263Capitolul 7

SERIILE CRONOLOGICE

Seriile cronologice (dinamice, de timp) arat evoluia n timp a unui fenomen. O serie cronologic se prezint sub forma a dou iruri paralele de valori numerice corespondente: componentele unui ir sunt momentele sau intervalele succesive de timp, iar cellalt ir indic valorile nregistrate de fenomenul analizat n aceste uniti de timp. De exemplu: evoluia PIB pe ani, evoluia desfacerilor de mrfuri ctre populaie pe trimestre, evoluia ratei inflaiei pe luni, evoluia zilnic a cursului de schimb etc.ntre valorile individuale care compun seria cronologic exist diferene de mrime explicate prin aciunea comun a factorilor eseniali i ntmpltori. Modalitatea concret de combinare a influenei acestor factori difer n timp, determinnd variabilitatea formelor individuale de manifestare n dinamic a fenomenului analizat. Gradul de variabilitate a termenilor seriei cronologice depinde de fora cu care factorii aleatori produc abateri, dar i de tendina de variaie impus de factorii cu aciune sistematic.Dincolo de aceste variaii individuale, seriile cronologice sunt omogene deoarece termenii seriei au n comun categoria economic sau social pe care o reprezint n momente sau intervale succesive de timp. Omogenitatea valorilor seriei este dat de faptul c acestea sunt supuse aciunii sistematice a acelorai factori eseniali, iar termenii seriei cronologice sunt obinui prin aceeai metodologie de calcul i folosesc aceeai unitate de msur.n timp ce trsturile de omogenitate i variabilitate sunt comune tuturor seriilor statistice, o caracteristic specific seriilor cronologice o reprezint periodicitatea termenilor. Aceast trstur exprim continuitatea datelor din punct de vedere al variaiei timpului. Termenii seriei reprezint valori ale unui fenomen dinamic, nregistrate la momente sau intervale de timp de regul egale, astfel nct s se asigure continuitatea seriei. n funcie de scopul concret al analizei efectuate, de natura fenomenului nregistrat i de posibilitile de obinere a datelor, unitile de timp pot fi mai mici sau mai mari: minut (de exemplu, pentru nregistrarea pierderilor zilnice de timp de lucru sau a ntreruperilor n

funcionarea utilajelor), or, zi, sptmn, decad, lun, trimestru, semestru, an, deceniu, secol.Interdependena termenilor seriilor cronologice este determinat de modalitatea de construire a acestora prin nregistrarea nivelurilor succesive ale unui fenomen pentru aceeai unitate statistic precizat (persoan, firm, ramur, zon geografic, ar etc.). Din aceast cauz, orice termen al seriei depinde de nivelurile precedente i influeneaz mrimile urmtoare ale termenilor seriei.Avnd n vedere aceste particulariti ale seriilor cronologice, analiza lor trebuie precedat de verificarea comparabilitii valorilor individuale nregistrate pentru fenomenul analizat. Pentru a asigura comparabilitatea termenilor seriei cronologice este necesar ca datele: s reflecte acelai fenomen; s fie exprimate n aceeai unitate de msur; s fie obinute prin aceeai metodologie de calcul; s fie evaluate n aceleai preuri pentru indicatorii valorici.

7.1 TIPURI DE SERII CRONOLOGICEExist mai multe tipuri de serii cronologice, difereniate n funcie de timpul la care se refer datele, modul de exprimare a indicatorilor, natura fenomenului evideniat i numrul termenilor.1. n funcie de modul de definire a timpului, valorile individuale ale seriei cronologice se raporteaz la un interval sau la un moment de timp. Dup acest criteriu deosebim seriile de intervale de cele de momente.Seriile cronologice de intervale (de fluxuri) sunt formate din mrimi asociate unor perioade de timp. Fiecare valoare individual yi reprezint rezultatul unui proces care se desfoar pe un interval de timp ti - ti +1 (vezi figura 7.1.1.). Exemple de serii cronologice de intervale: investiiile anuale realizate de o anumit firm, cheltuielile lunare de consum ale populaiei, profiturile trimestriale ale unei societi comerciale, desfacerile zilnice de mrfuri ale unei uniti comerciale sau valoarea tranzaciilor lunare la burs:Valoarea medie a tranzaciilor ncheiate la Bursa de Valori Bucuretin anul 2002Lunaianfebrmaraprmaiiuniulaug

Tranzacii (mld.lei)11,211,19,82324,220,815,318,8

STATISTICA

Seriile cronologice

t1t2. . .tn-1

y1y2yn-1Fig. 7.1.1 - Seria cronologic de intervale

O proprietate important a seriilor cronologice de intervale o reprezint posibilitatea nsumrii valorilor yi; n acest fel se obine un indicator totalizator pentru ntreaga perioad de timp considerat: t1 - tn .De exemplu, prin nsumarea desfacerilor zilnice se obine desfacerea total lunar, prin cumularea produciilor lunare se determin producia anual etc.Seriile cronologice de momente (de stocuri) cuprind mrimi care se refer la anumite momente de timp.Fiecare valoare individual yi caracterizeaz nivelul la care a ajuns fenomenul considerat n momentul de timp ti (vezi figura 7. 1.2.).t1t2. . .tn-1tn

y1y2. . .yn-1ynFig. 7.1.2 - Seria cronologic de momente

De exemplu: stocul de materii prime sau de produse finite al unei firme la nceputul fiecrei luni, numrul personalului muncitor la sfritul fiecrui trimestru, capitalul fix n funciune la sfritul anului, volumul depozitelor bancare la sfritul semestrului sau valoarea indicelui BET n anul 2002, la sfritul lunii:

LunaianfebrmaraprmaiiuniulaugIndicele BET(puncte)778,6807,4879,81184,81260,6130412601313Valoarea indicelui BET la Bursa de Valori Bucureti la sfritul lunii

Sursa: Adevrul economic, sept. 2002.

Nu are sens cumularea valorilor seriilor cronologice de momente deoarece ele reflect, n mod repetat, elemente care coexist n momente diferite de timp. De exemplu, n numrul salariailor unei ntreprinderi la 31 mai se regsete cea mai mare parte sau tot personalul existent la 30 aprilie; stocul de produse finite la nceputul unei luni poate include o mare parte din produsele finite existente n depozitul unitii la nceputul lunii anterioare; majoritatea capitalului fix al unei ntreprinderi reprezint o component stabil regsit la fiecare din inventarierile anuale etc.n cazul seriilor cronologice de momente, pentru a caracteriza seria n ansamblu se pot calcula indicatori medii pe o perioad de timp: numrul mediu de personal, stocul mediu de produse finite, valoarea medie a capitalului fix etc.2. n funcie de modul de exprimare a termenilor seriei deosebim serii cronologice formate din indicatori absolui, relativi sau medii.Seriile cronologice formate din indicatorii absolui reprezint situaia cea mai frecvent ntlnit. Fiecare termen al seriei este n acest caz o mrime absolut exprimat n uniti concrete de msur. De exemplu: producia zilnic a unei secii (n uniti fizice sau valorice), ncasrile lunare ale unui magazin, valoarea creditelor anuale acordate de o banc etc.Seriile cronologice formate din indicatori relativi se exprim procentual sau sub form de coeficieni. Termenii acestor serii reprezint mrimi relative de structur, de coordonare, de intensitate sau de dinamic. De exemplu: dinamica anual a PIB (%), ponderea populaiei ocupate n agricultur (%), cursul zilnic al dolarului (lei/$) sau raportul dobnd activ-dobnd pasiv ntr-o perioad de timp. Baza de raportare trebuie s fie ntotdeauna precizat.Seriile cronologice formate din indicatori medii se caracterizeaz prin aceea c termenii seriei sunt calculai ca valori medii. Aceasta este o modalitate de prezentare a evoluiei n timp a unor indicatori de moment (transformai n indicatori de intervale prin calcularea nivelului mediu pe fiecare interval ntre dou momente succesive) sau a unor caracteristici calitative. De exemplu: stocurile medii de materiale, mrfuri sau produse finite, productivitatea medie a muncii, salariul mediu, numrul mediu de salariai etc.3. Dup numrul termenilor pe care i conin, seriile cronologice pot fi de lungime mic, medie sau mare.

Analiza seriilor cronologice urmrete frecvent s caracterizeze modul n care a evoluat un fenomen ntr-o perioad anterioar, n vederea prognozei evoluiei sale probabile n viitor. Atingerea acestui scop presupune parcurgerea ctorva etape: constituirea seriei cronologice; prelucrareatermenilorserieicronologiceiobinerea indicatorilor statistici absolui, relativi i medii; aplicarea metodei ajustrii termenilor seriei cronologice n funcie de timp pentru determinarea tendinei pe termen lung; determinareainflueneifactorilorsezonieriianaliza fenomenelor cu caracter ciclic; estimarea valorilor probabile pentru perioada urmtoare (prin metoda extrapolrii).Desfurarea acestor etape de calcul i analiz prezint particulariti n funcie de tipul seriei cronologice.

7.2 PRELUCRAREA SERIILOR CRONOLOGICE DE INTERVALE

ntruct termenii seriei cronologice prezint variaii mari de la o perioad de timp la alta, prima faz, obligatorie n studiul oricrei serii, o reprezint calcularea unui sistem de indicatori statistici absolui, relativi i medii. Aceti indicatori caracterizeaz modificarea n timp a fenomenului analizat.7.2.1 Indicatori absoluiIndicatorii absolui ai unei serii cronologice de intervale exprim nivelul, volumul agregat i modificrile (n mrime absolut) fenomenului analizat n perioade diferite de timp. Indicatorii absolui se exprim n unitatea de msur a caracteristicii analizate (n uniti fizice, valorice, procente etc.).1) Valorile individuale absolute ale caracteristicii redau nivelul yt al fenomenului analizat n fiecare interval de timp ti (vezi coloana 1 a tabelului nr.7.2.1).

2) Volumul agregat (nivelul totalizat) reprezint suma termenilor seriei cronologice de intervale:

yt 3720

(vezi tabelul nr. 7.2.1).

Indicatorii absolui ai seriilor cronologice de intervale

Tabelul 7.2.1

Trim.Valoarea vnzrilor* (mil. lei)ytInterval de timp

tModificarea absolut

cu baz fixt / 1 cu baz n lant / t 1

01234

I9001--

II98028080

III910310-70

IV93043020

Total3720--30

Date convenionale privind vnzrile realizate ntr-o unitate comercial

3) Modificarea absolut (sporul sau scderea absolut) reflect creterea sau descreterea absolut (n uniti concrete de msur) a valorilor individuale ale fenomenului analizat, de la o perioad de timp la alta. Se calculeaz ca diferen ntre doi termeni ai seriei. n funcie de perioada aleas ca baz de comparaie (constant sau variabil), exist dou forme ale acestui indicator: modificarea absolut cu baz fix reprezint distana (diferena) fiecrui termen al seriei fa de o perioad fix de referin:

yt / 1

yt y1 ,

t 2,...,n

unde: y1 - orice termen al seriei cronologice (de regul, primul).

modificarea absolut cu baz n lan se calculeaz ca diferen ntre doi termeni succesivi ai seriei cronologice:y

t / t 1 yt yt 1 ,

t 2, ..., n.

Se exprim n unitile de msur ale caracteristicii. Valorile pozi- tive ale acestor indicatori semnific sporuri (creteri, fa de perioada aleas ca baz de comparaie), iar valorile negative scderi (deficit).n cazul modificrii absolute cu baz fix este important alegerea unei baze de comparaie convenabile, reprezentative pentru fenomenul dat i care s nu fie influenat de variaii conjuncturale majore. Frecvent, se alege ca baz de comparaie primul termen al seriei (nceputul perioadei de timp analizate) sau ultimul termen al perioadei anterioare.Prin nsumarea tuturor modificrilor absolute cu baz n lan se

obine:

n t / t 1 yn y1 n / 1 .t 2ntre modificrile cu baza n lan exist relaia:t / 1 t 1 / 1 t / t 1 ,

care permite trecerea de la un tip de modificare absolut la cellalt atunci cnd nu se cunosc nivelurile absolute ale termenilor seriei.

Exemplificarea modului de calcul al modificrilor absolute cu baz fix i cu baz n lan apare n coloanele 3 i 4 ale tabelului nr. 7.2.1.

7.2.2 Indicatori relativi

Aceti indicatori se calculeaz sub form de raport i reflect proporia dintre nivelurile absolute ale termenilor seriei cronologice de intervale. Permit analiza comparativ a evoluiei unor fenomene diferite.Indicele de dinamic este o mrime relativ care arat de cte ori s-a modificat mrimea unui fenomen n timp. Se calculeaz ca raport ntre doi termeni diferii ai seriei cronologice.n funcie de alegerea unei baze de raportare constante sau variabile, se poate determina indicele cu baz fix sau cu baz n lan: indicii cu baz fix se calculeaz ca raport ntre nivelul caracte- risticii n fiecare perioad t i nivelul acesteia ntr-o perioad fix considerat baz de referin, conform relaiei:yt

t / 1

100,y1

t 2, ..., n.

indicele cu baz n lan compar sub form de raport dou niveluri succesive ale caracteristicii:yt

t / t 1

yt 1

100,

t 2, ...,n. .

Se exprim n procente.Valori mai mari de 100% ale acestor indicatori arat creteri fa de perioada baz de comparaie. Valorile sub 100% semnific scdere, reducere.Produsul tuturor indicilor cu baz n lan este:

n t 2

t / t 1

yn

y1

n / 1

ntre indicii cu baz n lan exist relaia:

t / 1 t 1 / 1

t / t 1 ,

util atunci cnd nu se cunosc nivelurile absolute ale termenilor.Exemplificarea calculului indicilor de dinamic cu baz fix i n lan se regsete n coloanele 2 i 3 din tabelul nr. 7.2.2.Calcularea indicatorilor relativi ai seriilor cronologice de intervaleTabelul 7.2.2Trim.Valoarea vnzrilor (mil. lei) ytIndicii de dinamicRitmulValoarea absolut

a unui procent de modificare cu baz n lan(mil. lei)

cu baz fix It/1 (%)cu baz n lanIt/t-1 (%)cu baz fix Rt/1cu baz n lan Rt/t-1

0123456

I900-----

II980108,8108,88,88,89

III910101,192,81,1-7,29,8

IV930103,3102,23,32,29,1

Total3720-----

Ritmul de dinamic (de cretere sau scdere), numit i ritmul modificrii arat cu ct s-a modificat procentual (a crescut sau a sczut)

mrimea fenomenului ntr-o anumit perioad de timp fa de o perioad de referin fix sau mobil. Se determin ca raport ntre modificarea absolut (cu baz fix sau n lan) i nivelul fenomenului n perioada aleas ca termen de comparaie. Are dou forme de calcul: ritmul cu baz fix i ritmul cu baz n lan. Ritmul modificrii cu baz fix se calculeaz ca raport ntre modificarea absolut cu baz fix i nivelul nregistrat n perioada de baz:y yRt / 1 t1 100 t / 1(%) 100y1 Ritmul modificrii cu baz n lan se calculeaz ca raport ntre modificarea absolut cu baz n lan i baza de comparaie respectiv:y yRt / t1 tt 1 100 t / t1(%) 100yt 1Se exprim n procente.Nu exist o relaie direct de trecere de la ritmurile cu baz fix la cele cu baz n lan sau invers. Aceast problem poate fi rezolvat numai dup trecerea la indicii de dinamic.Rezultatele calculului acestui indicator, n cele dou forme ale sale, sunt prezentate n coloanele 4 i 5 din tabelul nr. 7.2.2.

Valoarea absolut a unui procent de cretere sau de scdere arat mrimea absolut a modificrii ce revine pe o unitate (un procent) din ritmul dinamicii. Se calculeaz sub forma unui raport ntre modificarea absolut i ritmul modificrii i se exprim n unitatea de msur a caracteristicii.Acest indicator face legtura dintre indicatorii absolui i cei relativi: arat cte uniti din modificarea absolut a fenomenului analizat revin la un procent din ritmul modificrii pe o anumit perioad de timp. Aadar indicatorul ofer valoarea absolut a unui procent de modificare (cretere sau scdere).Variante de calcul: baz fix i baz mobil (n lan). Valoarea absolut a unui procent de modificare cu baz fix

este:At / 1

t / 1 Rt / 1

yt y1yt y1 100y1

y1 . 100

Are aceeai valoare pentru ntreaga perioad analizat.De exemplu, utiliznd datele din tabelul nr. 7.2.2., creterea cu un procent a vnzrilor din oricare trimestru fa de trimestrul I reprezint n valoare absolut:A 900 9 mil. lei .t / 1100

Aadar, fiecare procent de cretere a vnzrilor aduce un plus de 9 mil.lei la ncasri. Valoarea absolut a unui procent de modificare cu baz n lan

este:

At / t1

t / t1 Rt / t1

yt yt1yt yt1 100yt 1

yt1 . 100

Mrimile acestui indicator pentru exemplul considerat sunt prezentate n tabelul nr. 7.2.2, coloana 6. n acest caz valorile obinute difer de la un trimestru la altul.

7.2.3 Indicatori medii

Spre deosebire de indicatorii absolui i relativi, care se determin sub forma unui ir de valori care arat variabilitatea termenilor seriei cronologice de intervale, indicatorii medii ofer o msur sintetic a tendinei de evoluie a ntregii serii.Se pot calcula att medii de nivel, cum sunt media termenilor seriei i media modificrilor absolute, ct i medii de dinamic: indicele mediu i ritmul mediu.

Nivelul mediu al termenilor seriei cronologice de intervale se calculeaz sub forma mediei aritmetice simple a tuturor termenilor seriei

cronologice analizate:n yty t 1.nunde: n - numrul termenilor seriei.De exemplu, pentru datele din tabelul nr. 7.2.1 desfacerea medie trimestrial are valoarea de:4

yty 14

3720

4

930 mil. lei

Modificarea medie absolut este media aritmetic simpl a modificrilor absolute cu baz n lan:n t / t 1 t 2.n 1unde: n-1 - numrul modificrilor absolute cu baz n lan.Deoarece:n t / t 1 n / 1 ,t 2rezult o formul direct de calcul a modificrii medii absolute: yn y1 .n 1Indicatorul arat cu ct crete/scade fenomenul n medie (n valoare absolut) de la o perioad de timp la alta.Pentru exemplul considerat anterior se poate calcula creterea medie a desfacerilor de la un trimestru la altul: 930 900 30 10 mil. lei.33

Calcularea acestui indicator are sens atunci cnd modificrile absolute cu baz n lan nu difer prea mult ca mrime.Modificarea medie absolut poart numele de spor mediu, dac este calculat pentru un fenomen cu tendin de cretere. n caz contrar vorbim despre scdere medie.

Indicele mediu de dinamic se calculeaz ca medie geometric simpl a indicilor de dinamic cu baz n lan, conform relaiei:

n n1 t / t 1 ,t 2unde: n-1 - numrul indicilor cu baz n lan

Deoarece:n t / t 1 n / 1 , rezult o formul echivalent:t 2

ny n1.y1Indicele mediu de dinamic arat de cte ori s-a modificat (a crescut sau a sczut) n medie fenomenul analizat pe ntreaga perioad luat n calcul. Valoarea rezultat din calcul este semnificativ ndeosebi pentru fenomenele care evolueaz n progresie geometric (indicii cu baz n lan au valori apropiate ntre ele).Valori mai mari de 100 % ale acestui indicator arat tendina de cretere a fenomenului analizat. Valori mai mici de 100 % corespund unei scderi pe ansamblul perioadei considerate.De exemplu:

3 1,033 3 930 900

1,0109 101,09% .

Atunci cnd se cunosc indicii medii de dinamic (i) calculai pentru intervalele succesive de timp i care compun perioada analizat, indicele mediu general se poate calcula direct din acetia. n acest caz se

folosete formula mediei geometrice ponderate:

k ninnn

I i 1

I1 1 I 2 2

...

Ik k

unde: I - indicele mediu de dinamic pe ansamblul perioadei analizate:i -indicii medii pariali de dinamic;ni-numrul indicilor cu baz n lan care compun indicele mediu i;k-numrul indiciilor medii pariali.Ritmul mediu de dinamic se determin prin intermediul relaiei:

R % 100 .i arat cu cte procente se modific n medie fenomenul analizat pe ntreaga perioad analizat.Pentru exemplul anterior:R 101,09 100 1,09% .Acest rezultat arat tendina de cretere n medie cu 1,09% a valorii desfacerilor n fiecare trimestru.Aceti indicatori impun exigenele comune tuturor indicatorilor medii. Ei nu sunt reprezentativi pentru seriile cronologice cu un numr mare de termeni i cu oscilaii mari. n cazul seriilor cronologice cu un nivel sczut de omogenitate se recomand separarea seriei pe subperioade care pot fi analizate independent.

7.3 PRELUCRAREA SERIILOR CRONOLOGICE DE MOMENTE

Spre deosebire de seriile cronologice de intervale, termenii seriilor cronologice de momente se refer la un moment fix, nu la un interval de timp. Distanele care separ aceste momente de timp pot avea mrime constant sau variabil. Dup acest criteriu clasificm seriile cronologice de momente n serii cu intervale egale i cu intervale inegale.

1. Seriile cronologice cu intervale egale ntre momente pot fi prelucrate n mod asemntor seriilor cronologice de intervale. Se pot calcula indicatorii absolui, relativi i medii prezentai anterior.Excepie face calculul mediei aritmetice a termenilor seriei. Deoarece termenii seriilor cronologice de momente nu sunt direct nsumabili, media se calculeaz dup o formul special, ca medie cronologic simpl. Pentru fiecare interval dintre dou momente succesive se calculeaz o medie aritmetic simpl (vezi fig. 7.3.1) a termenilor care mrginesc intervalul.

Fig. 7.3.1 - Medii pariale pe intervale egale

Pe ansamblul seriei se calculeaz o medie aritmetic simpl a acestor n-1 medii pariale, conform relaiei:

y1 y2 y2 y3 ... yn1 yny 222

y1 y22

y3

... y

n1 yn2

crn 1

n 1

Pentru prelucrarea seriilor cronologice de momente cu intervale egale ntre momente se mai poate recurge i la procedeul transformrii acestora n serii de intervale prin calcularea unei medii aritmetice simple pentru fiecare interval n parte. Seria astfel obinut poate fi prelucrat aa cum s-a artat anterior, la seriile cronologice de intervale.

2. Pentru seriile cronologice cu intervale inegale ntre momente este posibil calcularea unui singur indicator mediu: nivelul mediu al termenilor seriei.Acest calcul se efectueaz dup o formul special: media cronologic ponderat. ntruct distanele ce separ momentele de timp la care se refer valorile absolute ale seriei sunt inegale (vezi fig. 7.3.2.),

mediile pariale pe intervale se pondereaz cu mrimea intervalelor respective.y1y2y3...yiyi+1...yn-1yn

d1d2...di...dn-1Fig. 7.3.2 - Serii cronologice cu intervale inegale ntre momentePe ansamblul perioadei luate n calcul se determin o medie aritmetic ponderat a mediilor de interval:

1y1 y2 d

y2 y3 d

yn2 yn1 d yn1 yn d

ycr 22

2d1

d2

2dn1

n22

n1

cr y

y d1 y122

d1 d2 ... y2

n1

dn2 dn1 y2n

dn12,

d1

d2

...

dn1

unde: d1, d2, ..., dn-1 - mrimea intervalelor dintre momentele de timp lacare se refer termenii y1, y2, ...,yn .Dup cum se poate observa n formula final, valorile individuale ale termenilor se pondereaz cu cte o jumtate din mrimea celor dou intervale alturate. Excepie fac termenii extremi, pentru care exist un singur interval alturat.Datele nefiind comparabile din punctul de vedere al variaiei n timp, media cronologic ponderat este singurul indicator care se poate calcula n cazul seriilor cronologice de momente inegal distanate.

AplicaiePe baza datelor din tabelul urmtor privind populaia nregistrat la recensminte vom calcula numrul mediu al populaiei Romniei n perioada 1930 2002.Populaia total la recensmntAnul1930194819561966197719922002

Populaia (mil. pers.)14,315,917,519,121,622,821,7

Sursa: Anuarul statistic al Romniei, anul 1995, p.746, date INS pentru 2002.

n tabelul anterior este prezentat o serie cronologic de momente cu intervale inegale. Nivelul mediu al seriei se calculeaz cu formula mediei cronologice ponderate:

y cr

y d 112 y 2d

d 1 2d

d 2

...

... d

y d n 1n2.

1 2

n 1

Distanele dintre momentele recensmintelor (exprimate n ani) sunt: d1 =1948 -1930 =18 ani;d2 =1956 -1948 =8 ani;d3 =1966 -1956 =10 ani;d4 =1977 -1966 =11 ani;d5 =1992 -1977 =15 ani;d6 =2002 1992 =10 ani.Media cronologic ponderat este:14,3 18 15,9 18 8 17,5 8 10 19,1 10 11 21,6 11 15 ycr 2222272 22,8 15 10 21,7 10 22 19mil.persoane.72Aadar, n perioada 1930-2002, numrul mediu al populaiei Romniei a fost de 19 milioane persoane.

7. 4 AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICESpecific seriilor cronologice este variabilitatea mare a termenilor. Aceste variaii sunt produse de factori eseniali i ntmpltori. Aciunea factorilor eseniali determin tendina major de evoluie n timp a mrimilor nregistrate de fenomenul analizat. Aceast tendin (trend) interfereaz cu cauzele neeseniale, ntmpltoare, efectul obinut fiind valorile reale ale fenomenului.Scopul ajustrii seriilor cronologice l reprezint evidenierea factorilor eseniali, cu aciune sistematic, care urmresc o legitate matematic de evoluie.

Ajustarea este operaia de nlocuire a termenilor reali ai seriei cronologice cu termeni teoretici care exprim o anumit legitate matematic de evoluie a fenomenului considerat.Pentru seriile cronologice, aceast legitate de evoluie se realizeaz n funcie de timp.ntruct abaterea termenilor reali de la cei teoretici calculai este efectul cauzelor neeseniale, ntmpltoare, prin ajustare se evideniaz mai bine tendina de evoluie n timp a fenomenului.Exist mai multe procedee de ajustare: ajustarea prin metoda mediilor mobile; ajustarea prin metoda grafic; ajustarea prin metoda modificrii medii absolute; ajustarea prin metoda indicelui mediu de dinamic; ajustarea prin metode analitice.Primele patru procedee formeaz grupul metodelor mecanice de ajustare.

AJUSTAREA PE BAZA MEDIILOR MOBILEAtunci cnd graficul seriei cronologice relev oscilaii periodice de la tendina central (grafic sinusoidal), este indicat ajustarea pe baza calculului mediilor mobile.

Mediile mobile sunt medii aritmetice pariale, alunectoare, calculate din doi sau mai muli termeni succesivi ai seriei. Se calculeaz nlocuind pe rnd primul termen cu termenul urmtor din seria cronologic.Numrul termenilor din care se calculeaz mediile pariale se alege n funcie de periodicitatea oscilaiilor seriei. Aceasta poate fi evideniat cu ajutorul reprezentrii grafice, observnd mrimea distanei medii dintre punctele de inflexiune ale graficului. n general, atunci cnd se dispune de date lunare mediile pariale se calculeaz din cte 12 termeni succesivi, iar atunci cnd se folosesc date trimestriale mediile pariale se calculeaz din cte 4 termeni succesivi.Mediile mobile asigur compensarea abaterilor, a oscilaiilor periodice. Noua serie obinut prin ajustare are o variaie lin, continu, evideniind tendina de evoluie a fenomenului (trendul), independent de aciunea factorilor sezonieri.

Pentru mediile mobile calculate dintr-un numr impar de termeni(tabelul 7.4.1.), formula de calcul utilizat este:

yiyi yi1

... yk

ik 1 ,

unde: k - numrul termenilor din care se calculeaz mediile mobile, k fiind un numr impar;yi - valorile ajustate (coincid cu mediile mobile calculate).

Modelul de calcul pentru mediile mobile dintr-un numrimpar de termeni k (k = 3)Tabelul 7.4.1Valorile absolute(yi)Mediile mobileyi

y1-

y2y1 y1 y2 y3 : 3

y3y 2 y2 y3 y4 : 3

yiyi1 yi1 yi yi1 : 3

yn-1yn2 yn2 yn1 yn : 3

yn-

Numrul mediilor mobile de k termeni care se pot calcula dintr-o serie de lungime n este: n - (k - 1). Aadar, n urma ajustrii pe baza mediilor mobile se pierd k - 1 termeni ai seriei (la nceputul i la sfritul irului); acesta este principalul dezavantaj al metodei.n cazul mediilor mobile calculate dintr-un numr par de termeni(tabelul 7.4.2), calculul se realizeaz n dou faze:1. se obin medii mobile provizorii din cte k termeni succesivi (folosind formula anterioar; k este numr par n acest caz) care se plaseaz ntre termenii seriei reale.

2. se determin medii mobile definitive (centrate) din cte dou medii mobile provizorii succesive care se plaseaz n dreptul termenilor reali (pe care i nlocuiesc).Numrul termenilor reali care se pierd este n acest caz k. n prima faz se pierd k - 1 termeni, iar n a doua faz un termen. Pierderea de informaie produs de termenii lips afecteaz concluziile analizei, n special n cazul unui numr redus de observaii.Metoda mediilor mobile i gsete o bun utilizare n analiza sezonalitii.

Modelul de calcul pentru mediile mobile dintr-un numrpar de termeni k (k = 4)Tabelul 7.4.2Valorile absolute (yi)Mediile mobile provizoriiy iMediile mobile definitive( yi )

y1

y2y1 y1 y2 y3 y4 : 4_

y3y1 y 1 y 2 : 2

y2 y2 y3 y4 y5 : 4

y4y 2 y 2 y 3 : 2

y3 y3 y4 y5 y6 : 4

yn5 yn5 yn4 yn3 yn2 : 4

yn-3yn 5 y n 5 y n 4 : 2

yn4 yn4 yn3 yn2 yn1 : 4

yn-2yn4 y n4 y n3 : 2

yn3 yn3 yn2 yn1 yn : 4

yn-1

yn

AJUSTAREA PE BAZA METODEI GRAFICEMetoda const n reprezentarea grafic a seriei (cronograma), pe axa ox (abscisa) fiind trecute momentele sau intervalele succesive de timp, iar pe axa oy (ordonata) nscriindu-se valorile numerice ale termenilor seriei. Se construiete pe acelai grafic o dreapt sau curb care s uneasc cele dou puncte extreme ale seriei cronologice astfel nct s prezinte abateri minime fa de poziia valorilor reale de pe grafic.Forma curbei astfel trasate indic legitatea matematic, forma de evoluie a fenomenului, dup o dreapt sau o funcie curbilinie.Metoda este simpl i rapid, dar exist pericolul interpretrii subiective a graficului.Metoda grafic precede obligatoriu aplicarea metodelor analitice de ajustare.AJUSTAREA PRIN METODA MODIFICRII MEDII ABSOLUTEAceast metod este indicat atunci cnd seria cronologic prezint tendina de cretere sub forma unei progresii aritmetice, situaie evideniat prin valorile relativ apropiate ale modificrilor absolute cu baz n lan.Termenii ajustai se determin cu relaia:Yi y1 ti ,i = 1, ..., nunde: Yi - valorile ajustate, care nlocuiesc valorile reale;y1 - primul termen al seriei cronologice reale (sau un alt termen luat ca baz de ajustare); - sporul mediu (modificarea absolut medie); yn y1 ;n 1ti - variaia timpulu: t1 = 0, t2 = 1, t3 = 2, ..., tn = n-1 dac se ia ca baz primul termen al seriei.Primul termen ajustat este egal cu primul termen al seriei reale iar ultimul termen ajustat este egal cu ultima valoare a seriei reale:Y1 y1 0 y1 ;y yYn y1 n 1 y1 n 1 n1 ynn 1

AJUSTAREA PE BAZA INDICELUI MEDIU DE DINAMICAceast metod este recomandabil n situaiile n care seria cronologic are forma unei progresii geometrice cu raia . n acest caz indicii de dinamic cu baz n lan au valori relativ apropiate.Termenii seriei ajustate se determin cu relaia:Yi y1 ti ,

unde: Yi valorile ajustate;

y1 - primul termen al seriei cronologice reale;

- indicele mediu de dinamic;

y

n n1y1

ti - factorul timp; ti = 0, 1, 2, ..., n-1.Primul i ultimul termen ajustat sunt egali cu termenii corespun- ztori din seria real.Metoda modificrii absolute medii i metoda indicelui mediu de dinamic sunt simple i rapide, dar nu iau n calcul toate valorile absolute ale termenilor seriei.

AJUSTAREA PRIN METODE ANALITICEMetodele analitice de estimare a tendinei se bazeaz pe folosirea funciilor matematice. Alegerea funciei de ajustare se face pe baza analizei graficului i a indicatorilor seriei cronologice. Situaiile cele mai frecvent ntlnite sunt: fenomenul evolueaz dup o funcie liniar atunci cnd graficul arat o tendin de cretere absolut constant i modificrile cu baz n lan au valori apropiate; fenomenul evolueaz dup o funcie exponenial atunci cnd graficul arat o tendin de cretere relativ constant i se obin valori apropiate ale indicilor cu baz n lan; fenomenul evolueaz dup o parabol atunci cnd graficul are punct de maxim sau de minim iar diferenele dintre modificrile succesive cu baz n lan (numite modificri cu baz n lan de ordinul doi) au valori apropiate; frecvent, pe grafic, se evideniaz numai fragmente de parabol.

Dup ce se alege forma cea mai potrivit pentru funcia de ajustare, se determin parametrii prin intermediul metodei celor mai mici ptrate. Aceast metod pornete de la condiia minimizrii ptratelor abaterilor valorilor ajustate (Yi) de la valorile reale (yi):( yi Yi )2 min .in cazul funciei liniare Yi = a + bti i condiia anterioar devine: [ yi ( a bti )] 2 min .iDin condiiile de anulare a celor dou derivate pariale,n raport cu a i b,ale expresiei precedente rezult sistemul de ecuaii:

na b ti yia ti b ti 2 ti yiCu soluia:

a yb ti yi

ti 2Cunoscnd valorile parametrilor a i b, se pot calcula n continuare valorile ajustate Yi.Verificarea calculelor se face pe baza relaiei: Yi yi .n rezolvarea sistemului, pentru simplificare, s-a recurs la ipoteza ti 0 . Pentru aceasta, este necesar s se msoare ntr-un anumit modivariaia timpului (vezi tabelul nr. 7.4.3.): n cazul seriilor cu numr impar de termeni, t=0 pentru termenul median, celelalte valori ale timpului fiind plasate simetric (negativ i pozitiv) fa de origine; n cazul seriilor cu numr par de termeni, celor doi termeni centrali le corespund valorile -1 i +1 pe axa timpului, restul valorilor ti (pozitive i negative) fiind de asemenea plasate simetric.

Variaia timpuluiTabelul nr. 7.4.3Serii impareSerii pare

AniitiAniiti

1996-31996-5

1997-21997-3

1998-11998-1

1999019991

2000120003

2001220015

20023--

Total0Total0

ANALIZA CALITII ESTIMRII TENDINEIAjustarea seriilor cronologice se poate face prin metode diferite, iar n cazul ajustrii analitice se pot utiliza diverse funcii matematice.Alegerea celei mai bune metode de ajustare din cele disponibile presupune compararea rezultatelor obinute prin procedee diferite.1. O prim posibilitate de comparaie se bazeaz pe reprezentarea grafic a valorilor ajustate i a celor reale. Prin compararea alurei graficelor valorilor ajustate (obinute prin diverse metode) cu graficul valorilor efective se decide care este varianta cea mai apropiat de realitate.2. O alt metod de apreciere a calitii ajustrii const n compararea sumei valorilor reale cu suma valorilor ajustate.

yi Yi .

Se alege varianta pentru care suma valorilor ajustate se afl la distan minim de suma valorilor empirice.3. Msurarea obiectiv a calitii ajustrii se poate face i mai exact pe baza coeficientului de variaie a valorilor ajustate de la valorile reale. Acest indicator se calculeaz pentru fiecare metod de ajustare folosit, ca raport ntre abaterea

medie liniar a valorilor reale de la valorile ajustate i media valorilor reale, conform relaiei: yi Yi

v i

.n y

Coeficientul de variaie cu valoarea cea mai mic indic cea mai bun metod sau funcie de ajustare.4. Se mai poate calcula suma ptratelor abaterilor valorilor

ajustate de la cele reale

yi Yi 2 , alegndu-se metoda de

ajustare pentru care aceast sum nregistreaz cea mai mic valoare.EXTRAPOLAREAUn obiectiv important al analizei seriilor cronologice l reprezint estimarea evoluiei probabile n viitor a fenomenului analizat. Extrapolarea reprezint o prelungire a seriei cronologice n viitor, pe baza trendului observat din analiza perioadei anterioare.Mrimile obinute prin extrapolare sunt valori probabile, orientative. Nu se poate face o predicie exact a viitorului din mai multe motive: pe lng trendul pe baza cruia se face previziunea acioneaz i factori aleatori, ntmpltori, care influeneaz nivelul real al fenomenului analizat; factorii de influen evideniai prin analiza seriei cronologice i pot modifica aciunea n viitor; exist anumite limite (minime sau maxime) n evoluia fenomenelor. Aceste restricii impun o analiz critic, calitativ a rezultatelor obinute prin extrapolare.Metodele de extrapolare sunt similare celor utilizate pentru esti- marea trendului. Diferena const n perioada de timp implicat n calcule.Astfel, dac analiza seriei cronologice a relevat o tendin de cretere constant, extrapolarea se poate face prin metoda modificrii absolute medii, conform relaiei:Y j y1 t j ,

unde: Yj - valorile viitoare ale seriei cronologice;y1 - un termen al seriei cronologice reale (de regul primul); - modificarea medie absolut;tj - valorile viitoare ale factorului timp; tj = n, n+1, n+2, ..., n-1+m; m - numrul intervalelor de timp pentru care se face extrapolarea.Atunci cnd evoluia seriei cronologice tinde ctre o exponenial, extrapolarea se poate face pe baza indicelui mediu de dinamic:

tY j y1 j ,unde: - indicele mediu de dinamic.Atunci cnd evoluia fenomenului a fost analizat cu ajutorul metodelor analitice i s-a constatat c reflect o anumit funcie matematic, extrapolarea se poate face utiliznd forma funciei de ajustare. De exemplu, n cazul funciei liniare, extrapolarea se face astfel:Y j a b t jAtunci cnd n evoluia fenomenului considerat s-a constatat o variaie sezonier, valorile extrapolate vor cuprinde i aceast tendin, prin nsumarea componentei sezoniere (n cazul modelului aditiv) sau prin nmulire (pentru modelul multiplicativ).Aplicaien continuare vom ilustra modul de ajustare a seriilor cronologice pe exemplul datelor privind nzestrarea populaiei cu autoturisme (buci/1000 locuitori) la sfritul fiecrui an, pentru perioada 1990-2000. Aceasta este o serie cronologic de momente cu distane egale ntre momente i se poate prelucra asemntor seriilor cronologice de intervale (cu excepia nivelului mediu al termenilor seriei, care se determin dup o formul special).Tabelul 7.4.4Anul199019911992199319941995

Autoturisme (buc/1000pers.)54,561,467,976,285,592,8

Anul19961997199819992000

Autoturisme (buc/1000pers.)101,0109,9118,8125,5131,5

Sursa: Anuarul statistic al Romniei, anul 1996 i 2001.

Indicatorii absolui i relativi calculai (tabelul nr. 7.4.5) arat o tendin de cretere constant a numrului de autoturisme la 1000 de locuitori pe toat perioada analizat.Indicatorii medii ai acestei serii cronologice sunt: nivelul mediu al seriei, calculat cu formula mediei cronologice simple deoarece aceasta este o serie cronologic de momente:

y t

54,5 61,4 67,9 ... 118,8 125,5 131,5

y t 22

n 932 93,2buc. /1000 locuitori 10 modificarea absolut medie:

11 1

yn y1 131,6 54,5 7,7buc./locuitorn 110 indicele mediu de dinamic:

nyI n1y1

10 131,5 1,0921 109,21%54,5

Indicatorii absolui i relativi ai seriei cronologiceTabelul 7.4.5(buc/ 1000loc)tt/1(kg)t/t-1(kg)It/1 (%)It/t-1 (%)Rt/1 (%)Rt/t-1 (%)At/t-1 (buc/ 1000loc)

54,51-------

61,426,96,9112,66112,6612,6612,660,545

67,9313,46,5124,59110,5924,5910,590,614

76,2421,78,3139,82112,2239,8212,220,679

85,5531,09,3156,88112,2056,8812,200,762

92,8638,37,3170,27108,5470,278,540,855

101,0746,58,2185,32108,8485,328,840,928

109,9855,48,9201,65108,81101,658,811,010

118,8964,38,9217,98108,10117,988,101,099

125,510716,7230,27105,64130,275,641,188

131,511776241,28104,78141,284,781,255

ritmul mediu de cretere:R% % 100 109,21 100 9,21%Arat o cretere medie anual cu % a nzestrrii cu autoturisme. Ajustarea prin metoda modificrii absolute medii ( ) se reali-zeaz cu ajutorul relaiei:Yi y1 ti ,

unde:

y1 54,5 7,7Valorile ajustate calculate pe baza acestei relaii i abaterile

valorilor ajustate de la valorile reale sunt prezentate n tabelul nr. 7.4.6.Ajustarea prin metoda modificrii absolute mediiTabelul 7.4.6tiValorile reale yiValorile ajustate YiAbaterileyi Yi

054,554,50

161,462,51,1

267,969,92,0

376,277,61,4

485,585,30,2

592,893,00,2

6101,0100,70,3

7109,9108,41,5

8118,8116,12,7

9125,5123,81,7

10131,5131,50

Total--9,6

Ajustarea prin metoda indicelui mediu de dinamic ( ) sebazeaz pe relaia:Yi y1 ti ,

unde:

y1 54,5

1,0921

Valorile ajustate conform acestei metode i abaterile de la mrimile reale yi sunt prezentate n tabelul 7.4.7.

Ajustarea prin metoda indicelui mediu de dinamicTabelul 7.4.7tiyiYiyi -Yi

054,554,50

161,459,51,9

267,965,02,9

376,271,05,2

485,577,58,0

592,884,78,1

6101,092,59,0

7109,9101,08,9

8118,8110,38,5

9125,5120,45,1

10131,5131,50

Total1025,0967,957,6

Ajustarea prin metode analitice, folosind trendul liniar (vezi tabelul 7.4.8) se bazeaz pe relaia:

Yi a bti ,

unde:

a yin

102511

93,18;b

ti yi ti 2

877110

7,97.

Aadar: Yi = 93,18+7,97ti.

Ajustarea analitic cu trend liniarTabelul 7.4.8tiyiyi titi2Yi =93,18+7,97tiyi -Yi

-554,5-272,52553,330,95

-461,4-245,61661,300,10

-367,9-203,7969,271,37

-276,2-152,4477,241,04

-185,5-85,5185,210,29

092,80093,180,38

1101,0101,01101,150,15

2109,9219,84109,120,78

3118,8356,49117,091,71

4125,5502,016125,060,44

5131,5657,525133,031,53

Total10258771101024,988,74

Ajustarea prin metode analitice, folosind trend parabolic:

iiiY a bt ct 2unde: a,b,c - parametrii funciei parabolice de gradul doi.Prin aplicarea metodei celor mai mici ptrate rezult sistemul de ecuaii normale:

ina b ti c t 2

yi

23

a ti b ti c ti

ti yi

2342

a ti b ti c ti

ti yi

Deoarece ti 0 , rezult:

ina c t 2

yi

2b ti ti yi242

a ti c ti

ti yi

Din a doua ecuaie a sistemului se obine: ti yi

b ti 2

7,97

(vezi tabelul nr. 7.4.8).

Conform calculelor prezentate n tabelul nr. 7.4.9, sistemul anterior devine:11a 110c 1025110a 1958c 10251,6 a = 93,16; c = 0,0019.Funcia de ajustare este:2

Yi = 93,16 7,97ti 0,0019tiAjustarea analitic cu trend parabolic

Tabelul 7.4.9

tiyit 4it 2 yi iYi = 54,13 - 0,51ti - 0,057t2iyi-Yi

-554,56251362,553,361,14

-461,4256982,461,310,09

-367,981611,169,271,37

-276,216304,877,231,03

-185,5185,585,190,31

092,80093,160,30

1101,01101101,130,13

2109,916439,6109,110,79

3118,8811069,2117,091,71

4125,52562008125,070,43

5131,56253287,5133,061,56

Total1025195810251,61024,988,92

Alegerea celei mai potrivite funcii de ajustare se poate face pe baza coeficientului de variaie a valorilor ajustate fa de cele reale:v ii ,y Yny

calculat pentru toate metodele de ajustare utilizate.Ajustarea dup metoda modificrii absolute medii:

v1

9,6

11 93,2

0,00936

Ajustarea dup metoda indicelui mediu de dinamic:

v2

57,6

11 93,2

0,05618 .

Ajustarea prin metode analitice, cu funcie liniar:

v3

8,74

11 93,2

0,00853 .

Ajustarea prin metode analitice, cu funcie parabolic de gradul doi:

v4

8,92

11 93,2

0,00870 .

Cel mai mic coeficient de variaie se nregistreaz n cazul ajustrii dup o funcie liniar.Prognoza nzestrrii cu autoturisme la 1000 locuitori pentru urmtorii doi ani se face dup funcia liniar, deoarece este cea mai bun metod de estimare a trendului n aceast aplicaie. Seria cronologic va fi prelungit n viitor dnd variabilei ti valorile urmtoare pe axa timpului: 6 i 7.Y2002 =93,18 +7,97(6) =141 autoturisme la 1000 locuitori;Y2003 =93,18 +7,97(7) =148,97 autoturisme la 1000 locuitori.

7.5 MSURAREA VARIAIILOR SEZONIERE

n manifestarea concret a fenomenelor economice exist unele variaii cu caracter de regularitate, legate de succesiunea anotimpurilor. Variaiile sezoniere se manifest n producia i desfacerea unor bunuri de consum, n turism, construcii, transport fluvial, agricultur etc.Factorul sezonier poate fi izolat prin eliminarea din cadrul seriei cronologice a trendului i a abaterilor aleatoare. Este important cunoaterea periodicitii producerii fenomenului.

293

Cunoaterea gradului de sezonalitate este important n deciziile de producie i desfacere din anumite domenii de activitate.Sezonalitatea este una dintre componentele seriilor cronologice. n cadrul seriilor cronologice suficient de lungi pot fi evideniate mai multe componente: trendul (tendina central) este componenta esenial a seriilor cronologice i exprim tendina general de evoluie pe termen lung; este rezultatul aciunii sistematice, constante a factorilor de influen eseniali; sezonalitatea se manifest sub forma unor oscilaii periodice de la tendina general, care se succed la intervale constante, mai mici de un an; aceste variaii au caracter repetitiv i sunt produse de factori naturali care condiioneaz activitatea din construcii, agricultur, transport fluvial, turism etc. ciclicitatea reprezint o alt form de osculaii periodice de la trend, dar acestea se repet la intervale neegale de timp, de lung durat (mai mari de un an); ciclurile macroeconomice produse de modificrile n eficiena utilizrii factorilor de producie sunt cele mai cunoscute exemple din aceast categorie; componenta aleatoare este rezultatul aciunii factorilor ntmpltori, accidentali i se manifest prin abateri imprevizibile de la trend.n cadrul seriilor cronologice, componentele prezentate se combin folosind modelul aditiv sau modelul multiplicativ. Alegerea modelului se face n funcie de modul cum reacioneaz oscilaiile sezoniere fa de componenta de tendin.Dac oscilaiile sezoniere rmn constante indiferent dac fenomenul manifest o tendin de cretere sau de scdere, se folosete modelul aditiv. n cazul modelului aditiv, toate componentele sunt exprimate n aceleai uniti de msur, componentele de sezonalitate, ciclicitate i cele aleatoare reprezentnd abateri fa de componenta de tendin.Dac oscilaiile sezoniere se modific odat cu componenta de tendin, se aplic modelul multiplicativ. n acest caz, numai componenta de tendin se exprim n unitile de msur ale fenomenului analizat,

celelalte componente exprimndu-se sub form de coeficient sau procentual.Msurarea oscilaiilor sezoniere presupune, n prealabil, ajustarea seriei prin metoda mediilor mobile sau o metod analitic adecvat obinndu-se valorile ajustate yij.n cazul modelului multiplicativ, pentru msurarea sezonalitii secalculeaz indicii de sezonalitate astfel:1. Se calculeaz rapoarteledintre valorile reale yij i valorile

ajustate

yij . Deoarece valorile iniiale yij conin trendul,

componenta aleatoare i sezonalitatea, din calcul rezult produsul dintre componenta sezonier i cea aleatoare(rezidual):

yijyij

S j

Rij ,

unde: yij - valorile reale ale seriei cronologice;yij - valorile ajustate, trendul;Sj - componenta sezonier;Rij - componenta aleatoare;i - anul;j - sezonul (trimestru).2. Pentru a elimina efectul factorilor ntmpltori, din rapoartele determinate anterior se calculeaz medii aritmetice pariale pe sezoane, care reprezint estimatorii brui ai componentei sezoniere:n yij

S j

i1 yij

n

Dac produsul estimatorilor componentei sezoniere este egal cu unu, nseamn c acetia sunt chiar indicii de sezonalitate i se trece la pasul 4. n caz contrar, se trece la pasul 3 pentru corectarea acestora.3. Se calculeaz media estimatorilor brui ai componentei sezoniere i apoi se calculeaz raportul dintre fiecare estimator i media acestora, obinndu-se indicii de sezonalitate:

295

m S jS j1imS j s j S

etape:4. Se calculeaz valorile desezonalizate raportnd valorile reale la indicii de sezonalitate corespunztori.Aplicarea modelului aditiv presupune parcurgerea urmtoarelor

1. Se calculeaz diferenele dintre valorile reale yij i valorile

ajustate

yij

i rezult suma componentei sezoniere cu cea

rezidual:yij yij S j Rij ,2. Se calculeaz media diferenelor pe fiecare sezon j, obinn- du-se o estimare a componentei sezoniere:n( yij yij )

S' i1jnDac suma estimatorilor componentei sezoniere este diferit de zero, atunci se trece la pasul 3.3. Dac abaterile sezoniere sunt comparabile n valoare absolut,

'se diminueaz componentele sezoniere S jobinndu-se abaterile sezoniere corectate:m S j'

cu media lor,

jS j S'

j1,m

unde: Sj - abaterile sezoniere corectate; j - sezonul, j = 1, ..., m.n caz contrar, se repartizeaz, proporional, pe sezoane, diferena obinut la pasul precedent.

4. Se corecteaz seria cronologic iniial, eliminndu-se influena factorului sezonier prin scderea abaterilor sezoniere corectate Sj din toi termenii yij:yij - Sj ,i = 1, ..., n i j = 1 ... m.Termenii seriei astfel corectate conin trendul i abaterea aleatoare. Indiferent de modelul de combinare a componentelor folosit,datele desezonalizate se ajusteaz printr-o metod analitic corespunztoare i pe baza ecuaiei de ajustare se poate extrapola componenta de tendin prelungind variabila timp pentru orizontul de prognoz i pstrnd parametrii ecuaiei de ajustare nemodificai dac nu se ntrevd modificri semnificative n evoluia fenomenului.Pentru previzionarea seriilor care prezint oscilaii sezoniere, valorile previzionate dup tendin se sezonalizeaz prin nmulire cu coeficienii de sezonalitate corespunztori n cazul modelului multiplicativ sau prin adunarea abaterilor sezoniere corespunztoare n cazul modelului aditiv.Pentru exemplificare se folosesc datele urmtoare referitoare la producia trimestrial de ngheat a unei societi comerciale.Analiza sezonalitii produciei trimestrialeTabelul 7.5.1AniTrim. jProducie(mil. lei) yijTrendyijyij

yij

AB123

1995I20--

II70--

III15071,252,10

IV40750,53

1996I3081,250,37

II9087,51,03

III18091,251,97

IV60950,63

1997I401050,38

II110118,750,93

III240--

IV110--

* Date convenionale (vezi Statistic, E.M. Biji .a., EDP,1999)

297

Pentru ajustarea seriei cronologice se folosete metoda mediilor mobile. Cum periodicitatea termenilor seriei este trimestrial, se calculeaz medii mobile din patru termeni, care pentru a fi centrate se calculeaz n dou faze (medii mobile provizorii i medii mobile definitive).Mediile mobile provizorii:

Y1

20 70 150 41

4

70;

Y2

70 150 40 30

4

72,5;

Y3

Y5

150 40 30 90

430 90 180 60

4

77,5;

90;

Y4

Y6

40 30 90 180

490 180 60 40

4

85;

92,5;

Y7

180 60 40 110

4

97,5;

Y8

60 40 110 240

4

112,5;

Y9

40 110 240 110

4

125.

Mediile mobile definitive calculate ca medii mobile de cte dou medii mobile provizorii sunt prezentate n tabelul 7.5.1, col.2.Seria de date iniiale este reprezentat prin corelograma din fig.7.1.

250

200

Productia150

100

50

0III III IV III III IV III III IVPerioada

199519961997

Fig. 7.1 Producia trimestrial pe perioada 1995-1997Graficul sugereaz utilizarea modelului multiplicativ. Pentru nlturarea componentei de tendin se calculeaz raportul ntre fiecare termen real i cel ajustat (vezi tabelul 7.5.1., col. 3).

Indicii de sezonalitate se calculeaz ca raport ntre fiecare medie trimestrial i media mediilor trimestriale (vezi tabelul 7.5.2, col. 5).Calculul indicilor de sezonalitateTabelul 7.5.2Trim.yij

yijIndici de sezonali- tate brui

SjIndici de sezonalitate

Sj

199519961997

012345

I-0,370,380,3750,378

II-1,030,930,980,989

III2,101,97-2,032,048

IV0,530,63-0,580,585

Dac se dorete previzionarea valorilor pentru anul urmtor, este necesar s se calculeze valorile desezonalizate.

Analiza sezonalitii produciei trimestrialeTabelul 7.5.3AniTrim. jProducie (mil. lei) yijIndici de sezonalitateValori desezo- nalizate (col.1/col.2)

AB123

1995I200,37852,910

II700,98970,778

III1502,04873,242

IV400,58568,376

1996I300,37879,365

II900,98991,001

III1802,04887,891

IV600,585102,564

1997

TotalI400,378105,820

II1100,989111,223

III2402,048117,187

IV1100,585188,034

--1048,391

299

250

200

Productia150

100

50

0III III IV III III IV III III IVPerioada

199519961997

Fig. 7.2 Producia trimestrial pe perioada 1995-1997 (valori desezonalizate)Graficul sugereaz utilizarea modelului liniar pentru ajustare:Yi a btiPentru calcularea parametrilor modelului liniar se efectueaz o serie de calcule intermediare (vezi taabelul 7.5.4.).a yi 1048,391 87,36; b 2423,623 4,24.n12572

Aadar: Yi = 87,36+4,095ti.

Tabelul 7.5.4

AniTrim. jValori desezo- nalizate(yi)tit 2iYi 87,36 4,095ti

AB0123

I52,910-11121-582,01

II70,778-981-637,002

1995III73,242-749-512,694

IV68,376-525-341,880

I79,365-39-238,095

II91,001-11-91,001

1996III87,8911187,891

IV102,56439307,692

I105,820525529,100

II111,223749778,561

1997III117,1879811054,687

IV188,034111212068,374

Total-1048,39106502423,623

Pentru determinarea valorilor previzionate pentru 1998 se prelungete variabila timp, se calculeaz valorile de tendin teoretice care se nmulesc cu coeficienii de sezonalitate (vezi tabelul 7.5.5).Tabelul 7.5.5AnulTrim. jtiYi 87 ,36 4 ,24 tiIndicide sezonalitateValori previzionate

1998I13142,440,37853,84

II15150,960,989149,30

III17159,442,048326,53

IV19167,920,58598,23

7.6 NTREBRI I TESTE-GRIL

7.6.1 ntrebri recapitulative

1. Ce nelegei prin serii cronologice de momente? Exemplificai.2. Ce nelegei prin serii cronologice de intervale? Exemplificai.3. Cum se reprezint grafic seriile de momente?4. Cum se reprezint grafic seriile de intervale?5. Ce nelegei prin indicator de nivel?6. Ce nelegei prin indicator de nivel totalizat?7. Ce semnificaie are modificarea absolut?8. Ce particulariti prezint termenii unei serii cronologice?9. Ce condiii trebuie s ndeplineasc termenii unei serii cronologice?10. Ce condiie trebuie s ndeplineasc termenul seriei luat ca baz fix?11. Cum se face trecerea de la baz fix la baz n lan n cazul modificrilor absolute?12. Cum se face trecerea de la baz n lan la baz fix n cazul modificrilor absolute?13. Cum se exprim indicii de dinamic?14. Cum se face trecerea de la baz fix la baz n lan n cazul indicilor de dinamic?15. Cum se face trecerea de la baz n lan la baz fix n cazul indicilor de dinamic?16. Cum se interpreteaz valoarea unui indice de dinamic?17. Ce ali indicatori se pot calcula pe baza indicelui de dinamic?

301

18. Ce nelegei prin ritm de dinamic?19. Ce semnificaie are modificarea relativ?20. Ce indicator se poate calcula pe baza modificrii absolute i a modificrii relative?21. Cum se caculeaz nivelul mediu n cazul unei serii cronologice de momente?22. Cum se caculeaz nivelul mediu n cazul unei serii cronologice de intervale?23. Cnd se recomand calcularea modificrii medii absolute?24. Cnd se recomand calcularea modificrii medii relative?25. Cnd se recomand calcularea indicelui mediu de dinamic?26. Ce semnificaie are nivelul mediu al unei serii cronologice?27. Ce semnificaie are modificarea medie absolut?28. Ce semnificaie are modificarea medie relativ?29. Ce semnificaie are indicele mediu de dinamic?30. Care pot fi componentele termenilor unei serii cronologice?31. Care sunt componentele sistematice?32. Ce nelegei prin trend?33. Ce nelegei prin sezonalitate?34. Ce nelegei prin sezon? Exemplificai.35. Ce nelegei prin ciclicitate?36. Ce semnificaie au componentele aleatoare?37. Ce nelegei prin ajustarea termenilor unei serii cronologice?38. Care sunt metodele simple de ajustare a seriilor cronologice?39. Ce nelegei prin medii mobile?40. Cnd se recomand utilizarea metodei mediilor mobile?41. Cnd se recomand utilizarea metodei modificrii medii absolute?42. Cnd se recomand utilizarea metodei indicelui mediu de dinamic?43. Cnd se recomand utilizarea metodei grafice?44. Ce criterii se pot utiliza pentru alegerea metodei analitice de ajustare?45. Ce semnificaii au parametri trendului liniar?

7.6.2 Teste-gril

1. Dou iruri de date paralele, n care primul arat variaia caracteristicii de timp i al doilea variaia fenomenului analizat reprezint o serie statistic:a) cronologic;b) teritorial;c) de distribuie;d) de repartiie;e) de spaiu.

2. Evoluia n timp a unui fenomen nu este ilustrat de o serie statistic:a) cronologic;b) de timp;c) dinamic;d) de distribuie.

3. Nu este o proprietate a termenilor seriei cronologice:a) variabilitatea;b) omogenitatea;c) periodicitatea;d) independena;e) interdependena.

4. Asigurarea comparabilitii termenilor seriei cronologice nu presupune ca datele:a) s se refere la acelai fenomen;b) s foloseasc aceeai unitate de msur;c) s provin din aceeai surs;d) s prezinte o evoluie sezonier.

5. Problemele care trebuie rezolvate la analiza seriilor cronologice sunt:a) calcularea indicatorilor absolui, relativi i medii;b) determinarea trendului; c) analiza sezonalitii;d) extrapolarea.

303

Alegei combinaia corect: A(a,b,c,d); B(a,b,c); C(a,b).

6. Valorile individuale ale termenilor seriei cronologice depind de:a) factorii eseniali, cu aciune sistematic;b) factorii aleatori;c) variaiile sezoniere;d) oscilaiile ciclice;e) politica economic.Alegei combinaia corect: A(a,b,c,d,e); B(a,b,c,d); C(a,c,d).

7. Termenii seriei cronologice sunt interdependeni deoarece:a) datele provin din aceeai surs;b) unitatea de msur este aceeai;c) se obin prin aceeai metodologie de calcul;d) sunt valori succesive ale aceluiai fenomen.

8. Recesiunea economic este o fluctuaie:a) sezonier;b) pe termen lung;c) ntmpltoare;d) ciclic.

9. Creterea nivelului de ocupare vara reprezint o evoluie:a) sezonier;b) pe termen lung;c) ntmpltoare;d) ciclic.

10. Nu este posibil nsumarea termenilor seriei cronologice:a) de momente;b) de intervale;c) exprimate n uniti fizice;d) de fluxuri.

11. Trendul seriei cronologice se determin prin metoda indicelui mediu de dinamic atunci cnd:a) indicii cu baz n lan sunt apropiai;

b) modificrile absolute cu baz n lan sunt apropiate;c) graficul are un punct de maxim;d) graficul are un punct de minim.12. Trendul seriei cronologice se determin prin metoda sporului mediu atunci cnd:a) indicii cu baz n lan sunt apropiai;b) modificrile absolute cu baz n lan sunt apropiate;c) amplitudinea oscilaiilor periodice este constant;d) graficul are un punct de minim.13. Cifra de afaceri a unei firme a sczut n perioada 1990-1993 cu 20% i a crescut n perioada 1993-2000 cu 30%. Care a fost modificarea procentual a cifrei de afaceri n anul 2000 fa de 1990?a) a sczut cu 10%;b) a crescut cu 10%;c) a sczut cu 4%;d) a crescut cu 4%;e) nu s-a modificat.14. Producia unei firme a crescut, fa de anul 1995,cu 20% n anul 1998 i cu 40% n anul 2000.Care a fost creterea produciei n 2000 fa de 1998?a) 30%;b) 16,67%;c) 20%;d) 25%.15. Cifra de afaceri a unei firme a crescut cu 15% n anul 1999 i cu 20% n anul 2000. Calculai creterea total pe cei doi ani.a) 38%;b) 35%;c) 17,5%;d) 30%.16. Desfacerile unui magazin au crescut cu 10% n primul trimestru al anului, s-au redus cu 5% n cel de al doilea trimestru i au

305

crescut cu 12%, respectiv 20% n urmtoarele dou trimestre. Calculai creterea medie trimestrial.a) 11,75%;b) 9,25%;c) 8,86%;d) 16%.17. Necesarul de petrol al unei ri a crescut n 1998 fa de 1997 cu 20% i n 1999 fa de 1998 cu 38,75%.Cu ce procent a crescut n medie din 1998 pn n 1999?a) 29,37%;b) 30%;c) 29%;d) 29,03%.18. Se cunosc datele:

Anul199719981999

Dinamica produciei (%) 1990=100110120105

Calculai modificarea procentual a produciei n 1999 fa de 1998.a) 10%;b) 15%;c) -12,5%;d) -25%.

19. Se cunosc datele:

Anul199719981999

Creterea produciei (buc.) fa de anul anterior201510

Calculai creterea produciei n 1999 fa de 1996.a) 40buc.;b) 45 buc.;c) 50buc.Soluii:1.a; 2.d; 3.d; 4.d; 5.A; 6.B; 7.d; 8.d; 9.a; 10.a; 11.a; 12.b; 13.d;14.b; 15.a; 16.c; 17.d; 18.c; 19.b.