; ~j; ~kg este o baza ortonormata au loc egalitatile~i ~j = ~j ~i = 0; ~i ~k = ~k ~i = 0; ~k ~j =~j ~k = 0;~i ~i = k~ik2 = 1; ~j ~j = k~jk2 = 1; ~k ~k = k~kk2 = 1:


Utiliznd aceste relatii obtinem

~a ~b = a1b1 + a2b2+ a3b3:

2) Norma vectorului ~a este data de formula k~ak =p~a ~a: Folosind expresia

produsului scalar obtinuta la punctul 1) avem

k~ak =qa21+ a

22 + a

23:

3) Rezulta din formula cosinusului a doi vectori si formulele obtinute lapunctele 1) si 2).

Alicatiile produsului scalarProdusul scalar se foloseste pentru calculul distantelor, unghiurilor si proiecti-

ilor.Distanta dintre doua puncte n spatiu M1(x1; y1; z1) si M2(x2; y2; z2):Conform denitiei normei unui vector

dist(M1;M2) = k!M1M2k:

Vectorul!M1M2 se scrie n raport de coordonatele punctelor M1 si M2 sub forma!

M1M2 = (x2x1)~i+(y2y1)~j+(z2z1)~k: Folosind formula (1.6) pentru calcululnormei unui vector obtinem formula distantei dintre doua puncte n spatiu:

dist(M1;M2) =p(x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2:


1.3.2 Produsul vectorial a doi vectori liberi

Denitia 1.3.5 Fie ~a si ~b doi vectori liberi nenuli si necoliniari. Se numesteprodus vectorial al vectorilor ~a si ~b, n aceasta ordine, un vector, notat ~a ~b;care are urmatoarele caracteristici:

1) directia lui ~a ~b este perpendiculara pe directiile vectorilor ~a si ~b;2) sensul lui ~a ~b este dat de regula burghiului, adica este sensul de

naintare a unui burghiu atunci cnd se roteste ~a peste ~b cu un unghi de masura 2 [0; ] (pe drumul cel mai scurt);

3) norma lui ~a ~b este data de formula

k~a ~bk = k~akk~bk sin(d~a; ~b):Daca ~a si ~b sunt coliniari, sau cel putin unul dintre ei este nul, atunci, prin

denitie, produsul vectorial ~a ~b = ~0:

Produsului vectorial se poate scrie sub forma

~a ~b = k~akk~bk sin(d~a; ~b) ~uunde ~u este un versor (adica un vector cu norma egala cu unu) cu directia sisensul denite ca la punctele 1) si 2) de mai sus.

Prin paralelogramul determinat de doi vectori liberi nenuli si necoliniari sentelege paralelogramul determinat de reprezentatii acestor vectori cu originea nacelasi punct.

Propozitia 1.3.6 (Proprietatile geometrice ale produsului vectorial)1) Interpretarea geometrica a normei produsului vectorialFie ~a si ~b doi vectori nenuli si necoliniari. Norma produsului vectorial ~a ~b

este egala cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori ~a si ~b:2) Daca ~a si ~b sunt doi vectori liberi nenuli, atunci urmatoarele armatii sunt

echivalente:


a) ~a ~b = ~0;b) ~a si ~b sunt coliniari;c) ~a si ~b sunt liniar dependenti.

Demonstratie. 1) Fie !OA 2 ~a si !OB 2 ~b: n parelelogramul OACB, determi-nat de vectorii

!OA si

!OB; notam cu h lungimea naltimii care corespunde laturii

[OA]:

Atunci avem

k~a ~bk = k~akk~bk sin(d~a; ~b) = k~ak h = Aria[OACB]:2) Echivalenta dintre a) si b) rezulta din denitia produsului vectorial. Echiva-

lenta armatiei b) cu c) a fost demonstrata n propozitia 1.2.4.

Propozitia 1.3.7 (Proprietatile algebrice ale produsului vectorial)Produsul vectorial are urmatoarele proprietati algebrice:1) ~a ~b = ~b ~a; 8 ~a; ~b 2 V 3:Produsul vectorial este anticomutativ.2) (~a) ~b = ~a (~b) = (~a ~b); 8 2 R; 8 ~a; ~b 2 V 3:Produsul vectorial este omogen n ecare din variabilele sale.

3)

((~a+ ~b) ~c = ~a ~c+ ~b ~c~a(~b +~c) = ~a ~b + ~a ~c 8 ~a;

~b;~c 2 V 3:Produsul vectorial este distributiv fata de adunarea vectorilor.

Propozitia 1.3.8 (Expresia analitica a produsului vectorial)Fie ~a si ~b doi vectori liberi a caror scriere n baza canonica f~i; ~j; ~kg este

~a =a1~i+ a2~j+ a3~k; ~b =b1~i + b2~j+ b3~k:

Atunci produsul vectorial al vectorilor ~a si ~b este dat de formula

~a ~b = (a2b3 b3a2)~i+ (a3b1 a1b3)~j+ (a1b2 a2b1)~kcare, de regula, se scrie sub forma determinantului simbolic

~a ~b = ~i ~j ~ka1 a2 a3b1 b2 b3

:


Demonstratie. Calculam mai nti produsele vectoriale dintre vectorii bazeicanonice f~i; ~j; ~kg: De exemplu: ~i ~j = ~k; deoarece ~i~j si ~k au aceeasi directie,acelasi sens, iar k~i ~jk = k~ikk~jk sin(c~i;~j) = sin

2= 1; deci au si aceeasi norma.

Rezultatele le trecem n tabelul de mai jos:

~i ~j ~k~i ~0 ~k ~j~j ~k ~0 ~i~k ~j ~i ~0

Atunci avem

~a ~b = (a1~i+ a2~j+ a3~k)(b1~i+ b2~j+ b3~k)= a1b1 ~i ~i|{z}

~0

+ a1b2~i~j|{z}~k

+ a1b3~i ~k| {z }~j

+

a2b1 ~j~i|{z}~k

+ a2b2 ~j~j|{z}~0

+ a2b3~j ~k| {z }~i

+

a3b1 ~k~i| {z }~j

+ a3b2 ~k~j| {z }~i

+ a3b3 ~k ~k| {z }~0

= (a2b3 a3b2)~i+ (a3b1 a1b3)~j+ (a1b2 a2b1)~k:

1.3.3 Produsul mixt a trei vectori liberi

Denitia 1.3.9 Fie ~a; ~b;~c trei vectori liberi. Se numeste produs mixt al vec-torilor ~a;~b;~c, n aceasta ordine, si se noteaza cu (~a; ~b;~c); numarul real denitde relatia

(~a; ~b;~c) = ~a (~b ~c):

Propozitia 1.3.10 (Expresia analitica a produsului mixt)Daca vectorii ~a;~b;~c au n baza canonica scrierile

~a =a1~i + a2~j+ a3~k; ~b =b1~i + b2~j+ b3~k; ~c =c1~i+ c2~j+ c3~k;

atunci produsul mixt este dat de formula

(~a; ~b;~c) =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

:


Demonstratie. Avem

(~a; ~b;~c) = ~a (~b ~c) = (a1~i+ a2~j+ a3~k) ~i ~j ~kb1 b2 b3c1 c2 c3

= (a1~i+ a2~j+ a3~k)b2 b3c2 c3

~i

b1 b3c1 c3

~j+

b1 b2c1 c2

~k

= a1

b2 b3c2 c3

a2

b1 b3c1 c3

+ a3

b1 b2c1 c2

=

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

:

Propozitia 1.3.11 (Proprietatile algebrice ale produsului mixt)Produsul mixt a trei vectori ~a; ~b;~c are urmatoarele proprietati:1) (~a; ~b;~c) = (~c;~a;~b) = (~b;~c;~a):2) (~a; ~b;~c) = (~b;~a;~c):3) (~a; ~b;~c) = (~a; ~b;~c) = (~a; ~b;~c) = (~a; ~b;~c); 8 2 R:4) (~a; ~b;~c1 +~c2) = (~a; ~b;~c1) + (~a; ~b;~c2):

Demonstratie. Toate proprietatile rezulta din expresia analitica a produsuluimixt si proprietatile determinantilor.

Observatia 1.3.12 Sa comentam putin primele doua proprietati din propozitiaanterioara.

a) Prima proprietate arata ca produsele mixte care se obtin prin permutaricirculare sunt egale. Permutarile circulare a celor trei vectori ~a;~b;~c se obtinaducnd vectorul de pe locul trei pe locul unu si mpingnd ceilalti vectori pelocurile doi si trei.

b) Cu trei vectori ~a;~b;~c putem forma 6 produse mixte. Trei dintre ele suntegale cu un numar real ; iar celelalte trei sunt egale cu : Mai precis, avem

(~a; ~b;~c) = (~c;~a; ~b) = (~b;~c;~a) = ;

(~b;~a;~c) = (~c; ~b;~a) = (~a;~c;~b) = :

c) Daca n egalitatea (~a; ~b;~c) = (~c; ~a; ~b) tinem seama de denitia produsuluimixt avem: ~a (~b ~c) = ~c (~a ~b): Folosind comutativitatea produsului scalardin termenul al doilea, obtinem egalitatea ~a (~b ~c) = (~a ~b) ~c: Deci

(~a; ~b;~c) = ~a (~b ~c) = (~a ~b) ~c:Aceasta arata ca schimbarea ordinii parantezelor n produsul mixt se face cuschimbarea tipului de produs.


Propozitia 1.3.13 (Proprietatile geometrice ale produsului mixt)1) Modulul produsului mixt a trei vectori liberi este egal cu volumul paraleli-

pipedului determinat de cei trei vectori.

2) (~a; ~b;~c) = 0,8


Corolarul 1.3.15 Fie ~a; ~b;~c trei vectori liberi nenuli si necoliniari doi cte doi.Urmatoarele armatii sunt echivalente:

1) (~a; ~b;~c) = 0:2) Vectorii ~a;~b;~c sunt coplanari.3) Vectorii ~a;~b;~c sunt liniar dependenti.

1.3.4 Dublu produs vectorial a trei vectori

Denitia 1.3.16 Se numeste dublu produs vectorial al vectorilor ~a; ~b;~c vectorul

~a (~b ~c):Dublu produs vectorial a trei vectori ~a; ~b;~c este un vector situat n planul

determinat de vectorii ~b si ~c si este dat de egalitatea

~a (~b ~c) = (~a ~c)~b (~a ~b)~c: (1.8)Pentru a retine mai usor formula de mai sus aceasta se scrie sub forma deter-

minatului simbolic

~a (~b ~c) = ~b ~c~a ~b ~a ~c

:

Observatia 1.3.17 Dublu produs vectorial nu este asociativ, i.e.,

~a (~b ~c) 6= (~a ~b) ~c:ntr-adevar, e ~a;~b;~c trei vectori necoplanari. Conform formulei (1.8), dublu

produs vectorial ~a (~b~c) este un vector situat n planul determinat de vectorii~b si ~c; deoarece este o combinatie liniara a acestora. n schimb, vectorul

(~a ~b) ~c = ~c(~a ~b) = ~a ~b~c ~a ~c ~b

= (~a ~c)~b (~b ~c)~a

este situat n planul determinat de vectorii ~b si ~a: Cei trei vectori ~a;~b;~c indnecoplanari, planul determinat de vectorii ~b si ~c difera de planul determinat devectorii ~b si ~a:


1.4 Vectori reciproci

Fie ~e1;~e2;~e3 trei vectori liberi nenuli, necoliniari doi cte doi si necoplanari.Aceste conditii geometrice sunt echivatente cu faptul ca produsul mixt al acestortrei vectori (~e1;~e2;~e3) 6= 0: Prin urmare, multimea B = f~e1;~e2;~e3g este o baza aspatiului V 3; pe care o vom numi n continuare baza directa. Atunci orice vectorliber ~a 2 V 3 se scrie n mod unic n baza B = f~e1;~e2;~e3g sub forma

~a = 1~e1 + 2~e2+ 3~e3; (1.9)

unde 1; 2; 3 sunt numere reale.Pentru a determina componentele 1; 2; 3 se procedeaza astfel: se nmulteste

scalar, pe rnd, relatia (1.9) cu produsele vectoriale ~e2~e3; ~e3~e1; ~e1~e2: Avem

~a (~e2 ~e3) = 1~e1(~e2 ~e3) + 2~e2(~e2 ~e3) + 3~e3(~e2 ~e3):

Deoarece ~e2 ~e3 ? ~e2;~e3; rezulta ca produsele mixte ~e2(~e2 ~e3) si ~e3(~e2 ~e3)sunt egale cu zero. Prin urmare, din egalitatea de mai sus rezulta

1 =~a (~e2 ~e3)(~e1;~e2;~e3)

=(~a;~e2;~e3)

(~e1;~e2;~e3):

n mod analog, se obtin si egalitatiile

2 =~a (~e3 ~e1)(~e1;~e2;~e3)

=(~a;~e3;~e1)

(~e1;~e2;~e3)=(~e1;~a;~e3)

(~e1;~e2;~e3);

3 =~a (~e1 ~e2)(~e1;~e2;~e3)

=(~a;~e1;~e2)

(~e1;~e2;~e3)=(~e1;~e2; ~a)

(~e1;~e2;~e3):

Observatie. Daca vectorii ~a;~e1;~e2;~e3 sunt scrisi n baza canonica f~i;~j; ~kg siprodusele mixte sunt scrise cu ajutorul determinantilor, atunci formulele obtinutemai sus pentru determinarea componentelor 1; 2; 3 coincid cu cunoscutele for-mule ale lui Cramer. Relatia (1.9) generalizeaza scrierea unui vector liber n bazacanonica f~i; ~j; ~kg:

Baza reciproca unei baze date

Examinarea formulelor care dau componentele 1; 2; 3 ale vectrului ~a nbaza B = f~e1;~e2;~e3g; ne conduce la considerarea vectorilor

~f1 =~e2 ~e3(~e1;~e2;~e3)

; ~f2 =~e3 ~e1(~e1;~e2;~e3)

; ~f3 =~e1 ~e2(~e1;~e2;~e3)

: (1.10)

Propozitia 1.4.1 Vectorii ~f1;~f2;~f3 au urmatoarele proprietati:

1.4. VECTORI RECIPROCI 29

~f2 ~f3 = ~e1(~e1;~e2;~e3)

; ~f3 ~f1 = ~e2(~e1;~e2;~e3)

; ~f1 ~f2 = ~e3(~e1;~e2;~e3)

: (1.11)

Propozitia 1.4.2 Multimea f~f1;~f2;~f3g este o baza a spatiului V 3 la fel orientataca si baza initiala.

Demonstratie. Armatia rezulta din faptul ca are loc urmatoarea egalitate

(~f1;~f2;~f3) =1

(~e1;~e2;~e3): (1.12)

Din formulele (1.11) si (1.12) rezulta egalitatiile

~e1 =~f2 ~f3(~f1;~f2;~f3)

; ~e2 =~f3 ~f1(~f1;~f2;~f3)

; ~e3 =~f1 ~f2(~f1;~f2;~f3)

;

care comparate cu (1.10) arata ca exista o reciprocitate ntre cele doua bazef~e1;~e2;~e3g si f~f1;~f2;~f3g: De aceea, baza B0 = f~f1;~f2;~f3g se numeste baza re-ciproca bazei B = f~e1;~e2;~e3g: Daca se foloseste acelasi procedeu si se construiestereciproca bazei reciproce se obtine baza initiala.

Vectorii bazei direcre B = f~e1;~e2;~e3g si vectorii bazei reciproce B0 = f~f1;~f2;~f3gsatisfac relatiile

~f1 ~e1 = 1; ~f2 ~e1 = 0; ~f3 ~e1 = 0;~f1 ~e2 = 0; ~f2 ~e2 = 1; ~f3 ~e2 = 0:~f1 ~e3 = 0; ~f2 ~e3 = 0; ~f3 ~e3 = 1:

(1.13)

Scrierea unui vector n baza directa si n baza reciproca

Folosind vectorii bazei reciproce, componentele 1; 2; 3 ale unui vector ~ascris n baza directa B = f~e1;~e2;~e3g sub forma

~a = 1~e1 + 2~e2 + 3~e3;

sunt date de relatiile

1 = ~a ~f1; 2 = ~a ~f2; 3 = ~a ~f3:

Daca acelasi vector ~a are n baza reciproca B0 = f~f1;~f2;~f3g scrierea~a = 01~f1+

02~f2 +

03~f3;

atunci, folosind relatiile (1.13), se obtin pentru componentele 01; 02; 03 ale lui ~an baza reciproca formulele

01 = ~a ~e1 02 = ~a ~e2; 03 = ~a ~e3:


1.5 Probleme

Liniar dependenta, liniar independenta, baze

1. Se dau vectorii ~a =~i+~j; ~b = ~i + 2~j:a) Demonstrati ca f~a; ~bg este o baza a spatiului vectorilor liberi V 2.b) Determinati scrierea vectorului ~v = 5~i ~j n baza f~a;~bg:

2. Fie vectorii ~a = ~i + ~j+ ~k; ~b = ~i +3~j+ ~k: Determinti scalarii reali si astfel nct vectorii ~a si ~b sa e coliniari.

3. Se dau vectorii: ~a = 2~i +3~j ~k, ~b = ~i +2~j+ 3~k; ~c = 3~i~j+ 2~k:a) Demonstrati ca f~a; ~b;~cg este o baza a spatiului vectorilor liberi V 3.b) Determinati scrierea vectorului ~v = 9~i +4~j+11~k n baza f~a; ~b;~cg.

4. Fie vectorii ~v1 = 2~a~b+3~c; ~v2 = 3~a2 ~b~c; ~v3 = ~a+3~b2~c; unde~a; ~b;~c sunt trei vectori necoplanari. Demonstrati ca vectorii ~v1; ~v2; ~v3 suntcoplanari.

Produsul scalar a doi vectori

5. Se dau vectorii liberi ~a; ~b;~c despre care se stie ca k ~a k= 1; k ~b k= 2; k ~c k=

p2 si mas(d~a; ~b) =

6; mas(d~a;~c) =

4; mas(

d~b;~c) = 3: Calculati norma

vectorului ~d = ~a 2 ~b+ 3~c:6. Determinati valoarea expresiei

E = ~a2 +3~a ~b 2 ~b ~c + 1;

unde ~a = 4 ~m 3 ~n; ~b = ~m + 2~n; ~c = 2~m 3~n si k ~m k= 2; k ~n k= 1;mas([~m;~n) = 90:

7. Se dau vectorii ~a = 2 ~m 5~n; ~b = 8 ~m 3~n; unde k ~a k= 2; k ~b k= 1;k ~m k=p2; k ~n k= 1 iar mas(d~a; ~b) =

3: Calculati mas([~m;~n):

8. Se conidera vectorii ~a si ~b despre care se stie ca k ~a k= 2; k ~b k= 5;mas(

d~a; ~b) =

2

3: Determinati valoarea parametrului real pentru care

vectorii ~p = ~a+ 17 ~b si ~q = 3~a ~b sunt perpendiculari.9. Sa se arate ca produsul scalar a doi vectori liberi ramne neschimbat daca

se adauga unuia dintre ei multiplul unui vector perpendicular pe celalalt.Mai precis

~a ~b = ~a (~b + ~c); unde ~c ? ~asi 2 R:

1.5. PROBLEME 31

10. Se dau punctele A(5;2; 1); B(3; 0; ); C(1; 3;3); D(; 6;1): Sa se de-termine astfel nct vectorii

!AB si

!CD sa e perpendiculari.

11. Se dau punctele A(1; 1; 0); B(3;2; 5): Sa se gaseasca un punct C pe primabisectoare a unghiului yOz astfel nct triunghiul ABC sa e dreptunghicn A:

12. Se dau vectorii ~a =~i 2~k; ~b = 3~j+ 4~k; ~c = 5~i +6~j: Sa se determine si astfel ca vectorul ~v = ~a+ ~b +~c sa e:

a) perpendicular pe planul xOz;

b) egal nclinat fata de axe.

13. Se dau vectorii!OA = 12~i4~j+3~k;!OB = 3~i+12~j4~k;!OC = 2~i+3~j4~k;

a) Demonstrati ca M AOB este isoscel, iar M AOC este dreptunghic.b) Calculati perimetrul M ABC:d) Ce valoare are produsul scalar !AB!BC?

14. Sa se descompuna vectorul ~d =~i 3~j+2~k dupa directiile determinate devectorii: ~a =~i +~j; ~b =~j+ ~k; ~c =~i + 2~j+3~k:

15. n spatiul vectorilor liberi V 3 se considera baza f~a; ~b;~cg; unde~a =~i+~j; ~b =~j+~k; ~c = ~k+~i: Pornind de la aceasta baza sa se construiascafolosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmitd o baza ortonormatapentru spatiul V 3: Care este scrierea vectorului ~d = ~i 2~j + 3~k n nouabaza construita?

Produsul vectorial a trei vectori

16. Demonstrati identitatea: (~a ~b)2 + (~a ~b)2 =k ~a k2 k ~b k2 :17. Demonstrati ca produsul vectorial a doi vectorii nu se schimba daca:

a) se adauga unuia dintre vectori un vector oarecare coliniar cu celalalt;

b) extremitatea unuia dintre vectori se deplaseaza pe o paralela la celalaltvector.

18. Se dau vectorii liberi ~a si ~b despre care se stie ca k ~a k= 3; k ~b k= 2si mas(d~a; ~b) =

3: Se considera apoi vectorii ~c = 2~a 3~b si ~d = ~a + ~b:

Calculati: a) mas(d~c; ~d): b) Aria paralelogramului determinat de vectorii ~csi ~d; lungimile diagonalelor acestui paralelogram si masura unghiului dintreacestea.

19. Calculati aria paralelogramului determinat de vectorii ~v = ~a + 2~b si

~w = 3~a + ~b; stiind ca k ~a k= 3; k ~b k= 3 si mas(d~a; ~b) = 6:


20. Calculati aria paralelogramului determinat de vectorii liberi ~a = 2~i 3~j+4~k; ~b =~i+ 2~j 3 ~k:

21. Se dau vectorii liberi ~a =~i+~j+ ~k; ~b = ~i+ 3~j+ ~k: Determinati scalarii si astfel nct vectorii ~a si ~b sa e coliniari.

22. Se considera vectorii liberi ~a = 3~i + 2~j ~k; ~v = 2~i + ~j + ~k; ~w =7~i 11~j ~k; unde ; 2 R: Sa se determine multimea vectorilor ~v astfelca vectorul ~a ~v sa e coliniar cu ~w:

23. Se considera vectorul ~v perpendicular pe vectorii ~a = 4~i 2~j 3 ~k; ~b =~j + 3~k: Stiind ca vectorul ~v are norma egala cu 26 si face un unghi obtuzcu axa Oy; determinati expresia analitica a acestui vector.

24. Fie cubul ABCDA0B 0C 0D 0 si e E mijlocul muchiei BB 0: Se noteaza cu~v =

!AE!AC0: Calculati masurile unghiurilor pe care le face vectorul ~v cu

muchiile cubului AB; AD si AA0 si masura unghiului \EAC0:

25. Se considera punctele A(1; 1; 2); B(2; 3;1); C(1;2; 0): Se cere:a) Sa se calculeze aria triunghiului ABC; masura unghiului bB si distantade la punctul A la dreapta BC:

b) Sa se determine un vector perpendicular pe planul ABC de norma egalacu 26

p2:

Produsul mixt a trei vectori

26. Vectorul ~c este perpendicular pe vectorii ~a si ~b care formeaza ntre ei ununghi de 300. Calculati produsul mixt (~a; ~b;~c) daca se stie ca k ~a k= 6;k ~b k= 3; k ~c k= 3:

27. Fie ~a; ~b;~c trei vectori necoplanari. Demonstrati egalitatiile:

a) (~a; ~a + ~b;~a+ ~b +~c) = (~a; ~b;~c):

b) (~a + ~b; ~b +~c;~c + ~a) = 2(~a; ~b;~c):

c) (~a ~b; ~b ~c;~c ~a) = 0:

28. Se dau vectorii ~a = ~i +~j ~k; ~b = ~i ~j + ~k, ~c = ~i + ~j + ~k: Calculativolumul paralelipipedului determinat de cei trei vectorii si naltimea acestuiparalelogram corespunzatoare bazei construita pe vectorii ~a si ~b:

29. Calculati volumul teraedrului care are vrfurile n punctele A(0; 0; 1);B(2; 3; 5), C(6; 2; 3); D(3; 7; 2):

30. Demonstrati ca punctele A(1; 2;1); B(0; 1; 5); C(1; 2; 1); D(2; 1; 3) suntcoplanare.

1.5. PROBLEME 33

31. Se considera punctele

1) A(2; 3; 1); B(4; 1;2); C(6; 3; 7); D(5;4; 8):2) A(1; 1;3); B(2;1; 1); C (3; 3; 1) ; D(1; 4; 2):3) A (2;1; 1) ; B(5; 5; 4); C(3; 2;1); D(4; 1; 3):Sa se determine pentru ecare caz n parte:

a) Perimetrul si aria triunghiului ABC; masura unghiului dinA si lungimeainaltimii triunghiului dusa din vrful C:

b) Volumul tetraedrului ABCD si lungimea naltimii tetraedrului dusa dinvrful D:

32. Se dau vectorii: ~a = 2~i + (+ 2)~j+ 3~k;~b = ~i+ ~j ~k;~c = 4~j+ 2~k:

a) Determinati parametrul real astfel nct vectorii ~a; ~b si ~c sa e copla-nari.

b) n acest caz determinati descompunerea vectorului ~a dupa directiile vec-torilor ~b si ~c si calculati aria paralelogramului determinat de vectorii ~a si~b:

Dublu produs vectorial si alte produse

33. Se dau vectorii ~a; ~b; ~c 2 V 3: Demonstrati egalitatea:~a(~b ~c) + ~b (~c ~a) + ~c (~a ~b) = ~0:

34. Sa se arate ca pentru orice patru vectori ~a; ~b; ~c; ~d 2 V 3 are loc egalitateade mai jos (Identitatea lui Lagrange).

(~a ~b) (~c ~d) = ~a ~c ~b ~c~a ~d ~b ~d

:

Solutie. Notam ~v = ~a ~b: Atunci avem

(~a ~b) (~c ~d) = ~v (~c ~d) = (~v ~c) ~d = ~d (~c ~v) =

= ~dh~c(~a ~b)

i= ~d

~a ~b~c ~a ~c ~b

=

= ~dh(~c ~b)~a (~c ~a)~b

i=

= (~b ~c)(~a ~d) + (~a ~c)(~b ~d) = ~a ~c ~b ~c~a ~d ~b ~d

:


35. Fie ~a; ~b doi vectori liberi, ~a 6= ~0: Sa se arate ca

~b =~a ~bk ~a k2 ~a+

1

k ~a k2 ~a (~b ~a):

Interpretare geometrica.

36. Pentru ~a; ~b; ~c trei vectori liberi din V 3; sa se verice egalitatile:

a) (~a ~b) h~a (~b ~c)

i= (~a ~b)(~a;~b;~c);

b) (~a ~b;~b ~c;~c ~a) = (~a; ~b;~c)2;

c)(~a ~b) (~a ~c)(~a ~b; ~b ~c;~c ~a)

=~a

(~a; ~b;~c):

37. Fie ~a; ~b; ~c; ~d 2 V 3: Demonstrati egalitatile:a) ~a

h~b (~c ~d)

i= (~b ~d)(~a ~c) (~b ~c)(~a ~d);

b) (~d ~a) (~b ~c) + (~d ~b) (~c ~a) + (~d ~c) (~a ~b) = 0;c) (~a~d)(~b~c)+(~b~d)(~c~a)+(~c~d)(~a~b) = 2(~a~b+~b~c+~c~a):

Capitolul 2

Planul si dreapta n spatiu

2.1 Planul n spatiu

Ecuatia planului care trece printr-un punct dat M0(x0; y0; z0) si esteperpendicular pe directia vectorului ~n = a~i+ b~j+ c~k

Propozitia 2.1.1 Planul care trece printr-un punct dat M0(x0; y0; z0) si este per-pendicular pe directia vectorului nenul ~n = a~i + b~j+ c~k are ecuatia

a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0: (2.1)

Demonstratie. Notam cu planul care trece prin punctul M0(x0; y0; z0) sieste perpendicular pe directia vectorului ~n = a~i + b~j+ c~k. Un punct M (x; y; z);diferit de punctul dat M0; se aa n planul daca si numai daca vectorul

!M0M

este perpendicular pe ~n, ceea ce este echivalent cu faptul ca produsul scalar!M0M ~n = 0: (2.2)

35

36 CAPITOLUL 2. PLANUL SI DREAPTA N SPATIU

Cum vectorul !M0M se scrie n baza canonica sub forma!M0M = (x x0)~i+ (y y0)~j+ (z z0)~k;

ecuatia data de relatia (2.2) devine

a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0:

Evident, ecuatia este satisfacuta si n cazul cnd M = M0: Vectorul ~n = a~i+ b~j+ c~k se numeste vector normal planului , sau, pe scurt,

normala planului :

Ecuatia generala a unui plan

Propozitia 2.1.2 Orice ecuatie de forma

ax + by + cz + d = 0; (2.3)

unde a;b; c sunt trei numere reale, nu toate nule, reprezinta ecuatia generala aunui plan.

Demonstratie. Daca n ecuatia (2.1), care reprezinta planul ce trece prinpunctul M0(x0; y0; z0) si este perpendicular pe directia vectorului ~n = a~i+b~j+c~k;desfacem parantezele si notam d = (ax0+ by0 + cz0); acesta capata forma

ax + by + cz + d = 0:

Reciproc, orice ecuatie de forma (2.3) reprezinta ecuatia unui plan. ntr-adevar, e M (x; y; z) un punct oarecare din spatiu ale carui coordonate vericaecuatie (2.3). Consideram (x0; y0; z0) o solutie a acestei ecuatii. Aceasta nseamnaca x0; y0; z0 satisfac egalitatea

ax0+ by0 + cz0 + d = 0:

Scaznd aceasta relatie din (2.3) obtinem

a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0;

ceea ce arata ca punctul M (x; y; z) se aa n planul care trece prin punctulM0(x0; y0; z0) si este perpendicular pe directia vectorului ~n = a~i + b~j + c ~k:

2.1. PLANUL N SPATIU 37

Ecuatia unui plan care trece printr-un punctsi este paralel cu doua directii

Propozitia 2.1.3 Planul care trece printr-un punct dat M0(x0; y0; z0) si esteparalel cu vectorii nenuli si necoliniari ~a =a1~i + a2~j+ a3~k si ~b =b1~i + b2~j+ b3~kare ecuatia

x x0 y y0 z z0a1 a2 a3b1 b2 b3

= 0: (2.4)

Demonstratia nti. Notam cu planul determinat de conditiile din enuntulpropozitiei. Fie !M0M1 2 ~a si !M0M2 2 ~b: Consideram un punct oarecare dinspatiuM (x; y; z) si vectorul

!M0M: n aceste conditii avem urmatoarele echivalente:

1) Punctul M (x; y; z) apartine planului :2) Vectorii liberi

!M0M;

!M0M1;

!M0M2 sunt coplanari.

3) Produsul mixt (!M0M;!M0M1;!M0M2) = 0:

4)

x x0 y y0 z z0a1 a2 a3

b1 b2 b3

= 0:

Demonstratia a doua. Pentru a scrie ecuatia planului care trece prin punc-tul M0(x0; y0; z0) si este paralel cu directiile vectorilor ~a =a1~i + a2~j + a3~k si~b =b1~i + b2~j + b3~k avem nevoie de un vector perpendicular pe plan. Acestanu este altul dect

~n = ~a ~b =a2 a3b2 b3

~i

a1 a3b1 b3

~j+

a1 a2b1 b2

~k:

Conform propozitiei 2.1.1 ecuatia planului este data de egalitatea

(x x0)a2 a3b2 b3

(y y0)

a1 a3b1 b3

+ (z z0)

a1 a2b1 b2

= 0;


ceea ce reprezinta dezvoltarea dupa prima linie a determinantului x x0 y y0 z z0a1 a2 a3

b1 b2 b3

= 0:

Propozitia 2.1.4 Ecuatiile parametrice ale planului care trece printr-un punctdat M0(x0; y0; z0) si este paralel cu vectorii nenuli si necoliniari ~a =a1~i+a2~j+a3~ksi ~b =b1~i+ b2~j+ b3~k sunt 8

2.1. PLANUL N SPATIU 39

Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare

Propozitia 2.1.5 Planul determinat de punctele necoliniare M1(x1; y1; z1),M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3) are ecuatia

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

= 0: (2.6)

Demonstratie. Fie planul determinat de cele trei puncte necoloniare M1;M2; M3: Un punct oarecare din spatiu M (x; y; z) va apartine planului daca sinumai daca vectorii

!M1M;

!M1M2;

!M1M3 sunt coplanari ceea ce este echivalent

cu faptul ca produsul mixt (!M1M;

!M1M2;

!M1M3) = 0: Tinnd seama de scrierea

vectorilor respectivi n baza canonica, obtinem x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1x3 x1 y3 y1 z3 z1

= 0; (2.7)

ceea ce reprezinta o forma echivalenta cu (2.6). Observatia 2.1.6 Este bine sa remarcam ca a determina planul care trece printrei puncte necoliniare M1;M2;M3 este echivalent cu a determina planul caretrece prin punctul M1 si este paralel cu directiile vectorilor

!M1M2;

!M1M3: Un

vector perpendicular pe planul este atunci !M1M2 !M1M3: Deoarece!M1M2 = (x2 x1)~i + (y2 y1)~j+ (z2 z1)~k;!M1M3 = (x3 x1)~i + (y3 y1)~j+ (z3 z1)~k;

n baza formulei (2.4) obtinem ecuatia (2.7).

Corolarul 2.1.7 Patru puncte M1;M2;M3;M4 sunt coplanare daca si numaidaca coordonatele lor satisfac relatia

x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

= 0:


Exemplul 2.1.8 O formula utila n multe cazuri este aceea a planului determinatde trei puncte distincte situate ecare pe cte o axa de coordonate: A(a; 0; 0);B(0; b; 0); C(0; 0; c); unde a; b; c sunt trei numere nenule.

Folosind formula (2.6) avem x y z 1a 0 0 10 b 0 10 0 c 1

= 0:

Dezvoltnd dupa prima linie se obtine

bcx+ acy + abz abc = 0:

mpartind ecuatia cu produsul abc; rezulta

x

a+y

b+z

c 1 = 0: (2.8)

Ecuatia (2.8) se numeste ecuatia planului prin taieturi.

2.2. DREAPTA N SPATIU 41

2.2 Dreapta n spatiu

Ecuatiile dreptei determinate de un punct si de o directie

Propozitia 2.2.1 Dreapta care trece prin punctul M0(x0; y0; z0) si are directiavectorului nenul ~v =v1~i + v2~j+ v3~k are ecuatiile8


Ecuatiile (2.9) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei d: Vectorul~v =v1~i + v2~j + v3~k, care da directia dreptei d, se numeste vectorul directoral dreptei. Componentele vectorului ~v; adica tripletul (v1; v2; v3); se numescparametrii directori ai dreptei. Deoarece vectorul ~v este nenul, cel putin unuldintre parametrii directori trebuie sa e nenul.

Daca notam cu ; ; masurile unghiurilor pe care le face vectorul ~v cudirectiile pozitive ale axelor de coordonate, i.e.,

=mas(c~v;~i); =mas(c~v;~j); =mas(d~v; ~k);atunci avem relatiile

cos =v1

k~vk; cos =v2

k~vk ; cos =v3

k~vk :

(cos; cos; cos) se numesc cosinusurile directoare ale directiei date devectorul ~v. Daca ~v este vectorul director al dreptei d atunci (cos; cos ; cos )se numesc cosinusurile directoare ale dreptei d:

Pentru a se pune n evidenta mai usor punctul M0(x0; y0; z0) prin care trecedreapta d si componentele (v1; v2; v3) ale vectorului director ~v =v1~i+v2~j+ v3~k seobisnuieste ca ecuatiile (2.9) sa se scrie sub forma simbolica

x x0v1

=y y0v2

=z z0v3

:

Scrise sub aceasta forma ele se numesc ecuatiile canonice sau ecuatiile nor-male ale dreptei d: De remarcat ca, folosind aceasta conventie, sunt acceptatescrieri cu numitorii zero. De exemplu, ecuatiile

x 43 =

y + 1

0=z

2

reprezinta dreapta care trece prin punctul M0(4;1; 0) si are parametrii directori(3; 0; 2); i.e., vectorul director al dreptei este ~v = 3~i +2~k:

2.2. DREAPTA N SPATIU 43

Ecuatiile dreptei care trece prin doua puncte

Propozitia 2.2.2 Ecuatiile canonice ale dreptei care trece prin doua puncte dis-tincte M1(x1; y1; z2) si M2(x2; y2; z2) sunt

x x1x2 x1

=y y1y2 y1

=z z1z2 z1

:

Demonstratie. n acest caz vectorul director al dreptei este vectorul

!M1M2 = (x2 x1)~i + (y2 y1)~j+ (z2 z1)~k:

Scriem apoi ecuatiile canonice ale dreptei care trece prin punctul M1(x1; y1; z2)si are vectorul director de mai sus.

Ecuatiile generale ale dreptei(Dreapta ca intersectie a doua plane)

Fie a1x+ b1y + c1z + d1 = 0;a2x+ b2y + c2z + d2 = 0;

(2.11)

ecuatiile a doua plane. Presupunem ca cele doua plane nu sunt paralele. Atunciele se intersecteaza dupa o dreapta pe care o notam cu d:

Daca planele nu sunt paralele, normalele lor, ~n1 = a1~i + b1~j + c1~k si~n2 = a2~i + b2~j + c2~k sunt doi vectori necoliniari, ceea ce revine la faptul caprodusul mixt

~n1 ~n2 = ~i ~j ~ka1 b1 c1a2 b2 c2

6= ~0


sau ca rangul matricei

A =

a1 b1 c1a2 b2 c2

este egal cu doi. n aceste conditii sistemul de ecuatii liniare (2.11) este compatibilsimplu nedeterminat. Solutia sa reprezinta ecuatiile parametrice ale dreptei d:

De regula, se scriu ecuatiile canonice ale dreptei d: Pentru aceasta se determinaun punct M0(x0; y0; z0) pe dreapta d; adica o solutie particulara a sistemului(2.11). Vectorul director al dreptei d este

~v = ~n1 ~n2 = v1~i+ v2~j+ v3~kunde

v1 =

b1 c1b2 c2

; v2 =

c1 a1c2 a2

; v3 =

a1 b1a2 b2

:

Atunci ecutiile canonice ale dreptei d; data prin ecuatiile generale (2.11), sunt

x x0v1

=y y0v2

=z z0v3

:

2.3 Fascicule de plane

Denitia 2.3.1 Se numeste fascicul de plane de axa d multimea tuturor planelorcare contin dreapta data.

Propozitia 2.3.2 Fie d dreapta de intersectie a doua plane 1 si 2 de ecuatiia1x+ b1y + c1z + d1 = 0;a2x+ b2y + c2z + d2 = 0:

(2.12)

Atunci ecuatia oricarui plan din fasciculul de plane de axa d este de forma

; : (a1x + b1y + c1z + d1) + (a2x + b2y+ c2z + d2) = 0; (2.13)

unde ; sunt doi parametrii reali nenuli simultan.Reciproc, orice ecuatie de forma (2.13), cu 2 + 2 6= 0; reprezinta ecuatia

unui plan din fasciculul de axa d:

Demonstratie. Fie un plan din fasciculul de plane de axa d: Notam cu ~n unvector normal pe acest plan. Deoarece ~n este perpendicular pe dreapta d; rezultaca ~n este coplanar cu ~n1 si ~n2; normalele planelor 1 si 2 care determina dreaptad: Exista atunci dou numerereale si ; nu amndoua nule, astfel nct

~n = ~n1 + ~n2 = (a1 + a2)~i + (b1 + b2)~j+ (c1 +c2)~k: (2.14)

2.3. FASCICULE DE PLANE 45

FieM0(x0; y0; z0) un punct oarecare de pe dreapta d: Atunci coordonatele (x0; y0; z0)verica ecuatiile sistemului (2.12), prin urmare avem egalitatiile

a1x0 + b1y0 + c1z0 + d1 = 0;a2x0 + b2y0 + c2z0 + d2 = 0:

Deoarece trece prin punctul M0(x0; y0; z0) si are ca normala vectorul ~n dat derelatia (2.14), planul are ecuatia

(a1+ a2)(x x0) + (b1 +b2)(y y0) + (c1+ c2)(z z0) = 0;

sau

[a1x+ b1y + c1z(a1x0 + b1y0 + c1z0)| {z }]d1

+

[a2x+ b2y+ c2z(a2x0 + b2y0 + c2z0)| {z }d2

] = 0

de unde rezulta forma

(a1x + b1y + c1z + d1) + (a2x+ b2y+ c2z + d2) = 0:

Pentru a pune n evidenta dependenta acestui plan de parametrii ; vom notaplanul sub forma ;:

Reciproc, e ; un plan dat de ecuatia (2.13) cu ; 2 R; 2 + 2 6= 0;xati. Atunci d ; deoarece orice solutie a sistemului (2.12) verica ecuatia(2.13). Deci planul ; face parte din fasciculul de axa d:

Observatia 2.3.3 Ecuatia (2.13) se poate scrie simbolic sub forma

; : 1 +2 = 0;

unde ; 2 R; 2 +2 6= 0: De remarcat ca, pentru = 1 si = 0, din ecuatia(2.13) se obtine ecuatia planului de baza 1; iar pentru = 0 si = 1 se obtineecuatia planului de baza 2:

Deoarece si nu sunt simultan nuli, putem presupune ca unul din ei estenenul. Fie, de exemplu, 6= 0: Atunci, mpartind ecuatia (2.13) si notnd cu0 =

; obtinem

1 + 02 = 0:

Ecuatia de mai sus reprezinta multimea tuturor planelor care trec prin dreaptad, mai putin planul de baza 2. n rezolvarea problemelor de fascicule de planese poate folosi aceasta ecuatie cu un singur parametru, cu observatia ca din eanu se mai poate obtine planul de baza 2:


2.4 Probleme referitoare la distante

Distanta de la un punct la un plan

Propozitia 2.4.1 Diatanta de la punctulM0(x0; y0; z0) pna la planul de ecuatie

ax+ by + cz + d = 0

este data de formula

dist(M0; ) =jax0+ by0 + cz0 + djp

a2 + b2 + c2:

Demonstratie. Fie M00 proiectia punctuluiM0 pe planul : Punctul M00 se aa

la intersectia planului cu dreapta M0M 00; care trece prin M0 si este perpendic-ulara pe plan.

M00

( : ax+ by + cz + d = 0;

M0M 00 :x x0a

=y y0b

=z z0c

:

Scriem ecuatiile parametrice ale dreptei M0M 008

2.4. PROBLEME REFERITOARE LA DISTANTE 47

Introducnd valoarea t0 n ecuatiile parametrice ale dreptei M0M 00 obtinem coor-donatele carteziene ale punctului M 00; proiectia punctului M0 pe planul ;

M00

8


Distanta dintre doua drepte oarecare n spatiu

Fie d1 si d2 doua drepte oarecare n spatiu date de ecuatiile

d1 :x x1v1

=y y1v2

=z z1v3

;

d2 :x x2w1

=y y2w2

=z z2w3

:

Dreapta d1 trece prin punctul M1(x1:y1; z1) si are vectorul director~v =v1~i+ v2~j+ v3~k; iar drepta d2 trece prin punctul M2(x2; y2; z2) si are vectoruldirector ~w =w1~i+ w2~j+ w3~k:

Propozitia 2.4.3 Distanta dintre dreptele d1 si d2 este data de formula

dist(d1; d2) =

(!M1M2; ~v; ~w)

k~v ~wk :

Demonstratie. Prin punctul M1 construim dreapta d02 paralela cu d2: Atuncidistanta dintre cele doua drepte d1 si d2; notata dist(d1; d2) sau simplu h, se poatedetermina ca distanta de la dreapta d2 pna la planul determinat de drepteled1 si d02: (Dreapta d2 este paralela cu planul deoarece este paralela cu drepatad02 situata n planul .) Vom calcula aceasta distanta ca naltimea paralelip-ipedului determinat de vectorii !M1M2;~v; ~w: Evalund volumul paralelipipeduluideterminat de cei trei vectori n doua moduri avem egalitatea

(!M1M2; ~v; ~w)

= k~v ~wkh;

de unde rezulta formula din enunt.

2.5. PROBLEME REFERITOARE LA UNGHIURI 49

Pozitiile relative a doua drepte n spatiu

Cu notatiile din propozitia de mai sus, din analiza gurii anterioare, rezulta:1. Daca produsul mixt (

!M1M2;~v; ~w) 6= 0; atunci dreptele d1 si d2 sunt doua

drepte oarecare n spatiu.2. Daca produsul mixt (

!M1M2; ~v; ~w) = 0 si vectorii ~v si ~w nu sunt coliniari

(ceea ce nseamna ca produsul vectorial ~v ~w 6= ~0), atunci dreptele d1 si d2 suntsituate nacelasi plan si sunt concurente.

3. Daca produsul mixt (!M1M2;~v; ~w) = 0 si vectorii ~v si ~w sunt coliniari (deci

produsul vectorial ~v ~w = ~0), atunci dreptele d1 si d2 sunt situate n acelasi plansi sunt paralele.

4. Daca produsul mixt (!M1M2;~v; ~w) = 0 si vectorii ~v; ~w;

!M1M2 sunt coliniari

atunci dreptele d1 si d2 sunt confundate.

2.5 Probleme referitoare la unghiuri

Unghiul dintre doua drepte

Fie d1 si d2 doua drepte oarecare n spatiu date de ecuatiile

d1 :x x1v1

=y y1v2

=z z1v3

;

d2 :x x2w1

=y y2w2

=z z2w3

:

Dreapta d1 trece prin punctul M1(x1:y1; z1) si are vectorul director~v =v1~i + v2~j+ v3~k; iar drepta d2 trece prin punctul M2(x2; y2; z2) si are vectoruldirector ~w =w1~i+ w2~j+ w3~k:

Propozitia 2.5.1 Urmatoarele armatii sunt echivalente.1) Dreptele d1 si d2 sunt paralele.2) Vectorii directori ~v si ~w sunt paraleli.3) Produsul vectorial ~v ~w = ~0:4) Componentele celor doi vectori directori ~v si ~w sunt proportionale

v1w1=v2w2=v3w3:

n continuare presupunem ca dreptele d1 si d2 nu sunt paralele. Prin unghiuldintre dreptele d1 si d2 vom ntelege unghiul dintre vectorii lor directori, ~v si~w. Prin urmare, pentru a determina masura acestui unghi folosim formula

cos(d~v; ~w) = ~v ~wk~vkk~wk :


Unghiul dintre doua plane

Fie 1 si 2 doua plane de ecuatii1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0;2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0:

Planul 1are normala ~n1 = a1~i + b1~j + c1~k iar planul 2 are normala~n2 = a2~i + b2~j+ c2~k:

Propozitia 2.5.2 Urmatoarele armatii sunt echivalente.1) Planele 1 si 2 sunt paralele.2) Vectorii normali celor doua plane ~n1 si ~n2 sunt paraleli.3) Produsul vectorial ~n1 ~n2 = ~0:4) Componentele celor doi vectori normali ~n1 si ~n2 sunt proportionale

a1a2=b1

b2=c1c2:

n continuare presupunem ca cele doua plane 1 si 2 nu sunt paralele. Prinunghiul dintre planele 1 si 2 vom ntelege unghiul dintre normalelor lor, ~n1si ~n2: Prin urmare, pentru a determina masura acestui unghi folosim formula

cos(\~n1; ~n2) =~n1 ~n2

k~n1kk~n2k:

2.5. PROBLEME REFERITOARE LA UNGHIURI 51

Unghiul dintre o dreapta si un plan

Dreapta d de ecuatii

x x0v1

=y y0v2

=z z0v3

intersecteaza planul a caruie ecuatie este

ax + by + cz + d = 0:

Notam cu ~v =v1~i+ v2~j+ v3~k vectorul director al dreptei d si cu ~n = a~i+ b~j+ c~knormala planului : Prin unghiul dintre dreapta d si planul vom ntelegeunghiul ascutit dintre drepta d si proiectia ei pe planul . Notam cu masuraacestui unghi. Conform denitiei date 2 [0;

2]: Atunci

sin =j~n ~vj

k~nkk~vk:


2.6 Probleme

Planul si dreapta n spatiu

1. Se dau punctele A(1; 3;2) si B(7;4; 4): Scrieti ecuatia planului ce treceprin punctul A si este perpendicular pe dreapta AB:

Indicatie. Un vector perpendicular pe plan este vectorul ~n =!AB:

2. Scrieti ecuatia planului care trece prin punctul A(1; 2;1) si esteparalel cu vectorii ~a = ~i 2~j+ ~k; ~b = 2~i+~j 3~k:Indicatie. Un vector perpendicular pe planul catat este ~n = ~a ~b:

3. Scrieti ecuatia planului determinat de punctele A(1; 2; 3);B(3; 2;1); C(1;1;3):Indicatie. Un vector perpendicular pe planul cautat este vectorul

~n =!AB

!AC.

4. Scrieti ecuatiile dreptei care trece prin punctul M (2;1; 1) si este paralelacu dreapta

x + y z = 0x+ 2y+ z 1 = 0

Indicatie. Un vector paralel cu dreapta ceruta este produsul vectorial alnormalelor celor doua plane care determina dreapta data.

5. Se considera punctul M (2; 1; 1) si planul x + y+ 3z + 5 = 0: Calculati:

a) Coordonatele proiectiei punctului M pe plan.

b) Coordonatele simetricului puctului M fata de plan.

c) Distanta de la punctul M la planul dat.

6. Calculati coordonatele simetricului punctului M (1; 3;4) fata de planul3x + y 2z = 0

si distanta de la M la planul dat.

7. Se considera punctul M (2;1; 3) si dreaptax

3=y+ 7

5=z 22:

Calculati:

a) Coordonatele proiectiei punctului M pe dreapta.

b) Coordonatele simetricului puctului M fata de dreapta.

c) Distanta de la punctul M la dreapta data.

2.6. PROBLEME 53

8. Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din punctul M (2; 3; 1) pe dreapta

x +1

2=y

1 =z 23:

Indicatie. Se determinaM0, proiectia punctului M pe dreapta data. Atuncidreapta cautata este MM 0.

9. Calculati coordonatele simetricului punctului M(4; 1; 6) fata de dreaptax y 4z +12 = 02x + y 2z + 3 = 0

si distata de la M la dreapta data.

10. Scrieti ecuatiile dreptei care trece prin simetricul punctuluiA(1; 0; 1) fata de dreapta

x = y =z 12

si care este perpendiculara pe planul

2x y z 1 = 0:

Indicatie. Proiectia punctului A pe dreapta data este A0(16;16; 23); iarsimetricul A00(23 ;13; 13 ):

11. Scrieti ecuatile dreptei (d0); proiectia dreptei

(d)x 12

=y 23

=z 34

pe planul

x + y + z 3 = 0:

Indicatie. Dreapta intersecteaza planul n punctul M1(13 ; 1;53): Proiec-tia

punctuluiM0(1; 2; 3);prin care trece dreapta (d); pe planul dat esteM00(0; 1; 2):

Proiectia dreptei (d) pe planul dat este dreapta M1M00:

12. Scrieti ecuatiile dreptei (d0); proiectia dreptei

(d)

x+ 2y z 1 = 0x 1 = 0

pe planul

x + y+ z = 0:


13. Scrieti ecuatia planului care trece prin dreapta de ecuatii

(d)

2x y z + 1 = 0x+ y+ 2z + 2 = 0

si prin punctul M (1; 2;1):Indicatie. Se scrie ecuatia fasciculului de plane de axa (d) si se pune conditiaca fasciculul sa treaca prin punctul M (coordonatele punctuluiM sa vericeecuatia fasciculului).

14. Scrieti ecuatia planului care trece prin dreapta de ecuatii

(d)

x+ y + z 1 = 0

2x+ y 2z 1 = 0

si este perpendicular pe planul 3x+ 2y 2z 1 = 0:Indicatie. Din fasciculul de plane de axa (d) se determina acel plan careeste perpendicular pe planul dat.

15. Scrieti ecuatia planului care contine dreapta

(d)x+ 5

3=y 21

=z

4

si este paralel cu planul

x+ y z + 15 = 0:

Indicatie. Se scrie ecuatia fasciculului de plane de axa (d) si se alage acelplan care este paralel cu planul dat.

16. Calculati distanta dintre planele paralele

11x 2y 10z + 15 = 0;11x 2y 10z 45 = 0:

17. Calculati distantele de la punctul M(2; 3;1) la dreptele

a)x 53

=y

2=z + 25

2b) x = t+ 1; y = t+2; z = 4t+13

c) 2x 2y+ z + 3 = 0; 3x 2y + 2z + 17 = 0:

2.6. PROBLEME 55

18. Vericati ca dreptele 2x+ 2y z 10 = 0x y z 22 = 0 ;

x+ 7

3=y 51 =

z 94

sunt paralele si calculati distanta dintre ele.

19. Calculati distanta minima dintre dreptele

(d1)x 94

=y + 2

3 =z

1; (d2)

x

2 =y + 7

9=z 22

:

20. Sa se verice ca dreptele

(d1)x 35

=y +1

2=z 24; (d2)

x 83

=y 11

=z 62

sunt concurente si sa se scrie ecuatia planului determinat de cele douadrepte.

21. Calculati unghiul format de dreptele

(d1)

3x 4y 3z = 0;2x+ y 2z = 0; (d2)

4x+ y 6z 2 = 0;

y 3z + 2 = 0:22. Determinati unghiul pe care dreapta

x 12

=y

2 =z 11

l face cu planul

3x y + z 2 = 0:23. Scrieti ecuatiile dreptei care trece prin proiectia punctului

A(1; 2; 2) pe planulx+ y+ z +1 = 0

si este paralela cu planele

2x y 3z 1 = 0; x+ 2y+ 3z + 1 = 0:24. Scrieti ecuatia planului care trece prin simetricul punctului

M (1;1; 3) fata de planulx+ y +2z +1 = 0

si este paralel cu dreptele

(d1)

x 2y 2z 1 = 03x+ y + z +1 = 0

(d2)

2x+ y +3z 1 = 0x+ y + z + 1 = 0


Raspunsuri1. 6x 7y +6z 27 = 0:2. 5x y +3z = 0:3. x 2y + z + 2 = 0:5. a) Proiectia M 0(1; 0;2): b) Simetricul M00(0;1;5): c) Distanta p11:6. Simetricul M 00(5; 1; 0): Distanta

p14:

7. a) Proiectia M 0(3;2; 4): b) Simetricul M00(4;3; 5): c) Distanta p3:

10.x 2

3

2=y+ 1

3

1 =z 1

3

1 :11. Dreapta proiectata are ecuatiile generale

x+ y + z 3 = 0x 2y + z = 0

sau ecuatiile canonice

x 131

=y 10

=z 531 ;

unde ( 13; 0; 5

3) sunt coordonatele punctului n care dreapta data intersecteaza

planul.13. 4x 5y 7z 1 = 0:14. 2x + 3y + 6z 3 = 0:15. x+ y z + 3 = 0:19. Distanta 7:

Capitolul 3

Spatii vectoriale

3.1 Notiunea de spatiu vectorial

Vom nota cu R corpul numerelor reale si cu C corpul numerelor complexe.Prin K vom ntelege unul dintre aceste corpuri.

Denitia 3.1.1 Se numeste spatiu vectorial peste corpul K o multine nevida Vpe care s-au denit doua legi de compozitie:

a) una interna, notata aditiv si denumita adunare, care asociaza oricareiperechi (x;y) de elemente din V un alt element din V, notat x+y; si care areproprietatea ca (V;+) este un grup comutativ, deci satisface urmatoarele axiome:

(A1) (x+ y) + z = x+ (y+ z); 8x;y; z 2 V:(A2) x+ y = y+ x; 8x;y 2 V:(A3) Exista un element 0 2 V astfel nct x+ 0 = x; 8x 2 V:(A4) Pentru orice element x 2 V; exista un element din V, notat x; astfel

nct x+ (x) = 0:b) una externa, notata multiplicativ si denumita nmultire cu scalari, care

asociaza ecarei perechi (;x); unde 2 K si x 2 V; un element din V; notatx; si care satisface urmatoarele axiome:

(I1) 1x = x; 8x 2 V:(I2) ()x = (x); 8 ; 2 K si 8 x 2 V:(I3) ( + )x = x+x; 8 ; 2 K si 8 x 2 V:(I4) (x+ y) = x+ y; 8 2 K si 8 x;y 2 V:

Elementele unui spatiu vectorial V se numesc vectori. Elementele din corpulK se numesc scalari, reali sau complecsi, dupa cum K este R sau C: Operatia deadunare se numeste adunarea vectorilor, iar elementul x+ y poarta numele desuma dintre vectorii x si y: Elementul x se numeste produsul dintre scalarul si vectorul x: Elementul neutru al grupului (V;+) a notat cu 0 (bold) pentrua deosebit de scalarul 0 2 K:

57

58 CAPITOLUL 3. SPATII VECTORIALE

Daca corpul K = R; spatiul vectorial V se numeste spatiu vectorial real,iar daca K = C spatiul vectorial V se numeste spatiu vectorial complex.

n propozitia de mai jos sunt puse n evidenta cteva consecinte importanteale axiomelor unui spatiu vectorial.

Propozitia 3.1.2 Fie V un spatiu vectorial peste corpul K: Atunci sunt ade-varate urmatoarele armatii:

1) 0 x = 0; 8 x 2 V; i.e., produsul dintre scalarul zero si orice vector x esteegal cu vectorul nul.

2) 0 = 0; 8 2 K; i.e., produsul dintre orice scalar si vectorul nul esteegal cu vectorul nul.

3) Daca x = 0; atunci = 0 sau x = 0:4) (1)x = x; 8x 2 V:

Exemple de spatii vectoriale

Spatiul Rn: Notam cu

Rn =

8>>>>>:x =26664x1x2...xn

37775 j xi 2 R9>>>=>>>; :

Pentru a economisii spatiul grac vom scrie elementele din Rn n forma transpusax = (x1; x2; : : : ; xn)T :

Daca x = (x1; x2; : : : ; x)T si y = (y1; y2; : : : ; yn)T sunt doi vectori oarecaredin Rn; denim suma lor prin formula

x+ y =

26664x1x2...xn

37775+26664y1y2...yn

37775 def=26664x1+ y1x2+ y2

...xn + yn

37775 :Daca este un scalar real si x = (x1; x2; : : : ; xn)T un vector din Rn denimprodusul dintre scalarul si vectorul x prin formula

x =

26664x1x2...xn

37775 def=26664x1x2...xn

37775 :Se verica cu usurinta ca operatiile de mai sus au proprietatile din denitia

spatiului vectorial, deci Rn dotat cu aceste operatii este un spatiu vectorial real.

3.1. NOTIUNEA DE SPATIU VECTORIAL 59

Rn se numeste spatiul coordonatelor reale. Operatiile de adunare si de n-multire cu scalari denite mai sus se fac pe coordonate.

Spatiul Mn;m(K): Notam cu Mn;m(K) multimea matricelor cu elemente dincorpul K; care au n linii si m coloane.

Mn;m(K) =

8>>>>>:A =26664a11 a12 a1ma21 a22 a2m...

......

an1 an2 anm

37775 j ai;j 2 K9>>>=>>>; :

O matrice cu n linii sim coloane va numita matrice de tipul nm sau de formanm: Daca A 2 Mn;m(K) vom scrie A = [ai;j] si vom ntelege ca i = 1; 2; : : : ; nsi j = 1;2; : : : ;m: Uneori, pentru a pune n evidenta forma matricei, vom scrieAnm n loc de A; subntelegndu-se din context din care corp, R sau C; fac parteelemetele matricei. Daca n = m matricea A se numeste matrice patrata. ncaz contrar, A este o matrice dreptunghiulara. Matricele de tipul n 1 vor numite vectori coloana, iar cele de tipul 1m vectori linie.

Coloana j a matricei A va notata cu Ahji; deci

Ahji =

26664a1ja2j...anj

37775 :Folosind acesta notatie putem scrie matricea A sub forma

A =Ah1i; Ah2i; : : : ; Ahmi

:

De remarcat ca, daca A este o matrice de tipul nm cu elemente din corpul K;atunci coloanele Ahji; j = 1; 2; : : : ; n; sunt vectori din Kn:

Daca A = [aij] si B = [bij] sunt doua matrice de tipul n m; denim sumalor ca ind o matrice de acelasi tip nm; notata A+B; care se obtine adunndelementele care ocupa acelasi loc n matricele A si B:

A+ Bdef= [aij + bij]:

Pentru un scalar oarecare din K si A

algebra

Documents